Как найти длину вектора по координате вектора

Уважаемые студенты!
Заказать решение задач по 200+ предметам можно здесь всего за 10 минут.

Длина вектора

Как найти?

Длина вектора $ overline{a}$ обозначается как $ |overline{a}| $. Как найти длину вектора по его координатам? Для этого существует две формулы в зависимости от расположения вектора: на плоскости $ overline{a}=(a_x;a_y) $ или в пространстве $ overline{a} = (a_x; a_y; a_z) $.

Формула длины вектора на плоскости:

$$ |overline{a}| = sqrt{a_x ^2 + a_y ^2} $$

Формула длины вектора в пространстве:

$$ |overline{a}| = sqrt{a_x ^2 + a_y ^2 + a_z ^2 } $$

Если даны координаты точек начала и конца вектора $ A(a_x; a_y) $ и $ B(b_x; b_y) $, то найти длину можно по формулам:

$$ |overline{AB}| = sqrt{(a_x-b_x)^2 + (a_y-b_y) ^2} $$

$$ |overline{AB}| = sqrt{(a_x-b_x)^2 + (a_y-b_y)^2+ (a_z-b_z)^2} $$

Примеры решений

В статье мы ответили на вопрос:”Как найти длину вектора?” с помощью формул. А также рассмотрели практические примеры решения задач на плоскости и в пространстве. Следует заметить, что существуют аналогичные формулы для пространств больше, чем трёхмерные.

Длина вектора – основные формулы

Длину вектора a→ будем обозначать a→. Данное обозначение аналогично модулю числа, поэтому длину вектора также называют модулем вектора.

Для нахождения длины вектора на плоскости по его координатам, требуется рассмотреть прямоугольную декартову систему координат Oxy. Пусть в ней задан некоторый вектор a→ с координатами ax;ay. Введем формулу для нахождения длины (модуля) вектора a→ через координаты ax и ay.

От начала координат отложим вектор OA→=a→. Определим соответственные проекции точки A на координатные оси как Ax и Ay . Теперь рассмотрим прямоугольник OAxAAy с диагональю OA.

Из теоремы Пифагора следует равенство OA2=OAx2+OAy2, откуда OA=OAx2+OAy2. Из уже известного определения координат вектора в прямоугольной декартовой системе координат получаем, что OAx2=ax2 и OAy2=ay2, а по построению длина OA равна длине вектора OA→, значит, OA→=OAx2+OAy2.

Отсюда получается, что формула для нахождения длины вектора a→=ax;ay имеет соответствующий вид: a→=ax2+ay2.

Если вектор a→ дан в виде разложения по координатным векторам a→=ax·i→+ay·j→, то вычислить его длину можно по той же формуле a→=ax2+ay2, в данном случае коэффициенты ax и ay выступают в роли координат вектора a→ в заданной системе координат.

Формула для нахождения длины вектора a→=ax;ay;az по его координатам в декартовой системе координат Oxyz в пространстве, выводится аналогично формуле для случая на плоскости (см. рисунок ниже)

В данном случае OA2=OAx2+OAy2+OAz2 (так как ОА – диагональ прямоугольного параллелепипеда), отсюда OA=OAx2+OAy2+OAz2. Из определения координат вектора можем записать следующие равенства OAx=ax; OAy=ay; OAz=az; , а длина ОА равна длине вектора, которую мы ищем, следовательно, OA→=OAx2+OAy2+OAz2.

Отсюда следует, что длина вектора a→=ax;ay;az равна a→=ax2+ay2+az2.

Длина вектора через координаты точек его начала и конца

Выше были выведены формулы, позволяющие находить длины вектора по его координатам. Мы рассмотрели случаи на плоскости и в трехмерном пространстве. Воспользуемся ими для нахождения координат вектора по координатам точек его начала и конца.

