Как найти длину стороны тетраэдра – Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Написать уравнение стороны ас и высоты тетраэдра

Учасники групи мають 10% знижку при замовленні робіт, і ще багато бонусів!

Контакты

Администратор, решение задач
Роман

Tel. +380685083397
[email protected]
skype, facebook:
roman.yukhym

Решение задач
Андрей

facebook:
dniprovets25

Онлайн решение Пирамиды по координатам вершин

1) чертёж пирамиды по координатам её вершин;

2) длины и уравнения рёбер, медиан, апофем, высот;

3) площади и уравнения граней;

4) система линейных неравенств, определяющих пирамиду;

5) основания и точка пересечения медиан (центроид);

6) уравнения плоскостей, проходящих через вершины параллельно противолежащим граням;

7) объём пирамиды;

8) основания, площади и уравнения биссекторов;

9) углы между рёбрами, между рёбрами и гранями, двугранные (внутренние между гранями), телесные;

10) параметры и уравнения вписанной и описанной сфер;

Внимание! Этот сервис может не работать в браузере Internet Explorer.

Запишите координаты вершин пирамиды и нажмите кнопку.

A ( ; ; ), B ( ; ; ),
C ( ; ; ), D ( ; ; )

Примечание: дробные числа записывайте
через точку, а не запятую.

Округлять до -го знака после запятой.

Как найти высоту тетраэдра формула

Высота тетраэдра — равна корню квадратному из двух третих, помноженному на длину ребра тетраэдра

(h — высота тетраэдра, a — ребро тетраэдра)

Вывод формулы высоты тетраэдра

Чтобы получить формулу высоты тетраэдра необходимо произвести дополнительные геометрические построения. На рисунке красные линии CF и FS — это высоты соответствующих правильных треугольников ABC и ABS:

Теперь в треугольнике CFS известны все стороны. Высота тетраэдра, как видно из геометрических построений — это высота треугольника CFS. Подставив стороны треугольника в формулу и произведя простые сокращения (используем формулу разность квадратов) получим формулу (1).

Рассмотрим произвольный треугольник ABC и точку D , не лежащую в плоскости этого треугольника. Соединим отрезками эту точку с вершинами треугольника ABC . В результате получим треугольники ADC , CDB , ABD . Поверхность ограниченная четырьмя треугольниками ABC , ADC , CDB и ABD называется тетраэдром и обозначается DABC .
Треугольники, из которых состоит тетраэдр, называются его гранями.
Стороны данных треугольников называют ребрами тетраэдра. А их вершины – вершинами тетраэдра

Тетраэдр имеет 4 грани, 6 ребер и 4 вершины.
Два ребра, которые не имеют общей вершины, называются противоположными.
Зачастую для удобства, одну из граней тетраэдра называют основанием, а оставшиеся три грани боковыми гранями.

Но также верно и утверждение, что любая произвольная треугольная пирамида является тетраэдром. Тогда также верно, что тетраэдром называют пирамиду, в основании которой лежит треугольник.

Высотой тетраэдра называется отрезок, который соединяет вершину с точкой, расположенной на противоположной грани и перпендикулярный к ней.
Медианой тетраэдра называется отрезок, который соединяет вершину с точкой пересечения медиан противоположной грани.
Бимедианой тетраэдра называется отрезок, который соединяет середины скрещивающихся ребер тетраэдра.

Так как тетраэдр – это пирамида с треугольным основанием, то объем любого тетраэдра можно рассчитать по формуле

S – площадь любой грани,
H – высота, опущенная на эту грань

Правильный тетраэдр – частный вид тетраэдра

Тетраэдр, у которого все грани равносторонние треугольник называется правильным.
Свойства правильного тетраэдра:

Все грани равны.
Все плоские углы правильного тетраэдра равны 60°
Так как каждая его вершина является вершиной трех правильных треугольников, то сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°
Любая вершина правильного тетраэдра проектируется в ортоцентр противоположной грани (в точку пересечения высот треугольника).

Пусть нам дан правильный тетраэдр ABCD с ребрами равными a . DH – его высота.
Произведем дополнительные построения BM – высоту треугольника ABC и DM – высоту треугольника ACD .
Высота BM равна BM и равна
Рассмотрим треугольник BDM , где DH , являющаяся высотой тетраэдра также и высота данного треугольника.
Высоту треугольника, опущенную на сторону MB можно найти, воспользовавшись формулой

, где
BM=, DM=, BD=a,
p=1/2 (BM+BD+DM)=
Подставим эти значения в формулу высоты. Получим

Вынесем 1/2a. Получим

Применим формулу разность квадратов

После небольших преобразований получим

Объем любого тетраэдра можно рассчитать по формуле
,
где ,

Подставив эти значения, получим

Таким образом формула объема для правильного тетраэдра

где a –ребро тетраэдра

Вычисление объема тетраэдра, если известны координаты его вершин

Пусть нам даны координаты вершин тетраэдра

Из вершины проведем векторы , , .
Для нахождения координат каждого из этих векторов вычтем из координаты конца соответствующую координату начала. Получим

Геометрических смысл смешенного произведения трех векторов заключается в следующем – смешенное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.
Так как тетраэдр есть пирамида с треугольным основанием, а объем пирамиды в шесть раз меньше объема параллелепипеда, то тогда имеет смысл следующая формула

Свойства

Зная высоту тетраэдра, можно вычислить его ребро, перевернув формулу так, чтобы ребро было равно корню из трех вторых, умноженному на высоту. a=√(3/2) h

Выразив таким образом ребро тетраэдра через его высоту, можно найти периметр тетраэдра, то есть длину всех его ребер, площадь одной грани и площадь полной поверхности тетраэдра. Периметр тетраэдра будет равен шести длинам его ребер, площадь одной грани – ребру в квадрате, умноженному на корень из трех, деленный на четыре, а площадь полной поверхности – четырем площадям одной грани. P=6a=6√(3/2) h S_1=(√3 a^2)/4=(3√3 h^2)/8 S_(п.п.)=4S_1=(3√3 h^2)/2

Через высоту, подставленную вместо ребра в определенном соотношении можно найти соответственно и радиусы вписанной и описанной окружностей в основание тетраэдра. r=h/(2√2) R=h/√2

Апофема тетраэдра проходит из вершины к противоположной стороне грани под прямым углом и рассчитать ее можно как из прямоугольного треугольника с боковым ребром по той же грани, так и из прямоугольного треугольника во внутреннем пространстве тетраэдра с высотой. l=3h/(2√2)

Чтобы вычислить объем тетраэдра, необходимо возвести в куб ребро и разделить полученное значение на шесть корней из двух, либо подставить вместо ребра корень из трех вторых, умноженный на высоту и преобразовать формулу объема для высоты. V=(√3 h^3)/8

В тетраэдр можно вписать сферу или описать сферу около него, тогда, зная высоту, чтобы вычислить радиусы вписанной и описанной сфер, необходимо воспользоваться следующими, уже готовыми формулами. (рис.60.2, 60.3) r_1=h/4 R_1=3h/4

[spoiler title=”источники:”]

http://mathhelpplanet.com/static.php?p=onlayn-resheniye-piramidy

http://planshet-info.ru/kompjutery/kak-najti-vysotu-tetrajedra-formula

[/spoiler]

Источник

Тетра́эдр (др.-греч. τετράεδρον «четырёхгранник»^[1] ← τέσσαρες / τέσσερες / τέτταρες / τέττορες / τέτορες «четыре» + ἕδρα «седалище, основание») — простейший многогранник, гранями которого являются четыре треугольника^[2].

Тетраэдр является треугольной пирамидой при принятии любой из граней за основание.
У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер.
Тетраэдр, у которого все грани — равносторонние треугольники, называется правильным. Правильный тетраэдр является одним из пяти правильных многогранников.

Свойства[править | править код]

Параллельные плоскости, проходящие через три пары скрещивающихся рёбер тетраэдра, определяют описанный около тетраэдра параллелепипед.

Плоскость, проходящая через середины двух скрещивающихся рёбер тетраэдра, делит его на две равные по объёму части^[3]^:216-217.

Бимедианы тетраэдра пересекаются в той же самой точке, что и медианы тетраэдра.
- Бимедианами тетраэдра называют отрезки, соединяющие середины его скрещивающихся рёбер (не имеющих общих вершин).

Центры сфер, которые проходят через три вершины и инцентр, лежат на сфере, центр которой совпадает с центром описанной сферы.
- Также это утверждение верно и для внешних инцентров.

Плоскости, которые проходят через середину ребра и перпендикулярны противоположному ребру,пересекаются в одной точке (ортоцентр).
- Ортоцентр в симплексе определяется как пересечение гиперплоскостей, которые перпендикулярны ребру и проходят через центр тяжести противоположного элемента.

Центр сферы(F),которая проходит через центры тяжести граней тетраэдра, центр тяжести тетраэдра(M), центр описанной сферы(R) и ортоцентр (H) лежат на одной прямой. При этом ${displaystyle RM=MH=3cdot MF}$ .

Центр сферы (S) вписанный в дополнительный тетраэдр,центр сферы (N) вписанный в антидополнительный тетраэдр, центр тяжести тетраэдра (M) и центр вписанной сферы (I) лежат на одной прямой.

Пусть точка G₁ делит отрезок соединяющий ортоцентр(H) и вершину 1 в отношении 1:2. Опустим перпендикуляр с точки G₁ на грань противолежащей вершине 1. Перпендикуляр пересекает грань в точке W₁. Точки G₁ и W₁ лежат на сфере (сфере Фейербаха), которая проходит через центры тяжести граней тетраэдра.

Сечение плоскостью, проходящей через середины четырёх рёбер тетраэдра, является параллелограммом.

Типы тетраэдров[править | править код]

Равногранный тетраэдр[править | править код]

Развёртка равногранного тетраэдра

Все грани его представляют собой равные между собой треугольники. Развёрткой равногранного тетраэдра является треугольник, разделённый тремя средними линиями на четыре равных треугольника. В равногранном тетраэдре основания высот, середины высот и точки пересечения высот граней лежат на поверхности одной сферы (сферы 12 точек) (Аналог окружности Эйлера для треугольника).

Свойства равногранного тетраэдра:

Все его грани равны (конгруэнтны).
Скрещивающиеся рёбра попарно равны.
Трёхгранные углы равны.
Противолежащие двугранные углы равны.
Два плоских угла, опирающихся на одно ребро, равны.
Сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°.
Развёртка тетраэдра — треугольник или параллелограмм.
Описанный параллелепипед прямоугольный.
Тетраэдр имеет три оси симметрии.
Общие перпендикуляры скрещивающихся рёбер попарно перпендикулярны.
Средние линии попарно перпендикулярны.
Периметры граней равны.
Площади граней равны.
Высоты тетраэдра равны.
Отрезки, соединяющие вершины с центрами тяжести противоположных граней, равны.
Радиусы описанных около граней окружностей равны.
Центр тяжести тетраэдра совпадает с центром описанной сферы.
Центр тяжести совпадает с центром вписанной сферы.
Центр описанной сферы совпадает с центром вписанной.
Вписанная сфера касается граней в центрах описанных около этих граней окружностей.
Сумма внешних единичных нормалей (единичных векторов, перпендикулярных к граням) равна нулю.
Сумма всех двугранных углов равна нулю.
Центры вневписанных сфер лежат на описанной сфере.

Ортоцентрический тетраэдр[править | править код]

Все высоты, опущенные из вершин на противоположные грани, пересекаются в одной точке.

Высоты тетраэдра пересекаются в одной точке.
Основания высот тетраэдра являются ортоцентрами граней.
Каждые два противоположных ребра тетраэдра перпендикулярны.
Суммы квадратов противоположных рёбер тетраэдра равны.
Отрезки, соединяющие середины противоположных рёбер тетраэдра, равны.
Произведения косинусов противоположных двугранных углов равны.
Сумма квадратов площадей граней вчетверо меньше суммы квадратов произведений противоположных рёбер.
У ортоцентрического тетраэдра окружности 9 точек (окружности Эйлера) каждой грани принадлежат одной сфере (сфере 24 точек).
У ортоцентрического тетраэдра центры тяжести и точки пересечения высот граней, а также точки, делящие отрезки каждой высоты тетраэдра от вершины до точки пересечения высот в отношении 2:1, лежат на одной сфере (сфере 12 точек).

Прямоугольный тетраэдр[править | править код]

Все рёбра, прилежащие к одной из вершин, перпендикулярны между собой.
Прямоугольный тетраэдр получается отсечением тетраэдра плоскостью от прямоугольного параллелепипеда.

Каркасный тетраэдр[править | править код]

Это тетраэдр, отвечающий любому из следующих условий^[4]:

существует сфера, касающаяся всех рёбер,
суммы длин скрещивающихся рёбер равны,
суммы двугранных углов при противоположных рёбрах равны,
окружности, вписанные в грани, попарно касаются,
все четырёхугольники, получающиеся на развёртке тетраэдра, — описанные,
перпендикуляры, восставленные к граням из центров вписанных в них окружностей, пересекаются в одной точке.

Соразмерный тетраэдр[править | править код]

У этого типа бивысоты равны.

Свойства соразмерного тетраэдра:

Инцентрический тетраэдр[править | править код]

У этого типа отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с центрами окружностей, вписанных в противоположные грани, пересекаются в одной точке.
Свойства инцентрического тетраэдра:

Отрезки, соединяющие центры тяжести граней тетраэдра с противоположными вершинами (медианы тетраэдра), всегда пересекаются в одной точке. Эта точка — центр тяжести тетраэдра.
Замечание. Если в последнем условии заменить центры тяжести граней на ортоцентры граней, то оно превратится в новое определение ортоцентрического тетраэдра. Если же заменить их на центры вписанных в грани окружностей, называемых иногда инцентрами, мы получим определение нового класса тетраэдров — инцентрических.
Отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с центрами окружностей, вписанных в противоположные грани, пересекаются в одной точке.
Биссектрисы углов двух граней, проведённому к общему ребру этих граней, имеют общее основание.
Произведения длин противоположных рёбер равны.
Треугольник, образованный вторыми точками пересечения трёх рёбер, выходящих из одной вершины, с любой сферой, проходящей через три конца этих рёбер, является равносторонним.

