Как найти длину петли кривой

Поиск

Автор	Сообщение
alya reznichenko # 2 июн 2014	Найти длину петли линии: х = t^2; у = t-t^3/3
o_a # 2 июн 2014	Длина дуги кривой функции, заданной параметрически:В данном примере при Поэтому

Чтобы написать сообщение, необходимо войти или зарегистрироваться

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

---

---

---

---

---

Вычисление длины плоской кривой. Основные формулы

Если плоская кривая
задана как график функции y
= f(x),
a
≤ x
≤ b,
и производная y
= f
(x)
непрерывна, то длина дуги этой кривой
выражается интегралом

l
=

=

.

Если кривая задана
параметрически x
= x(t),
y
= y(t),

≤ t
≤ 
и производные x
(t)
и y
(t)
непрерывны на отрезке [,
],
то длина дуги кривой выражается интегралом

l
=
.

Если кривая задана
уравнением r
=
r(),

≤ 
≤ ,
в полярных координатах и r
()
непрерывна на отрезке [,
],
то длина l
дуги кривой выражается интегралом

l
=

.

Если
Г –
пространственная
кривая, заданная параметрически: x
= x(t),
y
= y(t),
z
= z(t),

≤ t
≤ ,
производные x
(t),
y
(t)
и z
(t)
непрерывны на отрезке [,
],
то длина Г
находится
по формуле

l
=

.

Замечание.
Пусть Г – некоторая кривая на плоскости
xOy.
Выра­жение

dl
=

,

где dx²
= (dx)²,
dy²
= (dy)²,
называется дифференциалом длины дуги.
Используя это понятие, можно единообразно
записать формулу для вычисления длины
кривой

l
=

=

,

где 
и ,

≤ ,
обозначают границы изменения параметра,
с помощью которого задается кривая.
Пусть кривая Г есть график функции

x
= x(y),
c
≤ y
≤ d.
Тогда dx
=
x
(y)
dy
и мы получаем

l
=

=

.

Если кривая Г
задана параметрически, то dx
=
x
(t)
dt,
dy
=
y
(t)
dt

и мы получаем

l
=

=

=

.

Задание кривой с
помощью полярных координат r
= r(),

≤  ≤
,
есть частный случай параметрического
задания: x
= r()cos
,
y
=

= r()
sin
.
Параметром здесь является .
Вычисляя дифференциалы dx
= (r cos  –
r sin )
d,
dy
= (r sin 
+ r
cos ) d,
убеждаемся, что

dl
=
=
.

Для пространственной
кривой Г
дифференциалом
длины дуги называется выражение l
=

и длину кривой
Г
можно выразить
интегралом

l
=

=

,

где 
и 
(
≤ ) –
концы отрезка [,
] –
промежутка изменения параметра, с
помощью которого задается кривая.

Рассмотрим примеры.

Вычислить
длину дуги кривой.

5.19.
y
=
1 – ln cos
x,
0 ≤
x ≤

.

5.20.
y
=
2
,
0 ≤
x ≤
1.

5.21.
x
=

,
0 ≤
y ≤
4.

5.22.
3y²
=
x(x
– 1)²
(длину петли).

5.23.
y =

,
0 ≤
x ≤
ln 4.

5.24.
y
=
,
0 ≤ x
≤


.

Решение.

5.19. Так как y
=
=
tg
x,
то

.

5.20. Так как

,
то

.

Можно было
рассмотреть нашу кривую как график
функции

,

.
Тогда вычисление длины кривой свелось
бы к нахождению интеграла

.

5.21. Вычисляем
производную

=

и далее

=

=

,
откуда

=

=

=

.

5.22. Из условия
следует, что y
= 0 при x
= 0 и x
= 1, причем
линия симметрична относительно оси Ox,
так как y
входит в уравнение в четной степени.
Ясно, что достаточно вычислить длину
половины петли, задаваемой уравнением
y
=
,

.
(Вторая половина петли есть график
функции

).
Так как

,

= 
,

то мы получаем

=

=

.

5.23.
Делаем предварительные вычисления:

=

–

=

.

Вычисляем длину
кривой

l
=

=

=

= 2.

5.24. Вычисляем
производную:

=

,

тогда

=

=

.

Вычисляем длину
кривой

l
=

=

=

=

=

=

=

=

=

.

Вычислить длину
кривой, заданной в полярных координатах.

5.25.
r
=

,
–

≤ 
≤
.

5.26.
r
= a(1
+ cos
),
0 ≤ 
≤ 2π
(кардиоида).

