{L = dfrac{pi R alpha}{180degree}}
Длина дуги окружности – важный параметр, который используется в геометрии и математике для решения различных задач. На этой странице приведены две формулы для расчета длины дуги окружности – через радиус и угол между радиусами и по формуле Гюйгенса. Также вы можете рассчитать длину дуги окружности с помощью калькулятора, которые используют эти формулы.
Дуга — одно из двух подмножеств окружности, на которые её разбивают любые две различные принадлежащие ей точки. Любые две точки окружности разбивают её на две части, при этом каждая из частей является дугой.
Содержание:
- калькулятор длины дуги окружности
- формула длины дуги окружности через радиус и угол
- формула длины дуги окружности по формуле Гюйгенса
- примеры задач
Если обобщить, то дуга окружности – это часть окружности, ограниченная двумя ее точками. Ниже приведены несколько примеров дуг окружностей:
-
Полная окружность – это дуга, которая охватывает всю окружность. Угол, определяющий полную окружность, равен 360° или 2π радиан. Длина дуги полной окружности равна общей длине окружности, которая может быть вычислена по формуле L = 2πr, где r – радиус окружности.
-
Полуокружность – это дуга, которая охватывает половину окружности. Угол, определяющий полуокружность, равен 180° или π радиан. Длина дуги полуокружности равна половине общей длины окружности и может быть вычислена по формуле L = πr.
-
Сектор окружности – это область, ограниченная дугой окружности и двумя ее радиусами.
Это только несколько примеров дуг окружности. Дуги могут быть разных размеров и форм, в зависимости от угла, определяющего их, и расположения на окружности.
Формула длины дуги окружности через радиус и угол
{L = dfrac{pi R alpha}{180degree}}
R – радиус окружности
α – центральный угол (угол между радиусами) в градусах
{L = R alpha}
R – радиус окружности
α – центральный угол (угол между радиусами) в радианах
Формула длины дуги окружности по формуле Гюйгенса
{L approxeq 2m + dfrac{2m-M}{3}}
m – длина хорды m
M – длина хорды M
Обратите внимание, что в данной формуле используется не привычный знак равно «=», а знак “равно или почти равно”, который записывается так – «approxeq». Это связано с тем, что формула Гюйгенса дает погрешность при вычислении. Хоть величина погрешности невелика, знать об этом надо.
Относительная погрешность формулы Гюйгенса составляет порядка 0,5% когда угол дуги равен 60°. Если же угловая мера дуги уменьшается, то уменьшается и погрешность. Например, для дуги в 45° относительная погрешность будет равна примерно 0,02%.
Примеры задач на нахождение длины дуги
Задача 1
Найдите длину дуги окружности радиуса 6см, если ее градусная мера равна 30.
Решение
Для решения этой задачи нам подойдет первая формула. Подставим в нее значение радиуса и угла и произведем вычисления:
L = dfrac{pi R alpha}{180degree} = dfrac{pi cdot 6 cdot 30degree}{180degree} = dfrac{pi cdot 180degree}{180degree} = pi : см approx 3.14 : см.
Ответ: {pi : см approx 3.14 : см.}
Введем известные значения в калькулятор для проверки полученного ответа.
Задача 2
Найдите длину дуги окружности радиуса 3см, если ее градусная мера равна 150 градусов.
Решение
Задача аналогична предыдущей. Также воспользуемся первой формулой.
L = dfrac{pi R alpha}{180degree} = dfrac{pi cdot 3 cdot 150degree}{180degree} = dfrac{pi cdot 3 cdot 5}{6} = dfrac{pi cdot 5}{2} = dfrac{5}{2} pi : см = 2.5 pi : см approx 7.85398 : см.
Ответ: {2.5 pi : см approx 7.85398 : см.}
В проверке ответа нам снова поможет калькулятор .
Длина дуги окружности имеет множество применений в математике и ее приложениях. Например, она используется для вычисления длины дуги графика функции, заданной в полярных координатах. Также длина дуги окружности используется при вычислении пути, пройденного телом при движении по окружности, а также для вычисления объема тела, полученного путем вращения дуги окружности вокруг ее диаметра.
Как посчитать длину окружности
Онлайн калькулятор
Как посчитать длину окружности зная диаметр
Какая длина у окружности если
Какова длина окружности (С) если её диаметр d?
