Как найти длину в математике формула

Как находить длину

Длиной принято обозначать расстояние между двумя точками какого-либо отрезка. Это может быть прямая, ломаная или замкнутая линия. Вычислить длину можно довольно простым путем, если знать некоторые другие показатели отрезка.

Инструкция

Если вам нужно найти длину стороны квадрата, то это не составит труда, если вам известна его площадь S. В связи с тем, что все стороны квадрата имеют одинаковую длину, вычислить величину одной из них можно по формуле: a = √S.

В случае, когда требуется просчитать длину стороны прямоугольника, воспользуйтесь значениями его площади s и длины другой стороны b. Из формулы a=S/b вы получите искомое значение.

Чтобы определить длину окружности, то есть замкнутой линии, которая образует круг, воспользуйтесь значениями: r – ее радиусом и D – диаметром. Диаметр можно вычислить, умножив радиус окружности на 2. Известные вам значения подставьте в формулу определения длины окружности: C=2πr=πD, где π=3,14.

Для вычисления длины обычного отрезка воспользуйтесь методом эксперимента. То есть возьмите линейку и измеряйте.

Для того чтобы вычислить длину стороны такой фигуры, как треугольник, вам понадобятся размеры двух других сторон, а также величины углов. Если вы имеете дело с прямоугольным треугольником, и один из его углов равен 60 градусам, то величину его катета можно определить по формуле a=c*cosα, где c – гипотенуза треугольника, а α – угол между гипотенузой и катетом.

Помимо этого, если вы располагаете такими известными величинами, как высота b и площадь S треугольника, то длину стороны, которая является основанием, можно узнать благодаря формуле a=2√S/√√b.

Что касается правильного многоугольника, то длину его стороны можно просчитать, руководствуясь формулой an=2R*sin(α/2)=2r*tg(α/2), где R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности, n – количество углов.

Если вы хотите вычислить длину равносторонней фигуры, вокруг которой описана окружность, то сделать это можно по формуле an=R√3, где R – радиус окружности, n – количество углов фигуры.

Видео по теме

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

Основные понятия вектора

Для того чтобы приступить к разбору формул нахождения длины вектора, необходимо разобраться в основных понятиях и определениях векторов.

Понятие вектора получило широкое распространение в 19 веке, в математических науках, особенно в таком её разделе, как «Комплексные числа».

Графическое изображение вектора — отрезок который имеет указание направления в виде стрелки.

Вектор, который будет иметь начальную точку Х и конец в точке А, правильно обозначать ХА, с верхним подчёркиванием или стрелочкой, а также допустимо прописывать одной прописной буквой.

Длину вектора (модуль), определяет числовое значение длины отрезка, имеющего направление. Обозначается длинна двумя вертикальными отрезками |ХА|.

• Понятие нулевого вектора. Такое название получил вектор, у которого и начало, и конец находятся в одной точке. Обозначение он имеет в виде цифры ноль с верхним подчёркивание, а длина равна нулю.
• Коллинеарные вектора. Одна прямая может содержать несколько векторов, такие векторы получили название коллинеарных. Также коллинеарными считаются векторы на параллельных прямых.

• Сонаправленные. Два коллинеарных вектора считаются сонаправленными, если имеют одно направление.
• Противоположно направленные. Вектора, с направлениями в разные стороны, и являются коллинеарными, называют противоположно направленными.
• Компланарные вектора. Такими векторами называют, те что лежат в одной плоскости
  Так как, всегда можно отыскать плоскость, которая будет параллельной двум векторам, то любые два вектора всегда копланарные.

Так как, всегда можно отыскать плоскость, которая будет параллельной двум векторам, то любые два вектора всегда копланарные.

Вектора могут находится не только на плоскости, но и в пространстве, от этого расположения будет зависеть какую формулу необходимо использовать для нахождения их длины или модуля. Стоит также отметить, что вектора могут быть равными, при этом они должны иметь одно направление, одинаковые длины и быть коллинеарными. Существует понятие единичного вектора, таким он будет являться если равен единице измерения.