Правильный тетраэдр[править | править код]

Это равногранный тетраэдр, у которого все грани — правильные треугольники. Является одним из пяти платоновых тел.

Свойства правильного тетраэдра:

все рёбра тетраэдра равны между собой,
все грани тетраэдра равны между собой,
периметры и площади всех граней равны между собой.
Правильный тетраэдр является одновременно ортоцентрическим, каркасным, равногранным, инцентрическим и соразмерным.
Тетраэдр является правильным, если он принадлежит к двум любым видам тетраэдров из перечисленных: ортоцентрический, каркасный, инцентрический, соразмерный, равногранный.
Тетраэдр является правильным, если он является равногранным и принадлежит к одному из следующих видов тетраэдров: ортоцентрический, каркасный, инцентрический, соразмерный.
В правильный тетраэдр можно вписать октаэдр, притом четыре (из восьми) грани октаэдра будут совмещены с четырьмя гранями тетраэдра, все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести рёбер тетраэдра.
Правильный тетраэдр состоит из одного вписанного октаэдра (в центре) и четырёх тетраэдров (по вершинам), причём рёбра этих тетраэдров и октаэдра вдвое меньше рёбер правильного тетраэдра.
Правильный тетраэдр можно вписать в куб двумя способами, притом четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами куба.
Правильный тетраэдр можно вписать в додекаэдр, притом, четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами додекаэдра.
Скрещивающиеся рёбра правильного тетраэдра взаимно перпендикулярны.

Объём тетраэдра[править | править код]

${displaystyle V={frac {1}{6}}{begin{vmatrix}1&x_{1}&y_{1}&z_{1}\1&x_{2}&y_{2}&z_{2}\1&x_{3}&y_{3}&z_{3}\1&x_{4}&y_{4}&z_{4}end{vmatrix}}={frac {1}{6}}{begin{vmatrix}x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}&z_{3}-z_{1}\x_{4}-x_{1}&y_{4}-y_{1}&z_{4}-z_{1}end{vmatrix}},}$

или

${displaystyle V={frac {1}{3}} SH,}$

где $S$ — площадь любой грани, а $H$ — высота, опущенная на эту грань.

Объём тетраэдра через длины рёбер выражается с помощью определителя Кэли-Менгера:

$288cdot V^{2}={begin{vmatrix}0&1&1&1&1\1&0&d_{12}^{2}&d_{13}^{2}&d_{14}^{2}\1&d_{12}^{2}&0&d_{23}^{2}&d_{24}^{2}\1&d_{13}^{2}&d_{23}^{2}&0&d_{34}^{2}\1&d_{14}^{2}&d_{24}^{2}&d_{34}^{2}&0end{vmatrix}}.$

Эта формула имеет плоский аналог для площади треугольника в виде варианта формулы Герона через аналогичный определитель.
Объём тетраэдра через длины двух противоположных рёбер a и b, как скрещивающихся линий, которые удалены на расстояние h друг от друга и образуют друг с другом угол $phi$ , находится по формуле:

${displaystyle V={frac {1}{6}}abhsin phi .}$

Объём тетраэдра через длины трёх его рёбер a, b и c, выходящих из одной вершины и образующих между собой попарно соответственно плоские углы $alpha ,beta ,gamma$ , находится по формуле^[5]

${displaystyle V={frac {1}{6}} abc{sqrt {D}},}$

где

${displaystyle D={begin{vmatrix}1&cos gamma &cos beta \cos gamma &1&cos alpha \cos beta &cos alpha &1end{vmatrix}}.}$

Аналогом для плоскости последней формулы является формула площади треугольника через длины двух его сторон a и b, выходящих из одной вершины и образующих между собой угол $gamma$ :

$S={frac {1}{2}} ab{sqrt {D}},$

где
$D={begin{vmatrix}1&cos gamma \cos gamma &1\end{vmatrix}}.$

Замечание[править | править код]

Есть аналог формулы Герона для объёма тетраэдра ^[6]

Формулы тетраэдра в декартовых координатах в пространстве[править | править код]

Обозначения:

${displaystyle mathbf {r} _{1}(x_{1},y_{1},z_{1}),}$ ${displaystyle mathbf {r} _{2}(x_{2},y_{2},z_{2}),}$ ${displaystyle mathbf {r} _{3}(x_{3},y_{3},z_{3}),}$ ${displaystyle mathbf {r} _{4}(x_{4},y_{4},z_{4})}$ — координаты вершин тетраэдра.

Объём тетраэдра (с учётом знака):

${displaystyle V={frac {1}{6}}{begin{vmatrix}1&x_{1}&y_{1}&z_{1}\1&x_{2}&y_{2}&z_{2}\1&x_{3}&y_{3}&z_{3}\1&x_{4}&y_{4}&z_{4}end{vmatrix}}}$ .

Координаты центра тяжести (пересечение медиан): ${displaystyle mathbf {r} _{T}(x_{T},y_{T},z_{T})}$

${displaystyle x_{T}={frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}}{4}};}$ ${displaystyle y_{T}={frac {y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}}{4}};}$ ${displaystyle z_{T}={frac {z_{1}+z_{2}+z_{3}+z_{4}}{4}}.}$

Координаты центра вписанной сферы: ${displaystyle mathbf {r} _{r}(x_{r},y_{r},z_{r})}$

${displaystyle x_{r}={frac {S_{1}x_{1}+S_{2}x_{2}+S_{3}x_{3}+S_{4}x_{4}}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}};}$ ${displaystyle y_{r}={frac {S_{1}y_{1}+S_{2}y_{2}+S_{3}y_{3}+S_{4}y_{4}}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}};}$ ${displaystyle z_{r}={frac {S_{1}z_{1}+S_{2}z_{2}+S_{3}z_{3}+S_{4}z_{4}}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}},}$

где $S_{1}$ — площадь грани, противолежащей первой вершине, ${displaystyle S_{2}}$ — площадь грани, противолежащей второй вершине и так далее.

Соответственно уравнение вписанной сферы:

${displaystyle (x-{frac {S_{1}x_{1}+S_{2}x_{2}+S_{3}x_{3}+S_{4}x_{4}}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}+(y-{frac {S_{1}y_{1}+S_{2}y_{2}+S_{3}y_{3}+S_{4}y_{4}}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}+(z-{frac {S_{1}z_{1}+S_{2}z_{2}+S_{3}z_{3}+S_{4}z_{4}}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}=({frac {3V}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2},}$

Уравнение вневписанной сферы, противолежащей первой вершине:

${displaystyle (x-{frac {-S_{1}x_{1}+S_{2}x_{2}+S_{3}x_{3}+S_{4}x_{4}}{-S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}+(y-{frac {-S_{1}y_{1}+S_{2}y_{2}+S_{3}y_{3}+S_{4}y_{4}}{-S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}+(z-{frac {-S_{1}z_{1}+S_{2}z_{2}+S_{3}z_{3}+S_{4}z_{4}}{-S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}=({frac {3V}{-S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2},}$

Уравнение вневписанной сферы, противолежащей первой и второй вершинам (количество таких сфер может варьироваться от нуля до трёх):

${displaystyle (x-{frac {-S_{1}x_{1}-S_{2}x_{2}+S_{3}x_{3}+S_{4}x_{4}}{-S_{1}-S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}+(y-{frac {-S_{1}y_{1}-S_{2}y_{2}+S_{3}y_{3}+S_{4}y_{4}}{-S_{1}-S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}+(z-{frac {-S_{1}z_{1}-S_{2}z_{2}+S_{3}z_{3}+S_{4}z_{4}}{-S_{1}-S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}=({frac {3V}{-S_{1}-S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2},}$

Уравнение описанной сферы:

${displaystyle {begin{vmatrix}x^{2}+y^{2}+z^{2}&x&y&z&1\x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}&x_{1}&y_{1}&z_{1}&1\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+z_{2}^{2}&x_{2}&y_{2}&z_{2}&1\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}+z_{3}^{2}&x_{3}&y_{3}&z_{3}&1\x_{4}^{2}+y_{4}^{2}+z_{4}^{2}&x_{4}&y_{4}&z_{4}&1end{vmatrix}}=0.}$

Формулы тетраэдра в барицентрических координатах[править | править код]

Обозначения:

${displaystyle mathbf {J} (alpha _{1},alpha _{2},alpha _{3},alpha _{4})=alpha _{1}mathbf {J_{1}} +alpha _{2}mathbf {J_{2}} +alpha _{3}mathbf {J_{3}} +alpha _{4}mathbf {J_{4}} ,}$ — барицентрические координаты.

Объём тетраэдра (с учётом знака): Пусть ${displaystyle mathbf {J} _{1}(x_{1},y_{1},z_{1},t_{1}),mathbf {J} _{2}(x_{2},y_{2},z_{2},t_{2}),mathbf {J} _{3}(x_{3},y_{3},z_{3},t_{3}),mathbf {J} _{4}(x_{4},y_{4},z_{4},t_{4}).}$ — координаты вершин тетраэдра.

Тогда

${displaystyle V={frac {begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&z_{1}&t_{1}\x_{2}&y_{2}&z_{2}&t_{2}\x_{3}&y_{3}&z_{3}&t_{3}\x_{4}&y_{4}&z_{4}&t_{4}\end{vmatrix}}{(x_{1}+y_{1}+z_{1}+t_{1})(x_{2}+y_{2}+z_{2}+t_{2})(x_{3}+y_{3}+z_{3}+t_{3})(x_{4}+y_{4}+z_{4}+t_{4})}}V',}$ где $V'$ — объем базисного тетраэдра.

Координаты центра тяжести (пересечение медиан): ${displaystyle mathbf {J} _{T}(1,1,1,1).}$

Координаты центра вписанной сферы: ${displaystyle mathbf {J} _{r}(S_{1},S_{2},S_{3},S_{4}).}$

Координаты центра описанной сферы:

${displaystyle mathbf {J} _{R}={begin{vmatrix}0&mathbf {J_{1}} &mathbf {J_{2}} &mathbf {J_{3}} &mathbf {J_{4}} \1&0&alpha _{2,1}^{2}&alpha _{3,1}^{2}&alpha _{4,1}^{2}\1&alpha _{2,1}^{2}&0&alpha _{3,2}^{2}&alpha _{4,2}^{2}\1&alpha _{3,1}^{2}&alpha _{3,2}^{2}&0&alpha _{4,3}^{2}\1&alpha _{4,1}^{2}&alpha _{4,2}^{2}&alpha _{4,3}^{2}&0\end{vmatrix}}.}$

Расстояние между точками ${displaystyle mathbf {J} _{A}(A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}),mathbf {J} _{B}(B_{1},B_{2},B_{3},B_{4})}$ :

Пусть ${displaystyle C_{1}={frac {A_{1}}{A_{1}+A_{2}+A_{3}+A_{4}}}-{frac {B_{1}}{B_{1}+B_{2}+B_{3}+B_{4}}};C_{2}={frac {A_{2}}{A_{1}+A_{2}+A_{3}+A_{4}}}-{frac {B_{2}}{B_{1}+B_{2}+B_{3}+B_{4}}}}$ и так далее.

Тогда расстояние между двумя точками: ${displaystyle d^{2}=-(C_{1}C_{2}alpha _{1,2}^{2}+C_{1}C_{3}alpha _{1,3}^{2}+C_{1}C_{4}alpha _{1,4}^{2}+C_{2}C_{3}alpha _{2,3}^{2}+C_{2}C_{4}alpha _{2,4}^{2}+C_{3}C_{4}alpha _{3,4}^{2}).}$

Сравнение формул треугольника и тетраэдра[править | править код]

