Решение задач по математике онлайн
//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘
Калькулятор онлайн.
Длина вектора. Модуль вектора.
Этот калькулятор онлайн вычисляет длину (модуль) вектора. Вектор может быть задан в 2-х и 3-х мерном пространстве.
Онлайн калькулятор для вычисления длины (модуля) вектора не просто даёт ответ задачи, он приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс решения для того чтобы проконтролировать знания по математике и/или алгебре.
Этот калькулятор онлайн может быть полезен учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Если вы не знакомы с правилами ввода чисел, рекомендуем с ними ознакомиться.
Числа можно вводить целые или дробные.
Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.
Правила ввода десятичных дробей.
В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5 или так 1,3
Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.
Знаменатель не может быть отрицательным.
При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Ввод: -2/3
Результат: ( -frac<2> <3>)
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: -1&5/7
Результат: ( -1frac<5> <7>)
Вычислить длину (модуль) вектора
Немного теории.
Скалярные и векторные величины
Многие физические величины полностью определяются заданием некоторого числа. Это, например, объем, масса, плотность, температура тела и др. Такие величины называются скалярными. В связи с этим числа иногда называют скалярами. Но есть и такие величины, которые определяются заданием не только числа, но и некоторого направления. Например, при движении тела следует указать не только скорость, с которой движется тело, но и направление движения. Точно так же, изучая действие какой-либо силы, необходимо указать не только значение этой силы, но и направление ее действия. Такие величины называются векторными. Для их описания было введено понятие вектора, оказавшееся полезным для математики.
Определение вектора
Любая упорядоченная пара точек А к В пространства определяет направленный отрезок, т.е. отрезок вместе с заданным на нем направлением. Если точка А первая, то ее называют началом направленного отрезка, а точку В — его концом. Направлением отрезка считают направление от начала к концу.
Определение
Направленный отрезок называется вектором.
Будем обозначать вектор символом ( overrightarrow ), причем первая буква означает начало вектора, а вторая — его конец.
Вектор, у которого начало и конец совпадают, называется нулевым и обозначается ( vec <0>) или просто 0.
Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной и обозначается ( |overrightarrow| ) или ( |vec| ).
Нулевой вектор будем считать направленным одинаково с любым вектором; длина его равна нулю, т.е. ( |vec<0>| = 0 ).
Теперь можно сформулировать важное понятие равенства двух векторов.
Определение
Векторы ( vec ) и ( vec ) называются равными (( vec = vec )), если они коллинеарны, одинаково направлены и их длины равны.
Проекция вектора на ось
Пусть в пространстве заданы ось ( u ) и некоторый вектор ( overrightarrow ). Проведем через точки А и В плоскости, перпендикулярные оси ( u ). Обозначим через А’ и В’ точки пересечения этих плоскостей с осью (см. рисунок 2).
Проекцией вектора ( overrightarrow ) на ось ( u ) называется величина А’В’ направленного отрезка А’В’ на оси ( u ). Напомним, что
( A’B’ = |overrightarrow| ) , если направление ( overrightarrow ) совпадает c направлением оси ( u ),
( A’B’ = -|overrightarrow| ) , если направление ( overrightarrow ) противоположно направлению оси ( u ),
Обозначается проекция вектора ( overrightarrow ) на ось ( u ) так: ( Пр_u overrightarrow ).
Теорема
Проекция вектора ( overrightarrow ) на ось ( u ) равна длине вектора ( overrightarrow ) , умноженной на косинус угла между вектором ( overrightarrow ) и осью ( u ) , т.е. ( Пр_u overrightarrow = |overrightarrow|cos varphi ) где ( varphi ) — угол между вектором ( overrightarrow ) и осью ( u ).
Замечание
Пусть ( overrightarrow=overrightarrow ) и задана какая-то ось ( u ). Применяя к каждому из этих векторов формулу теоремы, получаем
( Пр_u overrightarrow = Пр_u overrightarrow )
т.е. равные векторы имеют равные проекции на одну и ту же ось.
Проекции вектора на оси координат
Пусть в пространстве заданы прямоугольная система координат Oxyz и произвольный вектор ( overrightarrow ). Пусть, далее, ( X = Пр_u overrightarrow, ;; Y = Пр_u overrightarrow, ;; Z = Пр_u overrightarrow ). Проекции X, Y, Z вектора ( overrightarrow ) на оси координат называют его координатами. При этом пишут
( overrightarrow = (X;Y;Z) )
Теорема
Каковы бы ни были две точки A(x1; y1; z1) и B(x2; y2; z2), координаты вектора ( overrightarrow ) определяются следующими формулами:
Замечание
Если вектор ( overrightarrow ) выходит из начала координат, т.е. x2 = x, y2 = y, z2 = z, то координаты X, Y, Z вектора ( overrightarrow ) равны координатам его конца:
X = x, Y = y, Z = z.
Направляющие косинусы вектора
Возводя в квадрат левую и правую части каждого из предыдущих равенств и суммируя полученные результаты, имеем
( cos^2 alpha + cos^2 beta + cos^2 gamma = 1 )
т.е. сумма квадратов направляющих косинусов любого вектора равна единице.
