Как найти длину прямоугольника двумя способами

Прямоугольник. Онлайн калькулятор

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти сторону, периметр, диагональ прямоугольника, радиус описанной вокруг прямоугольника окружности и т.д.. Для нахождения незвестных элементов, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Определение 1. Прямоугольник − это параллелограмм, у которого все углы прямые (Рис.1).

Можно дать и другое определение прямоугольника.

Определение 2. Прямоугольник − это четырехугольник, у которого все углы прямые.

Свойства прямоугольника

Так как прямоугольник является параллелограммом, то все свойства параллелограмма верны и для прямоугольника.

• 1. Стороны прямоугольника являются его высотами.
• 2. Все углы прямоугольника прямые.
• 3. Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов его соседних двух сторон.
• 4. Диагонали прямоугольника равны.
• 5. Около любого прямоугольника можно описать окружность, при этом диаметр описанной окружности равна диагонали прямоугольника.

Длиной прямоугольника называется более длинная пара его сторон.

Шириной прямоугольника называется более короткая пара его сторон.

Диагональ прямоугольника

Определение 3. Диагональ прямоугольника − это отрезок, соединяющий две несмежные вершины прямоугольника.

На рисунке 2 изображен диагональ d, который является отрезком, соединяющим несмежные вершины A и C. Прямоугольник имеет две диагонали.

Для вычисления длины диагонали воспользуемся теоремой Пифагора:

.

(1)

Из равенства (1) найдем d:

.

(2)

Пример 1. Стороны прямоугольника равны . Найти диагональ прямоугольника.

Решение. Для нахождения диаметра прямоугольника воспользуемся формулой (2). Подставляя в (2), получим:

Ответ:

Окружность, описанная около прямоугольника

Определение 4. Окружность называется описанной около прямоугольника, если все вершины прямоугольника находятся на этой окружности (Рис.3):

Формула радиуса окружности описанной около прямоугольника

Выведем формулу вычисления радиуса окружности, описанной около прямоугольника через стороны прямоугольника.

Нетрудно заметить, что радиус описанной около прямоугольника окружности равна половине диагонали (Рис.3). То есть

Подставляя (3) в (2), получим:

Пример 2. Стороны прямоугольника равны . Найти радиус окружности, описанной вокруг прямоугольника.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника воспользуемся формулой (4). Подставляя в (4), получим:

Ответ:

Периметр прямоугольника

Определение 5. Периметр прямоугольника − это сумма всех его сторон. Обозначается периметр латинской буквой P.

Периметр прямоугольника вычисляется формулой:

(5)

где ( small a ) и ( small b ) − стороны прямоугольника.

Пример 3. Стороны прямоугольника равны . Найти периметр прямоугольника.

Решение. Для нахождения периметра прямоугольника воспользуемся формулой (5). Подставляя в (5), получим:

Ответ:

Формулы сторон прямоугольника через его диагональ и периметр

Выведем формулу вычисления сторон прямоугольника, если известны диагональ ( small d ) и периметр ( small P ) прямоугольника. Заметим: чтобы прямоугольник существовал, должно удовлетворяться условие ( small frac P2>d ) (это следует из неравенства треугольника).

Чтобы найти стороны прямоугольника запишем формулу Пифагора и формулу периметра прямоугольника:

(6)

(7)

Из формулы (7) найдем ( small b ) и подставим в (6):

(8)

(9)

Упростив (4), получим квадратное уравнение относительно неизвестной ( small a ):

(10)

Вычислим дискриминант квадратного уравнения (10):

Сторона прямоугольника вычисляется из следующих формул:

(12)

После вычисления ( small a ), сторона ( small b ) вычисляется или из формулы (12), или из (8).

Примечание. Легко можно доказать, что

( frac< P><2>>d ; ⇒ ; P>2cdot d ; ⇒ ) ( small P^2>4 cdot d^2 ; ⇒ ; 4d^2-P^2 2d .) Следовательно выполняется неравенство (*).

Пример 4. Диагональ прямоугольника равна , а периметр равен . Найти стороны прямоугольника.

Решение. Для нахождения сторон прямоугольника воспользуемся формулами (11), (12) и (8). Найдем сначала дискриминант ( small D ) из формулы (11). Для этого подставим , в (11):

Подставляя значения и в первую формулу (12), получим:

Найдем другую сторону ( small b ) из формулы (8). Подставляя значения и в формулу, получим:

Ответ: ,

Признаки прямоугольника

Признак 1. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Признак 2. Если квадрат диагонали параллелограмма равен сумме квадратов его смежных сторон, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Признак 3. Если углы параллелограмма равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Источник

Длина прямоугольника – формула, примеры как найти

В этой статье мы поговорим о длине прямоугольника. Как определить, какая из сторон является длиной и зачем их разделять. Разберем три способа нахождения длины прямоугольника и решим небольшую задачу.

