Как найти длину отрезка в равнобедренной трапеции

геометрия – Нахождение длины отрезка в трапеции

Vac
	1
Найти длину отрезка в равнобедренной трапеции 03.10.2012, 22:54. Показов 959. Ответов 0 Метки нет (Все метки) Здравствуйте. Помогите мне, пожалуйста, со следующей парой задачек по планиметрии. Буду очень сильно благодарен… 2. В равнобедренной трапеции ABCD угол при основании AD равен α, длина боковых сторон равна b. Окружность, касающаяся сторон AB и AD, проходит через вершину C и пересекает стороны BC и CD в точках M и N, соответственно. Известно, что CN/ND=3/1. Нужно найти BM.

Трапеция — это выпуклый четырехугольник с двумя параллельными основами и двумя непараллельными
боковыми сторонами.

Иногда фигура определяется как четырёхугольник, у которого пара противолежащих сторон параллельна,
поэтому параллелограмм и прямоугольник являются частными случаями трапеции. Также это
четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна, а остальные стороны не
равны между собой.
Параллельные стороны называются основами, а остальные боковыми.

Вычисление стороны необходимо для нахождения периметра, площади трапеции, ее диагоналей и других
значимых параметров.

Длина основания через среднюю линию и известное основание

Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон фигуры. Через её значение
вычисляется одна из основ. Нужно умножить ее на два и вычесть известную:

a = 2m – b

Например, средняя линия MN равна 6, а основание а – 9. Соответственно, значения, подставленные в
формулу, показывают, что b = 2*6 – 9 = 3.

Нижнее основание через верхнее основание, высоту и углы при нижнем основании

Высота h или BK – перпендикуляр, проведенный от одной основы к другой. Высота проводится в любой их
точке, но удобнее всего это делать из вершины углов при меньшей основе. Чтобы найти нижнее
основание, надо к верхнему прибавить произведение высоты на сумму котангенсов углов при нижнем:

a = b + h*(ctga + ctgb)

Дано верхнее основание 10, высота 6 и углы 30 и 45. По формуле а = 10 + 6*(3+1) = 10 + 63 + 6 = 16+63.
Для равнобедренного четырёхугольника выведены две формулы. В первой (a = 2S/h – b) основа выражена с
помощью формулы площади. Пример: Площадь равнобедренной трапеции ABCD = 18, высота = 6, а AD = 5.
Найти BC. BC = 2*18/6 – 5 = 6 – 5 = 1

Второе выражение сформулировано следующим образом: (a = b + 2h*ctga). Высота АН в трапеции ADEF =
10, DE = 4, а DAF = 45 градусам. Найти AF: AF = 4 + 10*2*1 = 24

Верхнее основание через нижнее основание, высоту и углы при нижнем основании

Чтобы найти верхнюю основу, надо из нижней вычесть произведение высоты на сумму котангенсов углов при
ней:

b = a – h*(ctg α + ctg β)

Дана трапеция с нижним основанием 15, высотой 8 и углами в 45 градусов. По формуле а = 15 + 8*(1+1) =
15 + 16 = 31

Формулы для равнобедренного четырёхугольника: b = 2S/h – a и b = a – 2h*ctga.

• Площадь трапеции KLMN = 44, KL=MN, высота равна 8, KN = 5. Найти LM: LM = 44*2/8 – 5 = 6
• Высота трапеции DEFG = 15, DG= 5, а EDG = 45 градусам. Найти EF: EF = 5 + 15*2*1 = 35

Нижнее основание через боковые стороны, верхнее основание и углы при нижнем основании

Для нахождения основы а нужно к основе b прибавить произведение одной и другой стороны и косинусов
углов при них

a = b + c * cos α + d * cos β

Дана равнобокая трапеция с верхним основанием 6, боковыми сторонами 5 и 11 и углами в 45 градусов.
Найти нижнее основание: а = 6 + 5*2/2 + 11*2/2 = 6 + 162/2 = 6 + 82

Отдельно для подобного типа фигур было выведено два выражения: a = (d1^2 – c^2)/b и a = b +
2c*cosa.