Линейные операции над векторами и их основные свойства
Сложение двух векторов
Замечание
Определив сумму двух векторов, можно найти сумму любого числа данных векторов. Пусть, например, даны три вектора ( vec,;; vec, ;; vec ). Сложив ( vec ) и ( vec ), получим вектор ( vec + vec ). Прибавив теперь к нему вектор ( vec ), получим вектор ( vec + vec + vec )
Произведение вектора на число
Основные свойства линейных операций
1. Переместительное свойство сложения
( vec + vec = vec + vec )
3. Сочетательное свойство умножения
( lambda (mu vec) = (lambda mu) vec )
4. Распределительное свойство относительно суммы чисел
( (lambda +mu) vec = lambda vec + mu vec )
5. Распределительное свойство относительно суммы векторов
( lambda ( vec+vec) = lambda vec + lambda vec )
Замечание
Эти свойства линейных операций имеют фундаментальное значение, так как дают возможность производить над векторами обычные алгебраические действия. Например, в силу свойств 4 и 5 можно выполнять умножение скалярного многочлена на векторный многочлен «почленно».
Теоремы о проекциях векторов
Теорема
Проекция суммы двух векторов на ось равна сумме их проекций на эту ось, т.е.
( Пр_u (vec + vec) = Пр_u vec + Пр_u vec )
Теорему можно обобщить на случай любого числа слагаемых.
Разложение вектора по базису
Пусть векторы ( vec, ; vec, ; vec ) — единичные векторы осей координат, т.e. ( |vec| = |vec| = |vec| = 1 ), и каждый из них одинаково направлен с соответствующей осью координат (см. рисунок). Тройка векторов ( vec, ; vec, ; vec ) называется базисом.
Имеет место следующая теорема.
Теорема
Любой вектор ( vec ) может быть единственным образом разложен по базису ( vec, ; vec, ; vec; ), т.е. представлен в виде
( vec = lambda vec + mu vec + nu vec )
где ( lambda, ;; mu, ;; nu ) — некоторые числа.
Онлайн калькулятор. Модуль вектора. Длина вектора
Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто найти длину вектора для плоских и пространственных задач.
Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на вычисление модуля вектора и закрепить пройденный материал.
Калькулятор для вычисления длины вектора (модуля вектора) по двум точкам
Размерность вектора:
Форма представления вектора:
Инструкция использования калькулятора для вычисления длины вектора
Ввод даных в калькулятор для вычисления длины вектора (модуля вектора)
В онлайн калькулятор можно вводить числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел..
Дополнительные возможности калькулятора для вычисления длины вектора (модуля вектора)
- Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши “влево” и “вправо” на клавиатуре.
Вычисления длины вектора (модуля вектора)
Например, для вектора a = x; ay; az> длина вектора вычисляется cледующим образом:
Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
Нахождение длины вектора, примеры и решения
Длина вектора – основные формулы
Длину вектора a → будем обозначать a → . Данное обозначение аналогично модулю числа, поэтому длину вектора также называют модулем вектора.
Для нахождения длины вектора на плоскости по его координатам, требуется рассмотреть прямоугольную декартову систему координат O x y . Пусть в ней задан некоторый вектор a → с координатами a x ; a y . Введем формулу для нахождения длины (модуля) вектора a → через координаты a x и a y .
От начала координат отложим вектор O A → = a → . Определим соответственные проекции точки A на координатные оси как A x и A y . Теперь рассмотрим прямоугольник O A x A A y с диагональю O A .
Из теоремы Пифагора следует равенство O A 2 = O A x 2 + O A y 2 , откуда O A = O A x 2 + O A y 2 . Из уже известного определения координат вектора в прямоугольной декартовой системе координат получаем, что O A x 2 = a x 2 и O A y 2 = a y 2 , а по построению длина O A равна длине вектора O A → , значит, O A → = O A x 2 + O A y 2 .
Отсюда получается, что формула для нахождения длины вектора a → = a x ; a y имеет соответствующий вид: a → = a x 2 + a y 2 .
Если вектор a → дан в виде разложения по координатным векторам a → = a x · i → + a y · j → , то вычислить его длину можно по той же формуле a → = a x 2 + a y 2 , в данном случае коэффициенты a x и a y выступают в роли координат вектора a → в заданной системе координат.
Вычислить длину вектора a → = 7 ; e , заданного в прямоугольной системе координат.
Чтобы найти длину вектора, будем использовать формулу нахождения длины вектора по координатам a → = a x 2 + a y 2 : a → = 7 2 + e 2 = 49 + e
Формула для нахождения длины вектора a → = a x ; a y ; a z по его координатам в декартовой системе координат Oxyz в пространстве, выводится аналогично формуле для случая на плоскости (см. рисунок ниже)
В данном случае O A 2 = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 (так как ОА – диагональ прямоугольного параллелепипеда), отсюда O A = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 . Из определения координат вектора можем записать следующие равенства O A x = a x ; O A y = a y ; O A z = a z ; , а длина ОА равна длине вектора, которую мы ищем, следовательно, O A → = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 .
Отсюда следует, что длина вектора a → = a x ; a y ; a z равна a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 .
Вычислить длину вектора a → = 4 · i → – 3 · j → + 5 · k → , где i → , j → , k → – орты прямоугольной системы координат.
Дано разложение вектора a → = 4 · i → – 3 · j → + 5 · k → , его координаты равны a → = 4 , – 3 , 5 . Используя выше выведенную формулу получим a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 = 4 2 + ( – 3 ) 2 + 5 2 = 5 2 .