5.27.
r
= th
,
0 ≤ 
≤
2.

5.28.
r
= a cos⁴
.

Решение.

5.25. Вычисляем длину
кривой по формуле

l
=

=

=

=

=

=

=

.

5.26.

l
=

=

=

=

=

=

–

=

= 

–

= 4a + 4a
= 8a.

5.27.

l
=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

= 1 – th1.

5

Рис. 2.16

.28. Функция cos

имеет период 8π.
Функции

,
cos²
,
cos⁴

и т.п. имеют период 4π.
Поскольку

=

,
то линия симметрична относительно
полярной оси и при изменении 
от 0 до 2π полярный радиус опишет половину
линии. Найдем длину половины кривой
(рис. 2.16) и затем удвоим результат.
Вычисляем

= a²

+

=

.

Отсюда следует

l
=

=

=

=

= 

=

.

Вычислить длину
кривой, заданной параметрически.

5.29.
x
= 6t⁵,
y
= 5t(1
– t⁸),
0 ≤
t
≤ 1.

5.30.
x
= ln(1 +
t²),
y
= 2arctg t –
2t
+
8, 0 ≤
t
≤ 1.

5.31.
x
= t
–

sh
2t,
y
= 2 ch t,
0 ≤
t
≤ 1.

5.32.
x
= 2 cos³
t,
y
= 2 sin³
t.

5.33.
x
=

t²,
y
= t
– t³
(длину петли).

Решение.

5.29. Вычисляем,
используя соответствующую формулу:

l
=

=

=

= 5

= 5
=

= 10.

5.30.

=

+

=

.

Поэтому

l
=

=

=

.

5.31.

= (1 – ch 2t)²
+ 4sh²t
= |
ch 2t –
1 = 2 sh²
t |
= 4 sh⁴ t
+ 4sh² t
=

= 4 sh²
t
ch² t
= sh²
2t.

Поэтому

l
=

=

=

= sh² 1.

5.32.
Уравнение линии (астроиды) в декартовых
координатах имеет вид

или

(рис. 2.17).

О

Рис.
2.17

тсюда следует, что линия симметрична
относительно обеих осей координат.
Вычислим четверть длины астроиды, что
соответствует изменению параметра t
от 0 до

,
и результат учетверим. Вычисляем

= 36 cos⁴
t
sin² t
+ 36 sin⁴ t
cos² t
=

= 36 sin²
t
cos² t
= 9 sin² 2t.

Отсюда следует

l
=

=

= 6 + 6 = 12.

5.33. Если выразить
y
через x,
то мы получаем

,

откуда следует,
что при x

[0,

]
графики симметричных относительно оси
Ox
функций

и

образуют замкнутый
контур на плоскости xOy
(петлю). График функции

получается, когда
t
изменяется от –1 до 0, а при изменении t
от 0 до 1 точка (x,
y)
движется по графику функции

от точки O
(0, 0) до точки A(
,
0).

Вычисляем сначала

= 12t²
+ (1 – 3t²)²
= (1 + 3t²)².
Поэтому

l
=

=

= 4.

Вычислить длину
дуги пространственной кривой.

5.34.
x
= 3t
– t³,
y
= 3t²,
z
= 3t
+
t³,
0 ≤ t
≤ 1.

5.35.
x
= at,
y
=

,
z
=

,

≤
t
≤ 1.

5.36.
x
= e^t,
y
= e^-t,
z
=

t,
0 ≤
t
≤ 2.

5.37.
x
= a
(1 + cos
t),
y
=
a(t
– sin
t),
z
= 4
a sin
,
0 ≤
t
≤ 2.

Решение.

5.34. Вычисляем длину
кривой по формуле

l
=

=

=

=

=

=

= 4
.

5.35.

=

=

= 

=

=

.

Отсюда получаем

l
=

=

=

=

.

5.36. Имеем

=
e^2t+
e^–2t
+2
= (e^t
+
e^–t)².
Откуда
получаем

l
=

=

=

= 2 sh
2.

5.37.
Сделаем предварительные вычисления:

= 4
=

=

=
4a².

Мы использовали
здесь тригонометрическую формулу 1 –
cos t
= = 
.

Вычисляем длину
кривой

l
=

= 4a.

Вычисление
объемов и площадей поверхностей. Основные
формулы.

Пусть S(x) –
площадь сечения тела V
плоскостью, перпендикулярной к оси Ox
в точке с абсциссой x,
a
и b –
левая и правая границы изменения x.
Тогда объем тела V
выражается интегралом

V
=

.