Площадь(Объём)
${displaystyle S={sqrt {-{frac {1}{16}}{begin{vmatrix}0&1&1&1\1&0&a^{2}&b^{2}\1&a^{2}&0&c^{2}\1&b^{2}&c^{2}&0\end{vmatrix}}}}}$	${displaystyle V={sqrt {{frac {1}{288}}{begin{vmatrix}0&1&1&1&1\1&0&alpha _{2,1}^{2}&alpha _{3,1}^{2}&alpha _{4,1}^{2}\1&alpha _{2,1}^{2}&0&alpha _{3,2}^{2}&alpha _{4,2}^{2}\1&alpha _{3,1}^{2}&alpha _{3,2}^{2}&0&alpha _{4,3}^{2}\1&alpha _{4,1}^{2}&alpha _{4,2}^{2}&alpha _{4,3}^{2}&0\end{vmatrix}}}}}$ , где ${displaystyle alpha _{1,2}}$ — расстояние между вершинами 1 и 2
${displaystyle S={frac {1}{2}}ah_{a}}$	${displaystyle V={frac {1}{3}}S_{1}H_{1}}$
${displaystyle S={frac {1}{2}}absin gamma }$	${displaystyle V={frac {2}{3}}{frac {S_{1}S_{2}}{alpha _{3,4}}}sin(phi _{1,2})}$ , где ${displaystyle phi _{1,2}}$ — угол между гранями 1 и 2, ${displaystyle S_{1}}$ и ${displaystyle S_{2}}$ — площади граней, противолежащие вершинам 1 и 2
Длина(площадь) биссектрисы
$l_{c}={frac {2abcos {frac {gamma }{2}}}{a+b}}$	${displaystyle L_{1,2}={frac {2S_{1}S_{2}cos({frac {phi _{1,2}}{2}})}{S_{1}+S_{2}}}}$
Длина медианы
$m_{c}={frac {{sqrt {2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}}}{2}}$	${displaystyle m_{1}={frac {sqrt {3(alpha _{1,2}^{2}+alpha _{1,3}^{2}+alpha _{1,4}^{2})-(alpha _{2,3}^{2}+alpha _{2,4}^{2}+alpha _{3,4}^{2})}}{3}}}$
Радиус вписанной окружности(сферы)
${displaystyle r={frac {2S}{a+b+c}}}$	${displaystyle r={frac {3V}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}}}$
Радиус описанной окружности(сферы)
$R={frac {abc}{4S}}$	${displaystyle R={frac {S_{T}}{6V}}}$ , где ${displaystyle S_{T}}$ — площадь треугольника со сторонами ${displaystyle alpha _{1,2}alpha _{3,4},alpha _{1,3}alpha _{2,4},alpha _{1,4}alpha _{2,3}}$
Теорема косинусов
$cos {alpha }={frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}$	${displaystyle cos(phi _{1,2})={frac {A_{1,2}}{16S_{1}S_{2}}}}$ , где ${displaystyle phi _{1,2}}$ — угол между гранями 1 и 2, ${displaystyle S_{1}}$ и ${displaystyle S_{2}}$ — площади граней, противолежащие вершинам 1 и 2, ${displaystyle A_{1,2}}$ — алгебраическое дополнение элемента ${displaystyle alpha _{2,1}^{2}}$ матрицы ${displaystyle {begin{pmatrix}0&1&1&1&1\1&0&alpha _{2,1}^{2}&alpha _{3,1}^{2}&alpha _{4,1}^{2}\1&alpha _{2,1}^{2}&0&alpha _{3,2}^{2}&alpha _{4,2}^{2}\1&alpha _{3,1}^{2}&alpha _{3,2}^{2}&0&alpha _{4,3}^{2}\1&alpha _{4,1}^{2}&alpha _{4,2}^{2}&alpha _{4,3}^{2}&0\end{pmatrix}}}$
Теорема синусов
${frac {a}{sin alpha }}={frac {b}{sin beta }}={frac {c}{sin gamma }}$	${displaystyle {frac {S_{1}}{Psi _{1}}}={frac {S_{2}}{Psi _{2}}}={frac {S_{3}}{Psi _{3}}}={frac {S_{4}}{Psi _{4}}}}$ , где ${displaystyle S_{1},S_{2},S_{3},S_{4}}$ — площади граней, противолежащие вершинам 1, 2, 3, 4, ${displaystyle Psi ={sqrt {begin{vmatrix}1&-cos(A)&-cos(B)\-cos(A)&1&-cos(C)\-cos(B)&-cos(C)&1\end{vmatrix}}}}$ , где $A,B,C$ — двугранные углы вершины.
Теорема о сумме углов треугольника(соотношение между двугранными углами тетраэдра)
$alpha +beta +gamma =180^{circ }$	${displaystyle {begin{vmatrix}1&-cos left(phi _{2,1}right)&-cos left(phi _{3,1}right)&-cos left(phi _{4,1}right)\-cos left(phi _{2,1}right)&1&-cos left(phi _{3,2}right)&-cos left(phi _{4,2}right)\-cos left(phi _{3,1}right)&-cos left(phi _{3,2}right)&1&-cos left(phi _{4,3}right)\-cos left(phi _{4,1}right)&-cos left(phi _{4,2}right)&-cos left(phi _{4,3}right)&1\end{vmatrix}}=0}$ , где ${displaystyle phi _{1,2}}$ — угол между гранями 1 и 2
Расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей (сфер)
${displaystyle R^{2}-d^{2}=2Rr}$	${displaystyle R^{2}-d^{2}={frac {S_{1}S_{2}alpha _{1,2}^{2}+S_{1}S_{3}alpha _{1,3}^{2}+S_{1}S_{4}alpha _{1,4}^{2}+S_{2}S_{3}alpha _{2,3}^{2}+S_{2}S_{4}alpha _{2,4}^{2}+S_{3}S_{4}alpha _{3,4}^{2}}{(S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4})^{2}}}}$ , где ${displaystyle S_{1},S_{2},S_{3},S_{4}}$ — площади граней, противолежащие вершинам 1, 2, 3, 4. Другая запись выражения: ${displaystyle R^{2}-d^{2}=2rT,}$ где $T$ — расстояние между центром описанной сферы и центром сферы, проходящая через три вершины и инцентр.

Тетраэдр в неевклидовых пространствах[править | править код]

Объём неевклидовых тетраэдров[править | править код]

Существует множество формул нахождения объёма неевклидовых тетраэдров. Например, формула Деревнина — Медных^[7] для гиперболического тетраэдра и формула Дж. Мураками^[8] для сферического тетраэдра. Объём тетраэдра в сферическом пространстве и в пространстве Лобачевского, как правило, не выражается через элементарные функции.

Соотношение между двугранными углами тетраэдра[править | править код]

${displaystyle operatorname {det} Psi >0}$ — для сферического тетраэдра.

${displaystyle operatorname {det} Psi <0}$ — для гиперболического тетраэдра.

Где ${displaystyle Psi ={begin{pmatrix}1&-cos(A_{2,1})&-cos(A_{3,1})&-cos(A_{4,1})\-cos(A_{2,1})&1&-cos(A_{3,2})&-cos(A_{4,2})\-cos(A_{3,1})&-cos(A_{3,2})&1&-cos(A_{4,3})\-cos(A_{4,1})&-cos(A_{4,2})&-cos(A_{4,3})&1\end{pmatrix}}}$ — матрица Грама для двугранных углов сферического и гиперболического тетраэдра.

$A_{{i,j}}$ — угол между гранями, противолежащими i и j вершине.

Теорема косинусов[править | править код]

${displaystyle cos(A_{i,j})=-{frac {Phi _{i,j}}{sqrt {Phi _{i,i}Phi _{j,j}}}}}$ — для сферического и гиперболического тетраэдра.

${displaystyle cos(alpha _{i,j})={frac {Psi _{i,j}}{sqrt {Psi _{i,i}Psi _{j,j}}}}}$ — для сферического тетраэдра.

${displaystyle operatorname {ch} (alpha _{i,j})={frac {Psi _{i,j}}{sqrt {Psi _{i,i}Psi _{j,j}}}}}$ — для гиперболического тетраэдра.

Где
${displaystyle Phi ={begin{pmatrix}1&cos(alpha _{2,1})&cos(alpha _{3,1})&cos(alpha _{4,1})\cos(alpha _{2,1})&1&cos(alpha _{3,2})&cos(alpha _{4,2})\cos(alpha _{3,1})&cos(alpha _{3,2})&1&cos(alpha _{4,3})\cos(alpha _{4,1})&cos(alpha _{4,2})&cos(alpha _{4,3})&1\end{pmatrix}}}$ — матрица Грама для приведённых рёбер сферического тетраэдра.

${displaystyle Phi ={begin{pmatrix}1&operatorname {ch} (alpha _{2,1})&operatorname {ch} (alpha _{3,1})&operatorname {ch} (alpha _{4,1})\operatorname {ch} (alpha _{2,1})&1&operatorname {ch} (alpha _{3,2})&operatorname {ch} (alpha _{4,2})\operatorname {ch} (alpha _{3,1})&operatorname {ch} (alpha _{3,2})&1&operatorname {ch} (alpha _{4,3})\operatorname {ch} (alpha _{4,1})&operatorname {ch} (alpha _{4,2})&operatorname {ch} (alpha _{4,3})&1\end{pmatrix}}}$ — матрица Грама для приведённых рёбер гиперболического тетраэдра.

${displaystyle alpha _{i,j}}$ — приведенное расстояние между i и j вершин.

${displaystyle Psi _{i,j}}$ — алгебраическое дополнение матрицы $Psi$ .

Теорема синусов[править | править код]

${displaystyle {frac {Phi _{1,1}}{Psi _{1,1}}}={frac {Phi _{2,2}}{Psi _{2,2}}}={frac {Phi _{3,3}}{Psi _{3,3}}}={frac {Phi _{4,4}}{Psi _{4,4}}}}$ — для сферического и гиперболического тетраэдра.

Радиус описанной сферы[править | править код]

${displaystyle {begin{vmatrix}1&cos(alpha _{2,1})&cos(alpha _{3,1})&cos(alpha _{4,1})&1\cos(alpha _{2,1})&1&cos(alpha _{3,2})&cos(alpha _{4,2})&1\cos(alpha _{3,1})&cos(alpha _{3,2})&1&cos(alpha _{4,3})&1\cos(alpha _{4,1})&cos(alpha _{4,2})&cos(alpha _{4,3})&1&1\1&1&1&1&{frac {1}{cos ^{2}(R)}}\end{vmatrix}}=0}$ — для сферического тетраэдра.

Другая запись выражения: ${displaystyle {frac {1}{cos(R)}}={frac {|{sqrt {Phi _{1,1}}}{overrightarrow {n_{1}}}+{sqrt {Phi _{2,2}}}{overrightarrow {n_{2}}}+{sqrt {Phi _{3,3}}}{overrightarrow {n_{3}}}+{sqrt {Phi _{4,4}}}{overrightarrow {n_{4}}}|}{sqrt {operatorname {det} Phi }}}}$ , где ${displaystyle {overrightarrow {n_{1}}},{overrightarrow {n_{2}}},{overrightarrow {n_{3}}},{overrightarrow {n_{4}}}}$ нормали граней тетраэдра.

Или с координатами вершин тетраэдра: ${displaystyle {frac {1}{cos(R)}}={frac {|{begin{vmatrix}0&{overrightarrow {i_{1}}}&{overrightarrow {i_{2}}}&{overrightarrow {i_{3}}}&{overrightarrow {i_{4}}}\1&X_{1}&Y_{1}&Z_{1}&T_{1}\1&X_{2}&Y_{2}&Z_{2}&T_{2}\1&X_{3}&Y_{3}&Z_{3}&T_{3}\1&X_{4}&Y_{4}&Z_{4}&T_{4}\end{vmatrix}}|}{sqrt {operatorname {det} Phi }}}}$ .

${displaystyle {begin{vmatrix}1&operatorname {ch} (alpha _{2,1})&operatorname {ch} (alpha _{3,1})&operatorname {ch} (alpha _{4,1})&1\operatorname {ch} (alpha _{2,1})&1&operatorname {ch} (alpha _{3,2})&operatorname {ch} (alpha _{4,2})&1\operatorname {ch} (alpha _{3,1})&operatorname {ch} (alpha _{3,2})&1&operatorname {ch} (alpha _{4,3})&1\operatorname {ch} (alpha _{4,1})&operatorname {ch} (alpha _{4,2})&operatorname {ch} (alpha _{4,3})&1&1\1&1&1&1&{frac {1}{operatorname {ch} ^{2}(R)}}\end{vmatrix}}=0}$ — для гиперболического тетраэдра.

Радиус вписанной сферы[править | править код]

${displaystyle {frac {1}{sin ^{2}(r)}}={frac {Phi _{1,1}+Phi _{2,2}+Phi _{3,3}+Phi _{4,4}+2{sqrt {Phi _{1,1}Phi _{2,2}}}cos(alpha _{1,2})+2{sqrt {Phi _{1,1}Phi _{3,3}}}cos(alpha _{1,3})+2{sqrt {Phi _{1,1}Phi _{4,4}}}cos(alpha _{1,4})+2{sqrt {Phi _{2,2}Phi _{3,3}}}cos(alpha _{2,3})+2{sqrt {Phi _{2,2}Phi _{4,4}}}cos(alpha _{2,4})+2{sqrt {Phi _{3,3}Phi _{4,4}}}cos(alpha _{3,4})}{operatorname {det} Phi }}}$ — для сферического тетраэдра.

Другая запись выражения: ${displaystyle {frac {1}{sin(r)}}={frac {|{sqrt {Phi _{1,1}}}{overrightarrow {r_{1}}}+{sqrt {Phi _{2,2}}}{overrightarrow {r_{2}}}+{sqrt {Phi _{3,3}}}{overrightarrow {r_{3}}}+{sqrt {Phi _{4,4}}}{overrightarrow {r_{4}}}|}{sqrt {operatorname {det} Phi }}}}$ , где ${displaystyle {overrightarrow {r_{1}}},{overrightarrow {r_{2}}},{overrightarrow {r_{3}}},{overrightarrow {r_{4}}}}$ единичные радиус векторы вершин тетраэдра.

${displaystyle {frac {1}{operatorname {sh} ^{2}(r)}}=-{frac {Phi _{1,1}+Phi _{2,2}+Phi _{3,3}+Phi _{4,4}+2{sqrt {Phi _{1,1}Phi _{2,2}}}operatorname {ch} (alpha _{1,2})+2{sqrt {Phi _{1,1}Phi _{3,3}}}operatorname {ch} (alpha _{1,3})+2{sqrt {Phi _{1,1}Phi _{4,4}}}operatorname {ch} (alpha _{1,4})+2{sqrt {Phi _{2,2}Phi _{3,3}}}operatorname {ch} (alpha _{2,3})+2{sqrt {Phi _{2,2}Phi _{4,4}}}operatorname {ch} (alpha _{2,4})+2{sqrt {Phi _{3,3}Phi _{4,4}}}operatorname {ch} (alpha _{3,4})}{operatorname {det} Phi }}}$ — для гиперболического тетраэдра.

Расстояние между центрами вписанной и описанной сфер[править | править код]

${displaystyle {frac {cos(d)}{sin(r)cos(R)}}={frac {{sqrt {Phi _{1,1}}}+{sqrt {Phi _{2,2}}}+{sqrt {Phi _{3,3}}}+{sqrt {Phi _{4,4}}}}{sqrt {operatorname {det} Phi }}}}$ — для сферического тетраэдра.

Формулы тетраэдра в барицентрических координатах[править | править код]

Координаты центра вписанной сферы:

${displaystyle mathbf {J} _{r}({sqrt {Phi _{1,1}}},{sqrt {Phi _{2,2}}},{sqrt {Phi _{3,3}}},{sqrt {Phi _{4,4}}}).}$ — для сферического тетраэдра.

Координаты центра описанной сферы:

${displaystyle mathbf {J} _{R}={begin{vmatrix}0&mathbf {J_{1}} &mathbf {J_{2}} &mathbf {J_{3}} &mathbf {J_{4}} \1&1&cos(alpha _{1,2})&cos(alpha _{1,3})&cos(alpha _{1,4})\1&cos(alpha _{2,1})&1&cos(alpha _{2,3})&cos(alpha _{2,4})\1&cos(alpha _{3,1})&cos(alpha _{3,2})&1&cos(alpha _{3,4})\1&cos(alpha _{4,1})&cos(alpha _{4,2})&cos(alpha _{4,3})&1\end{vmatrix}}.}$ — для сферического тетраэдра.

