Как найти длину отрезка прямой заключенного внутри

2022-10-30   

Диагонали параллелограмм $ABCD$ пересекаются в точке $O$.
а) Докажите, что прямая, проходящая через вершину $B$ и середину отрезка $OC$, делит сторону $CD$ на отрезки, один из которых вдвое больше другого.
б) Пусть $ABCD$ – ромб с диагоналями $BD=18$, $AC=48$. Найдите длину отрезка этой прямой, заключённого внутри ромба.

Решение:

а) Пусть $M$ – середина $OC$, $N$ – точка пересечения прямой $BM$ со стороной $CD$. Из подобия треугольников $CMN$ и $AMB$ получаем, что

$frac{CN}{AB}=frac{CM}{AM}=frac{1}{3},$

поэтому

$CN=frac{1}{3}AB=frac{1}{3}CD.$

Следовательно, $DN=2CN$.
б) Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому треугольник $BOC$ прямоугольный с катетами $OB=9$ и $OC=24$. По теореме Пифагора

$BC=sqrt{OB^{2}+OC^{2}}=sqrt{9^{2}+24^{2}}=3sqrt{73},$

поэтому

$CN=frac{1}{3}CD=frac{1}{3}BC=sqrt{73}.$

Обозначим $angle BCD=alpha$. Из треугольника $BCD$ по теореме косинусов находим, что

$cosalpha=frac{BC^{2}+CD^{2}-BD^{2}}{2BCcdot CD}=frac{9cdot73+9cdot73-18^{2}}{2cdot3sqrt{73}cdotsqrt{73}}=frac{55}{73}.$

Следовательно,

$BN=sqrt{BC^{2}+CN^{2}-2BCcdot CNcosalpha}=sqrt{9cdot73+73-2cdot3sqrt{73}cdotsqrt{73}cdotfrac{55}{73}}=sqrt{10cdot73-6cdot55}=sqrt{400}=20.$