Как найти длину перпендикулярного отрезка

Строго говоря, перпендикуляром называют прямую, которая пересекает заданную линию под углом в 90°. Прямая бесконечна по определению, поэтому говорить о длине перпендикуляра неправильно. Говоря так, обычно имеют в виду расстояние между двумя точками, лежащими на перпендикуляре. Например, между заданной точкой и ее нормальной проекцией на плоскость или между точкой в пространстве и точкой пересечения перпендикуляра, опущенного из нее, с прямой линией.

Необходимость рассчитать длину перпендикуляра может возникнуть, если он опущен из точки с указанными в условиях координатами A(X₁;Y₁) на прямую, заданную уравнением a*X + b*Y + C = 0. В этом случае сначала подставьте координаты точки в уравнение прямой и рассчитайте абсолютное значение левой части тождества: |a*X₁ + b*Y₁ + C|. Например, при координатах точки A(15;-17) и уравнении прямой 3*X + 4*Y + 140 = 0 результатом этого шага должно стать число |3*15 + 4*(-17) + 140| = |45-61+140| = 124.

Рассчитайте нормирующий множитель. Это дробь, в числителе которой стоит единица, а в знаменателе – квадратный корень из суммы квадратов множителей по обеим координатным осям из уравнения прямой: 1/√(X²+Y²). Для использованного выше примера величина нормирующего множителя должна быть равна 1/√(3²+4²) = 1/√25 = 0,2.

Приведите уравнение прямой к нормальному виду – умножьте обе части равенства на нормирующий множитель. В общем виде результат должен выглядеть так: (a*X+b*Y+C)/√(X²+Y²) = 0. Левая часть этого уравнения и определяет длину перпендикуляра в общем виде: d = (a*X+b*Y+C)/√(X²+Y²). А в практических расчетах просто перемножьте полученное на первом шаге число и рассчитанный на втором шаге коэффициент. Для примера из первого шага ответом должно стать число 124*0,2=24,8 – такова длина перпендикулярного линии отрезка, соединяющего ее с заданной точкой.

Для нахождения длины перпендикуляра, опущенного из точки с известными трехмерными координатами A(X₁;Y₁;Z₁) на плоскость, заданную уравнением a*X + b*Y + c*Z + D = 0 используйте такую же последовательность операций. В этом случае под знак радикала в нормирующем множителе добавится третье слагаемое √(X²+Y²+Z²), как и в числитель дроби формулы, определяющей длину перпендикуляра в общем виде: d = (a*X+b*Y+c*Z+D)/√(X²+Y²+Z²).

Perpendicular Length/Distance Definition

This is used to generate the Length of the perpendicular from point(x₁, y₁) to the line Ax + By + C = 0.

Length of the perpendicular Example

Find the length of the perpendicular from the point (4,3) on the line
x + 2y + 5 = 0.
x₁ = 4,
y₁ = 3,
A = 1,
B = 2,
C = 5
Substitute in the formula as

Length of the perpendicular = 3

The above example will clearly illustrates how to calculate the Perpendicular Length/Distance manually.