Что такое длина прямоугольника

Довольно часто люди путают местами длину и ширину прямоугольника, как правило, это не критично, но в результате значительно уменьшается наглядность, а от этого страдает качество решения.

Прямоугольник это частный случай параллелограмма. Параллелограмм, каждый угол которого равен 90 градусам, называется прямоугольником. Для наглядного изображения лучше будет, если нижней опорой прямоугольника будет служить длинна. Так сложилось, что такой рисунок больше всего напоминает рисунки в учебнике, а потому ученику будет проще разобраться в теме.

Рис. 1. Изображение прямоугольника

Три способа найти длину прямоугольника

Если разделить фигуру на две части диагональю, то можно заметить, что прямоугольник поделится ею на два прямоугольных треугольника. Из этого разделения и вытекают все формулы длины прямоугольника.

Через теорему Пифагора

Если известна длина диагонали ( обозначим ее буквой d) и ширина прямоугольника (примем значение за букву a). Тогда корень квадратный из разности квадратов диагонали и ширины будет равен длине прямоугольника.

Чтобы было понятнее, напишем решение в виде нескольких формул.

Согласно теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Гипотенуза это сторона, противоположная прямому углу, две другие стороны зовутся катетами. В нашем случае гипотенуза это диагональ.

Значит: d2=a2+b2 . Из этого выражения выразим квадрат длины (значение «b»):b2=d2-a2

Для того, чтобы определить значение b, нужно взять корень квадратный из обеих сторон получившегося выражения: b=(d2-a2)(-1)

В случае необходимости, можно поменять местами а и b, тогда получится формула ширины.

Через площадь

Рассмотрим еще один способ найти длину прямоугольника. Через площадь.Площадь прямоугольника равняется произведению длины на ширину. То есть, используя уже знакомые обозначения S=a*b. Выразим из этой формулы значение длины: b=S/b.

Так же, как и в первом методе, можно поменять местами а и b, чтобы получить формулу для ширины: a=S/b.

Тригонометрическая функция

Один из самых быстрых, но при этом немного сложных способов нахождения длины – воспользоваться тригонометрической функцией.

Если имеется прямоугольный треугольник, то соответственно имеются отношения, известные как синус и косинус.

Выберем угол между длинной и диагональю. Обозначим его α. Тогда sin α катета, противоположного углу α к гипотенузе: Sin α = a/d

Рис. 2. Угол альфа на половине прямоугольника

Значение синуса любого угла можно найти в таблицах Брадиса. Для удобства можно воспользоваться онлайн-версией, которая найдет значение отношения автоматически.

Но в формуле нет значения b, которое соответствует длине, а значит воспользуемся основным тригонометрическим тождеством.Косинус это отношение стороны, прилежащей к углу, к гипотенузе: cos a=b/d

Значит можно найти длину, умножив косинус на гипотенузу: b=cos α*d

Задача

• Найти длину прямоугольника, если известно, что его ширина равна 3, а диагональ 5.

Воспользуемся теоремой Пифагора и найдем b. Длина равна корню квадратному из разности квадрата диагонали и квадрата ширины.

Корень квадратный из 16 равен 4.

Рис. 3. Решение задачи

Что мы узнали?

Мы рассмотрели, как правильно изображать прямоугольник для большей наглядности, рассмотрели как можно найти длину при различных условиях задачи и решили задачу средней сложности на нахождение длины прямоугольника через теорему Пифагора.

Источник

Длина прямоугольника

Средняя оценка: 4.6

Всего получено оценок: 78.

Средняя оценка: 4.6

Всего получено оценок: 78.

В этой статье мы поговорим о длине прямоугольника. Как определить, какая из сторон является длиной и зачем их разделять. Разберем три способа нахождения длины прямоугольника и решим небольшую задачу.

Что такое длина прямоугольника

Довольно часто люди путают местами длину и ширину прямоугольника, как правило, это не критично, но в результате значительно уменьшается наглядность, а от этого страдает качество решения.

Прямоугольник это частный случай параллелограмма. Параллелограмм, каждый угол которого равен 90 градусам, называется прямоугольником. Для наглядного изображения лучше будет, если нижней опорой прямоугольника будет служить длина. Так сложилось, что такой рисунок больше всего напоминает рисунки в учебнике, а потому ученику будет проще разобраться в теме.