Если тело V
образовано вращением вокруг оси Ox
криволинейной трапеции, ограниченной
кривой y
= f(x)
≥ 0, a
≤ x
≤ b,
осью абсцисс и прямыми x
= a,
x
= b,
то объем тела V
вычисляется по формуле

V
=

=

.

Если
тело образовано вращением вокруг оси
Oy
криволинейной трапеции, образованной
подграфиком функции x
= g(y),
c≤
y
≤ d
(g(y)
≥ 0), то
объем тела выражается интегралом

V
=

=

.

Если вокруг оси
Oy
вращается криволинейная трапеция,
ограниченная
графиком функции y
= f(x)
≥ 0, a
≤
x
≤
b,
осью абсцисс и прямыми x
=
a,
x
=
b,
то объем получившегося тела выражается
интегралом

V
=

=

.

Если кривая задана
параметрически или в полярных координатах,
то следует сделать соответствующую
замену переменных в указанных выше
формулах.

Площадь поверхности,
образованной вращением вокруг оси Ox
дуги Г кривой y
= f(x),
a
≤ x
≤ b,
где f(x)
имеет на отрезке [a,
b]
непрерывную производную

,
выражается интегралом

S
=

=

.

Поскольку

–
дифференциал длины дуги, то формулу
можно записать в виде

S
=
.

Пусть кривая задана
параметрически x
= x(t),
y
= y(t),

≤ t
≤ ,
где функции
x(t)
и y(t)
имеют на отрезке [,
]
непрерывные производные x(t)
и y(t).
Площадь S
поверхности,
образованной при вращении данной кривой
вокруг оси Ox
равна

S
=
=
.

Задание кривой с
помощью полярных координат r
= r(),

≤ 
≤ ,
есть частный случай параметрического
задания, так как в этом случае

x
= r()
cos ,
y =
r()
sin .

Рассмотрим примеры.

5.38.
На всех хордах круга радиуса R,
параллельных одному направлению,
построены симметричные параболические
сегменты постоянной высоты h
(рис. 2.18).
Плоскости сегментов перпендикулярны
к плоскости круга. Найти объем образованного
таким образом тела.

а б

Рис. 2.18

Решение.
Найдем вначале площадь параболического
сегмента с основанием a
и высотой h
(рис. 2.18, б).
Расположим оси координат так, что
основание сегмента будет находиться
на оси абсцисс и начало координат делит
это основание пополам. Уравнение параболы
имеет вид

.

Так как y(0)
= h,
то 
= –
.
Тогда уравнение параболы принимает вид

.

Ищем площадь
сегмента

S
=

=

=

=

ah.

Расположим оси
координат так, как показано на рис. 2.18,
а.
Тогда длина половины хорды, пересекающей
ось абсцисс в точке x,
есть

.
Следовательно, площадь параболического
сегмента, соответствующего значению
x,
равна S(x)
=

.
Согласно формуле для объема, получаем

V
=

=

=

=

=

=

=

.

5.39. Найти объем
тела, ограниченного поверхностями z
= 4 – y²,

x
= 0, x
= a,
y
= 0, z
= 0.

Р

Рис. 2.19

ешение. Найдем площадь
сечения тела плоскостью, перпендикулярной
к оси Ox,
(0 ≤ x
≤ a)
(рис. 2.19). Нам необходимо знать площадь
половины параболического сегмента с a
= 2, h
= 4. Как мы знаем из решения предыдущей
задачи, эта площадь равна

S(x)
=

=

,
0 ≤ x
≤ a.

Отсюда получаем

V
=

=

=

.

Найти объем тела,
образованного вращением фигуры,
ограниченной следующими линиями.

5.40.
y
= sin
x,
x
= 0, 0 ≤ x
≤ π, вокруг оси: а)
Ox,
б)
Oy.

5.41.
y
= 2^x,
y
=

,
x
= 0,
y
= 0,
вокруг
оси
Ox.

5.42.
y
= x(3
– x),
y
= x,
вокруг оси: а)
Ox,
б)
Oy.

5.43.
y
= cos
x,
y
= 1,
0
≤
x
≤ 2π,
вокруг
оси
Oy.

5.44.
y
= e^x+6,
y
= e^2x,
x
= 0, вокруг оси: а)
Ox,
б)
Oy.

5.45.
y
=
,
y
= 0, x
≥ 1, вокруг оси Ox.

