Рассмотрим задания, в которых по данному графику производной функции y=f'(x)нужно найти промежутки возрастания функции y=f(x).
№1
На рисунке изображён график производной функции f(x), определённой на интервале (-12;9). Найти промежутки возрастания функции f(x). В ответе указать длину наибольшего из них.
Решение:
На промежутках возрастания функции y=f(x) её производная y=f'(x) положительна.
Выделяем промежутки, на которых производная принимает положительные значения (то есть график производной расположен выше оси Ox).
В данном примере таких промежутков два: (-11;-7) и (-2;8). Так как в точках -11, -7, -2 и 8 существует производная f'(x), то функция f(x) непрерывна в этих точках. Поэтому эти точки можно включить в промежутки возрастания и убывания функции. Таким образом, функция f(x) возрастает на промежутках [-11;-7] и [-2;8]. Они имеют длину 4 и 10 единичных отрезков.
Ответ: 10.
№2
Функция f(x) определена на интервале (-10;2). На рисунке изображён график её производной. Найти промежутки возрастания функции f(x). В ответ указать сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
Решение:
На промежутках возрастания функции y=f(x) её производная y=f'(x) положительна: f'(x)>0.
Выделяем промежутки, на которых производная принимает положительные значения. В данном примере таких промежутков два: (-9;-7) и (-3;1). Поскольку в точках -9, -7, -3 и 1 существует производная f'(x), то функция f(x) непрерывна в этих точках, а значит, эти точки можно включить в промежутки возрастания функции f(x).
Итак, функция y=f(x) возрастает на промежутках [-9;-7] и [-2;1].
Ищем сумму целых точек, входящих в эти промежутки:
-9+(-8)+(-7)+(-3)+(-2)+(-1)+0+1=-29.
Ответ: -29.
№3
Функция определена и непрерывна на полуинтервале [-4;6). На рисунке изображён график её производной. Найти промежутки возрастания функции f(x). В ответе указать сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
Решение:
На промежутках возрастания функции y=f(x) её производная f'(x) положительна.
В данном примере производная принимает положительные значения на промежутках (-2;2) и (2;6).
По условию, функция непрерывна на полуинтервале [-4;6). Значит точки -2 и 2, входящие в этот полуинтервал, можно включить в промежутки возрастания. Следовательно, функция y=f(x) возрастает на полуинтервале [-2;6). Ищем сумму целых точек, входящих в промежуток [-2;6):
(-2)+(-1)+0+1+2+3+4+5=12.
Ответ: 12.
Что такое возрастание функции
В начале прочитаем определение возрастания функции.
Запомните!
Функция « y(x) » называется возрастающей на некотором промежутке, если
для любых
« x1 » и « x2 »
принадлежащих данному промежутку, таких, что « x2 > x1 »
выполняется неравенство
« y( x2 ) > y( x1 )».
Определение сложно понять без наглядного примера.
Поэтому сразу перейдём к разбору задачи на возрастание функции.
По-другому можно сказать, что, если каждому бóльшему значению « x »
соответствует бóльшее значение « y », значит,
функция « y(x) » возрастает.
|
x2 > x1 |
Обязательное условие возрастания функции |
Давайте разберем определение возрастания функции на конкретном примере.
Разбор примера
Возрастающей или убывающей является функция « y = 9x − 4 » ?
Для начала определим
область определения функции
« y = 9x − 4 ».
y = 9x − 4
D(y): x ∈ R ,
то есть « x » —
любое действительное число.
Построим график функции
« y = 9x − 4 ».
Так как функция
« y = 9x − 4 »
линейная, ее график — прямая.
Используем правила построения графика линейной функции. Нам достаточно найти две точки, чтобы построить ее график.
Область определения функции
« y = 9x − 4 » — все действительные числа,
поэтому можно подставить любое число вместо « x » и вычислить « y » по
формуле функции
« y = 9x − 4 ». Например, возьмем
« x = 0 ».
x = 0
y(x) = 9x − 4
y(0) = 9 · 0 − 4 = −4
Для второй точки возьмем « x = 1 ».
x = 1
y(x) = 9x − 4
y(1) = 9 · 1 − 4 = 5
Отметим две полученные
точки «(0; −4)» и «(1; 5)» на
координатной плоскости
и проведем через них прямую.
Докажем, что функция
« y = 9x − 4 » возрастает на всей своей области определения двумя способами: по ее графику и
аналитически
(по ее формуле).
Как определить по графику, что функция возрастает
По определению возрастания функции мы знаем, что
если « x » увеличивается,
то « y » тоже должен увеличиваться.
