Как найти длину вектора 9 класс геометрия

Вектором является направленный отрезок. Длина этого отрезка является длиной вектора.

Длина вектора b⃗vec{b} обозначается ∣b⃗∣.left | vec{b} right |. Модуль числа имеет аналогичное обозначение и длина вектора часто называется модулем вектора.

Длина нулевого вектора равна нулю.

Нахождение длины вектора по его координатам

Длина вектора, который задан своими координатами, – это квадратный корень из суммы квадратов его координат.

Для того чтобы найти длину вектора, заданного своими координатами, нужно извлечь квадратный корень из суммы квадратов его координат.

1. Для вектора b⃗=(bx;by),vec{b}=(b_{x};b_{y}), заданного на плоскости, длина вычисляется по формуле ∣b⃗∣left |vec{b} right|=bx2+by2sqrt {b_{x}^{2}+b_{y}^{2}}.
2. Для вектора b⃗=(bx;by;bz),vec{b}=(b_{x};b_{y};b_{z}), заданного в пространстве, длина вычисляется по формуле ∣b⃗∣=bx2+by2+bz2left | vec{b} right |=sqrt {b_{x}^{2}+b_{y}^{2}+b_{z}^{2}}.

Пример 1

Найти длину вектора b⃗=(6;−4).vec{b}=(6;-4).

Вектор задан на плоскости, поэтому воспользуемся первой формулой: ∣b⃗∣=bx2+by2left | vec{b} right |=sqrt {b_{x}^{2}+b_{y}^{2}}.

Подставим координаты вектора b⃗vec{b} в формулу, получим: ∣b⃗∣=62+(−4)2=36+16=52=213left | vec{b} right |=sqrt {6^{2}+(-4)^{2}}=sqrt {36+16}=sqrt {52}=2sqrt {13}.

Ответ: 2132sqrt {13}.

Пример 2

Найти длину вектора d⃗=(1;3;5).vec{d}=(1;3;5).

Вектор задан в пространстве, поэтому воспользуемся второй формулой:

∣d⃗∣=dx2+dy2+dz2left | vec{d} right |=sqrt {d_{x}^{2}+d_{y}^{2}+d_{z}^{2}}.

Подставим координаты вектора d⃗vec{d} в формулу, получим:

∣d⃗∣=12+32+52=1+9+25=35left | vec{d} right |=sqrt {1^{2}+3^{2}+5^{2}}=sqrt {1+9+25}=sqrt {35}.

Нахождение длины вектора по координатам точек его начала и конца

Для нахождения длины вектора CD⃗vec{CD}, где C(cx;cy)C(c_{x};c_{y}) и D(dx;dy)D(d_{x};d_{y}) существует определенная последовательность действий:

1. Найти координаты вектора CD⃗vec{CD} по формуле: ∣CD⃗∣=(dx−cx;dy−cy)left | vec{CD} right |=(d_{x}-c_{x};d_{y}-c_{y}).
2. Найти длину вектора по его координатам по формуле: ∣CD⃗∣=(dx−cx)2+(dy−cy)2left | vec{CD} right |=sqrt {(d_{x}-c_{x})^{2}+(d_{y}-c_{y})^{2}}.

Аналогично находится длина вектора CD⃗,vec{CD}, заданного в пространстве, где C(cx;cy;cz)C(c_{x};c_{y};c_{z}) и D(dx;dy;dz)D(d_{x};d_{y};d_{z}):

1. Найти координаты вектора CD⃗vec{CD} по формуле: CD⃗=(dx−cx;dy−cy;dz−cz).vec{CD}=(d_{x}-c_{x};d_{y}-c_{y};d_{z}-c_{z}).
2. Найти длину вектора по его координатам по формуле: ∣CD⃗∣=(dx−cx)2+(dy−cy)2+(dz−cz)2left | vec{CD} right |=sqrt {(d_{x}-c_{x})^{2}+(d_{y}-c_{y})^{2}+(d_{z}-c_{z})^{2}}.

Пример 1

На плоскости заданы точки E(−1;3)иK(3;−4)E(-1;3) и K(3;-4). Найти длину вектора EK⃗.vec{EK}.

Найдем координаты вектора EK⃗.vec{EK}. Для этого из координат конца вычтем координаты начала, получим:

EK⃗=(3−(−1);−4−3)=(3+1;−4−3)=(4;−7).vec{EK}=(3-(-1);-4-3)=(3+1;-4-3)=(4;-7).

