Как найти длину пути 5 класс

Математика

5 класс

Урок № 35

Задачи на движение

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

1. Понятия скорости, времени, расстояния.
2. Формулы нахождения скорости, времени, расстояния.
3. Понятия скорости сближения, скорости удаления.

Глоссарий по теме

Расстояние – это длина от одного пункта до другого.

Большие расстояния, в основном, измеряются в метрах и километрах.

Расстояние обозначается латинской буквой S.

Чтобы найти расстояние, надо скорость умножить на время движения:

S = v ∙ t

Скорость – это расстояние, пройденное телом за единицу времени. Под единицей времени подразумевается 1 час, 1 минута или 1 секунда.

Скорость обозначается латинской буквой v.

Чтобы найти скорость, нужно расстояние разделить на время движения:

v = S : t

Время – это продолжительность каких-то действий, событий.

Время движения обозначается маленькой латинской буквой t.

Чтобы найти время, нужно расстояние разделить на скорость движения:

t = S : v

Скорость сближения – это расстояние, пройденное двумя объектами навстречу друг другу за единицу времени.

Чтобы найти скорость сближения, нужно сложить скорости объектов.

Скорость удаления – это расстояние, которое увеличивается за единицу времени между двумя объектами, двигающимися в противоположных направлениях.

Чтобы найти скорость удаления, нужно сложить скорости объектов.

Чтобы найти скорость удаления при движении в одном направлении, нужно из большей скорости вычесть меньшую скорость.

Основная литература

1. Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К., Потапов, Н. Н. Решетников и др. — М.: Просвещение, 2017. — 258 с.

2. Потапов М. К., Шевкин А. В. Математика. Книга для учителя. 5 – 6 классы — М.: Просвещение, 2010

Дополнительная литература

1. Чесноков А. С., Нешков К. И. Дидактические материалы по математике 5 кл. – М.: Академика учебник, 2014

2. Бурмистрова Т. А. Математика. Сборник рабочих программ. 5–6 классы // Составитель Бурмистрова Т. А.

3. Потапов М. К. Математика: дидактические материалы. 6 кл. // Потапов М. К., Шевкин А. В. — М.: Просвещение, 2010

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Очень часто нам встречаются задачи на нахождение скорости, времени и расстояния. Что же всё это такое? Сейчас нам предстоит в этом разобраться.

Расстояние – это длина от одного пункта до другого. (Например, расстояние от дома до школы 2 километра). В основном большие расстояния измеряются в метрах и километрах. Общепринятое обозначение расстояния – заглавная латинская буква S.

Скоростью называют расстояние, пройденное телом за единицу времени. Под единицей времени подразумевается 1 час, 1 минута или 1 секунда. Скорость обозначается маленькой латинской буквой v.

Рассмотрим задачу:

Двое школьников решили проверить, кто быстрее добежит от двора до спортплощадки. Расстояние от двора до спортплощадки 200 метров. Первый школьник добежал за 50 секунд. Второй за 100 секунд. Кто из ребят бежал быстрее?

Решение:

Быстрее бежал тот, кто за 1 секунду пробежал большее расстояние. Говорят, что у него скорость движения больше. Чтобы найти скорость, нужно расстояние разделить на время движения.

Давайте найдём скорость первого школьника. Для этого разделим 200 метров на время движения первого школьника, то есть на 50 секунд:

200 м : 50 с = 4

Если расстояние дано в километрах, а время движения в часах, скорость измеряется в километрах в час (км/ч). 

У нас расстояние дано в метрах, а время в секундах. Значит, скорость измеряется в метрах в секунду:

200 м : 50 с = 4 (м/с)

Скорость движения первого школьника составляет 4 метра в секунду.

Теперь найдём скорость движения второго школьника. Для этого разделим расстояние на время движения второго школьника:

200 м : 100 c = 2 (м/с)

Скорость движения первого школьника – 4 (м/с).

Скорость движения второго школьника – 2 (м/с).

4 (м/с) > 2 (м/с)

Скорость первого школьника больше. Значит, он бежал до спортплощадки быстрее.

Иногда возникает ситуация, когда требуется узнать, за какое время тело преодолеет то или иное расстояние. Время движения обозначается маленькой латинской буквой t.

Рассмотрим задачу:

От дома до спортивной секции 1200 метров. Мы должны доехать туда на велосипеде. Наша скорость будет 600 метров в минуту. За какое время мы доедем до спортивной секции?

Решение:

Если за одну минуту мы будем проезжать 600 метров, то сколько таких минут нам понадобится для преодоления тысячи двухсот метров? Очевидно, что надо разделить 1200 метров на то расстояние, которое мы будем проезжать за одну минуту, то есть на 600 метров. Тогда мы получим время, за которое мы доедем до спортивной секции:

1200 : 600 = 2 (мин)

Ответ: мы доедем до спортивной секции за 2 минуты.

Скорость, время и расстояние связаны между собой.