Итак, даны точки с заданными координатами A(ax;ay) и B(bx;by), отсюда вектор AB→ имеет координаты (bx-ax; by-ay)значит, его длина может быть определена по формуле: AB→=(bx-ax)2+(by-ay)2

А если даны точки с заданными координатами A(ax;ay;az) и B(bx;by;bz) в трехмерном пространстве, то длину вектора AB→ можно вычислить по формуле

AB→=(bx-ax)2+(by-ay)2+(bz-az)2

Нахождение длины вектора по теореме косинусов

Увы, но в задачах не всегда бывают известны координаты вектора, поэтому рассмотрим другие способы нахождения длины вектора.

Пусть заданы длины двух векторов AB→, AC→ и угол между ними (или косинус угла), а требуется найти длину вектора BC→ или CB→. В таком случае, следует воспользоваться теоремой косинусов в треугольнике △ABC, вычислить длину стороны BC, которая и равна искомой длине вектора.

Рассмотрим такой случай на следующем примере.

Итак, для нахождения длины вектора по координатам существуют следующие формулы a→=ax2+ay2 или a→=ax2+ay2+az2, по координатам точек начала и конца вектора AB→=(bx-ax)2+(by-ay)2 или AB→=(bx-ax)2+(by-ay)2+(bz-az)2, в некоторых случаях следует использовать теорему косинусов.

Вектором является направленный отрезок. Длина этого отрезка является длиной вектора.

Длина вектора b⃗vec{b} обозначается ∣b⃗∣.left | vec{b} right |. Модуль числа имеет аналогичное обозначение и длина вектора часто называется модулем вектора.

Длина нулевого вектора равна нулю.

Нахождение длины вектора по его координатам

Длина вектора, который задан своими координатами, – это квадратный корень из суммы квадратов его координат.

Для того чтобы найти длину вектора, заданного своими координатами, нужно извлечь квадратный корень из суммы квадратов его координат.

1. Для вектора b⃗=(bx;by),vec{b}=(b_{x};b_{y}), заданного на плоскости, длина вычисляется по формуле ∣b⃗∣left |vec{b} right|=bx2+by2sqrt {b_{x}^{2}+b_{y}^{2}}.
2. Для вектора b⃗=(bx;by;bz),vec{b}=(b_{x};b_{y};b_{z}), заданного в пространстве, длина вычисляется по формуле ∣b⃗∣=bx2+by2+bz2left | vec{b} right |=sqrt {b_{x}^{2}+b_{y}^{2}+b_{z}^{2}}.

Пример 1

Найти длину вектора b⃗=(6;−4).vec{b}=(6;-4).

Вектор задан на плоскости, поэтому воспользуемся первой формулой: ∣b⃗∣=bx2+by2left | vec{b} right |=sqrt {b_{x}^{2}+b_{y}^{2}}.

Подставим координаты вектора b⃗vec{b} в формулу, получим: ∣b⃗∣=62+(−4)2=36+16=52=213left | vec{b} right |=sqrt {6^{2}+(-4)^{2}}=sqrt {36+16}=sqrt {52}=2sqrt {13}.

Ответ: 2132sqrt {13}.

Пример 2

Найти длину вектора d⃗=(1;3;5).vec{d}=(1;3;5).

Вектор задан в пространстве, поэтому воспользуемся второй формулой:

∣d⃗∣=dx2+dy2+dz2left | vec{d} right |=sqrt {d_{x}^{2}+d_{y}^{2}+d_{z}^{2}}.

Подставим координаты вектора d⃗vec{d} в формулу, получим:

∣d⃗∣=12+32+52=1+9+25=35left | vec{d} right |=sqrt {1^{2}+3^{2}+5^{2}}=sqrt {1+9+25}=sqrt {35}.

Нахождение длины вектора по координатам точек его начала и конца

Для нахождения длины вектора CD⃗vec{CD}, где C(cx;cy)C(c_{x};c_{y}) и D(dx;dy)D(d_{x};d_{y}) существует определенная последовательность действий:

1. Найти координаты вектора CD⃗vec{CD} по формуле: ∣CD⃗∣=(dx−cx;dy−cy)left | vec{CD} right |=(d_{x}-c_{x};d_{y}-c_{y}).
2. Найти длину вектора по его координатам по формуле: ∣CD⃗∣=(dx−cx)2+(dy−cy)2left | vec{CD} right |=sqrt {(d_{x}-c_{x})^{2}+(d_{y}-c_{y})^{2}}.