Как найти длину вектора

Модуль вектора а будем обозначать .

Для того чтобы найти модуль вектора или его длину, на плоскости по координатам, необходимо рассмотреть вектор используя прямоугольную декартову систему координат Оxy.  Допустим в данной системе будет задан, так вектор имеющий координаты (aₓ ; aᵧ). Получим формулу, которая поможет  найти длину вектора , через известные нам координаты aₓ и aᵧ.

На взятой системе координат, от её начала отложим вектор
В соответствии с проекцией точки А возьмём и определим Aₓ и Aᵧ на оси координат. Рассмотрим полученный прямоугольник ОAₓ и АAᵧ с диагональю ОА.

Далее используя теорему Пифагора мы получим равенство АО² = ОAₓ² и OAᵧ², отсюда следует

Теперь в соответствии с определением вектора относительно прямоугольной оси координат выходит, что ОAₓ² = aₓ² и также для OAᵧ² = aᵧ² , а так как на построенном прямоугольнике мы видим, что ОА равна длине вектора получаем 

Из вышесказанного выходит, что для того чтобы найти длину вектора с точками (aₓ ; aᵧ), выводим следующую формулу:

Когда вектор дан в формате разложения по координатным векторам , то вычислить его можно по той же формуле , в таком варианте коэффициент aₓ и aᵧ будут выражать в роли координат , в данной системе координат.

Существуют также формулы вычисления длины вектора в пространстве, они выводятся аналогично тем, что в системе координат на плоскости. Если взять вектор =(aₓ ; aᵧ ; a )

В таком случае ( AO^2=OA_x^2+OA_y^2+OA_z^2 ) (из рисунка видно, что АО — диагональ прямоугольного параллелепипеда), поэтому

из определения получаются равенства ОAₓ=aₓ; OAᵧ=aᵧ; OA=a , а значение длины ОА совпадает с длиной вектора, которую необходимо найти. Из этого следует:

Длина вектора через координаты точек начала и конца

Ранее мы рассмотрели формулы, которые позволят находить длину вектора используя при этом координаты. Рассматривались примеры в трёхмерном пространстве на плоскости. Используя данные формулы можно найти длину вектора, если известны координаты точек его начала и конца.

Возьмём точки с обозначенными координатами начала A(aₓ ; aᵧ) и конца В(bₓ ; bᵧ), из чего следует, что вектор имеет координаты (bₓ-aₓ ; bᵧ-aᵧ), поэтому его длину мы выразим в формуле

При этом формула вычисления длины вектора для трёхмерного пространства, с координатами и ), будет следующей:

Длина вектора по теореме косинусов

Так как бывают случаи, когда не известны координаты точек вектора, необходимо искать другие варианты, при помощи которых можно найти длину вектора. Таким способов может стать применение теоремы косинусов.

К примеру, нам известны длины двух векторов (overrightarrow{AB})  и (overrightarrow{AC}) , а также угол между ними, или его косинус. При этом необходимо найти длину вектора ( overrightarrow{BC} ) , в таком варианте задания необходимо воспользоваться теоремой косинусов, представив треугольник АВС. В данном треугольнике мы будем искать сторону ВС, она и будет равна длине искомого вектора. Подробнее рассмотрим на примере.

Теперь мы видим, что для нахождения длины вектора существует несколько формул, которыми можно воспользоваться в зависимости от известных параметров.

Первая формула это ( left|overrightarrow{a}right|=sqrt{a_x^2+a_y^2}. ), для плоскости
( left|overrightarrow{a}right|=sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2} )

длина вектора формула для трёхмерного пространства;

( left|vec{AB}right|=sqrt{left ( b_x-a_x right )^2+ left ( b_y-a_y right )^2 + left ( b_z-a_z right )^2})

длина вектора формула по известным координатам начала и конца вектора находящегося пространстве; ( left|vec{AB}right|=sqrt{left ( b_z-a_z right )^2+ left ( b_y-a_y right )^2}) если известны координаты начала и конца вектора на плоскости.

