Как найти длину вектора скалярное произведение векторов

Скалярное произведение векторов. Длина вектора.

Как рассчитать длину
вектора? Из рисунка 7.4 видно, что на
плоскости она равна длине гипотенузы
прямоугольного треугольника с катетами
длиной х1и х2.

Таким образом, длина
вектора рассчитывается, как корень
квадратный из суммы квадратов его
координат
.
Аналогично рассчитывается длинаn-мерного вектора.
Если вспомнить, что каждая координата
вектора – это разность между координатами
конца и начала, то мы получим формулу
длины отрезка, т.е. евклидова расстояния
между точками.

Скалярное произведениедвух векторов на плоскости – это
произведение длин этих векторов на
косинус угла между ними:.
Можно доказать, что скалярное произведение
двух векторов= (х1, х2) и=
(y1, y2) равно сумме произведений
соответствующих координат этих векторов:=
х1* y1+ х2* y2.

В n-мерном
пространстве скалярное произведение
векторовX= (х1,
х2,…,хn) иY=
(y1, y2,…,yn)
определяется, как сумма произведений
их соответствующих координат:X*Y= х1* y1+ х2* y2+
… + хn* yn.

Операция умножения
векторов друг на другу аналогична
умножению матрицы-строки на матрицу-столбец.
Подчеркнем, что в результате будет
получено число, а не вектор.

Скалярное произведение
векторов обладает следующими свойствами
(аксиомы):

1) Коммутативное
свойство: X*Y=Y*X.

2) Дистрибутивное
относительно сложения свойство:
X(Y+Z) =X*Y+X*Z.

3) Для любого
действительного числа .

4)
,
еслиX– не нулевой вектор;еслиX– нулевой вектор.

Линейное векторное
пространство, в котором задано скалярное
произведение векторов, удовлетворяющее
четырем соответствующим аксиомам,
называется евклидовым линейным
векторным
пространством.

Легко заметить, что
при умножении любого вектора самого на
себя мы получим квадрат его длины
.
Поэтому по-другомудлину вектора
можно определить, как корень квадратный
из его скалярного квадрата:.

Длина вектора обладает
следующими свойствами:

1) |X| = 0Х = 0;

2) |X|
= ||*|X|,
где– действительное число;

3) |X*Y||X|*|Y|
(неравенство Коши-Буняковского);

4) |X+Y||X|+|Y|
(неравенство треугольника).

Угол между векторами вn-мерном
пространстве определяется, исходя из
понятия скалярного произведения. В
самом деле, если,
то.
Эта дробь не больше единицы (согласно
неравенству Коши-Буняковского), поэтому
отсюда можно найти.

Два вектора называют
ортогональнымиилиперпендикулярными,
если их скалярное произведение равно
нулю. Из определения скалярного
произведения следует, что нулевой вектор
ортогонален любому вектору. Если оба
ортогональных вектора ненулевые, то
обязательноcos= 0, т.е=/2
= 90о.

Рассмотрим еще раз
рисунок 7.4. Из рисунка видно, что косинус
угла наклона вектора
к горизонтальной оси можно рассчитать
как,
а косинус угланаклона вектора к вертикальной оси как.
Эти числа принято называтьнаправляющими
косинусами
. Легко убедиться, что сумма
квадратов направляющих косинусов всегда
равна единице:cos2+cos2= 1. Аналогично можно ввести понятия
направляющих косинусов и для пространств
большей размерности.

Базис векторного пространства

Для векторов можно
определить понятия линейной комбинации,линейной зависимостиинезависимостианалогично тому, как эти понятия были
введены для строк матрицы. Также
справедливо, что если векторы линейно
зависимы, то по крайней мере один из них
можно линейно выразить через остальные
(т.е. он является их линейной комбинацией).
Верно и обратное утверждение: если один
из векторов является линейной комбинацией
остальных, то все эти векторы в совокупности
линейно зависимы.

Отметим, что если среди
векторов al, a2,…amесть нулевой вектор, то эта совокупность
векторов обязательно линейно зависима.
В самом деле, мы получимlal+2a2+…+mam= 0, если, например, приравняем коэффициентjпри нулевом векторе к единице, а все
остальные коэффициенты – к нулю. При
этом не все коэффициенты будут равны
нулю (j≠ 0).

Кроме того, если
какая-то часть векторов из совокупности
векторов линейно зависимы, то и все эти
вектора – линейно зависимы. В самом деле,
если какие-то вектора дают нулевой
вектор в своей линейной комбинации с
коэффициентами, которые не являются
одновременно нулевыми, то к этой сумме
произведений можно добавить остальные
вектора, умноженные на нулевые
коэффициенты, и она по-прежнему будет
нулевым вектором.

Как определить, являются
ли вектора линейно зависимыми?

Например, возьмем три
вектора: а1 = (1, 0, 1, 5), а2= (2,
1, 3, -2) и
а3= (3, 1, 4, 3). Составим из
них матрицу, в которой они будут являться
столбцами:

Тогда вопрос о линейной
зависимости сведется к определению
ранга этой матрицы. Если он окажется
равным трем, то все три столбца – линейно
независимы, а если окажется меньше, то
это будет говорить о линейной зависимости
векторов.

Так как ранг равен 2,
вектора линейно зависимы.

Отметим, что решение
задачи можно было бы начать и с рассуждений,
которые основаны на определении линейной
независимости. А именно, составить
векторное уравнение lal+2a2+3a3= 0,
которое примет видl*(1,
0, 1, 5) +2*(2, 1,
3, -2) +3*(3, 1, 4,
3) = (0, 0, 0, 0). Тогда мы получим систему
уравнений:

Решение этой системы
методом Гаусса сведется к получению
той же самой ступенчатой матрицы, только
в ней будет еще один столбец – свободных
членов. Они все будут равны нулю, так
как линейные преобразования нулей не
могут привести к другому результату.
Преобразованная система уравнений
примет вид:

Решением этой системы
будет (-с;-с; с), где с – произвольное
число; например, (-1;-1;1). Это означает, что
если взять l= -1;2=-1 и3= 1, тоlal+2a2+3a3= 0,
т.е. вектора на самом деле линейно
зависимы.

Из решенного примера
становится ясно, что если взять число
векторов больше, чем размерность
пространства, то они обязательно будут
линейно зависимы. В самом деле, если бы
в этом примере мы взяли пять векторов,
то получили бы матрицу 4 х 5, ранг которой
не мог бы оказаться больше четырех. Т.е.
максимальное число линейно независимых
столбцов все равно не было бы больше
четырех. Два, три или четыре четырехмерных
вектора могут оказаться линейно
независимыми, а пять и больше – не могут.
Следовательно, на плоскости могут
оказаться линейно независимыми не более
двух векторов. Любые три вектора в
двумерном пространстве – линейно
зависимы. В трехмерном пространстве
любые четыре (или более) вектора – всегда
линейно зависимы. И т.п.

Поэтому размерностьпространства можно определить, как
максимальное число линейно независимых
векторов, которые могут в нем быть.

Совокупность n линейно
независимых векторов n-мерного пространства
R называют базисомэтого пространства.

Теорема. Каждый вектор
линейного пространства можно представить
в виде линейной комбинации векторов
базиса, и притом единственным способом.

Доказательство. Пусть
векторы el, e2,…enобразуют базисn-мерного
пространства R. Докажем, что любой вектор
Х является линейной комбинацией этих
векторов. Поскольку вместе с вектором
Х число векторов станет (n +1), эти (n +1)
векторов будут линейно зависимы, т.е.
существуют числаl,2,…,n,, не равные одновременно
нулю, такие
что

lel+2e2+…+nen
+Х = 0

При этом 0, т.к. в противном
случае мы получили быlel+2e2+…+nen
= 0, где не все коэффициентыl,2,…,nравны нулю. Это означает, что векторы
базиса оказались бы линейно зависимы.
Следовательно, можно разделить обе
части первого уравнения на:

(l/)el+ (2/)e2+…+ (n/)en
+ Х = 0

Х = -(l/)el– (2/)e2-…- (n/)en

Х = xlel+x2e2+…+xnen,

где хj= -(j/),.

Теперь докажем, что
такое представление в виде линейной
комбинации является единственным.
Предположим противное, т.е. что существует
другое представление:

Х = ylel+y2e2+…+ynen

Вычтем из него почленно
полученное ранее выражение:

0 = (yl– х1)el+ (y2 – х2)e2+…+ (yn
хn)en

Так как векторы базиса
линейно независимы, получим, что
(yj– хj) = 0,,
т.е.yj= хj. Итак, выражение
оказалось тем же самым. Теорема доказана.

Выражение Х = xlel+x2e2+…+xnenназываютразложениемвектора Х по
базису el, e2,…en,
а числа хl, х2,…хnкоординатамивектора х относительно
этого базиса, или в этом базисе.

Можно доказать, что
если nненулевых векторовn-мерного евклидова
пространства попарно ортогональны, то
они образуют базис. В самом деле, умножим
обе части равенстваlel+2e2+…+nen
= 0 на любой вектор еi.
Получим l
(eli)
+ 2(e2i)
+…+ n(eni)
= 0 
i(eii)
= 0 
i
= 0
для 
i.

Векторы el,
e2,…enn-мерного
евклидова пространства образуютортонормированный базис, если эти
векторы попарно ортогональны и норма
каждого из них равна единице, т.е. если
еi*ej= 0 приi≠jи |еi| = 1
дляi.

Теорема (без
доказательства). Во всяком n-мерном
евклидовом пространстве существует
ортонормированный базис.

Примером ортонормированного
базиса являют система n единичных
векторов еi, у которыхi-я компонента равна
единице, а остальные компоненты равны
нулю. Каждый такой вектор называетсяорт. Например, вектора-орты (1, 0, 0),
(0, 1, 0) и (0, 0, 1) образуют базис трехмерного
пространства.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #

Скалярное произведение векторов {displaystyle (mathbf {a} ,mathbf {b} )} равно произведению {displaystyle |mathbf {a} ||mathbf {b} |cos(theta )}

Скаля́рное произведе́ние (иногда называемое внутренним произведением) — результат операции над двумя векторами, являющийся скаляром, то есть числом, не зависящим от выбора системы координат.
Используется в определении длины векторов и угла между ними.

Обычно для скалярного произведения векторов mathbf {a} и mathbf {b} используется одно из следующих обозначений.

{displaystyle (mathbf {a} ,mathbf {b} )}
{displaystyle mathbf {a} cdot mathbf {b} , {vec {a}}cdot {vec {b}}} или просто {displaystyle mathbf {a} mathbf {b} }
langle mathbf {a} ,mathbf {b} rangle и {displaystyle langle a|brangle ;} второе обозначение применяется в квантовой механике для векторов состояния[1].

В простейшем случае, а именно в случае конечномерного вещественного евклидового пространства, иногда используют «геометрическое» определение скалярного произведения ненулевых векторов mathbf {a} и mathbf {b} как произведения длин этих векторов на косинус угла между ними[2]:

{displaystyle (mathbf {a} ,mathbf {b} )=|mathbf {a} ||mathbf {b} |cos(theta ).}

Равносильное определение: скалярное произведение есть произведение длины проекции первого вектора на второй и длины второго вектора (см. рисунок). Если хотя бы один из векторов нулевой, то произведение считается равным нулю[3].

У понятия скалярного произведения существует также большое количество обобщений для различных векторных пространств, то есть для множеств векторов с операциями сложения и умножения на скаляры[⇨]. Данное выше геометрическое определение скалярного произведения предполагает предварительное определение понятий длины вектора и угла между ними. В современной математике используется обратный подход: аксиоматически определяется скалярное произведение, а уже через него — длины и углы[4]. В частности, скалярное произведение определяется для комплексных векторов, многомерных и бесконечномерных пространств, в тензорной алгебре.

Скалярное произведение и его обобщения играют чрезвычайно большую роль в векторной алгебре, теории многообразий, механике и физике. Например, работа силы при механическом перемещении равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения[5].

Определение и свойства[править | править код]

Будем говорить, что в вещественном или комплексном векторном пространстве L определено скалярное произведение, если каждой паре векторов {displaystyle mathbf {a} ,mathbf {b} } из L поставлено в соответствие число {displaystyle (mathbf {a} ,mathbf {b} )} из того числового поля, над которым задано {displaystyle L,} удовлетворяющее следующим аксиомам.

  1. Для любых трёх элементов {displaystyle mathbf {a} _{1},mathbf {a} _{2},mathbf {b} } пространства mathbb {L} и любых чисел alpha ,beta справедливо равенство: {displaystyle (alpha mathbf {a} _{1}+beta mathbf {a} _{2},mathbf {b} )=alpha (mathbf {a} _{1},mathbf {b} )+beta (mathbf {a} _{2},mathbf {b} )} (линейность скалярного произведения по первому аргументу).
  2. Для любых {displaystyle mathbf {a} ,mathbf {b} } справедливо равенство {displaystyle (mathbf {a} ,mathbf {b} )={overline {(mathbf {b} ,mathbf {a} )}}}, где черта означает комплексное сопряжение.
  3. Для любого {displaystyle mathbf {a} } имеем: {displaystyle (mathbf {a} ,mathbf {a} )geqslant 0}, причём {displaystyle (mathbf {a} ,mathbf {a} )=0} только при {displaystyle mathbf {a} =0} (положительная определённость и невырожденность скалярного произведения соответственно).

Заметим, что из аксиомы 2 следует, что {displaystyle (mathbf {a} ,mathbf {a} )} — вещественное число. Поэтому аксиома 3 имеет смысл, несмотря на комплексные (в общем случае) значения скалярного произведения. Если аксиома 3 не выполняется, то произведение называется индефинитным или неопределённым.

Если {displaystyle (mathbf {a} ,mathbf {a} )=0} не только при {displaystyle mathbf {a} =0}, то произведение называется квазискалярным[6].

Из данных аксиом получаются следующие свойства:

  1. коммутативность для вещественных векторов: {displaystyle (mathbf {a} ,mathbf {b} )=(mathbf {b} ,mathbf {a} );}

    Дистрибутивность скалярного произведения в случае вещественного евклидового пространства

  2. дистрибутивность относительно сложения: {displaystyle (mathbf {a} +mathbf {b} ,mathbf {c} )=(mathbf {a} ,mathbf {c} )+(mathbf {b} ,mathbf {c} )} и {displaystyle (mathbf {c} ,mathbf {a} +mathbf {b} )=(mathbf {c} ,mathbf {a} )+(mathbf {c} ,mathbf {b} );}
  3. инволюционная линейность относительно второго аргумента: {displaystyle (mathbf {a} ,(alpha _{1}mathbf {b} _{1}+alpha _{2}mathbf {b} _{2}))={overline {alpha _{1}}}(mathbf {a} ,mathbf {b} _{1})+{overline {alpha _{2}}}(mathbf {a} ,mathbf {b} _{2});} (в случае вещественного L — просто линейность по второму аргументу).
  4. {displaystyle (alpha mathbf {a} ,beta mathbf {b} )=alpha {overline {beta }}(mathbf {a} ,mathbf {b} )} (что совпадает с {displaystyle alpha beta (mathbf {a} ,mathbf {b} )} для вещественного L).

Также есть свойства, связанные не с данными аксиомами:

  1. неассоциативность относительно умножения на вектор[7]‘: {displaystyle (mathbf {a} ,mathbf {b} )mathbf {c} neq mathbf {a} (mathbf {b} ,mathbf {c} )};
  2. ортогональность: два ненулевых вектора a и b ортогональны тогда и только тогда, когда (a, b) = 0 (определения ниже).

Замечание. В квантовой физике скалярное произведение (волновых функций, которые комплекснозначны) принято определять как линейное по второму аргументу (а не по первому), соответственно, по первому аргументу оно будет инволюционо линейным. Путаницы обычно не возникает, поскольку традиционное обозначение для скалярного произведения в квантовой физике также отличается: {displaystyle langle phi |psi rangle }, т.е. аргументы отделяются вертикальной чертой, а не запятой, и скобки всегда угловые.

Определение и свойства в евклидовом пространстве[править | править код]

Вещественные векторы[править | править код]

В n-мерном вещественном евклидовом пространстве векторы определяются своими координатами — наборами n вещественных чисел в ортонормированном базисе. Определить скалярное произведение векторов {displaystyle mathbf {a} =(a_{1},a_{2}dots a_{n}),mathbf {b} =(b_{1},b_{2}dots b_{n})} можно так[4]:

{displaystyle langle mathbf {a} ,mathbf {b} rangle =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}+dots +a_{n}b_{n}.}

Проверка показывает, что все три аксиомы выполнены.

Например, скалярное произведение векторов {displaystyle (1,3,-5)} и {displaystyle (4,-2,-1)} будет вычислено так:

{displaystyle {begin{aligned} (1,3,-5)cdot (4,-2,-1)&=1cdot 4+3cdot (-2)+(-5)cdot (-1)\&=4-6+5\&=3.end{aligned}}}

Можно доказать[8], что эта формула равносильна определению через проекции или через косинус: {displaystyle (mathbf {a} ,mathbf {b} )=|mathbf {a} ||mathbf {b} |cos(theta ).}

Комплексные векторы[править | править код]

Для комплексных векторов {displaystyle mathbf {a} =(a_{1},a_{2}dots a_{n}),mathbf {b} =(b_{1},b_{2}dots b_{n})} определим аналогично[9]:

{displaystyle langle mathbf {a} ,mathbf {b} rangle =sum _{k=1}^{n}a_{k}{overline {b_{k}}}=a_{1}{overline {b_{1}}}+a_{2}{overline {b_{2}}}+cdots +a_{n}{overline {b_{n}}}.}

Пример (для n=2): {displaystyle (1+i,2)cdot (2+i,i)=(1+i)cdot ({overline {2+i}})+2cdot {overline {i}}=(1+i)cdot (2-i)+2cdot (-i)=3-i.}

Свойства[править | править код]

Помимо общих свойств скалярного произведения, для многомерных евклидовых векторов верно следующее:

  1. в отличие от обычного умножения скаляров, где если ab = ac и a ≠ 0, то b равняется c, для скалярного умножения векторов это неверно: если a · b = a · c, то есть a · (b − c) = 0, то в общем случае a и b − c лишь ортогональны; но вектор b − c в общем случае не равен 0, то есть bc;
  2. правило произведения: для дифференцируемых вектор-функций a(t) и b(t) верно соотношение (a(t), b(t))′ = a′(t) ⋅ b(t) + a(t) ⋅ b′(t)[10];
  3. оценка угла между векторами:
    в формуле {displaystyle (mathbf {mathbf {a} } ,mathbf {b} )=|mathbf {a} |cdot |mathbf {b} |cdot cos angle {(mathbf {a} ,mathbf {b} )}} знак определяется только косинусом угла (нормы векторов всегда положительны). Поэтому скалярное произведение больше 0, если угол между векторами острый, и меньше 0, если угол между векторами тупой;
  4. проекция вектора mathbf {a} на направление, определяемое единичным вектором mathbf {e} :
    {displaystyle a_{e}=(mathbf {a} ,mathbf {e} )=|mathbf {a} ||mathbf {e} |cos angle {(mathbf {a} ,mathbf {e} )}=|mathbf {a} |cos angle {(mathbf {a} ,mathbf {e} )}}, так как {displaystyle |mathbf {e} |=1;}
  5. площадь параллелограмма, натянутого на два вектора {displaystyle mathbf {a} } и {displaystyle mathbf {b} }, равна {displaystyle {sqrt {(mathbf {a} ,mathbf {a} )(mathbf {b} ,mathbf {b} )-(mathbf {a} ,mathbf {b} )^{2}}}.}

Теорема косинусов в вещественном пространстве[править | править код]

Dot product cosine rule.svg

Теорема косинусов легко выводится с использованием скалярного произведения. Пусть на сторонах треугольника находятся векторы a, b и c, первые два из которых образуют угол θ, как показано в изображении справа. Тогда, следуя свойствам и определению скалярного произведения через косинус:

{displaystyle {begin{aligned}mathbf {color {orange}c} cdot mathbf {color {orange}c} &=(mathbf {color {red}a} -mathbf {color {blue}b} )cdot (mathbf {color {red}a} -mathbf {color {blue}b} )\&=mathbf {color {red}a} cdot mathbf {color {red}a} -mathbf {color {red}a} cdot mathbf {color {blue}b} -mathbf {color {blue}b} cdot mathbf {color {red}a} +mathbf {color {blue}b} cdot mathbf {color {blue}b} \&=|mathbf {color {red}a} |^{2}-mathbf {color {red}a} cdot mathbf {color {blue}b} -mathbf {color {red}a} cdot mathbf {color {blue}b} +|mathbf {color {blue}b} |^{2}\&=|mathbf {color {red}a} |^{2}-2mathbf {color {red}a} cdot mathbf {color {blue}b} +|mathbf {color {blue}b} |^{2}\&=|mathbf {color {red}a} |^{2}+|mathbf {color {blue}b} |^{2}-2|mathbf {color {red}a} |{cdot }|mathbf {color {blue}b} |cos mathbf {color {purple}theta } .\end{aligned}}}

Связанные определения[править | править код]

В современном аксиоматическом подходе уже на основе понятия скалярного произведения векторов вводятся следующие производные понятия[11]:

Длина вектора, под которой обычно понимается его евклидова норма:

{displaystyle |mathbf {a} |={sqrt {(mathbf {a} ,mathbf {a} )}}}

(термин «длина» обычно применяется к конечномерным векторам, однако в случае вычисления длины криволинейного пути часто используется и в случае бесконечномерных пространств).

