Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
Отрезки и прямые, связанные с окружностью
Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки – центра окружности
Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью
Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности
Отрезок, соединяющий две любые точки окружности
Хорда, проходящая через центр окружности.
Диаметр является самой длинной хордой окружности
Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.
Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания
Прямая, пересекающая окружность в двух точках
Фигура | Рисунок | Определение и свойства |
Окружность | ||
Круг | ||
Радиус | ||
Хорда | ||
Диаметр | ||
Касательная | ||
Секущая |
Окружность |
Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки – центра окружности
Круг
Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью
Радиус
Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности
Хорда
Отрезок, соединяющий две любые точки окружности
Диаметр
Хорда, проходящая через центр окружности.
Диаметр является самой длинной хордой окружности
Касательная
Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.
Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания
Секущая
Прямая, пересекающая окружность в двух точках
Свойства хорд и дуг окружности
Фигура | Рисунок | Свойство |
Диаметр, перпендикулярный к хорде | Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам. | |
Диаметр, проходящий через середину хорды | Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам. | |
Равные хорды | Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности. | |
Хорды, равноудалённые от центра окружности | Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны. | |
Две хорды разной длины | Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности. | |
Равные дуги | У равных дуг равны и хорды. | |
Параллельные хорды | Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны. |
Диаметр, перпендикулярный к хорде |
Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хорды
Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хорды
Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружности
Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длины
Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дуги
У равных дуг равны и хорды.
Параллельные хорды
Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:
Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.
Фигура | Рисунок | Теорема |
Пересекающиеся хорды | ||
Касательные, проведённые к окружности из одной точки | ||
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки | ||
Секущие, проведённые из одной точки вне круга |
Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:
Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.
Пересекающиеся хорды |
Касательные, проведённые к окружности из одной точки |
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки |
Секущие, проведённые из одной точки вне круга |
Пересекающиеся хорды |
Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).
Тогда справедливо равенство
Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство
откуда и вытекает требуемое утверждение.
Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).
Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство
Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство
откуда и вытекает требуемое утверждение.
Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).
Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство
Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).
Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства
откуда и вытекает требуемое утверждение.
Теорема о бабочке
Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.
Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:
Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим
Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим
Воспользовавшись теоремой 1, получим
Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим
Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство
откуда вытекает равенство
что и завершает доказательство теоремы о бабочке.
Касательная к окружности
О чем эта статья:
Касательная к окружности, секущая и хорда — в чем разница
В самом названии касательной отражается суть понятия — это прямая, которая не пересекает окружность, а лишь касается ее в одной точке. Взглянув на рисунок окружности ниже, несложно догадаться, что точку касания от центра отделяет расстояние, в точности равное радиусу.
Касательная к окружности — это прямая, имеющая с ней всего одну общую точку.
Если мы проведем прямую поближе к центру окружности — так, чтобы расстояние до него было меньше радиуса — неизбежно получится две точки пересечения. Такая прямая называется секущей, а отрезок, расположенный между точками пересечения, будет хордой (на рисунке ниже это ВС ).
Секущая к окружности — это прямая, которая пересекает ее в двух местах, т. е. имеет с ней две общие точки. Часть секущей, расположенная внутри окружности, будет называться хордой.
Свойства касательной к окружности
Выделяют четыре свойства касательной, которые необходимо знать для решения задач. Два из них достаточно просты и легко доказуемы, а вот еще над двумя придется немного подумать. Рассмотрим все по порядку.
Касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания, взаимно перпендикулярны.
Не будем принимать это на веру, попробуем доказать. Итак, у нас даны:
- окружность с центральной точкой А;
- прямая а — касательная к ней;
- радиус АВ, проведенный к касательной.
Докажем, что касательная и радиус АВ взаимно перпендикулярны, т.е. а ⟂ АВ.
Пойдем от противного — предположим, что между прямой а и радиусом АВ нет прямого угла и проведем настоящий перпендикуляр к касательной, назвав его АС.
В таком случае наш радиус АВ будет считаться наклонной, а наклонная, как известно, всегда длиннее перпендикуляра. Получается, что АВ > АС. Но если бы это было на самом деле так, наша прямая а пересекалась бы с окружностью два раза, ведь расстояние от центра А до нее — меньше радиуса. Но по условию задачи а — это касательная, а значит, она может иметь лишь одну точку касания.