Аналогично находится длина вектора CD⃗,vec{CD}, заданного в пространстве, где C(cx;cy;cz)C(c_{x};c_{y};c_{z}) и D(dx;dy;dz)D(d_{x};d_{y};d_{z}):

1. Найти координаты вектора CD⃗vec{CD} по формуле: CD⃗=(dx−cx;dy−cy;dz−cz).vec{CD}=(d_{x}-c_{x};d_{y}-c_{y};d_{z}-c_{z}).
2. Найти длину вектора по его координатам по формуле: ∣CD⃗∣=(dx−cx)2+(dy−cy)2+(dz−cz)2left | vec{CD} right |=sqrt {(d_{x}-c_{x})^{2}+(d_{y}-c_{y})^{2}+(d_{z}-c_{z})^{2}}.

Пример 1

На плоскости заданы точки E(−1;3)иK(3;−4)E(-1;3) и K(3;-4). Найти длину вектора EK⃗.vec{EK}.

Найдем координаты вектора EK⃗.vec{EK}. Для этого из координат конца вычтем координаты начала, получим:

EK⃗=(3−(−1);−4−3)=(3+1;−4−3)=(4;−7).vec{EK}=(3-(-1);-4-3)=(3+1;-4-3)=(4;-7).

Воспользуемся формулой ∣b⃗∣=bx2+by2left | vec{b} right |=sqrt {b_{x}^{2}+b_{y}^{2}} для нахождения длины вектора, получим:

∣EK⃗∣=42+(−7)2left | vec{EK} right |=sqrt {4^{2}+(-7)^{2}}=16+49sqrt {16+49}=65sqrt {65}.

Пример 2

В пространстве заданы точки C(1;2;3)C(1;2;3) и D(3;4;5).D(3;4;5). Найти длину вектора CD⃗.vec{CD}.

Найдем координаты вектора CD⃗.vec{CD}. Для этого из координат конца вычтем координаты начала, получим: CD⃗=(3−1;4−2;5−3)=(2;2;2).vec{CD}=(3-1;4-2;5-3)=(2;2;2).

Воспользуемся формулой ∣b⃗∣=bx2+by2+bz2left | vec{b} right |=sqrt {b_{x}^{2}+b_{y}^{2}+b_{z}^{2}} для нахождения длины вектора, получим: ∣b⃗∣=22+22+22=4+4+4=12=23left | vec{b} right |=sqrt {2^{2}+2^{2}+2^{2}}=sqrt {4+4+4}=sqrt {12}=2sqrt 3.

Нахождение длины вектора по теореме косинусов

Теорема косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Для треугольника со сторонами a,b,ca, b, c и углами α,βalpha, beta и γ,gamma, противолежащими этим сторонам соответственно, справедливы равенства:

b=a2+c2−2a⋅c⋅cos(β),b=a^{2}+c^{2}-2acdot ccdot cos (beta), a=b2+c2−2b⋅c⋅cos(α),a=b^{2}+c^{2}-2bcdot ccdot cos (alpha), c=a2+b2−2a⋅b⋅cos(γ).c=a^{2}+b^{2}-2acdot bcdot cos (gamma).

Аналогично поступают и с векторами. Рассмотрим пример.

Пример 1

Длины векторов KL⃗vec{KL} и KM⃗vec{KM} равны соответственно 2 и 4, а угол между ними равен π4.frac{pi }{4}. Вычислите длину вектора LM⃗.vec{LM}.

