Как найти сечение параллелепипеда
Сечения геометрических фигур имеют различные формы. У параллелепипеда сечение всегда представляет собой прямоугольник или квадрат. Оно имеет ряд параметров, которые могут быть найдены аналитическим способом.
Инструкция
Через параллелепипед можно провести четыре сечения, которые представляют собой квадраты или прямоугольники. Всего он имеет два диагональных и два поперечных сечения. Как правило, они имеют разные размеры. Исключением является куб, у которого они одинаковы.
Перед тем как строить сечение параллелепипеда, составьте представление о том, что представляет собой эта фигура. Существует два вида параллелепипедов – обычный и прямоугольный. У обычного параллелепипеда грани располагаются под некоторым углом к основанию, а у прямоугольного они перпендикулярны ему. Все грани прямоугольного параллелепипеда представляют собой прямоугольники или квадраты. Из этого следует,что куб – это частный случай прямоугольного параллелепипеда.
У любого сечения параллелепипеда есть определенные характеристики. Основными из них являются площадь, периметр, длины диагоналей. Если из условия задачи известны стороны сечения или какие-либо иные его параметры, этого достаточно, чтобы найти его периметр или площадь. По сторонам определяются также диагонали сечений. Первый из этих параметров – площадь диагонального сечения.
Для того чтобы найти площадь диагонального сечения, нужно знать высоту и стороны основания параллелепипеда. Если даны длина и ширина основания параллелепипеда, то диагональ найдите по теореме Пифагора:
d=√a^2+b^2.
Найдя диагональ и зная высоту параллелепипеда, вычислите площадь сечения параллелепипеда:
S=d*h.
Периметр диагонального сечения тоже можно вычислять по двум величинам – диагонали основания и высоте параллелепипеда. В этом случае вначале найдите две диагонали (верхнего и нижнего оснований) по теореме Пифагора, а затем сложите с удвоенным значением высоты.
Если провести плоскость, параллельную ребрам параллелепипеда, можно получить сечение-прямоугольник, сторонами которого являются одна из сторон основания параллелепипеда и высота. Площадь этого сечения найдите следующим образом:
S=a*h.
Периметр этого сечения найдите аналогичным образом по следующей формуле:
p=2*(a+h).
Последний случай возникает, когда сечение проходит параллельно двум основаниям параллелепипеда. Тогда его площадь и периметр равны значению площади и периметра оснований, т.е.:
S=a*b – площадь сечения;
p=2*(a+b).
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
Представь, что тебе в распоряжение дали накачанного мужика с бензопилой, 👷🏻♂️которой умеет ей владеть, и параллелепипеды из дерева, которые этот мужик может одним движением распилить, но мужик сильно ленивый, поэтому делает распил реально одним движением по плоскости. Так и получаются сечения прямоугольного параллелепипеда.
🔸 Вообще сечения параллелепипеда могут быть абсолютно любыми фигурами от треугольника до шестиугольника. Если отпилить уголок параллелепипеда по краю, на месте распила останется треугольник, а если выбрать самый сложный путь между дальними углами, то половинки останутся шестиугольниками. Но для ЕГЭ нам интереснее и полезнее всего будут четырехугольники в сечении.
💁🏻♂️ Самая простая идея распила — ровно пополам, тогда на отпиленной части у нас останется точно такой же прямоугольник, который был и слева и справа, Это самое приятное сечение называется параллельным граням параллелепипеда и равно той самой грани, которой оно параллельно, ну и противоположной ей тоже соответственно. Заметим приятную особенность такого сечения — оно симметрично относительно центра, если пилим строго пополам.
👇🏻 Если чуть заморочимся и будем пилить по диагонали параллелепипеда, но так, чтобы сечение было строго перпендикулярно основанию, то получим на оставшихся частях диагональное сечение. Это прямоугольник, у которого одна сторона равна боковой стороне параллелепипеда, а вторая сторона равна диагонали основания. Оба этих сечения встречаются в ЕГЭ чаще всего, поэтому знакомься и дружи с ними.
И будь аккуратнее с бензопилами! 💕
Если вы нашли ошибку, пожалуйста, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter. Мы обязательно поправим!