• трапеции ABCD AB = CD = 8, диагональ AC = 12, а BC = 4. Вычислить AD: AD = (12*12 – 8*8)/4
  = (144 – 64)/4 = 20
• В трапеции KLMN KL = MN = 4, LM = 7, а LKN равен 30 градусам. Вычислить KN: KN = 7 +
  4*2*3/2 = 7 + 43

Верхнее основание через боковые стороны, нижнее основание и углы при нем

Для нахождения основы b нужно из основы а вычесть произведение одной и другой боковой стороны и углов
при них

b = a – c * cos α – d * cos β

Дана трапеция с нижним основанием 27, боковыми сторонами 20 и 14 и углами в 30 и 60 градусов. Найти
верхнее основание: b = 27 — 20*3/2 — 14*1/2 = 27 — 103 — 7 = 20 —
103. Формулы для равнобедренного типа: b = (d1^2 — c^2)/a и b = a — 2c*cosa.

• В трапеции DEFG DE и FG = 11, диагональ АС = 13, а EF = 12. Вычислить DG: DG = (13*13 –
  11*11)/12= (169 – 121)/12 = 4
• Боковые стороны трапеции BCDE BC и DE = 25, BE = 10, а CBE равен 60 градусам. Вычислить CD:
  CD = 25 – 10*2*1/2 = 15

Боковая сторона через высоту и угол при нижнем основании

Чтобы найти боковую сторону, надо разделить высоту на синус угла при ней

d = h / sin α

Дана трапеция с высотой 12 и углами в 30 и 60 градусов. Найти боковые стороны: c = 12/0,5 =
24, d = 12/3/2 = 243

Для прямоугольного типа формулы несколько отличаются. Самая простая из них связывает высоту и меньшую
боковую сторону: c = h.
Для нее существует еще несколько формул: с = d*sina; c = (a – b)*tga; c
= (d^2 – (a – b)^2)

• В прямоугольной трапеции CDEF сторона EF равна 22, а прилежащий угол = 45. Найти CD. CD =
  22*2/2 = 112
• Прямоугольная трапеция MNOP имеет основания MP и NO, равные 32 и 19 соответственно. NMP равен 60
  градусам. Найти MP: MP = (32 – 19)*3 = 133
• В прямоугольной трапеции ABCD AD и BC равны 35 и 15 соответственно. Диагональ АС = 26. Найти AB.
  AB = (26^2 – (35 – 15)^2) = 676 – 400 = 276 = 269

Первая вытекает из прямоугольного треугольника и свидетельствует о том, что отношение катета к
гипотенузе равно синусу противолежащего угла. В этом треугольнике второй катет равен разности двух
оснований. Отсюда возникает утверждение, приравнивающее тангенс угла к отношению катетов. Третья
формула выведена на основании теоремы Пифагора.

Для второй боковой стороны выведено и записано три выражения: d = (a — b)/cosa; d = c/sina; d =
(c^2 — (a — b)^2). Первое и второе получаются из соотношения сторон в прямоугольном
треугольнике, а третье выводится из теоремы Пифагора.

• В прямоугольной трапеции KLMN KN = 28, LM = 13 а прилежащий угол = 30. Найти KL: KL = (28 –
  13)/3/2 = 103
• В прямоугольной трапеции EFGH EF равна 45. FEH равен 30 градусам. Найти GH: GH = 45/0,5 =
  90
• В прямоугольной трапеции NOPQ NQ и OP =.36 и 17. Диагональ равна 29. Найти NO: NO = (29^2 –
  (36 – 17)^2) = 841 – 361= 480 = 430

Для равнобокой трапеции существуют формулы c = d1^2 – ab; c = (a – b)/2cosa; c = S/m*sina; c =
2S/(a+b)*sina.