Углом varphi между двумя ненулевыми векторами евклидова пространства (в частности, евклидовой плоскости) называется число, косинус которого равен отношению скалярного произведения этих векторов к произведению их длин (норм):

{displaystyle cos varphi ={frac {(mathbf {a} ,mathbf {b} )}{|mathbf {a} ||mathbf {b} |}} (0leqslant varphi leqslant pi ).}

Данные определения позволяют сохранить формулу: {displaystyle (mathbf {a} ,mathbf {b} )=|mathbf {a} ||mathbf {b} |cos(varphi )} и в общем случае. Корректность формулы для косинуса гарантирует неравенство Коши — Буняковского[12]:

Для любых элементов {displaystyle mathbf {a} ,mathbf {b} } векторного пространства со скалярным произведением выполняется неравенство:

{displaystyle vert (mathbf {a} ,mathbf {b} )vert ^{2}leqslant (mathbf {a} ,mathbf {a} )(mathbf {b} ,mathbf {b} )}

В случае, если пространство является псевдоевклидовым, понятие угла определяется лишь для векторов, не содержащих изотропных прямых внутри образованного векторами сектора. Сам угол при этом вводится как число, гиперболический косинус которого равен отношению модуля скалярного произведения этих векторов к произведению их длин (норм):

{displaystyle |(mathbf {a} ,mathbf {b} )|=|mathbf {a} ||mathbf {b} |operatorname {ch} varphi .}
  • Ортогональными (перпендикулярными) называются векторы, скалярное произведение которых равно нулю. Это определение применимо к любым пространствам с положительно определённым скалярным произведением. Например, ортогональные многочлены на самом деле ортогональны (в смысле этого определения) друг другу в некотором гильбертовом пространстве.
  • Пространство (вещественное или комплексное) с положительно определённым скалярным произведением называется предгильбертовым пространством.
    • При этом конечномерное вещественное пространство с положительно определённым скалярным произведением называется также евклидовым, а комплексное — эрмитовым или унитарным пространством.
  • Случай, когда скалярное произведение не является знакоопределённым, приводит к т. н. пространствам с индефинитной метрикой. Скалярное произведение в таких пространствах уже не порождает нормы (и она обычно вводится дополнительно). Конечномерное вещественное пространство с индефинитной метрикой называется псевдоевклидовым (важнейшим частным случаем такого пространства является пространство Минковского). Среди бесконечномерных пространств с индефинитной метрикой важную роль играют пространства Понтрягина и пространства Крейна.

История[править | править код]

Скалярное произведение было введено У. Гамильтоном в 1846 году[13] одновременно с векторным произведением в связи с кватернионами — соответственно, как скалярная и векторная часть произведения двух кватернионов, скалярная часть которых равна нулю[14].

Вариации и обобщения[править | править код]

В пространстве измеримых интегрируемых с квадратами на некоторой области Ω вещественных или комплексных функций можно ввести положительно определённое скалярное произведение:

{displaystyle (mathbf {f} ,mathbf {g} )=int limits _{Omega }f(x){overline {g(x)}}dOmega }

При использовании неортонормированных базисов скалярное произведение выражается через компоненты векторов с участием метрического тензора[15] g_{ij}:

{displaystyle (mathbf {a} ,mathbf {b} )=g_{ij}a^{i}b^{j}}

При этом сама метрика (говоря точнее, её представление в данном базисе) так связана со скалярными произведениями базисных векторов f_{i} :

{displaystyle g_{ij}=(mathbf {f} _{i},mathbf {f} _{j})}

Аналогичные конструкции скалярного произведения можно вводить и на бесконечномерных пространствах, например, на пространствах функций:

{displaystyle (mathbf {f} ,mathbf {g} )=int limits _{(Omega _{1}times Omega _{2})}K(x_{1},x_{2})f(x_{1})g(x_{2})d(Omega _{1}times Omega _{2})}
{displaystyle (mathbf {f} ,mathbf {g} )=int limits _{Omega }K(x)f(x)g(x)dOmega }

где К — положительно определённая, в первом случае симметричная относительно перестановки аргументов (при комплексных x — эрмитова) функция (если нужно иметь обычное симметричное положительно определённое скалярное произведение).

Простейшим обобщением конечномерного скалярного произведения в тензорной алгебре является свёртка по повторяющимся индексам.

См. также[править | править код]

  • Гильбертово пространство
  • Векторное произведение
  • Внешнее произведение
  • Псевдоскалярное произведение
  • Смешанное произведение

Примечания[править | править код]

  1. Hall B. C. Quantum Theory for Mathematicians. — NY: Springer Science & Business Media, 2013. — xvi + 553 p. — (Graduate Texts in Mathematics. Vol. 267). — ISBN 978-1-4614-7115-8. Архивная копия от 31 января 2016 на Wayback Machine — P. 85.
  2. Имеется в виду наименьший угол между векторами, не превосходящий pi.
  3. Векторная алгебра // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1977. — Т. 1. — С. 634.
  4. 1 2 Гельфанд, 1971, с. 30—31.
  5. Тарг С. М. Работа силы // Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Большая Российская энциклопедия, 1994. — Т. 4. — С. 193—194. — 704 с. — ISBN 5-85270-087-8.
  6. Кудрявцев Л. Д. Математический анализ. II том. — М., Высшая школа, 1970. — с. 316.
  7. Weisstein, Eric W. Dot Product Архивная копия от 29 апреля 2021 на Wayback Machine. From MathWorld — A Wolfram Web Resource.
  8. Calculus II – Dot Product. tutorial.math.lamar.edu. Дата обращения: 9 мая 2021. Архивировано 9 мая 2021 года.
  9. Гельфанд, 1971, с. 86.
  10. Stewart, James (2016), Calculus (8 ed.), Cengage, Section 13.2.
  11. Гельфанд, 1971, с. 34.
  12. §9.5. Линейные пространства со скалярным произведением: евклидовы и унитарные
  13. Crowe M. J. A History of Vector Analysis – The Evolution of the Idea of a Vectorial System. — Courier Dover Publications, 1994. — С. 32. — 270 с. — ISBN 0486679101. Архивная копия от 6 марта 2019 на Wayback Machine
  14. Hamilton W. R. On Quaternions; or on a New System of Imaginaries in Algebra // Philosophical Magazine. 3rd Series. — London, 1846. — Т. 29. — С. 30.
  15. Гельфанд, 1971, с. 240.

Литература[править | править код]

  • Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 4-е изд. — М.: Наука, 1971. — 272 с.

Ссылки[править | править код]

  • Емелин А. Скалярное произведение векторов. Дата обращения: 14 ноября 2019.

Все курсы > Линейная алгебра > Занятие 1

Материалы по линейной алгебре используют определения и примеры следующих курсов:

  • 3Blue1Brown⧉
  • Khan Academy: Linear Algebra⧉
  • Linear Algebra⧉, PCA⧉, ICL
  • Linear Algebra⧉, MIT
  • Matrix Methods for Data Analysis and Machine Learning⧉, MIT
  • Matrix Algebra for Engineers⧉

На первом занятии мы более подробно рассмотрим понятие вектора и векторного пространства.

Ноутбук к сегодняшнему занятию⧉

Понятие вектора

Вектор (vector) — это направленный отрезок, и для нас будет важно, что любой вектор обладает длиной (magnitude) и направлением (direction). Например, возьмем вот такой двумерный вектор $textbf{v}$

$$ textbf{v} = begin{bmatrix} 4 \ 3 end{bmatrix} $$

На курсе мы будем обозначать векторы полужирной строчной буквой, например $textbf{v}$, а матрицы заглавной буквой, например, А.

Вектор $textbf{v}$ удобно изобразить на координатной плоскости, исходящим из начала координат.

v = np.array([4, 3])

ax = plt.axes()

plt.xlim([0, 5])

plt.ylim([0, 5])

plt.grid()

ax.arrow(0, 0, v[0], v[1], width = 0.02, head_width = 0.1, head_length = 0.2, length_includes_head = True, fc = ‘r’, ec = ‘r’)

plt.annotate(‘v’,

             xy=(v[0]/2, v[1]/2),

             xytext=(10, 10),

             textcoords=‘offset points’,

             fontsize = 16)

plt.show()

вектор на плоскости, исходящий из начала координат

Добавлю, что вектор — частный случай матрицы. В случае вектор-столбца речь идет о матрице размерностью n x 1. В случае вектор-строки — 1 x n. Вектор $textbf{v}$ — это матрица 2 х 1.

Операции над векторами

Сложение векторов

Складывать векторы очень несложно. Достаточно сложить их компоненты или координаты.

$$ begin{bmatrix} 4 \ 3 end{bmatrix} + begin{bmatrix} 2 \ -1 end{bmatrix} = begin{bmatrix} 6 \ 2 end{bmatrix} $$

a = np.array([4, 3])

b = np.array([2, 1])

a_plus_b = a + b

a_plus_b

Графически, если поставить начало второго вектора в конец первого, сложение можно представить как расстояние от начала первого вектора до конца второго. Своего рода путь, пройденный двумя векторами.

ax = plt.axes()

plt.xlim([0, 7])

plt.ylim([0, 7])

plt.grid()

arrow_a = ax.arrow(0, 0, a[0], a[1], width = 0.02, head_width = 0.2, head_length = 0.2, length_includes_head = True, fc = ‘r’, ec = ‘r’)

arrow_b = ax.arrow(a[0], a[1], b[0], b[1], width = 0.02, head_width = 0.2, head_length = 0.2, length_includes_head = True, fc = ‘g’, ec = ‘g’)

arrow_a_plus_b = ax.arrow(0, 0, a_plus_b[0], a_plus_b[1], width = 0.02, head_width = 0.2, head_length = 0.2, length_includes_head = True, fc = ‘b’, ec = ‘b’)

plt.legend([arrow_a, arrow_b, arrow_a_plus_b], [‘вектор a’, ‘вектор b’, ‘вектор a + b’], prop = {‘size’: 16})

plt.show()

сложение двух векторов

Сложение векторов ассоциативно $textbf{a} + textbf{b} = textbf{b} + textbf{a}$.

Умножение на скаляр

Умножение на скаляр просто удлиняет или укорачивает вектор.

$$ 2 cdot textbf{v} = 2 cdot begin{bmatrix} 4 \ 3 end{bmatrix} = begin{bmatrix} 8 \ 6 end{bmatrix} $$

v = np.array([4, 3])

double_v = 2 * v

double_v

ax = plt.axes()

plt.xlim([0, 10])

plt.ylim([0, 10])

plt.grid()

ax.arrow(0, 0, double_v[0], double_v[1], width = 0.02, head_width = 0.1, head_length = 0.2, length_includes_head = True, fc = ‘b’, ec = ‘b’)

plt.annotate(‘2v’, xy=(double_v[0], double_v[1]), xytext=(10, 10), textcoords=‘offset points’, fontsize = 16)

ax.arrow(0, 0, v[0], v[1], width = 0.02, head_width = 0.1, head_length = 0.2, length_includes_head = True, fc = ‘r’, ec = ‘r’)

plt.annotate(‘v’, xy=(v[0], v[1]), xytext=(10, 10), textcoords=‘offset points’, fontsize = 16)

plt.show()

умножение на скаляр

Умножение на отрицательное число не только удлиняет или укорачивает вектор, но и переворачивает его направление.

$$ -0,5 cdot textbf{v} = -0,5 cdot begin{bmatrix} 4 \ 3 end{bmatrix} = begin{bmatrix} -2 \ -1,5 end{bmatrix} $$

v = np.array([4, 3])

neg_half_v = 0.5 * v

neg_half_v

ax = plt.axes()

plt.xlim([5, 5])

plt.ylim([5, 5])

plt.grid()

ax.arrow(0, 0, neg_half_v[0], neg_half_v[1], width = 0.02, head_width = 0.1, head_length = 0.2, length_includes_head = True, fc = ‘b’, ec = ‘b’)

plt.annotate(‘-0.5v’, xy=(neg_half_v[0], neg_half_v[1]), xytext=(10, 10), textcoords=‘offset points’, fontsize = 16)

ax.arrow(0, 0, v[0], v[1], width = 0.02, head_width = 0.1, head_length = 0.2, length_includes_head = True, fc = ‘r’, ec = ‘r’)

plt.annotate(‘v’, xy=(v[0], v[1]), xytext=(10, 10), textcoords=‘offset points’, fontsize = 16)

plt.show()

умножение на отрицательное число

Очевидно, что умножение на −1 просто переворачивает направление вектора, но не меняет его длины.

$$ -1 cdot textbf{v} = -1 cdot begin{bmatrix} 4 \ 3 end{bmatrix} = begin{bmatrix} -4 \ -3 end{bmatrix} $$

v = np.array([4, 3])

neg_one_v = 1 * v

neg_one_v

ax = plt.axes()

plt.xlim([5, 5])

plt.ylim([5, 5])

plt.grid()

ax.arrow(0, 0, neg_one_v[0], neg_one_v[1], width = 0.02, head_width = 0.1, head_length = 0.2, length_includes_head = True, fc = ‘b’, ec = ‘b’)

plt.annotate(‘-v’, xy=(neg_one_v[0], neg_one_v[1]), xytext=(10, 10), textcoords=‘offset points’, fontsize = 16)

ax.arrow(0, 0, v[0], v[1], width = 0.02, head_width = 0.1, head_length = 0.2, length_includes_head = True, fc = ‘r’, ec = ‘r’)

plt.annotate(‘v’, xy=(v[0], v[1]), xytext=(10, 10), textcoords=‘offset points’, fontsize = 16)

plt.show()

умножение на минус один

Вычитание и деление на число

Вычитание векторов можно представить как сумму первого вектора со вторым вектором, умноженным на −1.

$$ begin{bmatrix} 4 \ 3 end{bmatrix} + left( -1 cdot begin{bmatrix} 2 \ -1 end{bmatrix} right) = begin{bmatrix} 2 \ 4 end{bmatrix} $$

a = np.array([4, 3])

b = np.array([2, 1])

b_neg = 1 * b

a_minus_b = a + b_neg

b_neg, a_minus_b

(array([-2,  1]), array([2, 4]))

Графически мы сначала находим вектор $textbf{-b}$ (зеленая стрелка), а затем прибавляем его к вектору $textbf{a}$ (красная стрелка).

plt.figure(figsize = (8, 8))

ax = plt.axes()

plt.xlim([0, 7])

plt.ylim([0, 7])

plt.grid()

arrow_a = ax.arrow(0, 0, a[0], a[1], width = 0.02, head_width = 0.2, head_length = 0.2, length_includes_head = True, fc = ‘r’, ec = ‘r’)

arrow_b_neg = ax.arrow(a[0], a[1], b_neg[0], b_neg[1], width = 0.02, head_width = 0.2, head_length = 0.2, length_includes_head = True, fc = ‘g’, ec = ‘g’)

arrow_b = ax.arrow(a[0], a[1], b[0], b[1], width = 0.0001, head_width = 0.1, head_length = 0.1, length_includes_head = True, fc = ‘black’, ec = ‘black’, linestyle = ‘–‘)

arrow_a_minus_b = ax.arrow(0, 0, a_minus_b[0], a_minus_b[1], width = 0.02, head_width = 0.2, head_length = 0.2, length_includes_head = True, fc = ‘b’, ec = ‘b’)

plt.legend([arrow_a, arrow_b_neg, arrow_b, arrow_a_minus_b], [‘вектор a’, ‘вектор -b’, ‘вектор b’, ‘вектор a+(-b)’], prop = {‘size’: 16})

plt.show()

вычитание векторов

Остается добавить, что деление вектора на число, это всего лишь умножение на обратное число (multiplicative inverse). Разделим вектор $textbf{v}$ на семь.

$$ frac{textbf{v}}{7} = begin{bmatrix} 4 \ 3 end{bmatrix} cdot frac{1}{7} = begin{bmatrix} frac{4}{7} \ frac{3}{7} end{bmatrix} $$

v = np.array([4, 3])

v * (1/7)

array([0.57142857, 0.42857143])

Тот факт, что мы выразили вычитание через сложение и умножение на скаляр, а деление через умножение на обратное число позволило нам остаться в пределах операций сложения и умножения на скаляр.

Видео про векторы⧉.

Длина вектора

Длину или норму вектора (norm, length, magnitude or size of a vector) рассчитать не сложно, достаточно вспомнить теорему Пифагора. Снова возьмем вектор $textbf{v}$

$$ textbf{v} = begin{bmatrix} 4 \ 3 end{bmatrix} $$

v = np.array([4, 3])

ax = plt.axes()

plt.xlim([0, 5])

plt.ylim([0.01, 5])

plt.grid()

ax.arrow(0, 0, v[0], v[1], width = 0.02, head_width = 0.1, head_length = 0.2, length_includes_head = True, fc = ‘r’, ec = ‘r’)

plt.annotate(‘v’, xy=(v[0]/2, v[1]/2), xytext=(10, 10), textcoords=‘offset points’, fontsize = 16)

ax.hlines(y = 0, xmin = 0, xmax = 4, linewidth = 3, color = ‘b’, linestyles = ‘–‘)

ax.vlines(x = 4, ymin = 0, ymax = 3, linewidth = 3, color = ‘g’, linestyles = ‘–‘)

plt.show()

координаты вектора и сам вектор образуют прямоугольный треугольник

Как видно на графике, вектор $textbf{v}$, смещение вдоль оси x и смещение вдоль оси y образуют прямоугольный треугольник. Значит, длина вектора (гипотенуза) равна квадратному корню из суммы квадратов смещений (катетов или в нашем случае координат).

$$ ||textbf{v}|| = sqrt{4^2 + 3^2} = sqrt{25} = 5 $$

Для n-мерного вектора ничего не меняется.

$$ ||textbf{v}|| = sqrt{v_1^2 + v_2^2 + dots + v_n^2} $$

Например, найдем длину трехмерного вектора $textbf{w}$.

$$ textbf{w} = begin{bmatrix} 6 \ 3 \ 2 end{bmatrix} rightarrow ||textbf{w}|| = sqrt{6^2 + 3^2 + 2^2} = sqrt{49} = 7 $$

Единичный вектор

Вектор с длиной, равной единице, называют единичным вектором (unit vector). Примерами единичных векторов, с которыми мы будем часто встречаться в пространстве $ R^2 $, являются следующие два вектора

$$ hat{i} = begin{bmatrix} 1 \ 0 end{bmatrix}, hat{j} = begin{bmatrix} 0 \ 1 end{bmatrix} $$

Единичный вектор принято обозначать строчной буквой с знаком циркумфлекса, «крышечки» (hat).

Проверим, равна ли их длина единице.

$$ ||hat{i}|| = sqrt{1^2 + 0^2} = sqrt{1} = 1, ||hat{j}|| = sqrt{0^2 + 1^2} = sqrt{1} = 1 $$

Интересно, что с помощью векторов $ hat{i}, hat{j} $ можно выразить любой другой вектор в $ R^2 $. Например, вектор $textbf{v}$ можно представить как

$$ 4 begin{bmatrix} 1 \ 0 end{bmatrix} + 3 begin{bmatrix} 0 \ 1 end{bmatrix} = begin{bmatrix} 4 \ 3 end{bmatrix} rightarrow 4hat{i} + 3 hat{j} $$

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

v = np.array([4, 3])

i = np.array([1, 0])

j = np.array([0, 1])

ax = plt.axes()

plt.xlim([0.07, 4.5])

plt.ylim([0.07, 4.5])

plt.grid()

ax.arrow(0, 0, v[0], v[1], width = 0.02, head_width = 0.1, head_length = 0.2, length_includes_head = True, fc = ‘r’, ec = ‘r’)

plt.annotate(‘v’, xy=(v[0]/2, v[1]/2), xytext=(10, 10), textcoords=‘offset points’, fontsize = 16)

ax.arrow(0, 0, i[0], i[1], width = 0.02, head_width = 0.1, head_length = 0.2, length_includes_head = True, fc = ‘g’, ec = ‘g’)

ax.arrow(0, 0, j[0], j[1], width = 0.02, head_width = 0.1, head_length = 0.2, length_includes_head = True, fc = ‘g’, ec = ‘g’)

plt.show()

вектор, как линейная комбинация базисных векторов

Это обстоятельство нам пригодится в будущем.

Нормализация вектора

Длина нормализованного вектора равна единице. Для того чтобы нормализовать вектор, достаточно разделить вектор на его длину. Создадим единичный вектор $hat{v}$ для вектора $textbf{v}$.

$$ hat{v} = frac{textbf{v}}{||textbf{v}||} = frac{1}{5} cdot begin{bmatrix} 4 \ 3 end{bmatrix} = begin{bmatrix} frac{4}{5} \ frac{3}{5} end{bmatrix} $$

v = np.array([4, 3])

v * (1/np.linalg.norm(v))

Скалярное произведение

Важной операцией над векторами является уже знакомое нам скалярное произведение (dot product). В качестве напоминания того, как работает скалярное произведение приведем несложный пример. Пусть даны два вектора $textbf{v}$ и $textbf{w}$.

$$ textbf{v} = begin{bmatrix} 4 \ 3 end{bmatrix}, textbf{w} = begin{bmatrix} 2 \ 1 end{bmatrix} $$

Найдем их скалярное произведение.

$$ textbf{v} cdot textbf{w} = 4 cdot 2 + 3 cdot 1 = 11 $$

Как вы видите, мы перемножаем компоненты векторов и складываем получившиеся произведения.

Скалярное произведение как длина вектора

Интересно, что корень из скалярного произведения вектора на самого себя есть его длина.

$$ sqrt{ textbf{v} cdot textbf{v} } = sqrt{4 cdot 4 + 3 cdot 3 } = sqrt{ 4^2 + 3^2 } = sqrt{25} = 5 $$

v = np.array([4, 3])

np.sqrt(v.dot(v))

Угол между векторами

Помимо этого скалярное произведение определяется как произведение длин векторов на косинус угла между ними.

$$ mathbf a cdot mathbf b = ||a|| cdot ||b|| cdot cos(theta) $$

Именно это свойство привело нас к расчету косинусного расстояния между векторами.

$$ cos(theta) = frac{mathbf a cdot mathbf b}{||a|| cdot ||b||} $$

Выведем эту формулу. Для начала вспомним теорему косинусов.

теорема косинусов

$$ c^2 = a^2 + b^2-2ab cdot cos(theta) $$

Теперь представим, что у нас не стороны треугольника, а векторы. Если сторону а обозначить как вектор $ textbf{a} $, сторону b — как вектор $ textbf{b} $, то сторона с станет разностью между $ textbf{a} $ и $ textbf{b} $. Чтобы убедиться в этом, найдите $ textbf{-b} $ и приставьте его к окончанию $ textbf{a} $.

