Как найти длину отрезков на координатной прямой - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Длина отрезка – это то же самое, что и расстояние между двумя точками.

Можно рассмотреть несколько случаев, когда эта длина неизвестна

пример 1

есть на прямой три точки, которые образуют три отрезка

Чтобы найти отрезок побольше, нужно два меньших сложить.

Чтобы найти меньший отрезок, нужно от большого отнять другой меньший

АС=АВ-СВ или СВ=АВ-АС

пример 2

найдем длину отрезка на координатной прямой.

отрезок лежит между точками А(-5) и В(9), тогда его длина 9-(-5)=14

пример 3

найдем длину отрезка на координатной плоскости.

здесь тоже все просто – по координатам находим длину условных катетов прямоугольного треугольника а дальше по формуле Пифагора находим длину.

Источник

Загрузить PDF

Найти длину вертикального или горизонтального отрезка на координатной плоскости можно с помощью координат, а вот сделать это с диагональным отрезком сложнее. Длину диагонального отрезка можно вычислить по формуле, которая основана на теореме Пифагора, где гипотенузой прямоугольного треугольника является наш диагональный отрезок.^[1] С помощью этой формулы можно быстро найти длину любого отрезка на координатной плоскости.

1

Запишите формулу для вычисления длины. Формула: $d={sqrt {(x_{{2}}-x_{{1}})^{{2}}+(y_{{2}}-y_{{1}})^{{2}}}}$ , где — длина отрезка, $(x_{{1}},y_{{1}})$ — координаты начальной точки отрезка, $(x_{{2}},y_{{2}})$ — координаты конечной точки отрезка.^[2]
2

Найдите координаты точек отрезка. Возможно, они будут даны. Если нет, найдите их по осям Х и Y.^[3]
3

Подставьте координаты в формулу. Будьте внимательны и подставьте значения соответствующих переменных. Две координаты должны находится внутри первой пары скобок, а две координаты — внутри второй пары скобок.^[4]

Реклама

1

Выполните вычитание в скобках. Сделайте это, потому что операции в скобках имеют приоритет.^[5]
2

Возведите в квадрат полученные значения. В нашем случае возведение в степень — это вторая по важности операция.^[6]
3

Сложите числа под знаком корня. Делайте вычисления так, как будто работаете с целыми числами.
4

Вычислите длину отрезка . Для этого извлеките корень из полученной суммы чисел.

Реклама

Советы

Не путайте эту формулу с другими, например, с формулой для вычисления углового коэффициента или с линейным уравнением.
Помните о порядке выполнения математических операций. Сначала вычтите, затем возведите в квадрат, затем сложите, а затем извлеките квадратный корень.

Об этой статье

Эту страницу просматривали 24 399 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Вам понадобится:

Линейка
Умение проводить элементарные арифметические операции

Отрезок – геометрическое место точек, находящихся на одной прямой и заключенных в пределах его концов. Концами отрезка являются точки. Отрезок является замкнутым множеством, следовательно, можно определить его размер. Мерой размера для отрезка является его длина. Вычислить длину отрезка можно точно и приблизительно. Для приблизительного вычисления необходимо использовать подручные средства. Как найти длину отрезка используя линейку? Достаточно приложить начало линейки к началу отрезка и посмотреть на какой цифре кончается отрезок. Это и будет его длина. Но следует учесть некоторые нюансы: . Длину отрезка невозможно абсолютно точно вычислить. . Масштабы и единицы измерения могут не совпадать

Но как найти длину отрезка с высокой или абсолютной точностью? Для пространства каждой размерности существуют свои формулы. Рассмотрим простейший, одномерный случай. Декартовой системой для одномерного случая является обыкновенная координатная прямая. В реальной жизни мы сталкиваемся с сотнями примеров различных координатных прямых. Это и линейки, и строительные рулетки, и лента портного и даже трасса, где каждый километр отмечен порядковым номером. Нет ничего проще, чем измерить отрезок в одномерном пространстве. Особо легко, если начало отрезка совпадает с началом отсчёта (нулём) координатной прямой. В таком случае его длина будет совпадать с модулем координаты его конца. К примеру: если отрезок выходит из нуля, а конец его имеет координату 5, то длина отрезка будет равна пяти.

Также нет задачи легче, чем как сравнить два отрезка, исходящих из нуля. Больше будет тот отрезок, модуль чьей координаты будет большим. Например: из нуля на координатной плоскости в разные стороны выходят два отрезка. Координата отрезка, выходящего влево равна -7, а выходящего вправо – 4. Модуль первого отрезка равен 7 со знаком “+” , а модуль второго – 4 с тем же знаком. Следовательно первый отрезок длиннее второго. Если отрезок начинается не в нуле, тогда следует пользоваться универсальной формулой вычисления длины для одномерного пространства. Звучит она следующим образом: “Для того чтобы найти длину отрезка в одномерном пространстве необходимо из значения координаты правого конца вычесть значение координаты левого конца”.