Тетраэдры в микромире[править | править код]

Правильный тетраэдр образуется при sp³-гибридизации атомных орбиталей (их оси направлены в вершины правильного тетраэдра, а ядро центрального атома расположено в центре описанной сферы правильного тетраэдра), поэтому немало молекул, в которых такая гибридизация центрального атома имеет место, имеют вид этого многогранника.
Молекула метана СН₄.
Ион аммония NH₄⁺.
Сульфат-ион SO₄^2-, фосфат-ион PO₄^3-, перхлорат-ион ClO₄^– и многие другие ионы.
Алмаз C — тетраэдр с ребром, равным 2,5220 ангстрем.
Флюорит CaF₂, тетраэдр с ребром, равным 3,8626 ангстрем.
Сфалерит, ZnS, тетраэдр с ребром, равным 3,823 ангстрем.
Оксид цинка, ZnO.
Комплексные ионы [BF₄] ^–, [ZnCl₄]^2-, [Hg(CN)₄]^2-, [Zn(NH3)₄]²⁺.
Силикаты, в основе структур которых лежит кремнекислородный тетраэдр [SiO₄]^4-.

Тетраэдры в живой природе[править | править код]

Тетраэдр из грецких орехов

Некоторые плоды, находясь вчетвером на одной кисти, располагаются в вершинах тетраэдра, близкого к правильному. Такая конструкция обусловлена тем, что центры четырёх одинаковых шаров, касающихся друг друга, находятся в вершинах правильного тетраэдра. Поэтому похожие на шар плоды образуют подобное взаимное расположение. Например, таким образом могут располагаться грецкие орехи.

Тетраэдры в технике[править | править код]

Тетраэдр образует жёсткую, статически определимую конструкцию. Тетраэдр, выполненный из стержней, часто используется в качестве основы для пространственных несущих конструкций пролётов зданий, перекрытий, балок, ферм,Стержни испытывают только продольные нагрузки.
Прямоугольный тетраэдр используется в оптике. Если грани, имеющие прямой угол, покрыть светоотражающим составом или весь тетраэдр выполнить из материала с сильным светопреломлением, чтобы возникал эффект полного внутреннего отражения, то свет, направленный в грань, противоположную вершине с прямыми углами, будет отражаться в том же направлении, откуда он пришёл. Это свойство используется для создания уголковых отражателей, катафотов.
Граф четверичного триггера представляет собой тетраэдр^[9].

Тетраэдры в философии[править | править код]

«Платон говорил, что наименьшие частицы огня суть тетраэдры»^[10].

См. также[править | править код]

Симплекс — n-мерный тетраэдр
Тетраэдр Мейсснера
Тетраэдр Рёло
Треугольник

Примечания[править | править код]

↑ Древнегреческо-русский словарь Дворецкого «τετρά-εδρον». Дата обращения: 20 февраля 2020. Архивировано из оригинала 28 декабря 2014 года.
↑ Селиванов Д. Ф.,. Тело геометрическое // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
↑ Гусятников П.Б., Резниченко С.В. Векторная алгебра в примерах и задачах. — М.: Высшая школа, 1985. — 232 с. Архивная копия от 10 января 2014 на Wayback Machine
↑ В. Э. МАТИЗЕН Равногранные и каркасные тетраэдры «Квант» № 7, 1983 г.
↑ Моденов П.С. Задачи по геометрии. — М.: Наука, 1979. — С. 16.
↑ Маркелов С. Формула для объема тетраэдра// Математическое просвещение. Вып. 6. 2002. С. 132
↑ Источник. Дата обращения: 31 марта 2018. Архивировано 30 августа 2017 года.
↑ Источник. Дата обращения: 31 марта 2018. Архивировано 31 марта 2018 года.
↑ http://knol.google.com/k/триггер#view Архивная копия от 23 ноября 2010 на Wayback Machine Триггер
↑ Вернер Гейзенберг. У истоков квантовой теории. М. 2004 г. стр.107

Литература[править | править код]

Матизен В. Э., Дубровский. Из геометрии тетраэдра «Квант», № 9, 1988 г. С.66.
Заславский А. А. Сравнительная геометрия треугольника и тетраэдра // Математическое просвещение, сер. 3 (2004), № 8, стр. 78-92.
Понарин Я. П. Элементарная геометрия. Том 3. Треугольники и тетраэдры.2009 г.

Источник

Избранные теоремы геометрии тетраэдра

Выпускная квалификационная
работа

Избранные теоремы геометрии
тетраэдра

Специальность / направление
подготовки Математика

Специализация / профиль Математика
– информатика

Содержание

Введение

Глава I.
Виды тетраэдров и теоремы о тетраэдрах

1.1 Теоремы о тетраэдрах

§1. Теорема Менелая

§2. Теорема Чевы

§3. Свойства медиан и бимедиан
тетраэдра

1.2 Различные виды тетраэдров.

§1. Пифагоровы тетраэдры

§2. Ортоцентрические тетраэдры

§3. Каркасные тетраэдры

§4. Равногранные тетраэдры

§5. Инцентрические тетраэдры

§6. Соразмерные тетраэдры

§7. Правильные тетраэдры

Глава II.
Тетраэдр в курсе математики средней
школы

§1. Сравнительная характеристика
изложения темы «тетраэдр» в школьных
учебниках

§2. Тестирование уровня развития
пространственного мышления у учеников
средней школы

Введение

Интерес к изучению
тетраэдра возник у человечества с
древних времен и не угасает до сих пор.
Это связано не только с его красотой,
но и с большой практической ценностью.

Тетраэдр является
одним из основных фигур стереометрии,
однако его изучение в курсе средней
школы недостаточно подробно. В некоторых
учебниках авторы избегают самой
терминологии, предпочитая называть
фигуру «треугольной пирамидой» (и
рассматривают её именно в таком ключе),
а об изучении различных видов тетраэдров
зачастую и говорить не приходится.

Роль задач о тетраэдрах
в математическом развитии школьников
трудно переоценить. Они стимулируют
накопление конкретных геометрических
представлений, способствуют развитию
пространственного мышления, что особенно
важно в процессе изучения стереометрии.

Изучению тетраэдра как школе,
так и в вузах посвящено лишь небольшое
количество занятий, поэтому целью
дипломной работы является изучение
различных видов тетраэдров, а также
теорем, связанных с геометрией тетраэдра.
В соответствии с целью сформулированы
следующие задачи:

Собрать сведения о тетраэдре
из различных источников и привести их
в систему; разобрать доказательства
теорем, связанных с тетраэдром;

Проанализировать
методику изложения материала в различных
школьных учебниках;

Разработать курс занятий о
тетраэдре для средней школы.

В первой главе моей
дипломной работы речь пойдёт о различных
видах тетраэдра и некоторых теоремах,
касающихся этой фигуры. Вторая глава
посвящена анализу учебного материала
для средней школы по заданной теме и
разработке курса занятий.

Глава I.
Виды тетраэдров и теоремы о тетраэдрах

1.1 Теоремы
о тетраэдрах

§1. Теорема Менелая

Теорема Менелая для треугольника.

Пусть точки А_>1>_>>и С_>1>
лежат на сторонах ВC
и АC
треугольника АВС,
точка В_>1>_>>на продолжении стороны
АС этого
треугольника. Для того чтобы точки А_>1>,
В_>1>,
С_>1>
лежали на одной прямой необходимо и
достаточно, чтобы выполнялось равенство

===1.

Доказательство.

Сначала докажем необходимость.
Пусть точки А_>1>,В_>1>,С_>1>
лежат на прямой l
и AA_>0>=h_>1>,
CC_>0>=h_>3>_>>- перпендикуляры, опущенные
соответственно из точек А,
В, С на прямую l.
Из подобия треугольников АА_>0>С_>1>_>>и ВВ_>0>С_>1>_>>получаем

.
Аналогично, рассматривая другие пары
подобных треугольников, получаем
;

.
Перемножая полученные пропорции,
приходим к требуемому равенству.

Теперь докажем достаточность.
Пусть точки А_>1>,
В_>1>, С_>1>,
лежащие на прямых ВС, АС, АВ таковы, что

.
Докажем, что точки А_>1>,
В_>1>,
С_>1>
лежат на одной прямой.

Проведем прямую А_>1>В_>1>_>>и докажем, что точка С_>1>
ей принадлежит. Предположим, что это не
так. Сначала заметим, прямая А_>1>В_>1>_>>не параллельна прямой
АВ. Пусть Т
– точка пересечения А_>1>В_>1>_>>и АВ,
тогда

.
Из условия и равенства (1) следует, что

.
Так как точки Т
и С_>1>_>>лежат вне отрезка АВ,
их совпадение вытекает из следующей
леммы.

Лемма 1.

Пусть А и В две различные точки,
тогда для любого k>0, k≠1 на прямой АВ
существуют две точки U и V такие, что
,
причем одна из этих точек принадлежит
отрезку АВ, а другая лежит вне отрезка.

Доказательство.

Введем на прямой АВ
координаты, приняв точку А
за начало координат. Пусть для
определенности k>1,
тогда координата искомой точки U,
лежащей внутри отрезка АВ,
удовлетворяет уравнению
,
откуда
.
Точка V
находится вне отрезка AB,
из уравнения
,
откуда
.
Случай 0<k<1
отличается от рассмотренного лишь тем,
что точку V
следует искать левее точки А.

Теорема Менелая допускает
интересное стереометрическое обобщение.

Теорема Менелая для тетраэдра.

Если плоскость μ
пересекает ребра АВ, ВС, CD
и DA тетраэдра
АВСD в точках
А_>1>,
В_>1>,
С_>1>,
D_>1>, то

(2).

Обратно, если для четырех точек
А_>1>,
В_>1>,
С_>1>,
D_>1>,
лежащих соответственно
на ребрах АВ, ВС, СD, DA
тетраэдра, выполнено равенство (2), то
эти четыре точки лежат в одной плоскости.

Доказательство.

Пусть h_>1>,
h_>2>,
h_>3,>h_>4>_>>- расстояния от точек
А, В, С, D соответственно до
плоскости μ,
тогда
;

;

Осталось перемножить полученные
отношения.

Для доказательства обратной
теоремы построим плоскость А_>1>,
В_>1>, С_>1>.
Пусть эта плоскость пересекает ребро
DA в точке Т.

По доказанному
,
а по условию
,
поэтому (и по лемме) точки Т
и D_>1>_>>совпадают._>>Утверждение доказано.

§2. Теорема Чевы

Теорема Чевы для треугольника.

Пусть точки А_>1>,
В_>1>,С_>1>_>>лежат соответственно на
сторонах ВС, АС
и ВА треугольника
АВС (см. рис).
Для того чтобы отрезки АА_>1>,
ВВ_>1>,
СС_>1>
пересекались в одной точке, необходимо
и достаточно, чтобы выполнялось
соотношение:

(3) (отрезки АА_>1>,
ВВ_>1>,
СС_>1>_>>иногда называют чевианами).

Доказательство.

Необходимость. Пусть отрезки
АА_>1>,
ВВ_>1>,
СС_>1>_>>пересекаются в точке М
внутри треугольника АВС.

Обозначим через S_>1>,
S_>2>,
S_>3>_>>площади треугольников
АМС, СМВ, АМВ,
а через h_>1>,
h_>2> –
расстояния от точек А
и В до прямой
МС. Тогда

аналогично
,

.
Перемножив полученные пропорции,
убеждаемся в справедливости теоремы.

Достаточность. Пусть точки А_>1>,
В_>1>,
С_>1>_>>лежат на сторонах ВС,
СА, АС треугольника, и
выполнено соотношение (3), М
– точка пересечения отрезков АА_>1>и
ВВ_>1>,
а отрезок СМ
пересекает сторону АВ
в точке Q.
Тогда, по уже доказанному
,

.
Из леммы снова следует совпадение точек
Q=C_>1>.
Достаточность доказана.

Перейдем теперь к пространственному
обобщению теоремы Чевы.

Теорема Чевы для тетраэдра.

Пусть М
– точка внутри тетраэдра АВСD,
а А_>1>,
В_>1>,
С_>1>
и D_>1> –
точки пересечения плоскостей СМD,
AMD, АМВ и СМВ
с ребрами АВ, ВC,
СD и DA
соответственно. Тогда

(4). Обратно: если для точек
,
то плоскости АВС,
ВСD_>1>
и DAB_>1>_>>проходят через одну точку.

Доказательство.

Необходимость легко получить,
если заметить, что точки А_>1>,
В_>1>,_>>С_>1>,
D_>1>
лежат в одной плоскости (эта плоскость
проходит через прямые А_>1>С_>1>
и В_>1>D_>1>,
пересекающиеся в точке М),
и применить теорему Менелая. Обратная
теорема доказывается так же, так и
обратная теореме Менелая в пространстве:
нужно провести плоскость через точки
А_>1>,
В_>1>,
С_>1> и
доказать с помощью леммы, что эта
плоскость пересечет ребро DA
в точке D_>1>.

§3. Свойства медиан и бимедиан
тетраэдра

Медианой тетраэдра называется
отрезок, соединяющий вершину тетраэдра
с центром тяжести противоположной грани
(точкой пересечения медиан).

Теорема (Применение теоремы
Менелая).

Медианы тетраэдра пересекаются
в одной точке. Эта точка делит каждую
медиану в отношении 3:1, считая от вершины.

Доказательство.

Проведем две медианы: DD_>1>
и CC_>1>
тетраэдра ABCD.
Эти медианы пересекутся в точке F.
CL
– медиана грани ABC,
DL
– медиана грани ABD,
а D_>1>,
C_>1>
– центры тяжести грани ABC
и ABD.
По теореме Менелая:

и
.
Запишем теорему для треугольника DLD_>1>:

;

=>

Доказательство производится аналогично
для любой другой пары медиан.

Теорема (Применение теоремы
Чевы).

Для начала дадим определения
некоторых элементов тетраэдра. Отрезок,
соединяющий середины скрещивающихся
ребер тетраэдра называется бимедианой.
Бивысотами (по аналогии) называют общие
перпендикуляры скрещивающихся ребер.

Теорема.

Бимедианы тетраэдра пересекаются
в той же самой точке, что и медианы
тетраэдра.

Доказательство.