треугольник из векторов

Выразим теорему косинусов через длины векторов.

$$ || a-b ||^2 = ||a||^2 + ||b||^2-2 cdot ||a|| cdot ||b|| cdot cos(theta) $$

Помня, что длина есть скалярное произведение вектора на самого себя, мы можем выразить левую часть $ || a-b || $ как

$$ (a-b)(a-b) = a cdot a-a cdot b-b cdot a + (-b) cdot (-b) = ||a||^2-2ab + ||b||^2 $$

Поместим результат в исходное выражение.

$$ ||a||^2-2ab + ||b||^2 = ||a||^2 + ||b||^2-2 cdot ||a|| cdot ||b|| cdot cos(theta) $$

Сократив подобные члены получим

$$ a cdot b = ||a|| cdot ||b|| cdot cos(theta) $$

Выводы. Из тригонометрии мы помним, что косинус 90 градусов равен нулю. Как следствие, скалярное произведение перпендиклярных (правильнее сказать ортогональных (orthogonal)) векторов $ textbf{a} perp textbf{b} $ равно нулю.

$$ a cdot b = ||a|| cdot ||b|| cdot cos(90) = 0 $$

Очевидно, что если угол между двумерными векторами меньше 90 градусов, косинус, а значит и скалярное произведение положительны. В противном случае — отрицательны. Для n-мерных векторов положительное скалярное произведение говорит, что они в целом смотрят в одну строну, отрицательное — противоположные.

Для коллинеарных (сонаправленных) векторов скалярное произведение равно произведению их длин, потому что косинус нуля равен единице.

$$ a cdot b = ||a|| cdot ||b|| cdot cos(0) = ||a|| cdot ||b|| $$

Добавлю, что если $ textbf{a} $ и $ textbf{b} $ — единичные векторы, то косинус угла между векторами просто равен его их скалярному произведению.

$$ cos(theta) = a cdot b $$

Рассчитаем косинусное расстояние для векторов

$$ textbf{v} = begin{bmatrix} 4 \ 3 end{bmatrix}, textbf{w} = begin{bmatrix} 1 \ 7 end{bmatrix} $$

a = np.array([4, 3])

b = np.array([1, 7])

numerator = np.dot(a, b)

aLen = np.linalg.norm(a)

bLen = np.linalg.norm(b)

denominator = aLen * bLen

cosine = numerator / denominator

angle = np.arccos(cosine) * 360/2/np.pi

cosine, angle

(0.7071067811865475, 45.00000000000001)

from scipy.spatial import distance

1 distance.cosine([4, 3], [1, 7])

Внешнее произведение

Под внешним произведением (outer product) понимается умножение вектор-столбца на вектор-строку по обычным правилам матричного умножения. Результатом такого произведения будет матрица, а не число, как в случае скалярного произведения.

внешнее произведение

Источник: Википедия⧉

Ортогональность векторов

Еще раз продемонстрируем, почему если векторы ортогональны, их скалярное произведение будет равно нулю. Возьмем три вектора, образовывающих прямоугольный треугольник.

Тогда, по теореме Пифагора,

$$ || mathbf x ||^2 + || mathbf y ||^2 = || mathbf x + mathbf y ||^2 $$

$$ mathbf x^T mathbf x + mathbf y^T mathbf y = (mathbf x + mathbf y)^T (mathbf x + mathbf y) $$

$$ mathbf x^T mathbf x + mathbf y^T mathbf y = mathbf x^T mathbf x + mathbf y^T mathbf y + mathbf x^T mathbf y + mathbf y^T mathbf x $$

$$ mathbf x^T mathbf x + mathbf y^T mathbf y = mathbf x^T mathbf x + mathbf y^T mathbf y + 2 mathbf x^T mathbf y $$

$$ mathbf 0 = 2 mathbf x^T mathbf y $$

$$ mathbf x^T mathbf y = mathbf 0 $$

Проекция вектора на вектор

Подойдем к скалярному произведению с другой стороны. Рассмотрим два вектора $ textbf{a} $ и $ textbf{b} $ и найдем проекцию первого вектора на второй.

проекция вектора на вектор

Проекция через угол между векторами

Говоря неформально, проекцией вектора $ textbf{a} $ на вектор $ textbf{b} $ будет такой участок вектора $ textbf{b} $, что расстояние от точки A до точки B минимально. Минимальным оно будет, если угол OAB будет равен 90 градусов. Получается прямоугольный треугольник. Найдем отрезок OB.

$$ cos(theta) = frac {OB}{OA} = frac {OB}{||a||} rightarrow OB = ||a|| cdot cos(theta) $$

Выразим то же самое через формулу скалярного произведения, заменив $||a|| cdot cos(theta) $ на OB.

$$ b cdot a = ||b|| cdot ||a|| cdot cos(theta) rightarrow b cdot a = ||b|| cdot OB $$

Так мы нашли длину проекции OB. Ее называют числовой или скалярной проекцией (scalar projection).

$$ frac{b cdot a}{||b||} = ||a|| cdot cos(theta) = OB $$

Более того, если длина вектора $ textbf{b} $ равна единице, то длина проекции OB просто равна скалярному произведению.

$$ ||b|| = 1 rightarrow b cdot a = OB $$

Это объясняет, почему скалярное произведение еще называют projection product.

Очевидное и тем не менее интересное примечание. Обратите внимание на связь понимания скалярного произведения как проекции одного вектора на другой и произведения длин векторов на косинус угла между ними. Если векторы перпендикулярны, проекция одного вектора на другой равна нулю, а значит и произведение проекции второго вектора на первый равно нулю.

перпендикулярные векторы

Предположим, нас интересует не только длина проекции, но и ее направление. В этом случае говорят про векторную проекцию (vector projection).

векторная проекция

Она выражается как произведение нормализованного вектора $ textbf{b} $ на длину проекции (то есть скалярную проекцию) OB.

$$ proj_mathbf{b} textbf{a} = OB cdot hat{b} $$

Перепишем OB через скалярное произведение, а $hat{b}$ через частное вектора $ textbf{b} $ на его длину.

$$ proj_mathbf{b} textbf{a} = frac{b cdot a}{||b||} cdot frac{b}{||b||} $$

Таким образом, можно сказать, что векторная проекция показывает, длину вектора $ textbf{a} $ в направлении вектора $ textbf{b} $.

Пример. Возьмем два вектора a и b и найдем вначале скалярную, затем векторную проекцию вектора a на вектор b.

a = np.array([3, 4])

b = np.array([1, 1])

scalar_proj_a_on_b = np.dot(a, b) / np.linalg.norm(b)

scalar_proj_a_on_b

vector_proj_a_on_b = scalar_proj_a_on_b * (b / np.linalg.norm(b))

vector_proj_a_on_b

a = np.array([3, 4])

b = np.array([1, 1])

proj = np.array([3.5, 3.5])

ax = plt.axes()

plt.xlim([0.07, 4.5])

plt.ylim([0.07, 4.5])

plt.grid()

ax.arrow(0, 0, a[0], a[1], width = 0.02, head_width = 0.1, head_length = 0.2, length_includes_head = True, fc = ‘r’, ec = ‘r’)

ax.arrow(0, 0, b[0], b[1], width = 0.02, head_width = 0.1, head_length = 0.2, length_includes_head = True, fc = ‘k’, ec = ‘k’)

ax.arrow(0, 0, proj[0], proj[1], width = 0.02, head_width = 0.1, head_length = 0.2, length_includes_head = True, fc = ‘g’, ec = ‘g’)

plt.show()

пример нахождения скалярной и векторной проекции

Матрица проекции

Векторную проекцию можно выразить с помощью матрицы проекции $P$.

$$ proj_mathbf{b} textbf{a} = P cdot mathbf a = frac{mathbf b mathbf b^T}{mathbf b^T mathbf b} cdot mathbf a $$

В знаменателе находится скалярное произведение и результатом умножения будет число. В числителе — внешнее произведение и результатом будет матрица. Найдем внешнее произведение из примера выше.

b_bT = np.outer(b, b)

b_bT

Найдем скалярное произведение.

Создадим матрицу проекции $P$ и умножим ее на вектор $mathbf a$.

Симметрия скалярного произведения

Продемонстрируем с точки зрения проекции, почему $a cdot b = b cdot a $. Возьмем два вектора a и b.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

a = np.array([1, 3])

b = np.array([4, 1])

i = np.array([1, 0])

j = np.array([0, 1])

ax = plt.axes()

plt.xlim([0.07, 4])

plt.ylim([0.07, 4])

plt.grid()

ax.arrow(0, 0, a[0], a[1], width = 0.02, head_width = 0.1, head_length = 0.2, length_includes_head = True, fc = ‘r’, ec = ‘r’)

ax.arrow(0, 0, b[0], b[1], width = 0.02, head_width = 0.1, head_length = 0.2, length_includes_head = True, fc = ‘k’, ec = ‘k’)

ax.arrow(0, 0, i[0], i[1], width = 0.02, head_width = 0.1, head_length = 0.2, length_includes_head = True, fc = ‘g’, ec = ‘g’)

ax.arrow(0, 0, j[0], j[1], width = 0.02, head_width = 0.1, head_length = 0.2, length_includes_head = True, fc = ‘g’, ec = ‘g’)

ax.plot([0, 4], [0, 4], linestyle = ‘dashed’)

plt.show()

симметрия скалярного произведения

Выше мы сказали, что $ a cdot b = OB cdot ||b|| $. То есть скалярное произведение вектора a на вектор b равно произведению проекции a на b, умноженной на длину вектора b.

Продемонстрируем, что произведение проекции вектора a на вектор b, умноженное на длину вектора b, равно произведению проекции вектора b на вектор a, умноженному на длину вектора a.

$$ proj_ba times || b || = proj_ab times || a || $$

scalar_proj_a_on_b = np.dot(a, b) / np.linalg.norm(b)

scalar_proj_a_on_b * np.linalg.norm(b)

scalar_proj_b_on_a = np.dot(b, a) / np.linalg.norm(a)

scalar_proj_b_on_a * np.linalg.norm(a)

np.dot(a, b), np.dot(b, a)

Видео про скалярное произведение векторов⧉.

Векторное произведение

Векторное произведение (cross product) задано только в трехмерном пространстве. Результатом такого произведения будет вектор, перпендикулярный каждому из исходных векторов. Приведем иллюстрацию из Википедии⧉.

векторное произведение

Математически векторное произведение задается формулой

$$ a times b = || a || || b || sin(theta) $$

Геометрически — это площадь параллелограмма, сформированного из исходных векторов a и b.

векторное произведение как площадь параллелограмма

Приведем пример.

a = [1, 2, 3]

b = [4, 5, 6]

np.cross(a, b)

Подведем итог

Сегодня мы ввели понятие вектора, познакомились с базовыми операциями с векторами, в частности, изучили скалярное произведение векторов и научились находить скалярную и векторную проекцию одного вектора на другой.

Перейдем к рассмотрению векторного пространства.

Содержание:

Определение: Вектором называется направленный отрезок прямой Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

где А начало, а В конец вектора.

Замечание: Векторы в основном обозначают одной прописной буквой латинского алфавита со стрелочкой (или черточкой) наверху Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

Определение: Если начало и конец вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения не закреплены, то он называется свободным.

Замечание: Свободный вектор можно перемещать как вдоль его прямой, так и параллельно самому себе.

Определение: Если зафиксирована точка, которая определяет начало вектора, то она называется точкой приложения вектора.

Определение: Длиной (модулем) вектора а называется расстояние от его начала до его конца: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Определение: Векторы называются коллинеарными (Рис. 1), если они лежат на одной прямой или в параллельных прямых.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Рис.1. Коллинеарные векторы.

Определение: Векторы называются компланарными (Рис. 2), если они лежат в одной плоскости или параллельных плоскостях.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Рис.2. Компланарные векторы.

Определение: Два коллинеарных вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения называются равными, если они со-направлены и имеют одинаковую длину.

Определение вектора и основные свойства

Многие величины, например, масса, длина, время, температура и др. характеризуются только числовыми значениями. Такие величины называются скалярными величинами. Некоторые же величины, например, скорость, ускорение, сила и др. определяются как числовыми значениями, так и направлением. Такие величины называются векторными величинами. Перемещение – самый простой пример векторных величин. Перемещение тела из точки Вектор - определение и основные понятия с примерами решения в точку Вектор - определение и основные понятия с примерами решения изображается с помощью направленного от Вектор - определение и основные понятия с примерами решения до Вектор - определение и основные понятия с примерами решения отрезка – вектора. Вектор изображается с помощью направленного отрезка.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Длина этого отрезка, называется длиной или модулем вектора. Вектор обозначается указанием начальной и конечной точки. Например, вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, здесь Вектор - определение и основные понятия с примерами решения – начало, Вектор - определение и основные понятия с примерами решения вектора. Вектор обозначается также и маленькими буквами, например, вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения. Длину вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения обозначают, как: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Два вектора называется равными, если они равны по модулю и одинаково направлены. На рисунке векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения равны: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

• Два вектора называются противоположными, если они равны по модулю и противоположно направлены.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения противоположны: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Если начало и конец вектора совпадают, то такой вектор называется нулевым и обозначается Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Длина нулевого вектора равна 0, а направление не определено. Если направленные отрезки, изображающие векторы, параллельны или лежат на одной и той же прямой, то они называются коллинеарными векторами. Коллинеарные вектора могут быть одинаково направлены или противоположно направлены. Одинаково направленные вектора обозначаются как Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, а противоположно направленные Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

На рисунке векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения -коллинеарные векторы. Здесь Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Выражения вектора компонентами в координатной плоскости

Рассмотрим вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения на координатной плоскости. Конечная точка Вектор - определение и основные понятия с примерами решения относительно начальной точки Вектор - определение и основные понятия с примерами решения изменила свое положение вдоль оси Вектор - определение и основные понятия с примерами решения на Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (при Вектор - определение и основные понятия с примерами решения направо, при Вектор - определение и основные понятия с примерами решения налево), вдоль оси Вектор - определение и основные понятия с примерами решения на Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (при Вектор - определение и основные понятия с примерами решения вверх, при Вектор - определение и основные понятия с примерами решения вниз). Векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, определенные (и по модулю, и по направлению) парами чисел Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения(как указано выше), являются компонентами вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения. На координатной плоскости вектор записывается как Вектор - определение и основные понятия с примерами решения. Эта запись называется записью вектора с компонентами.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Равные векторы имеют равные компоненты. Наоборот, если, соответствующие компоненты векторов равны, то эти векторы равны. На рисунке Вектор - определение и основные понятия с примерами решения. Если дан какой либо вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, то выбрав любую точку плоскости как начало, можно построить вектор равный данному, причем только один. Значит, выбирая разные начальные точки можно построить бесконечно много векторов равных данному.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

На координатной плоскости вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения с начальной точкой Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и конечной точкой Вектор - определение и основные понятия с примерами решения согласно координатам этих точек можно выразить с компонентами. Так как Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, то Вектор - определение и основные понятия с примерами решения. Здесь Вектор - определение и основные понятия с примерами решения называются также координатами вектора.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Длина вектора

Длину вектора можно найти по координатам начальной у и конечной точек, используя формулу расстояния между точками.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Длину вектора данными с компонентами можно найти по формуле: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Пример 1.

Напишите вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения начальная точка которого Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, конечная Вектор - определение и основные понятия с примерами решения в виде Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Решение: Напишем вектор с компонентами: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Пример 2.

Точка Вектор - определение и основные понятия с примерами решения начальная точка вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Найдите координаты конечной точки этого вектора.

Решение: Примем за координаты конечной точки вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения – точку Вектор - определение и основные понятия с примерами решения: Тогда Вектор - определение и основные понятия с примерами решения. Конечная точка этого вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Пример 3.

В координатной плоскости нарисуйте несколько векторов равных вектору Вектор - определение и основные понятия с примерами решения начальными точками которых являются точки Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

Решение: Данные точки отмечаются на координатной плоскости. Начиная с этих точек изображаются векторы равные Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Пример 4.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения соответственно начальная и конечная точка вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения. Напишите этот вектор в виде Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и найдите длину Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Направление вектора

В соответствии с областями применения существуют различные способы определения направления вектора. В повседневной жизни мы выражаем направление словами налево, направо, вниз, вверх или же восток, запад, север, юг. На координатной плоскости направление вектора определяется углом с положительным направлением оси Вектор - определение и основные понятия с примерами решения против часовой стрелки. Этот угол назовем углом наклона.

На рисунке длина вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения обозначена Вектор - определение и основные понятия с примерами решения а угол, определяющий направление, через Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

длина вектора: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

направление вектора: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения или Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Иногда для простоты вектор изображается на плоскости только указанием положительного направления Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияВектор - определение и основные понятия с примерами решения

Пример 1.

Вектор перемещения, модуль которого 200 м, направлен под углом наклона Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Выбрав масштаб 1 см : 100 м, нарисуйте этот вектор.

Решение: От начала луча, образующий с положительным направлением оси Вектор - определение и основные понятия с примерами решения угол в Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, соответственно масштабу 1 см : 100 м линейкой отложим отрезок длиной 2 см.

Пример 2.

Определите длину и угол наклона вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Решение: Произвольную точку на координатной плоскости примем за начало вектора. От этой точки по горизонтальной оси отложим компоненту Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, равную 3 единицам, по вертикальной оси отложим компоненту Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, равную 4 единицам, и построим вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения как показано на рисунке. Если измерить транспортиром угол Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, то можно увидеть, что его приближенное значение равно Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Это можно проверить вычислениями.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Длина вектора: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Угол наклона: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Сложение и вычитание коллинеарных векторов

Вектор, показывающий сумму одинаково направленных коллинеарных векторов называется результирующим. Его абсолютная величина равна сумме абсолютных величин данных векторов, а сам вектор имеет одинаковое направление с данными векторами.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Абсолютная величина результирующего вектора 2-х противоположно-направленных коллинеарных векторов равна разности абсолютных величин этих векторов, а направление совпадает с направлением вектора большего по абсолютной величине.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Выполним графически сложение векторов, соответствующее реальным жизненным ситуациям.

Задача 1.

Для того, чтобы достичь финиша, Джамиля должна пройти 3 знака. Если она пройдет 10 м на восток, то доберется до 1-го знака, потом пройдя 50 м вперед до 2-го знака и, пройдя в том же направлении еще 20 м, сможет добраться до финиша. Изобразите движение Джамили графически – векторами. Выберем масштаб:

1 см : 10 м и на числовой оси нарисуем векторы так, чтобы начало второго вектора совпало с концом первого, а начало третьего с концом второго.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Результирующий вектор обозначим через Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Его длину можно выразить как: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Общее перемещение: 10 м + 50 м + 20 м = 80 м (на восток) Изображается вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения длиной 8 см согласно выбранному масштабу.

Задача 2.

Представьте, что вы прошли 100 м на восток, еще 200 метров на запад.

Нарисуем данные вектора в масштабе

По определению, модуль результирующего вектора равен разности модулей векторов. А направление будет на запад.

В этом случае длина результирующего вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения равна: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

200 м 100 м = 100 м (на запад)

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Пусть векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения противоположно направленные, а Вектор - определение и основные понятия с примерами решения их результирующий вектор. При Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения одинаково направлен с вектором Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

При Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения одинаково направлен с вектором Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

При Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то есть сумма противоположных векторов равна Вектор - определение и основные понятия с примерами решения вектору.

Для того, чтобы найти разность Вектор - определение и основные понятия с примерами решения нужно к вектору Вектор - определение и основные понятия с примерами решения прибавить вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, противоположный вектору Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

То есть выражения Вектор - определение и основные понятия с примерами решения эквивалентные.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияВектор - определение и основные понятия с примерами решения

Жившие в XVII веке ученые-математики Рене Декарт и Пьер Ферма, взаимосвязывая алгебру и геометрию, создали новую область науки-аналитическую геометрию. Аналитическая геометрия, благодаря методу координат, позволила, с одной стороны, посредством алгебраических выкладок легко доказывать геометрические теоремы, а с другой стороны, в силу наглядности геометрических представлений упрощает решение задач над векторами.

Сложение векторов

Существуют различные способы сложения неколлинеарных векторов. Рассмотрим два графических способа. При сложении векторов графическим способом данные вектора и результирующий вектор, показывающий их сумму строятся с помощью линейки (модуль) и транспортира(направление).

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектора можно складывать в любой последовательности. Переместительное свойство сложения верно и для векторов. По этому правилу можно складывать три и более вектора. Определим графическим способом вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Для этого: 1) нарисуем вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияпротивоположный вектору Вектор - определение и основные понятия с примерами решения 2) Вектор - определение и основные понятия с примерами решения переместим так, чтобы конечная точка вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения совпадала с начальной точкой вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияВектор - определение и основные понятия с примерами решения

3. Соединим начальную точку вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и конечную точку вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Это будет вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Пример 1.

Джамал прошел от палатки, разбитой в лагере 60 метров на юг, 120 м на восток, еще 100 м на север и дошел до озера. Какое наименьшее расстояние от палатки до озера?

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Решение:

Выберем масштаб: 1 см : 40 м

Движение Джамала изобразим последовательно соответствующими векторами по выбранному масштабу.

Начальную точку 1-го вектора, показывающего движение Джамала, соединим с конечной точкой 3-го вектора. Полученный результирующий вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения выражает сумму векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Длина этого вектора приблизительно 126,4 метров, а направление под углом Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Ответ: Озеро находится на расстоянии 126,4 м от палатки.

Правило параллелограмма

1. Даны вектора: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

2. Переместим вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения так, чтобы начальные точки векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения совпадали.

3. Построим параллелограмм со сторонами Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения параллельным переносом соответствующих векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Диагональ этого параллелограмма, которая соединяет начальную и конечную точку векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения показывает их сумму: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Переместительные и сочетательные свойства сложения векторов

Для любых векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения верно следующее:

Переместительное свойство: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Сочетательное свойство: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Свойство идентичности: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Сумма противоположенных векторов: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Пример:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Сложение векторов, заданных компонентами

Выполним сложение двух векторов на координатной плоскости, используя их компоненты.

Суммой векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения будет вектор: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Пример 1.

Если Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения выразите через компоненты.

Решение: Для того, чтобы найти компоненты вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения нужно по горизонтали (оси абсцисс) и по вертикали (оси ординат) сложить соответствующие компоненты векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Пример 2.

Самолет летит в направлении северо-востока со скоростью 707 миль/час. Скорость самолета выражается вектором Вектор - определение и основные понятия с примерами решения В восточном направлении дует ветер со скоростью 40 миль/час. Скорость ветра выражается вектором Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Как изменится скорость самолета под воздействием ветра? Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Конечная скорость самолета:Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Аналогично можно показать, что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Пример 3.

Если Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, то Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Тригонометрические отношения и компоненты вектора

Найдем компоненты вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения в координатной плоскости, используя тригонометрические отношения. Обозначим Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения имеем: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Запись Вектор - определение и основные понятия с примерами решения также является записью вектора с компонентами. Угол наклона можно найти по формуле Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Пример 1.

