Как найти длину вектора через скалярное произведение

Все курсы > Линейная алгебра > Занятие 1

Материалы по линейной алгебре используют определения и примеры следующих курсов и источников:

• 3Blue1Brown⧉
• Khan Academy: Linear Algebra⧉
• Linear Algebra⧉, PCA⧉, ICL
• Linear Algebra⧉, MIT
• Matrix Methods for Data Analysis and Machine Learning⧉, MIT
• Matrix Algebra for Engineers⧉
• Introduction to Linear Algebra, Gilbert Strang
• Mathematics for Machine Learning, Marc Peter Deisenroth

На первом занятии мы более подробно познакомимся с понятием вектора и векторного пространства.

Ноутбук к сегодняшнему занятию⧉

Понятие вектора

Вектор (vector) — это направленный отрезок, и для нас будет важно, что любой вектор обладает длиной (magnitude) и направлением (direction). Например, возьмем вот такой двумерный вектор $textbf{v}$

$$ textbf{v} = begin{bmatrix} 4 \ 3 end{bmatrix} $$

На курсе мы будем обозначать векторы полужирной строчной буквой, например $textbf{v}$, а матрицы заглавной буквой, например, А.

Вектор $textbf{v}$ удобно изобразить на координатной плоскости, исходящим из начала координат.

v = np.array([4, 3]) ax = plt.axes() plt.xlim([0, 5]) plt.ylim([0, 5]) plt.grid() ax.arrow(0, 0, v[0], v[1], width = 0.02, head_width = 0.1, head_length = 0.2, length_includes_head = True, fc = ‘r’, ec = ‘r’) plt.annotate(‘v’,              xy=(v[0]/2, v[1]/2),              xytext=(10, –10),              textcoords=‘offset points’,              fontsize = 16) plt.show()

Добавлю, что вектор — частный случай матрицы. В случае вектор-столбца речь идет о матрице размерностью n x 1. В случае вектор-строки — 1 x n. Вектор $textbf{v}$ — это матрица 2 х 1.

Операции над векторами

Сложение векторов

Складывать векторы очень несложно. Достаточно сложить их компоненты или координаты.

$$ begin{bmatrix} 4 \ 3 end{bmatrix} + begin{bmatrix} 2 \ -1 end{bmatrix} = begin{bmatrix} 6 \ 2 end{bmatrix} $$

a = np.array([4, 3]) b = np.array([2, –1]) a_plus_b = a + b a_plus_b

Графически, если поставить начало второго вектора в конец первого, сложение можно представить как расстояние от начала первого вектора до конца второго. Своего рода путь, пройденный двумя векторами.

ax = plt.axes() plt.xlim([0, 7]) plt.ylim([0, 7]) plt.grid() arrow_a = ax.arrow(0, 0, a[0], a[1], width = 0.02, head_width = 0.2, head_length = 0.2, length_includes_head = True, fc = ‘r’, ec = ‘r’) arrow_b = ax.arrow(a[0], a[1], b[0], b[1], width = 0.02, head_width = 0.2, head_length = 0.2, length_includes_head = True, fc = ‘g’, ec = ‘g’) arrow_a_plus_b = ax.arrow(0, 0, a_plus_b[0], a_plus_b[1], width = 0.02, head_width = 0.2, head_length = 0.2, length_includes_head = True, fc = ‘b’, ec = ‘b’) plt.legend([arrow_a, arrow_b, arrow_a_plus_b], [‘вектор a’, ‘вектор b’, ‘вектор a + b’], prop = {‘size’: 16}) plt.show()

Сложение векторов ассоциативно $textbf{a} + textbf{b} = textbf{b} + textbf{a}$.

Умножение на скаляр

Умножение на скаляр просто удлиняет или укорачивает вектор.

$$ 2 cdot textbf{v} = 2 cdot begin{bmatrix} 4 \ 3 end{bmatrix} = begin{bmatrix} 8 \ 6 end{bmatrix} $$

v = np.array([4, 3]) double_v = 2 * v double_v

ax = plt.axes() plt.xlim([0, 10]) plt.ylim([0, 10]) plt.grid() ax.arrow(0, 0, double_v[0], double_v[1], width = 0.02, head_width = 0.1, head_length = 0.2, length_includes_head = True, fc = ‘b’, ec = ‘b’) plt.annotate(‘2v’, xy=(double_v[0], double_v[1]), xytext=(10, –10), textcoords=‘offset points’, fontsize = 16) ax.arrow(0, 0, v[0], v[1], width = 0.02, head_width = 0.1, head_length = 0.2, length_includes_head = True, fc = ‘r’, ec = ‘r’) plt.annotate(‘v’, xy=(v[0], v[1]), xytext=(10, –10), textcoords=‘offset points’, fontsize = 16) plt.show()

Умножение на отрицательное число не только удлиняет или укорачивает вектор, но и переворачивает его направление.

$$ -0,5 cdot textbf{v} = -0,5 cdot begin{bmatrix} 4 \ 3 end{bmatrix} = begin{bmatrix} -2 \ -1,5 end{bmatrix} $$

v = np.array([4, 3]) neg_half_v = –0.5 * v neg_half_v

ax = plt.axes() plt.xlim([–5, 5]) plt.ylim([–5, 5]) plt.grid() ax.arrow(0, 0, neg_half_v[0], neg_half_v[1], width = 0.02, head_width = 0.1, head_length = 0.2, length_includes_head = True, fc = ‘b’, ec = ‘b’) plt.annotate(‘-0.5v’, xy=(neg_half_v[0], neg_half_v[1]), xytext=(10, –10), textcoords=‘offset points’, fontsize = 16) ax.arrow(0, 0, v[0], v[1], width = 0.02, head_width = 0.1, head_length = 0.2, length_includes_head = True, fc = ‘r’, ec = ‘r’) plt.annotate(‘v’, xy=(v[0], v[1]), xytext=(10, –10), textcoords=‘offset points’, fontsize = 16) plt.show()

Очевидно, что умножение на −1 просто переворачивает направление вектора, но не меняет его длины.

$$ -1 cdot textbf{v} = -1 cdot begin{bmatrix} 4 \ 3 end{bmatrix} = begin{bmatrix} -4 \ -3 end{bmatrix} $$

v = np.array([4, 3]) neg_one_v = –1 * v neg_one_v

ax = plt.axes() plt.xlim([–5, 5]) plt.ylim([–5, 5]) plt.grid() ax.arrow(0, 0, neg_one_v[0], neg_one_v[1], width = 0.02, head_width = 0.1, head_length = 0.2, length_includes_head = True, fc = ‘b’, ec = ‘b’) plt.annotate(‘-v’, xy=(neg_one_v[0], neg_one_v[1]), xytext=(10, –10), textcoords=‘offset points’, fontsize = 16) ax.arrow(0, 0, v[0], v[1], width = 0.02, head_width = 0.1, head_length = 0.2, length_includes_head = True, fc = ‘r’, ec = ‘r’) plt.annotate(‘v’, xy=(v[0], v[1]), xytext=(10, –10), textcoords=‘offset points’, fontsize = 16) plt.show()

Вычитание и деление на число

Вычитание векторов можно представить как сумму первого вектора со вторым вектором, умноженным на −1.

$$ begin{bmatrix} 4 \ 3 end{bmatrix} + left( -1 cdot begin{bmatrix} 2 \ -1 end{bmatrix} right) = begin{bmatrix} 2 \ 4 end{bmatrix} $$

a = np.array([4, 3]) b = np.array([2, –1]) b_neg = –1 * b a_minus_b = a + b_neg b_neg, a_minus_b

(array([-2,  1]), array([2, 4]))

Графически мы сначала находим вектор $textbf{-b}$ (зеленая стрелка), а затем прибавляем его к вектору $textbf{a}$ (красная стрелка).

plt.figure(figsize = (8, 8)) ax = plt.axes() plt.xlim([0, 7]) plt.ylim([0, 7]) plt.grid() arrow_a = ax.arrow(0, 0, a[0], a[1], width = 0.02, head_width = 0.2, head_length = 0.2, length_includes_head = True, fc = ‘r’, ec = ‘r’) arrow_b_neg = ax.arrow(a[0], a[1], b_neg[0], b_neg[1], width = 0.02, head_width = 0.2, head_length = 0.2, length_includes_head = True, fc = ‘g’, ec = ‘g’) arrow_b = ax.arrow(a[0], a[1], b[0], b[1], width = 0.0001, head_width = 0.1, head_length = 0.1, length_includes_head = True, fc = ‘black’, ec = ‘black’, linestyle = ‘–‘) arrow_a_minus_b = ax.arrow(0, 0, a_minus_b[0], a_minus_b[1], width = 0.02, head_width = 0.2, head_length = 0.2, length_includes_head = True, fc = ‘b’, ec = ‘b’) plt.legend([arrow_a, arrow_b_neg, arrow_b, arrow_a_minus_b], [‘вектор a’, ‘вектор -b’, ‘вектор b’, ‘вектор a+(-b)’], prop = {‘size’: 16}) plt.show()

Остается добавить, что деление вектора на число, это всего лишь умножение на обратное число (multiplicative inverse). Разделим вектор $textbf{v}$ на семь.

$$ frac{textbf{v}}{7} = begin{bmatrix} 4 \ 3 end{bmatrix} cdot frac{1}{7} = begin{bmatrix} frac{4}{7} \ frac{3}{7} end{bmatrix} $$

v = np.array([4, 3]) v * (1/7)

array([0.57142857, 0.42857143])

Тот факт, что мы выразили вычитание через сложение и умножение на скаляр, а деление через умножение на обратное число позволило нам остаться в пределах операций сложения и умножения на скаляр.

Видео про векторы⧉.

Длина вектора

Длину или норму вектора (norm, length, magnitude or size of a vector) рассчитать не сложно, достаточно вспомнить теорему Пифагора. Снова возьмем вектор $textbf{v}$

$$ textbf{v} = begin{bmatrix} 4 \ 3 end{bmatrix} $$

v = np.array([4, 3]) ax = plt.axes() plt.xlim([0, 5]) plt.ylim([–0.01, 5]) plt.grid() ax.arrow(0, 0, v[0], v[1], width = 0.02, head_width = 0.1, head_length = 0.2, length_includes_head = True, fc = ‘r’, ec = ‘r’) plt.annotate(‘v’, xy=(v[0]/2, v[1]/2), xytext=(10, –10), textcoords=‘offset points’, fontsize = 16) ax.hlines(y = 0, xmin = 0, xmax = 4, linewidth = 3, color = ‘b’, linestyles = ‘–‘) ax.vlines(x = 4, ymin = 0, ymax = 3, linewidth = 3, color = ‘g’, linestyles = ‘–‘) plt.show()

Как видно на графике, вектор $textbf{v}$, смещение вдоль оси x и смещение вдоль оси y образуют прямоугольный треугольник. Значит, длина вектора (гипотенуза) равна квадратному корню из суммы квадратов смещений (катетов или в нашем случае координат).

$$ ||textbf{v}|| = sqrt{4^2 + 3^2} = sqrt{25} = 5 $$

Для n-мерного вектора ничего не меняется.

$$ ||textbf{v}|| = sqrt{v_1^2 + v_2^2 + dots + v_n^2} $$

Например, найдем длину трехмерного вектора $textbf{w}$.

$$ textbf{w} = begin{bmatrix} 6 \ 3 \ 2 end{bmatrix} rightarrow ||textbf{w}|| = sqrt{6^2 + 3^2 + 2^2} = sqrt{49} = 7 $$

Единичный вектор

Вектор с длиной, равной единице, называют единичным вектором (unit vector). Примерами единичных векторов, с которыми мы будем часто встречаться в пространстве $ R^2 $, являются следующие два вектора

$$ hat{i} = begin{bmatrix} 1 \ 0 end{bmatrix}, hat{j} = begin{bmatrix} 0 \ 1 end{bmatrix} $$

Единичный вектор принято обозначать строчной буквой с знаком циркумфлекса, «крышечки» (hat).

Проверим, равна ли их длина единице.

$$ ||hat{i}|| = sqrt{1^2 + 0^2} = sqrt{1} = 1, ||hat{j}|| = sqrt{0^2 + 1^2} = sqrt{1} = 1 $$

Интересно, что с помощью векторов $ hat{i}, hat{j} $ можно выразить любой другой вектор в $ R^2 $. Например, вектор $textbf{v}$ можно представить как

$$ 4 begin{bmatrix} 1 \ 0 end{bmatrix} + 3 begin{bmatrix} 0 \ 1 end{bmatrix} = begin{bmatrix} 4 \ 3 end{bmatrix} rightarrow 4hat{i} + 3 hat{j} $$

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

v = np.array([4, 3]) i = np.array([1, 0]) j = np.array([0, 1]) ax = plt.axes() plt.xlim([–0.07, 4.5]) plt.ylim([–0.07, 4.5]) plt.grid() ax.arrow(0, 0, v[0], v[1], width = 0.02, head_width = 0.1, head_length = 0.2, length_includes_head = True, fc = ‘r’, ec = ‘r’) plt.annotate(‘v’, xy=(v[0]/2, v[1]/2), xytext=(10, –10), textcoords=‘offset points’, fontsize = 16) ax.arrow(0, 0, i[0], i[1], width = 0.02, head_width = 0.1, head_length = 0.2, length_includes_head = True, fc = ‘g’, ec = ‘g’) ax.arrow(0, 0, j[0], j[1], width = 0.02, head_width = 0.1, head_length = 0.2, length_includes_head = True, fc = ‘g’, ec = ‘g’) plt.show()

Это обстоятельство нам пригодится в будущем.

Нормализация вектора

Длина нормализованного вектора равна единице. Для того чтобы нормализовать вектор, достаточно разделить вектор на его длину. Создадим единичный вектор $hat{v}$ для вектора $textbf{v}$.

$$ hat{v} = frac{textbf{v}}{||textbf{v}||} = frac{1}{5} cdot begin{bmatrix} 4 \ 3 end{bmatrix} = begin{bmatrix} frac{4}{5} \ frac{3}{5} end{bmatrix} $$

v = np.array([4, 3]) v * (1/np.linalg.norm(v))

Скалярное произведение

Важной операцией над векторами является уже знакомое нам скалярное произведение (dot product). В качестве напоминания того, как работает скалярное произведение приведем несложный пример. Пусть даны два вектора $textbf{v}$ и $textbf{w}$.

$$ textbf{v} = begin{bmatrix} 4 \ 3 end{bmatrix}, textbf{w} = begin{bmatrix} 2 \ 1 end{bmatrix} $$

Найдем их скалярное произведение.

$$ textbf{v} cdot textbf{w} = 4 cdot 2 + 3 cdot 1 = 11 $$

Как вы видите, мы перемножаем компоненты векторов и складываем получившиеся произведения.

Скалярное произведение как длина вектора

Интересно, что корень из скалярного произведения вектора на самого себя есть его длина.

$$ sqrt{ textbf{v} cdot textbf{v} } = sqrt{4 cdot 4 + 3 cdot 3 } = sqrt{ 4^2 + 3^2 } = sqrt{25} = 5 $$

v = np.array([4, 3]) np.sqrt(v.dot(v))

Угол между векторами

Помимо этого скалярное произведение определяется как произведение длин векторов на косинус угла между ними.

$$ mathbf a cdot mathbf b = ||a|| cdot ||b|| cdot cos(theta) $$

Именно это свойство привело нас к расчету косинусного расстояния между векторами.

$$ cos(theta) = frac{mathbf a cdot mathbf b}{||a|| cdot ||b||} $$

Выведем эту формулу. Для начала вспомним теорему косинусов.

$$ c^2 = a^2 + b^2-2ab cdot cos(theta) $$

Теперь представим, что у нас не стороны треугольника, а векторы. Если сторону а обозначить как вектор $ textbf{a} $, сторону b — как вектор $ textbf{b} $, то сторона с станет разностью между $ textbf{a} $ и $ textbf{b} $. Чтобы убедиться в этом, найдите $ textbf{-b} $ и приставьте его к окончанию $ textbf{a} $.

Выразим теорему косинусов через длины векторов.

$$ || a-b ||^2 = ||a||^2 + ||b||^2-2 cdot ||a|| cdot ||b|| cdot cos(theta) $$

Помня, что длина есть скалярное произведение вектора на самого себя, мы можем выразить левую часть $ || a-b || $ как

$$ (a-b)(a-b) = a cdot a-a cdot b-b cdot a + (-b) cdot (-b) = ||a||^2-2ab + ||b||^2 $$

Поместим результат в исходное выражение.

$$ ||a||^2-2ab + ||b||^2 = ||a||^2 + ||b||^2-2 cdot ||a|| cdot ||b|| cdot cos(theta) $$

Сократив подобные члены получим

$$ a cdot b = ||a|| cdot ||b|| cdot cos(theta) $$

Выводы. Из тригонометрии мы помним, что косинус 90 градусов равен нулю. Как следствие, скалярное произведение перпендиклярных (правильнее сказать ортогональных (orthogonal)) векторов $ textbf{a} perp textbf{b} $ равно нулю.

$$ a cdot b = ||a|| cdot ||b|| cdot cos(90) = 0 $$

Очевидно, что если угол между двумерными векторами меньше 90 градусов, косинус, а значит и скалярное произведение положительны. В противном случае — отрицательны. Для n-мерных векторов положительное скалярное произведение говорит, что они в целом смотрят в одну строну, отрицательное — противоположные.

Для коллинеарных (сонаправленных) векторов скалярное произведение равно произведению их длин, потому что косинус нуля равен единице.

$$ a cdot b = ||a|| cdot ||b|| cdot cos(0) = ||a|| cdot ||b|| $$

Добавлю, что если $ textbf{a} $ и $ textbf{b} $ — единичные векторы, то косинус угла между векторами просто равен его их скалярному произведению.

$$ cos(theta) = a cdot b $$

Рассчитаем косинусное расстояние для векторов

$$ textbf{v} = begin{bmatrix} 4 \ 3 end{bmatrix}, textbf{w} = begin{bmatrix} 1 \ 7 end{bmatrix} $$

a = np.array([4, 3]) b = np.array([1, 7]) numerator = np.dot(a, b) aLen = np.linalg.norm(a) bLen = np.linalg.norm(b) denominator = aLen * bLen cosine = numerator / denominator angle = np.arccos(cosine) * 360/2/np.pi cosine, angle

(0.7071067811865475, 45.00000000000001)

from scipy.spatial import distance 1 – distance.cosine([4, 3], [1, 7])

Внешнее произведение

Под внешним произведением (outer product) понимается умножение вектор-столбца на вектор-строку по обычным правилам матричного умножения. Результатом такого произведения будет матрица, а не число, как в случае скалярного произведения.

Ортогональность векторов

Еще раз продемонстрируем, почему если векторы ортогональны, их скалярное произведение будет равно нулю. Возьмем три вектора, образовывающих прямоугольный треугольник.