Если известны скорость и время движения, то можно найти расстояние. Оно равно скорости, умноженной на время:

S = v ∙ t

Рассмотрим задачу:

Мы вышли из дома и направились в магазин. Мы дошли до магазина за 15 минут. Наша скорость была 60 метров в минуту. Какое расстояние мы прошли?

Решение:

Если за одну минуту мы прошли 60 метров, то сколько таких отрезков по шестьдесят метров мы пройдём за 15 минут? Очевидно, что умножив 60 метров на 15 минут, мы определим расстояние от дома до магазина:

v = 60 (м/мин)

t = 15 (минут)

S = v ∙ t = 60 ∙ 15 = 900 (метров)

Ответ: мы прошли 900 метров.

Если известно время и расстояние, то можно найти скорость:

v = S : t

Рассмотрим задачу:

Расстояние от дома до школы 800 метров. Школьник дошёл до этой школы за 8 минут. Какова была его скорость?

Скорость движения школьника – это расстояние, которое он проходит за одну минуту. Если за 10 минут он преодолел 800 метров, то какое расстояние он преодолевал за одну минуту?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно разделить расстояние на время движения школьника:

S = 800 метров

t = 8 минут

v = S : t = 800 : 8 = 100 (м/мин)

Ответ: скорость школьника была 100 м/мин.

Если известна скорость и расстояние, то можно найти время:

t = S : v

Рассмотрим задачу:

От дома до спортивной секции 600 метров. Мы должны дойти до неё пешком. Наша скорость будет 120 метров в минуту (120 м/мин). За какое время мы дойдём до спортивной секции?

Если за одну минуту мы будем проходить 120 метров, то сколько таких минут со ста двадцатью метрами будет в шестистах метрах?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно 600 метров разделить на расстояние, которое мы будем проходить за одну минуту, то есть на 120. Тогда мы получим время, за которое мы дойдём до спортивной секции:

S = 600 метров

v = 120 (м/мин)

t = S : v = 600 : 120 = 5 (минут).

Ответ: мы дойдём до спортивной секции за 5 минут.

Итак, все рассмотренные нами формулы мы можем представить в виде треугольника для лучшего запоминания:

Теперь рассмотрим типы задач на движение.

Задачи на сближение.

Скорость сближения – это расстояние, пройденное двумя объектами навстречу друг другу за единицу времени.

Например, если из двух пунктов навстречу друг другу отправятся два пешехода, причём скорость первого будет 100 метров в минуту, а второго – 105 метров в минуту, то скорость сближения будет составлять 100 плюс 105, то есть 205 метров в минуту. Значит, каждую минуту расстояние между пешеходами будет уменьшаться на 205 метров.

Чтобы найти скорость сближения, нужно сложить скорости объектов.

Задача.

Из двух пунктов навстречу друг другу выехали одновременно два велосипедиста. Скорость первого велосипедиста 13 км/ч, а скорость второго – 15 км/ч. Через 3 часа они встретились. Определите расстояние между населёнными пунктами.

Решение:

1. Найдём скорость сближения велосипедистов:

13 км/ч + 15 км/ч = 28 км/ч

1. Определим расстояние между населёнными пунктами. Для этого скорость сближения умножим на время движения:

28 ∙ 3 = 84 км

Ответ: расстояние между населёнными пунктами 84 км.

Задачи на скорость удаления.

Скорость удаления – это расстояние, которое увеличивается за единицу времени между двумя объектами, двигающимися в противоположных направлениях.

Например, если два пешехода отправятся из одного и того же пункта в противоположных направлениях, причём скорость первого будет 4 км/ч, а скорость второго 6 км/ч, то скорость удаления будет составлять 4 плюс 6, то есть 10 км/ч. Каждый час расстояние между двумя пешеходами будет увеличиваться на 10 километров.

Чтобы найти скорость удаления, нужно сложить скорости объектов.

Рассмотрим задачу:

С причала одновременно в противоположных направлениях отправились теплоход и катер. Скорость теплохода составляла 60 км/ч, скорость катера 130 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 2 часа?

Решение:

1. Определим скорость удаления. Для этого сложим их скорости:

60 + 130 = 190 км/ч.

Получили скорость удаления равную 190 км/ч. Данная скорость показывает, что за час расстояние между теплоходом и катером будет увеличиваться на 190 километров.

1. Чтобы узнать какое расстояние будет между ними через два часа, нужно 190 умножить на 2:

190 ∙ 2 = 380 км.

Ответ: через 2 часа расстояние между теплоходом и катером будет составлять 380 километров.

Задачи на движение объектов в одном направлении.

В предыдущих пунктах мы рассматривали задачи, в которых объекты (люди, машины, лодки) двигались либо навстречу друг другу, либо в противоположных направлениях. В первом случае мы находили скорость сближения – в ситуации, когда два объекта двигались навстречу друг другу. Во втором случае мы находили скорость удаления – в ситуации, когда два объекта двигались в противоположных направлениях. Но объекты также могут двигаться в одном направлении, причём с различной скоростью.

Чтобы найти скорость удаления при движении в одном направлении, нужно из большей скорости вычесть меньшую скорость.