Пошаговое построение сечения параллелепипеда
Построение сечения методом следов – это поэтапное отыскание точек, принадлежащих одной и той же плоскости грани и одновременно плоскости сечения, то есть прямым, проходящим через точки, принадлежащие сечению. Метод подходит для использования тогда, когда следы секущей плоскости и прямые граней многогранника пересекаются в области чертежа, то есть если сечение параллельно или почти параллельно основанию, этот метод построения не подойдет.
Задача 1.
Построить сечение параллелепипеда 
плоскостью, проходящей через точки .
Задача 1. Дано
Шаг 1. Чезез точки и , которые принадлежат одной грани, и, следовательно, одной плоскости, проводим прямую. Точки этой прямой все принадлежат секущей плоскости. Точка лежит в плоскости основания, поэтому неплохо бы найти найти точку прямой , которая также принадлежала бы основанию. Для этого проводим прямую , и находим точку ее пересечения с прямой – .
Задача 1. Шаг 1.
Шаг 2. Проводим прямую , принадлежащую плоскости основания. Находим точку пересечения этой прямой ребра – .
Задача 1. Шаг 2.
Шаг 3. Точка лежит в задней грани, поэтому надо бы найти точку прямой , которая принадлежала бы плоскости задней грани. Для этого проведем прямую , которая принадлежит как плоскости основания, так и плоскости задней грани, и найдем точку ее пересечения с прямой – . Через две точки задней грани проводим прямую , и находим место пересечения этой прямой с ребром – .
Задача 1. Шаг 3.
Шаг 4. Окончание построения. Соединяем полученные точки отрезками, и строим многоугольник сечения.
Задача 1. Шаг 4.
Задача 2.
Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки
Задача 2. Дано.
Шаг 1. Точки и лежат в одной плоскости, можно соединить их прямой. Прямая пересечет ребро в точке .
Задача 2. Шаг 1.
Шаг 2. Точки и также лежат в одной плоскости. Соединяем их прямой и отыскиваем точку пересечения ею ребра – .
Задача 2. Шаг 2
Шаг 3. Найдем точку секущей плоскости, принадлежащую передней грани, чтобы затем через эту точку и точку можно было бы тоже провести след секущей плоскости. Для того, чтобы найти такую точку, проведем луч и найдем его пересечение с прямой – ведь обе эти прямые принадлежат плоскости верхней грани. Точка пересечения – точка . Точки и можно соединить отрезком.
Задача 2. Шаг 3.
Шаг 4. Находим точку пересечения отрезком ребра – точку .
Задача 2. Шаг 4
Шаг 5. После этого соединяем отрезками полученные точки и закрашиваем многоугольник сечения.
Задача 2. Шаг 5
Задача 3.
Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки
Задача 3. Дано.
Шаг 1. Построим прямую , это можно сделать, так как обе точки принадлежат одной грани. Точка принадлежит грани основания, поэтому нужна точка в этой плоскости.
Задача 3. Шаг 1
Шаг 2. Для того, чтобы найти точку, одновременно принадлежащую и секущей плоскости, и плоскости нижней грани, продолжим прямую и найдем точку ее пересечения с прямой – .
Задача 3. Шаг 2.
Шаг 3. Проводим прямую и находим точку пересечения этой прямой с ребром – точка .
Задача 3. Шаг 3.
Шаг 4. Теперь надо найти точку в плоскости передней грани, потому что в этой плоскости у нас уже есть точка – точка . Для того, чтобы найти такую точку, продлим прямую и найдем пересечение этой прямой с прямой – точка .
Задача 3. Шаг 4
Шаг 5. Проводим прямую , отыскиваем точки пересечения ею ребер – точку , и ребра – точку .
Задача 3. Шаг 5.
Шаг 6. Соединяем точки и получаем многоугольник сечения.
Задача 3. Шаг 6
Окончательный вид сечения с другого ракурса:
Окончательный вид
Задача 4.
Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки . Точка в задней грани.
Задача 4. Дано
Шаг 1. Проводим прямую через две точки одной плоскости – и . Определяем точку пересечения данной прямой ребра – .
Задача 4. Шаг 1.