В треугольнике LDC
отрезки DC
и LF
пересекутся в точке K.
По теореме Чевы для этого треугольника:

,
т.е.
,
CK=KD,
LK
– бимедиана.

Замечание 1.

FL=FK.
Теорема Менелая для треугольника DLK:

,
отсюда LF=FK.

Замечание 2.

Точка F
является центром тяжести тетраэдра.
,

,
значит
.

1.2 Различные
виды тетраэдров

§1. Пифагоровы
тетраэдры

Треугольник называется пифагоровым,
если у него один угол прямой, а отношение
любых сторон рационально (т.е применяя
подобие, можно из него получить
прямоугольный треугольник с целыми
длинами сторон).

По аналогии с этим, тетраэдр
называют пифагоровым, если его плоские
углы при одной из вершин прямые, а
отношение любых двух ребер рационально
(из него с помощью подобия можно получить
тетраэдр с прямыми плоскими углами при
одной из вершин и целыми длинами ребер).

Попробуем вывести “Уравнение
пифагоровых тетраэдров”, т.е. такое
уравнение с тремя неизвестными ξ, η, ζ,
что любой пифагоров тетраэдр дает
рациональное решение этого уравнения,
и наоборот, любое рациональное решение
уравнения дает пифагоров тетраэдр.

Сначала дадим способ описания
всех пифагоровых треугольников.

На рисунке треугольник ОАВ
– прямоугольный, длины его катетов
обозначены через а
и b, а дина
гипотенузы – через р.
Число

(1) условимся называть параметром
прямоугольного треугольника ОАВ
(или точнее, параметром “относительно
катета а“).
Используя соотношение р²=а²+b²,
имеем:

Из этих уравнений непосредственно
получим формулы, выражающие отношения
сторон прямоугольного треугольника
через его параметр:

и

(2).

Из формул (1) и (2) непосредственно
вытекает следующее утверждение: для
того, чтобы прямоугольный треугольник
был пифагоровым, необходимо и достаточно,
чтобы число ξ было рациональным. В самом
деле, если треугольник пифагоров, то из
(1) следует, что ξ рационально. Обратно,
если ξ рационально, то согласно (2)
отношения сторон рациональны, то есть
треугольник пифагоров.

Пусть теперь ОАВС
– тетраэдр, у которого плоские углы при
вершине О
прямые. Длины ребер, исходящих из вершины
О, обозначим через a,b,с,
а длины оставшихся ребер через р,
q, r.

Рассмотрим параметры трех
прямоугольных треугольников ОАВ,
ОВС, ОСА:

(3)

Тогда по
формулам (2) можно выразить отношения
сторон этих прямоугольных треугольников
через их параметры:

(4),

(5).

Из (4) непосредственно
вытекает, что параметры ξ,
η, ζ, удовлетворяют
соотношению

(6). Это и есть общее уравнение пифагоровых
тетраэдров.

Из формул (3) – (5) непосредственно
вытекает следующее утверждение: для
того чтобы тетраэдр ОАВС
с прямыми плоскими углами при вершине
О был пифагоровым, необходимо и достаточно,
чтобы параметры ξ, η, ζ
(удовлетворяющие уравнению (6)) были
рациональными.

Продолжая аналогию пифагорова
треугольника с пифагоровым тетраэдром,
попробуем сформулировать и доказать
пространственное обобщение теоремы
Пифагора для прямоугольных тетраэдров,
которая, очевидно, будет верна и для
пифагоровых тетраэдров. В этом нам
поможет следующая лемма.

Лемма 1.

Если площадь многоугольника
равна S, то
площадь его проекции на плоскость π
равна
,
где φ – угол
между плоскостью π и плоскостью
многоугольника.

Доказательство.

Утверждение леммы очевидно для
треугольника, одна сторона которого
параллельна линии пересечения плоскости
π с плоскостью многоугольника. В самом
деле, длина этой стороны при проекции
не изменяется, а длина высоты, опущенной
на нее при проекции, изменяется в cosφ
раз.

Докажем теперь, что любой
многогранник можно разделить на
треугольники указанного вида.

Проведем для этого через все
вершины многоугольника прямые,
параллельные линии пересечения
плоскостей, многоугольник разрежется
при этом на треугольники и трапеции.
Остается разрезать каждую трапецию по
любой из ее диагоналей.

Теорема 1 (пространственная
теорема Пифагора).

В прямоугольном тетраэдре АВСD,
с плоскими углами при вершине D,
сумма квадратов площадей трех его
прямоугольных граней равна квадрату
площади грани АВС.

Доказательство.

Пусть α – угол между плоскостями
АВС и DВС,
D’ – проекция точки D
на плоскость АВС.
Тогда S_>ΔDBC>=СоsαS_>ΔАBC>_>>и S_>ΔD’BC>=cоsαS_>ΔDBC>_>>(по лемме 1), поэтому cоsα
=
._>>S_>Δ>_>D>_>‘>_>BC>_>>=
.

Аналогичные равенства можно
получить и для треугольников D’АВ
и D’АС. Складывая
их и учитывая, что сумма площадей
треугольников D’ВС,
D’АС и D’АВ
равна площади треугольника АВС,
получаем требуемое.

Задача.

Пусть все плоские углы при вершине
D
прямые; a,b,c
– длины ребер, выходящих из вершины D
на плоскость ABC.
Тогда

Доказательство.

По теореме Пифагора для
прямоугольного тетраэдра

;

С другой
стороны

1=)
=>
.

§2. Ортоцентрические
тетраэдры

В отличие от треугольника, высоты
которого всегда пересекаются в одной
точке – ортоцентре, не всякий тетраэдр
обладает аналогичным свойством. Тетраэдр,
высоты которого пересекаются в одной
точке, называется ортоцентрическим. мы
начнем изучение ортоцентрических
тетраэдров с необходимых и достаточных
условий ортоцентричности, каждое из
которых можно принять за определение
ортоцентрического тетраэдра.

(1) Высоты тетраэдра пересекаются
в одной точке.

(2) Основания высот тетраэдра
являются ортоцентрами граней.

(3) Каждые два противоположных
ребра тетраэдра перпендикулярны.

(4) Суммы квадратов противоположных
ребер тетраэдра равны.

(5) Отрезки, соединяющие середины
противоположных ребер тетраэдра, равны.

(6) Произведения косинусов
противоположных двугранных углов равны.

(7) Сумма квадратов площадей
граней вчетверо меньше суммы квадратов
произведений противоположных ребер.

Докажем некоторые из них.

Доказательство (3).

Пусть каждые два противоположных
ребра тетраэдра перпендикулярны.

Следовательно, высоты тетраэдра
попарно пересекаются. Если несколько
прямых попарно пересекаются, то они
лежат в одной плоскости или проходят
через одну точку. В одной плоскости
высоты тетраэдра лежать не могут, так
как иначе в одной плоскости лежали бы
и его вершины, поэтому они пересекаются
в одной точке.

Вообще говоря, для того чтобы
высоты тетраэдра пересекались в одной
точке, необходимо и достаточно потребовать
перпендикулярность только двух пар
противоположных ребер. Доказательство
этого предложения напрямую следует из
следующей задачи.

Задача 1.

Дан произвольный тетраэдр ABCD.
Докажите, что
.

Решение.

Пусть а=,
b=,
с=.
Тогда
,

и
,
складывая эти равенства, получаем
требуемое.

Далее докажем свойство (4).

Пусть а=,
b=
и с=.
Равенство
²+²=²+²,
что,
т.е. (а,с)=0.
Применяя данный алгоритм к другим парам
противоположных ребер, очевидно, получим
искомое утверждение.

Приведем оказательство свойства
(6).

Для доказательства используем
следующие теоремы:

Теорема
синусов. «Произведение длин двух
противоположных ребер тетраэдра,
деленное на произведение синусов
двугранных углов при этих ребрах, одно
и то же для всех трех пар противоположных
ребер тетраэдра».

Теорема
Бертшнейдера. «Если a
и b
– длины двух скрещивающихся ребер
тетраэдра, а

– двугранные углы при этих ребрах, то
величина

не зависит от выбора пары скрещивающихся
ребер.

Воспользовавшись теоремой
синусов для тетраэдра и теоремой
Бертшнейдера, получаем, что произведения
косинусов противоположных двугранных
углов равны тогда и только тогда, когда
равны суммы квадратов противоположных
ребер, из чего и следует справедливость
свойства (6) ортоцентрического тетраэдра.

В заключение пункта об
ортоцентрическом тетраэдре решим
несколько задач на эту тему.

Задача 2.

Докажите, что в ортоцентрическом
тетраэдре выполняется соотношение
ОН²=4R²-3d²,
где О – центр
описанной сферы, H
– точка пересечения высот, R
– радиус описанной сферы, d
– расстояние между серединами
противоположных ребер.

Решение.

Пусть К
и L – середины
ребер АВ и СD
соответственно. Точка Н
лежитт в плоскости, проходящей через
СD перепендикулярно
АВ, а точка О
– в плоскости, проходящей черех К
перпендикулярно АВ.

Эти плоскости симметричны
относительно центра масс тетраэдра –
середины отрезка KL.
Рассматривая такие плоскости для всех
ребер, получаем, что точки Н
и О симметричны
относительно М,
а значит КLМО
– параллелограмм. Квадраты его сторон
равны

и
,
поэтому
.
Рассматривая сечение, проходящее через
точку М
параллельно АВ
и СD, получаем
что АВ²+CD²=4d².

Здесь можно добавить, что прямую,
на которой лежат точки О,
М и Н,
называют прямой Эйлера ортоцентрического
тетраэдра.

Замечание.

Наряду с прямой Эйлера можно
отметить существование сфер Эйлера для
ортоцентрического тераэдра, о которых
и пойдет речь в следующих задачах.

Задача 3.

Доказать, что для ортоцентрического
тетраэдра окружности 9 точек каждой
грани принадлежат одной сфере (сфере
24 точек). Для решения этой задачи
необходимо доказать условие следующей
задачи.

Задача 4.

Доказать, что середины сторон
треугольника, основания высот и середины
отрезков высот от вершин до точки их
пересечения лежат на одной окружности
– окружности 9 точек (Эйлер).

Доказательство.

Пусть АВС
– данный треугольник, Н
– точка пересечения его высот, А_>1>,
В_>1>,
С_>1> –
середины отрезков АН, ВН,
СН; АА_>2>
– высоты, А_>3>
– середина ВС.
Будем считать для удобства, что АВС
– остроугольный треугольник. Поскольку

В_>1>А_>1>С_>1>=ВАС
и ΔВ_>1>А_>2>С_>1>=ΔВ_>1>НС_>1>,
то
В_>1>А_>2>С_>1>=В_>1>НС=180°
–
В_>1>А_>1>С_>1>,
т.е. точки А_>1>,
В_>1>,
А_>2>,
С_>1>_>>лежат на одной окружности.
Также легко увидеть, что
В_>1>А_>3>С_>1>=В_>1>НС=180°
–
В_>1>А_>1>С_>1>,
т.е. точки А_>1>,
В_>1>,
А_>3>,
С_>1>_>>тоже лежат на одной (а
значит на той же) окружности. Отсюда
следует, что все 9 точек, о которых
говорится в условии, лежат на одной
окружности. Случай тупоугольного
треугольника АВС
рассматривается аналогично.

Заметим, что окружность 9 точек
гомотетична описанной окружности с
центром в Н и коэффициентом

(именно так расположены треугольники
АВС и А_>1>В_>1>С_>1>).
С другой стороны, окружность 9 точек
гомотетична описанной окружности с
центром в точке пересечения медиан
треугольника АВС
и коэффициентом

(именно так расположены треугольники
АВС и треугольник с вершинами в серединах
его сторон).

Теперь, после определения
окружности 9 точек, можно перейти к
доказательству условия задачи 3.

Доказательство.

Сечение ортоцентрического
тетраэдра любой плоскостью, параллельной
противоположным ребрам и проходящей
на равном расстоянии от этих ребер, есть
прямоугольник, диагонали которого равны
расстоянию между серединами противоположных
ребер тетраэдра ( все эти расстояния
равны между собой, см. необходимое и
достаточное условие ортоцентричности
(5). Отсюда следует, что середины всех
ребер ортоцентрического тетраэдра
лежат на поверхности сферы, центр которой
совпадает с центром тяжести данного
тетраэдра, а диаметр равен расстоянию
между серединами противоположных ребер
тетраэдра. Значит, все четыре окружности
9 точек лежат на поверхности этой сферы.

Задача 5.

Доказать, что для ортоцентрического
тетраэдра центры тяжести и точки
пересечения высот граней, а также точки
, делящие отрезки каждой высоты тетраэдра
от вершины до точки пересечения высот
в отношении 2:1, лежат на одной сфере (
сфере 12 точек).

Доказательство.

Пусть точки О, М
и Н – соответственно
центр описанного шара, ценетр тяжести
и ортоцентр ортоцентрического тетраэдра;
М – середина
отрезка ОН
(см. задачу 2). Центры тяжести граней
тетраэдра служат вершинами тетраэдра,
гомотетичного, с центром гомотетиии в
точке М и
коэффициентом
,
при этой гомотетии точка О
перейдет в точку О_>1>,
расположенную на отрезке МН
так, что
,
О_>1>
будет центром сферы проходящей через
центры тяжестей граней.

С другой стороны, точки, делящие
отрезки высот тетраэдра от вершин до
ортоцентра в отношении 2:1, служат
вершинами тетраэдра, гомотетичного
данному с центром гомотетии в Н
и коэффициентом
.
При этой гомотетии точка О,
как легко видеть, перейдет в ту же точку
О_>1>.
Таким образом, восемь из двенадцати
точек лежат на поверхности сферы с
центром в О_>1>
и радиусом, втрое меньшим, чем радиус
сферы, описанной около тетраэдра.

Докажем, что точки пересечения
высот каждой грани лежат на поверхности
той же сферы.