Рассмотрим задачу:

Из города в одном и том же направлении выехали легковой автомобиль и автобус. Скорость автомобиля 130 км/ч, а скорость автобуса 90 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 1 час? Через 3 часа?

Решение:

1. Найдём скорость удаления. Для этого из большей скорости вычтем меньшую:

130 км/ч − 90 км/ч = 40 км/ч

1. Каждый час легковой автомобиль отдаляется от автобуса на 40 километров. За один час расстояние между автомобилем и автобусом будет 40 км. За 3 часа в три раза больше:

40 ∙ 3 = 120 км

Ответ: через один час расстояние между автомобилем и автобусом будет 40 км, через три часа – 120 км.

Рассмотрим ситуацию, в которой объекты начали своё движение из разных пунктов, но в одном направлении.

Задача.

Пусть на одной улице имеется дом, школа и аттракцион. Дом находится на одном конце улицы, аттракцион на другом, школа между ними. От дома до школы 900 метров. Два пешехода отправились в аттракцион в одно и то же время. Причём первый пешеход отправился в аттракцион от дома со скоростью 90 метров в минуту, а второй пешеход отправился в аттракцион от школы со скоростью 85 метров в минуту. Какое расстояние будет между пешеходами через 3 минуты? Через сколько минут после начала движения первый пешеход догонит второго?

Решение:

1. Определим расстояние, пройденное первым пешеходом за 3 минуты. Он двигался со скоростью 90 метров в минуту. За три минуты он пройдёт в три раза больше, то есть 270 метров:

90 ∙ 3 = 270 метров

1. Определим расстояние, пройденное вторым пешеходом за 3 минуты. Он двигался со скоростью 85 метров в минуту. За три минуты он пройдёт в три раза больше, то есть 255 метров:

85 ∙ 3 = 255 метров

1. Теперь найдём расстояние между пешеходами. Чтобы найти расстояние между пешеходами, можно к расстоянию от дома до школы (900м) прибавить расстояние, пройденное вторым пешеходом (255м), и из полученного результата вычесть расстояние, пройденное первым пешеходом (270м):

900 + 255 = 1155 м

1155 – 270 = 885 м

Либо из расстояния от дома до школы (900 м) вычесть расстояние, пройденное первым пешеходом (270 м), и к полученному результату прибавить расстояние, пройденное вторым пешеходом (255 м):

900 – 270 = 630 м

630 + 255 = 885 м

Таким образом, через три минуты расстояние между пешеходами будет составлять 885 метров.

1. Теперь давайте ответим на вопрос: через сколько минут после начала движения первый пешеход догонит второго?

В самом начале пути между пешеходами было расстояние 900 м. Через минуту после начала движения расстояние между ними будет составлять 895 метров, поскольку первый пешеход двигается на 5 метров в минуту быстрее второго:

90 ∙ 1 = 90 м

85 ∙ 1 = 85 м

900 + 85 – 90 = 985 – 90 = 895 м

Через три минуты после начала движения расстояние уменьшится на 15 метров и будет составлять 885 метров. Это был наш ответ на первый вопрос задачи:

90 ∙ 3 = 270 м

85 ∙ 3 = 255 м

900 + 255 – 270 = 1155 – 270 = 885 м

Можно сделать вывод, что каждую минуту расстояние между пешеходами будет уменьшаться на 5 метров.

А раз изначальные 900 метров с каждой минутой уменьшаются на одинаковые 5 метров, то мы можем узнать сколько раз 900 метров содержат по 5 метров, тем самым определяя через сколько минут первый пешеход догонит второго:

900 : 5 = 180 минут.

Ответ: через три минуты расстояние между пешеходами будет составлять 885 метров, первый пешеход догонит второго через 180 минут = 3 часа.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте

Заполните таблицу:

	S	v	t
1.	135 км	9 км/ч	____ ч
2.	____ м	12 м/с	4 с
3.	132 м	____ м/мин	11 мин

Для заполнения пропусков воспользуемся формулами нахождения скорости, времени, расстояния:

1. Надо найти время: t = S : v

135 : 9 = 15 часов.

1. Надо найти расстояние: S = v ∙ t

12 ∙ 4 = 48 м.

1. Надо найти скорость: v = S : t

132 : 11 = 12 м/мин.

Верный ответ:

	S	v	t
1.	135 км	9 км/ч	15 часов
2.	48 м	12 м/с	4 с
3.	132 м	12 м/мин	11 мин

№2. Тип задания: единичный / множественный выбор

Выберите верный ответ к задаче:

Из пунктов А и В, расстояние между которыми 300 км, отправились одновременно навстречу друг другу мотоциклист и автомобилист. Скорость автомобиля 60 км/ч, а мотоцикла 30 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 часа?

Варианты ответов:

1. 70
2. 30
3. 270
4. 240

Эта задача относится к типу задач на сближение, т.е. нам надо:

1. сложить скорости мотоциклиста и автомобилиста:

60 + 30 = 90 км/ч – скорость сближения;

1. узнать, сколько километров они пройдут за 3 часа вместе. Для этого:

90 ∙ 3 = 270 км;

1. из общего расстояния нам осталось вычесть пройденное:

300 – 270 = 30 км

Верный ответ: 2. 30 км.