Существует также формула длины вектора перемещения: ( left|vec{S}right|=sqrt{ s_x^2+s_y^2}) чаще такая формула применима в физике, для того чтобы узнать длину пути материальной точки.

В случае если известен угол, между двумя векторами, можно использовать теорему Пифагора.

Применение векторов в других сферах

Понятие и вычисление вектора важно не только в математике, но и других науках:

• в физике. Для визуального изображения таких понятий как скорость, сила, ускорение и т.д. А также векторы помогают моделировать физические процессы;
• в химии. Для изображения химических процессор. При помощи векторов изображают движение электронов и других частиц;
• в биологии.  Биологические процессы, также имеют графическое изображение при помощи векторов. К примеру перенос паразитов;
• географии. Вектором обозначается движение воздушных масс, или течение реки;

Векторы используются не только в науках, но и различных отраслях и профессиях. В судоходстве и аэрофлоте, архитектуре и конструировании, а также многих других областях. Для того чтобы найти длину вектора, мы можем использовать одну из формул, в зависимости от того, что нам о нём известно, и в каком пространстве или плоскости находится неизвестный вектор. 

Вам понадобится калькулятор.
Инструкция
1
Чтобы найти длину стороны прямоугольника, если известна ширина и площадь, разделите числовое значение площади на числовое значение ширины. То есть воспользуйтесь формулой: Д = П / Ш, где: Д – длина стороны прямоугольника,
Ш – ширина прямоугольника,
П – его площадь. Например, если площадь прямоугольника равна 20 см², а его ширина – 5 см, то длина его стороны будет: 20 / 5 = 4 см.

2
Перед началом вычислений переведите ширину и площадь прямоугольника в одну систему измерений. То есть, площадь должна выражаться в соответствующих ширине квадратных единицах измерения. При этом, длина получится в тех же единицах, что и ширина. Так, если ширина задана в метрах, то площадь необходимо перевести в метры квадратные. Особенно актуален такой перевод при измерении земельных участков, где площадь обычно задана в гектарах, арах и «сотках» .

3
Например, пусть площадь дачного участка равняется шести соткам, а его ширина – 30 метров. Требуется найти длину участка.
Так как «соткой» называют 100 квадратных метров, то площадь «стандартных» шести соток можно записать как 600 м². Отсюда длину земельного участка можно найти разделив 600 на 30. Получается – 20 метров.

4
Иногда заданы площадь и ширина фигуры, имеющей не прямоугольную, а произвольную форму. При этом, также требуется найти ее длину. Как правило, в это случае подразумеваются габаритные размеры фигуры, то есть
параметры прямоугольника, в который эту фигуру можно заключить.
Если большая точность вычислений не требуется, то воспользуйтесь вышеприведенной формулой (Д = П / Ш) . Однако, значение длины при этом получится заниженным. Чтобы получить более точное значение длины фигуры,
оцените насколько полно фигура заполняет свой габаритный прямоугольник и разделите полученную длину на
коэффициент заполнения.

5
Так, например, если озеро имеет площадь 100 квадратных километров, его ширина равна 5 километров и оно занимает примерно половину габаритного прямоугольника, то его длина будет: 100 / 5 / 0,5 = 40 километров.

В случае если известен угол, между двумя векторами, можно использовать теорему Пифагора.

Применение векторов в других сферах

Понятие и вычисление вектора важно не только в математике, но и других науках:

• в физике. Для визуального изображения таких понятий как скорость, сила, ускорение и т.д. А также векторы помогают моделировать физические процессы;
• в химии. Для изображения химических процессор. При помощи векторов изображают движение электронов и других частиц;
• в биологии. Биологические процессы, также имеют графическое изображение при помощи векторов. К примеру перенос паразитов;
• географии. Вектором обозначается движение воздушных масс, или течение реки;

Векторы используются не только в науках, но и различных отраслях и профессиях. В судоходстве и аэрофлоте, архитектуре и конструировании, а также многих других областях. Для того чтобы найти длину вектора, мы можем использовать одну из формул, в зависимости от того, что нам о нём известно, и в каком пространстве или плоскости находится неизвестный вектор.