Задача схожа с тем, как найти координаты середины отрезка, только в нашем случае координаты вычитаются, а не складываются и делятся пополам. Рассмотрим пример. Пусть отрезок имеет начало в точке 2, а конец в точке 11. Найти длину отрезка. Для этого вычтем из правой координаты значение левой: 11-2 = 9. Ответ: 9. Следует отметить, что можно наоборот, вычитать координату правого конца из левого, но тогда придётся брать результат по его абсолютному значению (модулю) . 2-11 = -9. Модуль -9 равен 9. Результат не изменился. Такой приём может помочь в решении специальных задач. Также следует рассмотреть примеры для двумерного пространства.

Для двумерного пространства существуют специальные формулы, которые являются обобщением одномерного случая. Сразу рассмотрим конкретный пример, по пути решения объясняя формулы. Для её решения необходимо знать как называется отрезок, соединяющий 2 точки окружности. Такой отрезок называется хордой. Дана хорда с концами А (1;1) и B (4;5) . Найти длину отрезка AB. Длина отрезка АВ будет равна арифметическому квадратному корню из суммы квадратов разностей соответствующих координат точек. Эта форму выводится из теоремы Пифагора. Теперь по порядку. Чтобы найти разность соответствующих координат необходимо из x-координаты точки В вычесть x-координату точки А. Получим 4-1 = 3. Проводим такую же операцию и для y-координаты. Получим 5-1 = 4. Теперь каждую полученную разность возводим в квадрат: 3*3=9,4*4=16. Полученные результаты складываем: 9+16=25. Далее извлекаем квадратный корень. Корень из 25 = 5. Ответ: длина АВ = 5.

Источник

Длина отрезка

Отрезком называют часть прямой линии, состоящей из всех точек этой линии, которые расположены между данными двумя точками — их называют концами отрезка.

Рассмотрим первый пример. Пусть в плоскости координат задан двумя точками некий отрезок. В данном случае его длину мы можем найти, применяя теорему Пифагора.

Итак, в системе координат начертим отрезок с заданными координатами его концов (x1; y1) и (x2; y2). На оси X и Y из концов отрезка опустим перпендикуляры. Отметим красным цветом отрезки, которые являются на оси координат проекциями от исходного отрезка. После этого перенесем параллельно к концам отрезков отрезки-проекции. Получаем треугольник (прямоугольный). Гипотенузой у данного треугольника станет сам отрезок АВ, а его катетами являются перенесенные проекции.

Вычислим длину данных проекций. Итак, на ось Y длина проекции равна y2-y1, а на ось Х длина проекции равна x2-x1. Применим теорему Пифагора: |AB|² = (y2 – y1)² + (x2 – x1)². В данном случае |AB| является длиной отрезка.

Если использовать данную схему для вычисления длины отрезка, то можно даже отрезок и не строить. Теперь высчитаем, какова длина отрезка с координатами (1;3) и (2;5). Применяя теорему Пифагора, получаем: |AB|² = (2 – 1)² + (5 – 3)² = 1 + 4 = 5. А это значит, что длина нашего отрезка равна 5:1/2.

Рассмотрим следующий способ нахождения длины отрезка. Для этого нам необходимо знать координаты двух точек в какой-либо системе. Рассмотрим данный вариант, применяя двухмерную Декартову систему координат.

Итак, в двухмерной системе координат даны координаты крайних точек отрезка. Если проведем прямые лини через эти точки, они должны быть перпендикулярными к оси координат, то получим прямоугольный треугольник. Исходный отрезок будет гипотенузой полученного треугольника. Катеты треугольника образуют отрезки, их длина равна проекции гипотенузы на оси координат. Исходя из теоремы Пифагора, делаем вывод: для того чтобы найти длину данного отрезка, нужно найти длины проекций на две оси координат.

Найдем длины проекций (X и Y) исходного отрезка на координатные оси. Их вычислим путем нахождения разницы координат точек по отдельной оси: X = X2-X1, Y = Y2-Y1.

Рассчитаем длину отрезка А, для этого найдем квадратный корень:

A = √(X²+Y²) = √ ((X2-X1)²+(Y2-Y1)²).

Если наш отрезок расположен между точками, координаты которых 2;4 и 4;1, то его длина, соответственно, равна √((4-2)²+(1-4)²) = √13 ≈ 3,61.

Источник

Технологическая карта по
математике для 6 класса на тему: « длина отрезка на координатной прямой»

Тема урока: Длина отрезка на координатной прямой

Тип урока: Изучение нового материала.