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ЗЕНЗЕВАТСКАЯ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА ОЛЬХОВСКОГО МУНИЦИПАЛЬНОГО РАЙОНА ВОЛГОГРАДСКОЙ ОБЛАСТИ

«Задачи на движение»

Урок математики в 5 классе

Автор: Константинова Татьяна Михайловна, учитель математики

Зензеватка 2012

Тема урока: «Задачи на движение»

Тип урока: Урок-открытие

Задачи урока:

Предметные: 

Ученики должны:

1. понимать смысл параметров движения;
2. знать: формулу пути
3. уметь выражать из формулы пути скорость и время.

Личностные:

1. развитие логического мышления при решении задач и критического мышления для осознания необходимости выполнять правила дорожного движения

Метапредметные:

1. создание условий для приобретения опыта практического моделирования

.

  Ход урока:

1. Орг. момент:

1.1. Приветствие учителя

1.2. Класс разбивается на 3 группы (по усмотрению учителя. На сдвинутых заранее столах стоят таблички с именами и фамилиями учеников. )

2. Разминка: Именованные числа

На магнитной  доске  в произвольном порядке расположены таблички

(верхние три даются по одной капитанам команд.  Им необходимо собрать таблички согласно заданию и расположить столбиком на доске)

3. Физкультминутка

4.  Ребята, при помощи каких инструментов можно измерить расстояние?

-линейка; рулетка, сантиметр портного…

Я недавно была в Волгограде. А как измерить расстояние до этого славного города? Вряд ли нам поможет рулетка. Какие вы назовете способы?

– посмотреть на панель спидометра в начале и в конце пути и найти разность показаний.

А если я пассажир автобуса, то вряд ли это у меня получится. Я предлагаю вам другой способ – при помощи карты.

 Посмотрите, у вас  на партах лежат карты;  красной линией показан  маршрут из Волгограда до Зензеватки. Как же мне найти длину пути? (на партах есть нитка и ножницы, у детей – линейки)

1.При помощи чего мы можем найти длину линии?

1. В каких единицах у нас получится результат?
2. Какие сведения на карте нам помогут? (Масштаб карты. На карте написано: в 1 см на карте  6 км на местности)

1. Так какое же расстояние от Волгограда до Зензеватки?

(Работа в группах)

1. На доску:

S – расстояние, путь          S= 180 км

  t- время                             t=3 часа

  v- скорость                        v-?

S=vt                                       Решение: 180 : 3 = 60 (км/ч)

V=S:t

 t=S:v                                  

7.   А знакомый водитель говорил, что он доезжает за 2 часа. С какой скоростью едет он?

180:2=90 (км/ч)

Если предположить, что этот водитель все время ехал со скоростью 90 км/ч, то не будет ли к нему претензии со стороны инспектора ГАИ?

– будут

Нарушал ли водитель маршрутки правила дорожного движения?  

– нет

8.  А если бы я ехала из Волгограда на велосипеде, то, сколько бы мне потребовалось времени?   Скорость велосипедиста приблизительно 20 км/ч.

180:20=9 (ч)  

1. У вас на партах  есть таблички, где указаны некоторые скорости движения: улитки, мухи, самолета и т.д.

Средние скорости движения некоторых тел

Улитка              0,15 см/с	«Москвич-2141»                    155 км/ч
Муха                  18 км/ч	Самолет Ил-62М                    870 км/ч
Воробей             35 км/ч	Истребитель МиГ-21             7830 км/ч
Заяц                    60 км/ч	Луна вокруг Земли                 1000 м/с
Лев                      65 км/ч	Земля вокруг Солнца              30 км/ч
«Волга2 ГАЗ-24           142 км/ч	Свет                  300 000 000 м/с

10. В каких единицах может измеряться скорость?

11.  Используя какие – либо из них, составьте задачу на движение:

1-я группа: найти время движения  

2-я группа : найти путь

3-я группа: найти скорость движения    

12. Домашнее задание: составить по 3 задачи различных видов на движение

13. Физкультминутка

14. И еще задача на пятерку: Расстояние от деревни до города было 24 км. Из деревни в город выехал колхозник на лошади, скорость которой 8 км/ч. Собака, которая сопровождала колхозника, постоянно то забегала вперед, то вправо, то влево от дороги и опять возвращалась бегом к подводе. Какое расстояние пробежала собака к моменту въезда в город, если она все время бегала со скоростью 12 км/ч?

  24:8=3 (ч) – собака была в пути

  12*3 =36 (км) – пробежала собака  

Ответ: 36 км

15. Давайте еще раз повторим, какие виды задач мы решали сегодня на уроке, а помогут нам это сделать мультяшные герои. (Видеофрагмент 1)

Задача 1 : Нахождение пути  (((((( ((

    Найти путь волка с зайцем, если они двигались вдоль аллеи на юг со скоростью 1 м/с в течение 40 секунд, а затем на запад вдоль другой аллеи с прежней скоростью еще 30 секунд.