Автомобиль движется в северо-восточном направлении под углом Вектор - определение и основные понятия с примерами решения со скоростью 80 км/ч. Напишите вектор скорости с компонентами.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Решение: По данным Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

скорость в вост. напр. Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

скорость в север, напр. Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Пример 2.

Движения мяча изображены двумя векторами: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения с углом наклона Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и модулем равным 18 м и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения с углом наклона Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и модулем равным 10 м. Определите вектор, показывающий перемещение мяча (модуль и направление).

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Решение: Перемещение мяча: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Запишем векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения c компонентами: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Здесь Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Пусть Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

По правилу сложения векторов с заданными компонентами имеем: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Найдем длину и угол наклона вектора перемежения Вектор - определение и основные понятия с примерами решения мяча, изобразив этот вектор в новой системе координат.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияВектор - определение и основные понятия с примерами решения

Умножение вектора на число

Произведение вектораВектор - определение и основные понятия с примерами решения на число Вектор - определение и основные понятия с примерами решения записывается как Вектор - определение и основные понятия с примерами решения а его длина равна Вектор - определение и основные понятия с примерами решения при Вектор - определение и основные понятия с примерами решения вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения имеют одинаковое направление, при Вектор - определение и основные понятия с примерами решения вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения имеют противоположное направление. Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Любой вектор коллинеарен вектору, выражающему произведение этого вектора на число (отличное от нуля). Если Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения коллинеарные векторы, то существует единственное число Вектор - определение и основные понятия с примерами решения что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Свойство умножения вектора на число

1. Сочетательное свойство.

Для любых чисел Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

2. Распределительное свойство.

Для любых чисел Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Для любого числа Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияВектор - определение и основные понятия с примерами решения

Действия над векторами, заданным над координатами

Для вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения заданного компонентами и для любого числа Вектор - определение и основные понятия с примерами решения верно: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Пример: Если Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Пример: Если Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

• Соответствующие координаты коллинеарных векторов пропорциональны.

• Наоборот, если соответствующие координаты векторов пропорциональны, то эти векторы коллинеарные.

Условие коллинеарности векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (при Вектор - определение и основные понятия с примерами решения)

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Пример: При каком значении Вектор - определение и основные понятия с примерами решения векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения коллинеарны?

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Подробное объяснение вектора:

Определение: Вектор — Упорядоченную совокупность Вектор - определение и основные понятия с примерами решения n вещественных чисел называют n-мерным вектором, а числа Вектор - определение и основные понятия с примерами решения – компонентами, или координатами, вектора.

Пример:

Если, например, некоторый автомобильный завод должен выпустить в смену 50 легковых автомобилей, 100 грузовых, 10 автобусов, 50 комплектов запчастей для легковых автомобилей и 150 комплектов для грузовых автомобилей и автобусов, то производственную программу этого завода можно записать в виде вектора (50, 100, 10, 50, 150), имеющего пять компонент.

Обозначения:

Векторы обозначают жирными строчными буквами или буквами с чертой или стрелкой наверху, например, Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Два вектора называются равными, если они имеют одинаковое число компонент и их соответствующие компоненты равны.

Компоненты вектора нельзя менять местами, например, (3, 2, 5, 0, 1) Вектор - определение и основные понятия с примерами решения(2, 3, 5, 0, 1).

Операции над векторами. Произведением вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения на действительное число Вектор - определение и основные понятия с примерами решения называется вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Суммой векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияназывается вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Пространство векторов. N-мерное векторное пространство Вектор - определение и основные понятия с примерами решения определяется как множество всех n-мерных векторов, для которых определены операции умножения на действительные числа и сложение.

Экономическая иллюстрация. Экономическая иллюстрация n-мерного векторного пространства: пространство благ (товаров). Под товаром мы будем понимать некоторое благо или услугу, поступившие в продажу в определенное время в определенном месте. Предположим, что существует конечное число наличных товаров n; количества каждого из них, приобретенные потребителем, характеризуются набором товаров

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

где через Вектор - определение и основные понятия с примерами решения обозначается количество Вектор - определение и основные понятия с примерами решения блага, приобретенного потребителем. Будем считать, что все товары обладают свойством произвольной делимости, так что может быть куплено любое неотрицательное количество каждого из них. Тогда все возможные наборы товаров являются векторами пространства товаров Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Линейная независимость. Система Вектор - определение и основные понятия с примерами решения n-мерных векторов называется линейно зависимой, если найдутся такие числа Вектор - определение и основные понятия с примерами решения из которых хотя бы одно отлично от нуля, что выполняется равенство Вектор - определение и основные понятия с примерами решения в противном случае данная система векторов называется линейно независимой, то есть указанное равенство возможно лишь в случае, когда все Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Геометрический смысл линейной зависимости векторов в Вектор - определение и основные понятия с примерами решения интерпретируемых как направленные отрезки, поясняют следующие теоремы.

Теорема 1. Система, состоящая из одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой.

Теорема 2. Для того, чтобы два вектора были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были коллинеарны.

Теорема 3. Для того, чтобы три вектора были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны.

Левая и правая тройки векторов. Тройка некомпланарных векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияназывается правой, если наблюдателю из их общего начала обход концов векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения в указанном порядке кажется совершающимся по часовой стрелке. В противном случае Вектор - определение и основные понятия с примерами решения – левая тройка. Все правые (или левые) тройки векторов называются одинаково ориентированными.

Базис и координаты. Тройка Вектор - определение и основные понятия с примерами решения некомпланарных векторов в Вектор - определение и основные понятия с примерами решения называется базисом, а сами векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения – базисными. Любой вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения может быть единственным образом разложен по базисным векторам, то есть представлен в виде Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (1.1) числа Вектор - определение и основные понятия с примерами решения в разложении (1.1) называются координатами вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения в базисе Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и обозначаются Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Ортонормированный базис. Если векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения попарно перпендикулярны и длина каждого из них равна единице, то базис называется ортонормированным, а координаты Вектор - определение и основные понятия с примерами решения прямоугольными. Базисные векторы ортонормированного базиса будем обозначать Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Будем предполагать, что в пространстве Вектор - определение и основные понятия с примерами решения выбрана правая система декартовых прямоугольных координат Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Векторное произведение. Векторным произведением вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения на вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения называется вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения , который определяется следующими тремя условиями:

  1. Длина вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах Вектор - определение и основные понятия с примерами решения
  2. Вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения перпендикулярен к каждому из векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения
  3. Векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решениявзятые в указанном порядке, образуют правую тройку.

Для векторного произведения Вектор - определение и основные понятия с примерами решения вводится обозначение Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Если векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения коллинеарны, тo Вектор - определение и основные понятия с примерами решения в частности, Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Векторные произведения ортов: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Если векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения заданы в базисе Вектор - определение и основные понятия с примерами решения координатами Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Смешанное произведение. Если векторное произведение двух векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения скалярно умножается на третий вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, то такое произведение трех векторов называется смешанным произведением и обозначается символом Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Если векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения в базисе Вектор - определение и основные понятия с примерами решения заданы своими координатами Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Смешанное произведение имеет простое геометрическое толкование – это скаляр, по абсолютной величине равный объему параллелепипеда, построенного на трех данных векторах.

Если векторы образуют правую тройку, то их смешанное произведение есть число положительное, равное указанному объему; если же тройка Вектор - определение и основные понятия с примерами решения – левая, то Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения следовательно Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Координаты векторов, встречающиеся в задачах первой главы, предполагаются заданными относительно правого ортонормированного базиса. Единичный вектор, сонаправленный вектору Вектор - определение и основные понятия с примерами решения обозначается символом Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Символом Вектор - определение и основные понятия с примерами решения обозначается радиус-вектор точки М, символами Вектор - определение и основные понятия с примерами решения обозначаются модули векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Пример №1

Найдите угол между векторамиВектор - определение и основные понятия с примерами решенияединичные векторы и угол между Вектор - определение и основные понятия с примерами решения равен 120°.

Решение:

Имеем: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Окончательно имеем: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Пример №2

Зная векторы АВ(-3,-2,6) и ВС(-2,4,4), вычислите длину высоты AD треугольника АВС.

Решение:

Обозначая площадь треугольника АВС через S, получим:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения значит, вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения имеет координаты Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (—5,2,10).

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Пример №3

Даны два вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Найдите единичный вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, ортогональный векторам Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и направленный так, чтобы упорядоченная тройка векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Вектор - определение и основные понятия с примерами решения была правой.

Решение:

Обозначим координаты вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияотносительно данного правого ортонормированного базиса через Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Поскольку Вектор - определение и основные понятия с примерами решения По условию задачи требуется, чтобы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Имеем систему уравнений для нахождения Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Из первого и второго уравнений системы получим Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияПодставляя Вектор - определение и основные понятия с примерами решения в третье уравнение, будем иметь: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Используя условие Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияполучим неравенство Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

С учетом выражений для Вектор - определение и основные понятия с примерами решения перепишем полученное неравенство в виде: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения откуда следует, что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Линейные операции над векторами

1. Сумма векторов. Для нахождения суммы векторов существует два правила: а) правило треугольника. Пусть векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения неколлинеарные и пусть начало вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения совмещено с концом вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, тогда их суммой будет вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения начало которого совпадает с началом вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, а его конец – с концом вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения(Рис. 3):

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Рис. 3. Сложение векторов по правилу треугольника.

б) правило параллелограмма. Пусть векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения неколлинеарные и пусть начала векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения совпадают. Построим на векторах Вектор - определение и основные понятия с примерами решения параллелограмм (Рис. 4), тогда их суммой будет вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения начало которого совпадает с общим началом векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, а его конец лежит в противоположной вершине параллелограмма: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Рис. 4. Сложение векторов по правилу параллелограмма.

Сумма векторов обладает следующими свойствами:

-переместительным Вектор - определение и основные понятия с примерами решения; – сочетательным Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

2. Разность векторов. Разностью векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения называется вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения сумма которого с вектором Вектор - определение и основные понятия с примерами решениядает вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (Рис. 5): Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Рис. 5. Разность векторов.

3. Умножение вектора на вещественное число. При умножении веществе иного числа k на вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения получают ему коллинеарный вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения длина которого равна Вектор - определение и основные понятия с примерами решения сонаправленный с вектором Вектор - определение и основные понятия с примерами решения если Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и антинаправленный вектору Вектор - определение и основные понятия с примерами решения если Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Замечание: Числа в векторной алгебре называют скалярами. Отметим здесь, что векторы и скаляры нельзя складывать и вычитать, так как это объекты разной природы.

Замечание: Из определения операции 3 следует первое условие коллинеарности векторов: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения – отношения соответствующих проекции векторов должны быть равны между собой (о проекциях векторов см. ниже пункты 3 и 4).

Пример №4

Найти произведение вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения на 2 и (-3).

Решение:

Используя вышеприведенное правило, получим Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Произведение числа на вектор обладает следующими свойствами:

  • – сочетательным Вектор - определение и основные понятия с примерами решения
  • – распределительным относительно скаляров Вектор - определение и основные понятия с примерами решения
  • -распределительным относительно векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Замечание: Если k = 0, то в результате умножения Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, получают нулевой вектор.

Определение: Нулевым вектором называется вектор, начало и конец которого совпадают, т.е. расположены в одной точке.

Проекция вектора на произвольную ось

Пусть дана ось l и вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Проведем через начало вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения прямую,

которая параллельна оси l, угол между прямой и вектором Вектор - определение и основные понятия с примерами решения обозначим через Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (Рис. 6):

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Рис. 6. Проекция вектора на заданную ось.

Из начала и конца вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения опустим на ось l перпендикуляры, получим отрезок Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Определение: Проекцией вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения на ось l называется длина отрезка Вектор - определение и основные понятия с примерами решения взятая со знаком «+», если угол Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и со знаком «-», если Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Из рисунка видно, что отрезок Вектор - определение и основные понятия с примерами решения следовательно, Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Из этой формулы видно, что при Вектор - определение и основные понятия с примерами решения величина Вектор - определение и основные понятия с примерами решения а при Вектор - определение и основные понятия с примерами решения величина Вектор - определение и основные понятия с примерами решения При Вектор - определение и основные понятия с примерами решения проекция равна нулю, Т. е. Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Проекции обладают свойствами:

– если Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Декартова система координат и вектора

Определение: Направленная прямая с выбранным началом отсчета и масштабом измерения называется числовой осью.

Определение: Две (три) взаимно перпендикулярные числовые оси называются декартовой системой координат на плоскости (в пространстве).

Рассмотрим декартову систему координат и спроектируем вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения на координатные оси (Рис. 7). Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Рис. 7. Проекции вектора на оси декартовой системы координат.

Из рисунка видно, что проекции вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения на:

  • – ось абсцисс (Ох) равна Вектор - определение и основные понятия с примерами решения
  • – ось ординат (Оу) Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

(в пространстве – ось аппликат (Oz) Вектор - определение и основные понятия с примерами решения).

Определение: Проекции Вектор - определение и основные понятия с примерами решения называются координатами вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Используя теорему Пифагора, найдем длину вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Направляющие косинусы вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Обозначим углы, которые образует вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияс положительными направлениями координатных осей пространственной декартовой системы отсчета через Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Тогда Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Определение: Величины Вектор - определение и основные понятия с примерами решения называются направляющими косинусами вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вычислив квадрат модуля вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения найдем соотношение, которое связывает направляющие косинусы вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Способы задания вектора

  1. Задаются координаты начальной и конечной точек вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения иВектор - определение и основные понятия с примерами решения. Тогда Вектор - определение и основные понятия с примерами решения
  2. Задаются аффинные координаты вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения
  3. Задаются длина вектора и два любых угла, которые образует вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения с какими-либо координатными осями и знак одной из проекций:Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияВектор - определение и основные понятия с примерами решения, но так как по условию Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, то Вектор - определение и основные понятия с примерами решения. Следовательно, Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Деление отрезка в заданном отношении

Пусть в пространственной декартовой системе отсчета даны две точки Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияи Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Требуется найти на заданном отрезке Вектор - определение и основные понятия с примерами решения такую точку Вектор - определение и основные понятия с примерами решениячтобы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения где Вектор - определение и основные понятия с примерами решения – заданное число (Рис. 8). Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Рис. 8. Деление отрезка в заданном отношении.

Из рисунка видно, чтоВектор - определение и основные понятия с примерами решения В силу того, что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Подставляя это равенство в систему и исключая вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения найдем, что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

Отсюда найдем вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения В проекциях на координатные оси это равенство равносильно системе равенств Вектор - определение и основные понятия с примерами решения которая определяет деление отрезка в заданном отношении. Если точка Вектор - определение и основные понятия с примерами решения делит отрезок Вектор - определение и основные понятия с примерами решения пополам Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то система полученных равенств принимает вид известный из курса математики средней школы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Понятие базиса векторов

Определение: Любые два (три) неколлинеарных (некомпланарных) вектора образуют базис.

Теорема: Пусть даны два неколлинеарных вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияи Вектор - определение и основные понятия с примерами решения. Любой другой компланарный им вектор может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, где Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения – вещественные числа.

Доказательство: Пусть векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения приведены к общему началу (Рис. 9), т.е.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Рис. 9. Разложение вектора по заданному базису.

Из рисунка видно, что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (правило параллелограмма, Лекция .№ 4). Вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения коллинеарен вектору Вектор - определение и основные понятия с примерами решения а вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения вектору Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Следовательно, найдутся 2 вещественных числа Вектор - определение и основные понятия с примерами решения такие, что будут выполняться равенства: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Отсюда следует, что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Докажем единственность разложения вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияпо базису Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Пусть существуют другие вещественные числа Вектор - определение и основные понятия с примерами решения такие что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и пусть хотя бы одна из пар Вектор - определение и основные понятия с примерами решения содержит разные числа, например, Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Вычитая из первого разложения второе, получим

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Это означает, что векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения коллинеарные, что противоречит условию теоремы о том, что они образуют базис. Таким образом, разложение вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения по базису Вектор - определение и основные понятия с примерами решения единственно и имеет ВИД Вектор - определение и основные понятия с примерами решения В силу произвольности вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения данная теорема справедлива для любого вектора компланарного с векторами Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Замечание: С геометрической точки зрения числа Вектор - определение и основные понятия с примерами решения определяют те числа, на которые надо умножить базисные вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения чтобы по правилу параллелограмма получить вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения В трехмерном пространстве произвольный вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения может быть разложен по некомпланарной тройке векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияВектор - определение и основные понятия с примерами решения причем единственным образом.

Определение: Ортом направления оси Вектор - определение и основные понятия с примерами решения называется вектор единичной длины в выбранном масштабе измерения, сонаправленный с этой осью Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Рассмотрим пространственную декартову систему координат, по всем осям (абсцисс – Ох, ординат – Оу и аппликат – Oz) выберем одинаковый масштаб измерения. Вдоль направления каждой оси отложим отрезки единичной длины. Обозначим орты осей:Вектор - определение и основные понятия с примерами решения – черезВектор - определение и основные понятия с примерами решения – через Вектор - определение и основные понятия с примерами решения – через Вектор - определение и основные понятия с примерами решения(Рис. 10): Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Рис. 10. Орты (единичные векторы) декартовой системы координат.

Из Рис. 10 видно, что орты осей имеют следующие проекции:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Так как векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения некомпланарные, то они образуют базис и любой пространственный вектор может быть единственным образом разложен по этому базису, причем в качестве чисел Вектор - определение и основные понятия с примерами решения выступают проекции вектора: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Векторы в геометрии

Изучая материал этого параграфа, вы узнаете, что векторы используются не только в физике, но и в геометрии. Вы научитесь складывать и вычитать векторы, умножать вектор на число, находить угол между двумя векторами, применять свойства векторов для решения задач.

Понятие вектора в геометрии

Вы знаете много величин, которые определяются своими числовыми значениями: масса, площадь, длина, объем, время, температура и т. д. Такие величины называют скалярными величинами или скалярами.

Из курса физики вам знакомы величины, для задания которых недостаточно знать только их числовое значение. Например, если на пружину действует сила 5 Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то непонятно, будет ли пружина сжиматься или растягиваться (рис. 12.1). Надо еще знать, в каком направлении действует сила.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Величины, которые определяются не только числовым значением, но и направлением, называют векторными величинами или векторами.

Сила, перемещение, скорость, ускорение, вес — примеры векторных величин.

Есть векторы и в геометрии.

Рассмотрим отрезок Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Если мы договоримся точку Вектор - определение и основные понятия с примерами решения считать началом отрезка, а точку Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — его концом, то такой отрезок будет характеризоваться не только длиной, но и направлением от точки Вектор - определение и основные понятия с примерами решения к точке Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Если указано, какая точка является началом отрезка, а какая точка — его концом, то такой отрезок называют направленным отрезком или вектором.

Вектор с началом в точке Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и концом в точке Вектор - определение и основные понятия с примерами решения обозначают так: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (читают: «вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

На рисунках вектор изображают отрезком со стрелкой, указывающей его конец. На рисунке 12.2 изображены векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Для обозначения векторов также используют строчные буквы латинского алфавита со стрелкой сверху. На рисунке 12.3 изображены векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор, у которого начало и конец — одна и та же точка, называют нулевым вектором или нуль-вектором и обозначают Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Если начало и конец нулевого вектора — это точка Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то его можно обозначить и так: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения На рисунке нулевой вектор изображают точкой.

Модулем вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения называют длину отрезка Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Модуль вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияобозначают так: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения а модуль вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — так: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Модуль нулевого вектора считают равным нулю: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Определение. Ненулевые векторы называют коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой.

Нулевой вектор считают коллинеарным любому вектору.

На рисунке 12.4 изображены коллинеарные векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Тот факт, что векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения коллинеарны, обозначают так: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

На рисунке 12.5 ненулевые коллинеарные векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения одинаково направлены. Такие векторы называют сонаправленными и пишут: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Если Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Аналогичным свойством обладают и сонаправленные векторы, то есть если Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (рис. 12.6).

На рисунке 12.7 ненулевые коллинеарные векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения противоположно направлены. Этот факт обозначают так: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Определение. Ненулевые векторы называют равными, если их модули равны и они сонаправлены. Любые два нулевых вектора равны.

На рисунке 12.8 изображены равные векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Это обозначают так: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Равенство ненулевых векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения означает, что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Нетрудно доказать, что если Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Убедитесь в этом самостоятельно.

Часто, говоря о векторах, мы не конкретизируем, какая точка является началом вектора. Так, на рисунке 12.9 изображены вектор а и векторы, равные вектору Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Каждый из них также принято называть вектором Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

На рисунке 12.10, а изображены вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и точка Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Если построен вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияравный вектору Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то говорят, что вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения отложен от точки Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (рис. 12.10, б).

Покажем, как от произвольной точки Вектор - определение и основные понятия с примерами решения отложить вектор, равный данному вектору Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Если вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения нулевой, то искомым вектором будет вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Теперь рассмотрим случай, когда Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Пусть точка Вектор - определение и основные понятия с примерами решения лежит на прямой, содержащей вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (рис. 12.11). На этой прямой существуют две точки Вектор - определение и основные понятия с примерами решения такие, что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения На указанном рисунке вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения будет равным вектору Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Его и следует выбрать.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Если точка Вектор - определение и основные понятия с примерами решения не принадлежит прямой, содержащей вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то через точку Вектор - определение и основные понятия с примерами решения проведем прямую, ей параллельную (рис. 12.12). Дальнейшее построение аналогично уже рассмотренному.

От заданной точки можно отложить только один вектор, равный данному.

Пример №5

Дан четырехугольник Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Известно, что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияОпределите вид четырехугольника Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Решение:

Из условия Вектор - определение и основные понятия с примерами решения следует, что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Следовательно, четырехугольник Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — параллелограмм.

Равенство Вектор - определение и основные понятия с примерами решения означает, что диагонали четырехугольника Вектор - определение и основные понятия с примерами решения равны. А параллелограмм с равными диагоналями — прямоугольник. Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Координаты вектора

Рассмотрим на координатной плоскости вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Отложим от начала координат равный ему вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (рис. 13.1). Координатами вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения называют координаты точки Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Запись Вектор - определение и основные понятия с примерами решения означает, что вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения имеет координаты Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Числа Вектор - определение и основные понятия с примерами решения называют соответственно первой и второй координатами вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Из определения следует, что равные векторы имеют равные соответствующие координаты. Например, каждый из равных векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (рис. 13.2) имеет координаты Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Справедливо и обратное утверждение: если соответствующие координаты векторов равны, то равны и сами векторы.