Длина вектора через координаты точек его начала и конца
Выше были выведены формулы, позволяющие находить длины вектора по его координатам. Мы рассмотрели случаи на плоскости и в трехмерном пространстве. Воспользуемся ими для нахождения координат вектора по координатам точек его начала и конца.
Итак, даны точки с заданными координатами A ( a x ; a y ) и B ( b x ; b y ) , отсюда вектор A B → имеет координаты ( b x – a x ; b y – a y ) значит, его длина может быть определена по формуле: A B → = ( b x – a x ) 2 + ( b y – a y ) 2
А если даны точки с заданными координатами A ( a x ; a y ; a z ) и B ( b x ; b y ; b z ) в трехмерном пространстве, то длину вектора A B → можно вычислить по формуле
A B → = ( b x – a x ) 2 + ( b y – a y ) 2 + ( b z – a z ) 2
Найти длину вектора A B → , если в прямоугольной системе координат A 1 , 3 , B – 3 , 1 .
Используя формулу нахождения длины вектора по координатам точек начала и конца на плоскости, получим A B → = ( b x – a x ) 2 + ( b y – a y ) 2 : A B → = ( – 3 – 1 ) 2 + ( 1 – 3 ) 2 = 20 – 2 3 .
Второй вариант решения подразумевает под собой применение данных формул по очереди: A B → = ( – 3 – 1 ; 1 – 3 ) = ( – 4 ; 1 – 3 ) ; A B → = ( – 4 ) 2 + ( 1 – 3 ) 2 = 20 – 2 3 . –
Ответ: A B → = 20 – 2 3 .
Определить, при каких значениях длина вектора A B → равна 30 , если A ( 0 , 1 , 2 ) ; B ( 5 , 2 , λ 2 ) .
Для начала распишем длину вектора A B → по формуле: A B → = ( b x – a x ) 2 + ( b y – a y ) 2 + ( b z – a z ) 2 = ( 5 – 0 ) 2 + ( 2 – 1 ) 2 + ( λ 2 – 2 ) 2 = 26 + ( λ 2 – 2 ) 2
Затем полученное выражение приравняем к 30 , отсюда найдем искомые λ :
26 + ( λ 2 – 2 ) 2 = 30 26 + ( λ 2 – 2 ) 2 = 30 ( λ 2 – 2 ) 2 = 4 λ 2 – 2 = 2 и л и λ 2 – 2 = – 2 λ 1 = – 2 , λ 2 = 2 , λ 3 = 0 .
Ответ: λ 1 = – 2 , λ 2 = 2 , λ 3 = 0 .
Нахождение длины вектора по теореме косинусов
Увы, но в задачах не всегда бывают известны координаты вектора, поэтому рассмотрим другие способы нахождения длины вектора.
Пусть заданы длины двух векторов A B → , A C → и угол между ними (или косинус угла), а требуется найти длину вектора B C → или C B → . В таком случае, следует воспользоваться теоремой косинусов в треугольнике △ A B C , вычислить длину стороны B C , которая и равна искомой длине вектора.
Рассмотрим такой случай на следующем примере.
Длины векторов A B → и A C → равны 3 и 7 соответственно, а угол между ними равен π 3 . Вычислить длину вектора B C → .
Длина вектора B C → в данном случае равна длине стороны B C треугольника △ A B C . Длины сторон A B и A C треугольника известны из условия (они равны длинам соответствующих векторов), также известен угол между ними, поэтому мы можем воспользоваться теоремой косинусов: B C 2 = A B 2 + A C 2 – 2 · A B · A C · cos ∠ ( A B , → A C → ) = 3 2 + 7 2 – 2 · 3 · 7 · cos π 3 = 37 ⇒ B C = 37 Таким образом, B C → = 37 .
Итак, для нахождения длины вектора по координатам существуют следующие формулы a → = a x 2 + a y 2 или a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 , по координатам точек начала и конца вектора A B → = ( b x – a x ) 2 + ( b y – a y ) 2 или A B → = ( b x – a x ) 2 + ( b y – a y ) 2 + ( b z – a z ) 2 , в некоторых случаях следует использовать теорему косинусов.
[spoiler title=”источники:”]
http://ru.onlinemschool.com/math/assistance/vector/length/
http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/vektory/dlina_vectora/
[/spoiler]
Длина вектора. Модуль вектора: Онлайн Калькулятор
Длина (или модуль) вектора – это длина направленного отрезка, определяющего числовое значение данного вектора. Чтобы вычислить длину вектора онлайн, сначала укажите размерность вектора (вектор задан на плоскости или в пространстве), введите координаты вектора в поле «значение вектора» и нажмите кнопку «рассчитать». Также вы можете найти модуль вектора по отдельным координатам точек, задающих его.
Длина вектора – скалярная величина, равная квадратному корню из суммы квадратов координат вектора. Модуль вектора a(x; у), заданного на плоскости, вычисляется по формуле:
lal=x2+y2
Для вектора, заданного в пространстве, формула приобретает вид:
lal=x2+y2+z2
Например, вычислим длину вектора a(3; 4). Подставляя координаты в формулу, получаем:
32+42=9+16=25=5
Мы специально привели простой пример, в котором вычисления легко произвести в уме. Решать подобные задачи можно и без онлайн-калькулятора, однако он может существенно сэкономить время, когда вам нужно рассчитать сразу несколько модулей векторов или быстро проверить результаты своих вычислений. Нахождение длины вектора онлайн особенно удобно, когда нет времени на громоздкие расчеты и вычисление квадратных корней.