5.46.
y
=
,
y
= 0, x
≥ 0, вокруг оси Ox.

5.47.
y
=
,
y
= 0, вокруг оси Oy,

.

5.48.
x
= 4t²,
y
=

(петля), вокруг оси Ox.

5.49.
x
= a
ch³
t,
y
=
a
sh³
t,
x
=
2
a,
вокруг
оси
Ox.

5.50.
r
= 2cos²
,
вокруг полярной оси.

5.51.
r
=

,
0 ≤ 
≤

,
вокруг полярной оси.

Решение.

5.40. Вычислим объем
полученный вращением вокруг оси Ox.
Имеем

V
=

=

=

.

Теперь вычислим
объем тела, получаемого при вращении
фигуры вокруг оси Oy:

V
=

=

=

=

= 
.

5.41. Абсцисса точки
пересечения графиков (рис. 2.20) равна 1.
Искомый объем выражается суммой двух
интегралов:

V
=

+

=
+
.

В

Рис. 2.20

ычислим интегралы с логарифмом
отдельно, применяя формулу интегрирования
по частям. Имеем

=

=

=

.

=

=

=

–

=

=

–

+

+ С.

Отсюда получаем,

V
=

+ 12π –

+

=

Рис. 2.21

= –

+

– 4π.

5.42. Несложно
находится абсцисса точки пересечения
графиков x
= 2 (рис. 2.21). Вычисляем объем, получаемый
при вращении фигуры вокруг

оси Ox:

V
=

=

=

=

=

=

.

При вычислении
объема, получающегося при вращении
вокруг оси Oy,
воспользуемся следующей формулой:

V
=

–

,

где y₁
= 3x
– x²,
y₂
=
x.

Тогда

V
=

–

=

=

.

5.43. Рассмотрим два
способа вычисления искомого объема.

а б

Рис. 2.22

Решение уравнения
cos
x
= y
при 0≤ x
≤ π относительно x
есть

x
= arccos
y,
решением уравнения cos
x
= y
при π ≤ x
≤ 2π является

x
=2π – arccos
y.
Тогда объем можно вычислить следующим
образом (рис. 2.22, б):

V
=

=

=

=

= 4π³.

Но можно, используя
другую формулу, вычислять объем и так
(рис. 2.22, а),
где

:

V
= 8π³ –

= 8π³ –

=

= 8π³ – 4π³
= 4π³,

где слагаемое 8π³
есть объем цилиндра, у которого в
основании – круг радиуса 2π и высота
равна 2.

5

Рис. 2.23

.44. Абсцисса точка пересечения
графиков равна ln
3 (рис. 2.23).

Вычисляем вначале
объем тела, получаемого при вращении
фигуры вокруг оси Ox.

V
=

=

=

= (8 + 36 ln 3) .

Для вычисления
объема тела, получаемого вращением
фигуры вокруг оси Oy,
мы, чтобы не искать обратные функции,
воспользуемся следующей формулой:

V
=

–

,

где
y₁
=
e^x
+
6,
y₂
=
e^2x.

Тогда

V
=

+

–

= 6π ln²
3 +

–

=

= 6π ln²
3 +

=

= 3π
ln 3(ln 9 – 1).

5.45. Объем тела
выражается несобственным интегралом

V
=

=

=

.

5.46. Вычисляем объем

V
=

=

=

=

=

=

.

5.47. Объем можно
вычислить двумя способами.

Найдя обратную
функцию (x
≥ 0), из
уравнения y
=

,
x
=
,
приходим к интегралу

V
=

.

Можно использовать
формулу

V
=

=

=

=

= π.

Мы видим, что в
этом примере второй способ вычисления
предпочтительнее.

5.48. Петля симметрична
относительно оси Ox,
верхняя часть петли есть график функции

y
=

,
0 ≤ x ≤ 12,

и соответствует
изменению параметра t
от 0 до
.
Вычисляем объем

V
=

=

=

=

= 48π.

5.49. В
декартовых координатах уравнение линии
выглядит так:

=
.
Отсюда заключаем, что линия симметрична
относительно оси Ox,
ясно так же, что a≤
x
≤

a.
Верхняя ветвь (y
≥ 0)
соответствует изменению параметра t
от 0 до

(решения уравнений

).

Вычисляем объем тела, полученного
вращением вокруг оси Ox
верхней ветви кривой (y
≥ 0),

V
=

=

=

5.50.
Линия представляет собой два симметричных
относительно оси Oy
лепестка, симметричных, в свою очередь,
относительно оси Ox
(рис. 2.24).
Первый соответствует изменению параметра

от –

до
,
второй – от

до π и
от –π до –
.
Вычислим объем тела, получаемого
вращением половины лепестка, и удвоим
результат:

V
=

=

Рис. 2.24

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

.