Технология урока: технология развития критического
мышления.

Цель урока: Вывести правило нахождения
расстояния между точками координатной прямой; научиться находить длину отрезка
на координатной прямой.

Задачи: Создать условия для
овладения навыком нахождения расстояния между точками на координатной прямой,
вычисляя модуль разности.

Планируемые образовательные
результаты:

Предметные: имеют представление о расстоянии
между точками, модуле разности и суммы двух чисел; выполняют вычисления
значений выражений, в которых рассматриваются суммы положительных и
отрицательных чисел.

Метапредметные:

Познавательные – ориентируются на
разнообразие способов решения задач; умеют составлять конспект по данному
математическому тексту, выделять главное в тексте;

Регулятивные – учитывают правило в
планировании и контроле способа решения;

Коммуникативные – считаются с разными
мнениями и стремятся к координации различных позиций в сотрудничестве.

Личностные: проявляют познавательный
интерес к изучению предмета.

Ход урока

№	Этапы урока	Время	Деятельность учителя	Задания для учащихся, выполнение которых приведет к достижению запланированных результатов	Деятельность учащихся	УУД
1.	Организационный момент	1 мин	Приветствие, проверка подготовленности к учебному занятию, организация внимания детей.		Приветствие, проверка подготовленности к учебному занятию, организация внимания детей.	Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества. Личностные:определение личностного отношения к представляемой теме. Познавательные:выделение необходимой информации.
2.	Мотивация учебной деятельности	4 мин	Раздает задание и просит учеников выполнить его в тетрадях.	Приложение 1.	Пробуют выполнить задание.	Личностные:самоопределение; умение выражать свои мысли. Познавательные:логический анализ объектов с целью выделения признаков.
3.	Актуализация знаний	6 мин	Чтобы узнать что-то новое необходимо повторить уже пройденное. Повторение основных понятий: алгебраическая сумма и числовое выражение.	Алгебраическая сумма – это выражение, которое можно представить в виде суммы положительных и отрицательных чисел. Числовым выражением н-ают всякую запись из чисел, знаков арифметических действий и скобок, составленную со смыслом.	Отвечаю на вопросы.	Познавательные:анализ, сравнение, осознанное построение речевого высказывания. Коммуникативные: формулировать свое мнение, принимать другое мнение и позицию.
4.	Постановка учебной задачи	4 мин	При выполнении задания, вы заметили, что расстояние между точками координатной прямой и значения выражения \|а – в\| равны между собой. Какое предположение можно сделать?	Расстояние между точками а и в равно модулю разности координат этих точек: \|a – в\|. Расстояние обозначается греческой буквой ρ (а,в) (ро) и читается «ро от а и в».	Отвечают на вопрос, слушают, записывают.	Регулятивные:целеполагание. Коммуникативные: постановка вопросов; умение выражать свои мысли. Познавательные: самостоятельное выделение -формулирование.
5.	Восприятие и осмысление учащимися нового материала.	9 мин	Рассмотрим примеры.	Найдите расстояние между точками координатной прямой, если а) а = -6, в = 5; б) а = 8, в = 18.	Рассуждая по сформулированному правилу, закрепляют материал.	Коммуникативные: постановка вопросов; логическое формулирование проблемы; инициативное сотрудничество в поиске и сборе информации. Познавательные: поиск и выделение информации.
6.	Физкультминутка	1 мин	Организует физкультминутку для глаз	1. Зажмурить глаза. Открыть глаза (5 раз).2. Круговые движения глазами (10 раз). 3. Не поворачивая головы, отвести глаза как можно дальше влево. То же самое вправо (2-3 раза).4. Поморгать 10-15 с. Отдохнуть, закрыв глаза.
7.	Первичное закрепление	10 мин	Организовывает решение задач из учебника.	Решение практических задач по учебнику. Стр 136-137 № 599. № 601, 603	Работают в тетрадях и на доске.	Регулятивные: контроль, оценка, коррекция. Познавательные:умение структурировать знания, выбор наиболее эффективных способов решения задач. Коммуникативные:управление поведением партнера, контроль, коррекция.
8.	Рефлексия учебной деятельности на уроке	3 мин	Что нового узнали сегодня на уроке? Какова была цель урока?Удалось ли нам ее выполнить? Кто хорошо понял тему и может поделиться своими знаниями?Кому нужно еще потренироваться?		Отвечают на вопросы учителя.	Регулятивные:оценка-осознание уровня и качества усвоения. Коммуникативные:умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли. Познавательные:рефлексия.
9.	Домашнее задание	2 мин	Обсуждает вместе с учениками и записывает № 613, 620		Записывают домашнее задание.
10.			Прощается с учениками.		Уходят.