Действительно, если отложить такие векторы от начала координат, то их концы совпадут.

Очевидно, что нулевой вектор имеет координаты Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Теорема 13.1. Если точки Вектор - определение и основные понятия с примерами решения соответственно являются началом и концом вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то числа Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения равны соответственно первой и второй координатам вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Доказательство: Пусть вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения равный вектору Вектор - определение и основные понятия с примерами решения имеет координаты Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Докажем, что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Если Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то утверждение теоремы очевидно.

Пусть Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Отложим от начала координат вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения равный вектору Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Тогда координаты точки Вектор - определение и основные понятия с примерами решения равны Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Поскольку Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то, воспользовавшись результатом задачи 12.32, можем сделать вывод, что середины отрезков Вектор - определение и основные понятия с примерами решения совпадают. Координаты середин отрезков Вектор - определение и основные понятия с примерами решения соответственно равны Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Тогда

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Эти равенства выполняются и тогда, когда точка Вектор - определение и основные понятия с примерами решения совпадает с точкой Вектор - определение и основные понятия с примерами решения или точка Вектор - определение и основные понятия с примерами решения совпадает с точкой Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Отсюда Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Из формулы расстояния между двумя точками следует, что если вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения имеет координаты Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Пример №6

Даны координаты трех вершин параллелограмма Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияВектор - определение и основные понятия с примерами решения Найдите координаты вершины Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Решение:

Поскольку четырехугольник Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — параллелограмм, то Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Следовательно, координаты этих векторов равны.

Пусть координаты точки Вектор - определение и основные понятия с примерами решения равны Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Для нахождения координат векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения воспользуемся теоремой 13.1.

Имеем:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Отсюда: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Ответ: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Сложение и вычитание векторов

Если тело переместилось из точки Вектор - определение и основные понятия с примерами решения в точку Вектор - определение и основные понятия с примерами решения а затем из точки Вектор - определение и основные понятия с примерами решения в точку Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то суммарное перемещение из точки Вектор - определение и основные понятия с примерами решения в точку Вектор - определение и основные понятия с примерами решения естественно представить в виде вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения считая этот вектор суммой векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то есть Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (рис. 14.1).

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Этот пример подсказывает, как ввести понятие суммы векторов, то есть как сложить два данных вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Отложим от произвольной точки Вектор - определение и основные понятия с примерами решения вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения равный вектору Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Далее от точки Вектор - определение и основные понятия с примерами решения отложим вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения равный вектору Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения называют суммой векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (рис. 14.2) и записывают: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Описанный алгоритм сложения двух векторов называют правилом треугольника.

Это название связано с тем, что если векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения не коллинеарны, то точки Вектор - определение и основные понятия с примерами решения являются вершинами треугольника (рис. 14.2).

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

По правилу треугольника можно складывать и коллинеарные векторы. На рисунке 14.3 вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения равен сумме коллинеарных векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Следовательно, для любых трех точек Вектор - определение и основные понятия с примерами решения выполняется равенство Вектор - определение и основные понятия с примерами решения которое выражает правило треугольника для сложения векторов.

Теорема 14.1. Если координаты векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения соответственно равны Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то координаты вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения равны Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Доказательство: Пусть точки Вектор - определение и основные понятия с примерами решения таковы, что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Имеем: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Докажем, что координаты вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения равны Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Найдем координаты векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияВектор - определение и основные понятия с примерами решения

Имеем:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

С учетом того, что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения получаем: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Замечание. Описывая правило треугольника для нахождения суммы векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения мы отложили вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения от произвольной точки. Если точку Вектор - определение и основные понятия с примерами решения заменить точкой Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то вместо вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения равного сумме векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения получим некоторый вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Из теоремы 14.1 следует, что координаты векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения равны Вектор - определение и основные понятия с примерами решения следовательно, Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Это означает, что сумма векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения не зависит от того, от какой точки отложен вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияСвойства сложения векторов аналогичны свойствам сложения чисел.

Для любых векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения выполняются равенства:

  • Вектор - определение и основные понятия с примерами решения
  • Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — переместительное свойство;
  • Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — сочетательное свойство.

Для доказательства этих свойств достаточно сравнить соответствующие координаты векторов, записанных в правой и левой частях равенств. Сделайте это самостоятельно.

Сумму трех и более векторов находят так: сначала складывают первый и второй векторы, затем складывают полученный вектор с третьим и т. д. Например, Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Из переместительного и сочетательного свойств сложения векторов следует, что при сложении нескольких векторов можно менять местами слагаемые и расставлять скобки любым способом.

В физике часто приходится складывать векторы, отложенные от одной точки. Так, если к телу приложены силы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (рис. 14.4), то равнодействующая этих сил равна сумме Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Для нахождения суммы двух неколлинеарных векторов, отложенных от одной точки, удобно пользоваться правилом параллелограмма для сложения векторов.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Пусть надо найти сумму неколлинеарных векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (рис. 14.5). Отложим вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения равный вектору Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Тогда Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Поскольку векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения равны, то четырехугольник Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — параллелограмм с диагональю Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Приведенные соображения позволяют сформулировать правило параллелограмма для сложения неколлинеарных векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Отложим от произвольной точки Вектор - определение и основные понятия с примерами решения вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения равный вектору Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения равный вектору Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Построим параллелограмм Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (рис. 14.6). Тогда искомая сумма Вектор - определение и основные понятия с примерами решения равна вектору Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Определение. Разностью векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения называют такой вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения сумма которого с вектором Вектор - определение и основные понятия с примерами решения равна вектору Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Пишут: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Покажем, как построить вектор, равный разности данных векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

От произвольной точки Вектор - определение и основные понятия с примерами решения отложим векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения соответственно равные векторам Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (рис. 14.7). Тогда вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения равен разности Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияДействительно, Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Следовательно, по определению разности двух векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то есть Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

На рисунке 14.7 векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения неколлинеарны. Однако описанный алгоритм применим и для нахождения разности кол-линеарных векторов. На рисунке 14.8 вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения равен разности коллинеарных векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Следовательно, для любых трех точек Вектор - определение и основные понятия с примерами решения выполняется равенство Вектор - определение и основные понятия с примерами решения которое выражает правило нахождения разности двух векторов, отложенных от одной точки.

Теорема 14.2. Если координаты векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения соответственно равны Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то координаты вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения равны Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Докажите эту теорему самостоятельно.

Из теоремы 14.2 следует, что для любых векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения существует единственный вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения такой, что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Определение. Два ненулевых вектора называют противоположными, если их модули равны и векторы противоположно направлены.

Если векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения противоположны, то говорят, что вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения противоположный вектору Вектор - определение и основные понятия с примерами решения а вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения противоположный вектору Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектором, противоположным нулевому вектору, считают нулевой вектор.

Вектор, противоположный вектору Вектор - определение и основные понятия с примерами решения обозначают так: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Из определения следует, что противоположным вектору Вектор - определение и основные понятия с примерами решения является вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Тогда для любых точек Вектор - определение и основные понятия с примерами решения выполняется равенство Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Из правила треугольника следует, что

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

А из этого равенства следует, что если вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения имеет координаты Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения имеет координаты Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Теорема 14.3. Для любых векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения выполняется равенство Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Для доказательства достаточно сравнить соответствующие координаты векторов, записанных в правой и левой частях равенства. Сделайте это самостоятельно.

Теорема 14.3 позволяет свести вычитание векторов к сложению: чтобы из вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения вычесть вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения можно к вектору Вектор - определение и основные понятия с примерами решения прибавить вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (рис. 14.9).

Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияВектор - определение и основные понятия с примерами решения

Пример №7

Диагонали параллелограмма Вектор - определение и основные понятия с примерами решения пересекаются в точке Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (рис. 14.10). Выразите векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения через векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Решение:

Поскольку точка Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — середина отрезков Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Имеем:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Умножение вектора на число

Пусть дан ненулевой вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения На рисунке 15.1 изображены вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения равный вектору Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения равный вектору Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Очевидно, что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения обозначают Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и считают, что он получен в результате умножения вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения на число 2. Аналогично считают, что вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения получен в результате умножения вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения на число -3, и записывают: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Этот пример подсказывает, как ввести понятие «умножение вектора на число».

Определение. Произведением ненулевого вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и числа Вектор - определение и основные понятия с примерами решения отличного от нуля, называют такой вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения что:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

2) если Вектор - определение и основные понятия с примерами решения если Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Пишут: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Если Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то считают, что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

На рисунке 15.2 изображены векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Из определения следует, что

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Также из определения следует, что если Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения коллинеарны.

А если векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения коллинеарны, то можно ли представить вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения в виде произведения Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Ответ дает следующая теорема.

Теорема 15.1. Если векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения коллинеарны и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то существует такое число Вектор - определение и основные понятия с примерами решения что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Доказательство: Если Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то при Вектор - определение и основные понятия с примерами решения получаем, что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Если Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то или Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

1) Пусть Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Рассмотрим вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Поскольку Вектор - определение и основные понятия с примерами решения следовательно, Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Кроме того, Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Таким образом, векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения сонаправлены и их модули равны. Отсюда Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

2) Пусть Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Рассмотрим вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Для этого случая завершите доказательство самостоятельно. Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Теорема 15.2. Если вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения имеет координаты Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения имеет координаты Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Доказательство: Если Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то утверждение теоремы очевидно.

Пусть Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Рассмотрим вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения. Покажем, что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Имеем:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Отложим от начала координат векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения равные соответственно векторам Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Поскольку прямая Вектор - определение и основные понятия с примерами решения проходит через начало координат, то ее уравнение имеет вид Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Этой прямой принадлежит точка Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Тогда Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Отсюда Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Следовательно, точка Вектор - определение и основные понятия с примерами решения также принадлежит прямой Вектор - определение и основные понятия с примерами решения поэтому векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения коллинеарны, то есть Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

При Вектор - определение и основные понятия с примерами решения числа Вектор - определение и основные понятия с примерами решения имеют одинаковые знаки (или оба равны нулю). Таким же свойством обладают числа Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияСледовательно, при Вектор - определение и основные понятия с примерами решения точки Вектор - определение и основные понятия с примерами решения лежат в одной координатной четверти (или на одном координатном луче), поэтому векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения сонаправлены (рис. 15.3), то есть Вектор - определение и основные понятия с примерами решения При Вектор - определение и основные понятия с примерами решения векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения будут противоположно направленными, то есть Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Следовательно, мы получили, что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Следствие 1. Векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения коллинеарны.

Следствие 2. Если векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения коллинеарны, причем Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то существует такое число Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияВектор - определение и основные понятия с примерами решения

С помощью теоремы 15.2 можно доказать такие свойства умножения вектора на число.

Для любых чисел Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и любых векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения выполняются равенства:

  • Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — сочетательное свойство;
  • Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — первое распределительное свойство;
  • Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — второе распределительное свойство.

Для доказательства этих свойств достаточно сравнить соответствующие координаты векторов, записанных в правых и левых частях равенств. Сделайте это самостоятельно.

Эти свойства позволяют преобразовывать выражения, содержащие сумму векторов, разность векторов и произведение векторов на число, аналогично тому, как мы преобразовываем алгебраические выражения. Например,

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Пример №8

Докажите, что если Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то точки Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения лежат на одной прямой.

Решение:

Из условия следует, что векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения коллинеарны. Кроме того, эти векторы отложены от одной точки Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Следовательно, точки Вектор - определение и основные понятия с примерами решения лежат на одной прямой. Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Пример №9

Точка Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — середина отрезка Вектор - определение и основные понятия с примерами решения— произвольная точка (рис. 15.4). Докажите, что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Решение:

Применяя правило треугольника, запишем:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Сложим эти два равенства:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Поскольку векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения противоположны, то Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Имеем: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Отсюда Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Пример №10

Докажите, что середины оснований трапеции и точка пересечения продолжение ее боковых сторон лежат на одной прямой.

Решение:

Пусть точки Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — середины оснований Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения трапеции Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — точка пересечения прямых Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (рис. 15.5).

Применяя ключевую задачу 2, запишем: Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияВектор - определение и основные понятия с примерами решения

Поскольку Вектор - определение и основные понятия с примерами решения где Вектор - определение и основные понятия с примерами решения —некоторые числа.

Поскольку Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Следовательно, Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Имеем: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Из ключевой задачи 1 следует, что точки Вектор - определение и основные понятия с примерами решения лежат на одной прямой. Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Пример №11

Докажите, что если Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — точка пересечения медиан треугольника Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Решение:

Пусть отрезки Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — медианы треугольника Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (рис. 15.6). Имеем:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Отсюда Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Из свойства медиан треугольника следует, что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Тогда Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Аналогично Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Отсюда

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Применение векторов

Применяя векторы к решению задач, часто используют следующую лемму.

Лемма. Пусть Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — такая точка отрезка Вектор - определение и основные понятия с примерами решения что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (рис. 15.9). Тогда для любой точки Вектор - определение и основные понятия с примерами решения выполняется равенство

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Доказательство: Имеем:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Поскольку Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Запишем: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Поскольку Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то имеем:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Заметим, что эта лемма является обобщением ключевой задачи 2 п. 15.

Пример №12

Пусть Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — точка пересечения медиан треугольника Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — произвольная точка (рис. 15.10). Докажите, что

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Решение:

Пусть точка Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — середина отрезка Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Имеем: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Тогда, используя лемму, можно записать:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Докажем векторное равенство, связывающее две замечательныеВектор - определение и основные понятия с примерами решения точки треугольника.

Теорема. Если точка Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — ортоцентр треугольника Вектор - определение и основные понятия с примерами решения а точка Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — центр его описанной окружности, то

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Доказательство: Для прямоугольного треугольника равенство Вектор - определение и основные понятия с примерами решения очевидно.

Пусть треугольник Вектор - определение и основные понятия с примерами решения не является прямоугольным. Опустим из точки Вектор - определение и основные понятия с примерами решения перпендикуляр Вектор - определение и основные понятия с примерами решения на сторону Вектор - определение и основные понятия с примерами решения треугольника Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (рис. 15.11). В курсе геометрии 8 класса было доказано, что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

На луче Вектор - определение и основные понятия с примерами решения отметим точку Вектор - определение и основные понятия с примерами решения такую, что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Тогда Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Поскольку Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то четырехугольник Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — параллелограмм.

По правилу параллелограмма Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Поскольку точка Вектор - определение и основные понятия с примерами решения является серединой отрезка Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то в четырехугольнике Вектор - определение и основные понятия с примерами решения диагонали точкой пересечения делятся пополам. Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Следовательно, этот четырехугольник — параллелограмм. Отсюда Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Имеем: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Обратимся к векторному равенству Вектор - определение и основные понятия с примерами решения где Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — точка пересечения медиан треугольника Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Так как Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — произвольная точка, то равенство остается справедливым, если в качестве точки Вектор - определение и основные понятия с примерами решения выбрать точку Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — центр описанной окружности треугольника Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Имеем: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Учитывая равенство Вектор - определение и основные понятия с примерами решения получаем: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Это равенство означает, что точки Вектор - определение и основные понятия с примерами решения лежат на одной прямой, которую называют прямой Эйлера. Напомним, что это замечательное свойство было доказано в курсе геометрии 8 класса, но другим способом.

Скалярное произведение векторов

Пусть Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — два ненулевых и несонаправленных вектора (рис. 16.1). От произвольной точки Вектор - определение и основные понятия с примерами решения отложим векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения соответственно равные векторам Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Величину угла Вектор - определение и основные понятия с примерами решения будем называть углом между векторами Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Угол между векторами Вектор - определение и основные понятия с примерами решения обозначают так: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Например, на рисунке 16.1 Вектор - определение и основные понятия с примерами решения а на рисунке 16.2 Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Если векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения сонаправлены, то считают, что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Если хотя бы один из векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения нулевой, то так же считают, что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Следовательно, для любых векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения имеет место неравенство:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения называют перпендикулярными, если угол между ними равен Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Пишут: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вы умеете складывать и вычитать векторы, умножать вектор на число. Также из курса физики вы знаете, что если под действием постоянной силы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения тело переместилось из точки Вектор - определение и основные понятия с примерами решения в точку Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (рис. 16.3), то совершенная механическая работа равна Вектор - определение и основные понятия с примерами решения где Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Изложенное выше подсказывает, что целесообразно ввести еще одно действие над векторами.

Определение. Скалярным произведением двух векторов называют произведение их модулей и косинуса угла между ними. Скалярное произведение векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения обозначают так: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Имеем:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Если хотя бы один из векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения нулевой, то очевидно, что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Пусть Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Скалярное произведение Вектор - определение и основные понятия с примерами решения называют скалярным квадратом вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и обозначают Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Мы получили, что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то есть скалярный квадрат, вектора равен квадрату его модуля.

Теорема 16.1. Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.

Доказательство: Пусть Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Докажем, что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Имеем: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Отсюда Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Пусть теперь Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Докажем, что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Запишем: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Поскольку Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияВектор - определение и основные понятия с примерами решения Отсюда Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Теорема 16.2. Скалярное произведение векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения можно вычислить по формуле

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Доказательство: Сначала рассмотрим случай, когда векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решениянеколлинеарны.

Отложим от начала координат векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения соответственно равные векторам Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (рис. 16.4). Тогда

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Применим теорему косинусов к треугольнику Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Отсюда Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Поскольку Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Кроме того, Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Отсюда Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Имеем: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Воспользовавшись формулой нахождения модуля вектора по его координатам, запишем:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Упрощая выражение, записанное в правой части последнего равенства, получаем:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Рассмотрим случай, когда векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения коллинеарны.

Если Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то очевидно, что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Если Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то существует такое число Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то есть Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Если Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Имеем:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Случай, когда Вектор - определение и основные понятия с примерами решения рассмотрите самостоятельно. Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Следствие. Косинус угла между ненулевыми векторами Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияможно вычислить по формуле

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Доказательство: Из определения скалярного произведения векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияследует, что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Воспользовавшись теоремой 16.2 и формулой нахождения модуля вектора по его координатам, получаем формулу Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

С помощью теоремы 16.2 легко доказать следующие свойства скалярного произведения векторов.

Для любых векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и любого числа Вектор - определение и основные понятия с примерами решения справедливы равенства:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения— переместительное свойство;

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — сочетательное свойство;

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — распределительное свойство.

Для доказательства этих свойств достаточно выразить через координаты векторов скалярные произведения, записанные в правых и левых частях равенств, и сравнить их. Сделайте это самостоятельно.

Эти свойства вместе со свойствами сложения векторов и умножения вектора на число позволяют преобразовывать выражения, содержащие скалярное произведение векторов, аналогично тому, как мы преобразовываем алгебраические выражения.

Например, Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияВектор - определение и основные понятия с примерами решения

Пример №13

С помощью векторов докажите, что диагонали ромба перпендикулярны.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Решение:

На рисунке 16.5 изображен ромб Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Пусть Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Очевидно, что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения По правилу параллелограмма имеем: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Отсюда

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Следовательно, Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Пример №14

Известно, что Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияВектор - определение и основные понятия с примерами решения

Найдите Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Решение:

Поскольку скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля, то Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Отсюда

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Ответ: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Пример №15

В треугольнике Вектор - определение и основные понятия с примерами решения известно, что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Найдите медиану Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Решение. Применяя ключевую задачу 2 п. 15, запишем: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (рис. 16.6).

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Отсюда:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Следовательно, Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Ответ: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Справочный материал

Вектор

Если указано, какая точка является началом отрезка, а какая точка — его концом, то такой отрезок называют направленным отрезком или вектором.

Коллинеарные векторы

Ненулевые векторы называют коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Нулевой вектор считают коллинеарным любому вектору.

Равные векторы

Ненулевые векторы называют равными, если их модули равны и они сонаправлены. Любые два нулевых вектора равны. Равные векторы имеют равные соответствующие координаты. Если соответствующие координаты векторов равны, то равны и сами векторы.

Координаты вектора

Если точки Вектор - определение и основные понятия с примерами решения соответственно являются началом и концом вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то числа Вектор - определение и основные понятия с примерами решения равны соответственно первой и второй координатам вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Модуль вектора

Если вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения имеет координаты Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Правила сложения двух векторов

Правило треугольника

Отложим от произвольной точки Вектор - определение и основные понятия с примерами решения вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения равный вектору Вектор - определение и основные понятия с примерами решения а от точки Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения равный вектору Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — сумма векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Для любых трех точек Вектор - определение и основные понятия с примерами решения выполняется равенство Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Правило параллелограмма

Отложим от произвольной точки Вектор - определение и основные понятия с примерами решения вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения равный вектору Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения равный вектору Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Построим параллелограмм Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Тогда вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — сумма векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Координаты суммы векторов

Если координаты векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения соответственно равны Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то координаты вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения равны Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Свойства сложения векторов

Для любых векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения выполняются равенства:

  • Вектор - определение и основные понятия с примерами решения
  • Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — переместительное свойство;
  • Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — сочетательное свойство.

Разность векторов

Разностью векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения называют такой вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения сумма которого с вектором Вектор - определение и основные понятия с примерами решения равна вектору Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Для любых трех точек Вектор - определение и основные понятия с примерами решения выполняется равенство Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Координаты разности векторов

Если координаты векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения соответственно равны Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то координаты вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения равны Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Противоположные векторы

Два ненулевых вектора называют противоположными, если их модули равны и векторы противоположно направлены. Для любых точек Вектор - определение и основные понятия с примерами решения выполняется равенство Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Умножение вектора на число

Произведением ненулевого вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и числа Вектор - определение и основные понятия с примерами решения отличного от нуля, называют такой вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения что:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

2) если Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Если Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то считают, что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Если вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения имеет координаты Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения имеет координаты Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Свойства коллинеарных векторов

Если векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения коллинеарны, причем Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то существует такое число Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Если векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения коллинеарны, причем Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то существует такое число Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Свойства умножения вектора на число

Для любых чисел Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и любых векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения справедливы равенства:

  • Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — сочетательное свойство;
  • Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — первое распределительное свойство;
  • Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — второе распределительное свойство.

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов называют произведение их модулей и косинуса угла между ними:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Скалярное произведение векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения можно вычислить по формуле Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Свойства скалярного произведения

Для любых векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и любого числа Вектор - определение и основные понятия с примерами решения выполняются равенства:

  • Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — переместительное свойство;
  • Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — сочетательное свойство;
  • Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — распределительное свойство.

Условие перпендикулярности двух векторов

Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.

Косинус угла между двумя векторами

Косинус угла между ненулевыми векторами Вектор - определение и основные понятия с примерами решения можно вычислить по формуле Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Векторы в аналитической геометрии

Понятие вектора широко применяется в экономике, математике, физике и других науках, при этом одинаково широко используется как алгебраическая концепция изложения векторного анализа, так и его геометрическая интерпретация, в рамках которой различаются величины двух видов: скалярные и векторные.