Итак, мы получили противоречие. Делаем вывод, что настоящим перпендикуляром к прямой а будет вовсе не АС, а АВ.
Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.
Задача
У нас есть окружность, центр которой обозначен О. Из точки С проведена прямая, и она касается этой окружности в точке А. Известно, что ∠АСО = 28°. Найдите величину дуги АВ.
Мы знаем, что касательная АС ⟂ АО, следовательно ∠САО = 90°.
Поскольку нам известны величины двух углов треугольника ОАС, не составит труда найти величину и третьего угла.
∠АОС = 180° – ∠САО – ∠АСО = 180° – 90° – 28° = 62°
Поскольку вершина угла АОС лежит в центре окружности, можно вспомнить свойство центрального угла — как известно, он равен дуге, на которую опирается. Следовательно, АВ = 62°.
Если провести две касательных к окружности из одной точки, лежащей вне этой окружности, то их отрезки от этой начальной точки до точки касания будут равны.
Докажем и это свойство на примере. Итак, у нас есть окружность с центром А, давайте проведем к ней две касательные из точки D. Обозначим эти прямые как ВD и CD . А теперь выясним, на самом ли деле BD = CD.
Для начала дополним наш рисунок, проведем еще одну прямую из точки D в центр окружности. Как видите, у нас получилось два треугольника: ABD и ACD . Поскольку мы уже знаем, что касательная и радиус к ней перпендикулярны, углы ABD и ACD должны быть равны 90°.
Итак, у нас есть два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой AD. Учитывая, что радиусы окружности всегда равны, мы понимаем, что катеты AB и AC у этих треугольников тоже одинаковой длины. Следовательно, ΔABD = ΔACD (по катету и гипотенузе).. Значит, оставшиеся катеты, а это как раз наши BD и CD (отрезки касательных к окружности), аналогично равны.
Важно: прямая, проложенная из стартовой точки до центра окружности (в нашем примере это AD), делит угол между касательными пополам.
Задача 1
У нас есть окружность с радиусом 4,5 см. К ней из точки D, удаленной от центра на 9 см, провели две прямые, которые касаются окружности в точках B и C. Определите градусную меру угла, под которым пересекаются касательные.
Решение
Для этой задачи вполне подойдет уже рассмотренный выше рисунок окружности с радиусами АВ и АC. Поскольку касательная ВD перпендикулярна радиусу АВ , у нас есть прямоугольный треугольник АВD. Зная длину его катета и гипотенузы, определим величину ∠BDA.
∠BDA = 30° (по свойству прямоугольного треугольника: угол, лежащий напротив катета, равного половине гипотенузы, составляет 30°).
Мы знаем, что прямая, проведенная из точки до центра окружности, делит угол между касательными, проведенными из этой же точки, пополам. Другими словами:
∠BDC = ∠BDA × 2 = 30° × 2 = 60°
Итак, угол между касательными составляет 60°.
Задача 2
К окружности с центром О провели две касательные КМ и КN. Известно, что ∠МКN равен 50°. Требуется определить величину угла ∠NМК.
Решение
Согласно вышеуказанному свойству мы знаем, что КМ = КN. Следовательно, треугольник МNК является равнобедренным.
Углы при его основании будут равны, т.е. ∠МNК = ∠NМК.
∠МNК = (180° – ∠МКN) : 2 = (180° – 50°) : 2 = 65°
Соотношение между касательной и секущей: если они проведены к окружности из одной точки, лежащей вне окружности, то квадрат расстояния до точки касания равен произведению длины всей секущей на ее внешнюю часть.
Данное свойство намного сложнее предыдущих, и его лучше записать в виде уравнения.
Начертим окружность и проведем из точки А за ее пределами касательную и секущую. Точку касания обозначим В, а точки пересечения — С и D. Тогда CD будет хордой, а отрезок AC — внешней частью секущей.
Задача 1
Из точки М к окружности проведены две прямые, пусть одна из них будет касательной МA, а вторая — секущей МB. Известно, что хорда ВС = 12 см, а длина всей секущей МB составляет 16 см. Найдите длину касательной к окружности МA.
Решение
Исходя из соотношения касательной и секущей МА 2 = МВ × МС.