S1= 1 м/с х 40 с =40 м

S2= 1 м/с х 30 с = 30 м

S= 40 м +30 м = 70 м

Ответ: 70 м.

Задача 2: Нахождение скорости (Видеофрагмент №2)

    В

На  соревнованиях  по  горным лыжам волк-победитель показал следующие  результаты: специальный слалом – длина 600 м,  время 60 с;    скоростной  спуск – длина 3200 м, время 160 с.  Сравните средние  скорости волка на соревнованиях

V1 = 600м : 60 с = 10 м/с

V2 = 3200м: 160 с = 20 м/с

V1< V2

Задача 3. Нахождение времени движения (Текст на экране)

1. С 12 по 26 февраля 2010 года в канадском городе Ванкувер состоятся зимние Олимпийские игры.  Олимпийский огонь по традиции зажигается на горе Олимп в Греции от солнечных лучей и доставляется к месту соревнований. По заявлениям организаторов Олимпиады, эстафета олимпийского огня составит около 45 000 км, пройдёт с 30 октября 2009 года по 12 февраля 2010 года и в ней будут участвовать примерно 12 000 факелоносцев. Она завершится зажжением огня на стадионе Би-Си Плэйс.
2. Маршрут эстафеты олимпийского огня будет самым протяженным в истории Олимпийских игр и проложен по воде (1000 км), по воздуху (18 тыс. км) и по земле (26 тыс. км).

Сколько времени Олимпийский огонь будет путешествовать по воздуху, если скорость самолета приблизительно 300 км/ч?

t= 18000 км : 300 км/ч = 60 ч

 Ответ: 60 часов  

16. Итог урока:

Ребята, мы много сегодня узнали на уроке. И это праздник. Давайте устроим цветочную церемонию, как на спортивных соревнованиях. Только букеты надо подготовить. Для математики важны более всего формулы и величины.  У вас есть карточки, которые вы должны поместить на тот цветок, который характеризует эти величины. Какая команда справится быстрее и правильнее?

Итак, что же мы узнали сегодня на уроке?
-Как найти путь, скорость, время. И еще, что нельзя  нарушать правила движения и надо бороться до последнего, как на Олимпийских играх.

Оценки вы получите на следующий урок, после подведения итогов по вашим протоколам (оценку на этапах выставляет командир группы, а итоговую – учитель)

Список используемой литературы

1. Никольский С.М, Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Арифметика 5 класс , М. Просвещение, 2008
2. Перышкин А.В. Физика, 7 класс.: Учебное пособие для общеобразоват. Учеб. заведений. -4-е издание., М. Дрофа, 2001
3. http://kroxa.com.ua/Soft/Video/nu-pogodi.html
4. http://news.sportbox.ru
5. http://1000zadach.info

Протокол команды (группы)                                    Приложение №1.

Фамилия и имя	Разминка	Практическая задача	Составление  задачи на движение	Задача на пятерку	Мультяшки	Цветок	Оценка за урок
					№1	№2	Олимпиада

Время

       t

Путь, расстояние

     S, l

Cкорость

         v

м

км

см

ч

с

мин

км/ч

м/с

км/с

Формулы. Вычисление по формулам. Решение текстовых задач (на движение, на проценты и т.д.)

Вопросы к конспектам

Лыжнику необходимо было пробежать расстояние в 50 км. Начав бег на 30 мин позже назначенного срока, лыжник бежал со скоростью, больше предполагавшейся на 5 км/ч и прибежал к месту назначения вовремя. Определите скорость, с которой бежал лыжник.

На сколько процентов изменится площадь прямоугольника, если его длину уменьшить на 15% а ширину увеличить на 20%

Рабочий день уменьшился с 8 до 7 часов. На сколько процентов нужно повысить производительность труда, чтобы при тех же расценках заработная плата возросла на 5%?

Турист прошел по проселочной дороге 6 км и по шоссе 3 км, затратив на весь путь 2ч. По шоссе он прошел со скоростью на 2 км/ч больше, чем по проселочной дороге. С какой скоростью шел турист по проселочной дороге?

Автомобиль за 4 часа проезжает путь в 240 км. Если скорость автомобиля увеличится на 20 км/ч, то за сколько часов он проедет тот же путь?

В аэропорту ждут прибытия самолета 1200 пассажиров. 45% из них мужчины. 15% общего числа женщин и детей составляют дети. Найдите число мужчин и число детей?

Пассажир в метро спускается вниз по движущемуся эскалатору за 24с. Если пассажир идет с той же скоростью по неподвижному эскалатору, то он спустится за 42с. За сколько секунд он спустится стоя на ступеньках движущегося эскалатора?

Сколько воды нужно добавить к 54 кг 5%-го раствора соли в воде, чтобы получить 3%-ый раствор?

Скорость моторной лодки по течению реки равна 10,2 км/ч, а против течения реки 7,8км/ч. Найдите скорость течения реки.