Скалярной величиной или скаляром называется величина, которая полностью определяется одним числом, выражающим отношение этой величины к соответствующей единице измерения, например, цена, количество проданного товара, стоимость и т.д.

Векторной величиной или вектором называется величина, для задания которой кроме численного значения необходимо указать и ее направление в пространстве, например, изменение темпов производства (рост или падение), колебание курса акций на бирже и т.д.

Векторная величина графически обычно изображается как связанный вектор или направленный отрезок, т.е. отрезок прямой, у которого указано, какая из ограничивающих точек является его началом, а какая концом. Но в отличие от направленного отрезка, для описания которого необходимо указать начальную точку, длину и направление, свободный вектор или просто вектор представляет собой множество всех эквивалентных между собой связанных векторов и вполне характеризуется:

  • направлением;
  • длиной (модулем).

Для задания такого множества достаточно указать какой-либо один из связанных векторов этого множества – представитель вектора, в качестве которого обычно выбирается связанный вектор с началом, совпадающим с началом координат.

Вектор обозначается одной маленькой буквой со стрелкой сверху, например, Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияили двумя буквами со стрелкой Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, где точка А есть начало вектора (его точка приложения), а В – его конец.

Длина вектора называется его модулем, обозначаетсяВектор - определение и основные понятия с примерами решенияили Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

и равна длине любого его представителя, т.е. расстоянию между начальной и конечной точками связного вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения. Вектор, длина которого равна нулю, называется нуль-вектором и обозначается Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

Два вектора называются равными, если:

  1. равны их длины;
  2. они параллельны;
  3. они направлены в одну сторону.

Иными словами, равные векторы получаются один из другого параллельным переносом в пространстве.

Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или на параллельных прямых, и компланарными, если они лежат на одной или на параллельных плоскостях.

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором или ортом. Орт обозначатся Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

Линейные операции над векторами

Сложение вектора производится по правилу параллелограмма:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Поскольку вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияравен Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, то можно дать другое правило нахождения суммы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (правило треугольника): суммой векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения является вектор, идущий из начала Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияв конец Вектор - определение и основные понятия с примерами решения если вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияприложен к концу вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, т.е.:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (4-1)

Это правило распространяется на любое число слагаемых: если векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияобразуют ломаную OAB…KL, то суммой этих векторов является вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, замыкающий эту ломаную, т.е.:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (4-2)

В частности, если ломаная замыкается, т.е. O = L, то сумма ее звеньев равна нуль-вектору Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

Сложение векторов подчиняется обычным законам сложения -сочетательному и переместительному, а также обладает обратной операцией – вычитанием.

Разностью двух векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, отложенных от одной точки О является вектор, направленный из конца вычитаемого вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения в конец уменьшаемого вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, т.е. Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (Рис. 4.2.). Это правило следует из формулы (1): т.к. Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Рис. 4.2.

Векторы можно не только складывать и вычитать, но и умножать на числа (скаляры).

Вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения равен Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, где Вектор - определение и основные понятия с примерами решения – некоторое число, если:

  1. Вектор - определение и основные понятия с примерами решения коллинеарен Вектор - определение и основные понятия с примерами решения;
  2. длина вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения отличается от длины вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения в Вектор - определение и основные понятия с примерами решения раз, т.е.
  3. Вектор - определение и основные понятия с примерами решения
  4. при Вектор - определение и основные понятия с примерами решения направлены в одну сторону, при Вектор - определение и основные понятия с примерами решения – в разные.

Произведение вектора на скаляр обладает следующими свойствами:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Проекция вектора на ось

Пусть даны осьВектор - определение и основные понятия с примерами решения и вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения. Проектируя начало и конец вектора на ось Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияполучим на ней вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения. ПроекциейВектор - определение и основные понятия с примерами решениявектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияна ось Вектор - определение и основные понятия с примерами решения называется число, равное длине вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, взятой со знаком плюс или минус в зависимости от того, направлен ли вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, в ту же сторону, что и ось Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (. или в противоположную.

Проекция вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения на ось Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (: обозначается Вектор - определение и основные понятия с примерами решения).

Свойства проекций:

  1. Вектор - определение и основные понятия с примерами решения – угол между вектором Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияи осью Вектор - определение и основные понятия с примерами решения;
  2. Вектор - определение и основные понятия с примерами решения
  3. Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

ПустьВектор - определение и основные понятия с примерами решения – произвольная конечная система векторов; Вектор - определение и основные понятия с примерами решения произвольная система действительных чисел.

Вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения называется линейной комбинацией векторов этой системы.

Из свойства проекций следует, что:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Линейная зависимость векторов

Говорят, что векторы линейно независимы, если из равенства:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (4-3)

следует, что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

В противном случае векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, называются линейно зависимыми. Если какой-нибудь вектор можно представить в виде Вектор - определение и основные понятия с примерами решениякак, то говорят, что вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения линейно выражается через векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

Теорема. Векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения линейно зависимы тогда и только тогда, когда, по крайней мере, один из них линейно выражается через остальные.

Следствие. Если векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения линейно независимы, то ни один из них нельзя выразить через остальные; в частности , ни один из них не может быть нулевым.

Система, состоящая из одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой. Любые два неколлинеарных вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения линейно независимы. В самом деле, предположим, неколлинсарные векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения линейно зависимы. Тогда, по предыдущей теореме, один из них, напримерВектор - определение и основные понятия с примерами решения ? линейно выражается через второй, т.е. Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, а это противоречит неколлинеарности Вектор - определение и основные понятия с примерами решения. Следовательно, Вектор - определение и основные понятия с примерами решения– линейно независимы.

Пусть Вектор - определение и основные понятия с примерами решения неколлинеарные векторы, Вектор - определение и основные понятия с примерами решения – произвольный вектор компланарный векторам Вектор - определение и основные понятия с примерами решения. Отложим векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения от одной точки О, т.е. построимВектор - определение и основные понятия с примерами решения (Рис.4.3).

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Из параллелограмма Вектор - определение и основные понятия с примерами решения видно, что:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Следовательно, любые три компланарных вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения линейно зависимы.

Любые три некомпланарных вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения линейно независимы.

Если предположить, что три некомпланарных вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения линейно зависимы, то один из них, например Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, линейно выражается через Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, т.е. Вектор - определение и основные понятия с примерами решения а это говорит о том, что три вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения лежат в одной плоскости, что противоречит условию.

Три вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения линейно зависимы тогда и только тогда, когда определитель, составленный из их координат, равен нулю.

Пусть векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения в некотором базисе имеют координаты

Вектор - определение и основные понятия с примерами решениясоответственно. Тогда векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решениялинейно зависимы тогда и только тогда, когда линейно зависимы их координатные столбцы. Значит, векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения линейно зависимы тогда и только тогда, когда существуют числа Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, неравные одновременно нулю, что выполняется равенство:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Линейная зависимость означает, что существует ненулевой набор коэффициентов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения такой, что:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения 4)

Если один из векторов, например, Вектор - определение и основные понятия с примерами решения,, является нулевым, то система Вектор - определение и основные понятия с примерами решения окажется линейно зависимой, т.к. равенство (4.4) будет выполнено при Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

Теорема, Векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения линейно зависимы тогда и только тогда, когда один из векторов является линейной комбинацией остальных.

Базис. Координаты вектора в базисе

Определим понятие базиса на прямой, плоскости и в пространстве.

Базисом на прямой называется любой ненулевой векторВектор - определение и основные понятия с примерами решения на

этой прямой. Любой другой вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, коллинеарный данной прямой,

может быть выражен через вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения в виде Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

Базисом на плоскости называются любых два линейно независимых вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияэтой плоскости, взятые в определенном порядке. Любой третий вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, компланарный плоскости, на которой выбран базис Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, может быть представлен в виде Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

Базисом в трехмерном пространстве называются любые три некомпланарных вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения взятые в определенном порядке. Такой базис обозначается Вектор - определение и основные понятия с примерами решения. Пусть Вектор - определение и основные понятия с примерами решения – произвольный вектор трехмерного пространства, в котором выбран базис Вектор - определение и основные понятия с примерами решения. Тогда существуют числа Вектор - определение и основные понятия с примерами решения такие, что:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (4.5)

КоэффициентыВектор - определение и основные понятия с примерами решения называются координатами вектораВектор - определение и основные понятия с примерами решения в базисе Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, а формула (4.5) есть разложение вектора с по данному базису.

Координаты вектора в заданном базисе определяются однозначно. Введение координат для векторов позволяет сводить различные соотношения между векторами к числовым соотношениям между их координатами. Координаты линейной комбинации векторов равны таким же линейным комбинациям соответствующих координат этих векторов.

Декартовы прямоугольные координаты в пространстве. Координаты точек. Координаты векторов. Деление отрезка в данном отношении

Декартова прямоугольная система координат в пространстве определяется заданием единицы масштаба для измерения длин и трех пересекающихся в точке взаимно перпендикулярных осей, первая из которых называется осью абсцисс (Ох), вторая – осью ординат (Оу), третья – осью аппликат (Oz); точка О – начало координат (Рис. 4.4).

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Положение координат осей можно задать с помощью единичных векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения направленных по осям Ох, Оу, Oz. Векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения называются основными или базисными ортами и определяют базис Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияв трехмерном пространстве.

Пусть в пространстве дана точка М. Проектируя ее на ось Ох, получим точку Мх. Первой координатой х или абсциссой точки М называется длина вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, взятая со знаком плюс, если Вектор - определение и основные понятия с примерами решения направлен в ту же сторону, что и вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, и со знаком минус -если в противоположную. Аналогично проектируя точку М на оси Оу и Oz, определим ее ординату у и аппликату z. Тройка чисел (х, у, z) взаимно однозначно соответствует точке М .

Система координат называется правой, если вращение от оси Ох к оси Оу в ближайшую сторону видно с положительного направления оси Oz совершающимися против часовой стрелки, и левой, если вращение от оси Ох к оси Оу в ближайшую сторону видно совершающимися по часовой стрелке.

Вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, направленный из начала координат в точку М(х, у, z) называется радиус-вектором точки М, т.е.:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (4.6)

Если даны координаты точек Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, то координаты вектора АВ получаются вычитанием из координат его конца В координат начала Вектор - определение и основные понятия с примерами решения или Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

Следовательно, по формуле (4.5):

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

При сложении (вычитании) векторов их координаты складываются (вычитаются), при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.

Длина вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения равна квадратному корню из суммы квадратов его координат.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (4.8)

Длина вектораВектор - определение и основные понятия с примерами решения, заданного координатами своих концов, т.е. расстояние между точками А и В вычисляется по формуле:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (4.9)

Если Вектор - определение и основные понятия с примерами решения коллинеарны, то они отличаются друг от друга скалярным множителем. Следовательно, у коллинеарных векторов координаты пропорциональны:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (4.10)

Пусть точка М(х, у, z) делит отрезок между точками Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения в отношении Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, тогда радиус-вектор точки М выражается через радиусы-векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения его концов по формуле:Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Отсюда получаются координатные формулы:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

В частности, если точка М делит отрезок Вектор - определение и основные понятия с примерами решения пополам, то

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Направляющие косинусы

Пусть дан вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения. Единичный вектор того же направления, что и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (орт вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения) находится по формуле:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Пусть ось Вектор - определение и основные понятия с примерами решения образует с осями координат углыВектор - определение и основные понятия с примерами решения. Направляющими косинусами оси Вектор - определение и основные понятия с примерами решения называются косинусы этих углов: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения. Если направление Вектор - определение и основные понятия с примерами решения задано единичным вектором Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, то направляющие косинусы служат его координатами, т.е.:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Направляющие косинусы связаны между собой соотношением: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Если направление Вектор - определение и основные понятия с примерами решения задано произвольным вектором Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, то находят орт этого вектора и, сравнивая его с выражением для единичного вектораВектор - определение и основные понятия с примерами решения , получают:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Скалярное произведение

Скалярными произведением Вектор - определение и основные понятия с примерами решения двух векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Скалярное произведение обладает следующими свойствами:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

4. Если Вектор - определение и основные понятия с примерами решения– ненулевые векторы, то Вектор - определение и основные понятия с примерами решения тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны. Если Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, то угол между а и ЬВектор - определение и основные понятия с примерами решения– острый, если Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, то угол – тупой;

5. Скалярный квадрат вектора а равен квадрату его длины, т.е.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Следовательно, Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Геометрический смысл скалярного произведения: скалярное произведение вектора на единичный вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения равно проекции вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения на направление, определяемое Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, т.е. Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

Из определения скалярного произведения вытекает следующая таблица умножения ортов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения :

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Если векторы заданы своими координатами Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, то, перемножая эти векторы скалярно и используя таблицу умножения ортов, получим выражение скалярного произведения Вектор - определение и основные понятия с примерами решения через координаты векторов:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Векторное произведение

Векторным произведением вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения на вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения называется вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения длина и направление которого определяется условиями:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

  3. Вектор - определение и основные понятия с примерами решениянаправлен так, что кратчайший поворот от Вектор - определение и основные понятия с примерами решения виден из его конца совершающимся против часовой стрелки.

Векторное произведение обладает следующими свойствами: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения 4. Векторное произведение равно нулю (нуль вектору) тогда и только тогда, когда Вектор - определение и основные понятия с примерами решения коллинсарны. В частностиВектор - определение и основные понятия с примерами решения для любого вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения;

5. Если Вектор - определение и основные понятия с примерами решения неколлинеарны, то модуль векторного произведения равен площади параллелограмма S построенного на этих векторах, как на сторонах.

Из первых трех свойств следует, что векторное умножение суммы векторов на сумму векторов подчиняется обычным правилам перемножения многочленов. Надо только следить за тем, чтобы порядок следования множителей не менялся.

Основные орты перемножаются следующим образом: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

ЕслиВектор - определение и основные понятия с примерами решения, то с учетом свойств векторного произведения векторов, можно вывести правило вычисления координат векторного произведения по координатам векторов-сомножителей :

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Если принять во внимание полученные выше правила перемножения ортов, то:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (4.11)

Более компактную форму записи выражения для вычисления координат векторного произведения двух векторов можно построить, если ввести понятие определителя матрицы.

Рассмотрим частный случай, когда вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения принадлежат плоскости Оху, т.е. их можно представить какВектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Если координаты векторов записать в виде таблицы следующим образом: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, то можно сказать, что из них сформирована квадратная матрица второго порядка, т.е. размером 2×2, состоящая из двух строк и двух столбцов. Каждой квадратной матрице ставится в соответствие число, которое вычисляется из элементов матрицы по определенным правилам и называется определителем. Определитель матрицы второго порядка равен разности произведений элементов главной диагонали и побочной диагонали: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

В таком случае: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Абсолютная величина определителя, таким образом, равна площади параллелограмма, построенного на векторах Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, как на сторонах.

Если сравнить это выражение с формулой векторного произведения (4.7), то: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (4.12) Это выражение представляет собой формулу для вычисления определителя матрицы третьего порядка по первой строке. Таким образом:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Определитель матрицы третьего порядка вычисляется следующим образом:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

и представляет собой алгебраическую сумму шести слагаемых.

Формулу для вычисления определителя матрицы третьего порядка легко запомнить, если воспользоваться правилом Саррюса, которое формулируется следующим образом:

  • Каждое слагаемое является произведением трех элементов, расположенных в разных столбцах и разных строках матрицы;
  • Знак “плюс” имеют произведения элементов, образующих треугольники со стороной, параллельной главной диагонали;
  • Знак “минус” имеют произведения элементов, принадлежащих побочной диагонали, и два произведения элементов, образующих треугольники со стороной, параллельной побочной диагонали.Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Смешанное произведение

Смешанным произведением тройки векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения называется число, равное скалярному произведению вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения на векторное произведение Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Если рассматриваемые векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения некомпланарны, то векторное произведение Вектор - определение и основные понятия с примерами решения есть вектор, длина которого численно равна площади построенного на них параллелограмма. Направлен этот вектор по нормали к плоскости параллелограмма. Если этот вектор скалярно умножить на вектор а, то получившееся число будет равно произведению площади основания параллелепипеда, построенного на тройке векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения , и его высоты, т.е. объему этого параллелепипеда.

Таким образом, смешанное произведение векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

(которое обозначается есть число, абсолютная величина которого выражает объем параллелепипеда, построенного па векторах Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

Знак произведение положителен, если векторыВектор - определение и основные понятия с примерами решения, образуют правую тройку векторов, т.е. вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения направлен так, что кратчайший поворот от Вектор - определение и основные понятия с примерами решения виден из его конца совершающимся против часовой стрелки.

Из геометрического смысла смешанного произведения непосредственно следует необходимое и достаточное условие некомпланарности векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения: для того, чтобы векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения были некомпланарными необходимо и достаточно, чтобы их сметанное произведение было отлично от нуля.

Если Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияи Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

или в свернутой форме:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Справедливы следующие свойства сметанного произведения векторов:

  1. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей Вектор - определение и основные понятия с примерами решения
  2. При перестановке двух соседних множителей смешанное произведение меняет свой знак на противоположный Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Векторы в высшей математике

Определение вектора:

На начальной стадии, когда приходится прибегать к математическим методам исследования, необходимо разработать удобное средство организации исходных данных. Таким простейшим средством является вектор. Например, еженедельное изменение цены за месяц на некоторый товар удобно записать в виде массива: (5500; 5700; 6000; 6200). Записанный таким образом массив чисел называют вектором.

Алгебраические операции над векторами и их свойства

Введём теперь математическое определение векторов и алгебраические операции над ними.

Упорядоченную совокупность действительных чиселВектор - определение и основные понятия с примерами решения назовём вектором и обозначим Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, т.е Вектор - определение и основные понятия с примерами решения. Действительные числа Вектор - определение и основные понятия с примерами решения будем называть координатами вектора. Равные векторы имеют равные координаты. Вектор, все координаты которого равны нулю, называется нулевым вектором и обозначается Вектор - определение и основные понятия с примерами решения. Вектор, у которого одна из координат равна 1, а все остальные равны нулю, называется единичным вектором. Единичными векторами будут векторы:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

С геометрической точки зрения, вектор – это направленный отрезок. Поэтому вектор, длина которого равна единице, также называется единичным вектором.

Определим далее линейные операции над векторами: сложение и умножение вектора на число.

Сложение векторов

Пусть даны два вектора

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения . Суммой двух векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения назовем вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, координаты которого равны суммам соответствующих координат векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Пусть дан вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения . Обозначим через –Вектор - определение и основные понятия с примерами решения вектор, порождённый вектором Вектор - определение и основные понятия с примерами решения , такой, что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения .

Сложение векторов обладает следующими свойствами:

  1. Для любых двух векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения существует единственный вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения , называемый суммой векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.
  2. Для любых Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.
  3. Для любых Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.
  4. Существует единственный вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, называемый нулевым вектором, такой, что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения для всех Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.
  5. Для любого вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения существует единственный вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения , такой, что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения. Вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения называется вектором, противоположным вектору Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Из указанных свойств векторов следует, что можно рассматривать сумму любого конечного числа векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

Умножение вектора на число

Пусть Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения. Произведение вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения на число Вектор - определение и основные понятия с примерами решения – это вектор, обозначаемый, Вектор - определение и основные понятия с примерами решения полученный умножением координат вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения на число Вектор - определение и основные понятия с примерами решения:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

Положим, Вектор - определение и основные понятия с примерами решения для любого вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения для любого числа Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

Умножение вектора на число обладает следующими свойствами:

  1. Для любого вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и любого числа Вектор - определение и основные понятия с примерами решения существует единственный вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.
  2. Вектор - определение и основные понятия с примерами решения для любых чисел Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и любогоВектор - определение и основные понятия с примерами решения.
  3. Вектор - определение и основные понятия с примерами решения для любых чисел Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и любого .
  4. Вектор - определение и основные понятия с примерами решения для любых чисел Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и любого Вектор - определение и основные понятия с примерами решения .
  5. Вектор - определение и основные понятия с примерами решения для любого Вектор - определение и основные понятия с примерами решения .

Выражение Вектор - определение и основные понятия с примерами решения где Вектор - определение и основные понятия с примерами решения – вскто-ры, а Вектор - определение и основные понятия с примерами решения – любые действительные числа, называется ли-нейиой комбинацией векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения с коэффициентами Вектор - определение и основные понятия с примерами решения. Линейная комбинация векторов-это вектор. Вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения представленный в виде Вектор - определение и основные понятия с примерами решениябудем называть транспонированным по отношению к вектору Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и обозначать Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

Замечание. Зная координаты вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, можно вычислить его длину по формуле

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

Пример №16

Найти линейную комбинацию Вектор - определение и основные понятия с примерами решения векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

Решение:

Воспользуемся определением линейной комбинации векторов и операций над векторами. Тогда получим вектор вида:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Скалярное произведение векторов и его свойства

Предположим, что объем продаж трёх видов товаров фирмы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения в течение месяца составил 34, 57, 21 единиц, и что цены этих же товаров были равны соответственно 2, 3, 7 дсн.ед. Следовательно, общий доход от продажи всех трёх товаров за месяц равен: Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияден.ед. Представим данные о продажах с помощью вектора: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, а соответствующие цены с помощью вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения. Тогда общий доход от продажи трёх товаров, равный 386 ден.ед., представляет собой сумму произведений элементов вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения на соответствующие элементы вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения:Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

Приведенный пример помогает уяснить общую методику введения скалярного произведения векторов.

Определепие2.2.1. Скалярным произведением векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения называется число, обозначаемое Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, равное сумме произведений соответствующих коорди-. пат векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Это определение можно применять только в тех случаях, когда векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения содержат одинаковое количество координат; в противном случае скалярное произведение Вектор - определение и основные понятия с примерами решения не может быть определено.

Укажем некоторые свойства скалярного произведения:

  1. Вектор - определение и основные понятия с примерами решения;
  2. Вектор - определение и основные понятия с примерами решения;
  3. Вектор - определение и основные понятия с примерами решения;
  4. Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

Два ненулевых вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю, т.е.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Рассмотрим систему n ненулевых векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения. Если

скалярное произведение каждого вектора на себя равно единице, а скалярное произведение различных векторов равно нулю, т.е.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

то система векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения называется ортоиормированной. Условия (1.3) можно записать в координатной форме:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

где Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

Пример №17

Найти вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения коллинеарный1 вектору Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и удовлетворяющий условию Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

Решение:

Так как вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения коллинеарный вектору Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, то его координаты пропорциональны координатам вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, т.е.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения. Воспользовавшись определением скалярного произведения, составим равенство: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

Откуда следует, что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения . Тогда вектор коллинеарный вектору я будет иметь координаты: (6,-2,8).