Онлайн калькулятор вычисления длины вектора будет полезен школьникам, студентам и преподавателям.
Калькулятор онлайн.
Длина вектора. Модуль вектора.
Этот калькулятор онлайн вычисляет длину (модуль) вектора. Вектор может быть задан в 2-х и 3-х мерном пространстве.
Онлайн калькулятор для вычисления длины (модуля) вектора не просто даёт ответ задачи, он приводит подробное решение с
пояснениями, т.е. отображает процесс решения для того чтобы проконтролировать знания по математике и/или алгебре.
Этот калькулятор онлайн может быть полезен учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и
экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре.
А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее
сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным
решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень
образования в области решаемых задач повышается.
Если вы не знакомы с правилами ввода чисел, рекомендуем с ними ознакомиться.
Правила ввода чисел
Числа можно вводить целые или дробные.
Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.
Правила ввода десятичных дробей.
В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5 или так 1,3
Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.
Знаменатель не может быть отрицательным.
При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Ввод: -2/3
Результат: ( -frac{2}{3} )
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: -1&5/7
Результат: ( -1frac{5}{7} )
Наши игры, головоломки, эмуляторы:
Немного теории.
Скалярные и векторные величины
Многие физические величины полностью определяются заданием некоторого числа. Это, например, объем, масса, плотность, температура
тела и др. Такие величины называются скалярными. В связи с этим числа иногда называют скалярами. Но есть и такие величины, которые
определяются заданием не только числа, но и некоторого направления. Например, при движении тела следует указать не только
скорость, с которой движется тело, но и направление движения. Точно так же, изучая действие какой-либо силы, необходимо указать
не только значение этой силы, но и направление ее действия.
Такие величины называются векторными. Для их описания было введено понятие вектора, оказавшееся полезным для математики.
Определение вектора
Любая упорядоченная пара точек А к В пространства определяет направленный отрезок, т.е. отрезок вместе с заданным на нем
направлением. Если точка А первая, то ее называют началом направленного отрезка, а точку В — его концом. Направлением отрезка считают
направление от начала к концу.
Определение
Направленный отрезок называется вектором.
Будем обозначать вектор символом ( overrightarrow{AB} ), причем первая буква означает начало вектора, а вторая — его конец.
Вектор, у которого начало и конец совпадают, называется нулевым и обозначается ( vec{0} ) или просто 0.
Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной и обозначается ( |overrightarrow{AB}| ) или ( |vec{a}| ).
Векторы ( vec{a} ) и ( vec{b} ) называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Коллинеарные
векторы могут быть направлены одинаково или противоположно.
Нулевой вектор будем считать направленным одинаково с любым вектором; длина его равна нулю, т.е. ( |vec{0}| = 0 ).
Теперь можно сформулировать важное понятие равенства двух векторов.
Определение
Векторы ( vec{a} ) и ( vec{b} ) называются равными (( vec{a} = vec{b} )), если они коллинеарны, одинаково направлены
и их длины равны.
На рис. 1 изображены слева неравные, а справа — равные векторы ( vec{a} ) и ( vec{b} ).
Из определения равенства векторов следует, что если данный вектор перенести параллельно самому себе, то получится вектор, равный
данному. В связи с этим векторы в аналитической геометрии называют свободными.
Проекция вектора на ось
Пусть в пространстве заданы ось ( u ) и некоторый вектор ( overrightarrow{AB} ). Проведем через точки А и В плоскости,
перпендикулярные оси ( u ). Обозначим через А’ и В’ точки пересечения этих плоскостей с осью (см. рисунок 2).
Проекцией вектора ( overrightarrow{AB} ) на ось ( u ) называется величина А’В’ направленного отрезка А’В’ на оси ( u ).
Напомним, что
( A’B’ = |overrightarrow{A’B’}| ) , если направление ( overrightarrow{A’B’} ) совпадает c направлением оси ( u ),
( A’B’ = -|overrightarrow{A’B’}| ) , если направление ( overrightarrow{A’B’} ) противоположно направлению оси ( u ),
Обозначается проекция вектора ( overrightarrow{AB} ) на ось ( u ) так: ( Пр_u overrightarrow{AB} ).
Теорема
Проекция вектора ( overrightarrow{AB} ) на ось ( u ) равна длине вектора ( overrightarrow{AB} ) ,
умноженной на косинус угла между вектором ( overrightarrow{AB} ) и осью ( u ) , т.е.
( Пр_u overrightarrow{AB} = |overrightarrow{AB}|cos varphi )
где ( varphi ) — угол между вектором ( overrightarrow{AB} ) и осью ( u ).
Замечание
Пусть ( overrightarrow{A_1B_1}=overrightarrow{A_2B_2} ) и задана какая-то ось ( u ). Применяя к каждому из этих векторов формулу теоремы, получаем
( Пр_u overrightarrow{A_1B_1} = Пр_u overrightarrow{A_2B_2} )
т.е. равные векторы имеют равные проекции на одну и ту же ось.