Тогда, по теореме Пифагора,

$$ || mathbf x ||^2 + || mathbf y ||^2 = || mathbf x + mathbf y ||^2 $$

$$ mathbf x^T mathbf x + mathbf y^T mathbf y = (mathbf x + mathbf y)^T (mathbf x + mathbf y) $$

$$ mathbf x^T mathbf x + mathbf y^T mathbf y = mathbf x^T mathbf x + mathbf y^T mathbf y + mathbf x^T mathbf y + mathbf y^T mathbf x $$

$$ mathbf x^T mathbf x + mathbf y^T mathbf y = mathbf x^T mathbf x + mathbf y^T mathbf y + 2 mathbf x^T mathbf y $$

$$ mathbf 0 = 2 mathbf x^T mathbf y $$

$$ mathbf x^T mathbf y = mathbf 0 $$

Проекция вектора на вектор

Подойдем к скалярному произведению с другой стороны. Рассмотрим два вектора $ textbf{a} $ и $ textbf{b} $ и найдем проекцию первого вектора на второй.

Проекция через угол между векторами

Говоря неформально, проекцией вектора $ textbf{a} $ на вектор $ textbf{b} $ будет такой участок вектора $ textbf{b} $, что расстояние от точки A до точки B минимально. Минимальным оно будет, если угол OAB будет равен 90 градусов. Получается прямоугольный треугольник. Найдем отрезок OB.

$$ cos(theta) = frac {OB}{OA} = frac {OB}{||a||} rightarrow OB = ||a|| cdot cos(theta) $$

Выразим то же самое через формулу скалярного произведения, заменив $||a|| cdot cos(theta) $ на OB.

$$ b cdot a = ||b|| cdot ||a|| cdot cos(theta) rightarrow b cdot a = ||b|| cdot OB $$

Так мы нашли длину проекции OB. Ее называют числовой или скалярной проекцией (scalar projection).

$$ frac{b cdot a}{||b||} = ||a|| cdot cos(theta) = OB $$

Более того, если длина вектора $ textbf{b} $ равна единице, то длина проекции OB просто равна скалярному произведению.

$$ ||b|| = 1 rightarrow b cdot a = OB $$

Это объясняет, почему скалярное произведение еще называют projection product.

Очевидное и тем не менее интересное примечание. Обратите внимание на связь понимания скалярного произведения как проекции одного вектора на другой и произведения длин векторов на косинус угла между ними. Если векторы перпендикулярны, проекция одного вектора на другой равна нулю, а значит и произведение проекции второго вектора на первый равно нулю.

Предположим, нас интересует не только длина проекции, но и ее направление. В этом случае говорят про векторную проекцию (vector projection).

Она выражается как произведение нормализованного вектора $ textbf{b} $ на длину проекции (то есть скалярную проекцию) OB.

$$ proj_mathbf{b} textbf{a} = OB cdot hat{b} $$

Перепишем OB через скалярное произведение, а $hat{b}$ через частное вектора $ textbf{b} $ на его длину.

$$ proj_mathbf{b} textbf{a} = frac{b cdot a}{||b||} cdot frac{b}{||b||} $$

Таким образом, можно сказать, что векторная проекция показывает, длину вектора $ textbf{a} $ в направлении вектора $ textbf{b} $.

Пример. Возьмем два вектора a и b и найдем вначале скалярную, затем векторную проекцию вектора a на вектор b.

a = np.array([3, 4]) b = np.array([1, 1]) scalar_proj_a_on_b = np.dot(a, b) / np.linalg.norm(b) scalar_proj_a_on_b

vector_proj_a_on_b = scalar_proj_a_on_b * (b / np.linalg.norm(b)) vector_proj_a_on_b

a = np.array([3, 4]) b = np.array([1, 1]) proj = np.array([3.5, 3.5]) ax = plt.axes() plt.xlim([–0.07, 4.5]) plt.ylim([–0.07, 4.5]) plt.grid() ax.arrow(0, 0, a[0], a[1], width = 0.02, head_width = 0.1, head_length = 0.2, length_includes_head = True, fc = ‘r’, ec = ‘r’) ax.arrow(0, 0, b[0], b[1], width = 0.02, head_width = 0.1, head_length = 0.2, length_includes_head = True, fc = ‘k’, ec = ‘k’) ax.arrow(0, 0, proj[0], proj[1], width = 0.02, head_width = 0.1, head_length = 0.2, length_includes_head = True, fc = ‘g’, ec = ‘g’) plt.show()

Матрица проекции

Векторную проекцию можно выразить с помощью матрицы проекции $P$.

$$ proj_mathbf{b} textbf{a} = P cdot mathbf a = frac{mathbf b mathbf b^T}{mathbf b^T mathbf b} cdot mathbf a $$

В знаменателе находится скалярное произведение и результатом умножения будет число. В числителе — внешнее произведение и результатом будет матрица. Найдем внешнее произведение из примера выше.

b_bT = np.outer(b, b) b_bT

Найдем скалярное произведение.

Создадим матрицу проекции $P$ и умножим ее на вектор $mathbf a$.

Симметрия скалярного произведения

Продемонстрируем с точки зрения проекции, почему $a cdot b = b cdot a $. Возьмем два вектора a и b.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

a = np.array([1, 3]) b = np.array([4, 1]) i = np.array([1, 0]) j = np.array([0, 1]) ax = plt.axes() plt.xlim([–0.07, 4]) plt.ylim([–0.07, 4]) plt.grid() ax.arrow(0, 0, a[0], a[1], width = 0.02, head_width = 0.1, head_length = 0.2, length_includes_head = True, fc = ‘r’, ec = ‘r’) ax.arrow(0, 0, b[0], b[1], width = 0.02, head_width = 0.1, head_length = 0.2, length_includes_head = True, fc = ‘k’, ec = ‘k’) ax.arrow(0, 0, i[0], i[1], width = 0.02, head_width = 0.1, head_length = 0.2, length_includes_head = True, fc = ‘g’, ec = ‘g’) ax.arrow(0, 0, j[0], j[1], width = 0.02, head_width = 0.1, head_length = 0.2, length_includes_head = True, fc = ‘g’, ec = ‘g’) ax.plot([0, 4], [0, 4], linestyle = ‘dashed’) plt.show()

Выше мы сказали, что $ a cdot b = OB cdot ||b|| $. То есть скалярное произведение вектора a на вектор b равно произведению проекции a на b, умноженной на длину вектора b.

Продемонстрируем, что произведение проекции вектора a на вектор b, умноженное на длину вектора b, равно произведению проекции вектора b на вектор a, умноженному на длину вектора a.

$$ proj_ba times || b || = proj_ab times || a || $$

scalar_proj_a_on_b = np.dot(a, b) / np.linalg.norm(b) scalar_proj_a_on_b * np.linalg.norm(b)

scalar_proj_b_on_a = np.dot(b, a) / np.linalg.norm(a) scalar_proj_b_on_a * np.linalg.norm(a)

np.dot(a, b), np.dot(b, a)

Видео про скалярное произведение векторов⧉.

Векторное произведение

Векторное произведение (cross product) задано только в трехмерном пространстве. Результатом такого произведения будет вектор, перпендикулярный каждому из исходных векторов. Приведем иллюстрацию из Википедии⧉.

Математически векторное произведение задается формулой

$$ a times b = || a || || b || sin(theta) $$

Геометрически — это площадь параллелограмма, сформированного из исходных векторов a и b.

Приведем пример.

a = [1, 2, 3] b = [4, 5, 6] np.cross(a, b)

Подведем итог

Сегодня мы ввели понятие вектора, познакомились с базовыми операциями с векторами, в частности, изучили скалярное произведение векторов и научились находить скалярную и векторную проекцию одного вектора на другой.

Перейдем к рассмотрению векторного пространства.

Скалярное произведение векторов. Длина вектора.

Как рассчитать длину
вектора? Из рисунка 7.4 видно, что на
плоскости она равна длине гипотенузы
прямоугольного треугольника с катетами
длиной х₁и х₂.

Таким образом, длина
вектора рассчитывается, как корень
квадратный из суммы квадратов его
координат
.
Аналогично рассчитывается длинаn-мерного вектора.
Если вспомнить, что каждая координата
вектора – это разность между координатами
конца и начала, то мы получим формулу
длины отрезка, т.е. евклидова расстояния
между точками.

Скалярное произведениедвух векторов на плоскости – это
произведение длин этих векторов на
косинус угла между ними:.
Можно доказать, что скалярное произведение
двух векторов= (х₁, х₂) и=
(y₁, y₂) равно сумме произведений
соответствующих координат этих векторов:=
х₁* y₁+ х₂* y₂.

В n-мерном
пространстве скалярное произведение
векторовX= (х₁,
х₂,…,х_n) иY=
(y₁, y₂,…,y_n)
определяется, как сумма произведений
их соответствующих координат:X*Y= х₁* y₁+ х₂* y₂+
… + х_n* y_n.

Операция умножения
векторов друг на другу аналогична
умножению матрицы-строки на матрицу-столбец.
Подчеркнем, что в результате будет
получено число, а не вектор.

Скалярное произведение
векторов обладает следующими свойствами
(аксиомы):

1) Коммутативное
свойство: X*Y=Y*X.

2) Дистрибутивное
относительно сложения свойство:
X(Y+Z) =X*Y+X*Z.

3) Для любого
действительного числа .

4)
,
еслиX– не нулевой вектор;еслиX– нулевой вектор.

Линейное векторное
пространство, в котором задано скалярное
произведение векторов, удовлетворяющее
четырем соответствующим аксиомам,
называется евклидовым линейным
векторнымпространством.

Легко заметить, что
при умножении любого вектора самого на
себя мы получим квадрат его длины
.
Поэтому по-другомудлину вектора
можно определить, как корень квадратный
из его скалярного квадрата:.

Длина вектора обладает
следующими свойствами:

1) |X| = 0Х = 0;

2) |X|
= ||*|X|,
где– действительное число;

3) |X*Y||X|*|Y|
(неравенство Коши-Буняковского);

4) |X+Y||X|+|Y|
(неравенство треугольника).

Угол между векторами вn-мерном
пространстве определяется, исходя из
понятия скалярного произведения. В
самом деле, если,
то.
Эта дробь не больше единицы (согласно
неравенству Коши-Буняковского), поэтому
отсюда можно найти.

Два вектора называют
ортогональнымиилиперпендикулярными,
если их скалярное произведение равно
нулю. Из определения скалярного
произведения следует, что нулевой вектор
ортогонален любому вектору. Если оба
ортогональных вектора ненулевые, то
обязательноcos= 0, т.е=/2
= 90^о.

Рассмотрим еще раз
рисунок 7.4. Из рисунка видно, что косинус
угла наклона вектора
к горизонтальной оси можно рассчитать
как,
а косинус угланаклона вектора к вертикальной оси как.
Эти числа принято называтьнаправляющими
косинусами. Легко убедиться, что сумма
квадратов направляющих косинусов всегда
равна единице:cos²+cos²= 1. Аналогично можно ввести понятия
направляющих косинусов и для пространств
большей размерности.

Базис векторного пространства

Для векторов можно
определить понятия линейной комбинации,линейной зависимостиинезависимостианалогично тому, как эти понятия были
введены для строк матрицы. Также
справедливо, что если векторы линейно
зависимы, то по крайней мере один из них
можно линейно выразить через остальные
(т.е. он является их линейной комбинацией).
Верно и обратное утверждение: если один
из векторов является линейной комбинацией
остальных, то все эти векторы в совокупности
линейно зависимы.

Отметим, что если среди
векторов a_l, a₂,…a_mесть нулевой вектор, то эта совокупность
векторов обязательно линейно зависима.
В самом деле, мы получим_la_l+₂a₂+…+_ma_m= 0, если, например, приравняем коэффициент_jпри нулевом векторе к единице, а все
остальные коэффициенты – к нулю. При
этом не все коэффициенты будут равны
нулю (_j≠ 0).

Кроме того, если
какая-то часть векторов из совокупности
векторов линейно зависимы, то и все эти
вектора – линейно зависимы. В самом деле,
если какие-то вектора дают нулевой
вектор в своей линейной комбинации с
коэффициентами, которые не являются
одновременно нулевыми, то к этой сумме
произведений можно добавить остальные
вектора, умноженные на нулевые
коэффициенты, и она по-прежнему будет
нулевым вектором.

Как определить, являются
ли вектора линейно зависимыми?

Например, возьмем три
вектора: а₁ = (1, 0, 1, 5), а₂= (2,
1, 3, -2) и
а₃= (3, 1, 4, 3). Составим из
них матрицу, в которой они будут являться
столбцами:

Тогда вопрос о линейной
зависимости сведется к определению
ранга этой матрицы. Если он окажется
равным трем, то все три столбца – линейно
независимы, а если окажется меньше, то
это будет говорить о линейной зависимости
векторов.

Так как ранг равен 2,
вектора линейно зависимы.

Отметим, что решение
задачи можно было бы начать и с рассуждений,
которые основаны на определении линейной
независимости. А именно, составить
векторное уравнение _la_l+₂a₂+₃a₃= 0,
которое примет вид_l*(1,
0, 1, 5) +₂*(2, 1,
3, -2) +₃*(3, 1, 4,
3) = (0, 0, 0, 0). Тогда мы получим систему
уравнений:

Решение этой системы
методом Гаусса сведется к получению
той же самой ступенчатой матрицы, только
в ней будет еще один столбец – свободных
членов. Они все будут равны нулю, так
как линейные преобразования нулей не
могут привести к другому результату.
Преобразованная система уравнений
примет вид:

Решением этой системы
будет (-с;-с; с), где с – произвольное
число; например, (-1;-1;1). Это означает, что
если взять _l= -1;₂=-1 и₃= 1, то_la_l+₂a₂+₃a₃= 0,
т.е. вектора на самом деле линейно
зависимы.

Из решенного примера
становится ясно, что если взять число
векторов больше, чем размерность
пространства, то они обязательно будут
линейно зависимы. В самом деле, если бы
в этом примере мы взяли пять векторов,
то получили бы матрицу 4 х 5, ранг которой
не мог бы оказаться больше четырех. Т.е.
максимальное число линейно независимых
столбцов все равно не было бы больше
четырех. Два, три или четыре четырехмерных
вектора могут оказаться линейно
независимыми, а пять и больше – не могут.
Следовательно, на плоскости могут
оказаться линейно независимыми не более
двух векторов. Любые три вектора в
двумерном пространстве – линейно
зависимы. В трехмерном пространстве
любые четыре (или более) вектора – всегда
линейно зависимы. И т.п.

Поэтому размерностьпространства можно определить, как
максимальное число линейно независимых
векторов, которые могут в нем быть.

Совокупность n линейно
независимых векторов n-мерного пространства
R называют базисомэтого пространства.

Теорема. Каждый вектор
линейного пространства можно представить
в виде линейной комбинации векторов
базиса, и притом единственным способом.

Доказательство. Пусть
векторы e_l, e₂,…e_nобразуют базисn-мерного
пространства R. Докажем, что любой вектор
Х является линейной комбинацией этих
векторов. Поскольку вместе с вектором
Х число векторов станет (n +1), эти (n +1)
векторов будут линейно зависимы, т.е.
существуют числа_l,₂,…,_n,, не равные одновременно
нулю, такие
что

_le_l+₂e₂+…+_ne_n
+Х = 0

При этом 0, т.к. в противном
случае мы получили бы_le_l+₂e₂+…+_ne_n
= 0, где не все коэффициенты_l,₂,…,_nравны нулю. Это означает, что векторы
базиса оказались бы линейно зависимы.
Следовательно, можно разделить обе
части первого уравнения на:

(_l/)e_l+ (₂/)e₂+…+ (_n/)e_n
+ Х = 0

Х = -(_l/)e_l– (₂/)e₂-…- (_n/)e_n

Х = x_le_l+x₂e₂+…+x_ne_n,

где х_j= -(_j/),.

Теперь докажем, что
такое представление в виде линейной
комбинации является единственным.
Предположим противное, т.е. что существует
другое представление:

Х = y_le_l+y₂e₂+…+y_ne_n

Вычтем из него почленно
полученное ранее выражение:

0 = (y_l– х₁)e_l+ (y₂ – х₂)e₂+…+ (y_n–
х_n)e_n

Так как векторы базиса
линейно независимы, получим, что
(y_j– х_j) = 0,,
т.е.y_j= х_j. Итак, выражение
оказалось тем же самым. Теорема доказана.

Выражение Х = x_le_l+x₂e₂+…+x_ne_nназываютразложениемвектора Х по
базису e_l, e₂,…e_n,
а числа х_l, х₂,…х_n–координатамивектора х относительно
этого базиса, или в этом базисе.

Можно доказать, что
если nненулевых векторовn-мерного евклидова
пространства попарно ортогональны, то
они образуют базис. В самом деле, умножим
обе части равенства_le_l+₂e₂+…+_ne_n
= 0 на любой вектор е_i.
Получим _l
(e_l*е_i)
+ ₂(e₂*е_i)
+…+ _n(e_n*е_i)
= 0 
_i(e_i*е_i)
= 0 
_i
= 0
для 
i.

Векторы e_l,
e₂,…e_nn-мерного
евклидова пространства образуютортонормированный базис, если эти
векторы попарно ортогональны и норма
каждого из них равна единице, т.е. если
е_i*e_j= 0 приi≠jи |е_i| = 1
дляi.

Теорема (без
доказательства). Во всяком n-мерном
евклидовом пространстве существует
ортонормированный базис.

Примером ортонормированного
базиса являют система n единичных
векторов е_i, у которыхi-я компонента равна
единице, а остальные компоненты равны
нулю. Каждый такой вектор называетсяорт. Например, вектора-орты (1, 0, 0),
(0, 1, 0) и (0, 0, 1) образуют базис трехмерного
пространства.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Время на прочтение
10 мин

Количество просмотров 12K

В настоящий момент появилось достаточно большое количество библиотек дополненной реальности с богатым функционалом (ARCore, ARKit, Vuforia). Тем не менее я решил начать свой открытый проект, попутно описывая как это работает изнутри. Если повезет, то позже получится добавить какой-то особый интересный функционал, которого нет в других библиотеках. В качестве целевых платформ пока возьмем Windows и Android. Библиотека пишется на C++, и сторонние библиотеки будут задействованы по минимуму, т.е. преимущественно не будет использовано ничего готового. Фокус в статьях будет направлен на алгоритмы и математику, которые постараюсь описать максимально доступно и подробно. В этой статье пойдет речь про основы векторной алгебры.

Дополненная реальность — это совмещение виртуального мира и реального. Для этого, нам нужно представить окружающее реальное пространство в виде математической модели, понимая закономерности которой, мы сможем получить данные для совмещения. Начнем с основ векторной алгебры.