Пример №18

Пусть рассматривается проект вложения капитала на четыре года. Этот проект должен обеспечивать следующую денежную выручку: в первый год- 1000 дсн.ед.; во второй – 3000 дсн.ед.; в третий – 10000 ден.ед.; в четвёртый – 15000 дсн.ед. Проект будет принят в том случае, если совокупный доход от капиталовложений (в пересчёте на сегодняшний доход) будет превышать требующиеся затраты, составляющие 17000 дсн.ед. Дисконтирование ожидаемого дохода проводится по годовой ставке равной 10%. Будет ли принят рассматриваемый проект?

Решение:

При ставке дисконтирования 10% годовых, доход, который будет получен на протяжении первого года, должен быть умножен на Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, на протяжении второго года- на Вектор - определение и основные понятия с примерами решения , на протяжении третьего года- на 0,7513 =Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и на протяжении четвёртого года- на 0,6838 =Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

1. Вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения называется коллинеарным вектору Вектор - определение и основные понятия с примерами решения , если при совмещении их начальных точек они располагаются на одной прямой.

Запишем денежную выручку и дисконтирующие множители в векторной форме:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

и

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

Скалярное произведение векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияВектор - определение и основные понятия с примерами решения —определяет дисконтированный совокупный доход за четыре года: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Так как 21158,3>17000, то рассматриваемый проект вложения капитала будет принят.

Операции над векторами в высшей математике

Внимание! Вектор определяется числом и направлением.

Отрезком АВ называется множество точек, заключенных между точками

А и В, включая их. Точки А и В называются концами отрезка.

Отрезок АВ называется направленным, если его концы упорядочены.

Направленный отрезок с началом в точке А и концом в точке В будем обозначать АВ. Направленный отрезок ВА с началом в точке В и концом в точке А называется противоположно направленным отрезку АВ.

Модулем Вектор - определение и основные понятия с примерами решения направленного отрезка АВ называется его длина.

Вектором называется класс направленных отрезков, расположенных на параллельных или совпадающих прямых и имеющих одинаковые направление и длину.

Векторы геометрически изображают направленными отрезками и обозначаются Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и буквами жирного шрифта Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вывод. Вектор однозначно определяется своим одним направленным отрезком. Пусть заданы два вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (рис.1). Суммой векторов а и b

называется вектор, проведенный из начала а к концу b: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Способ сложения векторов, показанный на рис.1, называется правилом треугольника.

Замечание. На векторах а и b можно построить параллелограмм, в котором одна диагональ будет их суммой: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, а вторая – разностью: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Способ сложения векторов, показанный на рис.2, называется правилом параллелограмма.

Множество всех нулевых отрезков называется нулевым вектором и обозначается 0. Направление нулевого вектора произвольно.

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным.

Для любого вектора а верны равенства:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Произведением вектора а на число Вектор - определение и основные понятия с примерами решения отличное от нуля, называется вектор, обозначаемый Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и удовлетворяющий следующим условиям:

  1. длина вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения равна длине вектора а, умноженного на модуль числаВектор - определение и основные понятия с примерами решения
  2. векторы а и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения одинаково направлены, если Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, и противоположно направлены, если Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (рис.З).

Произведение вектора на число «нуль» есть нулевой вектор. Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Углом между двумя векторами а и b называется наименьший угол Вектор - определение и основные понятия с примерами решения на который нужно повернуть один вектор, чтобы он совпал по направлению с другим вектором (рис.4).

Проекцией вектора а на вектор b называется длина вектора а, умноженная на косинус угла между векторами а и b (рис.4):

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Внимание! Для ненулевых векторов возможны три варианта произведений: скалярное произведение (в ответе получается число), векторное произведение (в ответе получается вектор) и смешанное произведение (в ответе получается число).

Скалярным произведением двух ненулевых векторов а и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Обозначение: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Таким образом,

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Например, для скалярного квадрата ii, где i -единичный вектор, имеем Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Векторным произведением двух ненулевых векторов а и b называется такой вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения что

  1. 1) его модуль равен площади параллелограмма, построенного на данных векторах, т.е.Вектор - определение и основные понятия с примерами решения
  2. 2) он перпендикулярен плоскости построенного на данных векторах параллелограмма, , т.е.Вектор - определение и основные понятия с примерами решения
  3. 3) векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения образуют правую тройку векторов, т.е. при наблюдении из конца вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения кратчайший поворот от а к b виден против часовой стрелки.

Пример №19

Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах а и b. если а – единичный вектор, длина вектора b равна трем, а их скалярное произведение – двум.

Решение:

Площадь параллелограмма, построенного на векторах а и b, равна Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияВектор - определение и основные понятия с примерами решения.

По условию задачи имеем Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Найдем синус угла между векторами а и b. Так как Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Следовательно, Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Подставим найденное значение в формулу и получим: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Задача решена.

Смешанным произведением трех ненулевых векторов а, b и с называется число, равное скалярному произведению векторного произведения первых двух векторов а и b на третий вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения. Обозначение: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Замечание. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей. При перестановке двух соседних множителей смешанное произведение меняет свой знак на противоположный, т.е. Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Геометрический смысл смешанного произведения. Модуль смешанного произведения трех векторов равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.

Действительно,

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения где S – площадь основания параллелепипеда, H – высота параллелепипеда, V -объем параллелепипеда.

Два вектора называются ортогональными, если угол между ними равен Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Необходимое и достаточное условие ортогональности:

Два ненулевых вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Нулевой вектор ортогонален любому вектору.

Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой. Пулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Необходимое и достаточное условие коллинеарности:

  1. Два ненулевых вектора а и b коллинеарны тогда и только тогда, когда они пропорциональны, т.е. Вектор - определение и основные понятия с примерами решения– произвольное число, отличное от нуля.
  2. Два ненулевых вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору (площадь параллелограмма равна нулю).

Три вектора называются компланарными, если они лежат на одной плоскости. Любую тройку векторов, содержащую нулевой вектор, считают компланарной.

Необходимое и достаточное условие компланарности. Три ненулевых вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю (объем параллелепипеда равен нулю).

Действия над векторами, заданными прямоугольными координатами

Пусть Ох, Оу, Oz – три взаимно перпендикулярные оси в трехмерном пространстве (оси координат), исходящие из общей точки О (начала координат) и образующие правую тройку (рис. 5).

Точка М с координатами х, у, z обозначается M(x,y,z), причем первая координата называется абсциссой, вторая – ординатой, третья – аппликатой точки М.

Для каждой точки М пространства существует ее радиус-вектор r=ОМ, начало которого есть начало координат О и конец которого есть данная точка М. Координаты x,y,z точки М являются проекциями радиус-вектора r на оси Ох, Оу, Oz соответственно.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Пусть в прямоугольной системе координат заданы точки Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Тогда координаты вектора АВ вычисляются по формуле:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

(«от координат конца отнимают координаты начала»).

Например, координаты радиус-вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Если ввести единичные векторы i,j, k, направленные по осям Ох, Оу, Oz соответственно (рис.5), то координаты вектора r можно записать в эквивалентной форме:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Векторы i, j,k называются базисными.

Пусть даны два вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Сложив векторы почленно, получим: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

или

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Умножив вектор а на число Вектор - определение и основные понятия с примерами решения получим:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

или

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Пример №20

Найти вектор х из уравнения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Решение:

Выразим х из векторного уравнения:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Подставим векторы а, b и с в полученное выражение:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Задача решена.

Скалярное произведение двух векторов в координатной форме вычисляется по формуле:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Для cкалярного квадрата аа получаем: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

но, с другой стороны, Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Следовательно,

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Мы получили формулу вычисления длины вектора, заданного в координатной форме.

Векторное произведение двух векторов в координатной форме вычисляется по формуле

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

которую можно выразить через символический определитель третьего порядка Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Смешанное произведение трех векторов в координатной форме Вектор - определение и основные понятия с примерами решения определяется формулой Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

  • Заказать решение задач по высшей математике

Пример №21

Вершины треугольной пирамиды находятся в точках А( 1,1 ,-1), В(2,1,-3), С(-1,1,1), D(0,7,3). Вычислить высоту пирамиды, опущенную из вершины D на основание АВС.

Решение:

Высоту треугольной пирамиды найдем из формулы:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

где Вектор - определение и основные понятия с примерами решения – объем пирамиды ABCD, Вектор - определение и основные понятия с примерами решения – площадь основания АВС, H – высота пирамиды, опущенная из вершины D.

Найдем площадь треугольника АВС. Она равна половине площади параллелограмма, построенного, например, на векторах АВ и АС. Следовательно, по определению векторного произведения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения По координатам точек А, В и С найдем координаты векторов АВ и АС:Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Векторное произведение АВ и АС в координатной форме равно Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Найдем объем треугольной пирамиды. Он равен одной шестой объема параллелепипеда, построенного, например, на векторах АВ, АС и AD. Тогда по геометрическому смыслу смешанного произведения Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Найдем координаты вектора AD:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Смешанное произведение АВ, АС и AD в координатной форме равно Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияразложим определитель по второму столбцуВектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Задача решена.

Замечание.

  • 1. Площадь треугольника АВС можно находить из площади параллелограмма, построенного на любых двух векторах, исходящих из одной вершины, например: АВ и АС; ВА и ВС; СА и СВ.
  • 2. Объем треугольной пирамиды ABCD можно находить из объема параллелепипеда, построенного на любых трех векторах, исходящих из одной точки, например: АВ, АС и AD; ВА, ВС и BD; СА, СВ и CD; DA, DB и DC.

Линейное пространство

Идея линейности является одним из важнейших принципов математики. На этой основе построены различные разделы математики. Более того, почти каждый экономический процесс в малом является линейным, что позволяет делать о нём достаточно точные выводы, изучая линейный, гораздо более простой для исследования объект.

В математике часто приходится встречаться с объектами, для которых определены операции сложения и умножения на числа. Объектами такого рода являются векторы, функции, матрицы и т.д. Для того, чтобы изучать все такие объекты с единой точки зрения и вводится понятие линейного пространства.

Определение 2.3.1. Множество L элементов х, у, z,… называется линейным пространством, если:

При этом введенные операции должны удовлетворять следующим требованиям (аксиомам):

  1. х+у = у+х (коммутативности);
  2. (х+у)+ z = x+(y+z) (ассоциативности);
  3. существует элемент 0, такой, что х+0=х для любого х. Элемент 0 называется нулевым элементом;
  4. для каждого х существует противоположный элемент, обозначаемый -х, такой, что х+(-х)=0;
  5. Вектор - определение и основные понятия с примерами решения;
  6. Вектор - определение и основные понятия с примерами решения;
  7. Вектор - определение и основные понятия с примерами решения:;
  8. Вектор - определение и основные понятия с примерами решения,

где Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения – вещественные числа.

В определении линейного пространства не говорится, как определяются операции сложения и умножения на числа, и не говорится о природе объектов. Требуется только, чтобы были выполнены сформулированные выше аксиомы. Поэтому всякий раз, когда мы встречаемся с операциями, удовлетворяющими этим условиям, будем считать их операциями сложения и умножения.

Рассмотрим систему векторов на плоскости и в трёхмерном пространстве, для которых определены операции сложения векторов и умножения вектора на число как в п.2.1. Так как для этих операций выполняются свойства (1) – (8) определения 2.3.1, то они образуют линейное пространство.

Линейное пространство образует и совокупность многочленов степени не выше п с вещественными коэффициентами, для которых определены обычные операции сложения многочленов и умножения многочлена на число.

Линейное пространство, в котором введено скалярное произведение, называется евклидовым.

Пространство, где векторами являются наборы из n действительных чисел с покомпонентными операциями сложения и умножения их на число, и скалярное произведение определяется по формуле (1.2.1), является евклидовым пространством. Это пространство обозначается Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

Линейно зависимые и линейно независимые векторы. Свойства линейной зависимости векторов.

Определение линейной комбинации векторов, тесно связано с понятием подпространства векторного пространства.

Определение 2.4.1. Некоторое непустое подмножество векторного пространства М называется подпространством, если оно само является векторным пространством.

А доказательство того, что подмножество является векторным пространством, проводится на основании доказательства того, что всякая линейная комбинация любых двух векторов этого подмножества, также является вектором этого подмножества.

Определение 2.4.2. Векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения из Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияназываются линейно независимыми, если не существует чисел Вектор - определение и основные понятия с примерами решения хотя бы одно из которых отлично от нуля, таких, что Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Если равенство (2.4.1) возможно и при ненулевом значении хотя бы одного числа Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, то векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения называются линейно зависимыми.

Пример №22

Рассмотрим евклидово пространство Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

называемые координатными векторами. Покажем, что в пространстве Вектор - определение и основные понятия с примерами решения векторыВектор - определение и основные понятия с примерами решениялинейно независимы.

Решение:

Пусть Вектор - определение и основные понятия с примерами решения произвольные числа. Составим линейную комбинацию векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Подставив координаты векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения , получим:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

В результате получили векторВектор - определение и основные понятия с примерами решения, который будет нулевым если Вектор - определение и основные понятия с примерами решения . Следовательно, линейная комбинация Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, может равняться нулю если Вектор - определение и основные понятия с примерами решения. А это и есть условие линейной независимости векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

Вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения называется линейной комбинацией векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияиз Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, если существуют числаВектор - определение и основные понятия с примерами решения, такие, что выполняется равенство: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

Относительно линейной зависимости векторов справедливы следующие утверждения:

  1. Если совокупность векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияиз Вектор - определение и основные понятия с примерами решения содержит нулевой вектор, то она линейно зависима.
  2. Если в системе векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения имеется подсистема линейно зависимых векторов, то и вся совокупность векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения линейно зависима.
  3. Система векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения из Вектор - определение и основные понятия с примерами решения линейно зависима тогда и только тогда, если один из векторов этой системы является линейной комбинацией остальных.
  4. Любые Вектор - определение и основные понятия с примерами решения векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения из Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, каждый из которых является линейной комбинацией m векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения линейно зависимы. .

Пример №23

Выясним линейную зависимость векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения. Решение. Составим линейную комбинацию этих векторов

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Полученный вектор является нулевым, если координаты равны нулю:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Полученная система имеет только одно решение Вектор - определение и основные понятия с примерами решения. Следовательно, векторное равенство Вектор - определение и основные понятия с примерами решения выполняется при нулевых значениях коэффициентов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения. Это значит, что векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения линейно независимы.

Заметим, что два геометрических вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны (их направления параллельны). Три геометрических вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны (их направления параллельны некоторой плоскости).

Элементы векторной алгебры

Некоторые физические величины (например, температура, масса, объем, работа, потенциал) могут быть охарактеризованы одним числом, которое выражает отношение этой величины к соответствующей единице измерения; такие величины называются скалярными. Ещё примеры скалярных величин: длина, площадь, время, угол, плотность, сопротивление.

Другие величины (например, сила, скорость, ускорение, напряжённость электрического или магнитного поля) характеризуются числом и направлением. Эти величины называются векторными.

Необходимо подчеркнуть, что вектор не является числом. Если мы рассматриваем вектор, лежащий в плоскости, то для его описания необходимо знать два фактора – модуль и его направление (например, угол, образуемый им с одним из осей координат). Если рассматривается вектор в трехмерном пространстве, то для описания вектора требуется три фактора: один – величину для его модуля и два для указания его положения в системе координат.

Скаляры и векторы

Величина, полностью характеризуемая своим числовым значением в выбранной системе единиц, называется скалярной или скаляром. Таковы, например, масса тела, объем его, температура среды и т. п. Скаляр определяется числом положительным или отрицательным или равным нулю.

Величина, кроме числового значения характеризуемая еще направлением, называется векторной или вектором. К числу их относятся сила, перемещение, скорость и т.п. Вектор определяется числом и направлением.

Векторы обычно обозначают буквами жирного шрифта, например а. Геометрически вектор изображается направленным отрезком пространства (рис. 168); при этом используется обозначение а = Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, где точка А — начало В отрезка, а точка В — конец его. В дальнейшем, для наглядности изложения, векторы мы будем рассматривать как направленные отрезки.

Под модулем (длиной) вектора а

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

понимается числовое значение его, без учета направления. (Естественно, Вектор - определение и основные понятия с примерами решения обозначает модуль вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения) Вектор 0, модуль которого равен нулю, называется нулевым или нуль-вектором (направление нулевого вектора произвольно).

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Два вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения считаются равными, если они расположены на параллельных или совпадающих прямых (параллельность в широком смысле) и имеют одинаковую длину и одинаково направлены. Мы условимся не различать равные векторы и, таким образом, приходим к понятию свободного вектора. Иными словами, свободный вектор допускает перенос его в любую точку пространства при условии сохранения длины и направления.

В частности, для свободных векторов можно обеспечить общую начальную точку их. В дальнейшем мы будем излагать теорию свободных векторов в трехмерном пространстве.

Сумма векторов

Определение: Суммой нескольких векторов, например а, b, с, d (рис. 169), называется вектор

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

по величине и направлению равный замыкающей ОМ пространственной ломаной линии, построенной на данных векторах.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Для случая двух векторов а и b (рис. 170) их суммой s является диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах, исходящая из общей точки приложения их (правило параллелограмма).

Так как в треугольнике длина одной стороны не превышает суммы длин двух других сторон, то из рис. 170 имеем

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

т. е. модуль суммы двух векторов не превышает суммы модулей этих векторов.

Для случая трех векторов а, b, с (рис. 171) их суммой s является диагональ Вектор - определение и основные понятия с примерами решения параллелепипеда, построенного на этих векторах (правило параллелепипеда).

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Легко проверить, что для векторного сложения справедливы следующие свойства:

1)переместительное свойство

а + b = b + а,

т. е. векторная сумма не зависит от порядка слагаемых;

2)сочетательное свойство

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

т.е. сумма трех (и большего числа) векторов не зависит от порядка расстановки скобок.

Для каждого вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (рис. 172) существует противоположный вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, имеющий ту же длину, но противоположное направление. По правилу параллелограмма, очевидно, имеем

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

где 0 — нуль-вектор.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Легко проверить, что а + 0 = а.

Разность векторов

Под разностью векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (рис. 173) понимается вектор

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

такой, что

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Отметим, что в параллелограмме, построенном на данных векторах Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (см. рис. 170), их разностью является соответственно направленная вторая диагональ.

Легко проверить, что справедливо следующее правило вычитания:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Умножение вектора на скаляр

Определение: Произведением вектора а на скаляр k (рис. 174) называется вектор

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

имеющий длину b =Вектор - определение и основные понятия с примерами решения а, направление которого: 1) совпадает

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

с направлением вектора а, если k > 0; 2) противоположно ему, если k < 0; 3) произвольно, если k = 0.

Нетрудно убедиться, что эта векторная операция обладает следующими свойствами:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Пример:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Если ненулевой вектор а разделить на его длину a = |a| (т.е. умножить на скаляр 1 /а), то мы получим единичный вектор е, так называемый Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, того же направления: е = а/а. Отсюда имеем стандартную формулу вектора

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Формула (1) формально справедлива также и для нулевого вектора а = 0, где а = 0 и е — произвольный орт.

Коллинеарные векторы

Определение: Два вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (рис. 175) называются коллинеарными, если они параллельны в широком смысле (т. е. расположены или на параллельных прямых, или же на одной и той же прямой).

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Так как направление нулевого вектора произвольно, то можно считать, что нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Теорема: Два ненулевых вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения коллинеарны тогда и только тогда, когда они пропорциональны, т.е.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

(k — скаляр).

Доказательство: 1) Пусть векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Вектор - определение и основные понятия с примерами решения коллинеарны и е, е’ — их орты. Имеем

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Очевидно,

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

где знак плюс соответствует векторам Вектор - определение и основные понятия с примерами решения одинакового направления, а знак минус— векторам Вектор - определение и основные понятия с примерами решения противоположного направления.

Из формул (2) и (3) получаем

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Отсюда вытекает формула (1), где Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

2) Если выполнено равенство (1), то коллинеарность векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения непосредственно следует из смысла умножения векторов на скаляр.

Компланарные векторы

Определение: Три вектора a, b и с называются компланарны ми, если они параллельны некоторой плоскости в широком смысле (т. е. или параллельны плоскости, или лежат в ней).

Можно сказать также, что векторы а, b и с компланарны тогда и только тогда, когда после приведения их к общему началу они лежат в одной плоскости.

По смыслу определения тройка векторов, среди которых имеется хотя бы один нулевой, компланарна.

Теорема: Три ненулевых вектора а, b и с компланарны тогда и только тогда, когда один из них является линейной комбинацией других, т.е., например,

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

(k, I — скаляры).

Доказательство: 1) Пусть векторы а, b и с компланарны, расположены в плоскости Р (рис. 176) и имеют общую точку приложения О.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Предположим сначала, что эти векторы не все попарно коллинеарны, например векторы а и b неколлинеарны. Тогда, производя разложение вектора с в сумму векторов са и сь, коллинеарных соответственно векторам а и b, в силу будем иметь

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

где k и I — соответствующие скаляры.

Если векторы а, b, с попарно коллинеарны, то можно написать

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

таким образом, снова выполнено условие (1).

2) Обратно, если для векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (рис. 176) выполнено условие (1), то на основании смысла соответствующих векторных операций вектор с расположен в плоскости, содержащей векторы а и b, т. е. эти векторы компланарны.

Пример:

Векторы а, а + b, а – b компланарны, так как

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Проекция вектора на ось

Осью называется направленная прямая. Направление прямой обычно обозначается стрелкой. Заданное направление оси будем считать положительным, противоположное — отрицательным.

Определение: Проекцией точки А на ось Вектор - определение и основные понятия с примерами решения(рис.177) называется основание А’ перпендикуляра АА’, опущенного из точки А на эту ось.

Здесь под перпендикуляром АА’ понимается прямая, пересекающая ось Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и составляющая с ней прямой угол. Таким образом, проекция А есть пересечение плоскости, проходящей через точку А и перпендикулярной оси с этой осью.