Найдем длину внешней части секущей:
МС = МВ – ВС = 16 – 12 = 4 (см)
МА 2 = МВ × МС = 16 х 4 = 64
Задача 2
Дана окружность с радиусом 6 см. Из некой точки М к ней проведены две прямые — касательная МA и секущая МB . Известно, что прямая МB пересекает центр окружности O. При этом МB в 2 раза длиннее касательной МA . Требуется определить длину отрезка МO.
Решение
Допустим, что МО = у, а радиус окружности обозначим как R.
В таком случае МВ = у + R, а МС = у – R.
Поскольку МВ = 2 МА, значит:
МА = МВ : 2 = (у + R) : 2
Согласно теореме о касательной и секущей, МА 2 = МВ × МС.
(у + R) 2 : 4 = (у + R) × (у – R)
Сократим уравнение на (у + R), так как эта величина не равна нулю, и получим:
Поскольку R = 6, у = 5R : 3 = 30 : 3 = 10 (см).
Ответ: MO = 10 см.
Угол между хордой и касательной, проходящей через конец хорды, равен половине дуги, расположенной между ними.
Это свойство тоже стоит проиллюстрировать на примере: допустим, у нас есть касательная к окружности, точка касания В и проведенная из нее хорда AВ. Отметим на касательной прямой точку C, чтобы получился угол AВC.
Задача 1
Угол АВС между хордой АВ и касательной ВС составляет 32°. Найдите градусную величину дуги между касательной и хордой.
Решение
Согласно свойствам угла между касательной и хордой, ∠АВС = ½ АВ.
АВ = ∠АВС × 2 = 32° × 2 = 64°
Задача 2
У нас есть окружность с центром О, к которой идет прямая, касаясь окружности в точке K. Из этой точки проводим хорду KM, и она образует с касательной угол MKB, равный 84°. Давайте найдем величину угла ОMK.
Решение
Поскольку ∠МКВ равен половине дуги между KM и КВ, следовательно:
КМ = 2 ∠МКВ = 2 х 84° = 168°
Обратите внимание, что ОМ и ОK по сути являются радиусами, а значит, ОМ = ОК. Из этого следует, что треугольник ОMK равнобедренный.
∠ОКМ = ∠ОМК = (180° – ∠КОМ) : 2
Так как центральный угол окружности равен угловой величине дуги, на которую он опирается, то:
∠ОМК = (180° – ∠КОМ) : 2 = (180° – 168°) : 2 = 6°
Хорда, секущая, касательная
Определения
Хорда – отрезок, соединяющий две точки окружности.
В частности, хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром .
Секущей к окружности называется прямая, которая пересекает окружность в двух различных точках.
Касательная к окружности — прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку.
Свойства
Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной
Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны.
Отрезки пересекающихся хорд связаны соотношением:
Произведения отрезков секущих, проведенных из одной точки, равны:
Квадрат отрезка касательной равен произведению отрезков секущей, проведенной из той же точки:
Если две окружности касаются внешним образом, то длина отрезка общей внешней касательной равна удвоенному среднему пропорциональному их радиусов Видеодоказательство
Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:
[spoiler title=”источники:”]
http://skysmart.ru/articles/mathematic/kasatelnaya-k-okruzhnosti
[/spoiler]
Секущая и хорда окружности
Зачем что-то знать о секущих и хордах в окружности?
Как обычно, знание свойств и закономерностей сильно облегчает жизнь.
Зная свойства секущих и хорд в окружности и закономерности (формулы), мы сможем решить многие задачи на ЕГЭ!
Поехали!
Секущая и хорда окружности — коротко о главном
Секущая окружности
Здесь ( displaystyle AC) – секущая окружности – начинается снаружи окружности и пересекает её в двух точках.
Хорда окружности
Здесь ( displaystyle BC) – хорда окружности – отрезок, соединяющий две точки на окружности.
Длина хорды
Пусть ( displaystyle AB) – хорда, ( displaystyle R) – радиус, ( displaystyle angle AСB) – любой вписанный угол, опирающийся на хорду ( displaystyle AB). Тогда:
( displaystyle AB=2Rsin alpha).
Произведение длин отрезков хорд и секущих
Для любых двух хорд, проходящих через некоторую точку ( displaystyle A), выполняется:
( displaystyle ABcdot AC=ADcdot AE).