Геометрия для новичков. Часть 1: координаты и векторы – теория

Внимание! Этот документ ещё не опубликован.

О чем данная статья

В данной статье дается теоретическое описание векторов, координат векторов и операций над ними.

На кого рассчитана статья

Прежде чем читать эту статью, нужно знать:

• что такое прямоугольная система координат и координаты точки на плоскости
• что такое теорема Пифагора

Введение

Зачем нужны координаты точек в играх

В любой игре положение игрового объекта задается координатами какой-либо точки, привязанной к этому объекту, т.е. эта точка перемещается вместе с объектом. Например, мы можем задать координаты объектов в «Супер Марио» следующим образом:

На этом рисунке крупные черные точки – это точки, привязанные к игровым объектам. Координаты этих точек мы и будем считать координатами игровых объектов.
Итак, на этом рисунке:

• координаты Марио равны (-0.5, -2)
• координаты улитки равны (3, -2)
• координаты кубика равны (4, 1)

Пример координат вектора

Я намеренно не написал конкретные значения для координат точек – пусть они будут произвольными.

Зададим себе вопрос «Как нужно изменить начальные координаты Марио, что получить конечные?» Чтобы ответить на этот вопрос, нам нужно найти пару чисел (x, y), таких, чтобы:

Ax + x = Bx
Ay + y = By

Решая эти 2 уравнения, получаем:

x = Bx – Ax
y = By – Ay

Пара (x, y) в нашей задаче является координатами вектора перемещения Марио. Но это – лишь конкретный пример координат вектора. Что такое вектор и что такое его координаты в общем случае? Сейчас узнаем.

Векторы

Что такое направленный отрезок

Стрелка показывает, что А – начало отрезка, а B – конец.

Что такое вектор

Что у этих отрезков общего? Хм, пожалуй 2 вещи:

• Направление
• Длина

Так вот, вектор – это как раз и есть совокупность направления и длины.
Направленный отрезок – не вектор, который мы изучаем в геометрии. Направленный отрезок задает, или как еще говорят, представляет вектор. Но это – не вектор.
В нашем примере направленный отрезок представляет вектор . Разницу в черточках наверху заметили? Еще часто вектор обозначают 1 буквой, например:

Примечание: о тонкостях приведенного мной определения – в конце статьи.

Равенство векторов

Если задуматься, все направленные отрезки одинаковой длины, которые лежат на параллельных прямых и указывают в одну сторону, имеют одинаковое направление и длину. Следовательно, все эти направленные отрезки представляют один и тот же вектор. Из этого следует определение равенства 2 векторов:

Два вектора и , представленные направленными отрезками и называются равными, если:

Из данного определения следует, что при параллельном переносе произвольный направленный отрезок продолжает представлять тот же вектор, что он представлял до переноса. Это свойство активно используется для операций над векторами.

Длина вектора

Коллинеарные векторы

На рисунке любая пара из векторов , , является коллинеарными векторами

Если отрезки, представляющие коллинеарные векторы, имеют одинаковое направления, то векторы называют сонаправленными:

Пишут:
Если отрезки, представляющие коллинеарные векторы, имеют противоположное направления, то векторы, представленные данными отрезками, называют противоположно направленными:

Пишут:

Нулевой вектор

Единичные векторы

=1

Обратный вектор

Арифметические операции над векторами

1. Вектор можно умножать на число. Вектор , умноженный на число, записывается как k*. Вектор будет сонаправлен (противоположно направлен) с вектором , если k – положительное (отрицательное) число. Вектор k* будет иметь длину |k|*||:

|k*| = |k|*||
k* , если k>0
k* , если k 0, такое, что:
|k * |=1

Т.е. в результате нормализации мы получаем единичный вектор, сонаправленный с исходным вектором
Важно: нулевой вектор НЕЛЬЗЯ нормализовать, так как для любого числа k:

|k*| = |k|*|| = k * 0 = 0

Итак, как же найти это число k?
Распишем |k * | по определению:

|k * | = |k| * || = k * || = 1

Здесь мы убрали с k знак модуля, так как по определению k > 0.
Итак:

k * || = 1

Из этого следует, что:

k = 1 / ||

Т.е. чтобы нормализовать произвольный ненулевой вектор, нам нужно разделить вектор на его длину.