Проекции вектора на оси координат
Пусть в пространстве заданы прямоугольная система координат Oxyz и произвольный вектор ( overrightarrow{AB} ). Пусть, далее,
( X = Пр_u overrightarrow{AB}, ;; Y = Пр_u overrightarrow{AB}, ;; Z = Пр_u overrightarrow{AB} ). Проекции X, Y, Z вектора
( overrightarrow{AB} ) на оси координат называют его координатами. При этом пишут
( overrightarrow{AB} = (X;Y;Z) )
Теорема
Каковы бы ни были две точки A(x1; y1; z1) и B(x2; y2; z2), координаты вектора
( overrightarrow{AB} ) определяются следующими формулами:
X = x2-x1, Y = y2-y1, Z = z2-z1
Замечание
Если вектор ( overrightarrow{AB} ) выходит из начала координат, т.е. x2 = x, y2 = y, z2 = z, то координаты
X, Y, Z вектора ( overrightarrow{AB} ) равны координатам его конца:
X = x, Y = y, Z = z.
Направляющие косинусы вектора
Пусть дан произвольный вектор ( vec{a} = (X;Y;Z) ); будем считать, что ( vec{a} ) выходит из начала координат и не лежит ни в
одной координатной плоскости. Проведем через точку А плоскости, перпендикулярные осям. Вместе с координатными плоскостями они
образуют прямоугольный параллелепипед, диагональю которого служит отрезок ОА (см. рисунок).
Из элементарной геометрии известно, что квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов длин трех
его измерений. Следовательно,
( |OA|^2 = |OA_x|^2 + |OA_y|^2 + |OA_z|^2 )
Но ( |OA| = |vec{a}|, ;; |OA_x| = |X|, ;; |OA_y| = |Y|, ;;|OA_z| = |Z| ); таким образом, получаем
( |vec{a}|^2 = X^2 + Y^2 + Z^2 )
или
( |vec{a}| = sqrt{X^2 + Y^2 + Z^2} )
Эта формула выражает длину произвольного вектора через его координаты.
Обозначим через ( alpha, ; beta, ; gamma ) углы между вектором ( vec{a} ) и осями координат. Из формул проекции вектора на
ось и длины вектора получаем
$$ cos alpha = frac{X}{sqrt{X^2 + Y^2 + Z^2}} $$
$$ cos beta = frac{Y}{sqrt{X^2 + Y^2 + Z^2}} $$
$$ cos gamma = frac{Z}{sqrt{X^2 + Y^2 + Z^2}} $$
( cos alpha, ;; cos beta, ;; cos gamma ) называются направляющими косинусами вектора ( vec{a} ).
Возводя в квадрат левую и правую части каждого из предыдущих равенств и суммируя полученные результаты, имеем
( cos^2 alpha + cos^2 beta + cos^2 gamma = 1 )
т.е. сумма квадратов направляющих косинусов любого вектора равна единице.
Линейные операции над векторами и их основные свойства
Линейными операциями над векторами называются операции сложения и вычитания векторов и умножения векторов на числа.
Сложение двух векторов
Пусть даны два вектора ( vec{a} ) и ( vec{b} ). Суммой ( vec{a} + vec{b} ) называется вектор, который идет из
начала вектора ( vec{a} ) в конец вектора ( vec{b} ) при условии, что вектор ( vec{b} ) приложен к концу вектора
( vec{a} ) (см. рисунок).
Замечание
Действие вычитания векторов обратно действию сложения, т.е. разностью ( vec{b} – vec{a} ) векторов ( vec{b} ) и
( vec{a} ) называется вектор, который в сумме с вектором ( vec{a} ) дает вектор ( vec{b} ) (см. рисунок).
Замечание
Определив сумму двух векторов, можно найти сумму любого числа данных векторов. Пусть, например, даны три вектора
( vec{a},;; vec{b}, ;; vec{c} ). Сложив ( vec{a} ) и ( vec{b} ), получим вектор ( vec{a} + vec{b} ).
Прибавив теперь к нему вектор ( vec{c} ), получим вектор ( vec{a} + vec{b} + vec{c} )
Произведение вектора на число
Пусть даны вектор ( vec{a} neq vec{0} ) и число ( lambda neq 0 ). Произведением ( lambda vec{a} ) называется вектор,
который коллинеарен вектору ( vec{a} ), имеет длину, равную ( |lambda| |vec{a}| ), и направление такое же, как и вектор
( vec{a} ) , если ( lambda > 0 ), и противоположное, если ( lambda < 0 ) (см. рисунок).
Геометрический смысл операции умножения вектора ( vec{a} neq vec{0} ) на число ( lambda neq 0 ) можно выразить следующим
образом: если ( |lambda| >1 ), то при умножении вектора ( vec{a} ) на число ( lambda ) вектор ( vec{a} ) «растягивается»
в ( lambda ) раз, а если ( |lambda| <1 ) — «сжимается» в ( 1/lambda ) раз. При ( lambda <0 ) вектор изменяет направление
на противоположное. На рисунке изображен случай ( |lambda| >1 ).
Если ( lambda =0 ) или ( vec{a} = vec{0} ), то произведение ( lambda vec{a} ) считаем равным нулевому вектору.