Вектора — это частный случай матриц, состоящие либо из одного столбца, либо из одной строки. Когда мы говорим о векторе, обычно имеется вектор-столбец . Но записывать вектор как столбец неудобно, поэтому будем его транспонировать — .

Длина вектора

Первое, что мы рассмотрим — получение длины вектора — , где — значение длины, — наш вектор. Для примера возьмем двумерный вектор:

, где и — компоненты вектора, значения проекций вектора на оси двумерных координат. И мы видим прямоугольный треугольник, где и — это длины катетов, а — длина его гипотенузы. По теореме Пифагора получается, что . Значит . Вид формулы сохраняется и для векторов большей размерности, например — .

Скалярное произведение

Скалярное произведение векторов — это сумма произведение их компонентов: . Но так как мы знаем, что вектора — это матрицы, то тогда удобнее записать это в таком виде: . Это же произведение можно записать в другой форме: , где — угол между векторами и (для двумерного случая эта формула доказывается через теорему косинусов). По этой формуле можно заключить, что скалярное произведение — это мера сонаправленности векторов. Ведь, если , то , и — это просто произведение длин векторов. Так как — не может быть больше 1, то это максимальное значение, которые мы можем получить, изменяя только угол . Минимальное значение будет равно -1, и получается при , т.е. когда вектора смотрят в противоположные направления. Также заметим, что при , а значит какие бы длины не имели вектора и , все равно . Можно в таком случае сказать, что вектора не имеют общего направления, и называются ортогональными.
Также при помощи скалярного произведения, мы можем записать формулу длины вектора красивее: , .

Проекция вектора на другой вектор

Возьмем два вектора: и .
Проекцию вектора на другой вектор можно рассматривать в двух смыслах: геометрическом и алгебраическом. В геометрическом смысле проекция вектора на ось — это вектор, а в алгебраическом – число.

Вектора — это направления, поэтому их начало лежит в начале координат. Обозначим ключевые точки: — начало координат, — конечная точка вектора , — конечная точка вектора .

В геометрическом смысле мы ищем такой , чтобы конечная точка вектора (обозначим ее как — ) была ближайшей точкой к точке , лежащей на прямой .

Иначе говоря, мы хотим найти составляющую в , т.е. такое значение , чтобы и

Расстояние между точками и будет минимальным, если . Получаем прямоугольный треугольник — . Обозначим . Мы знаем, что по определению косинуса через соотношение сторон прямоугольного треугольника
( — гипотенуза, — прилежащий катет).
Также возьмем скалярное произведение . Отсюда следует, что . А значит .

Тут вспоминаем, что — это искомый вектор , а — , и получаем . Умножаем обе части на и получаем — . Теперь мы знаем длину . Вектор отличается от вектора длинной, но не направлением, а значит через соотношение длин можно получить: . И мы можем вывести финальные формулы:
и

Нормализованный вектор

Хороший способ упростить работу над векторами — использовать вектора единичной длины. Возьмем вектор и получим сонаправленный вектор единичной длины. Для этого вектор разделим на его длину: . Эта операция называется нормализацией, а вектор — нормализованным.
Зная нормализованный вектор и длину исходного вектора, можно получить исходный вектор: .

Зная нормализованный вектор и исходный вектор, можно получить его длину: .

Хорошим преимуществом нормализованных векторов является то, что сильно упрощается формула проекции (т.к. длина равна 1, то она сокращается). Проекция вектора на единичной длины:

Матрица поворота двумерного пространства

Предположим у нас есть некая фигура:

Чтобы ее нарисовать, заданы координаты ее вершин, от которых строятся линии. Координаты заданы в виде набора векторов следующим образом . Наша координатная сетка задана двумя осями — единичными ортогональными (перпендикулярными) векторами. В двумерном пространстве можно получить два перпендикулярных вектора к другому вектору такой же длины следующим образом: — левый и правый перпендикуляры. Берем вектор, задающим ось — и ось — левый к нему перпендикуляр — .
Выведем новый вектор, получаемый из наших базисный векторов:

Сюрприз — он совпадает с нашим исходным вектором.

Теперь попробуем как-то изменить нашу фигуру — повернем ее на угол . Для этого повернем векторы и , задающих оси координат. Поворот вектора задается косинусом и синусом угла — . А чтобы получить вектор оси , возьмем перпендикуляр к : . Выполнив эту трансформацию, получаем новую фигуру:

Вектора и являются ортонормированным базисом, потому как вектора ортогональны между собой (а значит базис ортогонален), и вектора имеют единичную длину, т.е. нормированы.

Теперь мы говорим о нескольких системах координат — базовой системы координат (назовем ее мировой), и локальной для нашего объекта (которую мы поворачивали). Удобно объединить наш набор векторов в матрицу —
Тогда .

В итоге — .

Матрица , составляющая ортонормированный базис и описывающая поворот, называется матрицей поворота.

Также матрица поворота имеет ряд полезных свойств, которые следует иметь ввиду:

• При , где — единичная матрица, матрица соответствует нулевому повороту (угол ), и в таком случае локальные оси совпадают с мировыми. Как рассматривали выше, матрица никак не меняет исходный вектор.
• — определитель матрицы равен 1, если у нас, как обычно бывает, правая тройка векторов. , если тройка векторов левая.
• .
• .
  .
• , поворот не меняет длины вектора.
• зная и , можем получить исходный вектор — . Т.е. умножая вектор на матрицу поворота мы выполняем преобразование координат вектора из локальной системы координат объекта в мировую, но также мы можем поступать и наоборот — преобразовывать мировые координаты в локальную систему координат объекта, умножая на обратную матрицу поворота.

Теперь попробуем повернуть наш объект два раза, первый раз на угол , второй раз на угол . Матрицу, полученную из угла , обозначим как , из угла — . Распишем наше итоговое преобразование:
.

Обозначим , тогда . И из двух операций мы получили одну. Так как поворот — это линейное преобразование (описали ее при помощи одной матрицы), множество преобразований можно описать одной матрицей, что сильно упрощает над ними работу.

Масштабирование в двумерном пространстве

Масштабировать объект достаточно просто, нужно только умножить координаты точек на коэффициент масштаба: . Если мы хотим масштабировать объект на разную величину по разным осям, то формула принимает вид: . Для удобства переведем операцию в матричный вид: .

Теперь предположим, что нам нужно повернуть и масштабировать наш объект. Нужно отметить, что если сначала масштабировать, а затем повернуть, то результат будет отличаться, от того результата, где мы сначала повернули, а затем масштабировали:

Сначала поворот, а затем масштабирование по осям:

Сначала масштабирование по осям, а затем поворот:

Как мы видим порядок операций играет большое значение, и его нужно обязательно учитывать.
Также здесь мы также можем объединять матрицы преобразования в одну:

Хотя в данном случае, если , то . Тем не менее, с порядком преобразований нужно быть очень аккуратным. Их нельзя просто так менять местами.

Векторное произведение векторов

Перейдем в трехмерное пространство и рассмотрим определенное на нем векторное произведение.
Векторное произведение двух векторов в трёхмерном пространстве — вектор, ортогональный к обоим исходным векторам, длина которого равна площади параллелограмма, образованного исходными векторами.

Для примера возьмем два трехмерных вектора — , . И в результате векторного произведения получим

Визуализируем данную операцию:

Здесь наши вектора , и . Вектора начинаются с начала координат, обозначенной точкой . Конечная точка вектора — точка . Конечная точка — точка . Параллелограмм из определения формируются точками , , , . Координаты точки находим как — . В итоге имеем следующие соотношения:

Два вектора образуют плоскость, а векторное произведение позволяет получить перпендикуляр к этой плоскости. Получившиеся вектора образуют образуют правую тройку векторов. Если берем обратный вектор, то получаем второй перпендикуляр к плоскости, и тройка векторов будет уже левой.

Для запоминания этой формулы удобно использовать мнемонический определитель. Пусть , и мы раскладываем определить по строке как сумму определителей миноров исходной матрицы :

Некоторые удобные свойства данного произведения:

• Если два вектора ортогональны и нормализованы, то вектор также будет иметь единичную длину. Параллелограмм, который образуется двумя исходными векторами, станет квадратом с длинной сторон равной единице. Т.е. площадь равна единице, отсюда длина выходного вектора — единица.
• 

Матрица поворота трехмерного пространства.

С тем, как формировать матрицу в двумерном пространстве мы разобрались. В трехмерном она формируется уже не двумя, а тремя ортогональными векторами — . По свойствам, описанным выше, можно вывести следующие отношения между этими векторам:

Вычислить вектора этих осей сложнее, чем в матрице поворота двумерного пространства. Для примера получения этих векторов рассмотрим алгоритм, который в трехмерных движках называется lookAt. Для этого нам понадобятся вектор направления взгляда — и опорный вектор для оси — . Сам алгоритм:

1. Обычно направление камеры совпадает с осью . Поэтому нормализуем и получаем ось — .
2. Получаем вектор оси — . В итоге у нас есть два нормализованных ортогональных вектора и , описывающих оси и , при этом ось сонаправлена с входным вектором , а ось перпендикулярна к входному опорному вектору .
3. Получаем вектор оси из полученных и — .
4. В итоге

В трехмерных редакторах и движках в интерфейсах часто используются углы Эйлера для задания поворота. Углы Эйлера более интуитивно понятны — это три числа, обозначающие три последовательных поворота вокруг трех основных осей . Однако, работать с ними не очень то просто. Если попробовать выразить итоговый вектор напрямую через эти повороты, то получим довольно объемную формулу, состоящую из синусов и косинусов наших углов. Есть еще пара проблем с этими углами. Первая проблема — это то, что сами по себе углы не задают однозначного поворота, так как результат зависит от того, в какой последовательности происходили повороты — или или как-то еще. Углы Эйлера — это последовательность поворотов, а как мы помним, смена порядка трансформаций меняет итоговый результат. Вторая проблема — это gimbal lock.

Внутри же трехмерные движки чаще всего используют кватернионы, которых мы касаться не будем.

Существуют разные способы задания поворота в трехмерном пространстве, и каждый имеет свои плюсы и минусы:

• Матрица поворота. С ней просто работать (т.к. это просто матрицы). Но есть логическая избыточность данных — все элементы матрицы связаны определенными условиями, так как количество элементов больше степеней свободы (12 элементов против трех степеней). Т.е. мы не можем взять матрицу и наполнить ее случайными числами, так при несоблюдении условий матрица просто не будет являться матрицей поворота.
• Углы Эйлера. Они интуитивно понятны, но работать с ними сложно.
• Вектор оси вращения и угол порота вокруг нее. Любой возможный поворот можно описать таким образом. Поворота вектора вокруг заданной оси рассмотрим ниже.
• Вектор поворота Родрига. Это трехмерный вектор, где нормализованный вектор представляет собой ось вращения, а длина вектора угол поворота. Этот способ задания поворота похож на предыдущий способ, но количество элементов здесь равно числу степеней свободы, и элементы не связаны между собой жесткими ограничениями. И мы можем взять трехмерный вектор с абсолютно случайными числами, и любой полученный вектор будет задавать какое-то возможное вращение.

Поворот вектора вокруг заданной оси

Теперь рассмотрим операцию, позволяющую реализовать поворот вектора вокруг оси.

Возьмем вектор — описывающий ось, вокруг которой нужно повернуть вектор на угол . Результирующий вектор обозначим как . Иллюстрируем процесс:

Вектор мы можем разложить сумму векторов: вектора, параллельный к вектору — , и вектора, перпендикулярному к вектору к вектору — .
.
Вектор — это проекция вектора на вектор . Т.к. — нормализованный вектор, то:

Та часть , которая принадлежит оси вращения () не измениться во время вращения. Повернуть нам нужно только в плоскости перпендикулярной к на угол , Обозначим этот вектор как . Тогда наш искомый вектор — .
Вектор можем найти следующим образом:

Для того, чтобы повернуть , выведем оси и в плоскости, в которой будем выполнять поворот. Это должны быть два ортогональных нормализованных вектора, ортогональных к . Один ортогональный вектор у нас уже есть — , нормализуем его и обозначим как ось — .

Теперь получим вектор оси . Это должен быть вектор, ортогональный к и (т.е. и к ). Получить его можно через векторное произведение: . Значит . По свойству векторного произведения будет равно площади параллелограмма, образуемого двумя исходными векторами ( и ). Так как вектора ортогональны, то у нас будет не параллелограмм, а прямоугольник, а значит . . Значит .
Поворот двумерного вектора на угол можно получить через синус и косинус — . Т.к. в координатах полученной плоскости сонаправлен с осью , то он будет равен . Этот вектор после поворота — . Отсюда можем вывести:


Теперь мы можем получить наш искомый вектор:

Мы разобрались с тем, как поворачивать вектор вокруг заданной оси на заданный угол, значит теперь мы умеем использовать поворот, заданный таким образом.

Получить вектор оси вращения и угол из вектора Родрига не составляет большого труда, а значит мы теперь умеем работать и с ним тоже.

Напоминаю, что матрица поворота представляет собой три базисных вектора , а углы Эйлера — три последовательных поворота вокруг осей , , . Значит мы можем взять единичную матрицу, как нулевой поворот , а затем последовательно поворачивать базисные вектора вокруг нужных нам осей. В результате получим матрицу поворота соответствующую углам Эйлера. Например:





Также можно отдельно вывести матрицы вращения по каждой из осей , , (, , соответственно) и получить итоговую матрицу последовательным их умножением:

Таким же образом можно перевести вектор поворота Родрига в матрицу поворота: также поворачиваем оси матрицы поворота, полученные от единичной матрицы.

Итак, с вращением объекта разобрались. Переходим к остальным трансформациям.

Масштабирование в трехмерном пространстве

Все тоже самое что и двумерном пространстве, только матрица масштабирования принимает вид:

Перемещение объекта

До этого момента точка начала локальных координат не смещалась в мировом пространстве. Так как точка начала координат нашего объекта — это его центр, то центр объект никуда не смещался. Реализовать это смещение просто: , где — вектор, задающий смещение.

Теперь мы умеем масштабировать объект по осям, поворачивать его и перемещать.
Объединим все одной формулой: :

Чтобы упростить формулу, мы можем, как уже делали ранее, объединить матрицы . В итоге наше преобразование описывает матрица и вектор . Объединение вектора с матрицей еще более бы упростило формулу, однако сделать в данном случае не получится, потому как сложение здесь — это не линейная операция. Тем не менее сделать это возможно, и рассмотрим этот момент уже в следующей статье.

Заключение

Для какого-то покажется, что статья описывает очевидные вещи, кому-то может показаться наоборот немного запутанной. Тем не менее это базовый фундамент, на котором будет строиться все остальное. Векторная алгебра — является фундаментом для многих областей, так что статья может вам оказаться полезной не только в дополненной реальности. Следующая статья будет уже более узконаправленной.

Содержание:

Определение: Вектором называется направленный отрезок прямой

где А – начало, а В – конец вектора.

Замечание: Векторы в основном обозначают одной прописной буквой латинского алфавита со стрелочкой (или черточкой) наверху .

Определение: Если начало и конец вектора не закреплены, то он называется свободным.

Замечание: Свободный вектор можно перемещать как вдоль его прямой, так и параллельно самому себе.

Определение: Если зафиксирована точка, которая определяет начало вектора, то она называется точкой приложения вектора.

Определение: Длиной (модулем) вектора а называется расстояние от его начала до его конца:

Определение: Векторы называются коллинеарными (Рис. 1), если они лежат на одной прямой или в параллельных прямых.

Рис.1. Коллинеарные векторы.

Определение: Векторы называются компланарными (Рис. 2), если они лежат в одной плоскости или параллельных плоскостях.

Рис.2. Компланарные векторы.

Определение: Два коллинеарных вектора и называются равными, если они со-направлены и имеют одинаковую длину.

Определение вектора и основные свойства

Многие величины, например, масса, длина, время, температура и др. характеризуются только числовыми значениями. Такие величины называются скалярными величинами. Некоторые же величины, например, скорость, ускорение, сила и др. определяются как числовыми значениями, так и направлением. Такие величины называются векторными величинами. Перемещение – самый простой пример векторных величин. Перемещение тела из точки в точку изображается с помощью направленного от до отрезка – вектора. Вектор изображается с помощью направленного отрезка.

Длина этого отрезка, называется длиной или модулем вектора. Вектор обозначается указанием начальной и конечной точки. Например, вектор , здесь – начало, вектора. Вектор обозначается также и маленькими буквами, например, вектор . Длину вектора обозначают, как:

Два вектора называется равными, если они равны по модулю и одинаково направлены. На рисунке векторы и равны: .

• Два вектора называются противоположными, если они равны по модулю и противоположно направлены.

Векторы и противоположны:

Если начало и конец вектора совпадают, то такой вектор называется нулевым и обозначается Длина нулевого вектора равна 0, а направление не определено. Если направленные отрезки, изображающие векторы, параллельны или лежат на одной и той же прямой, то они называются коллинеарными векторами. Коллинеарные вектора могут быть одинаково направлены или противоположно направлены. Одинаково направленные вектора обозначаются как , а противоположно направленные .

На рисунке векторы -коллинеарные векторы. Здесь

Выражения вектора компонентами в координатной плоскости

Рассмотрим вектор на координатной плоскости. Конечная точка относительно начальной точки изменила свое положение вдоль оси на (при направо, при налево), вдоль оси на (при вверх, при вниз). Векторы и , определенные (и по модулю, и по направлению) парами чисел и (как указано выше), являются компонентами вектора . На координатной плоскости вектор записывается как . Эта запись называется записью вектора с компонентами.

Равные векторы имеют равные компоненты. Наоборот, если, соответствующие компоненты векторов равны, то эти векторы равны. На рисунке . Если дан какой либо вектор , то выбрав любую точку плоскости как начало, можно построить вектор равный данному, причем только один. Значит, выбирая разные начальные точки можно построить бесконечно много векторов равных данному.

На координатной плоскости вектор с начальной точкой и конечной точкой согласно координатам этих точек можно выразить с компонентами. Так как , то . Здесь называются также координатами вектора.

Длина вектора

Длину вектора можно найти по координатам начальной у и конечной точек, используя формулу расстояния между точками.

Длину вектора данными с компонентами можно найти по формуле:

Пример 1.

Напишите вектор начальная точка которого , конечная в виде

Решение: Напишем вектор с компонентами:

Пример 2.

Точка начальная точка вектора Найдите координаты конечной точки этого вектора.

Решение: Примем за координаты конечной точки вектора – точку : Тогда . Конечная точка этого вектора

Пример 3.

В координатной плоскости нарисуйте несколько векторов равных вектору начальными точками которых являются точки .

Решение: Данные точки отмечаются на координатной плоскости. Начиная с этих точек изображаются векторы равные

Пример 4.