Скорость течения реки 2 км/ч, собственная скорость лодки в 2,5 раза больше. Найдите расстояние, которое проплыла лодка против течения за 3 часа

Сторону квадрата увеличили на 20%. На сколько процентов увеличится периметр квадрата?

Величины и их
обозначения (прямоугольник, квадрат):

а – длина стороны
квадрата,

      длина
прямоугольника;

b – ширина прямоугольника;

S – площадь прямоугольника,

      площадь
квадрата;                

Р – периметр
прямоугольника,

       периметр
квадрата;

Величины и их
обозначения  (движение):

t – время движения;

v – скорость движения;

s – длина пути (расстояние);

Величины и их
обозначения (прямоугольный параллелепипед, куб):

a – длина параллелепипеда;

      длина ребра
куба;

b – ширина параллелепипеда;

c – высота параллелепипеда;

V – объем параллелепипеда;

       объем
куба.

Величины и их
обозначения (прямоугольник, квадрат):

а – длина стороны
квадрата,

      длина
прямоугольника;

b – ширина прямоугольника;

S – площадь прямоугольника,

      площадь
квадрата;                

Р – периметр
прямоугольника,

       периметр
квадрата;

Величины и их
обозначения  (движение):

t – время движения;

v – скорость движения;

s – длина пути (расстояние);

Величины и их
обозначения (прямоугольный параллелепипед, куб):

a – длина параллелепипеда;

      длина
куба;

b – ширина параллелепипеда;

c – высота параллелепипеда;

V – объем параллелепипеда;

       объем
куба.

Правило нахождения величин:

Формула :

1

Чтобы найти площадь прямоугольника,
надо его длину умножить на его ширину.

S = ab

2

Чтобы найти площадь квадрата, надо
его сторону возвести в квадрат.

S = a²

3

Чтобы найти периметр прямоугольника,
надо сумму длины и ширины прямоугольника умножить на два.

P = (a + b)·2

4

Чтобы найти периметр квадрата, надо
его сторону умножить на 4

P = a·4

5

Чтобы найти длину прямоугольника,
надо его площадь разделить на ширину прямоугольника

a = S : b

6

Чтобы найти длину прямоугольника,
надо его периметр разделить на два и вычесть ширину прямоугольника

a = P : 2 – b

7

Чтобы найти ширину прямоугольника,
надо его площадь разделить на длину прямоугольника

b = S : a

8

Чтобы найти ширину прямоугольника,
надо его периметр разделить на два и вычесть длину прямоугольника

b = P : 2 – a

9

Чтобы найти длину пути, надо время
движения умножить на скорость движения

s = tv

10

Чтобы найти скорость движения, надо
длину пути разделить на время движения

v = s : t

11

Чтобы найти время движения, надо
длину пути разделить на скорость движения

t = s : v

12

Чтобы найти объем прямоугольного
параллелепипеда, надо его длину умножить на его ширину и высоту.

V = abc

13

Чтобы найти объем куба, надо длину
ребра возвести в куб.

V = a³

14

Чтобы найти сторону квадрата, надо
периметр квадрата разделить на 4

a = P : 4

15

Чтобы найти сторону квадрата, надо
подобрать два множителя так, чтобы получилась площадь квадрата. Этот
множитель укажет длину стороны квадрата

a · a = S,

значит,  а – сторона
квадрата

16

Чтобы найти делимое, надо делитель
умножить на неполное частное и к полученному произведению прибавить остаток

a = bq + r

17

Чтобы найти делитель, надо из
делимого вычесть остаток и полученную разность разделить на неполное частное

b = (a – r) : q

18

Чтобы найти неполное частное, надо из
делимого вычесть остаток и полученную разность разделить на делитель

q = (a – r) : b

19

Чтобы найти остаток, надо из делимого
вычесть произведение делителя и неполного частного.

r = a – bq

Задачи на движение (скорость, время и расстояние) являются одной из основных типов задач по математике, которые должен уметь решать каждый школьник. В данной статье рассмотрены все типы задач на движение:
— простые задачи на скорость, время и расстояние;
— задачи на встречное и противоположное движение;
— задачи на движение в одном направлении (на сближение и удаление);
— решение задач на движение по реке.

Скорость, время и расстояние: определения, обозначения, формулы

скорость = расстояние: время — формула нахождения скорости;

время = расстояние: скорость — формула нахождения времени;

расстояние = скорость · время — формула нахождения расстояния.

Скорость – это расстояние, пройденное за единицу времени: за 1 секунду, за 1 минуту, за 1 час и так далее.
Пример обозначения: 7 км/ч (читается: семь километров в час).
Если весь путь проходится с одинаковой скоростью, то такое движение называется равномерным.

На сайте представлены калькуляторы онлайн, с помощью которых можно перевести скорость, время и расстояние в другие единицы измерения:

1.Конвертер единиц измерения скорости
2.Конвертер единиц измерения времени
3.Конвертер единиц измерения расстояния (длины)

Примеры простых задач.

Задача 1. 

Автомобиль проехал 180 км за 2 часа. Чему равна скорость автомобиля?
Решение: 180:2=90 (км/ч.)
Ответ: Скорость автомобиля равна 90 км/ч.