Координаты вектора

Вроде бы из примера, приведенного в начале статьи, все понятно: координаты вектора – разность координат конца и начала направленного отрезка, представляющего вектор.

Но это не так. Действительно, значения координат вектора численно равны этой разности. Но определение координат вектора в корне отличается от определения координат точки.

Разложение вектора по 2 неколлинеарным векторам

В геометрии доказывается следующий факт.

Ecли мы возьмем 2 неколлинеарных вектора и ,
то для каждого вектора можно подобрать 2 числа k и s, для которых выполняется равенство:

= k* + s*

Теперь возьмем в качестве таких неколлинеарных векторов и следующие векторы:

• вектор – направление – вдоль оси Ox, длина равна 1
• вектор – направление – вдоль оси Oy, длина равна 1

Векторы и называют координатными векторами.

Определение координат вектора

= x* + y*

то пара чисел (x, y) будет называться координатами вектора .
Часто пишут:

= (x, y)

Эта запись означает, что вектор имеет координаты x и y.

Арифметические операции над координатами векторов

– = (-ax, -ay)

Координаты вектора, умноженного на число, равны координатам исходного вектора, умноженными на это число:

k* = (k*ax, k*ay)

Пусть у нас есть 2 произвольных вектора =(ax, ay) и =(bx, by). Тогда:

1. кoординаты суммы 2 векторов равны сумме x- и y-координат векторов:
   + = (ax + bx, ay + by)
2. как следствие из предыдущих свойств, координаты разности 2 векторов равны разности координат этих векторов:
   – = (ax – bx, ay – by)

Т.е. арифметика для координат векторов – такая же, как и для обычных чисел, только все считается покоординатно.

Радиус-вектор

Можно доказать, что численные значения координат точки совпадают со значения координат ее радиус-вектора. Здесь примем это как факт:
=(Ax, Ay)
где (Ax, Ay) – координаты точки A

Связь между координатами вектора и координатами концов отрезка

если – направленный отрезок, представляющий вектор , то значения координат вектора (x, y) вычисляются по формуле:

(x, y) = (Bx – Ax, By – Ay)

где (Ax, Ay), (Bx, By) – координаты точек А и B соответственно.

Докажем это.
Мы можем записать простое равенство для произвольного вектора :

= –

Заметим, что и – радиус векторы.
Из равенства значений координат точки и радиус-вектора и предыдущей формулы следует, что:

(x, y) = (Bx – Ax, By – Ay)

Нахождение длины вектора по его координатам

Пусть у нас есть вектор , представленный отрезком . Координаты вектора равны (x, y).
Чтобы найти длину вектора через его координаты, воспользуемся теоремой Пифагора и равенством:

= +

По теореме Пифагора:

AC = || = |x|,
СB = || = |y|

то в итоге получаем равенство:

Заключение

Применению векторов в реальных задачах игровой разработки будет посвящена следующая моя статья. В ней практически не будет математики и будет много программирования.

Здесь же я описал то, что будет необходимо для понимания практических приемов использования векторов.
Если не иметь представления, как связаны координаты точек и координаты векторов, очень сложно понять, как работают алгоритмы определения расстояний от точки до геометрической фигуры, алгоритмы обнаружения столкновений и т.д.

Так что не жалейте, если вы (о ужас!) кое-что запомнили из «всей этой математики». Все это вам пригодится очень скоро, обещаю.

Литература

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. «Геометрия», 7-9 классы»
Главы: «Векторы», «Метод координат».

PS: корректность определения вектора в статье

Вся хитрость в том, что существует несколько определений вектора даже в рамках геометрии.

Направленный отрезок – тоже вектор, так называемый фиксированный вектор. Но нужно учитывать один важный факт – 2 фиксированных вектора равны тогда и только тогда, когда их концы и начала совпадают. А это не то определение равенства 2 векторов, что дает учебник геометрии.