и соответственно начальная и конечная точка вектора . Напишите этот вектор в виде и найдите длину

Направление вектора

В соответствии с областями применения существуют различные способы определения направления вектора. В повседневной жизни мы выражаем направление словами налево, направо, вниз, вверх или же восток, запад, север, юг. На координатной плоскости направление вектора определяется углом с положительным направлением оси против часовой стрелки. Этот угол назовем углом наклона.

На рисунке длина вектора обозначена а угол, определяющий направление, через .

длина вектора:

направление вектора: или

Иногда для простоты вектор изображается на плоскости только указанием положительного направления .

Пример 1.

Вектор перемещения, модуль которого 200 м, направлен под углом наклона Выбрав масштаб 1 см : 100 м, нарисуйте этот вектор.

Решение: От начала луча, образующий с положительным направлением оси угол в , соответственно масштабу 1 см : 100 м линейкой отложим отрезок длиной 2 см.

Пример 2.

Определите длину и угол наклона вектора

Решение: Произвольную точку на координатной плоскости примем за начало вектора. От этой точки по горизонтальной оси отложим компоненту , равную 3 единицам, по вертикальной оси отложим компоненту , равную 4 единицам, и построим вектор как показано на рисунке. Если измерить транспортиром угол , то можно увидеть, что его приближенное значение равно Это можно проверить вычислениями.

Длина вектора: Угол наклона:

Сложение и вычитание коллинеарных векторов

Вектор, показывающий сумму одинаково направленных коллинеарных векторов называется результирующим. Его абсолютная величина равна сумме абсолютных величин данных векторов, а сам вектор имеет одинаковое направление с данными векторами.

Абсолютная величина результирующего вектора 2-х противоположно-направленных коллинеарных векторов равна разности абсолютных величин этих векторов, а направление совпадает с направлением вектора большего по абсолютной величине.

Выполним графически сложение векторов, соответствующее реальным жизненным ситуациям.

Задача 1.

Для того, чтобы достичь финиша, Джамиля должна пройти 3 знака. Если она пройдет 10 м на восток, то доберется до 1-го знака, потом пройдя 50 м вперед до 2-го знака и, пройдя в том же направлении еще 20 м, сможет добраться до финиша. Изобразите движение Джамили графически – векторами. Выберем масштаб:

1 см : 10 м и на числовой оси нарисуем векторы так, чтобы начало второго вектора совпало с концом первого, а начало третьего с концом второго.

Результирующий вектор обозначим через Его длину можно выразить как:

Общее перемещение: 10 м + 50 м + 20 м = 80 м (на восток) Изображается вектор длиной 8 см согласно выбранному масштабу.

Задача 2.

Представьте, что вы прошли 100 м на восток, еще 200 метров на запад.

Нарисуем данные вектора в масштабе

По определению, модуль результирующего вектора равен разности модулей векторов. А направление будет на запад.

В этом случае длина результирующего вектора равна:

200 м 100 м = 100 м (на запад)

Пусть векторы и противоположно направленные, а их результирующий вектор. При и вектор одинаково направлен с вектором .

При и вектор одинаково направлен с вектором .

При то есть сумма противоположных векторов равна вектору.

Для того, чтобы найти разность нужно к вектору прибавить вектор , противоположный вектору .

То есть выражения эквивалентные.

Жившие в XVII веке ученые-математики Рене Декарт и Пьер Ферма, взаимосвязывая алгебру и геометрию, создали новую область науки-аналитическую геометрию. Аналитическая геометрия, благодаря методу координат, позволила, с одной стороны, посредством алгебраических выкладок легко доказывать геометрические теоремы, а с другой стороны, в силу наглядности геометрических представлений упрощает решение задач над векторами.

Сложение векторов

Существуют различные способы сложения неколлинеарных векторов. Рассмотрим два графических способа. При сложении векторов графическим способом данные вектора и результирующий вектор, показывающий их сумму строятся с помощью линейки (модуль) и транспортира(направление).

Вектора можно складывать в любой последовательности. Переместительное свойство сложения верно и для векторов. По этому правилу можно складывать три и более вектора. Определим графическим способом вектор Для этого: 1) нарисуем вектор противоположный вектору 2) переместим так, чтобы конечная точка вектора совпадала с начальной точкой вектора

3. Соединим начальную точку вектора и конечную точку вектора Это будет вектор

Пример 1.

Джамал прошел от палатки, разбитой в лагере 60 метров на юг, 120 м на восток, еще 100 м на север и дошел до озера. Какое наименьшее расстояние от палатки до озера?

Решение:

Выберем масштаб: 1 см : 40 м

Движение Джамала изобразим последовательно соответствующими векторами по выбранному масштабу.

Начальную точку 1-го вектора, показывающего движение Джамала, соединим с конечной точкой 3-го вектора. Полученный результирующий вектор выражает сумму векторов Длина этого вектора приблизительно 126,4 метров, а направление под углом

Ответ: Озеро находится на расстоянии 126,4 м от палатки.

Правило параллелограмма

1. Даны вектора: и

2. Переместим вектор так, чтобы начальные точки векторов и совпадали.

3. Построим параллелограмм со сторонами и параллельным переносом соответствующих векторов и Диагональ этого параллелограмма, которая соединяет начальную и конечную точку векторов показывает их сумму:

Переместительные и сочетательные свойства сложения векторов

Для любых векторов верно следующее:

Переместительное свойство:

Сочетательное свойство:

Свойство идентичности:

Сумма противоположенных векторов:

Пример:

Сложение векторов, заданных компонентами

Выполним сложение двух векторов на координатной плоскости, используя их компоненты.

Суммой векторов и будет вектор:

Пример 1.

Если и то вектор выразите через компоненты.

Решение: Для того, чтобы найти компоненты вектора нужно по горизонтали (оси абсцисс) и по вертикали (оси ординат) сложить соответствующие компоненты векторов

Пример 2.

Самолет летит в направлении северо-востока со скоростью 707 миль/час. Скорость самолета выражается вектором В восточном направлении дует ветер со скоростью 40 миль/час. Скорость ветра выражается вектором Как изменится скорость самолета под воздействием ветра?

Конечная скорость самолета:

Аналогично можно показать, что

Пример 3.

Если , то

Тригонометрические отношения и компоненты вектора

Найдем компоненты вектора в координатной плоскости, используя тригонометрические отношения. Обозначим

имеем:

Запись также является записью вектора с компонентами. Угол наклона можно найти по формуле

Пример 1.

Автомобиль движется в северо-восточном направлении под углом со скоростью 80 км/ч. Напишите вектор скорости с компонентами.

Решение: По данным

скорость в вост. напр.

скорость в север, напр.

Пример 2.

Движения мяча изображены двумя векторами: с углом наклона и модулем равным 18 м и с углом наклона и модулем равным 10 м. Определите вектор, показывающий перемещение мяча (модуль и направление).

Решение: Перемещение мяча: Запишем векторы c компонентами:

Здесь

Пусть

По правилу сложения векторов с заданными компонентами имеем:

Найдем длину и угол наклона вектора перемежения мяча, изобразив этот вектор в новой системе координат.

Умножение вектора на число

Произведение вектора на число записывается как а его длина равна при вектора имеют одинаковое направление, при вектора имеют противоположное направление. Любой вектор коллинеарен вектору, выражающему произведение этого вектора на число (отличное от нуля). Если и коллинеарные векторы, то существует единственное число что

Свойство умножения вектора на число

1. Сочетательное свойство.

Для любых чисел и вектора

2. Распределительное свойство.

Для любых чисел и вектора

Для любого числа и векторов

Действия над векторами, заданным над координатами

Для вектора заданного компонентами и для любого числа верно:

Пример: Если

Пример: Если

• Соответствующие координаты коллинеарных векторов пропорциональны.

• Наоборот, если соответствующие координаты векторов пропорциональны, то эти векторы коллинеарные.

Условие коллинеарности векторов (при )

Пример: При каком значении векторы коллинеарны?

Подробное объяснение вектора:

Определение: Вектор — Упорядоченную совокупность n вещественных чисел называют n-мерным вектором, а числа – компонентами, или координатами, вектора.

Пример:

Если, например, некоторый автомобильный завод должен выпустить в смену 50 легковых автомобилей, 100 грузовых, 10 автобусов, 50 комплектов запчастей для легковых автомобилей и 150 комплектов для грузовых автомобилей и автобусов, то производственную программу этого завода можно записать в виде вектора (50, 100, 10, 50, 150), имеющего пять компонент.

Обозначения:

Векторы обозначают жирными строчными буквами или буквами с чертой или стрелкой наверху, например, Два вектора называются равными, если они имеют одинаковое число компонент и их соответствующие компоненты равны.

Компоненты вектора нельзя менять местами, например, (3, 2, 5, 0, 1) (2, 3, 5, 0, 1).

Операции над векторами. Произведением вектора на действительное число называется вектор Суммой векторов и называется вектор

Пространство векторов. N-мерное векторное пространство определяется как множество всех n-мерных векторов, для которых определены операции умножения на действительные числа и сложение.

Экономическая иллюстрация. Экономическая иллюстрация n-мерного векторного пространства: пространство благ (товаров). Под товаром мы будем понимать некоторое благо или услугу, поступившие в продажу в определенное время в определенном месте. Предположим, что существует конечное число наличных товаров n; количества каждого из них, приобретенные потребителем, характеризуются набором товаров

где через обозначается количество блага, приобретенного потребителем. Будем считать, что все товары обладают свойством произвольной делимости, так что может быть куплено любое неотрицательное количество каждого из них. Тогда все возможные наборы товаров являются векторами пространства товаров

Линейная независимость. Система n-мерных векторов называется линейно зависимой, если найдутся такие числа из которых хотя бы одно отлично от нуля, что выполняется равенство в противном случае данная система векторов называется линейно независимой, то есть указанное равенство возможно лишь в случае, когда все Геометрический смысл линейной зависимости векторов в интерпретируемых как направленные отрезки, поясняют следующие теоремы.

Теорема 1. Система, состоящая из одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой.

Теорема 2. Для того, чтобы два вектора были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были коллинеарны.

Теорема 3. Для того, чтобы три вектора были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны.

Левая и правая тройки векторов. Тройка некомпланарных векторов называется правой, если наблюдателю из их общего начала обход концов векторов в указанном порядке кажется совершающимся по часовой стрелке. В противном случае – левая тройка. Все правые (или левые) тройки векторов называются одинаково ориентированными.

Базис и координаты. Тройка некомпланарных векторов в называется базисом, а сами векторы – базисными. Любой вектор может быть единственным образом разложен по базисным векторам, то есть представлен в виде (1.1) числа в разложении (1.1) называются координатами вектора в базисе и обозначаются

Ортонормированный базис. Если векторы попарно перпендикулярны и длина каждого из них равна единице, то базис называется ортонормированным, а координаты прямоугольными. Базисные векторы ортонормированного базиса будем обозначать Будем предполагать, что в пространстве выбрана правая система декартовых прямоугольных координат

Векторное произведение. Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , который определяется следующими тремя условиями:

1. Длина вектора численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах
2. Вектор перпендикулярен к каждому из векторов
3. Векторы взятые в указанном порядке, образуют правую тройку.

Для векторного произведения вводится обозначение

Если векторы коллинеарны, тo в частности, Векторные произведения ортов: Если векторы заданы в базисе координатами то Смешанное произведение. Если векторное произведение двух векторов скалярно умножается на третий вектор , то такое произведение трех векторов называется смешанным произведением и обозначается символом Если векторы в базисе заданы своими координатами

Смешанное произведение имеет простое геометрическое толкование – это скаляр, по абсолютной величине равный объему параллелепипеда, построенного на трех данных векторах.

Если векторы образуют правую тройку, то их смешанное произведение есть число положительное, равное указанному объему; если же тройка – левая, то и следовательно

Координаты векторов, встречающиеся в задачах первой главы, предполагаются заданными относительно правого ортонормированного базиса. Единичный вектор, сонаправленный вектору обозначается символом Символом обозначается радиус-вектор точки М, символами обозначаются модули векторов

Пример №1

Найдите угол между векторамиединичные векторы и угол между равен 120°.

Решение:

Имеем:

Окончательно имеем:

Пример №2

Зная векторы АВ(-3,-2,6) и ВС(-2,4,4), вычислите длину высоты AD треугольника АВС.

Решение:

Обозначая площадь треугольника АВС через S, получим:

значит, вектор имеет координаты (—5,2,10).

Пример №3

Даны два вектора Найдите единичный вектор , ортогональный векторам и направленный так, чтобы упорядоченная тройка векторов была правой.

Решение:

Обозначим координаты вектора относительно данного правого ортонормированного базиса через Поскольку По условию задачи требуется, чтобы и Имеем систему уравнений для нахождения

Из первого и второго уравнений системы получим Подставляя в третье уравнение, будем иметь:

Используя условие получим неравенство

С учетом выражений для перепишем полученное неравенство в виде: откуда следует, что

Линейные операции над векторами

1. Сумма векторов. Для нахождения суммы векторов существует два правила: а) правило треугольника. Пусть векторы и неколлинеарные и пусть начало вектора совмещено с концом вектора , тогда их суммой будет вектор начало которого совпадает с началом вектора , а его конец – с концом вектора (Рис. 3):

Рис. 3. Сложение векторов по правилу треугольника.

б) правило параллелограмма. Пусть векторы неколлинеарные и пусть начала векторов совпадают. Построим на векторах параллелограмм (Рис. 4), тогда их суммой будет вектор начало которого совпадает с общим началом векторов , а его конец лежит в противоположной вершине параллелограмма:

Рис. 4. Сложение векторов по правилу параллелограмма.

Сумма векторов обладает следующими свойствами:

-переместительным ; – сочетательным

2. Разность векторов. Разностью векторов называется вектор сумма которого с вектором дает вектор (Рис. 5): Рис. 5. Разность векторов.

3. Умножение вектора на вещественное число. При умножении веществе иного числа k на вектор получают ему коллинеарный вектор длина которого равна сонаправленный с вектором если и антинаправленный вектору если

Замечание: Числа в векторной алгебре называют скалярами. Отметим здесь, что векторы и скаляры нельзя складывать и вычитать, так как это объекты разной природы.

Замечание: Из определения операции 3 следует первое условие коллинеарности векторов: – отношения соответствующих проекции векторов должны быть равны между собой (о проекциях векторов см. ниже пункты 3 и 4).

Пример №4

Найти произведение вектора на 2 и (-3).

Решение:

Используя вышеприведенное правило, получим

Произведение числа на вектор обладает следующими свойствами:

• – сочетательным
• – распределительным относительно скаляров
• -распределительным относительно векторов

Замечание: Если k = 0, то в результате умножения , получают нулевой вектор.

Определение: Нулевым вектором называется вектор, начало и конец которого совпадают, т.е. расположены в одной точке.

Проекция вектора на произвольную ось

Пусть дана ось l и вектор Проведем через начало вектора прямую,

которая параллельна оси l, угол между прямой и вектором обозначим через (Рис. 6):

Рис. 6. Проекция вектора на заданную ось.

Из начала и конца вектора опустим на ось l перпендикуляры, получим отрезок

Определение: Проекцией вектора на ось l называется длина отрезка взятая со знаком «+», если угол и со знаком «-», если Из рисунка видно, что отрезок следовательно, Из этой формулы видно, что при величина а при величина При проекция равна нулю, Т. е.

Проекции обладают свойствами:

– если то

Декартова система координат и вектора

Определение: Направленная прямая с выбранным началом отсчета и масштабом измерения называется числовой осью.

Определение: Две (три) взаимно перпендикулярные числовые оси называются декартовой системой координат на плоскости (в пространстве).

Рассмотрим декартову систему координат и спроектируем вектор на координатные оси (Рис. 7).

Рис. 7. Проекции вектора на оси декартовой системы координат.

Из рисунка видно, что проекции вектора на:

• – ось абсцисс (Ох) равна
• – ось ординат (Оу)

(в пространстве – ось аппликат (Oz) ).

Определение: Проекции называются координатами вектора Используя теорему Пифагора, найдем длину вектора

Направляющие косинусы вектора

Обозначим углы, которые образует вектор с положительными направлениями координатных осей пространственной декартовой системы отсчета через Тогда

Определение: Величины называются направляющими косинусами вектора

Вычислив квадрат модуля вектора найдем соотношение, которое связывает направляющие косинусы вектора

Способы задания вектора

1. Задаются координаты начальной и конечной точек вектора и. Тогда
2. Задаются аффинные координаты вектора
3. Задаются длина вектора и два любых угла, которые образует вектор с какими-либо координатными осями и знак одной из проекций:, но так как по условию , то . Следовательно,

Деление отрезка в заданном отношении

Пусть в пространственной декартовой системе отсчета даны две точки и Требуется найти на заданном отрезке такую точку чтобы где – заданное число (Рис. 8).

Рис. 8. Деление отрезка в заданном отношении.

Из рисунка видно, что В силу того, что Подставляя это равенство в систему и исключая вектор найдем, что .

Отсюда найдем вектор В проекциях на координатные оси это равенство равносильно системе равенств которая определяет деление отрезка в заданном отношении. Если точка делит отрезок пополам то система полученных равенств принимает вид известный из курса математики средней школы

Понятие базиса векторов

Определение: Любые два (три) неколлинеарных (некомпланарных) вектора образуют базис.

Теорема: Пусть даны два неколлинеарных вектора и . Любой другой компланарный им вектор может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов и : , где и – вещественные числа.

Доказательство: Пусть векторы , и приведены к общему началу (Рис. 9), т.е.

Рис. 9. Разложение вектора по заданному базису.

Из рисунка видно, что (правило параллелограмма, Лекция .№ 4). Вектор коллинеарен вектору а вектор вектору Следовательно, найдутся 2 вещественных числа такие, что будут выполняться равенства: Отсюда следует, что

Докажем единственность разложения вектора по базису Пусть существуют другие вещественные числа такие что и пусть хотя бы одна из пар содержит разные числа, например, Вычитая из первого разложения второе, получим

Это означает, что векторы коллинеарные, что противоречит условию теоремы о том, что они образуют базис. Таким образом, разложение вектора по базису единственно и имеет ВИД В силу произвольности вектора данная теорема справедлива для любого вектора компланарного с векторами

Замечание: С геометрической точки зрения числа определяют те числа, на которые надо умножить базисные вектора чтобы по правилу параллелограмма получить вектор В трехмерном пространстве произвольный вектор может быть разложен по некомпланарной тройке векторов причем единственным образом.

Определение: Ортом направления оси называется вектор единичной длины в выбранном масштабе измерения, сонаправленный с этой осью Рассмотрим пространственную декартову систему координат, по всем осям (абсцисс – Ох, ординат – Оу и аппликат – Oz) выберем одинаковый масштаб измерения. Вдоль направления каждой оси отложим отрезки единичной длины. Обозначим орты осей: – через – через – через (Рис. 10):

Рис. 10. Орты (единичные векторы) декартовой системы координат.