Шаг 2. Продолжение прямой пересечется с продолжением прямой – так как обе прямые принадлежат плоскости задней грани. Точка также принадлежит задней грани, но также и боковой. А в боковой грани у нас есть точка , и тогда можно провести прямую .
Задача 4. Шаг 2.
Шаг 3. Точка – точка пересечения прямой ребра . Продлим также ребро и найдем пересечение прямой и прямой – точку , которая принадлежит плоскости основания.
Задача 4. Шаг 3
Шаг 4. Соединяем Точки и плоскости основания, определяем точку пересечения данной прямой с ребром – точку . Соединяем полученные точки отрезками. Штрихуем полученный многоугольник сечения.
Задача 4. Шаг 4.
Окончательный вид сечения с другого ракурса:
Окончание построения
12 комментариев
Мария
✉️
03.12.2017 15:16:25
Спасибо большое.Все очень доступно изложено,с замечательными иллюстрированными примерами.
Людмила
✉️
20.10.2018 15:37:24
спасибо за желание объяснять:доступно, подробно.
Анна Валерьевна
✨
20.10.2018 15:38:43
Отлично, рада, что пригодилось.
Алексей
✉️
28.10.2018 20:23:47
Вы не разобрали вариант, когда точки T,U,V лежат на разных гранях, скажем, если на рисинке Т лежит на A1B1, U лежит на AD, V лежит на CC1. Что тогда? Действует ли метод? Спасибо
Анна Валерьевна
✨
29.10.2018 07:19:56
Да, действительно, такой случай не рассмотрен. Так как в этом случае более эффективным является метод внутреннего проецирования: https://easy-physic.ru/metod-vnutrennego-proecirovaniya/. Я обещаю сделать в ближайшее время.
Анна Валерьевна
✉️
01.11.2018 15:48:48
Сделала статью. Выйдет, правда, в феврале.
Борис
✉️
05.11.2018 08:09:29
Уважаемая Анна Валерьевна!
Позвольте поблагодарить Вас за интересный и содержательный сайт.
Здоровья Вам, творческих успехов и удачи.
Незнакомец.
Анна Валерьевна
✨
06.11.2018 09:55:33
Спасибо Вам!
Евгений
✉️
06.05.2019 18:39:20
Спасибо за работу.Мне она пригодилась)
LarryGot
✉️
11.04.2022 22:45:45
Jessievob
✉️
14.04.2022 07:02:27
Stevetaind
✉️
17.04.2022 09:45:49
Тетраэдр. Виды тетраэдров
Тетраэдр (четырёхгранник) — многогранник, гранями которого являются четыре треугольника (от греческого tetra — четыре и hedra — грань).
Рис. 1
У тетраэдра (4) грани, (4) вершины и (6) рёбер (Рис. 1).
Один из треугольников называется основанием тетраэдра, а три остальные — боковыми гранями тетраэдра.
В зависимости от видов треугольников и их расположения выделяют разные виды тетраэдров.
В школьном курсе чаще говорят о следующих видах тетраэдра:
– равногранный тетраэдр, у которого все грани — равные между собой треугольники;
– правильная треугольная пирамида — основание — равносторонний треугольник, все боковые грани — одинаковые равнобедренные треугольники (Рис. 3);
– правильный тетраэдр, у которого все четыре грани — равносторонние треугольники (Рис. 2).
Рис. 2 Рис. 3
Свойство правильного тетраэдра:
из определения правильного многогранника следует, что все рёбра тетраэдра имеют равную длину, а грани — равную площадь.
Параллелепипед. Виды параллелепипедов
Параллелепипедом называется многогранник, у которого (6) граней — параллелограммы.
Рис. 4
У параллелепипеда, как отмечено, (6) граней, (8) вершин и (12) рёбер (Рис. 4).
Две грани параллелепипеда, имеющие общее ребро, называются смежными, а не имеющие общих рёбер — противоположными.
Обычно выделяют какие-нибудь две противоположные грани и называют их основаниями, а остальные грани — боковыми гранями параллелепипеда.
Рёбра параллелепипеда, не принадлежащие основаниям, называют боковыми рёбрами.
Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю параллелепипеда (Рис. 5).