Пусть О`, Н`
и М` – центр
описанной окружности, точка пересечения
высот и центр тяжести какой-либо грани.
О` и Н`
являются проекциями точек О
и Н на плоскость
этой грани, а отрезок М`
делит отрезок О`Н`
в отношении 1:2, считая от О`(известный
планиметрический факт). Теперь легко
убедиться (см. рис), что проекция О_>1>
на плоскость этой грани – точка О`_>1>
совпадает с серединой отрезка М`Н`,
т.е. О_>1>_>>равноудалена от М`
и Н`, что и
требовалось.

§3. Каркасные
тетраэдры

Каркасным называется тетраэдр,
для которого существует сфера, касающаяся
всех шести ребер тетраэдра. Не всякий
тетраэдр каркасный. Например, легко
понять, что нельзя построить сферу,
касающуюся всех ребер равногранного
тетраэдра, если его описанный параллелепипед
“длинный”.

Перечислим свойства каркасного
тетраэдра.

(1) Существует сфера, касающаяся
всех ребер тетраэдра.

(2) Суммы длин скрещивающихся
ребер равны.

(3) Суммы двугранных углов при
противоположных ребрах равны.

(4) Окружности, вписанные в грани,
попарно касаются.

(5) Все четырехугольники,
получающиеся на развертке тетраэдра,
— описанные.

(6) Перпендикуляры, восстановленные
к граням из центров вписанных в них
окружностей, пересекаются в одной точке.

Докажем несколько свойств
каркасного тераэдра.

Доказательство (2).

Пусть О
– центр сферы, касающейся четырех ребер
во внутренних точках. заметим теперь,
что если из точки Х
провести касательные ХР
и ХQ к сфере с
центром О, то
точки Р и Q
симметричны относительно плоскости,
проходящей прямую ХО
и середину отрезка PQ,
а значит плоскости РОХ
и QОХ образуют
с плоскостью ХРQ
равные углы.

Проведем 4 плоскости, проходящие
через точку О и рассматриваемые ребра
тетраэдра. Они разбивают каждый из
рассматриваемых двугранных углов на
два двугранных угла. Выше было показано,
что полученные двугранные углы,
прилегающие к одной грани тетраэдра,
равны. Как в одну, так и в другую
рассматриваемую сумму двугранных углов
входит по одному полученному углу для
каждой грани тетраэдра. Проводя
аналогичные рассуждения для других пар
скрещивающихся ребер, получим
справедливость свойства (2).

Вспомним некоторые свойства
описанного четырехугольника:

Плоский
четырехугольник будет описанным тогда
и только тогда, когда суммы его
противоположных сторон равны;

Если
описанный четырехугольник разбить
диагональю на два треугольника, то
вписанные в треугольники окружности
касаются

Учитывая эти свойства, легко
доказать остальные свойства каркасного
тетраэдра. Свойство (3) тетраэдра напрямую
следует из свойства (b), а свойство (4) из
свойства (a)
и свойства (1) тетраэдра. Свойство (5) из
свойства (3). Действительно, ведь окружности
вписанные в грани тетраэдра, являются
пересечениями его граней со сферой,
касающейся ребер, откуда очевидно, что
перпендикуляры, восстановленные в
центрах вписанных в грани окружностей
неминуемо пересекутся в центре этой
сферы.

Задача 1.

Сфера касается ребер АВ,
ВС, СD и DA
тетраэдра АВСD
в точках L, M, N, K,
являющихся вершинами квадрата. Докажите,
что если эта сфера касается ребра АС,
то она касается и ребра BD.

Решение.

По условия КLMN
– квадрат. Проведем через точки К,
L, M, N плоскости, касающиеся
сферы. Т.к все эти плоскости одинаково
наклонены к плоскости КLMN,
то они пересекаются в одной точке S,
расположенной на прямой ОО_>1>,
где – центр сферы, а О_>1>_>>- центр квадрата. Эти
плоскости пересекают поверхность
квадрата KLMN
по квадрату TUVW,
серединами сторон которого являются
точки К, L, M, N.
В четырехгранном угле STUVW с вершиной S
все плоские углы равны, а точки К,
L, M, N лежат на биссектрисах
его плоских углов, причем SK=SL=SM=SN.
Следовательно,

SA=SC и SD=SB,
а значит АК=АL=CM=CN
и ВL=BM=DN=DK. По
условию АС
тоже касается шара, поэтому АC=АК+CN=2АК.
А так как SK –
биссектриса угла DSA,
то DK:КА=DS:SA=DВ:АС.
Из равенства АС=2АК
следует теперь, что DВ=2DK.
Пусть Р –
середина отрезка DВ,
тогда Р лежит
на прямой SO.
Треугольники DOK
и DOP равны,
т.к. DK=DP и

DКO=DPO=90^°.
Поэтому ОР=ОК=R,
где R – радиус
сферы, а значит, DB
тоже касается сферы.

§4. Равногранные
тетраэдры

Равногранным называется тетраэдр,
все грани которого равны. Чтобы представить
себе равногранный тетраэдр, возьмем
произвольный остроугольный треугольник
из бумаги, и будем сгибать его по средним
линиям. Тогда три вершины сойдутся в
одну точку, а половинки сторон сомкнутся,
образуя боковые ребра тетраэдра.

(0) Грани конгруэнтны.

(1) Скрещивающиеся ребра попарно
равны.

(2) Трехгранные углы равны.

(3) Противолежащие двугранные
углы равны.

(4) Два плоских угла, опирающихся
на одно ребро, равны.

(5) Сумма плоских углов при каждой
вершине равна 180°.

(6) Развертка тетраэдра – треугольник
или параллелограмм.

(7) Описанный параллелепипед
прямоугольный.

(8) Тетраэдр имеет три оси симметрии.

(9) Общие перпендикуляры
скрещивающихся ребер попарно

перпендикулярны.

(10) Средние линии попарно
перпендикулярны.

(11) Периметры граней равны.

(12) Площади граней равны.

(13) Высоты тетраэдра равны.

(14) Отрезки, соединяющие вершины
с центрами тяжести противоположных
граней, равны.

(15) Радиусы описанных около граней
окружностей равны.

(16) Центр тяжести тетраэдра
совпадает с центром описанной сферы.

(17) Центр тяжести совпадает с
центром вписанной сферы.

(18) Центр описанной сферы совпадает
с центром вписанной.

(19) Вписанная сфера касается
граней в центрах описанных около этих

граней окружностей.

(20) Сумма внешних единичных
нормалей (единичных векторов,

перпендикулярных к граням), равна
нулю.

(21) Сумма всех двугранных углов
равна нулю.

Практически все свойства
равногранного тетраэдра следуют из его

определения, поэтому докажем
только некоторые из них.

Доказательство (16).

Т.к. тетраэдр ABCD
равногранный, то по свойству (1) AB=CD.
Пусть точка К
отрезка АВ, а
точка L середина
отрезка DC,
отсюда отрезок KL
бимедиана тетраэдра ABCD,
откуда по свойствам медиан тетраэдра
следует, что точка О
– середина отрезка KL,
является центром тяжести тетраэдра
ABCD.

К тому же медианы тетраэдра
пересекаются в центре тяжести, точке
О, и делятся
этой точкой в отношении 3:1, считая от
вершины. Далее, учитывая вышесказанное
и свойство (14) равногранного тетраэдра,
получаем следующее равенство отрезков
АО=ВО=СО=DО, из
которого и следует, что точка О
является центром описанной сферы (по
определению описанной около многогранника
сферы).

Обратно. Пусть К
и L – середины
ребер АВ и СD
соответственно, точка О
– центр описанной сферы тетраэдра, т.е.
середина отрезка KL.
Т.к. О – центр
описанной сферы тетраэдра, то треугольники
AOB и COD
– равнобедренные с равными боковыми
сторонами и равными медианами OK
и OL. Поэтому
ΔAOB=ΔCOD.
А значит AB=CD.
Аналогично доказывается равенство
других пар противоположных ребер, из
чего по свойству (1) равногранного
тетраэдра и будет следовать искомое.

Доказательство (17).

Рассмотрим биссектор двугранного
угла при ребре AB,
он разделит отрезок DC в отношении
площадей граней ABD
и ABC.

Т.к. тетраэдр ABCD
равногранный, то по свойству (12)
S_>ΔABD>=S_>ΔABD>=>DL=LС,
откуда следует, что биссектор ABL
содержит бимедиану KL.
Применяя аналогичные рассуждения для
остальных двугранных углов, и принимая
во внимание тот факт, что биссекторы
тетраэдра пересекаются в одной точке,
которая является центром вписанной
сферы, получаем, что эта точка неминуемо
будет центром тяжести данного равногранного
тетраэдра.

Обратно. Из того, что центр тяжести
и центр вписанной сферы совпадают имеем
следующее: DL=LC=>SABD=SADC.
Доказывая подобным образом равновеликость
всех граней и, применяя свойство (12)
равногранного тетраэдра, получаем
искомое.

Теперь докажем свойство (20). Для
этого сначала нужно доказать одно из
свойств произвольного тетраэдра.

тетраэдр теорема
школьный учебник

Лемма 1.

Если длины векторов перпендикулярных
к граням тетраэдра численно равны
площадям соответствующих граней, то
сумма этих векторов равна нулю.

Доказательство.

Пусть Х
– точка внутр и многогранника, h_>i>(i=1,2,3,4)
– расстояние от нее до плоскости i-ой
грани.

Разрежем многогранник на пирамиды
с вершиной Х,
основаниями которых служат его грани.
Объем тетраэдра V
равен сумме объемов этих пирамид, т.е.
3 V=∑h_>i>S_>i>,
где S_>i>_>>площадь i-ой
грани. Пусть далее, n_>i>_>>- единичный вектор внешней
нормали к i-ой грани, M_>i>-
произвольная точка этой грани. Тогда
h_>i>=(ХM_>i>,
S_>i>n_>i>),
поэтому 3V=∑h_>i>S_>i>=∑(ХM_>i>,
S_>i>n_>i>)=(ХО,
S_>i>n_>i>)+(ОM_>i>,
S_>i>n_>i>)=(ХО,
∑S_>i>n_>i>)+3V,
где О – некоторая
фиксированная точка тетраэдра,
следовательно, ∑S_>i>n_>i>=0.

Далее очевидно, что свойство
(20) равногранного тетраэдра является
частным случаем вышеуказанной леммы,
где S_>1>=_>>S_>2>=_>>S_>3>=_>>S_>4>=>n_>1>=n_>2>=n_>3>=n_>4>,
и так как площади граней не равны нулю,
получаем верное равенство n_>1>+n_>2>+n_>3>+n_>4>=0.

В заключение рассказа о равногранном
тетраэдре приведем несколько задач на
эту тему.

Задача 1.

Прямая, проходящая через центр
масс тетраэдра и центр описанной около
него сферы, пересекает ребра AB
и CD. Докажите,
что AC=BD и AD=BC.

Решение.

Центр масс тетраэдра лежит на
прямой, соединяющей середины ребер АВ
и СD.

Следовательно, на этой прямой
лежит центр описанной сферы тетраэдра,
а значит, указанная прямая перпендикулярна
ребрам АВ и
СD. Пусть С`
и D` – проекции
точек C и D
на плоскость, проходящую через прямую
АВ параллельно
СD. Т.к. AC`BD`
– параллелограмм (по построению), то
АС=ВD и АD=ВС.

Задача 2.

Пусть h
– высота равногранного тетраэдра, h_>1>_>>и h_>2>_>>- отрезки, на которые одна
из высот грани делится точкой пересечения
высот этой грани. Доказать, что h²=4h_>1>h_>2>;
доказать также, что основание высоты
тетраэдра и точка пересечения высот
грани, на которую эта высота опущена,
симметричны относительно центра
окружности, описанной около этой грани.

Доказательство.

Пусть АВСD
– данный тетраэдр, DH
– его высота, DA_>1>,
DВ_>1>,
DС_>1>_>>- высоты граней, опущенные
из вершины D
на стороны ВС, СА и АВ.

Разрежем поверхность тетраэдра
вдоль ребер DA, DB, DC,
и сделаем развертку. Очевидно, что Н
есть точка пересечения высот треугольника
D_>1>D_>2>D_>3>.
Пусть F – точка
пересечения высот треугольника ABC,
АК – высота этого треугольника,
АF=h_>1>,
FК=h_>2>.
Тогда D_>1>Н=2h_>1>,
D_>1>A_>1>=h_>1>-h_>2>.

Значит, поскольку h
– высота нашего тетраэдра, h²=DН²=DA²– НA_>1>²=
(h_>1+>
h_>2>)²– (h_>1>–
h_>2>)²=4h_>1>h_>2.>_>>Пусть теперь М
– центр тяжести треугольника ABC
(он же центр тяжести треугольника
D_>1>D_>2>D_>3>),
О – центр
описанной около него окружности.
Известно, что F, М
и О лежат на
одной прямой (прямая Эйлера), причем М
– между F и О,
FM=2МО,
С другой стороны, треугольник D_>1>D_>2>D_>3>_>>гомотетичен треугольнику
АВС с центром
в М и коэффициентом
(-2), значит МН=2FM.
Из этого следует, что ОН=FO.

Задача 3.

Доказать, что в равногранном
тетраэдре основания высот, середины
высот и точки пересечения высот граней
лежат на поверхности одной сферы (сферы
12 точек).

Доказательство.

Решая задачу 2, мы доказали, что
центр описанной около тетраэдра сферы
проецируется на каждую грань в середину
отрезка, концами которого является
основание высоты, опущенной на эту
грань, и точка пересечения высот этой
грани. А поскольку расстояние от центра
описанной около тетраэдра сферы до
грани равно
,
где h – высота
тетраэдра, центр описанной сферы удален
от данных точек на расстояние
,
где а – расстояние
между точкой пересечения высот и центром
описанной около грани окружности.

§5. Инцентрические
тетраэдры

Отрезки, соединяющие центры
тяжести граней тетраэдра с противоположными
вершинами (медианы тетраэдра), всегда
пересекаются в одной точке, эта точка
– центр тяжести тетраэдра. Если в этом
условии заменить центры тяжести граней
на ортоцентры граней, то оно превратится
в новое определение ортоцентрического
тетраэдра. Если же заменить их на центры
вписанных в грани окружностей, называемых
иногда инцентрами, мы получим определение
нового класса тетраэдров – инцентрических.

Признаки класса инцентрических
тетраэдров тоже довольно интересны.