Теорема о секущей и касательной
Для любых секущей и касательной, проходящих через точку ( A), верно:
( displaystyle A{{C}^{2}}=ADcdot AE).
А теперь подробнее…
Определения секущей и хорды окружности
Давай прежде всего вспомним, что такое секущая и хорда. Смотри на картинки.
Здесь ( displaystyle AC) – секущая окружности – начинается снаружи окружности и пересекает её в двух точках.
Здесь ( displaystyle BC) – хорда окружности – отрезок, соединяющий две точки на окружности.
Кстати, заметил ли ты, что на первом рисунке хорда ( displaystyle BC) является кусочком секущей ( displaystyle AC)?
Вот так всегда и бывает: если есть секущая, то один её кусок – хорда, а второй называется внешняя часть, ну, как у нас ( displaystyle AB) – она же снаружи, верно?
Что же мы должны знать о секущей и хорде окружности?
Всего-то 2-3-4 утверждения. Давай начнём с того, что ты, возможно, уже читал в разделе «Теорема синусов» и «Теорема косинусов» — с длины хорды в окружности.
Длина хорды окружности
Пусть ( displaystyle AB) – хорда, ( displaystyle R) – радиус, ( displaystyle angle ACB) – любой вписанный угол, опирающийся на хорду ( displaystyle AB).
Тогда ( Largefrac{AB}{sin alpha }=2R)
Узнал теорему синусов?
Значит, длину хорды окружности можно найти по формуле:
Произведение длин отрезков хорд и секущих
Сейчас мы сформулируем очень важное, пожалуй, даже основное свойство хорд и секущих окружности.
Словами это свойство формулировать неудобно – получается длинно и некрасиво, поэтому ограничимся буквами.
Произведение длин отрезков хорд окружности
Для любых двух хорд окружности, проходящих через некоторую точку ( displaystyle A), выполняется: ( displaystyle ABcdot AC=ADcdot AE)
Произведение длин отрезков секущих окружности
Для любых двух секущих, проходящих через некоторую точку ( displaystyle A), выполняется: ( displaystyle ABcdot AC=ADcdot AE)
Вопрос первый: Почему мы сформулировали утверждения друг под другом столбиком?
Ответ: Утверждения очень похожи – если закрыть картинки и слова, то получится просто одно и то же – удивительно, не правда ли? Ну, и это сходство гораздо лучше видно, когда утверждения стоят рядом.
Вопрос второй: Как не перепутать, что на что умножать?
Произведение длин отрезков хорд окружности — доказательство
Повторим формулировку.
Для любых двух хорд, проходящих через некоторую точку ( displaystyle A), выполняется: ( ABcdot AC=ADcdot AE)
А теперь докажем.
Рассмотрим ( triangle ABD) и ( triangle AEC). У них углы ( displaystyle A) равны как вертикальные и ( angle DBC=angle DEC), потому что они опираются на одну дугу ( displaystyle DC).
Значит, ( displaystyle triangle ABDsim triangle AEC) по двум углам (вспоминаем признаки подобия треугольников).
Запишем, что же нам даёт это подобие (и откроем маленький секрет!).
Произведение длин отрезков секущих окружности — доказательство
Еще раз формулировку…
Для любых двух секущих, проходящих через некоторую точку ( displaystyle A), выполняется: ( ABcdot AC=ADcdot AE)
Снова рассмотрим ( displaystyle triangle ABD) и ( displaystyle triangle AEC).
- У них есть общий ( angle A);
- Четырехугольник ( BCED) — вписанный (срочно повторяем или читаем тему «Окружность. Вписанный угол»).
Значит, ( angle 1+angle 2=180{}^circ ) (сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна ( 180{}^circ )). Но ( angle 2+angle 3=180{}^circ ) — как смежные углы (смотри на картинку).
Что же получилось?
( left{ begin{array}{l}angle 1+angle 2=180{}^circ \angle 2+angle 3=180{}^circ end{array} right.Rightarrow angle 1=angle 3)
То есть ( underbrace{angle ACE}_{в triangle AEC}=underbrace{angle ADB}_{в triangle ABD }).
Из всего этого следует, что ( triangle AECsim triangle ABD) по двум углам (( angle A) – общий и ( angle ACE=angle ADB)).
Снова запишем отношение соответствующих сторон:
Теорема о секущей и касательной (секретное оружие)
А сейчас «секретное» оружие — теорема о секущей и касательной. Почему секретное?