Задача 2. 

Автобус проехал путь в 240 км со скоростью 80 км/ч. Сколько времени ехал автобус?
Решение: 240:80=3 (ч.)
Ответ: Автобус проехал 3 часа.

Задача 3. 

Грузовик ехал 5 часов со скоростью 70 км/ч. Какое расстояние проехал грузовик за это время?
Решение: 70 · 3 = 350 (км)
Ответ: Грузовик за 5 часов проехал 350 км.

Задачи на встречное движение

В таких задачах два объекта движутся навстречу друг другу.
Задачи на встречное движение можно решать двумя способами:
1. Найти значения скорости, времени и расстояния для каждого объекта.
2. Найти скорость сближения объектов (как сумму их скоростей), общие время и расстояние. Скорость сближения — это расстояние, пройденное двумя объектами навстречу друг другу за единицу времени.

Задача 4. 

Из двух пунктов навстречу друг другу одновременно выехали два поезда и встретились через 3 часа. Первый поезд ехал со скоростью 80 км/ч, а второй – со скоростью 70 км/ч. На каком расстоянии друг от друга находятся пункты?
Решение: 
Первый способ. Найти расстояние, которое проехал каждый автобус, и сложить полученные данные:
80*3=240 (км) – проехал 1й автобус, 70*3=210 (км) – проехал 2й поезд,
240+210=450 (км) – проехали два поезда.
Второй способ. Найти скорость сближения поездов, то есть на сколько сокращалось расстояние между ними каждый час; а затем найти расстояние:
80+70=150 (км/ч), 150*3=450 (км).
Ответ: города находятся на расстоянии 450 км.

Задача 5. 

Из двух городов навстречу друг другу одновременно выехали два автобуса. Первый автобус ехал со скоростью 80 км/ч, а второй – со скоростью 70 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 2 часа, если расстояние между городами 450 км?
Решение: 
Первый способ. Определить, сколько километров проехал каждый автобус и найти расстояние, которое осталось проехать:
80*2=160 (км)-проехал 1й автобус, 70*2=140 (км)-проехал 2й автобус,
160+140=300 (км)-проехали два автобуса, 450-300=150 (км)-осталось проехать.
Второй способ. Найти скорость сближения автобусов и умножить ее на время в пути.
80*70=150 (км/ч) – скорость сближения; 150*2=300 (км) – проехали два автобуса; 450-300=150 (км) – осталось проехать.
Ответ: Через 2часа расстояние между автобусами будет 150 км.

Задачи на движение в противоположных направлениях

В таких задачах два объекта движутся в противоположных направлениях, отдаляясь друг от друга. В таком типе задачи используется скорость удаления. Задачи на движение в противоположных направлениях также можно решить двумя способами:
1. Найти значения скорости, времени и расстояния для каждого объекта.
2. Найти скорость удаления объектов (как сумму их скоростей), общие время и расстояние. Скорость удаления — это расстояние, которое увеличивается за единицу времени между двумя объектами, двигающимися в противоположных направлениях.

Задача 6. 

Два автомобиля выехали одновременно из одного и того же пункта в противоположных направлениях. Скорость первого автомобиля 100 км/ч, скорость второго – 70 км/ч. Какое расстояние будет между автомобилями через 4 часа?
Решение: 
Первый способ. Определить расстояние, которое проехал каждый автомобиль и найти сумму полученных результатов:
1) 100 · 4 = 400 (км) – проехал первый автомобиль
2) 70 · 4 = 280 (км) – проехал второй автомобиль
400 + 280 = 680 (км)
Второй способ. Найти скорость удаления, то есть значение увеличения расстояния между автомобилями за каждый час, а затем скорость удаления умножить на время в пути.
100 + 70= 170 км/ч – это скорость удаления автомобилей.
170 · 4 = 680 (км)
Ответ: Через 4 часа между автомобилями будет 680 км.

Задача 7. 

Из двух населённых пунктов, расстояние между которыми 40 км, вышли в противоположных направлениях два туриста. Первый турист шёл со скоростью 4 км/ч, а второй — 5 км/ч. Какое расстояние между туристами будет через 5 часов?
Решение: 
Первый способ. Определить сколько километров прошёл каждый из туристов за 5 часов, сложить полученные результаты, а затем к полученному расстоянию прибавить расстояние между населенными пунктами.
1) 4 · 5 = 20 (км) – прошёл первый турист;
2) 5 · 5 = 25 (км) – прошёл второй турист;
3) 20 + 25 = 45 (км);
4) 45 + 40 = 85 (км).
Второй способ. Найти скорость удаления пешеходов, затем найти пройденное расстояние, к полученному результату прибавить расстоянием между населёнными пунктами.
4 + 5 = 9 (км/ч);
9 · 5 = 45 (км);
45 + 40 = 85 (км);
Ответ: Через 5 часов расстояние между пешеходами будет 85 км.