Определение вектора, данное в этой статье – определение так называемого свободного вектора.
Каждый свободный вектор – это множество фиксированных векторов, которые имеют равную длину и одинаковое направление.

Именно это определение учебник геометрии и пытается дать в неявном виде, когда вводит понятие равенства векторов. Но здесь возникает нестыковка – учебник объясняет, как работать со свободными векторами, изначально дав определение фиксированного вектора.

Надеюсь, вышесказанное объясняет, почему я привел в данной статье “свое” определение вектора.

Координаты вектора как найти длину отрезка по двум точкам, правило и формула нахождения в пространстве, свойства, задачи с решением, онлайн-калькулятор

При рассмотрении отрезков с заданным направлением часто используют декартову систему координат. Найти на ней вектор — значит, определить значения начальной и конечной точки. То есть при решении задач оперируют не геометрическими параметрами, а числовыми характеристиками. Такой подход позволяет перейти от геометрии к алгебре. Этот метод называется координатным и применим как к плоскому пространству — двухмерному, так и объёмному — трёхмерному.

Общие сведения

Под термином «вектор» принято понимать прямую с определённым направлением, ограниченную начальной и конечной точкой. Фактически это отрезок, в котором известно, где его начало и конец. Обозначают его с помощью заглавных латинских букв и стрелочкой над ними. Например, если имеется вектор, берущий начало в точке A и заканчивающийся в B, то его подписывают как AB. Но также существует и короткое обозначение — одной малой буквой со стрелкой (чертой) над ней.

При работе с отрезками приходится сталкиваться с понятием «коллинеарность». Если векторы можно совместить параллельным переносом, и линии необязательно являются равными, то их называют коллинеарными. При этом их направление не имеет значения. Если же они совпадают по нему, то такие отрезки называют сонаправленными.

Тут следует учесть, что отрезки будут направлены в одну сторону лишь только тогда, когда их лучи находятся по одну сторону от прямой, объединяющей их начала. Когда векторы коллинеарны и не сонаправлены, то они противоположные. Осюда можно сформулировать правило, что два ненулевых вектора являются коллинеарными, если они располагаются на одной или на параллельных прямых. Причём точка считается коллинеарной любому отрезку.

При работе с отрезками можно выполнять различные арифметические операции на основании их свойств. Математические правила нахождения положения общего вектора называются линейными. Выделяют следующие действия над ограниченными прямыми:

Кроме того, вектор можно умножить на число или разложить на составляющие компоненты. Всё это позволяет построить базисный отрезок для нахождения в дальнейшем его координат. При этом если существует перпендикулярность двух векторов, то отрезок к направляющей ограниченной линии называют нормальным или ортогональным.

Проекция на ось координат

Определить координаты отрезка возможно различными способами. Один из них — использование проекции. Другими словами, изображаются в координатных плоскостях начало и конец вектора, которые соединяются прямой линией. Откладывать расположение точек нужно в соответствии с используемым масштабом. После с помощью перпендикулярных координатным осям линий на них переносят расположение начала и конца вектора, то есть как бы проецируют отрезок на оси.

При этом если направление перенесённого вектор совпадает с направлением оси, то проекция обозначается со знаком плюс, если же оно противоположное — со знаком минус. Обозначают перенос отрезков символом ПР. Существуют несколько свойств, характерных для проекции:

Если в плоскости находится два и более отрезка, равных между собой, то их проекции на одну и ту же ось будут одинаковыми.

Два отличающихся на величину m отрезка при проецировании будут равными, если проекцию одного из них увеличить или уменьшить на это число: ПР (mAB) = mПР (AB).

Проекция отрезка AB на ось P может быть определена как произведение ограниченной линии на косинус угла между ней и направлением оси в положительную сторону от этой оси: ПР (АB) = |AB| * cos (AB;P).

Проекция, полученная сложением двух отрезков на произвольно выбранную ось, равняется сумме перенесённых векторов на эту же ось.

Серединой проекции называют равноудалённое расстояние от двух концов отрезка, перенесённого на координатную ось. Определяется она как (A + B) / 2. При этом всегда совпадает с действительной серединой вектора.