На рисунке ниже видно, что график функции « y = 9x − 4 »
«идет в гору». Другими словами, при увеличении « x »
↑ растет
значение « y » ↑.
В этом можно убедиться, если взять две любые точки на графике. Например, точки, по
которым мы построили график функции. Назовем эти точки:
« (·)A » и « (·)B ».
У первой точки « (·)A »
координаты:
x1 = 0 ; y1 = − 4
У второй точки « (·)B » координаты:
x2 = 1 ; y2 = 5
На примере точек « (·)A » и « (·)B » видно, что
при увеличении
« x ↑ ( x2 > x1 )»
растет
« y ↑ ( y2 > y1 ) ».
Поэтому график зрительно «идет в гору».
Как по формуле доказать, что функция возрастает
Вернёмся к нашей функции
« y = 9x − 4 ».
По графику мы поняли, что
функция « y = 9x − 4 » возрастает,
так как ее график «идет в гору».
Но как доказать по формуле, что функция
возрастает на всей своей области определения?
Запомните!
Функция возрастает на всей области определения, когда при
« x2 > x1 »
выполняется условие
« y( x2 ) > y( x1 ) ».
Формулировка выше не самая простая для понимания. Давайте разберем ее на практике.
По определению возрастания функции нам нужно доказать, что при
« x2 > x1 » увеличивается значение функции
« y( x2 ) > y( x1 ) ».
Но как нам найти значения функции
« y( x1 )» и
«y( x2 ) »?
Для нахождения « y( x1 )» и
«y( x2 ) »
достаточно подставить « x1 » и
« x2 » в исходную формулу « y = 9x − 4 ».
y( x1 ) = 9x1 − 4
y( x2 ) = 9x2 − 4
Теперь запишем обязательное условие возрастания функции.
|
x2 > x1 |
Обязательное условие возрастания функции |
Подставим в неравенство
« y( x2 ) >
y( x1 ) » полученные формулы
« y( x1 ) = 9x1 − 4» и
« y( x2 ) = 9x2 − 4 » .
y( x2 ) > y( x1 )
9x2 − 4 > 9x1 − 4
Упростим полученное
неравенство.
9x2 − 9x1 > − 4 + 4
9x2 − 9x1 > 0
Вынесем общий множитель
в левой части неравенства.
9(x2 − x1) > 0
Разделим левую и правую часть на «9».
При делении нуля на любое число получается ноль.
x2 − x1 > 0
x2 > x1
Мы доказали, что выполняется исходное условие возрастания функции «x2 > x1».
Отсюда следует, что функция
« y = 9x − 4 » возрастает на всей области определения.
В завершении вместо ответа следует написать фразу:
«Что и требовалось доказать».
Посмотрим другой пример, где требуется доказать, что функция возрастает.
Разбор примера
Доказать, что функция возрастает на всей области определения: y = 13x − 1
По аналогии с предыдущим примером составим неравенства, которые доказывают, что функция возрастает.
|
x2 > x1 |
Обязательное условие возрастания функции |
Вместо « y( x1 )» и
«y( x2 ) » запишем
формулу функции « y = 13x − 1 » и упростим полученное неравенство.
y( x2 ) > y( x1 )
13x2 − 1 > 13x1 − 1
13x2 − 13x1 > 1 − 1
13(x2 − x1) > 0 |: 13
>
x2 − x1 > 0
x2 > x1
Что и требовалось доказать.
Что такое убывание функции
Запомните!
Функция « y(x) » называется убывающей на некотором промежутке, если для любых
« x1 » и « x2 »
принадлежащих данному промежутку, таких,
что « x2 > x1 »
выполняется неравенство « y( x2 ) < y( x1 )».
|
x2 > x1 |
Обязательное условие убывания функции |
Как по графику понять, что функция убывает
Разбор примера
Доказать, что функция убывает на всей области определения: y = 1 − 3x
По определению убывания функции мы знаем, что,
если « x »
↑ растет, то
« y » ↓ должен уменьшаться.
Построим график функции
« y = 1 − 3x ». Ее график — прямая, поэтому нам будет достаточно двух точек.
Область определения функции
« y = 1 − 3x » — все действительные числа,
поэтому можно поставить любое число вместо « x » и вычислить « у » по
формуле функции
« y = 1 − 3x ». Например, возьмем
« x = 0 »
и « x = 1 ».
x = 0
y(x) = 1 − 3x
y(0) = 1 − 3 · 0 = 1
(·) А (0; 1)
x = 1
y(1) = 1 − 3x
y(1) = 1 − 3 · 1 = 1 − 3 = −2
(·) B (1; −2)
Построим график функции
« y = 1 − 3x » по полученным точкам
« (·)A » и « (·)B ».