Задачи на движение в одном направлении

В таких задачах два объекта движутся в одном направлении с разной скоростью, при этом они сближаются друг с другом или отдаляются друг от друга. Соответственно находится скорость сближения или скорость удаления объектов.

Формула нахождения скорости сближения или удаления двух объектов, которые движутся в одном направлении: из большей скорости вычесть меньшую.

Задача 8. 

Из города выехал автомобиль со скоростью 40 км/ч. Через 4 часа вслед за ним выехал второй автомобиль со скоростью 60 км/ч. Через сколько часов второй автомобиль догонит первый?,
Решение: 
Задачу можно решить с помощью уравнения.
В этом случае скорость первого автомобиля 40 км/час, время в пути на 4 часа больше, чем время второго автомобиля (или t+4). Скорость второго автомобиля 60 км/час, время в пути – t. Расстояние оба автомобиля проехали одинаковое. Поэтому можно составить уравнение: 40*(t+4)=60*t. Отсюда получаем t=8 (часов) – время в пути второго автомобиля, за которое он догонит первый.
Решение задачи без использования уравнения.
Так как на момент выезда второго автомобиля из города первый уже был в пути 4 часа, то за это время он успел удалиться от города на: 40 · 4 = 160 (км).
Второй автомобиль движется быстрее первого, значит, каждый час расстояние между автомобилями будет сокращаться на разность их скоростей: 60 — 40 = 20 (км/ч) – это скорость сближения.
Разделив расстояние между автомобилями на скорость их сближения, можно узнать, через сколько часов они встретятся: 160 : 20 = 8 (ч)
Ответ: Второй автомобиль догонит первый через 8 часов.

Задача 9. 

Из двух посёлков между которыми 5 км, одновременно в одном направлении вышли два пешехода. Скорость пешехода, идущего впереди, 4 км/ч, а скорость пешехода, идущего позади 5 км/ч. Через сколько часов после выхода второй пешеход догонит первого?
Решение: Так как второй пешеход движется быстрее первого, то каждый час расстояние между ними будет сокращаться. Значит можно определить скорость сближения пешеходов: 5 — 4 = 1 (км/ч).
Оба пешехода вышли одновременно, значит расстояние между ними равно расстоянию между посёлками (5 км). Разделив расстояние между пешеходами на скорость их сближения, узнаем через сколько второй пешеход догонит первого: 5 : 1 = 5 (ч)
Ответ: Через 5 часов второй пешеход догонит первого.

Задача 10. 

Два автомобиля выехали одновременно из одного и того же пункта в одном направлении. Скорость первого автомобиля 80 км/ч, а скорость второго – 40 км/ч.
1) Чему равна скорость удаления между автомобилями?
2) Какое расстояние будет между автомобилями через 3 часа?
3) Через сколько часов расстояние между ними будет 200 км?
Решение: 
1) 80 — 40 = 40 (км/ч) — скорость удаления автомобилей друг от друга.
2) 40 · 3 = 120 (км) – расстояние между ними через 3 часа./
3) 200 : 40 = 5 (ч) – время, через которое расстояние между автомобилями станет 200 км.
Ответ:
1) Скорость удаления между автомобилями равна 40 км/ч.
2) Через 3 часа между автомобилями будет 120 км.
3) Через 5 часов между автомобилями будет расстояние в 200 км.

Задачи на движение по реке

Рассмотрим задачи, в которых речь идёт о движении объекта по реке. Скорость любого объекта в стоячей воде называют собственной скоростью этого объекта.

Чтобы узнать скорость объекта, который движется по течению реки, надо к собственной скорости объекта прибавить скорость течения реки. Чтобы узнать скорость объекта, который движется против течения реки, надо из собственной скорости объекта вычесть скорость течения реки.

Задача 11. 

Лодка движется по реке. За сколько часов она преодолеет расстояние 120 км, если ее собственная скорость 27 км/ч, а скорость течения реки 3 км/ч?
Решение: 
1) лодка движется по течению реки.
27 + 3 = 30 (км/ч) – скорость лодки по течению реки.
120 : 30 = 4 (ч) – проплывет путь.
2) лодка движется против течения реки.
27 — 3 = 24 (км/ч) — скорость лодки против течения реки
120 : 24 = 5 (ч) – проплывет путь.
Ответ:
1) При движении по течению реки лодка потратит 4 часа на путь.
2) При движении против течения реки лодка потратит 5 часов на путь.

Итак, для решения задач на движение:

1. Основная формула:S=ν*t;
2. Нужно сделать чертеж, который поможет определить тип задачи.
3. Все цифры нужно привести в единые единицы измерения: длина и время

Заключение.

Решая много задач по данной теме, ученик обязательно научится быстро ориентироваться в понятиях «скорость», «время» и «расстояние» и быстро решать задачи всех типов.

Весь курс начальной школы (за 1-4 классы) в краткой форме на сайте edu.intmag24.ru. С помощью курса можно быстро повторить основные моменты и правила по предметам: русский язык, математика, окружающий мир.

Для решения более сложных задач на движение посмотрите, как составлять схемы и таблицы данных для наглядного представления и структурирования данных.