Из Рис. 10 видно, что орты осей имеют следующие проекции:

Так как векторы некомпланарные, то они образуют базис и любой пространственный вектор может быть единственным образом разложен по этому базису, причем в качестве чисел выступают проекции вектора:

Векторы в геометрии

Изучая материал этого параграфа, вы узнаете, что векторы используются не только в физике, но и в геометрии. Вы научитесь складывать и вычитать векторы, умножать вектор на число, находить угол между двумя векторами, применять свойства векторов для решения задач.

Понятие вектора в геометрии

Вы знаете много величин, которые определяются своими числовыми значениями: масса, площадь, длина, объем, время, температура и т. д. Такие величины называют скалярными величинами или скалярами.

Из курса физики вам знакомы величины, для задания которых недостаточно знать только их числовое значение. Например, если на пружину действует сила 5 то непонятно, будет ли пружина сжиматься или растягиваться (рис. 12.1). Надо еще знать, в каком направлении действует сила.

Величины, которые определяются не только числовым значением, но и направлением, называют векторными величинами или векторами.

Сила, перемещение, скорость, ускорение, вес — примеры векторных величин.

Есть векторы и в геометрии.

Рассмотрим отрезок Если мы договоримся точку считать началом отрезка, а точку — его концом, то такой отрезок будет характеризоваться не только длиной, но и направлением от точки к точке

Если указано, какая точка является началом отрезка, а какая точка — его концом, то такой отрезок называют направленным отрезком или вектором.

Вектор с началом в точке и концом в точке обозначают так: (читают: «вектор

На рисунках вектор изображают отрезком со стрелкой, указывающей его конец. На рисунке 12.2 изображены векторы Для обозначения векторов также используют строчные буквы латинского алфавита со стрелкой сверху. На рисунке 12.3 изображены векторы

Вектор, у которого начало и конец — одна и та же точка, называют нулевым вектором или нуль-вектором и обозначают Если начало и конец нулевого вектора — это точка то его можно обозначить и так: На рисунке нулевой вектор изображают точкой.

Модулем вектора называют длину отрезка Модуль вектора обозначают так: а модуль вектора — так:

Модуль нулевого вектора считают равным нулю:

Определение. Ненулевые векторы называют коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой.

Нулевой вектор считают коллинеарным любому вектору.

На рисунке 12.4 изображены коллинеарные векторы и

Тот факт, что векторы коллинеарны, обозначают так:

На рисунке 12.5 ненулевые коллинеарные векторы одинаково направлены. Такие векторы называют сонаправленными и пишут:

Если

Аналогичным свойством обладают и сонаправленные векторы, то есть если (рис. 12.6).

На рисунке 12.7 ненулевые коллинеарные векторы противоположно направлены. Этот факт обозначают так:

Определение. Ненулевые векторы называют равными, если их модули равны и они сонаправлены. Любые два нулевых вектора равны.

На рисунке 12.8 изображены равные векторы Это обозначают так:

Равенство ненулевых векторов означает, что и

Нетрудно доказать, что если Убедитесь в этом самостоятельно.

Часто, говоря о векторах, мы не конкретизируем, какая точка является началом вектора. Так, на рисунке 12.9 изображены вектор а и векторы, равные вектору Каждый из них также принято называть вектором

На рисунке 12.10, а изображены вектор и точка Если построен вектор равный вектору то говорят, что вектор отложен от точки (рис. 12.10, б).

Покажем, как от произвольной точки отложить вектор, равный данному вектору

Если вектор нулевой, то искомым вектором будет вектор

Теперь рассмотрим случай, когда Пусть точка лежит на прямой, содержащей вектор (рис. 12.11). На этой прямой существуют две точки такие, что На указанном рисунке вектор будет равным вектору Его и следует выбрать.

Если точка не принадлежит прямой, содержащей вектор то через точку проведем прямую, ей параллельную (рис. 12.12). Дальнейшее построение аналогично уже рассмотренному.

От заданной точки можно отложить только один вектор, равный данному.

Пример №5

Дан четырехугольник Известно, что и Определите вид четырехугольника

Решение:

Из условия следует, что Следовательно, четырехугольник — параллелограмм.

Равенство означает, что диагонали четырехугольника равны. А параллелограмм с равными диагоналями — прямоугольник.

Координаты вектора

Рассмотрим на координатной плоскости вектор Отложим от начала координат равный ему вектор (рис. 13.1). Координатами вектора называют координаты точки Запись означает, что вектор имеет координаты

Числа называют соответственно первой и второй координатами вектора

Из определения следует, что равные векторы имеют равные соответствующие координаты. Например, каждый из равных векторов (рис. 13.2) имеет координаты

Справедливо и обратное утверждение: если соответствующие координаты векторов равны, то равны и сами векторы.

Действительно, если отложить такие векторы от начала координат, то их концы совпадут.

Очевидно, что нулевой вектор имеет координаты

Теорема 13.1. Если точки соответственно являются началом и концом вектора то числа и равны соответственно первой и второй координатам вектора

Доказательство: Пусть вектор равный вектору имеет координаты Докажем, что

Если то утверждение теоремы очевидно.

Пусть Отложим от начала координат вектор равный вектору Тогда координаты точки равны

Поскольку то, воспользовавшись результатом задачи 12.32, можем сделать вывод, что середины отрезков совпадают. Координаты середин отрезков соответственно равны Тогда

Эти равенства выполняются и тогда, когда точка совпадает с точкой или точка совпадает с точкой

Отсюда

Из формулы расстояния между двумя точками следует, что если вектор имеет координаты то

Пример №6

Даны координаты трех вершин параллелограмма Найдите координаты вершины

Решение:

Поскольку четырехугольник — параллелограмм, то Следовательно, координаты этих векторов равны.

Пусть координаты точки равны Для нахождения координат векторов воспользуемся теоремой 13.1.

Имеем:

Отсюда:

Ответ:

Сложение и вычитание векторов

Если тело переместилось из точки в точку а затем из точки в точку то суммарное перемещение из точки в точку естественно представить в виде вектора считая этот вектор суммой векторов то есть (рис. 14.1).

Этот пример подсказывает, как ввести понятие суммы векторов, то есть как сложить два данных вектора и

Отложим от произвольной точки вектор равный вектору Далее от точки отложим вектор равный вектору Вектор называют суммой векторов (рис. 14.2) и записывают:

Описанный алгоритм сложения двух векторов называют правилом треугольника.

Это название связано с тем, что если векторы не коллинеарны, то точки являются вершинами треугольника (рис. 14.2).

По правилу треугольника можно складывать и коллинеарные векторы. На рисунке 14.3 вектор равен сумме коллинеарных векторов

Следовательно, для любых трех точек выполняется равенство которое выражает правило треугольника для сложения векторов.

Теорема 14.1. Если координаты векторов соответственно равны то координаты вектора равны

Доказательство: Пусть точки таковы, что Имеем: Докажем, что координаты вектора равны

Найдем координаты векторов

Имеем:

С учетом того, что получаем:

Замечание. Описывая правило треугольника для нахождения суммы векторов мы отложили вектор от произвольной точки. Если точку заменить точкой то вместо вектора равного сумме векторов получим некоторый вектор Из теоремы 14.1 следует, что координаты векторов равны следовательно, Это означает, что сумма векторов не зависит от того, от какой точки отложен вектор Свойства сложения векторов аналогичны свойствам сложения чисел.

Для любых векторов выполняются равенства:

• 
• — переместительное свойство;
• — сочетательное свойство.

Для доказательства этих свойств достаточно сравнить соответствующие координаты векторов, записанных в правой и левой частях равенств. Сделайте это самостоятельно.

Сумму трех и более векторов находят так: сначала складывают первый и второй векторы, затем складывают полученный вектор с третьим и т. д. Например,

Из переместительного и сочетательного свойств сложения векторов следует, что при сложении нескольких векторов можно менять местами слагаемые и расставлять скобки любым способом.

В физике часто приходится складывать векторы, отложенные от одной точки. Так, если к телу приложены силы (рис. 14.4), то равнодействующая этих сил равна сумме

Для нахождения суммы двух неколлинеарных векторов, отложенных от одной точки, удобно пользоваться правилом параллелограмма для сложения векторов.

Пусть надо найти сумму неколлинеарных векторов (рис. 14.5). Отложим вектор равный вектору Тогда Поскольку векторы равны, то четырехугольник — параллелограмм с диагональю

Приведенные соображения позволяют сформулировать правило параллелограмма для сложения неколлинеарных векторов

Отложим от произвольной точки вектор равный вектору и вектор равный вектору Построим параллелограмм (рис. 14.6). Тогда искомая сумма равна вектору

Определение. Разностью векторов называют такой вектор сумма которого с вектором равна вектору

Пишут:

Покажем, как построить вектор, равный разности данных векторов

От произвольной точки отложим векторы соответственно равные векторам (рис. 14.7). Тогда вектор равен разности Действительно, Следовательно, по определению разности двух векторов то есть

На рисунке 14.7 векторы неколлинеарны. Однако описанный алгоритм применим и для нахождения разности кол-линеарных векторов. На рисунке 14.8 вектор равен разности коллинеарных векторов

Следовательно, для любых трех точек выполняется равенство которое выражает правило нахождения разности двух векторов, отложенных от одной точки.

Теорема 14.2. Если координаты векторов соответственно равны то координаты вектора равны

Докажите эту теорему самостоятельно.

Из теоремы 14.2 следует, что для любых векторов существует единственный вектор такой, что

Определение. Два ненулевых вектора называют противоположными, если их модули равны и векторы противоположно направлены.

Если векторы противоположны, то говорят, что вектор противоположный вектору а вектор противоположный вектору

Вектором, противоположным нулевому вектору, считают нулевой вектор.

Вектор, противоположный вектору обозначают так:

Из определения следует, что противоположным вектору является вектор Тогда для любых точек выполняется равенство

Из правила треугольника следует, что

А из этого равенства следует, что если вектор имеет координаты то вектор имеет координаты

Теорема 14.3. Для любых векторов выполняется равенство

Для доказательства достаточно сравнить соответствующие координаты векторов, записанных в правой и левой частях равенства. Сделайте это самостоятельно.

Теорема 14.3 позволяет свести вычитание векторов к сложению: чтобы из вектора вычесть вектор можно к вектору прибавить вектор (рис. 14.9).

Пример №7

Диагонали параллелограмма пересекаются в точке (рис. 14.10). Выразите векторы и через векторы

Решение:

Поскольку точка — середина отрезков и

Имеем:

Умножение вектора на число

Пусть дан ненулевой вектор На рисунке 15.1 изображены вектор равный вектору и вектор равный вектору Очевидно, что

Вектор обозначают и считают, что он получен в результате умножения вектора на число 2. Аналогично считают, что вектор получен в результате умножения вектора на число -3, и записывают:

Этот пример подсказывает, как ввести понятие «умножение вектора на число».

Определение. Произведением ненулевого вектора и числа отличного от нуля, называют такой вектор что:

2) если если

Пишут:

Если то считают, что

На рисунке 15.2 изображены векторы

Из определения следует, что

Также из определения следует, что если то векторы коллинеарны.

А если векторы коллинеарны, то можно ли представить вектор в виде произведения Ответ дает следующая теорема.

Теорема 15.1. Если векторы коллинеарны и то существует такое число что

Доказательство: Если то при получаем, что Если то или

1) Пусть Рассмотрим вектор Поскольку следовательно, Кроме того, Таким образом, векторы сонаправлены и их модули равны. Отсюда

2) Пусть Рассмотрим вектор Для этого случая завершите доказательство самостоятельно.

Теорема 15.2. Если вектор имеет координаты то вектор имеет координаты

Доказательство: Если то утверждение теоремы очевидно.

Пусть Рассмотрим вектор . Покажем, что Имеем:

Отложим от начала координат векторы равные соответственно векторам Поскольку прямая проходит через начало координат, то ее уравнение имеет вид Этой прямой принадлежит точка Тогда Отсюда

Следовательно, точка также принадлежит прямой поэтому векторы коллинеарны, то есть

При числа имеют одинаковые знаки (или оба равны нулю). Таким же свойством обладают числа Следовательно, при точки лежат в одной координатной четверти (или на одном координатном луче), поэтому векторы сонаправлены (рис. 15.3), то есть При векторы будут противоположно направленными, то есть Следовательно, мы получили, что

Следствие 1. Векторы коллинеарны.

Следствие 2. Если векторы коллинеарны, причем то существует такое число

С помощью теоремы 15.2 можно доказать такие свойства умножения вектора на число.

Для любых чисел и любых векторов выполняются равенства:

• — сочетательное свойство;
• — первое распределительное свойство;
• — второе распределительное свойство.

Для доказательства этих свойств достаточно сравнить соответствующие координаты векторов, записанных в правых и левых частях равенств. Сделайте это самостоятельно.

Эти свойства позволяют преобразовывать выражения, содержащие сумму векторов, разность векторов и произведение векторов на число, аналогично тому, как мы преобразовываем алгебраические выражения. Например,

Пример №8

Докажите, что если то точки и лежат на одной прямой.

Решение:

Из условия следует, что векторы коллинеарны. Кроме того, эти векторы отложены от одной точки Следовательно, точки лежат на одной прямой.

Пример №9

Точка — середина отрезка — произвольная точка (рис. 15.4). Докажите, что

Решение:

Применяя правило треугольника, запишем:

Сложим эти два равенства:

Поскольку векторы противоположны, то Имеем:

Отсюда

Пример №10

Докажите, что середины оснований трапеции и точка пересечения продолжение ее боковых сторон лежат на одной прямой.

Решение:

Пусть точки — середины оснований и трапеции — точка пересечения прямых (рис. 15.5).

Применяя ключевую задачу 2, запишем:

Поскольку где —некоторые числа.

Поскольку Следовательно,

Имеем:

Из ключевой задачи 1 следует, что точки лежат на одной прямой.

Пример №11

Докажите, что если — точка пересечения медиан треугольника то

Решение:

Пусть отрезки — медианы треугольника (рис. 15.6). Имеем:

Отсюда

Из свойства медиан треугольника следует, что

Тогда Аналогично

Отсюда

Применение векторов

Применяя векторы к решению задач, часто используют следующую лемму.

Лемма. Пусть — такая точка отрезка что (рис. 15.9). Тогда для любой точки выполняется равенство

Доказательство: Имеем:

Поскольку то

Запишем:

Поскольку то имеем:

Заметим, что эта лемма является обобщением ключевой задачи 2 п. 15.

Пример №12

Пусть — точка пересечения медиан треугольника — произвольная точка (рис. 15.10). Докажите, что

Решение:

Пусть точка — середина отрезка Имеем: Тогда, используя лемму, можно записать:

Докажем векторное равенство, связывающее две замечательные точки треугольника.

Теорема. Если точка — ортоцентр треугольника а точка — центр его описанной окружности, то

Доказательство: Для прямоугольного треугольника равенство очевидно.

Пусть треугольник не является прямоугольным. Опустим из точки перпендикуляр на сторону треугольника (рис. 15.11). В курсе геометрии 8 класса было доказано, что

На луче отметим точку такую, что Тогда Поскольку то четырехугольник — параллелограмм.

По правилу параллелограмма

Поскольку точка является серединой отрезка то в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Следовательно, этот четырехугольник — параллелограмм. Отсюда

Имеем:

Обратимся к векторному равенству где — точка пересечения медиан треугольника Так как — произвольная точка, то равенство остается справедливым, если в качестве точки выбрать точку — центр описанной окружности треугольника

Имеем:

Учитывая равенство получаем:

Это равенство означает, что точки лежат на одной прямой, которую называют прямой Эйлера. Напомним, что это замечательное свойство было доказано в курсе геометрии 8 класса, но другим способом.

Скалярное произведение векторов

Пусть — два ненулевых и несонаправленных вектора (рис. 16.1). От произвольной точки отложим векторы соответственно равные векторам Величину угла будем называть углом между векторами и

Угол между векторами обозначают так: Например, на рисунке 16.1 а на рисунке 16.2

Если векторы сонаправлены, то считают, что Если хотя бы один из векторов нулевой, то так же считают, что

Следовательно, для любых векторов имеет место неравенство:

Векторы называют перпендикулярными, если угол между ними равен Пишут:

Вы умеете складывать и вычитать векторы, умножать вектор на число. Также из курса физики вы знаете, что если под действием постоянной силы тело переместилось из точки в точку (рис. 16.3), то совершенная механическая работа равна где

Изложенное выше подсказывает, что целесообразно ввести еще одно действие над векторами.

Определение. Скалярным произведением двух векторов называют произведение их модулей и косинуса угла между ними. Скалярное произведение векторов обозначают так:

Имеем:

Если хотя бы один из векторов нулевой, то очевидно, что

Пусть

Скалярное произведение называют скалярным квадратом вектора и обозначают

Мы получили, что то есть скалярный квадрат, вектора равен квадрату его модуля.

Теорема 16.1. Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.

Доказательство: Пусть Докажем, что

Имеем: Отсюда

Пусть теперь Докажем, что

Запишем: Поскольку Отсюда

Теорема 16.2. Скалярное произведение векторов можно вычислить по формуле

Доказательство: Сначала рассмотрим случай, когда векторы и неколлинеарны.

Отложим от начала координат векторы соответственно равные векторам (рис. 16.4). Тогда

Применим теорему косинусов к треугольнику

Отсюда

Поскольку

Кроме того, Отсюда

Имеем: Воспользовавшись формулой нахождения модуля вектора по его координатам, запишем:

Упрощая выражение, записанное в правой части последнего равенства, получаем:

Рассмотрим случай, когда векторы коллинеарны.

Если то очевидно, что

Если то существует такое число то есть

Если Имеем:

Случай, когда рассмотрите самостоятельно.

Следствие. Косинус угла между ненулевыми векторами можно вычислить по формуле

Доказательство: Из определения скалярного произведения векторов следует, что Воспользовавшись теоремой 16.2 и формулой нахождения модуля вектора по его координатам, получаем формулу

С помощью теоремы 16.2 легко доказать следующие свойства скалярного произведения векторов.

Для любых векторов и любого числа справедливы равенства:

— переместительное свойство;

— сочетательное свойство;

— распределительное свойство.

Для доказательства этих свойств достаточно выразить через координаты векторов скалярные произведения, записанные в правых и левых частях равенств, и сравнить их. Сделайте это самостоятельно.

Эти свойства вместе со свойствами сложения векторов и умножения вектора на число позволяют преобразовывать выражения, содержащие скалярное произведение векторов, аналогично тому, как мы преобразовываем алгебраические выражения.

Например,

Пример №13

С помощью векторов докажите, что диагонали ромба перпендикулярны.