Формула
С = π⋅d , где π ≈ 3.14
Пример
Если диаметр круга равен 1 см, то его длина примерно равна 3.14 см.
Как посчитать длину окружности зная радиус
Какая длина у окружности если
Какова длина окружности (С) если её радиус r?
Формула
С = 2⋅π⋅r , где π ≈ 3.14
Пример
Если радиус круга равен 0.5 см, то его длина примерно равна 3.14 см.
Как посчитать длину окружности зная её площадь
Какая длина у окружности если
Какова длина окружности (С) если её площадь S?
Формула
С = 2π⋅ √ S /π , где π ≈ 3.14
Пример
Если площадь круга равна 6 см 2 , то его длина примерно равна 8.68 см.
Сегмент круга
Вычисляет площадь, длину дуги, длину хорды, высоту и периметр сегмента круга. Описывается несколько вариантов расчета по параметрам сегмента – по углу, по хорде, по радиусу, по высоте и длине дуги.
Сегмент круга
Круговой сегмент — часть круга ограниченная дугой и секущей (хордой).
На рисунке:
L — длина дуги сегмента
c — хорда
R — радиус
a — угол сегмента
h — высота
Первый калькулятор рассчитывает параметры сегмента, если известен радиус и угол по следующим формулам:
Формулы вычисления параметров сегмента
Площадь сегмента:
[1]
Длина дуги:
Как узнать длину отрезка на окружности
Как посчитать длину окружности
Онлайн калькулятор
Как посчитать длину окружности зная диаметр
Какая длина у окружности если
Какова длина окружности (С) если её диаметр d?
Формула
С = π⋅d , где π ≈ 3.14
Пример
Если диаметр круга равен 1 см, то его длина примерно равна 3.14 см.
Как посчитать длину окружности зная радиус
Какая длина у окружности если
Какова длина окружности (С) если её радиус r?
Формула
С = 2⋅π⋅r , где π ≈ 3.14
Пример
Если радиус круга равен 0.5 см, то его длина примерно равна 3.14 см.
Как посчитать длину окружности зная её площадь
Какая длина у окружности если
Какова длина окружности (С) если её площадь S?
Формула
С = 2π⋅ √ S /π , где π ≈ 3.14
Пример
Если площадь круга равна 6 см 2 , то его длина примерно равна 8.68 см.
Длина окружности
О чем эта статья:
6 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ
Если вы не знаете, как обозначается длина окружности, то знак окружности выглядит вот так — l
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).
Как найти длину окружности через диаметр
Хорда — это отрезок, который соединяет две точки окружности.
Диаметр — хорда, которая проходит через центр окружности. Формула длины окружности через диаметр:
π— число пи — математическая константа, примерно равная 3,14
d — диаметр окружности
Как найти длину окружности через радиус
Радиус окружности — отрезок, который соединяет центр окружности с точкой на окружности. Формула длины окружности через радиус:
π — число пи, примерно равное 3,14
r — радиус окружности
Это две основные формулы для вычисления длины окружности. Ниже мы покажем еще несколько формул, которые вы сможете доказать самостоятельно, пользуясь основными формулами и свойствами геометрических фигур.
Как вычислить длину окружности через площадь круга
Если вам известна площадь круга, вы также можете узнать длину окружности:
π — число пи, примерно равное 3,14
S — площадь круга
Как найти длину окружности через диагональ вписанного прямоугольника
Как измерить окружность, если в нее вписан прямоугольник:
π — число пи, примерно равное 3,14
d — диагональ прямоугольника
Как вычислить длину окружности через сторону описанного квадрата
Давайте рассмотрим, как найти длину окружности, если она вписана в квадрат и нам известна сторона квадрата:
π — математическая константа, примерно равная 3,14
a — сторона квадрата
Как найти длину окружности через стороны и площадь вписанного треугольника
Можно найти, чему равна длина окружности, если в нее вписан треугольник и известны все три его стороны, а также известна его площадь:
π — математическая константа, она примерно равна 3,14
a — первая сторона треугольника
b — вторая сторона треугольника
c — третья сторона треугольника
S — площадь треугольника
Как найти длину окружности через площадь и полупериметр описанного треугольника
Можно определить, чему равна длина окружности, если круг вписан в треугольник, и известны следующие параметры: площадь треугольника и его полупериметр.