На графике функции видно, что зрительно график «спускается с горы», то есть функция убывает. Другими словами, при увеличении
« x »
↑ уменьшается
значение
« y » ↓.
Как по формуле доказать, что функция убывает
Вернёмся к нашей функции
« y = 1 − 3x ».
По ее графику мы поняли, что функция убывает, так как график «спускается с горы». Но как доказать по формуле,
что функция « y = 1 − 3x » убывает на всей области определения?
Запомните!
Чтобы доказать, что функция убывает требуется доказать, что при любых
« x2 > x1 » выполняется
« y( x2 ) < y( x1 ) ».
Давайте разберем на примере функции
« y = 1 − 3x ». Докажем, что она убывает
на всей своей области определения.
|
x2 > x1 |
Обязательное условие убывания функции |
Подставим « y( x1 )» и
«y( x2 ) » в
формулу функции « y = 1 − 3x » и упростим полученное неравенство.
y( x2 ) < y( x1 )
1 − 3x2 < 1 − 3x1
3x1 − 3x2 < 1 − 1
3(x1 − x2) < 0 | :3
<
x1 − x2 < 0
−x2 < −x1
Умножим на « −1 » левую и правую часть неравенства. При
умножении неравенства на отрицательное число знак неравенства поменяется на
противоположный.
−x2 < −x1 | · (−1)
x2 > x1
Что и требовалось доказать.
Как по графику функции определить
возрастание и убывание
Потренируемся только по графику функции определять промежутки возрастания и убывания функции.
Разбор примера
На рисунке ниже изображён график функции, определенной на множестве действительных чисел.
Используя график, найдите промежутки возрастания и промежутки убывания функции.
Отметим с помощью штриховых линий промежутки, где график функции убывает
(«спускается с горы») и где он возрастает («идет в гору»).
Запишем через знаки неравенств,
какие значения принимает « x » на полученных промежутках.
Обратите внимание, что во всех случаях при указании промежутков, мы указываем, что их
концы входят в промежуток, то есть используем знаки нестрогого неравенства.
Остаётся записать полученные промежутки возрастания и убывания функции в ответ.
Ответ:
- функция убывает при
x ≤ −2; 0 ≤ x ≤ 3,5 - функция возрастает при
−2 ≤ x ≤ 0 ; x ≥ 3,5
Более грамотно будет записать ответ с помощью специальных
математических символов.
Ответ:
- функция убывает на промежутках
x ∈ (−∞ ; −2] ∪ [0; 3,5] - функция возрастает на промежутках x ∈ [−2 ; 0] ∪ [3,5 ; +∞]
При каких значениях
« m »
функция является убывающей или возрастающей
Ещё один тип заданий, в которых требуется определить,
при каких
« m » ( « а, b » или других буквах) функция убывает или возрастает.
Разбор примера
При каких значениях « m » функция
« y = mx − m − 3 + 2x » является убывающей?
Обратимся снова к определению убывания функции. Вспомним, как записать условия убывания функции с точки зрения формул.
|
x2 > x1 |
Обязательное условие убывания функции |
Запишем эти условия, используя формулу функции « y = mx − m − 3 + 2x », заданную в
задаче. Вместо
« x »
подставим « x1 » и « x2 ».
y( x2 ) < y( x1 )
mx2 − m − 3 + 2x2 < mx1 − m − 3 + 2x1
Упростим полученное неравенство. Перенесем из правой части все члены неравенства в левую часть с противоположными знаками.
mx2 − m − 3 + 2x2 − mx1
+ m
+ 3
− 2x1
< 0
Упростим полученное выражение. Некоторые члены неравенства взаимоуничтожатся.
mx2 − mx1
− m + m − 3 + 3 + 2x2 − 2x1
< 0
mx2 − mx1 + 2x2 − 2x1
< 0
Вынесем общие множители за скобки.
m( x2 − x1) + 2(x2 − x1)
< 0
Теперь
вынесем общий множитель
« ( x2 − x1 ) ».
( x2 − x1) (m + 2)
< 0
Вспомним обязательное условие убывания функции.
|
x2 > x1 |
Обязательное условие убывания функции |
Преобразуем исходное условие убывания функции « x2 > x1 ».
Перенесем все в левую часть.
x2 > x1
x2 − x1 > 0
По условию убывания функции
« x2 − x1 > 0 »,
значит, чтобы
произведение
«( x2 − x1) (m + 2)
» было меньше нуля, требуется, чтобы множитель «(m + 2)» был меньше нуля. Так как по
правилу знаков:
плюс на минус даёт минус.
| + | · | − | < 0 |
| (x2 − x1) | · | (m + 2) | < 0 |
Решим полученное неравенство.
m + 2 < 0
m < −2
Ответ: при «m < −2» функция
« y = mx − m − 3 + 2x »
является убывающей.