Замечание
Используя определение умножения вектора на число нетрудно доказать, что если векторы ( vec{a} ) и ( vec{b} )
коллинеарны и ( vec{a} neq vec{0} ), то существует (и притом только одно) число ( lambda ) такое, что
( vec{b} = lambda vec{a} )
Основные свойства линейных операций
1. Переместительное свойство сложения
( vec{a} + vec{b} = vec{b} + vec{a} )
2. Сочетательное свойство сложения
( (vec{a} + vec{b})+ vec{c} = vec{a} + (vec{b}+ vec{c}) )
3. Сочетательное свойство умножения
( lambda (mu vec{a}) = (lambda mu) vec{a} )
4. Распределительное свойство относительно суммы чисел
( (lambda +mu) vec{a} = lambda vec{a} + mu vec{a} )
5. Распределительное свойство относительно суммы векторов
( lambda ( vec{a}+vec{b}) = lambda vec{a} + lambda vec{b} )
Замечание
Эти свойства линейных операций имеют фундаментальное значение, так как дают возможность производить над векторами обычные алгебраические действия.
Например, в силу свойств 4 и 5 можно выполнять умножение скалярного многочлена на векторный многочлен «почленно».
Теоремы о проекциях векторов
Теорема
Проекция суммы двух векторов на ось равна сумме их проекций на эту ось, т.е.
( Пр_u (vec{a} + vec{b}) = Пр_u vec{a} + Пр_u vec{b} )
Теорему можно обобщить на случай любого числа слагаемых.
Теорема
При умножении вектора ( vec{a} ) на число ( lambda ) его проекция на ось также умножается на это число, т.е.
( Пр_u lambda vec{a} = lambda Пр_u vec{a} )
Следствие
Если ( vec{a} = (x_1;y_1;z_1) ) и ( vec{b} = (x_2;y_2;z_2) ), то
( vec{a} + vec{b} = (x_1+x_2; ; y_1+y_2; ; z_1+z_2) )
Следствие
Если ( vec{a} = (x;y;z) ), то ( lambda vec{a} = (lambda x; ; lambda y; ; lambda z) ) для любого числа ( lambda )
Отсюда легко выводится условие коллинеарности двух векторов в координатах.
В самом деле, равенство ( vec{b} = lambda vec{a} )
равносильно равенствам ( x_2 = lambda x_1, ; y_2 = lambda y_1, ; z_2 = lambda z_1 ) или
( frac{x_2}{x_1} = frac{y_2}{y_1} = frac{z_2}{z_1} )
т.е. векторы ( vec{a} ) и ( vec{b} ) коллинеарны в том и только в том случае, когда их координаты пропорциональны.
Разложение вектора по базису
Пусть векторы ( vec{i}, ; vec{j}, ; vec{k} ) — единичные векторы осей координат, т.e. ( |vec{i}| = |vec{j}| = |vec{k}| = 1 ), и каждый из них
одинаково направлен с соответствующей осью координат (см. рисунок). Тройка векторов ( vec{i}, ; vec{j}, ; vec{k} )
называется базисом.
Имеет место следующая теорема.
Теорема
Любой вектор ( vec{a} ) может быть единственным образом разложен по базису ( vec{i}, ; vec{j}, ; vec{k}; ), т.е. представлен в виде
( vec{a} = lambda vec{i} + mu vec{j} + nu vec{k} )
где ( lambda, ;; mu, ;; nu ) — некоторые числа.
Уважаемые студенты!
Заказать решение задач по 200+ предметам можно здесь всего за 10 минут.
Длина вектора
Как найти?
Длина вектора $ overline{a}$ обозначается как $ |overline{a}| $. Как найти длину вектора по его координатам? Для этого существует две формулы в зависимости от расположения вектора: на плоскости $ overline{a}=(a_x;a_y) $ или в пространстве $ overline{a} = (a_x; a_y; a_z) $.
Формула длины вектора на плоскости:
$$ |overline{a}| = sqrt{a_x ^2 + a_y ^2} $$
Формула длины вектора в пространстве:
$$ |overline{a}| = sqrt{a_x ^2 + a_y ^2 + a_z ^2 } $$
Если даны координаты точек начала и конца вектора $ A(a_x; a_y) $ и $ B(b_x; b_y) $, то найти длину можно по формулам:
$$ |overline{AB}| = sqrt{(a_x-b_x)^2 + (a_y-b_y) ^2} $$
$$ |overline{AB}| = sqrt{(a_x-b_x)^2 + (a_y-b_y)^2+ (a_z-b_z)^2} $$
Примеры решений
| Пример 1 |
| Найти длину вектора по его координатам $ overline{a} = (4;-3) $ |
| Решение |
|
Разберем вектор. Первая координата $ a_x = 4 $, а вторая координата $ a_y=-3 $. Так как даны две координаты, то делаем вывод, что задача плоская. Необходимо применить первую формулу. Подставляем в неё значения из условия задачи: $$|overline{a}| = sqrt{4^2+(-3)^2} = sqrt{16+9} = sqrt{25} = 5 $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| Длина вектора $|overline{a}| = 5 $ |
| Пример 2 |
| Найти длину вектора по координатам $ overline{a}=(4;2;4) $ |
| Решение |
|
Сразу замечаем, что дана пространственная задача. А именно $ a_x=4, a_y=2, a_z=4 $. Для нахождения длины вектора используем вторую формулу. Подставляем неизвестные в неё: $|overline{a}|=sqrt{4^2+2^2+4^2}=sqrt{36}=6 $ |
| Ответ |
| Длина вектора $|overline{a}|=6 $ |
| Пример 3 |
| Найти длину вектора, если известны координаты его начала и конца. $ A=(2;1), B=(-1;3) $ |
| Решение |
|
Задача дана плоская судя по наличию только двух координат у векторов. Но даны на этот раз начало и конец вектора. Поэтому сначала находим координаты вектора $ overline{AB} $, а только потом его длину по формуле координат: $ overline{AB}=(b_x-a_x;b_y-a_y)=(-1-2;3-1)=(-3;2) $ Теперь когда координаты вектора $ overline{AB} $ стали известны можно использовать привычную формулу: $|overline{AB}|=sqrt{(-3)^2+2^2}=sqrt{9+4}=sqrt{13} $ |
| Ответ |
| $|overline{AB}|=sqrt{13} $ |
В статье мы ответили на вопрос:”Как найти длину вектора?” с помощью формул. А также рассмотрели практические примеры решения задач на плоскости и в пространстве. Следует заметить, что существуют аналогичные формулы для пространств больше, чем трёхмерные.