Решение:

На рисунке 16.5 изображен ромб Пусть Очевидно, что По правилу параллелограмма имеем:

Отсюда

Следовательно,

Пример №14

Известно, что

Найдите

Решение:

Поскольку скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля, то Отсюда

Ответ:

Пример №15

В треугольнике известно, что Найдите медиану

Решение. Применяя ключевую задачу 2 п. 15, запишем: (рис. 16.6).

Отсюда:

Следовательно,

Ответ:

Справочный материал

Вектор

Если указано, какая точка является началом отрезка, а какая точка — его концом, то такой отрезок называют направленным отрезком или вектором.

Коллинеарные векторы

Ненулевые векторы называют коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Нулевой вектор считают коллинеарным любому вектору.

Равные векторы

Ненулевые векторы называют равными, если их модули равны и они сонаправлены. Любые два нулевых вектора равны. Равные векторы имеют равные соответствующие координаты. Если соответствующие координаты векторов равны, то равны и сами векторы.

Координаты вектора

Если точки соответственно являются началом и концом вектора то числа равны соответственно первой и второй координатам вектора

Модуль вектора

Если вектор имеет координаты

Правила сложения двух векторов

Правило треугольника

Отложим от произвольной точки вектор равный вектору а от точки — вектор равный вектору Вектор — сумма векторов Для любых трех точек выполняется равенство

Правило параллелограмма

Отложим от произвольной точки вектор равный вектору и вектор равный вектору Построим параллелограмм Тогда вектор — сумма векторов

Координаты суммы векторов

Если координаты векторов соответственно равны и то координаты вектора равны

Свойства сложения векторов

Для любых векторов выполняются равенства:

• 
• — переместительное свойство;
• — сочетательное свойство.

Разность векторов

Разностью векторов называют такой вектор сумма которого с вектором равна вектору

Для любых трех точек выполняется равенство

Координаты разности векторов

Если координаты векторов соответственно равны и то координаты вектора равны

Противоположные векторы

Два ненулевых вектора называют противоположными, если их модули равны и векторы противоположно направлены. Для любых точек выполняется равенство

Умножение вектора на число

Произведением ненулевого вектора и числа отличного от нуля, называют такой вектор что:

2) если

Если то считают, что

Если вектор имеет координаты то вектор имеет координаты

Свойства коллинеарных векторов

Если векторы коллинеарны, причем то существует такое число

Если векторы коллинеарны, причем то существует такое число

Свойства умножения вектора на число

Для любых чисел и любых векторов справедливы равенства:

• — сочетательное свойство;
• — первое распределительное свойство;
• — второе распределительное свойство.

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов называют произведение их модулей и косинуса угла между ними:

Скалярное произведение векторов можно вычислить по формуле

Свойства скалярного произведения

Для любых векторов и любого числа выполняются равенства:

• — переместительное свойство;
• — сочетательное свойство;
• — распределительное свойство.

Условие перпендикулярности двух векторов

Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.

Косинус угла между двумя векторами

Косинус угла между ненулевыми векторами можно вычислить по формуле

Векторы в аналитической геометрии

Понятие вектора широко применяется в экономике, математике, физике и других науках, при этом одинаково широко используется как алгебраическая концепция изложения векторного анализа, так и его геометрическая интерпретация, в рамках которой различаются величины двух видов: скалярные и векторные.

Скалярной величиной или скаляром называется величина, которая полностью определяется одним числом, выражающим отношение этой величины к соответствующей единице измерения, например, цена, количество проданного товара, стоимость и т.д.

Векторной величиной или вектором называется величина, для задания которой кроме численного значения необходимо указать и ее направление в пространстве, например, изменение темпов производства (рост или падение), колебание курса акций на бирже и т.д.

Векторная величина графически обычно изображается как связанный вектор или направленный отрезок, т.е. отрезок прямой, у которого указано, какая из ограничивающих точек является его началом, а какая концом. Но в отличие от направленного отрезка, для описания которого необходимо указать начальную точку, длину и направление, свободный вектор или просто вектор представляет собой множество всех эквивалентных между собой связанных векторов и вполне характеризуется:

• направлением;
• длиной (модулем).

Для задания такого множества достаточно указать какой-либо один из связанных векторов этого множества – представитель вектора, в качестве которого обычно выбирается связанный вектор с началом, совпадающим с началом координат.

Вектор обозначается одной маленькой буквой со стрелкой сверху, например, или двумя буквами со стрелкой , где точка А есть начало вектора (его точка приложения), а В – его конец.

Длина вектора называется его модулем, обозначаетсяили

и равна длине любого его представителя, т.е. расстоянию между начальной и конечной точками связного вектора . Вектор, длина которого равна нулю, называется нуль-вектором и обозначается .

Два вектора называются равными, если:

1. равны их длины;
2. они параллельны;
3. они направлены в одну сторону.

Иными словами, равные векторы получаются один из другого параллельным переносом в пространстве.

Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или на параллельных прямых, и компланарными, если они лежат на одной или на параллельных плоскостях.

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором или ортом. Орт обозначатся .

Линейные операции над векторами

Сложение вектора производится по правилу параллелограмма:

Поскольку вектор равен , то можно дать другое правило нахождения суммы (правило треугольника): суммой векторов является вектор, идущий из начала в конец если вектор приложен к концу вектора , т.е.:

(4-1)

Это правило распространяется на любое число слагаемых: если векторы образуют ломаную OAB…KL, то суммой этих векторов является вектор , замыкающий эту ломаную, т.е.:

(4-2)

В частности, если ломаная замыкается, т.е. O = L, то сумма ее звеньев равна нуль-вектору .

Сложение векторов подчиняется обычным законам сложения -сочетательному и переместительному, а также обладает обратной операцией – вычитанием.

Разностью двух векторов , отложенных от одной точки О является вектор, направленный из конца вычитаемого вектора в конец уменьшаемого вектора , т.е. (Рис. 4.2.). Это правило следует из формулы (1): т.к. .

Рис. 4.2.

Векторы можно не только складывать и вычитать, но и умножать на числа (скаляры).

Вектор равен , где – некоторое число, если:

1. коллинеарен ;
2. длина вектора отличается от длины вектора в раз, т.е.
3. 
4. при направлены в одну сторону, при – в разные.

Произведение вектора на скаляр обладает следующими свойствами:

Проекция вектора на ось

Пусть даны ось и вектор . Проектируя начало и конец вектора на ось получим на ней вектор . Проекциейвектора на ось называется число, равное длине вектора , взятой со знаком плюс или минус в зависимости от того, направлен ли вектор , в ту же сторону, что и ось (. или в противоположную.

Проекция вектора на ось (: обозначается ).

Свойства проекций:

1. – угол между вектором и осью ;
2. 
3. 

Пусть – произвольная конечная система векторов; произвольная система действительных чисел.

Вектор называется линейной комбинацией векторов этой системы.

Из свойства проекций следует, что:

Линейная зависимость векторов

Говорят, что векторы линейно независимы, если из равенства:

(4-3)

следует, что .

В противном случае векторы , называются линейно зависимыми. Если какой-нибудь вектор можно представить в виде как, то говорят, что вектор линейно выражается через векторы .

Теорема. Векторы линейно зависимы тогда и только тогда, когда, по крайней мере, один из них линейно выражается через остальные.

Следствие. Если векторы линейно независимы, то ни один из них нельзя выразить через остальные; в частности , ни один из них не может быть нулевым.

Система, состоящая из одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой. Любые два неколлинеарных вектора линейно независимы. В самом деле, предположим, неколлинсарные векторы линейно зависимы. Тогда, по предыдущей теореме, один из них, например ? линейно выражается через второй, т.е. , а это противоречит неколлинеарности . Следовательно, – линейно независимы.

Пусть неколлинеарные векторы, – произвольный вектор компланарный векторам . Отложим векторы и от одной точки О, т.е. построим (Рис.4.3).

Из параллелограмма видно, что:

Следовательно, любые три компланарных вектора линейно зависимы.

Любые три некомпланарных вектора линейно независимы.

Если предположить, что три некомпланарных вектора линейно зависимы, то один из них, например , линейно выражается через , т.е. а это говорит о том, что три вектора лежат в одной плоскости, что противоречит условию.

Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда определитель, составленный из их координат, равен нулю.

Пусть векторы в некотором базисе имеют координаты

соответственно. Тогда векторы линейно зависимы тогда и только тогда, когда линейно зависимы их координатные столбцы. Значит, векторы линейно зависимы тогда и только тогда, когда существуют числа , неравные одновременно нулю, что выполняется равенство:

Линейная зависимость означает, что существует ненулевой набор коэффициентов такой, что:

4)

Если один из векторов, например, ,, является нулевым, то система окажется линейно зависимой, т.к. равенство (4.4) будет выполнено при .

Теорема, Векторы линейно зависимы тогда и только тогда, когда один из векторов является линейной комбинацией остальных.

Базис. Координаты вектора в базисе

Определим понятие базиса на прямой, плоскости и в пространстве.

Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор на

этой прямой. Любой другой вектор , коллинеарный данной прямой,

может быть выражен через вектор в виде .

Базисом на плоскости называются любых два линейно независимых вектора этой плоскости, взятые в определенном порядке. Любой третий вектор , компланарный плоскости, на которой выбран базис , может быть представлен в виде .

Базисом в трехмерном пространстве называются любые три некомпланарных вектора взятые в определенном порядке. Такой базис обозначается . Пусть – произвольный вектор трехмерного пространства, в котором выбран базис . Тогда существуют числа такие, что:

(4.5)

Коэффициенты называются координатами вектора в базисе , а формула (4.5) есть разложение вектора с по данному базису.

Координаты вектора в заданном базисе определяются однозначно. Введение координат для векторов позволяет сводить различные соотношения между векторами к числовым соотношениям между их координатами. Координаты линейной комбинации векторов равны таким же линейным комбинациям соответствующих координат этих векторов.

Декартовы прямоугольные координаты в пространстве. Координаты точек. Координаты векторов. Деление отрезка в данном отношении

Декартова прямоугольная система координат в пространстве определяется заданием единицы масштаба для измерения длин и трех пересекающихся в точке взаимно перпендикулярных осей, первая из которых называется осью абсцисс (Ох), вторая – осью ординат (Оу), третья – осью аппликат (Oz); точка О – начало координат (Рис. 4.4).

Положение координат осей можно задать с помощью единичных векторов направленных по осям Ох, Оу, Oz. Векторы называются основными или базисными ортами и определяют базис в трехмерном пространстве.

Пусть в пространстве дана точка М. Проектируя ее на ось Ох, получим точку Мх. Первой координатой х или абсциссой точки М называется длина вектора , взятая со знаком плюс, если направлен в ту же сторону, что и вектор , и со знаком минус -если в противоположную. Аналогично проектируя точку М на оси Оу и Oz, определим ее ординату у и аппликату z. Тройка чисел (х, у, z) взаимно однозначно соответствует точке М .

Система координат называется правой, если вращение от оси Ох к оси Оу в ближайшую сторону видно с положительного направления оси Oz совершающимися против часовой стрелки, и левой, если вращение от оси Ох к оси Оу в ближайшую сторону видно совершающимися по часовой стрелке.

Вектор , направленный из начала координат в точку М(х, у, z) называется радиус-вектором точки М, т.е.:

(4.6)

Если даны координаты точек , то координаты вектора АВ получаются вычитанием из координат его конца В координат начала или .

Следовательно, по формуле (4.5):

При сложении (вычитании) векторов их координаты складываются (вычитаются), при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.

Длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов его координат.

(4.8)

Длина вектора, заданного координатами своих концов, т.е. расстояние между точками А и В вычисляется по формуле:

(4.9)

Если коллинеарны, то они отличаются друг от друга скалярным множителем. Следовательно, у коллинеарных векторов координаты пропорциональны:

(4.10)

Пусть точка М(х, у, z) делит отрезок между точками и в отношении , тогда радиус-вектор точки М выражается через радиусы-векторы его концов по формуле:

Отсюда получаются координатные формулы:

В частности, если точка М делит отрезок пополам, то

Направляющие косинусы

Пусть дан вектор . Единичный вектор того же направления, что и (орт вектора ) находится по формуле:

Пусть ось образует с осями координат углы. Направляющими косинусами оси называются косинусы этих углов: . Если направление задано единичным вектором , то направляющие косинусы служат его координатами, т.е.:

Направляющие косинусы связаны между собой соотношением:

Если направление задано произвольным вектором , то находят орт этого вектора и, сравнивая его с выражением для единичного вектора , получают:

Скалярное произведение

Скалярными произведением двух векторов называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними

Скалярное произведение обладает следующими свойствами:

4. Если – ненулевые векторы, то тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны. Если , то угол между а и Ь– острый, если , то угол – тупой;

5. Скалярный квадрат вектора а равен квадрату его длины, т.е.

Следовательно,

Геометрический смысл скалярного произведения: скалярное произведение вектора на единичный вектор равно проекции вектора на направление, определяемое , т.е. .

Из определения скалярного произведения вытекает следующая таблица умножения ортов :

Если векторы заданы своими координатами и

, то, перемножая эти векторы скалярно и используя таблицу умножения ортов, получим выражение скалярного произведения через координаты векторов:

Векторное произведение

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор длина и направление которого определяется условиями:

  3. направлен так, что кратчайший поворот от виден из его конца совершающимся против часовой стрелки.

Векторное произведение обладает следующими свойствами: 4. Векторное произведение равно нулю (нуль вектору) тогда и только тогда, когда коллинсарны. В частности для любого вектора ;

5. Если неколлинеарны, то модуль векторного произведения равен площади параллелограмма S построенного на этих векторах, как на сторонах.

Из первых трех свойств следует, что векторное умножение суммы векторов на сумму векторов подчиняется обычным правилам перемножения многочленов. Надо только следить за тем, чтобы порядок следования множителей не менялся.

Основные орты перемножаются следующим образом:

Если, то с учетом свойств векторного произведения векторов, можно вывести правило вычисления координат векторного произведения по координатам векторов-сомножителей :

Если принять во внимание полученные выше правила перемножения ортов, то:

(4.11)

Более компактную форму записи выражения для вычисления координат векторного произведения двух векторов можно построить, если ввести понятие определителя матрицы.

Рассмотрим частный случай, когда вектора принадлежат плоскости Оху, т.е. их можно представить как и

Если координаты векторов записать в виде таблицы следующим образом: , то можно сказать, что из них сформирована квадратная матрица второго порядка, т.е. размером 2×2, состоящая из двух строк и двух столбцов. Каждой квадратной матрице ставится в соответствие число, которое вычисляется из элементов матрицы по определенным правилам и называется определителем. Определитель матрицы второго порядка равен разности произведений элементов главной диагонали и побочной диагонали:

В таком случае:

Абсолютная величина определителя, таким образом, равна площади параллелограмма, построенного на векторах , как на сторонах.

Если сравнить это выражение с формулой векторного произведения (4.7), то: (4.12) Это выражение представляет собой формулу для вычисления определителя матрицы третьего порядка по первой строке. Таким образом:

Определитель матрицы третьего порядка вычисляется следующим образом:

и представляет собой алгебраическую сумму шести слагаемых.

Формулу для вычисления определителя матрицы третьего порядка легко запомнить, если воспользоваться правилом Саррюса, которое формулируется следующим образом:

• Каждое слагаемое является произведением трех элементов, расположенных в разных столбцах и разных строках матрицы;
• Знак “плюс” имеют произведения элементов, образующих треугольники со стороной, параллельной главной диагонали;
• Знак “минус” имеют произведения элементов, принадлежащих побочной диагонали, и два произведения элементов, образующих треугольники со стороной, параллельной побочной диагонали.

Смешанное произведение

Смешанным произведением тройки векторов называется число, равное скалярному произведению вектора на векторное произведение

Если рассматриваемые векторы некомпланарны, то векторное произведение есть вектор, длина которого численно равна площади построенного на них параллелограмма. Направлен этот вектор по нормали к плоскости параллелограмма. Если этот вектор скалярно умножить на вектор а, то получившееся число будет равно произведению площади основания параллелепипеда, построенного на тройке векторов , и его высоты, т.е. объему этого параллелепипеда.

Таким образом, смешанное произведение векторов

(которое обозначается есть число, абсолютная величина которого выражает объем параллелепипеда, построенного па векторах .

Знак произведение положителен, если векторы, образуют правую тройку векторов, т.е. вектор направлен так, что кратчайший поворот от виден из его конца совершающимся против часовой стрелки.

Из геометрического смысла смешанного произведения непосредственно следует необходимое и достаточное условие некомпланарности векторов : для того, чтобы векторы были некомпланарными необходимо и достаточно, чтобы их сметанное произведение было отлично от нуля.

Если и то:

или в свернутой форме:

Справедливы следующие свойства сметанного произведения векторов:

1. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей
2. При перестановке двух соседних множителей смешанное произведение меняет свой знак на противоположный

Векторы в высшей математике

Определение вектора:

На начальной стадии, когда приходится прибегать к математическим методам исследования, необходимо разработать удобное средство организации исходных данных. Таким простейшим средством является вектор. Например, еженедельное изменение цены за месяц на некоторый товар удобно записать в виде массива: (5500; 5700; 6000; 6200). Записанный таким образом массив чисел называют вектором.

Алгебраические операции над векторами и их свойства

Введём теперь математическое определение векторов и алгебраические операции над ними.

Упорядоченную совокупность действительных чисел назовём вектором и обозначим , т.е . Действительные числа будем называть координатами вектора. Равные векторы имеют равные координаты. Вектор, все координаты которого равны нулю, называется нулевым вектором и обозначается . Вектор, у которого одна из координат равна 1, а все остальные равны нулю, называется единичным вектором. Единичными векторами будут векторы:

С геометрической точки зрения, вектор – это направленный отрезок. Поэтому вектор, длина которого равна единице, также называется единичным вектором.

Определим далее линейные операции над векторами: сложение и умножение вектора на число.

Сложение векторов

Пусть даны два вектора

. Суммой двух векторов и

назовем вектор , координаты которого равны суммам соответствующих координат векторов :

Пусть дан вектор . Обозначим через – вектор, порождённый вектором , такой, что .

Сложение векторов обладает следующими свойствами:

1. Для любых двух векторов существует единственный вектор , называемый суммой векторов .
2. Для любых .
3. Для любых .
4. Существует единственный вектор , называемый нулевым вектором, такой, что для всех .
5. Для любого вектора существует единственный вектор , такой, что . Вектор называется вектором, противоположным вектору

Из указанных свойств векторов следует, что можно рассматривать сумму любого конечного числа векторов .

Умножение вектора на число

Пусть и

. Произведение вектора на число – это вектор, обозначаемый, полученный умножением координат вектора на число :

.