Потому что множество задач ОГЭ и ЕГЭ можно решить с помощью этой теоремы. А акцент на ней в учебнике не делается. То есть ее как бы нет…
В предыдущем пункте мы выяснили, что ( ABcdot AC=ADcdot AE)
Но возникает вопрос: а что будет, если секущая ( AC) и «превратится» в касательную?
Видишь: осталось всего три зелёных точки? Оказывается, ничего страшного, всё почти так же. Формулируем:
Для любых секущей и касательной, проходящих через точку ( A), верно: ( Large A{{C}^{2}}=ADcdot AE).
Тут точки ( B) и ( C) как бы слились в одну – и на рисунке, и в формуле. Заметил?
Самые бюджетные курсы по подготовке к ЕГЭ на 90+
Алексей Шевчук — ведущий мини-групп
математика, информатика, физика
+7 (905) 541-39-06 — WhatsApp/Телеграм для записи
alexei.shevchuk@youclever.org — email для записи
- тысячи учеников, поступивших в лучшие ВУЗы страны
- автор понятного всем учебника по математике ЮКлэва (с сотнями благодарных отзывов);
- закончил МФТИ, преподавал на малом физтехе;
- репетиторский стаж — c 2003 года;
- в 2021 году сдал ЕГЭ (математика 100 баллов, физика 100 баллов, информатика 98 баллов — как обычно дурацкая ошибка:);
- отзыв на Профи.ру: «Рейтинг: 4,87 из 5. Очень хвалят. Такую отметку получают опытные специалисты с лучшими отзывами».
6. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть II
1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Окружность: важные теоремы, связанные с длинами отрезков
(blacktriangleright) Если радиус перпендикулярен хорде, то он делит ее пополам;
(blacktriangleright) Если вписанный угол – прямой, то он опирается на диаметр;
(blacktriangleright) Произведения отрезков хорд равны; [large{AO
cdot OC=BOcdot OD}]
(blacktriangleright) Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть; [large{OA^2=OBcdot OC}]
(blacktriangleright) Произведения двух секущих, проведенных из одной точки вне окружности, на их внешние части одинаковы;[large{
OAcdot OC=OBcdot OD}]
(blacktriangleright) Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны;[large{OA=OB}]
(blacktriangleright) Если хорды отсекают от окружности равные дуги (меньшие полуокружности), то такие хорды равны.
Задание
1
#642
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Хорды (AB) и (CD) пересекаются в точке (P), причём (AP = 6), (PB = 4), (PC = 3). Найдите (PD).
Произведение отрезков одной из пересекающихся хорд равно произведению отрезков другой. Покажем это:
Соединим (AC) и (BD)
Рассмотрим треугольники (APC) и (PBD):
(angle APC = angle BPD), как вертикальные,
(angle ACD) и (angle ABD) – вписанные, опирающиеся на одну дугу, следовательно, (angle ACD = angle ABD).
Таким образом, треугольники (APC) и (PBD) – подобны по двум углам. Из их подобия следует, что [dfrac{CP}{PB} = dfrac{AP}{PD}] (в подобных треугольниках против равных углов лежат пропорциональные стороны), откуда можно получить (CP cdot PD = AP cdot PB).
В данной задаче имеем: (3 cdot PD = 6 cdot 4), откуда (PD = 8).
Ответ: 8
Задание
2
#2170
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Из точки (A) вне окружности проведена касательная (AB) и секущая (AD), как показано на картинке.
Найдите длину отрезка (CD), если (AC=5), а длина отрезка касательной равна (10).
Т.к. квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть, то [AB^2=ACcdot AD=ACcdot (AC+CD),] откуда [10^2=5cdot (5+CD) quad Rightarrow quad CD=15.]
Ответ: 15
Задание
3
#2171
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Из точки (A) вне окружности проведена касательная (AB) и секущая (AD), как показано на картинке.
Найдите длину отрезка (AC), если (CD=14), а (AB=6sqrt2).
Т.к. квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть, то [AB^2=ACcdot AD=ACcdot (AC+CD),] откуда [(6sqrt2)^2=ACcdot (AC+14) quad Rightarrow quad AC^2+14AC-72=0
quad Rightarrow quad AC=4 text{ или } AC=-18]
Т.к. длина отрезка – неотрицательное число, то (AC=4).