Минус
перед первым интегралом поставлен
потому, что x
= r
cos

= = 2
cos³
при изменении 
от 0 до

убывает. Действительно,

V
=

=

=

=

=

.

5.51.
Вычисляем объем

при

:

V
=

=

=

=

=

=

=

= 

=

.

Найти площадь
поверхности, образованной при вращении
дуги кривой.

5.52.
y²
= 2x,
2x
= 3, вокруг
оси Ox.

5.53.
y
= 3 c
h
,
–1
≤ x
≤ 1, вокруг
оси Ox.

5.54.
y
= cos
2x,

≤ x
≤

,
вокруг оси Ox.

5.55.

,
вокруг оси Oy.

5.56.
x
=

,
y
=

,
0 ≤
t
≤
π,
вокруг
оси
Ox.

5.57.
x
=
2cos
t
– cos2
t,
y
= 2sin
t
– sin2
t,
0 ≤ t
≤
π,
вокруг
оси
Ox.

5.58.
y
=

(arcsin
x
+

),
0 ≤
x ≤
1, вокруг
оси
Oy.

5.59.
r
=

,
вокруг полярной оси.

Решение.

5.52. Достаточно
рассмотреть поверхность, образованную
вращением кривой y
=
,
0 ≤ x
≤ 3/2, вокруг
оси Ox.
Имеем

S
=

=

=

=

=

=

.

5.53.

S
=

=

=

=

=

=

+6
.

5

Рис. 2.25

.54.

S
=

=

=

=

=

=

=

=

.

5.55. Используем
формулу

S
=
.

Имеем

Используя результаты
задачи 3.6 из гл. 1, § 3, получаем

5.56.

y
=

при изменении t
от 0 до

,
при этом x
возрастает от 0 до

.
Когда t
возрастает от

до π,
переменная x
убывает от

до 0, при этом

y
=
.

Таким образом,
наша линия – петля, симметричная
относительно оси Ox.
Поэтому

=

=

=

=

=

=

.

5.57. Вычислим
предварительно дифференциал длины дуги
dl
= = 
.

dl
=

=

=

=
4|sin
|dt
= 4 sin

dt,

так как

.
Вычисляем площадь поверхности вращения

5.58. Выражать в
данном случае x
через y
было бы крайне затруднительно. Поэтому
параметризуем кривую, взяв за параметр
x
= t.

Тогда

S
=

=

=

=

=

=

=

,

так как

=

=

.

5.59. Линия представляет
собой два лепестка, симметричные
относительно обеих осей координат Ox
и Oy
(x
= r
cos

= 3 cos


,
y
= r
sin

= 3 sin


).
Достаточно рассмотреть дугу кривой,
соответствующую изменению 
от 0 до

и затем удвоить результат. Вычисляем
площадь поверхности вращения

S
=

=

=

=

=

.

$$
One,,,loop:,,y = pm frac{{xsqrt {2a^2 – x^2 } }}{{4a}},,,,,0 le x le sqrt 2 a,,,({rm{assuming}},a > 0).$$
$$
begin{array}{l}
L = 2intlimits_0^{sqrt 2 a} {sqrt {1 + y’^2 } dx = } 2intlimits_0^{sqrt 2 a} {frac{{|x^2 – 3a^2 |}}{{2asqrt {2a^2 – x^2 } }}dx = } frac{1}{a}intlimits_0^{sqrt 2 a} {frac{{2a^2 – x^2 + a^2 }}{{sqrt {2a^2 – x^2 } }}dx = } \
= frac{1}{a}left( {intlimits_0^{sqrt 2 a} {frac{{2a^2 – x^2 }}{{sqrt {2a^2 – x^2 } }}} dx + intlimits_0^{sqrt 2 a} {frac{{a^2 }}{{sqrt {2a^2 – x^2 } }}} dx} right) = left{ {x = sqrt 2 asin t} right} = \
end{array}$$

$$
= frac{1}{a}left( {intlimits_0^{frac{pi }{2}} {2a^2 cos ^2 tdt + intlimits_0^{frac{pi }{2}} {a^2 dt} } } right) = frac{1}{a}left( {frac{{pi a^2 }}{2} + frac{{pi a^2 }}{2}} right) = pi a.$$