Воспользуемся формулой ∣b⃗∣=bx2+by2left | vec{b} right |=sqrt {b_{x}^{2}+b_{y}^{2}} для нахождения длины вектора, получим:

∣EK⃗∣=42+(−7)2left | vec{EK} right |=sqrt {4^{2}+(-7)^{2}}=16+49sqrt {16+49}=65sqrt {65}.

Пример 2

В пространстве заданы точки C(1;2;3)C(1;2;3) и D(3;4;5).D(3;4;5). Найти длину вектора CD⃗.vec{CD}.

Найдем координаты вектора CD⃗.vec{CD}. Для этого из координат конца вычтем координаты начала, получим: CD⃗=(3−1;4−2;5−3)=(2;2;2).vec{CD}=(3-1;4-2;5-3)=(2;2;2).

Воспользуемся формулой ∣b⃗∣=bx2+by2+bz2left | vec{b} right |=sqrt {b_{x}^{2}+b_{y}^{2}+b_{z}^{2}} для нахождения длины вектора, получим: ∣b⃗∣=22+22+22=4+4+4=12=23left | vec{b} right |=sqrt {2^{2}+2^{2}+2^{2}}=sqrt {4+4+4}=sqrt {12}=2sqrt 3.

Нахождение длины вектора по теореме косинусов

Теорема косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Для треугольника со сторонами a,b,ca, b, c и углами α,βalpha, beta и γ,gamma, противолежащими этим сторонам соответственно, справедливы равенства:

b=a2+c2−2a⋅c⋅cos(β),b=a^{2}+c^{2}-2acdot ccdot cos (beta), a=b2+c2−2b⋅c⋅cos(α),a=b^{2}+c^{2}-2bcdot ccdot cos (alpha), c=a2+b2−2a⋅b⋅cos(γ).c=a^{2}+b^{2}-2acdot bcdot cos (gamma).

Аналогично поступают и с векторами. Рассмотрим пример.

Пример 1

Длины векторов KL⃗vec{KL} и KM⃗vec{KM} равны соответственно 2 и 4, а угол между ними равен π4.frac{pi }{4}. Вычислите длину вектора LM⃗.vec{LM}.

Длина вектора LM⃗vec{LM} равна длине стороны LMLM в треугольнике LMKLMK. Также нам известны стороны KLKL и KMKM треугольника LMKLMK. Они равны длинам соответствующих векторов. Нам известен угол между векторами. Найдем сторону LMLM треугольника △KLM.triangle KLM.

LM2=KL2+KM2−2KL⋅KM⋅cos⁡∠LKM.LM^2=KL^2+KM^2-2KLcdot KMcdot cos angle LKM.
LM2=22+42−2⋅2⋅4⋅cos⁡π4=4+16−82=20−82.LM^2=2^2+4^2-2cdot 2cdot4cdot cos frac{pi }{4}=4+16-8sqrt{2}=20-8sqrt{2}.
LM=20−82.LM=sqrt{20-8sqrt{2}}.
∣LM⃗∣=20−82.|vec{LM}|=sqrt{20-8sqrt{2}}.

Тест по теме «Как вычислить длину вектора»

Длина вектора – основные формулы

Длину вектора a→ будем обозначать a→. Данное обозначение аналогично модулю числа, поэтому длину вектора также называют модулем вектора.

Для нахождения длины вектора на плоскости по его координатам, требуется рассмотреть прямоугольную декартову систему координат Oxy. Пусть в ней задан некоторый вектор a→ с координатами ax;ay. Введем формулу для нахождения длины (модуля) вектора a→ через координаты ax и ay.

От начала координат отложим вектор OA→=a→. Определим соответственные проекции точки A на координатные оси как Ax и Ay . Теперь рассмотрим прямоугольник OAxAAy с диагональю OA.

Из теоремы Пифагора следует равенство OA2=OAx2+OAy2, откуда OA=OAx2+OAy2. Из уже известного определения координат вектора в прямоугольной декартовой системе координат получаем, что OAx2=ax2 и OAy2=ay2, а по построению длина OA равна длине вектора OA→, значит, OA→=OAx2+OAy2.

Отсюда получается, что формула для нахождения длины вектора a→=ax;ay имеет соответствующий вид: a→=ax2+ay2.

Если вектор a→ дан в виде разложения по координатным векторам a→=ax·i→+ay·j→, то вычислить его длину можно по той же формуле a→=ax2+ay2, в данном случае коэффициенты ax и ay выступают в роли координат вектора a→ в заданной системе координат.