Ваши комментарии
Важно!
Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи
«ВКонтакте».
Оставить комментарий:
Каждый из нас встречался с разными графиками, как на уроках, так и в жизни. Например, рассматривали, как изменяется температура воздуха в определенный период времени.
На рисунке видно, что температура воздуха была отрицательной с 0 часов до 6 часов, а также с 20 до 24 часов. Еще можем сказать, что температура повышалась до 14 часов, а затем понижалась. То есть по данному графику мы смогли определить некоторые свойства зависимости температуры воздуха от времени суток.
Остановимся подробнее на свойствах функций.
Нули функции
Определение
Нули функции – это значение аргумента, при которых функция обращается в нуль. Если смотреть нули функции на графике, то берем точки, где график пересекает ось х.
На рисунке он пересекает ось х при х=-1; х=4; х=6. Эти точки пересечения выделены красным цветом.
Внимание!
Существует функция, которая не будет иметь нули функции. Это гипербола. Вспомним, что функция имеет вид у=k/x, где х не равное 0 число.
График функции у=k/x выглядит следующим образом:
По данному рисунку видно, что нулей функции не существует.
Как найти нули функции?
- Для того чтобы найти нули функции, которая задана формулой, надо подставить вместо у число нуль и решить полученное уравнение.
- Если график функции дан на рисунке, то ищем точки пересечения графика с осью х.
Рассмотрим примеры нахождения нулей функции.
Пример №1. Найти нули функции (если они существуют):
а) у= –11х +22
б) у= (х + 76)(х – 95)
в) у= – 46/х
а) Для нахождения нулей функции необходимо в данную формулу вместо у подставить число 0, так как координаты точки пересечения графика с осью х (х;0). Нам нужно найти значение х. Получаем 0 = –11х +12. Решаем уравнение. Переносим слагаемое, содержащее переменную, в левую часть, меняя знак на противоположный: 11х=22
Находим х, разделив 22 на 11: х=22:11
Получим х=2.
Таким образом, мы нашли нуль функции: х=2
б) Аналогично во втором случае. Подставляем вместо у число 0 и решаем уравнение вида 0=(х + 76)(х – 95). Вспомним, что произведение двух множителей равно 0 тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен 0. Таким образом, так как у нас два множителя, составляем два уравнения: х + 76 = 0 и х – 95 = 0. Решаем каждое, перенося числа 76 и -95 в правую часть, меняя знаки на противоположные. Получаем х = – 76 и х = 95. Значит, нули функции это числа (-76) и 95.
в) в третьем случае: если вместо у подставить 0, то получится 0 = – 46/х, где для нахождения значения х нужно будет -46 разделить на нуль, что сделать невозможно. Значит, нулей функции в этом случае нет.
Пример №2. Найти нули функции у=f(x) по заданному графику.
Находим точки пересечения графика с осью х и выписываем значения х в этих точках. Это (-4,9); (-1,2); 2,2 и 5,7. У нас на рисунке точки пересечения выделены красным цветом.
Промежутки знакопостоянства
Определение
Промежутки, где функция сохраняет знак (то есть значение y либо положительное на этом промежутке, либо отрицательное), называется промежутками знакопостоянства.
Рассмотрим по нашему рисунку, на какие промежутки разбивается область определения данной функции [-3; 7] ее нулями. По графику видно, что это 4 промежутка: [-3; -1), (-1;4), (4; 6) и (6; 7]. Помним, что значения из области определения смотрим по оси х.
На рисунке синим цветом выделены части графика в промежутках [-3; -1) и (4; 6), которые расположены ниже оси х. Зеленым цветом выделены части графика в промежутках (-1;4) и (6; 7], которые расположены выше оси х.
Значит, что в промежутках [-3; -1) и (4; 6) функция принимает отрицательные значения, а в промежутках (-1;4) и (6; 7] она принимает положительные значения. Это и есть промежутки знакопостоянства.
Пример №3. Найдем промежутки знакопостоянства по заданному на промежутке [-2; 10] графику функции у=f(x).
Функция принимает положительные значения в промежутках [-2; -1) и (3; 8). Обратите внимание, что эти части на рисунке выделены зеленым цветом.
Функция принимает отрицательные значения в промежутках (-1; 3) и (8; 10]. Обратите внимание на линии синего цвета.