Положим, для любого вектора для любого числа .

Умножение вектора на число обладает следующими свойствами:

1. Для любого вектора и любого числа существует единственный вектор .
2. для любых чисел и любого.
3. для любых чисел и любого .
4. для любых чисел и любого .
5. для любого .

Выражение где – вскто-ры, а – любые действительные числа, называется ли-нейиой комбинацией векторов с коэффициентами . Линейная комбинация векторов-это вектор. Вектор представленный в виде будем называть транспонированным по отношению к вектору и обозначать .

Замечание. Зная координаты вектора , можно вычислить его длину по формуле

.

Пример №16

Найти линейную комбинацию векторов .

Решение:

Воспользуемся определением линейной комбинации векторов и операций над векторами. Тогда получим вектор вида:

Скалярное произведение векторов и его свойства

Предположим, что объем продаж трёх видов товаров фирмы в течение месяца составил 34, 57, 21 единиц, и что цены этих же товаров были равны соответственно 2, 3, 7 дсн.ед. Следовательно, общий доход от продажи всех трёх товаров за месяц равен: ден.ед. Представим данные о продажах с помощью вектора: , а соответствующие цены с помощью вектора . Тогда общий доход от продажи трёх товаров, равный 386 ден.ед., представляет собой сумму произведений элементов вектора на соответствующие элементы вектора :.

Приведенный пример помогает уяснить общую методику введения скалярного произведения векторов.

Определепие2.2.1. Скалярным произведением векторов называется число, обозначаемое , равное сумме произведений соответствующих коорди-. пат векторов :

Это определение можно применять только в тех случаях, когда векторы содержат одинаковое количество координат; в противном случае скалярное произведение не может быть определено.

Укажем некоторые свойства скалярного произведения:

1. ;
2. ;
3. ;
4. .

Два ненулевых вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю, т.е.

Рассмотрим систему n ненулевых векторов . Если

скалярное произведение каждого вектора на себя равно единице, а скалярное произведение различных векторов равно нулю, т.е.

то система векторов называется ортоиормированной. Условия (1.3) можно записать в координатной форме:

где .

Пример №17

Найти вектор коллинеарный1 вектору и удовлетворяющий условию .

Решение:

Так как вектор коллинеарный вектору , то его координаты пропорциональны координатам вектора , т.е.

. Воспользовавшись определением скалярного произведения, составим равенство: .

Откуда следует, что . Тогда вектор коллинеарный вектору я будет иметь координаты: (6,-2,8).

Пример №18

Пусть рассматривается проект вложения капитала на четыре года. Этот проект должен обеспечивать следующую денежную выручку: в первый год- 1000 дсн.ед.; во второй – 3000 дсн.ед.; в третий – 10000 ден.ед.; в четвёртый – 15000 дсн.ед. Проект будет принят в том случае, если совокупный доход от капиталовложений (в пересчёте на сегодняшний доход) будет превышать требующиеся затраты, составляющие 17000 дсн.ед. Дисконтирование ожидаемого дохода проводится по годовой ставке равной 10%. Будет ли принят рассматриваемый проект?

Решение:

При ставке дисконтирования 10% годовых, доход, который будет получен на протяжении первого года, должен быть умножен на , на протяжении второго года- на  , на протяжении третьего года- на 0,7513 = и на протяжении четвёртого года- на 0,6838 =.

1. Вектор называется коллинеарным вектору , если при совмещении их начальных точек они располагаются на одной прямой.

Запишем денежную выручку и дисконтирующие множители в векторной форме:

и

.

Скалярное произведение векторов и — —определяет дисконтированный совокупный доход за четыре года:

Так как 21158,3>17000, то рассматриваемый проект вложения капитала будет принят.

Операции над векторами в высшей математике

Внимание! Вектор определяется числом и направлением.

Отрезком АВ называется множество точек, заключенных между точками

А и В, включая их. Точки А и В называются концами отрезка.

Отрезок АВ называется направленным, если его концы упорядочены.

Направленный отрезок с началом в точке А и концом в точке В будем обозначать АВ. Направленный отрезок ВА с началом в точке В и концом в точке А называется противоположно направленным отрезку АВ.

Модулем направленного отрезка АВ называется его длина.

Вектором называется класс направленных отрезков, расположенных на параллельных или совпадающих прямых и имеющих одинаковые направление и длину.

Векторы геометрически изображают направленными отрезками и обозначаются и буквами жирного шрифта

Вывод. Вектор однозначно определяется своим одним направленным отрезком. Пусть заданы два вектора и (рис.1). Суммой векторов а и b

называется вектор, проведенный из начала а к концу b:

Способ сложения векторов, показанный на рис.1, называется правилом треугольника.

Замечание. На векторах а и b можно построить параллелограмм, в котором одна диагональ будет их суммой: , а вторая – разностью: Способ сложения векторов, показанный на рис.2, называется правилом параллелограмма.

Множество всех нулевых отрезков называется нулевым вектором и обозначается 0. Направление нулевого вектора произвольно.

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным.

Для любого вектора а верны равенства:

Произведением вектора а на число отличное от нуля, называется вектор, обозначаемый и удовлетворяющий следующим условиям:

1. длина вектора равна длине вектора а, умноженного на модуль числа
2. векторы а и одинаково направлены, если , и противоположно направлены, если (рис.З).

Произведение вектора на число «нуль» есть нулевой вектор.

Углом между двумя векторами а и b называется наименьший угол на который нужно повернуть один вектор, чтобы он совпал по направлению с другим вектором (рис.4).

Проекцией вектора а на вектор b называется длина вектора а, умноженная на косинус угла между векторами а и b (рис.4):

Внимание! Для ненулевых векторов возможны три варианта произведений: скалярное произведение (в ответе получается число), векторное произведение (в ответе получается вектор) и смешанное произведение (в ответе получается число).

Скалярным произведением двух ненулевых векторов а и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Обозначение: Таким образом,

Например, для скалярного квадрата ii, где i -единичный вектор, имеем

Векторным произведением двух ненулевых векторов а и b называется такой вектор что

1. 1) его модуль равен площади параллелограмма, построенного на данных векторах, т.е.
2. 2) он перпендикулярен плоскости построенного на данных векторах параллелограмма, , т.е.
3. 3) векторы образуют правую тройку векторов, т.е. при наблюдении из конца вектора кратчайший поворот от а к b виден против часовой стрелки.

Пример №19

Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах а и b. если а – единичный вектор, длина вектора b равна трем, а их скалярное произведение – двум.

Решение:

Площадь параллелограмма, построенного на векторах а и b, равна .

По условию задачи имеем

Найдем синус угла между векторами а и b. Так как то

Следовательно,

Подставим найденное значение в формулу и получим: Задача решена.

Смешанным произведением трех ненулевых векторов а, b и с называется число, равное скалярному произведению векторного произведения первых двух векторов а и b на третий вектор . Обозначение:

Замечание. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей. При перестановке двух соседних множителей смешанное произведение меняет свой знак на противоположный, т.е.

Геометрический смысл смешанного произведения. Модуль смешанного произведения трех векторов равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.

Действительно,

где S – площадь основания параллелепипеда, H – высота параллелепипеда, V -объем параллелепипеда.

Два вектора называются ортогональными, если угол между ними равен

Необходимое и достаточное условие ортогональности:

Два ненулевых вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю Нулевой вектор ортогонален любому вектору.

Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой. Пулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Необходимое и достаточное условие коллинеарности:

1. Два ненулевых вектора а и b коллинеарны тогда и только тогда, когда они пропорциональны, т.е. – произвольное число, отличное от нуля.
2. Два ненулевых вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору (площадь параллелограмма равна нулю).

Три вектора называются компланарными, если они лежат на одной плоскости. Любую тройку векторов, содержащую нулевой вектор, считают компланарной.

Необходимое и достаточное условие компланарности. Три ненулевых вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю (объем параллелепипеда равен нулю).

Действия над векторами, заданными прямоугольными координатами

Пусть Ох, Оу, Oz – три взаимно перпендикулярные оси в трехмерном пространстве (оси координат), исходящие из общей точки О (начала координат) и образующие правую тройку (рис. 5).

Точка М с координатами х, у, z обозначается M(x,y,z), причем первая координата называется абсциссой, вторая – ординатой, третья – аппликатой точки М.

Для каждой точки М пространства существует ее радиус-вектор r=ОМ, начало которого есть начало координат О и конец которого есть данная точка М. Координаты x,y,z точки М являются проекциями радиус-вектора r на оси Ох, Оу, Oz соответственно.

Пусть в прямоугольной системе координат заданы точки и Тогда координаты вектора АВ вычисляются по формуле:

(«от координат конца отнимают координаты начала»).

Например, координаты радиус-вектора

Если ввести единичные векторы i,j, k, направленные по осям Ох, Оу, Oz соответственно (рис.5), то координаты вектора r можно записать в эквивалентной форме:

Векторы i, j,k называются базисными.

Пусть даны два вектора

Сложив векторы почленно, получим:

или

Умножив вектор а на число получим:

или

Пример №20

Найти вектор х из уравнения

Решение:

Выразим х из векторного уравнения:

Подставим векторы а, b и с в полученное выражение:

Задача решена.

Скалярное произведение двух векторов в координатной форме вычисляется по формуле:

Для cкалярного квадрата аа получаем:

но, с другой стороны, Следовательно,

Мы получили формулу вычисления длины вектора, заданного в координатной форме.

Векторное произведение двух векторов в координатной форме вычисляется по формуле

которую можно выразить через символический определитель третьего порядка

Смешанное произведение трех векторов в координатной форме определяется формулой

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример №21

Вершины треугольной пирамиды находятся в точках А( 1,1 ,-1), В(2,1,-3), С(-1,1,1), D(0,7,3). Вычислить высоту пирамиды, опущенную из вершины D на основание АВС.

Решение:

Высоту треугольной пирамиды найдем из формулы:

где – объем пирамиды ABCD, – площадь основания АВС, H – высота пирамиды, опущенная из вершины D.

Найдем площадь треугольника АВС. Она равна половине площади параллелограмма, построенного, например, на векторах АВ и АС. Следовательно, по определению векторного произведения

По координатам точек А, В и С найдем координаты векторов АВ и АС:

Векторное произведение АВ и АС в координатной форме равно

Найдем объем треугольной пирамиды. Он равен одной шестой объема параллелепипеда, построенного, например, на векторах АВ, АС и AD. Тогда по геометрическому смыслу смешанного произведения Найдем координаты вектора AD:

Смешанное произведение АВ, АС и AD в координатной форме равно разложим определитель по второму столбцу

Задача решена.

Замечание.

• 1. Площадь треугольника АВС можно находить из площади параллелограмма, построенного на любых двух векторах, исходящих из одной вершины, например: АВ и АС; ВА и ВС; СА и СВ.
• 2. Объем треугольной пирамиды ABCD можно находить из объема параллелепипеда, построенного на любых трех векторах, исходящих из одной точки, например: АВ, АС и AD; ВА, ВС и BD; СА, СВ и CD; DA, DB и DC.

Линейное пространство

Идея линейности является одним из важнейших принципов математики. На этой основе построены различные разделы математики. Более того, почти каждый экономический процесс в малом является линейным, что позволяет делать о нём достаточно точные выводы, изучая линейный, гораздо более простой для исследования объект.

В математике часто приходится встречаться с объектами, для которых определены операции сложения и умножения на числа. Объектами такого рода являются векторы, функции, матрицы и т.д. Для того, чтобы изучать все такие объекты с единой точки зрения и вводится понятие линейного пространства.

Определение 2.3.1. Множество L элементов х, у, z,… называется линейным пространством, если:

При этом введенные операции должны удовлетворять следующим требованиям (аксиомам):

1. х+у = у+х (коммутативности);
2. (х+у)+ z = x+(y+z) (ассоциативности);
3. существует элемент 0, такой, что х+0=х для любого х. Элемент 0 называется нулевым элементом;
4. для каждого х существует противоположный элемент, обозначаемый -х, такой, что х+(-х)=0;
5. ;
6. ;
7. :;
8. ,

где и – вещественные числа.

В определении линейного пространства не говорится, как определяются операции сложения и умножения на числа, и не говорится о природе объектов. Требуется только, чтобы были выполнены сформулированные выше аксиомы. Поэтому всякий раз, когда мы встречаемся с операциями, удовлетворяющими этим условиям, будем считать их операциями сложения и умножения.

Рассмотрим систему векторов на плоскости и в трёхмерном пространстве, для которых определены операции сложения векторов и умножения вектора на число как в п.2.1. Так как для этих операций выполняются свойства (1) – (8) определения 2.3.1, то они образуют линейное пространство.

Линейное пространство образует и совокупность многочленов степени не выше п с вещественными коэффициентами, для которых определены обычные операции сложения многочленов и умножения многочлена на число.

Линейное пространство, в котором введено скалярное произведение, называется евклидовым.

Пространство, где векторами являются наборы из n действительных чисел с покомпонентными операциями сложения и умножения их на число, и скалярное произведение определяется по формуле (1.2.1), является евклидовым пространством. Это пространство обозначается .

Линейно зависимые и линейно независимые векторы. Свойства линейной зависимости векторов.

Определение линейной комбинации векторов, тесно связано с понятием подпространства векторного пространства.

Определение 2.4.1. Некоторое непустое подмножество векторного пространства М называется подпространством, если оно само является векторным пространством.

А доказательство того, что подмножество является векторным пространством, проводится на основании доказательства того, что всякая линейная комбинация любых двух векторов этого подмножества, также является вектором этого подмножества.

Определение 2.4.2. Векторы из называются линейно независимыми, если не существует чисел хотя бы одно из которых отлично от нуля, таких, что

Если равенство (2.4.1) возможно и при ненулевом значении хотя бы одного числа , то векторы называются линейно зависимыми.

Пример №22

Рассмотрим евклидово пространство и векторы

называемые координатными векторами. Покажем, что в пространстве векторылинейно независимы.

Решение:

Пусть произвольные числа. Составим линейную комбинацию векторов :

Подставив координаты векторов , получим:

В результате получили вектор, который будет нулевым если . Следовательно, линейная комбинация , может равняться нулю если . А это и есть условие линейной независимости векторов .

Вектор называется линейной комбинацией векторов из , если существуют числа, такие, что выполняется равенство: .

Относительно линейной зависимости векторов справедливы следующие утверждения:

1. Если совокупность векторов из содержит нулевой вектор, то она линейно зависима.
2. Если в системе векторов имеется подсистема линейно зависимых векторов, то и вся совокупность векторов линейно зависима.
3. Система векторов из линейно зависима тогда и только тогда, если один из векторов этой системы является линейной комбинацией остальных.
4. Любые векторов из , каждый из которых является линейной комбинацией m векторов линейно зависимы. .

Пример №23

Выясним линейную зависимость векторов и . Решение. Составим линейную комбинацию этих векторов

Полученный вектор является нулевым, если координаты равны нулю:

Полученная система имеет только одно решение . Следовательно, векторное равенство выполняется при нулевых значениях коэффициентов . Это значит, что векторы линейно независимы.

Заметим, что два геометрических вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны (их направления параллельны). Три геометрических вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны (их направления параллельны некоторой плоскости).

Элементы векторной алгебры

Некоторые физические величины (например, температура, масса, объем, работа, потенциал) могут быть охарактеризованы одним числом, которое выражает отношение этой величины к соответствующей единице измерения; такие величины называются скалярными. Ещё примеры скалярных величин: длина, площадь, время, угол, плотность, сопротивление.

Другие величины (например, сила, скорость, ускорение, напряжённость электрического или магнитного поля) характеризуются числом и направлением. Эти величины называются векторными.

Необходимо подчеркнуть, что вектор не является числом. Если мы рассматриваем вектор, лежащий в плоскости, то для его описания необходимо знать два фактора – модуль и его направление (например, угол, образуемый им с одним из осей координат). Если рассматривается вектор в трехмерном пространстве, то для описания вектора требуется три фактора: один – величину для его модуля и два для указания его положения в системе координат.

Скаляры и векторы

Величина, полностью характеризуемая своим числовым значением в выбранной системе единиц, называется скалярной или скаляром. Таковы, например, масса тела, объем его, температура среды и т. п. Скаляр определяется числом положительным или отрицательным или равным нулю.

Величина, кроме числового значения характеризуемая еще направлением, называется векторной или вектором. К числу их относятся сила, перемещение, скорость и т.п. Вектор определяется числом и направлением.

Векторы обычно обозначают буквами жирного шрифта, например а. Геометрически вектор изображается направленным отрезком пространства (рис. 168); при этом используется обозначение а = , где точка А — начало В отрезка, а точка В — конец его. В дальнейшем, для наглядности изложения, векторы мы будем рассматривать как направленные отрезки.

Под модулем (длиной) вектора а

понимается числовое значение его, без учета направления. (Естественно, обозначает модуль вектора ) Вектор 0, модуль которого равен нулю, называется нулевым или нуль-вектором (направление нулевого вектора произвольно).

Два вектора считаются равными, если они расположены на параллельных или совпадающих прямых (параллельность в широком смысле) и имеют одинаковую длину и одинаково направлены. Мы условимся не различать равные векторы и, таким образом, приходим к понятию свободного вектора. Иными словами, свободный вектор допускает перенос его в любую точку пространства при условии сохранения длины и направления.

В частности, для свободных векторов можно обеспечить общую начальную точку их. В дальнейшем мы будем излагать теорию свободных векторов в трехмерном пространстве.

Сумма векторов

Определение: Суммой нескольких векторов, например а, b, с, d (рис. 169), называется вектор

по величине и направлению равный замыкающей ОМ пространственной ломаной линии, построенной на данных векторах.

Для случая двух векторов а и b (рис. 170) их суммой s является диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах, исходящая из общей точки приложения их (правило параллелограмма).

Так как в треугольнике длина одной стороны не превышает суммы длин двух других сторон, то из рис. 170 имеем

т. е. модуль суммы двух векторов не превышает суммы модулей этих векторов.

Для случая трех векторов а, b, с (рис. 171) их суммой s является диагональ параллелепипеда, построенного на этих векторах (правило параллелепипеда).

Легко проверить, что для векторного сложения справедливы следующие свойства:

1)переместительное свойство

а + b = b + а,

т. е. векторная сумма не зависит от порядка слагаемых;

2)сочетательное свойство

т.е. сумма трех (и большего числа) векторов не зависит от порядка расстановки скобок.

Для каждого вектора (рис. 172) существует противоположный вектор , имеющий ту же длину, но противоположное направление. По правилу параллелограмма, очевидно, имеем

где 0 — нуль-вектор.

Легко проверить, что а + 0 = а.

Разность векторов

Под разностью векторов (рис. 173) понимается вектор

такой, что

Отметим, что в параллелограмме, построенном на данных векторах (см. рис. 170), их разностью является соответственно направленная вторая диагональ.