Основные понятия вектора
Для того чтобы приступить к разбору формул нахождения длины вектора, необходимо разобраться в основных понятиях и определениях векторов.
Понятие вектора получило широкое распространение в 19 веке, в математических науках, особенно в таком её разделе, как «Комплексные числа».
Определение
Вектор — это отрезок с определённой длиной и направлением.
Графическое изображение вектора — отрезок который имеет указание направления в виде стрелки.
Вектор, который будет иметь начальную точку Х и конец в точке А, правильно обозначать ХА, с верхним подчёркиванием или стрелочкой, а также допустимо прописывать одной прописной буквой.
Длину вектора (модуль), определяет числовое значение длины отрезка, имеющего направление. Обозначается длинна двумя вертикальными отрезками |ХА|.
- Понятие нулевого вектора. Такое название получил вектор, у которого и начало, и конец находятся в одной точке. Обозначение он имеет в виде цифры ноль с верхним подчёркивание, а длина равна нулю.
- Коллинеарные вектора. Одна прямая может содержать несколько векторов, такие векторы получили название коллинеарных. Также коллинеарными считаются векторы на параллельных прямых.
- Сонаправленные. Два коллинеарных вектора считаются сонаправленными, если имеют одно направление.
- Противоположно направленные. Вектора, с направлениями в разные стороны, и являются коллинеарными, называют противоположно направленными.
- Компланарные вектора. Такими векторами называют, те что лежат в одной плоскости
Так как, всегда можно отыскать плоскость, которая будет параллельной двум векторам, то любые два вектора всегда копланарные.
Так как, всегда можно отыскать плоскость, которая будет параллельной двум векторам, то любые два вектора всегда копланарные.
Вектора могут находится не только на плоскости, но и в пространстве, от этого расположения будет зависеть какую формулу необходимо использовать для нахождения их длины или модуля. Стоит также отметить, что вектора могут быть равными, при этом они должны иметь одно направление, одинаковые длины и быть коллинеарными. Существует понятие единичного вектора, таким он будет являться если равен единице измерения.
Как найти длину вектора
Модуль вектора а будем обозначать 
.
Для того чтобы найти модуль вектора или его длину, на плоскости по координатам, необходимо рассмотреть вектор используя прямоугольную декартову систему координат Оxy. Допустим в данной системе будет задан, так вектор 
имеющий координаты (aₓ ; aᵧ). Получим формулу, которая поможет найти длину вектора , через известные нам координаты aₓ и aᵧ.
На взятой системе координат, от её начала отложим вектор
В соответствии с проекцией точки А возьмём и определим Aₓ и Aᵧ на оси координат. Рассмотрим полученный прямоугольник ОAₓ и АAᵧ с диагональю ОА.
Далее используя теорему Пифагора мы получим равенство АО² = ОAₓ² и OAᵧ², отсюда следует
Теперь в соответствии с определением вектора относительно прямоугольной оси координат выходит, что ОAₓ² = aₓ² и также для OAᵧ² = aᵧ² , а так как на построенном прямоугольнике мы видим, что ОА равна длине вектора 
получаем
Из вышесказанного выходит, что для того чтобы найти длину вектора с точками (aₓ ; aᵧ), выводим следующую формулу:
Когда вектор дан в формате разложения по координатным векторам 
, то вычислить его можно по той же формуле , в таком варианте коэффициент aₓ и aᵧ будут выражать в роли координат , в данной системе координат.
Пример
Чтобы рассчитать длину = (3, √x), расположенного в прямоугольной системе координат.
Необходимо:
Чтобы найти модуль вектора используем ранее приведённую формулу
Ответ: 
Существуют также формулы вычисления длины вектора в пространстве, они выводятся аналогично тем, что в системе координат на плоскости. Если взять вектор =(aₓ ; aᵧ ; a
)
В таком случае ( AO^2=OA_x^2+OA_y^2+OA_z^2 ) (из рисунка видно, что АО — диагональ прямоугольного параллелепипеда), поэтому
из определения получаются равенства ОAₓ=aₓ; OAᵧ=aᵧ; OA=a , а значение длины ОА совпадает с длиной вектора, которую необходимо найти. Из этого следует:
Пример
Необходимо узнать длину вектора ( left|vec{a}right|=2*vec{i}+3*vec{j}+4*vec{k} ), в котором ( vec{i}, vec{j}, vec{k} ), орты.
Решение
Получается, что дан вектор ( left|vec{a}right| ) с координатами (2; 3; 4)
Применив выведенную ранее формулу получим
Ответ: 
Длина вектора через координаты точек начала и конца
Ранее мы рассмотрели формулы, которые позволят находить длину вектора используя при этом координаты. Рассматривались примеры в трёхмерном пространстве на плоскости. Используя данные формулы можно найти длину вектора, если известны координаты точек его начала и конца.