Возрастание и убывание функции
Значения функции могут уменьшаться или увеличиваться. Это зависит от того, как изменяются значения х. Рассмотрим это свойство по рисунку.
На графике видно, что с увеличением значения х от -3 до 2 значения у тоже увеличиваются. Также с увеличением значения х от 5 до 7 значения у опять увеличиваются. Проще говоря, слева направо график идет вверх (синие линии). То есть в промежутках [-3; 2] и [5; 7] функция у=f(x) является возрастающей.
Посмотрим на значения х, которые увеличиваются от 2 до 5. В этом случае значения у уменьшаются. На графике эта часть выделена зеленым цветом. Слева направо эта часть графика идет вниз. То есть в промежутке [2;5] функция у=f(x) является убывающей.
Определение
Функция называется возрастающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции; функция называется убывающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.
Даниил Романович | Просмотров: 16k
Чтобы определить характер функции и говорить о ее поведении, необходимо находить промежутки возрастания и убывания. Этот процесс получил название исследования функции и построения графика. Точка экстремума используется при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции, так как в них происходит возрастание или убывание функции из интервала.
Данная статья раскрывает определения, формулируем достаточный признак возрастания и убывания на интервале и условие существования экстремума. Это применимо к решению примеров и задач. Следует повторить раздел дифференцирования функций, потому как при решении необходимо будет использовать нахождение производной.
Возрастание и убывание функции на интервале
Функция y=f(x) будет возрастать на интервале x, когда при любых x1∈X и x2∈X , x2>x1неравенство f(x2)>f(x1) будет выполнимо. Иначе говоря, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Функция y=f(x) считается убывающей на интервале x, когда при любых x1∈X, x2∈X, x2>x1 равенство f(x2)>f(x1) считается выполнимым. Иначе говоря, большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
Замечание: Когда функция определенная и непрерывная в концах интервала возрастания и убывания, то есть (a;b), где х=а, х=b, точки включены в промежуток возрастания и убывания. Определению это не противоречит, значит, имеет место быть на промежутке x.
Основные свойства элементарных функций типа y=sinx – определенность и непрерывность при действительных значениях аргументах. Отсюда получаем, что возрастание синуса происходит на интервале -π2; π2, тогда возрастание на отрезке имеет вид -π2; π2.
Точки экстремума, экстремумы функции
Точка х0 называется точкой максимума для функции y=f(x), когда для всех значений x неравенство f(x0)≥f(x) является справедливым. Максимум функции – это значение функции в точке, причем обозначается ymax.
Точка х0 называется точкой минимума для функции y=f(x), когда для всех значений x неравенство f(x0)≤f(x) является справедливым. Минимум функции – это значение функции в точке, причем имеет обозначение вида ymin.
Окрестностями точки х0 считаются точки экстремума, а значение функции, которое соответствует точкам экстремума. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
Экстремумы функции с набольшим и с наименьшим значением функции. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
Первый рисунок говорит о том, что необходимо найти наибольшее значение функции из отрезка [a;b]. Оно находится при помощи точек максимума и равняется максимальному значению функции, а второй рисунок больше походит на поиск точки максимума при х=b.
Достаточные условия возрастания и убывания функции
Чтобы найти максимумы и минимумы функции, необходимо применять признаки экстремума в том случае, когда функция удовлетворяет этим условиям. Самым часто используемым считается первый признак.
Первое достаточное условие экстремума
Пусть задана функция y=f(x), которая дифференцируема в ε окрестности точки x0, причем имеет непрерывность в заданной точке x0. Отсюда получаем, что
- когда f'(x)>0 с x∈(x0-ε; x0) и f'(x)<0 при x∈(x0; x0+ε), тогда x0 является точкой максимума;
- когда f'(x)<0 с x∈(x0-ε; x0) и f'(x)>0 при x∈(x0; x0+ε), тогда x0 является точкой минимума.
Иначе говоря, получим их условия постановки знака:
- когда функция непрерывна в точке x0, тогда имеет производную с меняющимся знаком, то есть с + на -, значит, точка называется максимумом;
- когда функция непрерывна в точке x0, тогда имеет производную с меняющимся знаком с – на +, значит, точка называется минимумом.
Алгоритм для нахождения точек экстремума
Чтобы верно определить точки максимума и минимума функции, необходимо следовать алгоритму их нахождения:
- найти область определения;
- найти производную функции на этой области;
- определить нули и точки, где функция не существует;
- определение знака производной на интервалах;
- выбрать точки, где функция меняет знак.
Рассмотрим алгоритм на примере решения нескольких примеров на нахождение экстремумов функции.
Найти точки максимума и минимума заданной функции y=2(x+1)2x-2.