Ответ: 4
Задание
4
#641
Уровень задания: Равен ЕГЭ
В треугольнике (ABC): (angle C = 90^{circ}), (AB = 10), (CO) – медиана. Найдите длину (CO).
В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине. Покажем это:
Опишем около треугольника (ABC) окружность
(angle ACB = 90^{circ}) – вписанный, тогда он равен половине градусной меры дуги, на которую опирается, следовательно, градусная мера дуги (AB) равна (180^{circ}), а значит, (AB) – диаметр и (O) – центр описанной около (ABC) окружности, тогда (AO = OC) как радиусы. [OC = AO = 0,5 cdot AB = 5.]
Ответ: 5
Задание
5
#2818
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Дана окружность с центром в точке (O) и радиусом (R). Её хорды (AB) и (CD) пересекаются в точке (K). Известно, что (AK = KB), (CK = AB). Найдите (KD : CD).
Так как (AB) и (CD) – пересекающиеся в точке (K) хорды, то [AKcdot KB = CKcdot KD]
Тогда (AK^2 = 2AKcdot KD), откуда [KD = 0,5AK = 0,25 AB = 0,25 CK,] следовательно, (CK = 4KD), тогда (CD = CK + KD = 5KD), откуда (KD : CD = 0,2).
Ответ: 0,2
Задание
6
#643
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Луч (PA) касается окружности в точке (A), а луч (PC) пересекает эту окружность в точках (B) и (C). При этом (PA = 4), (PC = 8). Найдите (PB).
Квадрат отрезка касательной равен произведению отрезков секущей: (AP^2 = PB cdot PC). Покажем это:
Соединим (AB) и (AC)
Рассмотрим треугольники (APB) и (APC):
(angle APC) – общий,
Так как угол между касательной и хордой равен половине градусной меры дуги окружности, заключённой внутри него, то (angle PAB = 0,5cdot smile AB = angle ACB).
Таким образом, треугольники (APC) и (APB) – подобны по двум углам. Из их подобия следует, что [dfrac{AP}{PC} = dfrac{PB}{AP}] (в подобных треугольниках против равных углов лежат пропорциональные стороны), откуда можно получить (AP^2 = PB cdot PC).
В данной задаче имеем: (16 = PB cdot 8), откуда (PB = 2).
Ответ: 2
Задание
7
#644
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Точки (B), (C), (D) и (E) угла (CAE) лежат на окружности, причём точка (B) лежит на (AC), (AB = 3), (AC = 6), (AD = 2). Найдите (DE).
Произведение отрезков секущих равны: (AB cdot AC = AD cdot AE). Покажем это:
Построим (AF) – касательную
Так как квадрат отрезка касательной равен произведению отрезков секущей, то (AB cdot AC = AF^2 = AD cdot AE).
В данной задаче имеем: (18 = 2 cdot AE), откуда (AE = 9), тогда (DE = AE – AD = 9 – 2 = 7).
Ответ: 7
Если старшеклассник готовится к сдаче ЕГЭ по математике базового уровня и при этом рассчитывает на получение конкурентных баллов, ему непременно стоит повторить все теоремы, связанные с длинами отрезков.
Как показывает практика, подобные планиметрические задания включаются в аттестационное испытание каждый год. Это означает, что справляться с задачами ЕГЭ на применение теорем, связанных с длинами отрезков, должны все выпускники, независимо от уровня их подготовки.
Полезная информация
Для того чтобы решить задачи ЕГЭ с применением теорем, связанных с длинами отрезков, рекомендуется следовать определенного алгоритму. Сначала стоит выполнить чертеж. Затем нужно нанести на него все известные параметры исходя из условия задачи. После этого стоит вспомнить относящиеся к ним понятия и теоремы. Затем отразите на чертеже все соотношения между элементами, которые следуют из них логически. Сопоставив имеющиеся параметры, вы сможете найти правильный ответ.
Как подготовиться к экзамену?
Планиметрические задачи вызывают у вас сложность? Образовательный портал «Школково» поможет восполнить пробелы в знаниях. На нашем сайте учащиеся смогут найти и повторить материал, который вызывает затруднения. Наши специалисты собрали и изложили всю теоретическую информацию в максимально доступной и понятной форме.