Рис. 5
В зависимости от видов параллелограммов и их расположения выделяют разные виды параллелепипедов:
параллелепипеды могут быть прямые и наклонные.
У прямых параллелепипедов боковые грани — прямоугольники (Рис. 5),
у наклонных — параллелограммы (Рис. 4).
Прямой параллелепипед, у которого основанием тоже является прямоугольник, называется прямоугольным параллелепипедом.
Рис. 6
Длины непараллельных рёбер прямоугольного параллелепипеда называются его линейными размерами (измерениями).
У прямоугольного параллелепипеда — три линейных размера:
DA
,
DC
,
DD1
(Рис. 6).
Свойства параллелепипеда:
– противоположные грани параллелепипеда равны и параллельны.
– Все четыре диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
– Боковые грани прямого параллелепипеда — прямоугольники.
Построение сечения тетраэдра и параллелепипеда
Плоскостью сечения многогранника можно назвать любую плоскость, по обе стороны которой находятся точки многогранника.
Секущая плоскость пересекает грани многогранников по отрезкам.
Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением многогранника.
Так как у тетраэдра (4) грани, то сечением тетраэдра может быть треугольник (Рис. 7) или
четырёхугольник (Рис. 8).
Рис. 7 Рис. 8
У параллелепипеда (6) граней, поэтому сечением этого многогранника может быть треугольник (Рис. 9), четырёхугольник ( Рис. 10), пятиугольник (Рис. 11) или шестиугольник (Рис. 12).
При построении сечения надо вспомнить следующие знания из предыдущих тем:
1. если две точки прямой принадлежат плоскости, то прямая находится в этой плоскости.
2. Если две плоскости имеют общую точку, то эти плоскости пересекаются по прямой.
3. Если плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии пересечения параллельны.
Пример:
Задача
Построить сечение параллелепипеда плоскостью, которая проходит через точки (K), (M) и (N).
1. Проводим (MK), так как обе точки находятся в одной плоскости;
2.
MK∩CC1=X
— непараллельные прямые в одной плоскости пересекаются;
3. проводим (XN), так как обе точки находятся в одной плоскости;
5. проводим (MP), так как обе точки находятся в одной плоскости;
6. через точку (N) в плоскости основания
NL∥MP
, так как линии пересечения параллельных плоскостей с третьей плоскостью должны быть параллельны;
7. соединяем (N) и (L) и получаем сечение (MPNLK).
Площадь диагонального сечения параллелепипеда
У прямоугольного параллелепипеда диагональное сечение представляет собой прямоугольник.
Значит, для нахождения его площади нужно воспользоваться формулой площади прямоугольника:
S = a * b.
Сторона a совпадает с диагональю основания параллелепипеда.
Длину диагонали основания можно найти по теореме Пифагора, поскольку данная диагональ разбивает прямоугольник на 2 прямоугольных треугольника и является в каждом из них гипотенузой.
BD² = AB² + AD². => BD = √(AB² + AD²).
Сторона b равна высоте параллелепипеда (боковому ребру).
Высоту параллелепипеда можно, например, найти по его объёму и площади основания.
У прямоугольного параллелепипеда основание – это прямоугольник, поэтому площадь основания равна произведению его длины и ширины (на рисунке это AB и AD).
BB1 = V / (AB * AD).
Далее рассмотрим несколько примеров.
**
Пример 1
Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 12 см и 4 см, а высота равна 5 см.
Нужно найти площадь диагонального сечения.
S (сеч) = √(12² + 4²) * 5 = √140 * 5 = 2√35 * 5 = 10√35 см.
**
Пример 2
Стороны основания и высота прямоугольного параллелепипеда относятся как 1:2:3, а его объём равен 48 см².
Нужно найти площадь диагонального сечения.
1) Сначала найдём, чему равны стороны основания и высота.
V = abc = 48.
Пусть a = x, b = 2x, c = 3x.
x * 2x * 3x = 48.
6x³ = 48.
x³ = 8.
x = 2.
Таким образом, стороны основания равны 2 и 4 см соответственно, а высота равна 6 см.
2) Теперь всё решается так же, как и в 1 примере.
S (сеч) = √(2² + 4²) * 6 = √20 * 6 = 2√5 * 6 = 12√5 см.