Периметр — это сумма всех сторон треугольника. Полупериметр равен половине этой суммы, то есть чтобы его найти, вам нужно рассчитать периметр и поделить его на два.
π — математическая константа, примерно равная 3,14
S — площадь треугольника
p — полупериметр треугольника
Как вычислить длину окружности через сторону вписанного правильного многоугольника
Разбираемся, как в этом случае измерить окружность. Для этого необходимо посчитать, сколько сторон у многоугольника, а также знать длину стороны многоугольника. Напомним, что у правильного многоугольника все стороны равны, как у квадрата.
Формула вычисления длины окружности:
π — математическая константа, примерно равная 3,14
a — сторона многоугольника
N — количество сторон многоугольника
Задачи для решения
Давайте тренироваться! Двигаемся от простого к сложному:
Задача 1. Найти длину окружности, диаметр которой равен 5 см.
Решение. Итак, нам известен диаметр окружности, значит для вычисления длины заданной окружности берем формулу:
Подставляем туда известные переменные и получается, что длина окружности равна
Задача 2. Чему равна длина окружности, описанной около правильного треугольника со стороною a = 4√3 дм
Решение. Радиус окружности равен Подставим туда наши переменные и получим
Теперь, когда нам известен радиус окружности и есть формула длины окружности через радиус l=2πr, мы можем подставить наши данные и получить решение задачи.
Обучение на курсах по математике поможет закрепить полученные знания на практике.
Геометрия. Урок 5. Окружность
Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Содержание страницы:
- Определение окружности
- Отрезки в окружности
Определение окружности
Окружность – геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки.
Эта точка называется центром окружности .
Отрезки в окружности
Радиус окружности R – отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности.
Хорда a – отрезок, соединяющий две точки на окружности.
Диаметр d – хорда, проходящая через центр окружности, он равен двум радиусам окружности ( d = 2 R ).
O A – радиус, D E – хорда, B C – диаметр.
Теорема 1:
Радиус, перпендикулярный хорде, делит пополам эту хорду и дугу, которую она стягивает.
Касательная к окружности – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.
Из одной точки, лежащей вне окружности, можно провести две касательные к данной окружности.
Теорема 2:
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны ( A C = B C ).
Теорема 3:
Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.
Дуга в окружности
Часть окружности, заключенная между двумя точками, называется дугой окружности .
Например, хорда A B стягивает две дуги: ∪ A M B и ∪ A L B .
Теорема 4:
Равные хорды стягивают равные дуги.
Если A B = C D , то ∪ A B = ∪ C D
Углы в окружности
В окружности существует два типа углов: центральные и вписанные.
Центральный угол – угол, вершина которого лежит в центре окружности.
∠ A O B – центральный.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается . ∪ A B = ∠ A O B = α
Если провести диаметр, то он разобьёт окружность на две полуокружности. Градусная мера каждой полуокружности будет равна градусной мере развернутого угла, который на неё опирается.
Градусная мара всей окружности равна 360 ° .
Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.
∠ A C B – вписанный.
Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается . ∠ A C B = ∪ A B 2 = α 2 ∪ A B = 2 ⋅ ∠ A C B = α
Теорема 5:
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны .
∠ M A N = ∠ M B N = ∠ M C N = ∪ M N 2 = α 2
Теорема 6:
Вписанный угол, опирающийся на полуокружность (на диаметр), равен 90 ° .
∠ M A N = ∠ M B N = ∪ M N 2 = 180 ° 2 = 90 °
Длина окружности, длина дуги
Мы узнали, как измеряется градусная мера дуги окружности (она равна градусной мере центрального угла, который на нее опирается) и всей окружности целиком (градусная мера окружности равна 360 ° ). Теперь поговорим о том, что же такое длина дуги в окружности. Длина дуги – это значение, которое мы бы получили, если бы мерили дугу швейным сантиметром. Рассмотрим две окружности с разными радиусами, в каждой из которых построен центральный угол равный α .
Градусная мера дуги ∪ A B равна градусной мере дуги ∪ C D и равна α .
Но невооуруженным глазом видно, что длины дуг разные. Если градусная мера дуги окружности зависит только от величины центрального угла, который на неё опирается, то длина дуги окружности зависит ещё и от радиуса самой окружноси.