Отрезки,
соединяющие вершины тетраэдра с центрами
окружностей, вписанных в противоположные
грани, пересекаются в одной точке.

Биссектрисы
углов двух граней, проведенному к общему
ребру этих граней, имеют общее основание.

Произведения
длин противоположных ребер равны.

Треугольник,
образованный вторыми точками пересечения
трех ребер, выходящих из одной вершины,
с любой сферой, проходящей через три
конца этих ребер, является равносторонним.

Доказательство (2).

По свойству (1), если DF,
BE, CF, AM – биссектрисы
соответственных углов в треугольниках
АВС и FBD,
то отрезки КС
и LD будут иметь
общую точку I
(см. рис). Если же прямые DK
и СL не
пересекаются в точке F,
то, очевидно, КС
и DL не
пересекаются, чего быть не может (по
определению инцентрического тетраэдра).

Доказательство (3).

Учитывая свойство (2) и свойство
биссектрисы, получаем соотношения:

;

.

§6.
Соразмерные
тетраэдры

Соразмерными называются тетраэдры,
у которых

Бивысоты
равны.

Проекция
тетраэдра на плоскость, перпендикулярную
любой бимедиане, есть ромб.

Грани
описанного параллелепипеда равновелики.

4а²а_>1>²–
(b²+b_>1>²-c²-c_>1>²)²=4b²b_>1>²–
(c²+c_>1>²-a²-a_>1>²)²=4c²c_>1>²–
(a²+a_>1>²-b²-b_>1>²)²,
где а
и а_>1>,
b
и b_>1>,
с
и с_>1>
– длины противоположных ребер.

Для доказательства эквивалентности
определений (1) – (4) достаточно заметить,
что бивысоты тетраэдра равны высотам
параллелограмма, являющегося его
проекцией, упоминавшейся в свойстве
(2), и высотам описанного параллелепипеда,
и что квадрат площади параллелепипеда,
содержащей, скажем, ребро с,
равен
,
а скалярное произведение

выражается через ребра тетраэдра по
формуле (4).

Добавим сюда ещё два условия
соразмерности:

Для
каждой пары противоположных ребер
тетраэдра плоскости, проведенные через
одно из них и середину второго,
перпендикулярны.

В
описанный параллелепипед соразмерного
тетраэдра можно вписать сферу.

§7. Правильные тетраэдры

Если ребра тетраэдра равны между
собой, то равны между собой будут и
трехгранные, и двугранные, и плоские
углы. В таком случае тетраэдр называется
правильным. Заметим
также, что такой тетраэдр является и
ортоцентрическим, и каркасным, и
равногранным, и инцентрическим, и
соразмерным.

Замечание 1.

Если тетраэдр является равногранным
и принадлежит к одному из следующих
видов тетраэдров: ортоцентрический,
каркасный, инцентрический, соразмерный,
то он будет и правильным.

Замечание 2.

Тетраэдр является правильным,
если он принадлежит к двум любым видам
тетраэдров из перечисленных:
ортоцентрический, каркасный, инцентрический,
соразмерный, равногранный.

Свойства правильного тетраэдра:

Каждая его вершина является
вершиной трех треугольников. А значит,
сумма плоских углов при каждой вершине
будет равна 180º

В правильный тетраэдр можно
вписать октаэдр, притом четыре (из
восьми) грани октаэдра будут совмещены
с четырьмя гранями тетраэдра, все шесть
вершин октаэдра будут совмещены с
центрами шести рёбер тетраэдра.

Правильный тетраэдр состоит из
одного вписанного октаэдра (в центре)
и четырёх тетраэдров (по вершинам),
причем ребра этих тетраэдров и октаэдра
вдвое меньше ребер правильного тетраэдра

Правильный тетраэдр можно
вписать в куб двумя способами, притом
четыре вершины тетраэдра будут совмещены
с четырьмя вершинами куба.

Правильный тетраэдр можно
вписать в икосаэдр, притом, четыре
вершины тетраэдра будут совмещены с
четырьмя вершинами икосаэдра.

Задача 1.

Доказать, что скрещивающиеся
ребра правильного тетраэдра взаимно
перпендикулярны.

Решение:

Пусть DH – высота
правильного тетраэдра, точка H – центр
правильного ΔABC.
Тогда проекцией отрезка AD на плоскость
основания ABC будет отрезок BH.
Т.к. BHAC,
то по теореме о трех
перпендикулярах наклонная BD
 AC.

Задача 2.

Дан правильный тетраэдр МАВС
с ребром 1. найдите расстояние между
прямыми AL и
МО, где
L-середина
ребра МС,
О-центр грани
АВС.

Решение:

1. Расстояние между двумя
скрещивающимися прямыми – это длина
перпендикуляра, опущенного из одной
прямой, к плоскости, параллельной этой
прямой и содержащей вторую прямую.

2. Строим проекцию AK
отрезка AL на
плоскость ABC.
Плоскость AKL
перпендикулярна плоскости ABC,
параллельна прямой MO
и содержит прямую AL.
Значит, искомая длина – это длина
перпендикуляра ON,
опущенного из точки O
к AK.

3. Найдем S_>Δ>_>KHA>
двумя способами.

S_>Δ>=.

С другой стороны: S_>Δ>_>KHA>=

поэтому ρ
.

Найдём ON:

ρ=

Задача 3.

Каждое ребро треугольной
пирамиды PABC равно
1; BD –
высота треугольника ABC .
Равносторонний треугольник BDE лежит
в плоскости, образующей угол ϕ с
ребром AC ,
причём точки P и E лежат
по одну сторону от плоскости ABC .
Найдите расстояние между точками P и E .

Решение. Поскольку
все рёбра пирамиды PABC равны,
это правильный тетраэдр. Пусть M
– центр
основания ABC , N
–
ортогональная проекция вершины E равностороннего
треугольника BDE на
плоскость ABC ,
K
–
середина BD ,
F
– основание
перпендикуляра, опущенного из точки E на
высоту PM тетраэдра
PABC .
Так как
EK  BD ,
то по теореме о трёх перпендикулярах
NK  BD ,
поэтому EKN –
линейный угол двугранного угла,
образованного плоскостями ABC и BDE ,
а т.к. NK
|| AC ,
то  EKN
= ϕ .
Далее имеем:

BD
= ,
MD
= ,
KD
= ,
BD
= ,
PM
= ,

KM
= KD
– MD
=  –  = ,
EK
= BD·  = ,
EN
= EK
sin
ϕ
=  sin
ϕ,

NK = EK cos
ϕ
= cos
ϕ,
MN2 =
NK2 +
KM2 = cos 2ϕ
+ ,

PE2 =
EF2 +
PF2 =
MN2 + (PM
– MF)2 =
MN2 + (PM
– EN)2 =

=  cos 2ϕ
+ + ( –  sin
ϕ)2 =  cos 2ϕ
+  +  –  sin
ϕ
+  sin 2ϕ
==  +  +  –  sin
ϕ
=  –  sin
ϕ
=  –  sin
ϕ.

Следовательно,

PE = =.

Задача 4.

Найди углы между скрещивающимися
высотами соседних граней тетраэдра.

Решение.

Случай №1.

Пусть BK
и DF – высоты
граней ABC и
BCD.
BK,
FD = α.
Обозначим длину ребра тетраэдра как a.
Проведем FL || BK,
тогда α
=DFL.

,
KL=LC.

Запишем теорему косинусов для
ΔDLF:

;

Случай
№2 (высота расположена иначе).

BK
и CN
– высоты граней ABC
и BCD. Проведем
FP || CN и FL
|| BK.

;

.
Найдем LP.
DO – высота правильного
тетраэдра, DO
=
, Q
– проекция P
на плоскость ABC,

.
,

;

Запишем теорему косинусов для
ΔLFP:

;

Так как угол между прямыми по
определению острый

Глава II. Тетраэдр в курсе
математики средней школы

§1. Сравнительная характеристика
изложения темы «тетраэдр» в школьных
учебниках

В школьном курсе
геометрии на изучение основ темы
«Тетраэдр» отводится достаточно много
времени. Методических проблем проведения
этой темы практически не возникает, так
как учащиеся знают, что такое пирамида
(в т.ч. и треугольная), как из пропедевтических
курсов прежних лет обучения математики,
так из жизненного опыта. Правильный
тетраэдр ассоциируется с его плоским
аналогом – правильным треугольником, а
равенство сторон с равенством ребер
или граней.

Однако проблемы в
изучении темы для учащихся существуют,
и разные учебники пытаются решить их
разными способами (порядком изложения
теоретического материала, уровнем
сложности задач и т.п.). Дадим краткую
характеристику распространенных
учебников геометрии в аспекте изучения
тетраэдра.

Изложение темы «Тетраэдр» в
учебнике «Геометрия» для 10-11 классов
Атанасяна Л. С. и др.

В базовом
учебнике «Геометрия» для 10-11 классов
средней школы Атанасяна
Л. С. и др.
информацию о тетраэдре можно найти в 7
параграфах (12, 14, 28, 29, 32, 33, 69).

Авторы учебника
определяют тетраэдр как поверхность,
составленную из четырёх треугольников.
Из теоретической базы учебника для 10
класса можно почерпнуть знания о гранях,
рёбрах и вершинах тетраэдра, о построении
сечений тетраэдра плоскостью, вычислении
площади полной поверхности тетраэдра,
в т.ч. и усечённого (глава III, §
2 «Пирамида»).

Далее рассматриваются
правильные многогранники и элементы
симметрии правильных многогранников.
Формула нахождения объёма пирамиды
приводится в заключительной главе
учебника (глава VII «Объемы тел»).

Теоретический
материал учебника изложен компактно и
стилистически единообразно. Некоторый
теоретический материал расположен в
практической части учебника (доказательства
некоторых теорем производится в задачах).
Практический материал учебника разделён
на два уровня сложности (есть т.н. «задачи
повышенной трудности», отмеченные
специальным символом «*»). Кроме того,
в конце учебника есть задачник с задачами
высокой сложности, некоторые из которых
касаются тетраэдра. Рассмотрим некоторые
задачи учебника.

Решение задач.

Задача 1 (№300).
В правильной треугольной пирамиде DABC
точки E, F
и P
– середины сторон BC,
AB
и AD.
Определите вид сечения и найдите его
площадь, если сторона основания пирамиды
равна a,
боковое ребро равно b.

Решение.

Строим сечение
плоскостью, проходящей через точки E,
F, P. Проведём
среднюю линию треугольника ABC,
EF ||
AC,

EF ||
AC, а
AC
лежит в пл.
DCA,
значит EF
|| пл.
DCA. Плоскость
сечения пересечёт грань DCA
по прямой
PK.

Т.к. плоскость сечения
проходит через прямую EF
параллельную
плоскости DCA
и пересекает
плоскость DCA,
то линия
пересечения PK
параллельна
прямой EF.

Построим в грани BDA
отрезок
FP, а
в грани BDC
– отрезок
EK.
Четырёхугольник
EFOK и
есть искомое сечение. EF
|| AC,
PK || EF
|| AC,

,

,
значит
.

Т.к. PK
|| EF
и PK = EF,
то EFPK
– параллелограмм.
Таким образом, EK
|| EP, EP – средняя
линия треугольника BCD,

.

Угол между
скрещивающимися прямыми DB
и CA
равен 90°.
Докажем это. Построим высоту пирамиды
DO.
Точка O
– центр правильного треугольника ABC.
Продолжим отрезок BO
до пересечения со стороной AC
в точке M.
В правильном треугольнике ABC:
BM – высота,
медиана и биссектриса, следовательно.
Имеем, что
,

,
тогда по признаку перпендикулярности
прямой и плоскости
,
тогда
.

Т.к.
,
PK ||
CA
и EK
|| BD,
то

и EFPK
– прямоугольник.

Задача 2 (№692).

Основанием пирамиды
является прямоугольный треугольник с
катетами a
и b.
Каждое её боковое ребро наклонено к
плоскости основания под углом φ.
Найдите объём пирамиды

Решение:

ABCD – пирамида,
угол ABC –
прямоугольный,
AC = b, BC = a, углы
DAO, DBO, DCO равны
. Найдем
V_>DABC0>.

1) ∆DAO=∆ADC=∆DBO
по катету
и острому углу, значит
AO=OC=OB=R окружности,
описанной около
∆ABC. Т.к.
∆ABC – прямоугольный,
то
.

2) Из ∆DOC:

;

.

3)
;

;

.

Изложение темы «Тетраэдр» в
учебнике «Геометрия» для 7-11 классов
Погорелова А.В.

В другом базовом
учебнике А.В. Погорелова и др.
теоретический
материал в той или иной степени касающийся
темы «Тетраэдр» содержится в пунктах
176-180, 186, 192, 199, 200.

В пункте 180 “Правильные
многогранники” содержится определение
понятия «правильный тетраэдр» (“Тетраэдр
представляет собой треугольную пирамиду,
у которой все рёбра равны”), доказательство
некоторых свойств и теорем о пирамиде
проиллюстрировано чертежами тетраэдра.
Однако в данном учебном пособии акцент
на изучении фигуры не ставится, и в этом
смысле его информативность (касательно
тетраэдра) можно оценить как низкую.
Практический же материал учебника
содержит удовлетворительное количество
заданий, касающихся пирамиды, в основании
которой расположен треугольник (что по
сути и есть тетраэдр). Приведём примеры
решения некоторых задач.

Решение задач.

Задача 1 (№ 41 из пункта
«Многогранники»).

Основание пирамиды
— равнобедренный треугольник, у которого
основание равно 12 см, а боковая сторона
— 10 см. Боковые грани образуют с основанием
равные двугранные углы, содержащие по
45°. Найдите высоту пирамиды.

Решение:

Проведем перпендикуляр
SO к плоскости
основания и перпендикуляры
SK, SM и
SN к сторонам
ΔABС. Тогда
по теореме о трех перпендикулярах
OKBC,
ОМАС
и ONAB.

Тогда,

SKO
=
SMO
=
SNO
= 45° — как
линейные углы данных двугранных углов.
А следовательно, прямоугольные
треугольники SKO,
SMO и
SNO равны
по катету и острому углу.
Так что
OK=OM=ON, то
есть точка
О является
центром окружности, вписанной
в
ΔАВС.