Все упражнения на сайте, например, задачи на тему «Окружность в ЕГЭ», содержат подробный алгоритм решения и правильный ответ. Выполнять простые и более сложные задания школьники из Москвы и других городов могут в режиме онлайн. Любое задание в случае необходимости возможно сохранить в разделе «Избранное». Это позволит в дальнейшем вернуться к нему для обсуждения с преподавателем или репетитором.
УСТАЛ? Просто отдохни
По свойству отрезков касательных
Правило
Свойство отрезков касательных к окружности, проведенных из одной точки
Отрезки касательных, проведенные из одной точки, равны.
(displaystyle CB=CA )
получаем:
(displaystyle CB=CA=4sqrt{2} {small .} )
Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник (displaystyle CAB {small .})
По теореме Пифагора
(displaystyle AB^2=AC^2+CB^2 {small .})
Значит,
(displaystyle AB^2=(4sqrt{2})^2+(4sqrt{2})^2=32+32=64 {small .})
Так как длина отрезка положительна, то
(displaystyle AB=8 {small .})
Ответ: (displaystyle 8 {small .})
Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:
Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.
Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:
Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.
Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:
Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.
Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Тогда справедливо равенство
откуда и вытекает требуемое утверждение.
Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство
откуда и вытекает требуемое утверждение.
Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство
Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства
откуда и вытекает требуемое утверждение.
Теорема о бабочке
Воспользовавшись теоремой 1, получим
Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим
откуда вытекает равенство
что и завершает доказательство теоремы о бабочке.
Источник
Касательная к окружности
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Касательная к окружности, секущая и хорда — в чем разница
В самом названии касательной отражается суть понятия — это прямая, которая не пересекает окружность, а лишь касается ее в одной точке. Взглянув на рисунок окружности ниже, несложно догадаться, что точку касания от центра отделяет расстояние, в точности равное радиусу.
Фигура | Рисунок | Теорема |
Пересекающиеся хорды | ||
Касательные, проведённые к окружности из одной точки | ||
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки | ||
Секущие, проведённые из одной точки вне круга | ||
Касательные, проведённые к окружности из одной точки | ||
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки | ||
Секущие, проведённые из одной точки вне круга | ||
Касательная к окружности — это прямая, имеющая с ней всего одну общую точку.
Если мы проведем прямую поближе к центру окружности — так, чтобы расстояние до него было меньше радиуса — неизбежно получится две точки пересечения. Такая прямая называется секущей, а отрезок, расположенный между точками пересечения, будет хордой (на рисунке ниже это ВС ).
Секущая к окружности — это прямая, которая пересекает ее в двух местах, т. е. имеет с ней две общие точки. Часть секущей, расположенная внутри окружности, будет называться хордой.
Свойства касательной к окружности
Выделяют четыре свойства касательной, которые необходимо знать для решения задач. Два из них достаточно просты и легко доказуемы, а вот еще над двумя придется немного подумать. Рассмотрим все по порядку.
Касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярны.
Не будем принимать это на веру, попробуем доказать. Итак, у нас даны:
Докажем, что касательная и радиус АВ перпендикулярны, т.е. а ⟂ АВ.
Пойдем от противного — предположим, что между прямой а и радиусом АВ нет прямого угла и проведем настоящий перпендикуляр к касательной, назвав его АС.
В таком случае наш радиус АВ будет считаться наклонной, а наклонная, как известно, всегда длиннее перпендикуляра. Получается, что АВ > АС. Но если бы это было на самом деле так, наша прямая а пересекалась бы с окружностью два раза, ведь расстояние от центра А до нее — меньше радиуса. Но по условию задачи а — это касательная, а значит, она может иметь лишь одну точку касания.
Итак, мы получили противоречие. Делаем вывод, что настоящим перпендикуляром к прямой а будет вовсе не АС, а АВ.
Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.
Задача
У нас есть окружность, центр которой обозначен О. Из точки С проведена прямая, и она касается этой окружности в точке А. Известно, что ∠АСО = 28°. Найдите величину дуги АВ.
Мы знаем, что касательная АС ⟂ АО, следовательно ∠САО = 90°.
Поскольку нам известны величины двух углов треугольника ОАС, не составит труда найти величину и третьего угла.