Возьмём точки с обозначенными координатами начала A(aₓ ; aᵧ) и конца В(bₓ ; bᵧ), из чего следует, что вектор 
имеет координаты (bₓ-aₓ ; bᵧ-aᵧ), поэтому его длину мы выразим в формуле
При этом формула вычисления длины вектора для трёхмерного пространства, с координатами 
и 
), будет следующей:
Пример
Для прямой системы координат, найти длину вектора ( overrightarrow{AB}) , где A(1,√3) B(-3,1)
Решение
Применив формулу, для нахождения длины вектора, с известными координатами точек начала и конца, в плоской системе координат, выходит:
Существует второй вариант решения, где формулы применяются по очереди:
Ответ: 
Пример
Найти, решения, при подстановке которых, длина вектора будет равна корню из тридцати, при координатах точек А (0,1,2) и В (5,2,(λ^2))
Решение
В первую очередь представим длину вектора в виде формулы.
( left|vec{AB}right|=sqrt{left ( b_x-a_x right )^2+ left ( b_y-a_y right )^2 + left ( b_z-a_z right )^2})
(=sqrt{left ( 5-0 right )^2+ left ( 2-1 right )^2 + left ( lambda^2 -2right )^2} = sqrt{26 + left ( lambda^2 -2right )^2})
Теперь приравняем полученное выражение к корню из тридцати и найдём неизвестное значение, решив полученное уравнение.
(
sqrt{26+left(lambda^2-2right)^2}=sqrt{30}
)
(
26+left(lambda^2-2right)^2=30
)
(
left(lambda^2-2right)^2=4
)
(
lambda^2-2=2
)
или
(
lambda^2-2=-2
)
(
lambda_1=-2, lambda_2=2, lambda_3=0.
)
Ответ: (
lambda_1=-2, lambda_2=2, lambda_3=0.
)
Длина вектора по теореме косинусов
Так как бывают случаи, когда не известны координаты точек вектора, необходимо искать другие варианты, при помощи которых можно найти длину вектора. Таким способов может стать применение теоремы косинусов.
К примеру, нам известны длины двух векторов (overrightarrow{AB}) и (overrightarrow{AC}) , а также угол между ними, или его косинус. При этом необходимо найти длину вектора ( overrightarrow{BC} ) , в таком варианте задания необходимо воспользоваться теоремой косинусов, представив треугольник АВС. В данном треугольнике мы будем искать сторону ВС, она и будет равна длине искомого вектора. Подробнее рассмотрим на примере.
Пример
Даны длины двух векторов ( overrightarrow{AK}) и ( overrightarrow{AM}) 2 и 4 соответственно, а угол между ними равен ( frac{pi}{3} ) . необходимо найти длину ( overrightarrow{KM}).
Решение
В нашем примере длины векторов и длины сторон треугольника АМК совпадают. Две из сторон нам известны это АК и АМ, а также известен угол треугольника, находящийся между этими сторонами. Используя теорему косинусов получим:
(
KM^2=AK^2+AM^2-2cdot AKcdot AMcdotcosfrac{pi}{3})
(=2^2+4^2-2cdot2cdot4cdotcosfrac{pi}{3})
(=4+16-16cosfrac{pi}{3})
(=20-8=12
)
Получается (KM=sqrt{12}
)
Ответ: (
left|overrightarrow{KM}right|=sqrt{12}
)
Теперь мы видим, что для нахождения длины вектора существует несколько формул, которыми можно воспользоваться в зависимости от известных параметров.
Первая формула это ( left|overrightarrow{a}right|=sqrt{a_x^2+a_y^2}. ), для плоскости
( left|overrightarrow{a}right|=sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2} )
длина вектора формула для трёхмерного пространства;
( left|vec{AB}right|=sqrt{left ( b_x-a_x right )^2+ left ( b_y-a_y right )^2 + left ( b_z-a_z right )^2})
длина вектора формула по известным координатам начала и конца вектора находящегося пространстве; ( left|vec{AB}right|=sqrt{left ( b_z-a_z right )^2+ left ( b_y-a_y right )^2}) если известны координаты начала и конца вектора на плоскости.
Существует также формула длины вектора перемещения: ( left|vec{S}right|=sqrt{ s_x^2+s_y^2}) чаще такая формула применима в физике, для того чтобы узнать длину пути материальной точки.
В случае если известен угол, между двумя векторами, можно использовать теорему Пифагора.
Применение векторов в других сферах
Понятие и вычисление вектора важно не только в математике, но и других науках:
- в физике. Для визуального изображения таких понятий как скорость, сила, ускорение и т.д. А также векторы помогают моделировать физические процессы;
- в химии. Для изображения химических процессор. При помощи векторов изображают движение электронов и других частиц;
- в биологии. Биологические процессы, также имеют графическое изображение при помощи векторов. К примеру перенос паразитов;
- географии. Вектором обозначается движение воздушных масс, или течение реки;
Векторы используются не только в науках, но и различных отраслях и профессиях. В судоходстве и аэрофлоте, архитектуре и конструировании, а также многих других областях. Для того чтобы найти длину вектора, мы можем использовать одну из формул, в зависимости от того, что нам о нём известно, и в каком пространстве или плоскости находится неизвестный вектор.