Три способа найти длину прямоугольника

Если разделить фигуру на две части диагональю, то можно заметить, что прямоугольник поделится ею на два прямоугольных треугольника. Из этого разделения и вытекают все формулы длины прямоугольника.

Через теорему Пифагора

Если известна длина диагонали (обозначим ее буквой d) и длина прямоугольника (примем значение за букву a). Тогда корень квадратный из разности квадратов диагонали и длины будет равен ширине прямоугольника.

Чтобы было понятнее, напишем решение в виде нескольких формул.

Согласно теореме Пифагора – квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Гипотенуза – это сторона, противоположная прямому углу, две другие стороны зовутся катетами. В нашем случае гипотенуза это диагональ.

Значит: d 2 =a 2 +b 2 . Из этого выражения выразим квадрат ширины (значение «b»):b 2 =d 2 -a 2

Для того, чтобы определить значение b, нужно взять корень квадратный из обеих сторон получившегося выражения: b=(d 2 -a 2 ) (-1)

В случае необходимости, можно поменять местами а и b, тогда получится формула длины.

Через площадь

Рассмотрим еще один способ найти длину прямоугольника – через площадь.Площадь прямоугольника равна произведению длины и ширины. То есть, используя уже знакомые обозначения S=a*b. Выразим из этой формулы значение ширины: b=S/b.

Так же, как и в первом методе, можно поменять местами а и b, чтобы получить формулу для длины: a=S/b.

Тригонометрическая функция

Один из самых быстрых, но при этом немного сложных способов нахождения длины – воспользоваться тригонометрической функцией.

Если имеется прямоугольный треугольник, то соответственно имеются отношения, известные как синус и косинус.

Выберем угол между длиной и диагональю. Обозначим его α. Тогда sin α равен отношению катета, противоположного углу α к гипотенузе: Sin α = a/c

Рис. 2. Угол альфа на половине прямоугольника

Значение синуса любого угла можно найти в таблицах Брадиса или с помощью калькулятора. Для удобства можно воспользоваться онлайн-версией, которая найдет значение отношения автоматически.

Но в формуле нет значения b, которое соответствует длине, а, значит, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством. Косинус – это отношение стороны, прилежащей к углу, к гипотенузе: cos a=b/c

Значит можно найти длину, умножив косинус на гипотенузу: b=cos α*c

Задача

• Найти длину прямоугольника, если известно, что его ширина равна 3, а диагональ 5.

Воспользуемся теоремой Пифагора и найдем b. Длина равна корню квадратному из разности квадрата диагонали и квадрата ширины.

Корень квадратный из 16 равен 4.

Рис. 3. Решение задачи

Что мы узнали?

Мы рассмотрели, как правильно изображать прямоугольник для большей наглядности, рассмотрели как можно найти длину или ширину при различных условиях задачи и решили задачу средней сложности на нахождение длины прямоугольника через теорему Пифагора.

Источник

Алгоритм решения задачи:

• Запишем формулу вычисления периметра прямоугольника;
• Выразим из нее необходимую нам сторону;
• Найдем длину прямоугольника.

Сформулируем и запишем формулу для вычисления периметра прямоугольника

Периметр прямоугольника равен удвоенной суме двух его не противоположных сторон или же сумме всех его сторон. Исходя из этого, имеем две формулы:

1) P = (a + b) * 2;

2) P = a + a + b + b,

где a и b длина и ширина (у прямоугольника их по две).

Выразим и найдем длину прямоугольника

Первый способ

По условию задания нам дана ширина прямоугольника, которая равна 3 сантиметра, а также его периметр, что дает нам возможность из формул, представленных выше найти длину прямоугольника.

Первая формула:

P = (a + b) * 2;

a = P / 2 – b;

a = 20 / 2 – 3;

a = 10 – 3;

a = 7.

Вторая формула:

P = a + a + b + b;

a + a + b + b = P;

2a + 3 + 3 = 20;

2a + 6 = 20;

2a = 14;

a = 14 / 2;

a = 7.

Второй способ

Решим задачу путем составления уравнения. Обозначим неизвестную нам сторону (длину) как x.

(x + 3) * 2 = 20;

x + 3 = 20 / 2;

x + 3 = 10;

x = 7.

Мы решили задачу двумя способами и в результате выполнения вычислений получили число 7. Длина прямоугольника равна 7 сантиметров.

Как найти длину и периметр прямоугольника

С формулой вычисления периметра прямоугольника школьники знакомятся во втором классе. Найти периметр по этой формуле можно, если известны все или две соседние стороны прямоугольника. P = a + b + c + d, где a, b, c, d — стороны.