Выразим площадь
прямоугольника
АВС:

(см)

С другой стороны,
.
Так что
;
ОК=r=3 см. Так
как в прямоугольном треугольнике
SOK острый
угол равен
45°,
то
ΔSOK является
равнобедренным и
SO=OK=3(см).

Задача 2 (№ 43 из
пункта «Объёмы многогранников»).

Найдите объем
пирамиды, имеющий основанием треугольник,
два угла которого
a и β; радиус
описанного круга
R. Боковые
ребра пирамиды наклонены к плоскости
ее основания под углом
γ.

Решение.

Так как все боковые
ребра пирамиды наклонены к плоскости
основания под одним и тем же углом, то
высота пирамиды
O_>1>O
проходит
через центр описанной около основания
окружности. Так что

Далее, в прямоугольном
:
.

В ΔАВС
.
Тогда
согласно теореме синусов

Так что
,
,
=

Площадь треугольника:

Тогда
.

Изложение темы «Тетраэдр» в
учебнике «Геометрия» для 10-11 классов
Александрова А.Д.

Рассмотрим учебное пособие
Александрова А.Д. и др. «Геометрия:
учебник для учащихся 11 кл. с углубленным
изучением математики». Отдельных
параграфов, посвящённых тетраэдру в
этом учебнике нет, однако тема присутствует
в виде фрагментов других параграфов.

Впервые тетраэдр упоминается в
§21.3. В материале параграфа рассматривается
теорема о триангуляции многогранника,
в качестве примера выполняют триангуляцию
выпуклой пирамиды. Само понятие
«многогранник» в учебнике трактуется
двумя способами, второе определение
понятия напрямую связано с тетраэдром:
«Многогранник – это фигура, являющаяся
объединением конечного числа тетраэдров…».
Познания, касающиеся правильной пирамиды
и некоторых аспектов симметрии тетраэдра
можно обнаружить в §23.

В §26.2 описано применение теоремы
Эйлера («о правильных сетях») для
правильных многогранников (в т.ч. для
тетраэдра), а в §26.4 рассматриваются виды
симметрий, характерные для этих фигур.

Формулу для нахождения объёма
пирамиды авторы вводят в задаче №30.1(2),
а площадь боковой поверхности пирамиды
вводится в материале параграфа «Площадь
поверхности конуса и цилиндра» (§32.5).

Также, в учебнике можно найти
информацию о средней линии тетраэдра,
центре масс (§35.5) и классе равногранных
тетраэдров. Движения I
и II
рода демонстрируются в ходе решения
задач о тетраэдрах.

Отличительная особенность
учебника — высокая научность, которую
авторам удалось совместить с доступным
языком и чёткой структурой изложения.
Приведём примеры решения некоторых
задач.

Решение задач.

Задача 1.

В данную правильную
треугольную усечённую пирамиду с боковым
ребром a можно поместить сферу, касающуюся
всех граней, и сферу, касающуюся всех
рёбер. Найдите стороны оснований
пирамиды.

Решение.

Изобразим на чертеже
«полную» пирамиду. Данная пирамида
,

— высота «полной» пирамиды,

— ее часть до верхнего основания
усеченной. Задача сводится к
планиметрической, при этом не надо
рисовать ни одной из данных сфер. Т.к. в
усеченную пирамиду можно вписать сферу,
касающуюся всех ребер, то в её боковую
грань можно вписать окружность. Обозначим

(для удобства деления пополам) и для
описанного четырехугольника

получим, что
,
откуда

. (1)

Из существования
вписанного шара следует, что существует
полуокружность, расположенная в трапеции

(
— апофема «полной» пирамиды) так, что
ее центр лежит в середине
,
а сама она касается остальных трёх
сторон трапеции.

— центр шара,

и

— точки касания. Тогда
.
Выразим эти величину через

и
.
Из
:

.
Из
:

.
Из трапеции
:

.
Получаем уравнение:

.(2)

Решив систему
уравнений (1) и (2), получим, что стороны
оснований равны
.

Задача 2.

Внутри правильного
тетраэдра с ребром a
расположены четыре равные сферы так,
что каждая сфера касается трех других
сфер и трех граней тетраэдра. Найти
радиус этих сфер.

Решение.

— данный тетраэдр,

— его высота,

— центры сфер,

— точка пересечения прямой

с плоскостью
.
Заметим, что центры равных сфер
,
касающихся плоскости
,
удалены от нее на равные расстояния,
каждое из которых равно радиусу шара
(обозначием его как x).
Значит плоскостии

параллельны, а потому
.

Далее, каждая пара
шаров касается между собой, а потому
расстояние между центрами равно сумме
их радиусов, то есть 2x.
Имеем:

.
Но
как
высота правильного тетраэдра с ребром

;

как
высота правильного тетраэдра с ребром
2x;

Осталось выразить

.
Заметим, что точка

находится внутри трехгранного угла и
удалена от его граней на расстояние
,
а плоские углы трехгранного угла равны

.
Не сложно получить то, что
.
Приходим к уравнению:

,
откуда после упрощений получаем
.

Изложение темы «Тетраэдр» в
учебнике «Геометрия» для 10-11 классов
Смирновой И.М.

Изложению темы «Тетраэдр» в
учебнике для 10-11 классов гуманитарного
профиля Смирновой И.М. посвящены
следующие занятия: 18,
19, 21, 22, 28-30, 35.

После изучения
теоремы о том, что «Всякий
выпуклый многогранник может быть
составлен из пирамид с общей вершиной,
основания которых образуют поверхность
многогранника» рассматривается теорема
Эйлера для некоторых таких многогранников,
в частности, выполнение условий теоремы
рассмотрено и для треугольной пирамиды,
которая, в сущности, и есть тетраэдр.

Учебник интересен
тем, что в нём рассматривается топология
и топологически правильные
многогранники(тетраэдр,
октаэдр, икосаэдр, куб, додекаэдр),
чье существование обосновывается при
помощи той же теоремы Эйлера.

Помимо этого в
учебнике приведено определение понятия
«правильная пирамида»; рассматриваются
теоремы о существовании вписанной и
описанной сфер тетраэдра, некоторые
свойства симметрии, касающиеся тетраэдра.
На заключительном занятии (35) приводится
формула нахождения объёма треугольной
пирамиды.

Для данного учебного
пособия характерен большой объем
иллюстративного и исторического
материала, а также небольшой объём
практического материала, обусловленный
направленностью учебника. Рассмотрим
также учебник Смирновой И.М. и др. для
10-11 классов естественно-научного профиля.

Изложение темы «Тетраэдр» в
учебнике «Геометрия» для 10-11 классов
Смирновой И.М. и др.

От предыдущего учебного пособия
данное отличается компоновкой тем и
уровнем сложности предлагаемых к решению
задач. Отличительной особенностью
изложения материала является деление
его на «семестры», которых в учебнике
четыре. Тетраэдр упоминается в самом
первом параграфе («Введение в стереометрию»)
, понятие «пирамида» определяется в §3.

Как и в предыдущем учебнике
практический материал дополнен заданиями
с развёрткой стереометрических фигур.
В материале §26 можно найти теорему о
сфере, вписанной в тетраэдр. Остальной
теоретический материал, касающийся
тетраэдра, фактически совпадает с
материалами учебника, охарактеризованного
выше.

Решение задач.

Задача 1.

Найдите кратчайший
путь по поверхности правильного тетраэдра
ABCD
соединяющий
точки E
и F,
расположенные на высотах боковых граней
в 7 см от соответствующих вершин тетраэдра.
Ребро тетраэдра равно 20 см.

Решение.

Рассмотрим развертку
трех граней тетраэдра. Кратчайшим путем
будет отрезок, соединяющий точки E
и F.
Его длина равна
20 см.

Задача 2.

В основании пирамиды
лежит прямоугольный треугольник, один
из катетов которого равен 3 см, а прилежащий
к нему острый угол равен 30 градусам. Все
боковые ребра пирамиды наклонены к
плоскости основания под углом в 60
градусов. Найдите объем пирамиды.

Решение.

Площадь треугольника
ABC равна
.
Основанием высоты

служит середина
.
Треугольник SAC — равносторонний..

Отсюда

и, следовательно,
объем пирамиды равен
.

Вывод.

Отличительной
особенностью учебника Атанасяна Л.С. и
др. является то, что изучение тетраэдра
начинается достаточно рано, материал
разбросан по всему курсу и представлен
в различных уровнях сложности. В учебнике
Погорелова А.В. материал расположен
компактно, понятие «тетраэдр» как и
понятия других пространственных фигур,
вводится достаточно поздно (в конце 10
класса), практический материал,
представленный в учебнике, небольшого
объема. В учебнике Смирновой И.М. и др.
теоретический материал, как и практический
имеет небольшой объем, практический
задания низкого уровня сложности,
учебник отличается большим объём
материала из истории математики. В
учебнике Александрова А.Д. и др. уровень
сложности материала выше, сам материал
разнообразнее, множество практических
заданий содержит некоторую часть теории,
имеются экстремальные задачи и задачи
в виде вопросов, что выгодно выделяет
его на фоне остальных.

§2. Тестирование уровня развития
пространственного мышления у учеников
средней школы

Интеллект — это способность к
обучению или пониманию, которая присуща
всем людям. Одни люди обладают ею в
большей степени, другие — в меньшей,
однако у каждого человека в течение
жизни эта способность сохраняется
практически без изменений. Именно
благодаря интеллекту мы способны
правильно действовать и учиться на
своих ошибках.

В психологии интеллект определяется,
как способность воспринимать знания и
использовать их в других, принципиально
новых ситуациях. В условиях тестирования
можно определить, насколько успешно
адаптируется человек к необычным
ситуациям. Определение уровня общего
интеллектуального развития посредством
теста – довольно трудная и ёмкая по
времени работа, поэтому в тексте данной
работы будет использоваться часть
методики тестирования интеллекта,
отвечающая на вопрос об уровне развития
пространственного мышления. Пространственное
мышление – это
специфический вид мыслительной
деятельности, которая имеет место в
решении задач, требующих ориентации в
практическом и теоретическом пространстве
(как видимом, так и воображённом). В
своих наиболее развитых формах это
мышление образцами, в которых фиксируются
пространственные свойства и отношения.
Оперируя исходными образами, созданными
на различной наглядной основе, мышление
обеспечивает их видоизменение,
трансформацию и создание новых образов,
отличных от исходных.

Используемый тест («Мини-тест
уровня развития пространственного
мышления» из «Первого теста на коэффициент
развития интеллекта» Ф. Картера, К.
Рассела) универсален для всех возрастных
групп и занимает малый объём времени
(30 минут). Текст теста и его ключи можно
найти в «Приложении №1» к диплому.

Источник

В данной публикации мы рассмотрим определение и разновидности тетраэдра, а также формулы для расчета площади его поверхности (одной грани и полной) и объема. Представленная информация сопровождается наглядными рисунками для лучшего восприятия.

Определение тетраэдра
Виды тетраэдра
Формулы площади и объема правильного тетраэдра

Определение тетраэдра

Тетраэдр – это разновидность пирамиды; четырехгранник, гранями которого являются треугольники.

Тетраэдр

Тетраэдр имеет 4 грани, 4 вершины и 6 ребер. Каждая грань фигуры может быть ее основанием.

Развертка тетраэдра на примере правильной фигуры представлена ниже:

Развертка правильного тетраэдра

Основные элементы и свойства тетраэдра (к нему применимы свойства правильной пирамиды) мы рассмотрели в отдельной публикации.

Виды тетраэдра

Равногранный тетраэдр – боковые грани фигуры равны, а основанием является правильный (равносторонний) треугольник.
Прямоугольный тетраэдр – угол между всеми тремя ребрами при одной вершине является прямым, т.е. равным 90°.
Правильный тетраэдр – все ребра равны, а грани, соответственно, являются равносторонними треугольниками.
Ортоцентричный тетраэдр – все высоты, проведенные из всех вершин фигуры к противолежащим граням, пересекаются в одной точке.

Формулы площади и объема правильного тетраэдра

Площадь поверхности

Формула для расчета площади поверхности одной грани правильного тетраэдра

Объем

Источник

Написать уравнение стороны ас и высоты тетраэдра

Контакты

Онлайн решение Пирамиды по координатам вершин

Как найти высоту тетраэдра формула

Вывод формулы высоты тетраэдра

Правильный тетраэдр – частный вид тетраэдра

Вычисление объема тетраэдра, если известны координаты его вершин

Свойства

Свойства[править | править код]

Типы тетраэдров[править | править код]

Равногранный тетраэдр[править | править код]

Ортоцентрический тетраэдр[править | править код]

Прямоугольный тетраэдр[править | править код]

Каркасный тетраэдр[править | править код]

Соразмерный тетраэдр[править | править код]

Инцентрический тетраэдр[править | править код]

Правильный тетраэдр[править | править код]

Объём тетраэдра[править | править код]

Замечание[править | править код]

Формулы тетраэдра в декартовых координатах в пространстве[править | править код]

Формулы тетраэдра в барицентрических координатах[править | править код]

Сравнение формул треугольника и тетраэдра[править | править код]

Тетраэдр в неевклидовых пространствах[править | править код]

Объём неевклидовых тетраэдров[править | править код]

Соотношение между двугранными углами тетраэдра[править | править код]

Теорема косинусов[править | править код]

Теорема синусов[править | править код]

Радиус описанной сферы[править | править код]

Радиус вписанной сферы[править | править код]

Расстояние между центрами вписанной и описанной сфер[править | править код]

Формулы тетраэдра в барицентрических координатах[править | править код]

Тетраэдры в микромире[править | править код]

Тетраэдры в живой природе[править | править код]

Тетраэдры в технике[править | править код]

Тетраэдры в философии[править | править код]

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Избранные теоремы геометрии тетраэдра

Определение тетраэдра

Виды тетраэдра

Формулы площади и объема правильного тетраэдра

Вам также может понравиться

Прямой параллелепипед как найти диогональ

Как составить кроссворд по русской литературе

Как найти фигуру сечения

Добавить комментарий Отменить ответ