Решение
Область определения данной функции – это все действительные числа кроме х=2. Для начала найдем производную функции и получим:
y’=2x+12x-2’=2·x+12’·(x-2)-(x+1)2·(x-2)'(x-2)2==2·2·(x+1)·(x+1)’·(x-2)-(x+1)2·1(x-2)2=2·2·(x+1)·(x-2)-(x+2)2(x-2)2==2·(x+1)·(x-5)(x-2)2
Отсюда видим, что нули функции – это х=-1, х=5, х=2, то есть каждую скобку необходимо приравнять к нулю. Отметим на числовой оси и получим:
Теперь определим знаки производной из каждого интервала. Необходимо выбрать точку, входящую в интервал, подставить в выражение. Например, точки х=-2, х=0, х=3, х=6.
Получаем, что
y'(-2)=2·(x+1)·(x-5)(x-2)2x=-2=2·(-2+1)·(-2-5)(-2-2)2=2·716=78>0, значит, интервал -∞; -1 имеет положительную производную. Аналогичным образом получаем, что
y'(0)=2·(0+1)·0-50-22=2·-54=-52<0y'(3)=2·(3+1)·(3-5)(3-2)2=2·-81=-16<0y'(6)=2·(6+1)·(6-5)(6-2)2=2·716=78>0
Так как второй интервал получился меньше нуля, значит, производная на отрезке будет отрицательной. Третий с минусом, четвертый с плюсом. Для определения непрерывности необходимо обратить внимание на знак производной, если он меняется, тогда это точка экстремума.
Получим, что в точке х=-1 функция будет непрерывна, значит, производная изменит знак с + на -. По первому признаку имеем, что х=-1 является точкой максимума, значит получаем
ymax=y(-1)=2·(x+1)2x-2x=-1=2·(-1+1)2-1-2=0
Точка х=5 указывает на то, что функция является непрерывной, а производная поменяет знак с – на +. Значит, х=-1 является точкой минимума, причем ее нахождение имеет вид
ymin=y(5)=2·(x+1)2x-2x=5=2·(5+1)25-2=24
Графическое изображение
Ответ: ymax=y(-1)=0, ymin=y(5)=24.
Стоит обратить внимание на то, что использование первого достаточного признака экстремума не требует дифференцируемости функции с точке x0, этим и упрощает вычисление.
Найти точки максимума и минимума функции y=16×3=2×2+223x-8.
Решение.
Область определения функции – это все действительные числа. Это можно записать в виде системы уравнений вида:
-16×3-2×2-223x-8, x<016×3-2×2+223x-8, x≥0
После чего необходимо найти производную:
y’=16×3-2×2-223x-8′, x<016×3-2×2+223x-8′, x>0y’=-12×2-4x-223, x<012×2-4x+223, x>0
Точка х=0 не имеет производной, потому как значения односторонних пределов разные. Получим, что:
lim y’x→0-0=lim yx→0-0-12×2-4x-223=-12·(0-0)2-4·(0-0)-223=-223lim y’x→0+0=lim yx→0-012×2-4x+223=12·(0+0)2-4·(0+0)+223=+223
Отсюда следует, что функция непрерывна в точке х=0, тогда вычисляем
lim yx→0-0=limx→0-0-16×3-2×2-223x-8==-16·(0-0)3-2·(0-0)2-223·(0-0)-8=-8lim yx→0+0=limx→0-016×3-2×2+223x-8==16·(0+0)3-2·(0+0)2+223·(0+0)-8=-8y(0)=16×3-2×2+223x-8x=0=16·03-2·02+223·0-8=-8
Необходимо произвести вычисления для нахождения значения аргумента, когда производная становится равной нулю:
-12×2-4x-223, x<0D=(-4)2-4·-12·-223=43×1=4+432·-12=-4-233<0x2=4-432·-12=-4+233<0
12×2-4x+223, x>0D=(-4)2-4·12·223=43×3=4+432·12=4+233>0x4=4-432·12=4-233>0
Все полученные точки нужно отметить на прямой для определения знака каждого интервала. Поэтому необходимо вычислить производную в произвольных точках у каждого интервала. Например, у нас можно взять точки со значениями x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6. Получим, что
y'(-6)=-12×2-4x-223x=-6=-12·-62-4·(-6)-223=-43<0y'(-4)=-12×2-4x-223x=-4=-12·(-4)2-4·(-4)-223=23>0y'(-1)=-12×2-4x-223x=-1=-12·(-1)2-4·(-1)-223=236<0y'(1)=12×2-4x+223x=1=12·12-4·1+223=236>0y'(4)=12×2-4x+223x=4=12·42-4·4+223=-23<0y'(6)=12×2-4x+223x=6=12·62-4·6+223=43>0
Изображение на прямой имеет вид
Значит, приходим к тому, что необходимо прибегнуть к первому признаку экстремума. Вычислим и получим, что
x=-4-233, x=0, x=4+233, тогда отсюда точки максимума имеют значениx=-4+233, x=4-233
Перейдем к вычислению минимумов:
ymin=y-4-233=16×3-22+223x-8x=-4-233=-8273ymin=y(0)=16×3-22+223x-8x=0=-8ymin=y4+233=16×3-22+223x-8x=4+233=-8273
Произведем вычисления максимумов функции. Получим, что
ymax=y-4+233=16×3-22+223x-8x=-4+233=8273ymax=y4-233=16×3-22+223x-8x=4-233=8273
Графическое изображение
Ответ:
ymin=y-4-233=-8273ymin=y(0)=-8ymin=y4+233=-8273ymax=y-4+233=8273ymax=y4-233=8273
Второй признак экстремума функции
Если задана функция f'(x0)=0, тогда при ее f”(x0)>0 получаем, что x0 является точкой минимума, если f”(x0)<0, то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x0.