Формула для нахождения длины вектора a→=ax;ay;az по его координатам в декартовой системе координат Oxyz в пространстве, выводится аналогично формуле для случая на плоскости (см. рисунок ниже)

В данном случае OA2=OAx2+OAy2+OAz2 (так как ОА – диагональ прямоугольного параллелепипеда), отсюда OA=OAx2+OAy2+OAz2. Из определения координат вектора можем записать следующие равенства OAx=ax; OAy=ay; OAz=az; , а длина ОА равна длине вектора, которую мы ищем, следовательно, OA→=OAx2+OAy2+OAz2.

Отсюда следует, что длина вектора a→=ax;ay;az равна a→=ax2+ay2+az2.

Длина вектора через координаты точек его начала и конца

Выше были выведены формулы, позволяющие находить длины вектора по его координатам. Мы рассмотрели случаи на плоскости и в трехмерном пространстве. Воспользуемся ими для нахождения координат вектора по координатам точек его начала и конца.

Итак, даны точки с заданными координатами A(ax;ay) и B(bx;by), отсюда вектор AB→ имеет координаты (bx-ax; by-ay)значит, его длина может быть определена по формуле: AB→=(bx-ax)2+(by-ay)2

А если даны точки с заданными координатами A(ax;ay;az) и B(bx;by;bz) в трехмерном пространстве, то длину вектора AB→ можно вычислить по формуле

AB→=(bx-ax)2+(by-ay)2+(bz-az)2

Нахождение длины вектора по теореме косинусов

Увы, но в задачах не всегда бывают известны координаты вектора, поэтому рассмотрим другие способы нахождения длины вектора.

Пусть заданы длины двух векторов AB→, AC→ и угол между ними (или косинус угла), а требуется найти длину вектора BC→ или CB→. В таком случае, следует воспользоваться теоремой косинусов в треугольнике △ABC, вычислить длину стороны BC, которая и равна искомой длине вектора.

Рассмотрим такой случай на следующем примере.

Итак, для нахождения длины вектора по координатам существуют следующие формулы a→=ax2+ay2 или a→=ax2+ay2+az2, по координатам точек начала и конца вектора AB→=(bx-ax)2+(by-ay)2 или AB→=(bx-ax)2+(by-ay)2+(bz-az)2, в некоторых случаях следует использовать теорему косинусов.

Длина вектора

Как найти?

Длина вектора $ overline{a}$ обозначается как $ |overline{a}| $. Как найти длину вектора по его координатам? Для этого существует две формулы в зависимости от расположения вектора: на плоскости $ overline{a}=(a_x;a_y) $ или в пространстве $ overline{a} = (a_x; a_y; a_z) $.

Формула длины вектора на плоскости:

$$ |overline{a}| = sqrt{a_x ^2 + a_y ^2} $$

Формула длины вектора в пространстве:

$$ |overline{a}| = sqrt{a_x ^2 + a_y ^2 + a_z ^2 } $$

Если даны координаты точек начала и конца вектора $ A(a_x; a_y) $ и $ B(b_x; b_y) $, то найти длину можно по формулам:

$$ |overline{AB}| = sqrt{(a_x-b_x)^2 + (a_y-b_y) ^2} $$

$$ |overline{AB}| = sqrt{(a_x-b_x)^2 + (a_y-b_y)^2+ (a_z-b_z)^2} $$

Примеры решений

В статье мы ответили на вопрос:”Как найти длину вектора?” с помощью формул. А также рассмотрели практические примеры решения задач на плоскости и в пространстве. Следует заметить, что существуют аналогичные формулы для пространств больше, чем трёхмерные.

При решении различных задач в геометрии возникает необходимость определить длину заданного вектора. Для того чтобы ее найти, нужно знать координаты начальной и конечной точки направленного отрезка. Далее все расчеты производятся по формуле, которую достаточно легко вывести, если правильно применить теорему Пифагора.

Понятие длины вектора

Прежде чем перейти к определению длины вектора, необходимо разъяснить само понятие «вектор». В геометрии оно используется для обозначения такого объекта, который характеризуется направлением и величиной. Его можно представить в виде отрезка. Далее необходимо пояснить то, как он выглядит на плоскости.

Формула длины вектора

Для того чтобы определить длину произвольного вектора, необходимо вывести формулу на основании точных данных координат этого отрезка в квадратной системе координат.

Чтобы понять, как это сделать, рассмотрим соответствующую задачу.

На основании рассмотренного примера можно сделать вывод, что для определения длины какого-либо вектора, у которого известны координаты, следует найти корень из суммы квадратов заданных координат.

Примеры задач

Заключение. В процессе решения задач мы вывели формулу длины вектора, и научились применять ее для определения периметра геометрических фигур.