Если отрезок располагается перпендикулярно оси, то его проекцией будет точка. Для декартовой системы координат в записи вектора на одном из мест будет стоять ноль. Например, AB (0; 1) или AB (-3; 0). Для задания направления в пространстве применяют так называемый единичный вектор.

Другими словами, он является отрезком нормирования пространства и обозначает масштаб проекции. Его выбирают в качестве базисного вектора, что заметно помогает упростить расчёты. Для того чтобы его вычислить, необходимо вектор разделить на длину: e = AB / | AB |. Такая операция называется нормированием.

Формула координат

При построении отрезка единичный вектор выбирается исходя из удобства размещения его в плоскости. Начальная и конечная точка могут быть определены в координатной плоскости. Чаще всего для этого используется декартова система координат. К расположениям осей жёстких требований нет, но принято по горизонтали рисовать ось икс в правом направлении, а по вертикали снизу вверх — ось игрек. Пересекаются эти оси между собой под прямым углом и место их пересечения называют началом отсчёта. В этой точке координата записывается как (0, 0).

Задать координаты, значит, присвоить точке два числа. Так, если точка имеет координаты x = 4; y = -2, то обозначаться она будет как A (4, -2). Ось от нуля в направлении икса называется абсциссой, а совпадающая с игреком — ординатой. В плоскости каждая точка заданного отрезка характеризуются двумя значениями. Одно из них соответствует оси ординат, а другое абсцисс. Например, A (1, 5); B (3, 2). Здесь единица и тройка соответствуют значению точек на оси икс, а пятёрка и двойка — на оси игрек.

Исходя из этого, чтобы нарисовать вектор на плоскости, нужно узнать координаты его начальной и конечной точек, а также направление. Для получения рисунка вектора нужно просто соединить эти две точки. Из знания значений, ограничивающих точки отрезка, довольно легко определить координаты вектора.

Существует простое правило, которое гласит, что для этого необходимо из координат конечной точки вычесть координаты начальной. Для рассмотренного примера с точками A (1, 5); B (3, 2) координаты вектора будут: AB = (2 — 1); (3 — 5). То есть справедливо будет записать: AB (1; -2). Для общего случая можно сказать, что формула координаты вектора по двум точкам имеет следующий вид: AB (x2 — x1, y2 − y1), где икс и игрек один — положение первой точки, а икс и игрек два — второй.

Это выражение справедливо не только для плоскости, но и для нахождения координат в пространстве. В этом случае добавляется третья осью. Обозначается она часто буквой Z. Соответственно, каждая точка будет описываться уже не двумя координатными значениями, а тремя — по числу осей: A (x1, y1, z1) и B (x2, y2, z2). Отсюда следует, что координаты вектора определяются уже по формуле: AB = (x2 — x1; y2 — y1; z2 — z1).

При сложении, умножении, вычитании двух ограниченных линий нужно выполнять поэлементно действия над их координатами. Например, AB (x 1, y 1) + BC (x 2, y 2) = AC (x 1 + x 2, y 1 + y 2).

Примеры решения задач

В своём большинстве задачи на поиск длины вектора по координатам или просто вычисление расположения отрезка в плоскости не представляет труда. Но эти действия нужно уметь выполнять, так как проекции очень часто используются при рассмотрении различных физических процессов.

Есть типовые задачи, дающиеся в седьмом классе средней школы для самостоятельной работы. Проработав их и научившись находить ответ, можно будет утверждать о знании темы. Вот один из вариантов примеров разной сложности:

В пространстве расположены две точки. Одна из них имеет координаты А (4, -3, 2), а другая B (0, 4, -9). Определить значения отрезка, полученного соединением этих точек. Рассмотреть оба варианта направления. Для решения поставленной задачи нужно вспомнить правило и просто вычесть из вторых координат соответствующие им первые. Когда А является началом отрезка, получим: AB = (0 — 4; 4 + 3; 0 — 4) = (-4; 7; -4). Для второго случая координаты будут следующими: BA = (4 — 0; -3 — 4; 2 + 9) = (4; -7; 11). Пример решён.