Найти максимумы и минимумы функции y=8xx+1.
Решение
Для начала находим область определения. Получаем, что
D(y): x≥0x≠-1⇔x≥0
Необходимо продифференцировать функцию, после чего получим
y’=8xx+1’=8·x’·(x+1)-x·(x+1)'(x+1)2==8·12x·(x+1)-x·1(x+1)2=4·x+1-2x(x+1)2·x=4·-x+1(x+1)2·x
При х=1 производная становится равной нулю, значит, точка является возможным экстремумом. Для уточнения необходимо найти вторую производную и вычислить значение при х=1. Получаем:
y”=4·-x+1(x+1)2·x’==4·(-x+1)’·(x+1)2·x-(-x+1)·x+12·x'(x+1)4·x==4·(-1)·(x+1)2·x-(-x+1)·x+12’·x+(x+1)2·x'(x+1)4·x==4·-(x+1)2x-(-x+1)·2x+1(x+1)’x+(x+1)22x(x+1)4·x==-(x+1)2x-(-x+1)·x+1·2x+x+12x(x+1)4·x==2·3×2-6x-1x+13·x3⇒y”(1)=2·3·12-6·1-1(1+1)3·(1)3=2·-48=-1<0
Значит, использовав 2 достаточное условие экстремума, получаем, что х=1 является точкой максимума. Иначе запись имеет вид ymax=y(1)=811+1=4.
Графическое изображение
Ответ: ymax=y(1)=4..
Третье достаточное условие экстремума
Функция y=f(x) имеет ее производную до n-го порядка в ε окрестности заданной точки x0 и производную до n+1-го порядка в точке x0. Тогда f'(x0)=f”(x0)=f”'(x0)=…=fn(x0)=0.
Отсюда следует, что когда n является четным числом, то x0 считается точкой перегиба, когда n является нечетным числом, то x0 точка экстремума, причем f(n+1)(x0)>0, тогда x0 является точкой минимума, f(n+1)(x0)<0, тогда x0 является точкой максимума.
Найти точки максимума и минимума функции yy=116(x+1)3(x-3)4.
Решение
Исходная функция – целая рациональная, отсюда следует, что область определения – все действительные числа. Необходимо продифференцировать функцию. Получим, что
y’=116x+13′(x-3)4+(x+1)3x-34’==116(3(x+1)2(x-3)4+(x+1)34(x-3)3)==116(x+1)2(x-3)3(3x-9+4x+4)=116(x+1)2(x-3)3(7x-5)
Данная производная обратится в ноль при x1=-1, x2=57, x3=3. То есть точки могут быть точками возможного экстремума. Необходимо применить третье достаточное условие экстремума. Нахождение второй производной позволяет в точности определить наличие максимума и минимума функции. Вычисление второй производной производится в точках ее возможного экстремума. Получаем, что
y”=116x+12(x-3)3(7x-5)’=18(x+1)(x-3)2(21×2-30x-3)y”(-1)=0y”57=-368642401<0y”(3)=0
Значит, что x2=57 является точкой максимума. Применив 3 достаточный признак, получаем, что при n=1 и f(n+1)57<0.