Легко проверить, что справедливо следующее правило вычитания:

Умножение вектора на скаляр

Определение: Произведением вектора а на скаляр k (рис. 174) называется вектор

имеющий длину b = а, направление которого: 1) совпадает

с направлением вектора а, если k > 0; 2) противоположно ему, если k < 0; 3) произвольно, если k = 0.

Нетрудно убедиться, что эта векторная операция обладает следующими свойствами:

Пример:

Если ненулевой вектор а разделить на его длину a = |a| (т.е. умножить на скаляр 1 /а), то мы получим единичный вектор е, так называемый , того же направления: е = а/а. Отсюда имеем стандартную формулу вектора

Формула (1) формально справедлива также и для нулевого вектора а = 0, где а = 0 и е — произвольный орт.

Коллинеарные векторы

Определение: Два вектора (рис. 175) называются коллинеарными, если они параллельны в широком смысле (т. е. расположены или на параллельных прямых, или же на одной и той же прямой).

Так как направление нулевого вектора произвольно, то можно считать, что нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Теорема: Два ненулевых вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда они пропорциональны, т.е.

(k — скаляр).

Доказательство: 1) Пусть векторы коллинеарны и е, е’ — их орты. Имеем

Очевидно,

где знак плюс соответствует векторам одинакового направления, а знак минус— векторам противоположного направления.

Из формул (2) и (3) получаем

Отсюда вытекает формула (1), где

2) Если выполнено равенство (1), то коллинеарность векторов непосредственно следует из смысла умножения векторов на скаляр.

Компланарные векторы

Определение: Три вектора a, b и с называются компланарны ми, если они параллельны некоторой плоскости в широком смысле (т. е. или параллельны плоскости, или лежат в ней).

Можно сказать также, что векторы а, b и с компланарны тогда и только тогда, когда после приведения их к общему началу они лежат в одной плоскости.

По смыслу определения тройка векторов, среди которых имеется хотя бы один нулевой, компланарна.

Теорема: Три ненулевых вектора а, b и с компланарны тогда и только тогда, когда один из них является линейной комбинацией других, т.е., например,

(k, I — скаляры).

Доказательство: 1) Пусть векторы а, b и с компланарны, расположены в плоскости Р (рис. 176) и имеют общую точку приложения О.

Предположим сначала, что эти векторы не все попарно коллинеарны, например векторы а и b неколлинеарны. Тогда, производя разложение вектора с в сумму векторов с_а и с_ь, коллинеарных соответственно векторам а и b, в силу будем иметь

где k и I — соответствующие скаляры.

Если векторы а, b, с попарно коллинеарны, то можно написать

таким образом, снова выполнено условие (1).

2) Обратно, если для векторов (рис. 176) выполнено условие (1), то на основании смысла соответствующих векторных операций вектор с расположен в плоскости, содержащей векторы а и b, т. е. эти векторы компланарны.

Пример:

Векторы а, а + b, а – b компланарны, так как

Проекция вектора на ось

Осью называется направленная прямая. Направление прямой обычно обозначается стрелкой. Заданное направление оси будем считать положительным, противоположное — отрицательным.

Определение: Проекцией точки А на ось (рис.177) называется основание А’ перпендикуляра АА’, опущенного из точки А на эту ось.

Здесь под перпендикуляром АА’ понимается прямая, пересекающая ось и составляющая с ней прямой угол. Таким образом, проекция А есть пересечение плоскости, проходящей через точку А и перпендикулярной оси с этой осью.

Определение: Под ком-по не н той (составляющей) вектора относительно оси (рис. 177) понимается вектор а’ = АВ’, начало которого А есть проекция на ось начала А вектора а, а конец которого В’ есть проекция на ось конца В этого вектора.

Определение: Под проекцией вектора а на ось понимается скаляр , равный длине {модулю) его компоненты а’ относительно оси , взятой со знаком плюс.

Напомним, что все геометрические объекты мы здесь рассматриваем в трехмерном пространстве.

Если направление компоненты совпадает с направлением оси , и со знаком минус, если направление компоненты противоположно направлению оси

Если а = О, то полагают = О.

Заметим, что если е — единичный вектор оси , то для компоненты а’ справедливо равенство

Теорема: Проекция вектора а на ось равна произведению длины а вектора на косинус угла между направлением вектора и направлением оси, т.е.

Доказательство: Так как вектор свободный (рис. 178), то можно предположить, что начало его О лежит на оси .

1) Если угол ф между вектором a и осью острый , то направление компоненты вектора а совпадает с направлением оси (рис. 178, а). В этом случае имеем

2) Если угол ф между вектором а и осью тупой (рис. 178, б), то направление компоненты вектора а противоположно направлению оси Тогда получаем

3) Если же ф = , то формула (2), очевидно, выполняется, так как при этом .

Таким образом, формула (2) доказана.

Следствие 1. Проекция вектора на ось: 1) положительна, если вектор образует с осью острый угол; 2) отрицательна, если этот угол — тупой, и 3) равна нулю, если этот угол — прямой.

Следствие 2. Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой.

Теорема: Проекция суммы нескольких векторов на данную ось равна сумме их проекций на эту ось.

Доказательство: Пусть, например, s = a + b + с,

где (рис. 179) и, следовательно, .

Обозначая проекции точек на ось через и учитывая направления компонент (рис. 179), имеем

что и требовалось доказать.

Следствие. Проекция замкнутой векторной линии на любую ось равна нулю.

Теорема: При умножении вектора на скаляр его проекция на данную ось умножается на этот скаляр, т.е.

Формула (4) следует из теоремы 1 и смысла умножения вектора на скаляр.

Следствие. Проекция линейной комбинации векторов равна такой же линейной комбинации проекций этих векторов, т.е.

Прямоугольные декартовы координаты в пространстве

Пусть (рис. 180) Ox, Оу, Oz — три взаимно перпендикулярные оси в трехмерном пространстве (оси координат), исходящие из общей точки О (начало координат) и образующие правую тройку (правая система координат), т. е. ориентированные по правилу правого буравчика. Иными словами, для наблюдателя, направленного по оси Oz, кратчайший поворот оси Ох к оси Оу происходит против хода часовой стрелки.

Три взаимно перпендикулярные плоскости Oyz, Ozx и Оху, проходящие через соответствующие оси, называются координатными плоскостями; они делят все пространство на восемь октантов.

Для каждой точки М пространства (рис. 180) существует ее радиус-вектор г = ОМ, начало которого есть начало координат О и конец которого есть данная точка М.

Определение: Под декартовыми прямоугольными координатами х, у, z точки М понимаются проекции ее радиуса вектора г на соответствующие оси координат, т. е.

В дальнейшем для краткости декартовы прямоугольные координаты мы будем называть просто прямоугольными координатами.

Точка М с координатами х, у, z обозначается через М (х, у, z), причем первая координата называется абсциссой, вторая — ординатой, а третья — аппликатой точки М.

Для нахождения этих координат через точку М проведем три плоскости МА, MB, МС, перпендикулярные соответственно осям Ox, Оу, Oz (рис. 180). Тогда на этих осях получатся направленные отрезки

численно равные координатам точки М.

Радиус-вектор г является диагональю параллелепипеда П с измерениями , образованного плоскостями МА, МБ, МС и координатными плоскостями. Поэтому

Если обозначить через углы, образованные радиусом-вектором г с координатными осями, то будем иметь

Косинусы cos а, cos р, cos у называются направляющими косинусами радиуса-вектора г. Из (4), учитывая (3), получаем

т. е. сумма квадратов направляющих косинусов радиуса-век-тора точки пространства равна 1.

Из формулы (4) следует, что координата точки М положительна, если радиус-вектор этой точки образует острый угол с соответствующей координатной осью, и отрицательна, если этот угол тупой. В частности, в I октанте пространства, ребра которого составляют положительные полуоси координат, все координаты точек положительны- В остальных октантах пространства отрицательными координатами точек будут те, которые соответствуют отрицательно направленным ребрам октанта.

Измерения параллелепипеда П равны расстояниям точки М соответственно от координатных плоскостей Oyz, Ozx, Оху. Таким образом, декартовы прямоугольные координаты точки М пространства представляют собой расстояния от этой точки до координатных плоскостей, взятые с надлежащими знаками,

В частности, если точка лежит на плоскости Oyz, то х = 0; если на плоскости Ozx, то у = 0; если же на плоскости Оху, то z = 0, и обратно.

Длина и направление вектора

Пусть в пространстве Oxyz задан вектор а. Проекции этого вектора на оси координат

называются координатами вектора а; при этом вектор мы будем записывать так:

Так как вектор а свободный, то его можно рассматривать как радиус-вектор точки . Отсюда получаем длину вектора

т.е. модуль вектора равен корню квадратному из суммы квадратов его координат.

Направляющие косинусы вектора а определяются из уравнений

причем

т.е. сумма квадратов направляющих косинусов вектора равна единице. Направляющие косинусы ненулевого вектора однозначно определяют его направление. Следовательно, вектор полностью характеризуется своими координатами.

Пример №24

Найти длину и направление вектора а = {1, 2, -2}.

Решение:

Имеем

Отсюда

Таким образом, вектор а образует острые углы с координатными осями Ох и Оу и тупой угол с координатной осью Ог.

Расстояние между двумя точками пространства

Пусть — начальная точка отрезка и — конечная точка его. Точки можно задать их радиусами-векторами и (рис. 181).

Рассматривая вектор , из будем иметь

Проецируя это векторное равенство на оси координат и учитывая свойства проекций, получаем

Таким образом, проекции направленного отрезка на оси координат равны разностям соответствующих координат конца и начала отрезка.

Из формул (2) получаем длину отрезка (или, иначе, расстояние между двумя точками )

Итак, расстояние между двумя точками пространства равно корню квадратному из квадратов разностей одноименных координат этих точек.

Пример №25

Ракета из пункта М₁ (10, -20, 0) прямолинейно переместилась в пункт М₂ (-30, -50, 40) (расстояния даны в километрах). Найти путь пройденный ракетой.

Решение:

На основании формулы (3) имеем

Заметим, что, найдя направляющие косинусы вектора перемещения , нетрудно определить направление движения ракеты.

Действие над векторами, заданными в координатной форме

Пусть вектор задан своими проекциями на оси координат Ox, Оу, Oz.

Построим параллелепипед (рис. 182), диагональю которого является вектор а, а ребрами служат компоненты его относительно соответствующих координатных осей. Имеем разложение

Если ввести единичные векторы (орты) i, j, k, направленные по осям координат, то на основании связи между компонентами вектора и его проекциями будем иметь

Подставляя эти выражения в равенство (1), получаем координатную форму вектора

Заметим, что разложение (3) для вектора а единственно. Действительно, пусть

Отсюда, вычитая из равенства (3) равенство (3′) и пользуясь перемести -тельным и сочетательным свойствами суммы векторов, а также свойствами разности векторов, будем иметь

Если хотя бы один из коэффициентов при ортах i, j и k был отличен от нуля, то векторы i, j и k были бы компланарны, что неверно. Поэтому и единственность разложения (3) доказана.

Если то, очевидно, также имеем

Рассмотренные выше линейные операции над векторами можно теперь записать в следующем виде:

или короче: . Таким образом, при умножении вектора на скаляр координаты вектора умножаются на этот скаляр;

или кратко:

Таким образом, при сложении (или вычитании) векторов их одноименные координаты складываются (или вычитаются):

Пример №26

Найти равнодействующую F двух сил

и ее направление.

Решение:

Имеем . Отсюда

где — направляющие косинусы равнодействующей F.

Скалярное произведение векторов

Определение: Под скалярным произведением двух векторов а и b понимается число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т. е. в обычных обозначениях:

где

Заметим, что в формуле (1) скалярное произведение можно еще записывать как ab, опуская точку. Так как (рис. 183)

то можно записать

т.е. скалярное произведение двух векторов равно длине одного из них, умноженной на проекцию другого на ось с направлением первого.

Физический смысл скалярного произведения

Пусть постоянная сила F обеспечивает прямолинейное перемещение материальной точки. Если сила F образует угол ф с перемещением s (рис. 184), то из физики известно, что работа силы F при перемещении s равна

На основании формулы (1) имеем

Таким образом, работа постоянной силы при прямолинейном перемещении ее м точки приложения равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения.

Скалярное произведение векторов обладает следующими основными свойствами.

1)Скалярное произведение двух векторов не зависит от порядка этих сомножителей (переместительное свойство):

Эта формула непосредственно следует из формулы (1).

2)Для трех векторов а, b и с справедливо распределительное свойство

т. е. при скалярном умножении суммы векторов на вектор можно «раскрыть скобки».

Действительно, на основании формул (2), учитывая свойства проекций векторов, имеем

3)Скалярный квадрат вектора равен квадрату модуля этого вектора, т.е.

Действительно,

Отсюда для модуля вектора получаем формулу

4)Скалярный множитель можно выносить за знак скалярного произведения, т.е.

Это свойство также легко получается из (1).

5)Скалярное произведение линейной комбинации векторов на произвольный вектор равно такой же линейной комбинации данных векторов на этот вектор, т.е.

( — скаляры).

Это — очевидное следствие 2) и 4).

Из определения (1) вытекает, что косинус угла между двумя ненулевыми векторами а и b равен

Из формулы (8) получаем, что два вектора а и b перпендикулярны (ортогональны), т. е. , тогда и только тогда, когда

Это утверждение справедливо также и в том случае, когда хотя бы один из векторов а или b нулевой.

Пример №27

Найти проекцию вектора а на вектор b. Обозначая через угол между этими векторами, имеем

где е =— орт вектора b

Скалярное произведение векторов в координатной форме

Пусть

Перемножая эти векторы как многочлены и учитывая соотношения

будем иметь

Таким образом, скалярное произведение векторов равно сумме парных произведений их одноименных координат. Отсюда, обозначая через ф угол между векторами а и b, получаем

Пример:

Определить угол ф между векторами а = { 1,+2, 3} и b ={-3, 2,-1}. На основании формулы (4) имеем

Отсюда

Пусть векторы а и b коллинеарны (параллельны). Согласно условию коллинеарности,

где k — скаляр, что эквивалентно или

Таким образом, векторы коллинеарны тогда и только тогда, когда их одноименные координаты пропорциональны.

Для перпендикулярных (ортогональных) векторов а и b имеем и, следовательно, cos ф = 0 или, согласно формуле (4),

Таким образом, два вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма парных произведений их одноименных координат равна нулю.

Векторное произведение векторов

Напомним, что тройка а, b и с некомпланарных векторов называется правой (рис. 185, а) или левой (рис. 185, б), если она ориентирована по правилу правого винта или соответственно по правилу левого винта.

Заметим, что если в тройке некомпланарных векторов а, b, с переставить два вектора, то она изменит свою ориентацию, т. е. из правой сделается левой или наоборот.

В дальнейшем правую тройку мы будем считать стандартной.

Определение: Под векторным произведением двух векторов а и b понимается вектор

для которого:

1)модуль равен площади параллелограмма, построенного на данных векторах, т. е.

где (рис. 186);

2)этот вектор перпендикулярен перемножаемым векторам (иначе говоря, перпендикулярен плоскости построенного на них параллелограмма), т. е. ;

3)если векторы неколлинеарны, то векторы а, b, с образуют правую тройку векторов.

Укажем основные свойства векторного произведения.

1)При изменении порядка сомножителей векторное произведение меняет свой знак на обратный, сохраняя модуль, т. е.

Действительно, при перестановке векторов а и b площадь построенного на них параллелограмма остается неизменной, т. е. . Однако тройка векторов является левой. Поэтому направление вектора противоположно направлению вектора (а и b неколлинеарны). Если а и b коллинеарны, то равенство (3) очевидно.

Таким образом, векторное произведение двух векторов не обладает переместительным свойством.

2)Векторный квадрат равен нуль-вектору, т.е.

Это — очевидное следствие свойства 1).

3)Скалярный множитель можно выносить за знак векторного произведения, т.е. если — скаляр, то

Это свойство непосредственно вытекает из смысла произведения вектора на скаляр и определения векторного произведения.

4)Для любых трех векторов а, b, с справедливо равенство

т.е. векторное произведение обладает распределительным свойством.

Пример:

Отсюда, в частности, имеем

т. е. площадь параллелограмма, построенного на диагоналях данного параллелограмма, равна удвоенной площади этого параллелограмма.

С помощью векторного произведения удобно формулировать легко проверяемый критерий коллинеарности двух векторов а и b:

Векторное произведение в координатной форме

Пусть

Перемножая векторно эти равенства и используя свойства векторного произведения, получим сумму девяти слагаемых:

Из определения векторного произведения следует, что для ортов справедлива следующая «таблица умножения»:

Поэтому из формулы (3) получаем

(с сохранением порядка следования букв ).

Для удобства запоминания формула (4) записывается в виде определителя третьего порядка (см. гл. XVII)

Из формулы (4) вытекает, что

Геометрически формула (6) дает квадрат площади параллелограмма, построенного на векторах .

Пример №28

Найти площадь треугольника с вершинами А (1, 1, 0), В (1,0, 1) и С (0, 1, 1).

Решение:

Площадь S треугольника ABC равна 1/2 площади параллелограмма, построенного на векторах (рис. 187). Используя формулы для проекций направленных отрезков, имеем отсюда

Следовательно,

Смешанное произведение векторов

Определение: Под смешанным (или векторно-скалярным) произведением векторов понимается число

Построим параллелепипед П (рис. 188), ребрами которого, исходящими из общей вершины О, являются векторы .

Тогда представляет собой площадь параллелограмма, построенного на векторах , т.е. площадь основания параллелепипеда.

Высота этого параллелепипеда , очевидно, равна

где и знак плюс соответствует острому углу , а знак минус — тупому углу ф. В первом случае векторы образуют правую тройку, а во втором — левую тройку.

На основании определения скалярного произведения имеем

где V — объем параллелепипеда, построенного на векторах . Отсюда

т. е. смешанное произведение трех векторов равно объему V параллелепипед а у построенного на этих векторах, взятому со знаком плюсу если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком минус, если они образуют левую тройку.

Справедливы следующие основные свойства смешанного произведения векторов.

1)Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей, т.е.

Действительно, в этом случае не изменяется ни объем параллелепипеда П, ни ориентация его ребер.

2)При перестановке двух соседних множителей смешанное произведение меняет свой знак на обратный, т. е.

Это следует из того, что перестановка соседних множителей, сохраняя объем параллелепипеда, изменяет ориентацию тройки векторов, т.е. правая тройка переходит в левую, а левая — в правую.

С помощью смешанного произведения получаем необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов :

abc = 0

(объем параллелепипеда равен нулю). Если

то, используя выражения в координатах для векторного и скалярного  произведений векторов, получаем

т. e.