Длина вектора LM⃗vec{LM} равна длине стороны LMLM в треугольнике LMKLMK. Также нам известны стороны KLKL и KMKM треугольника LMKLMK. Они равны длинам соответствующих векторов. Нам известен угол между векторами. Найдем сторону LMLM треугольника △KLM.triangle KLM.

LM2=KL2+KM2−2KL⋅KM⋅cos⁡∠LKM.LM^2=KL^2+KM^2-2KLcdot KMcdot cos angle LKM.
LM2=22+42−2⋅2⋅4⋅cos⁡π4=4+16−82=20−82.LM^2=2^2+4^2-2cdot 2cdot4cdot cos frac{pi }{4}=4+16-8sqrt{2}=20-8sqrt{2}.
LM=20−82.LM=sqrt{20-8sqrt{2}}.
∣LM⃗∣=20−82.|vec{LM}|=sqrt{20-8sqrt{2}}.

Тест по теме «Как вычислить длину вектора»

Основные понятия вектора

Для того чтобы приступить к разбору формул нахождения длины вектора, необходимо разобраться в основных понятиях и определениях векторов.

Понятие вектора получило широкое распространение в 19 веке, в математических науках, особенно в таком её разделе, как «Комплексные числа».

Графическое изображение вектора — отрезок который имеет указание направления в виде стрелки.

Вектор, который будет иметь начальную точку Х и конец в точке А, правильно обозначать ХА, с верхним подчёркиванием или стрелочкой, а также допустимо прописывать одной прописной буквой.

Длину вектора (модуль), определяет числовое значение длины отрезка, имеющего направление. Обозначается длинна двумя вертикальными отрезками |ХА|.

• Понятие нулевого вектора. Такое название получил вектор, у которого и начало, и конец находятся в одной точке. Обозначение он имеет в виде цифры ноль с верхним подчёркивание, а длина равна нулю.
• Коллинеарные вектора. Одна прямая может содержать несколько векторов, такие векторы получили название коллинеарных. Также коллинеарными считаются векторы на параллельных прямых.

• Сонаправленные. Два коллинеарных вектора считаются сонаправленными, если имеют одно направление.
• Противоположно направленные. Вектора, с направлениями в разные стороны, и являются коллинеарными, называют противоположно направленными.
• Компланарные вектора. Такими векторами называют, те что лежат в одной плоскости
  Так как, всегда можно отыскать плоскость, которая будет параллельной двум векторам, то любые два вектора всегда копланарные.

Так как, всегда можно отыскать плоскость, которая будет параллельной двум векторам, то любые два вектора всегда копланарные.

Вектора могут находится не только на плоскости, но и в пространстве, от этого расположения будет зависеть какую формулу необходимо использовать для нахождения их длины или модуля. Стоит также отметить, что вектора могут быть равными, при этом они должны иметь одно направление, одинаковые длины и быть коллинеарными. Существует понятие единичного вектора, таким он будет являться если равен единице измерения.

Как найти длину вектора

Модуль вектора а будем обозначать .

Для того чтобы найти модуль вектора или его длину, на плоскости по координатам, необходимо рассмотреть вектор используя прямоугольную декартову систему координат Оxy.  Допустим в данной системе будет задан, так вектор имеющий координаты (aₓ ; aᵧ). Получим формулу, которая поможет  найти длину вектора , через известные нам координаты aₓ и aᵧ.

На взятой системе координат, от её начала отложим вектор
В соответствии с проекцией точки А возьмём и определим Aₓ и Aᵧ на оси координат. Рассмотрим полученный прямоугольник ОAₓ и АAᵧ с диагональю ОА.

Далее используя теорему Пифагора мы получим равенство АО² = ОAₓ² и OAᵧ², отсюда следует

Теперь в соответствии с определением вектора относительно прямоугольной оси координат выходит, что ОAₓ² = aₓ² и также для OAᵧ² = aᵧ² , а так как на построенном прямоугольнике мы видим, что ОА равна длине вектора получаем 

Из вышесказанного выходит, что для того чтобы найти длину вектора с точками (aₓ ; aᵧ), выводим следующую формулу:

Когда вектор дан в формате разложения по координатным векторам , то вычислить его можно по той же формуле , в таком варианте коэффициент aₓ и aᵧ будут выражать в роли координат , в данной системе координат.