Как высчитать периметр у прямоугольника

Формула нахождения периметра прямоугольника:

P = a + b + c + d, где a, b, c, d — стороны. P = 2 × (a + b), где a и b — соседние стороны.

Как найти периметр прямоугольника зная только длину

Если известна длина всех сторон прямоугольника, просто посчитайте сумму этих величин. Если вы знаете только две соседние стороны, суммируйте их и умножьте результат на два.

Как найти площадь и периметр прямоугольника 4 класс

Площадь прямоугольника равна произведению его длины и ширины. S = · b, где S — площадь, — длина, b — ширина прямоугольника. Периметр прямоугольника равен удвоенной сумме его длины и ширины. P = ( + b) · 2, где P — периметр, — длина, b — ширина прямоугольника.

Как найти периметр прямоугольника тремя способами

Формула Чтобы найти периметр прямоугольника, нужно сумму его ширины и длины умножить на два.

Как найти длину и периметр

Чтобы найти периметр фигуры, нам просто нужно сложить длины всех сторон. Поскольку нам даны все стороны, нам просто нужно их сложить. Итак, периметр 8+ 3 + 5 + 1 + 3 + 2 = 22 см.

Как найти периметр прямоугольника

Формула периметра для прямоугольника гласит, что P = (L + W) × 2, где P представляет периметр, L представляет длину, а W представляет ширину. Когда вам даны размеры прямоугольной формы, вы можете просто подставить значения L и W в формулу, чтобы найти периметр.

Как узнать длину периметра

Как найти периметр фигуры:

1. Периметр — это сумма длин всех сторон многоугольника.
2. P = 3 ⋅ a, где a — длина стороны.
3. P = 2 ⋅ (a + b), где a — одна сторона, b — соседняя сторона.

Как найти периметр прямоугольника зная только 1 сторону

Напомним, периметром называют суммарную длину всех сторон. Вычислить её можно по‑разному:

1. Поделите площадь на длину известной стороны.
2. Прибавьте результат к известной стороне.
3. Умножьте полученное число на два.

Как найти периметр прямоугольника неполного

У прямоугольника и параллелограмма противоположные стороны равны, а значит, найти их периметр легко, зная две соседние стороны. P = 2 ⋅ (a + b), где a — одна сторона, b — соседняя сторона.

Как найти периметр прямоугольника если длина

Надо площадь разделить на длину потом к длине прибавить ширину и умножить на два.

Как найти периметр прямоугольника зная диагональ и одну сторону

Посчитайте разность квадратов диагонали и стороны. Найдите корень из результата. Прибавьте полученное число к известной стороне. Умножьте результат на два:

1. P — искомый периметр прямоугольника;
2. a — известная сторона;
3. d — диагональ прямоугольника.

Как найти длину прямоугольника по калькулятору периметра

Если у вас есть периметр P и ширина w, его длину можно найти с помощью h = P/2−w. Если у вас есть диагональ d и ширина w, ее длина равна h = √(d²−w²).

Как найти периметр прямоугольника в см

Чтобы найти периметр прямоугольника, нужно сумму его ширины и длины умножить на два.

Оставить отзыв

Как найти длину прямоугольника

Стройка, ремонт, изготовление мебели в домашних условиях, творческий процесс или решение задачек в ребенком-школьником, все это может заставить вас вспоминать, как найти длину прямоугольника.

Инструкция

Длину прямоугольника можно найти несколькими способами. Все зависит от исходных данных.

Вариант первый, пожалуй, самый простой.

Если известны ширина прямоугольника и его площадь, воспользуемся формулой нахождения площади. Известно, что площадь прямоугольника равна произведению ширины и длины прямоугольника.

Соответственно, разделив площадь прямоугольника на ширину, мы получим его длину.

Вариант второй, известны ширина и периметр прямоугольника. Значит, можно использовать формулу нахождения периметра.

Периметр прямоугольника возможно найти сложив величины ширины и длины и помножив полученное число на два. Находим неизвестную сторону.

Периметр делим на два и от полученного отнимаем ширину.

Если известна только ширина прямоугольника и длина диагонали, можно воспользоваться теоремой Пифагора. Разделим прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника.

Помним, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Значит длину (в данной ситуации один из катетов) находится по формуле: корень квадратный из разности величины гипотенузы в квадрате и величины катета в квадрате.

Следующий способ: известен угол меж диагоналями прямоугольника и диагональ. Рассмотрим треугольник, образованный стороной прямоугольника и половинками диагоналей. По теореме косинусов вы и найдете эту сторону прямоугольника.

Источники:

• найти ширину прямоугольника
• Какова длина прямоугольника, если известна его ширина

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?