Найти координаты точки C отрезка СK (3,1), если координаты второй точки K (1, -2). Алгоритм решения такого задания строится на обратном. Необходимо будет из величин, определяющих отрезок, вычесть значения первой точки. По отношению к оси ординаты: CKx = Kx — Cx; Cx = Kx — CKx = 1 — 3 = -2. Относительно оси абсциссы: CKy = Ky — Cy; Cy = Ky — CKy = -2 — 1 = -3. Получается, что точка С имеет координаты (-2, -3).

Вот задача посложнее. Имеются две точки на плоскости. Первая имеет координаты L (1, 5), а вторая J (2, 7). Нужно найти длину соединяющего их отрезка. Для наглядности можно нарисовать чертёж, на которой изобразить эти две точки и объединяющую их прямую. Затем из этих координат нужно провести два перпендикуляра, таким образом, чтобы они пересеклись. Место их пересечения нужно как-то обозначить. Пусть это будет буква T.

Посмотрев на рисунок, можно заметить, что полученная фигура есть не что иное, как прямоугольный треугольник. Получается, что отрезки LT и JT— это катеты. Поэтому нужно лишь найти их длины по модулю и применить теорему Пифагора. Осюда, длина: |LT| = x2 — x1 = 7 — 5 = 2, |JT| = 2 — 1 =1. Исходя из формулы для нахождения гипотенузы, искомая длина будет равняться: d = √ LT 2 + JT 2 = √ 2 2 + 1 2 = √5.

Таким образом, все задачи на нахождение длины или расположения отрезка решаются через формулу координат. При этом не имеет значения, какое пространство рассматривается. Она справедлива как к двухмерному, так и n-мерному.

Использование онлайн-калькулятора

На практике чаще всего решение задач подразумевает нахождение какого-либо параметра в пространстве. Особенно это характерно для физики при изучении электромагнетизма или движения. Нередко приходится на координатных осях откладывать точки, в итоге образующие сложную фигуру. Поэтому даже незначительная, на первый взгляд, ошибка приведёт к неправильному ответу.

Гораздо эффективнее использовать так называемые онлайн-калькуляторы. Это обычные сайты, содержащие специальные программы для расчёта математических заданий. Пользоваться ими сможет любой, у кого есть доступ к интернету и установленный веб-браузер. Всё что требуется от пользователя, это просто в предложенную форму ввести исходные данные и нажать интерактивную кнопку, часто подписанную «Вычислить». Приложение запустится автоматически и через несколько секунд выдаст ответ. При этом за его точность можно не переживать. Ведь в основе работы программы используются алгоритмы на основе математических формул.

Из наиболее популярных сервисов, предоставляющих бесплатный доступ к своим услугам, можно выделить следующие:

• ru.onlinemschool;
• ru.solverbook;
• math.semestr;
• geleot;
• mathonline.um-razum.

Это сервисы доступны на русском языке, имеют простой и понятный интерфейс. Их услуги привлекательны как для инженеров, выполняющим сложные расчёты, так и учащихся. Для первых это экономия времени и точный результат, а для вторых — отличное подспорье в учёбе. Всё дело в том, что эти сайты на своих страницах содержат весь необходимый теоретический материал с примерами вычислений. Кроме того, программа не просто выдаёт расчёт, но и выводит на дисплей пошаговое решение с описанием ключевых моментов.

Таким образом, даже ничего не понимая, ученик, попробовав решить несколько заданий, научится самостоятельно вычислять ответ. Векторные формулы отлично поддаются автоматизированному вычислению. Поэтому часто есть резон решать задания по нахождению векторных координат на онлайн-калькуляторе.

[spoiler title=”источники:”]

http://gamedev.ru/code/articles/geometry_for_beginners_1

http://sprint-olympic.ru/uroki/algebra/78091-koordinaty-vektora-kak-naiti-dliny-otrezka-po-dvym-tochkam-pravilo-i-formyla-nahojdeniia-v-prostranstve-svoistva-zadachi-s-resheniem-onlain-kalkyliator.html

[/spoiler]