Поскольку ∠АОС лежит в центре окружности, можно вспомнить свойство центрального угла — как известно, он равен дуге, на которую опирается. Следовательно, ⌒АВ = 62°.
Если провести две касательных к окружности из одной точки, то их отрезки от этой начальной точки до точки касания будут равны.
Итак, у нас есть два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой AD. Учитывая, что радиусы окружности всегда равны, мы понимаем, что катеты AB и AC у этих треугольников тоже одинаковой длины. Следовательно, ΔABD = ΔACD. Значит, оставшиеся катеты, а это как раз наши BD и CD (отрезки касательных к окружности), аналогично должны быть равны.
Важно: прямая, проложенная из стартовой точки до центра окружности (в нашем примере это AD), делит угол между касательными пополам.
Задача 1
У нас есть окружность с радиусом 4,5 см. К ней из точки D, удаленной от центра на 9 см, провели две прямые, которые касаются окружности в точках B и C. Определите градусную меру угла, под которым пересекаются касательные.
Решение
sin BDA = AB : AD = 4,5 : 9 = 0,5
Мы знаем, что прямая, проложенная из точки до центра окружности, делит угол между касательными, проложенными из этой же точки, пополам. Другими словами:
∠BDC = ∠BDA × 2 = 30° × 2 = 60°
Итак, угол между касательными составляет 60°.
Задача 2
К окружности с центром О провели две касательные КМ и КN. Известно, что ∠МКN между ними равен 50°. Требуется определить величину угла ∠NМК.
Решение
Согласно вышеуказанному свойству мы знаем, что КМ = КN. Следовательно, треугольник МNК является равнобедренным.
Углы при его основании будут равны, т.е. ∠МNК = ∠NМК.
Соотношение между касательной и секущей: если они проведены к окружности из одной точки, то квадрат расстояния до точки касания равен произведению длины всей секущей на ее внешнюю часть.
Данное свойство намного сложнее предыдущих, и его лучше записать в виде уравнения.
Начертим окружность и проведем из точки А за ее пределами касательную и секущую. Точку касания обозначим В, а точки пересечения — С и D. Тогда CD будет хордой, а отрезок AC — внешней частью секущей.
Задача 1
Из точки М к окружности опускаются две прямые, пусть одна из них будет касательной МA, а вторая — секущей МB. Известно, что хорда ВС = 12 см, а длина всей секущей МB составляет 16 см. Найдите длину касательной к окружности МA.
Решение
Исходя из соотношения касательной и секущей МА 2 = МВ × МС.
Найдем длину внешней части секущей:
МА 2 = МВ × МС = 16 х 4 = 64
Задача 2
Решение
Допустим, что МО = у, а радиус окружности обозначим как R.
В таком случае МВ = у + R, а МС = у – R.
Поскольку МВ = 2 МА, значит:
МА = МВ : 2 = (у + R) : 2
Согласно теореме о касательной и секущей, МА 2 = МВ × МС.
Сократим уравнение на (у + R) и получим:
Поскольку R = 6, у = 5R : 3 = 30 : 3 = 10 (см).
Угол между хордой и касательной, проходящей через конец хорды, равен половине дуги, расположенной между ними.
Это свойство тоже стоит проиллюстрировать на примере: допустим, у нас есть касательная к окружности, точка касания В и проведенная из нее хорда AВ. Отметим на касательной прямой точку C, чтобы получился угол AВC.
Задача 1
Угол АВС между хордой АВ и касательной ВС составляет 32°. Найдите градусную величину дуги между касательной и хордой.
Решение
Согласно свойствам угла между касательной и хордой, ∠АВС = ½ ⌒АВ.
⌒АВ = ∠АВС × 2 = 32° × 2 = 64°
Задача 2
У нас есть окружность с центром О, к которой идет прямая, касаясь окружности в точке K. Из этой точки проводим хорду KM, и она образует с касательной угол MKB, равный 84°. Давайте найдем величину угла ОMK.
Решение
Поскольку ∠МКВ равен половине дуги между KM и КВ, следовательно:
⌒КМ = 2 ∠МКВ = 2 х 84° = 168°
Обратите внимание, что ОМ и ОK по сути являются радиусами, а значит, ОМ = ОК. Из этого следует, что треугольник ОMK равнобедренный.
Так как центральный угол окружности равен угловой величине дуги, на которую он опирается, то:
Источник
Adblock
detector