Существуют также формулы вычисления длины вектора в пространстве, они выводятся аналогично тем, что в системе координат на плоскости. Если взять вектор =(aₓ ; aᵧ ; a )

В таком случае ( AO^2=OA_x^2+OA_y^2+OA_z^2 ) (из рисунка видно, что АО — диагональ прямоугольного параллелепипеда), поэтому

из определения получаются равенства ОAₓ=aₓ; OAᵧ=aᵧ; OA=a , а значение длины ОА совпадает с длиной вектора, которую необходимо найти. Из этого следует:

Длина вектора через координаты точек начала и конца

Ранее мы рассмотрели формулы, которые позволят находить длину вектора используя при этом координаты. Рассматривались примеры в трёхмерном пространстве на плоскости. Используя данные формулы можно найти длину вектора, если известны координаты точек его начала и конца.

Возьмём точки с обозначенными координатами начала A(aₓ ; aᵧ) и конца В(bₓ ; bᵧ), из чего следует, что вектор имеет координаты (bₓ-aₓ ; bᵧ-aᵧ), поэтому его длину мы выразим в формуле

При этом формула вычисления длины вектора для трёхмерного пространства, с координатами и ), будет следующей:

Длина вектора по теореме косинусов

Так как бывают случаи, когда не известны координаты точек вектора, необходимо искать другие варианты, при помощи которых можно найти длину вектора. Таким способов может стать применение теоремы косинусов.

К примеру, нам известны длины двух векторов (overrightarrow{AB})  и (overrightarrow{AC}) , а также угол между ними, или его косинус. При этом необходимо найти длину вектора ( overrightarrow{BC} ) , в таком варианте задания необходимо воспользоваться теоремой косинусов, представив треугольник АВС. В данном треугольнике мы будем искать сторону ВС, она и будет равна длине искомого вектора. Подробнее рассмотрим на примере.

Теперь мы видим, что для нахождения длины вектора существует несколько формул, которыми можно воспользоваться в зависимости от известных параметров.

Первая формула это ( left|overrightarrow{a}right|=sqrt{a_x^2+a_y^2}. ), для плоскости
( left|overrightarrow{a}right|=sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2} )

длина вектора формула для трёхмерного пространства;

( left|vec{AB}right|=sqrt{left ( b_x-a_x right )^2+ left ( b_y-a_y right )^2 + left ( b_z-a_z right )^2})

длина вектора формула по известным координатам начала и конца вектора находящегося пространстве; ( left|vec{AB}right|=sqrt{left ( b_z-a_z right )^2+ left ( b_y-a_y right )^2}) если известны координаты начала и конца вектора на плоскости.

Существует также формула длины вектора перемещения: ( left|vec{S}right|=sqrt{ s_x^2+s_y^2}) чаще такая формула применима в физике, для того чтобы узнать длину пути материальной точки.

В случае если известен угол, между двумя векторами, можно использовать теорему Пифагора.

Применение векторов в других сферах

Понятие и вычисление вектора важно не только в математике, но и других науках:

• в физике. Для визуального изображения таких понятий как скорость, сила, ускорение и т.д. А также векторы помогают моделировать физические процессы;
• в химии. Для изображения химических процессор. При помощи векторов изображают движение электронов и других частиц;
• в биологии.  Биологические процессы, также имеют графическое изображение при помощи векторов. К примеру перенос паразитов;
• географии. Вектором обозначается движение воздушных масс, или течение реки;

Векторы используются не только в науках, но и различных отраслях и профессиях. В судоходстве и аэрофлоте, архитектуре и конструировании, а также многих других областях. Для того чтобы найти длину вектора, мы можем использовать одну из формул, в зависимости от того, что нам о нём известно, и в каком пространстве или плоскости находится неизвестный вектор.