Определение: Под ком-по не н той (составляющей) вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения относительно оси Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (рис. 177) понимается вектор а’ = АВ’, начало которого А есть проекция на ось Вектор - определение и основные понятия с примерами решения начала А вектора а, а конец которого В’ есть проекция на ось Вектор - определение и основные понятия с примерами решения конца В этого вектора.

Определение: Под проекцией вектора а на ось Вектор - определение и основные понятия с примерами решения понимается скаляр Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, равный длине {модулю) его компоненты а’ относительно оси Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, взятой со знаком плюс.

Напомним, что все геометрические объекты мы здесь рассматриваем в трехмерном пространстве.

Если направление компоненты совпадает с направлением оси Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, и со знаком минус, если направление компоненты противоположно направлению оси Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Если а = О, то полагаютВектор - определение и основные понятия с примерами решения = О.

Заметим, что если е — единичный вектор оси Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, то для компоненты а’ справедливо равенство

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Теорема: Проекция вектора а на ось Вектор - определение и основные понятия с примерами решения равна произведению длины а вектора на косинус угла между направлением вектора и направлением оси, т.е.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Доказательство: Так как вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения свободный (рис. 178), то можно предположить, что начало его О лежит на оси Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

1) Если угол ф между вектором a и осью Вектор - определение и основные понятия с примерами решения острый Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, то направление компоненты Вектор - определение и основные понятия с примерами решения вектора а совпадает с направлением оси Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (рис. 178, а). В этом случае имеем

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

2) Если угол ф между вектором а и осью Вектор - определение и основные понятия с примерами решения тупой Вектор - определение и основные понятия с примерами решения(рис. 178, б), то направление компоненты Вектор - определение и основные понятия с примерами решения вектора а противоположно направлению оси Вектор - определение и основные понятия с примерами решения Тогда получаем

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

3) Если же ф = Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, то формула (2), очевидно, выполняется, так как при этом Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

Таким образом, формула (2) доказана.

Следствие 1. Проекция вектора на ось: 1) положительна, если вектор образует с осью острый угол; 2) отрицательна, если этот угол — тупой, и 3) равна нулю, если этот угол — прямой.

Следствие 2. Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой.

Теорема: Проекция суммы нескольких векторов на данную ось равна сумме их проекций на эту ось.

Доказательство: Пусть, например, s = a + b + с,

где (рис. 179) Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияВектор - определение и основные понятия с примерами решения Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и, следовательно, Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Обозначая проекции точек Вектор - определение и основные понятия с примерами решения на ось Вектор - определение и основные понятия с примерами решения через Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и учитывая направления компонент (рис. 179), имеем

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

что и требовалось доказать.

Следствие. Проекция замкнутой векторной линии на любую ось равна нулю.

Теорема: При умножении вектора на скаляр его проекция на данную ось умножается на этот скаляр, т.е.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Формула (4) следует из теоремы 1 и смысла умножения вектора на скаляр.

Следствие. Проекция линейной комбинации векторов равна такой же линейной комбинации проекций этих векторов, т.е.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Прямоугольные декартовы координаты в пространстве

Пусть (рис. 180) Ox, Оу, Oz — три взаимно перпендикулярные оси в трехмерном пространстве (оси координат), исходящие из общей точки О (начало координат) и образующие правую тройку (правая система координат), т. е. ориентированные по правилу правого буравчика. Иными словами, для наблюдателя, направленного по оси Oz, кратчайший поворот оси Ох к оси Оу происходит против хода часовой стрелки.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Три взаимно перпендикулярные плоскости Oyz, Ozx и Оху, проходящие через соответствующие оси, называются координатными плоскостями; они делят все пространство на восемь октантов.

Для каждой точки М пространства (рис. 180) существует ее радиус-вектор г = ОМ, начало которого есть начало координат О и конец которого есть данная точка М.

Определение: Под декартовыми прямоугольными координатами х, у, z точки М понимаются проекции ее радиуса вектора г на соответствующие оси координат, т. е.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

В дальнейшем для краткости декартовы прямоугольные координаты мы будем называть просто прямоугольными координатами.

Точка М с координатами х, у, z обозначается через М (х, у, z), причем первая координата называется абсциссой, вторая — ординатой, а третья — аппликатой точки М.

Для нахождения этих координат через точку М проведем три плоскости МА, MB, МС, перпендикулярные соответственно осям Ox, Оу, Oz (рис. 180). Тогда на этих осях получатся направленные отрезки

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

численно равные координатам точки М.

Радиус-вектор г является диагональю параллелепипеда П с измерениями Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, образованного плоскостями МА, МБ, МС и координатными плоскостями. Поэтому

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Если обозначить через Вектор - определение и основные понятия с примерами решения углы, образованные радиусом-вектором г с координатными осями, то будем иметь

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Косинусы cos а, cos р, cos у называются направляющими косинусами радиуса-вектора г. Из (4), учитывая (3), получаем

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

т. е. сумма квадратов направляющих косинусов радиуса-век-тора точки пространства равна 1.

Из формулы (4) следует, что координата точки М положительна, если радиус-вектор этой точки образует острый угол с соответствующей координатной осью, и отрицательна, если этот угол тупой. В частности, в I октанте пространства, ребра которого составляют положительные полуоси координат, все координаты точек положительны- В остальных октантах пространства отрицательными координатами точек будут те, которые соответствуют отрицательно направленным ребрам октанта.

Измерения Вектор - определение и основные понятия с примерами решения параллелепипеда П равны расстояниям точки М соответственно от координатных плоскостей Oyz, Ozx, Оху. Таким образом, декартовы прямоугольные координаты точки М пространства представляют собой расстояния от этой точки до координатных плоскостей, взятые с надлежащими знаками,

В частности, если точка Вектор - определение и основные понятия с примерами решения лежит на плоскости Oyz, то х = 0; если на плоскости Ozx, то у = 0; если же на плоскости Оху, то z = 0, и обратно.

Длина и направление вектора

Пусть в пространстве Oxyz задан вектор а. Проекции этого вектора на оси координат

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

называются координатами вектора а; при этом вектор мы будем записывать так: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Так как вектор а свободный, то его можно рассматривать как радиус-вектор точки Вектор - определение и основные понятия с примерами решения. Отсюда получаем длину вектора

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

т.е. модуль вектора равен корню квадратному из суммы квадратов его координат.

Направляющие косинусы вектора а определяются из уравнений

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

причем

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

т.е. сумма квадратов направляющих косинусов вектора равна единице. Направляющие косинусы ненулевого вектора однозначно определяют его направление. Следовательно, вектор полностью характеризуется своими координатами.

Пример №24

Найти длину и направление вектора а = {1, 2, -2}.

Решение:

Имеем

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Отсюда

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Таким образом, вектор а образует острые углы с координатными осями Ох и Оу и тупой угол с координатной осью Ог.

Расстояние между двумя точками пространства

Пусть Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — начальная точка отрезка Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения— конечная точка его. Точки Вектор - определение и основные понятия с примерами решения можно задать их радиусами-векторами Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (рис. 181).

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Рассматривая вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, из Вектор - определение и основные понятия с примерами решения будем иметь

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Проецируя это векторное равенство на оси координат и учитывая свойства проекций, получаем

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Таким образом, проекции направленного отрезка на оси координат равны разностям соответствующих координат конца и начала отрезка.

Из формул (2) получаем длину отрезка (или, иначе, расстояние между двумя точками Вектор - определение и основные понятия с примерами решения)

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Итак, расстояние между двумя точками пространства равно корню квадратному из квадратов разностей одноименных координат этих точек.

Пример №25

Ракета из пункта М1 (10, -20, 0) прямолинейно переместилась в пункт М2 (-30, -50, 40) (расстояния даны в километрах). Найти путь пройденный ракетой.

Решение:

На основании формулы (3) имеем

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Заметим, что, найдя направляющие косинусы вектора перемещения Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, нетрудно определить направление движения ракеты.

Действие над векторами, заданными в координатной форме

Пусть вектор Вектор - определение и основные понятия с примерами решения задан своими проекциями на оси координат Ox, Оу, Oz.

Построим параллелепипед (рис. 182), диагональю которого является вектор а, а ребрами служат компоненты его Вектор - определение и основные понятия с примерами решения относительно соответствующих координатных осей. Имеем разложение

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Если ввести единичные векторы (орты) i, j, k, направленные по осям координат, то на основании связи между компонентами вектора и его проекциями будем иметь

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Подставляя эти выражения в равенство (1), получаем координатную форму вектора

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Заметим, что разложение (3) для вектора а единственно. Действительно, пусть

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Отсюда, вычитая из равенства (3) равенство (3′) и пользуясь перемести -тельным и сочетательным свойствами суммы векторов, а также свойствами разности векторов, будем иметь

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Если хотя бы один из коэффициентов при ортах i, j и k был отличен от нуля, то векторы i, j и k были бы компланарны, что неверно. Поэтому Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и единственность разложения (3) доказана.

Если Вектор - определение и основные понятия с примерами решения то, очевидно, также имеем

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Рассмотренные выше линейные операции над векторами можно теперь записать в следующем виде:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

или короче: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения. Таким образом, при умножении вектора на скаляр координаты вектора умножаются на этот скаляр;

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

или кратко: Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Таким образом, при сложении (или вычитании) векторов их одноименные координаты складываются (или вычитаются):

Пример №26

Найти равнодействующую F двух сил

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

и ее направление.

Решение:

Имеем Вектор - определение и основные понятия с примерами решения. Отсюда

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

где Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — направляющие косинусы равнодействующей F.

Скалярное произведение векторов

Определение: Под скалярным произведением двух векторов а и b понимается число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т. е. в обычных обозначениях:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

где Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Заметим, что в формуле (1) скалярное произведение можно еще записывать как ab, опуская точку. Так как (рис. 183)

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

то можно записать

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

т.е. скалярное произведение двух векторов равно длине одного из них, умноженной на проекцию другого на ось с направлением первого.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Физический смысл скалярного произведения

Пусть постоянная сила F обеспечивает прямолинейное перемещение Вектор - определение и основные понятия с примерами решения материальной точки. Если сила F образует угол ф с перемещением s (рис. 184), то из физики известно, что работа силы F при перемещении s равна

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

На основании формулы (1) имеем

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Таким образом, работа постоянной силы при прямолинейном перемещении ее м точки приложения равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Скалярное произведение векторов обладает следующими основными свойствами.

1)Скалярное произведение двух векторов не зависит от порядка этих сомножителей (переместительное свойство):

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Эта формула непосредственно следует из формулы (1).

2)Для трех векторов а, b и с справедливо распределительное свойство

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

т. е. при скалярном умножении суммы векторов на вектор можно «раскрыть скобки».

Действительно, на основании формул (2), учитывая свойства проекций векторов, имеем

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

3)Скалярный квадрат вектора равен квадрату модуля этого вектора, т.е.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Действительно,

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Отсюда для модуля вектора получаем формулу

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

4)Скалярный множитель можно выносить за знак скалярного произведения, т.е.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Это свойство также легко получается из (1).

5)Скалярное произведение линейной комбинации векторов на произвольный вектор равно такой же линейной комбинации данных векторов на этот вектор, т.е.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

(Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — скаляры).

Это — очевидное следствие 2) и 4).

Из определения (1) вытекает, что косинус угла Вектор - определение и основные понятия с примерами решения между двумя ненулевыми векторами а и b равен

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Из формулы (8) получаем, что два вектора а и b перпендикулярны (ортогональны), т. е. Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, тогда и только тогда, когда

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Это утверждение справедливо также и в том случае, когда хотя бы один из векторов а или b нулевой.

Пример №27

Найти проекцию вектора а на вектор b. Обозначая через Вектор - определение и основные понятия с примерами решения угол между этими векторами, имеем

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

где е =Вектор - определение и основные понятия с примерами решения— орт вектора b

Скалярное произведение векторов в координатной форме

Пусть

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Перемножая эти векторы как многочлены и учитывая соотношения

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

будем иметь

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Таким образом, скалярное произведение векторов равно сумме парных произведений их одноименных координат. Отсюда, обозначая через ф угол между векторами а и b, получаем

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Пример:

Определить угол ф между векторами а = { 1,+2, 3} и b ={-3, 2,-1}. На основании формулы (4) имеем

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Отсюда Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Пусть векторы а и b коллинеарны (параллельны). Согласно условию коллинеарности,

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

где k — скаляр, что эквивалентно Вектор - определение и основные понятия с примерами решения или

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Таким образом, векторы коллинеарны тогда и только тогда, когда их одноименные координаты пропорциональны.

Для перпендикулярных (ортогональных) векторов а и b имеем Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и, следовательно, cos ф = 0 или, согласно формуле (4),

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Таким образом, два вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма парных произведений их одноименных координат равна нулю.

Векторное произведение векторов

Напомним, что тройка а, b и с некомпланарных векторов называется правой (рис. 185, а) или левой (рис. 185, б), если она ориентирована по правилу правого винта или соответственно по правилу левого винта.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Заметим, что если в тройке некомпланарных векторов а, b, с переставить два вектора, то она изменит свою ориентацию, т. е. из правой сделается левой или наоборот.

В дальнейшем правую тройку мы будем считать стандартной.

Определение: Под векторным произведением двух векторов а и b понимается вектор

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

для которого:

1)модуль равен площади параллелограмма, построенного на данных векторах, т. е.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

где Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (рис. 186);

2)этот вектор перпендикулярен перемножаемым векторам (иначе говоря, перпендикулярен плоскости построенного на них параллелограмма), т. е. Вектор - определение и основные понятия с примерами решения;

3)если векторы неколлинеарны, то векторы а, b, с образуют правую тройку векторов.

Укажем основные свойства векторного произведения.

1)При изменении порядка сомножителей векторное произведение меняет свой знак на обратный, сохраняя модуль, т. е.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Действительно, при перестановке векторов а и b площадь построенного на них параллелограмма остается неизменной, т. е. Вектор - определение и основные понятия с примерами решения. Однако тройка векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения является левой. Поэтому направление вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения противоположно направлению вектора Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (а и b неколлинеарны). Если а и b коллинеарны, то равенство (3) очевидно.

Таким образом, векторное произведение двух векторов не обладает переместительным свойством.

2)Векторный квадрат равен нуль-вектору, т.е.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Это — очевидное следствие свойства 1).

3)Скалярный множитель можно выносить за знак векторного произведения, т.е. если Вектор - определение и основные понятия с примерами решения — скаляр, то

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Это свойство непосредственно вытекает из смысла произведения вектора на скаляр и определения векторного произведения.

4)Для любых трех векторов а, b, с справедливо равенство

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

т.е. векторное произведение обладает распределительным свойством.

Пример:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Отсюда, в частности, имеем

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

т. е. площадь параллелограмма, построенного на диагоналях данного параллелограмма, равна удвоенной площади этого параллелограмма.

С помощью векторного произведения удобно формулировать легко проверяемый критерий коллинеарности двух векторов а и b:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Векторное произведение в координатной форме

Пусть

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Перемножая векторно эти равенства и используя свойства векторного произведения, получим сумму девяти слагаемых:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Из определения векторного произведения следует, что для ортов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения справедлива следующая «таблица умножения»:

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Поэтому из формулы (3) получаем

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (с сохранением порядка следования букв Вектор - определение и основные понятия с примерами решения).

Для удобства запоминания формула (4) записывается в виде определителя третьего порядка (см. гл. XVII) Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Из формулы (4) вытекает, что

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Геометрически формула (6) дает квадрат площади параллелограмма, построенного на векторах Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

Пример №28

Найти площадь треугольника с вершинами А (1, 1, 0), В (1,0, 1) и С (0, 1, 1).

Решение:

Площадь S треугольника ABC равна 1/2 площади параллелограмма, построенного на векторах Вектор - определение и основные понятия с примерами решения (рис. 187). Используя формулы для проекций направленных отрезков, имеем Вектор - определение и основные понятия с примерами решенияВектор - определение и основные понятия с примерами решенияотсюда Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Следовательно,Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Смешанное произведение векторов

Определение: Под смешанным (или векторно-скалярным) произведением векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения понимается число

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Построим параллелепипед П (рис. 188), ребрами которого, исходящими из общей вершины О, являются векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения.

Тогда Вектор - определение и основные понятия с примерами решения представляет собой площадь параллелограмма, построенного на векторах Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, т.е. площадь основания параллелепипеда. Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Высота этого параллелепипеда Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, очевидно, равна

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

где Вектор - определение и основные понятия с примерами решения и знак плюс соответствует острому углу Вектор - определение и основные понятия с примерами решения, а знак минус — тупому углу ф. В первом случае векторы Вектор - определение и основные понятия с примерами решения образуют правую тройку, а во втором — левую тройку.

На основании определения скалярного произведения имеем

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

где V — объем параллелепипеда, построенного на векторах Вектор - определение и основные понятия с примерами решения. Отсюда

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

т. е. смешанное произведение трех векторов равно объему V параллелепипед а у построенного на этих векторах, взятому со знаком плюсу если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком минус, если они образуют левую тройку.

Справедливы следующие основные свойства смешанного произведения векторов.

1)Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей, т.е.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Действительно, в этом случае не изменяется ни объем параллелепипеда П, ни ориентация его ребер.

2)При перестановке двух соседних множителей смешанное произведение меняет свой знак на обратный, т. е.

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

Это следует из того, что перестановка соседних множителей, сохраняя объем параллелепипеда, изменяет ориентацию тройки векторов, т.е. правая тройка переходит в левую, а левая — в правую.

С помощью смешанного произведения получаем необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов Вектор - определение и основные понятия с примерами решения:

abc = 0

(объем параллелепипеда равен нулю). Если

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

то, используя выражения в координатах для векторного и скалярного  произведений векторов, получаем

Вектор - определение и основные понятия с примерами решения т. e. Вектор - определение и основные понятия с примерами решения

  • Прямая – понятие, виды и её свойства
  • Плоскость – определение, виды и правила
  • Кривые второго порядка
  • Евклидово пространство
  • Логарифм – формулы, свойства и примеры
  • Корень из числа – нахождение и вычисление
  • Теория множеств – виды, операции и примеры
  • Числовые множества

Содержание:

  • Свойства скалярного произведения:
  • Длина вектора
  • Угол между векторами

Определение

Скалярным произведением двух ненулевых векторов $overline{a}$ и
$overline{b}$ называется число, равное произведению
длин этих векторов на косинус угла между ними:

$$bar{a} bar{b}=bar{a} cdot bar{b}=(bar{a}, bar{b})=|bar{a}||bar{b}| cos (bar{a}, bar{b})$$

Пример

Задание. Вычислить скалярное произведение векторов $overline{a}$ и
$overline{b}$ , если их длины соответственно равны 2 и 3,
а угол между ними 60°.

Решение. Так как из условия $|overline{a}|=2$,
$|overline{b}|=3$, а $(bar{a}, bar{b})$, то

$overline{a} cdot overline{b}=(overline{a}, overline{b})=2 cdot 3 cdot cos 60^{circ}=6 cdot frac{1}{2}=3$

Если хотя бы один из векторов $overline{a}$ или
$overline{b}$ равен нулевому вектору, то $(overline{a}, overline{b})=0$.

Свойства скалярного произведения:

1  $(overline{a}, overline{b})=(overline{b}, overline{a})$ – симметричность.

2  $(overline{a}, overline{a})=|overline{a}|^{2}$. Обозначается
$(overline{a}, overline{a})=overline{a}^{2}$ и называется скалярный квадрат.

3  Если $overline{a} neq overline{0}$, то

4  Если $overline{a} neq overline{0}$ и $overline{b} neq overline{0}$ и
$(overline{a}, overline{b})=0$, то $overline{a} perp overline{b}$. Верно и обратное утверждение.

5  $(overline{a}+overline{b}, overline{c})=(overline{a}, overline{c})+(overline{b}, overline{c})$

6  $(lambda overline{a}, overline{b})=lambda(overline{a}, overline{b})$

7  $(alpha overline{a}+beta overline{b}, gamma overline{c}+delta overline{d})=alpha gamma(overline{a}, overline{c})+alpha delta(overline{a}, overline{d})+beta gamma(overline{b}, overline{c})+beta delta(overline{b}, overline{d})$

Если векторы $overline{a}$ и
$overline{b}$ заданы своими координатами:
$overline{a}=left(a_{1} ; a_{2} ; a_{3}right)$,
$overline{b}=left(b_{1} ; b_{2} ; b_{3}right)$ , то их скалярное произведение вычисляется по формуле:

1

$(overline{a}, overline{b})=a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+a_{3} b_{3}$

Определение

Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами, равно сумме произведений
соответствующих координат.

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Найти скалярное произведение векторов $overline{a}=(3 ;-1)$ и
$overline{b}=(-2 ; 7)$

Решение. Скалярное произведение

$overline{a} overline{b}=3 cdot(-2)+(-1) cdot 7=-6-7=-13$

Длина вектора

Длина вектора $overline{a}=left(a_{1} ; a_{2} ; a_{3}right)$, заданного своими координатами,
находится по формуле:

$|overline{a}|=sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}$

Определение

Длина (модуль) вектора, координаты которого известны, равен корню квадратному из суммы квадратов координат.

Пример

Задание. Найти длину вектора $overline{a}=(-4 ; 3)$

Решение. Используя формулу, получаем:

$|overline{a}|=sqrt{(-4)^{2}+3^{2}}=sqrt{16+9}=sqrt{25}=5$

Угол между векторами

Угол между двумя векторами $overline{a}=left(a_{1} ; a_{2} ; a_{3}right)$,
$overline{b}=left(b_{1} ; b_{2} ; b_{3}right)$:

$$cos (bar{a}, bar{b})=frac{(bar{a} ; bar{b})}{|bar{a}| cdot|bar{b}|}=frac{a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+a_{3} b_{3}}{sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}} cdot sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}}$$

Если угол между двумя векторами острый, то их скалярное произведение положительно; если угол между векторами
тупой, то скалярное произведение этих векторов отрицательно. Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно
нулю, тогда и только тогда, когда эти векторы ортогональны.

Пример

Задание. Найти угол между векторами $overline{a}=(1 ; sqrt{3})$ и
$overline{b}=(1 ; 0)$

Решение. Косинус искомого угла

$$cos (bar{a}, bar{b})=frac{1 cdot 1+sqrt{3} cdot 0}{sqrt{1^{2}+(sqrt{3})^{2}} cdot sqrt{1^{2}+0^{2}}}=frac{1}{2}$$
$$(bar{a}, bar{b})=arccos frac{1}{2}=60^{circ}$$

Читать дальше: векторное произведение векторов.

Добавить комментарий