Необходимо определить характер точек x1=-1, x3=3. Для этого необходимо найти третью производную, вычислить значения в этих точках. Получаем, что
y”’=18(x+1)(x-3)2(21×2-30x-3)’==18(x-3)(105×3-225×2-45x+93)y”'(-1)=96≠0y”'(3)=0
Значит, x1=-1 является точкой перегиба функции, так как при n=2 и f(n+1)(-1)≠0. Необходимо исследовать точку x3=3. Для этого находим 4 производную и производим вычисления в этой точке:
y(4)=18(x-3)(105×3-225×2-45x+93)’==12(105×3-405×2+315x+57)y(4)(3)=96>0
Из выше решенного делаем вывод, что x3=3 является точкой минимума функции.
Графическое изображение
Ответ: x2=57 является точкой максимума, x3=3 – точкой минимума заданной функции.
Содержание:
- Нахождение промежутков возрастания и убывания функции
- Интервалы возрастания и убывания функции
- Промежутки возрастания и убывания функции
- Задача пример №115
- Задача пример №116
Это интересно!
В маркетинге информация о каком-либо товаре представляется в виде графика “жизненного цикла товара”.
За указанное время различают 5 фаз: 1 – выход на рынок; 2 – рост; 3 – зрелость; 4 – упадок; 5 – самообновление.
Нахождение промежутков возрастания и убывания функции
Интервалы возрастания и убывания функции
Возрастающая функция
Если для любых 
и 
из некоторого промежутка области определения при 
выполняется условие 
, то на этом промежутке функция возрастающая.
убывающая функция
Если для любых и из некоторого промежутка области определения при 
выполняется условие 
, то на этом промежутке функция убывающая.
Связь промежутков возрастания и убывания функции с угловым коэффициентом секущей можно выразить следующим образом.
Если на заданном промежутке угловой коэффициент любой секущей положителен, то на этом промежутке функция 
возрастает.
Если на заданном промежутке угловой коэффициент любой секущей отрицателен, то на этом промежутке функция убывает.
Промежутки возрастания и убывания функции
Пусть на определенном промежутке производная функции 
положительна, т.е. 
. Так как 
, то угловой коэффициент касательной будет положительным. А это значит, что касательная с положительным направлением оси абсцисс образует острый угол и на заданном промежутке график “поднимается “, т.е. функция возрастает. Если 
, тогда касательная с положительным направлением оси абсцисс образует тупой угол, график “спускается”, т.е. функция убывает.
Теорема. Если функция 
дифференцируема в каждой точке заданного промежутка, то:
• Если 
, то функция на данном промежутке возрастает.
• Если 
, то функция на данном промежутке убывает.
• Если 
, то функция на данном промежутке постоянна.
Примечание: если функция непрерывна в каком-либо из концов промежутка возрастания (убывания), то эту точку присоединяют к этому промежутку.
По графику функции 
, исследуйте промежутки возрастания и убывания функции.
На интервалах (
;1) и (1;+) угловой коэффициент касательной положительный, поэтому на каждом из промежутков (;1] и [1;+) функция возрастает.
На интервале (-1; 1) угловой коэффициент касательной отрицателен, поэтому на промежутке [-1; 1] функция убывает.
Задача пример №115
При помощи производной определите промежутки возрастания и убывания функции 
.
Решение:
1. Алгебраический метод. Найдем производную функции 
Функция 
, на промежутке удовлетворяющем неравенству 
, т.е. 
, возрастает.
Для решения неравенства сначала надо решить соответствующее уравнение 
; 
; 
. Значит, при 
и 
. Точки 
разбивают область определения функции на три интервала: 
. В каждом из интервалов выберем контрольную точку для проверки и установим знак производной.
Из таблицы и непрерывности функции 
видно, что данная функция возрастает на промежутках 
и убывает на промежутке 
. Из графика также видно, что задания решение верно.
2. Промежутки возрастания и убывания функции можно определить по графику производной. На рисунке изображен график производной 
.
График производной 
при 
и 
расположен выше оси 
, значит 
. Так как функция 
в точках 
и 
непрерывна, то на промежутках 
и 
она возрастает, а на промежутке 
убывает.
Задача пример №116
Изобразите схематично график непрерывной функции согласно следующим условиям
а) при 
, при 
b) при 
или 
, при 
Решение:
а) при 
знак производной положительный: 
, значит, функция возрастает. При 
знак производной отрицательный: 
, значит, функция убывает, при 
значение функции равно 5.
b) при 
и 
знак производной положительный: 
, значит, функция возрастает. При 
знак производной отрицательный: 
, значит, функция убывает, при значение функции равно 0.
Лекции:
- Изменить порядок интегрирования
- Производная функции заданной неявно
- Методы определенного интегрирования
- Функция распределения
- Рациональные числа
- Теорема об остатке
- Найти частные производные
- Уравнения с двумя переменными
- Матрицы
- Расстояние между скрещивающимися прямыми