Длина окружности находится по формуле:
Длина дуги окружности , на которую опирается центральный угол α равна:
l α = π R 180 ∘ ⋅ α
Площадь круга и его частей
Теперь поговорим про площадь круга, площадь сектора и площадь сегмента.
Круг – часть пространства, которая находится внутри окружности.
Иными словами, окружность – это граница, а круг – это то, что внутри.
Примеры окружности в реальной жизни: велосипедное колесо, обруч, кольцо.
Примеры круга в реальной жизни: пицца, крышка от канализационного люка, плоская тарелка.
Площадь круга находится по формуле: S = π R 2
Сектор – это часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.
Примеры сектора в реальной жизни: кусок пиццы, веер.
Площадь кругового сектора, ограниченного центральным углом α находится по формуле: S α = π R 2 360 ° ⋅ α
Сегмент – это часть круга, ограниченная дугой и хордой, стягивающей эту дугу.
Примеры сегмента в реальной жизни: мармелад “лимонная долька”, лук для стрельбы.
Чтобы найти площадь сегмента, нужно сперва вычислить площадь кругового сектора, который данный сегмент содержит, а потом вычесть площадь треугольника, который образован центральным углом и хордой.
S = π R 2 360 ° ⋅ α − 1 2 R 2 sin α
Теорема синусов
Если вокруг произвольного треугольника описана окружность, то её радиус можно найти при помощи теоремы синусов:
a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R Достаточно знать одну из сторон треугольника и синус угла, который напротив неё лежит. Из этих данных можно найти радиус описанной окружности.
Примеры решений заданий из ОГЭ
Модуль геометрия: задания, связанные с окружностями.
[spoiler title=”источники:”]
http://planetcalc.ru/1421/
http://b4.cooksy.ru/articles/kak-uznat-dlinu-otrezka-na-okruzhnosti
[/spoiler]
CHELZabor.ru
ЧелЗабор | Металлоконструкции для дома и дачи
+7 (951) 81-888-77
E-mail: info@chelzabor.ru
Главная
»
Расчеты
»
Расчет дуги
Рассчитать длину дуги, радиус
Порой нужно быстро рассчитать длину дуги, радиус фермы для навеса, для этого на скорую руку был сделан этот простенький калькулятор.
Если известны высота дуги и длина хорды, то это не составит большого труда.
Длина хорды в мм (A)
Высота дуги в мм (B)
Рассчитать
Как рассчитать длину дуги окружности
На данной странице калькулятор поможет рассчитать длину дуги окружности онлайн. Для расчета задайте радиус, угол между радиусами.
Чтобы найти длину дуги, когда не известен радиус, например, на чертеже или у предмета, то используют формулу Гюйгенса. При расчете по этой формуле есть погрешность, примерно от 0,5% до 0,02%.
Дуга окружности – это часть окружности ограниченная двумя точками.
Через радиус и угол
Формула для нахождения площади сектора круга:
π – константа равная (3.14); α – угол сектора круга; r – радиус окружности.
По формуле Гюйгенса
Формула Гюйгенса для нахождения длины дуги окружности:
a1, a2 – хорды.
-
Длина дуги
Длина дуги окружности представляет собой часть длины самой окружности, поэтому она также будет зависеть от радиуса окружности. Поскольку дуга окружности образована определенным центральным углом, то ее длина, как и площадь сектора круга, – это определенная часть исходной длины окружности, относящаяся к ней как центральный угол сектора к полному углу круга в 360°. Поэтому формула длины дуги будет выглядеть следующим образом:
Формула длины дуги окружности через диаметр образуется подстановкой вместо радиуса половины диаметра:
Также можно подставить вместо радиуса корень из произведения площади круга на число π, выведенный из формулы площади круга:
Существует также формула Гюйгенса для расчета длины дуги окружности через хорду. Для того чтобы ей воспользоваться нужно провести перпендикуляр из середины хорды, соединяющий ее с самой дугой, а из точки соединения перпендикуляра с дугой провести еще два отрезка к концам хорды. Таким образом, мы получаем два конгруэнтных перпендикулярных треугольника, гипотенузы которых мы будем использовать в формуле под обозначением l, а саму хорду назовем L. Следует учитывать, что для углов более 60 градусов формула Гюйгенса дает ощутимую погрешность в расчетах.