• В трапеции LMNO LM = NO. LO = 16, MN = 6, диагональ равна 10. Найти LM: LM = 10^2 – 16*6 =
  100 – 96 = 4
• Трапеция ABCD – равнобокая, AB = CD. AD = 18, BC = 4, а прилежащий угол равен 45 градусам. Найти
  AB: AB = (18 – 4)/2/2 = 14/2/2 = 14/2
• В трапеции BCDE BC=DE. Площадь фигуры равна 48, BE = 17, CD = 7, а CBE равен 30 градусам.
  Вычислить BC: m = (17 – 7)/2 = 5, BC = 48/5*1/2 = 96/5 = 19,2
• Площадь равнобедренной трапеции KLMN = 90, основания KN и LM = 32 и 18 соответственно, а LKN =
  60 градусов. Вычислить KL: KL = 2*90/(32 + 18)*3/2 = 360/503 = 129600/7500 = 17,28

Виды трапеций

Существуют следующие виды трапеций:

• Равнобедренная трапеция — фигура, у которой боковые стороны и углы при основании равны.
  Диагонали также равны. Треугольники, образованные диагоналями и основой, являются
  равнобедренными. Если диагонали взаимно перпендикулярны, то площадь равна квадрату высоты. Если
  разделить обе основы пополам и повести через эти точки линию, то она будет осью геометрической
  фигуры. Отрезки, последовательно соединяющие середины смежных сторон, образуют ромб.
• Прямоугольная трапеция — фигура, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основам
  и равна высоте. Два угла будут равны 90 градусам, и они всегда принадлежат смежным вершинам, а
  другие всегда острый и тупой, их сумма всегда будет равна 180 градусам. Каждая диагональ
  образует с ее меньшей боковой стороной прямоугольный треугольник. А высота, которая проведена из
  вершины с тупым углом, делит фигуру на две. Одна из них прямоугольник, другая прямоугольный
  треугольник.
• Разносторонняя трапеция — фигура, боковые стороны которой не равны и углы при основании не
  являются прямыми. Ее диагонали делят фигуру на четыре треугольника, два из которых подобны, а
  остальные — равновелики, то есть имеют одинаковые площади. Сумма углов при боковой стороне 180
  градусов.

Свойства трапеции

1. Средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме.
2. Любая биссектриса, выведенная из угла четырёхугольника, отсекает на основании (продолжении)
   отрезок с длиной боковой стороны.
3. Треугольники AOD и COD, образованные отрезками диагоналей и основами, подобны.
   Коэффициент
   подобия – k = AD/BC.
   Отношение площадей треугольников — k^2.
4. Треугольники ABO и DCO, образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами, имеют одинаковую
   площадь.
5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований равняется сумме её боковых сторон.
6. Середины оснований, точка пересечения диагоналей трапеции и точка пересечения продолжений
   боковых сторон лежат на одной прямой.
7. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равняется половине разности основ и лежит на средней
   линии.

Ну про гугл это не ко мне. Но задачу вам решу.

Обозначим трапецию ABCD, (нижнее основание AD=a, верхнее BC=b) точку пересечения диагоналей – O, линию параллельную основаниям и проходящую через O обозначим – MN. Смотрим рисунок.

1) Рассмотрим ∆ВСО и ∆ADO – они подобны по 2 углам. ∠CBO=∠ADO (накрест лежащие при параллельных прямых) и углы O – вертикальные. Соответственно коэффициент подобия равен отношению сторон AD/BC = a/b

Проведем высоту EF через точку O, соответсвенно OF и OE – высоты в ∆ADO и ∆ВСО и тоже относятся с коэффициентом подобия : OF/OE = a/b

---

Ну а дальше идет решение такое же как при выводе формулы средней линии.

2) Проводим высоты BH₁ и CH₂. Смотрим ∆AH₁B и ∆MKB – они подобны по 2 углам: ∠B – общий и они прямоугольные. И AH₁/MK = KH₁/KB = OF/OE = (a+b)/b. Откуда MK = AH₁•b/(a+b)

Аналогично из подобия ∆CH₂D и ∆CLN: LN = DH₂•b/(a+b)

---

Так как KL = BC = b, то

MN = MK + KL + LN = b + (b/(a+b))•(AH₁ + DH₂)

Теперь посмотрим на AD: AD = AH₁ + H₁H₂ + DH₂, так как AD = a, H₁H₂ = BC = b, то

AH₁ + DH₂ = a – b

И получаем

MN = b + (b/(a+b))•(a-b) = b•(a+b) + b•(a-b)/(a+b) = b•2a/(a+b) = 2ab)/(a+b)

Ответ: MN = 2ab/(a+b)