Как найти длину второй хорды

Как посчитать хорду окружности

Онлайн калькулятор

Хорда круга – отрезок соединяющий две точки, лежащие на окружности.

Чтобы посчитать длину хорды вам необходимо знать, чему равен радиус (r) окружности и угол (α) между двумя радиусами, образующими вместе с хордой равнобедренный треугольник (см. рис.)

Как посчитать длину хорды (градусы)

Чему равна длина хорды окружности если её радиус ,
а

Как посчитать длину хорды (радианы)

Чему равна длина хорды окружности если её радиус ,
а

Теория

Чему равна длина хорды (l) окружности если известны её радиус (r) и центральный угол (α), опирающийся на данную хорду?

Формула

Пример

Если радиус круга равен 4 см, а ∠α = 90°, то длина хорды примерно равна 5.65 см.

Как найти хорду окружности?

Окружность — это множество точек, которое располагается на одинаковом расстоянии от ее центра, представленного точкой.

Для любой точки L, лежащей на окружности, действует равенство OL=R. (Длина отрезка OL равняется радиусу окружности).

Окружность. Длина окружности. Касательная, дуга

Отрезок, который соединяет две точки окружности, является ее хордой. Хорда, проходящая прямо через центр окружности, является диаметром этой окружности (D). Диаметр можно вычислить по формуле: D=2R

Длина окружности вычисляется по формуле: C=2pi R

Площадь круга: S=pi R^

Дугой окружности называется та ее часть, которая располагается между двух ее точек. Эти две точки и определяют две дуги окружности. Хорда CD стягивает две дуги: CMD и CLD. Одинаковые хорды стягивают одинаковые дуги.

Центральным углом называется такой угол, который находится между двух радиусов.

Длину дуги можно найти по формуле:

1. Используя градусную меру: CD = frac><180^>
2. Используя радианную меру: CD = alpha R

Диаметр, что перпендикулярен хорде, делит хорду и стянутые ею дуги пополам.

В случае, если хорды AB и CD окружности имеют пересечение в точке N, то произведения отрезков хорд, разделенные точкой N, равны между собой.

ANcdot NB = CN cdot ND

Касательная к окружности

Касательной к окружности принято называть прямую, у которой имеется одна общая точка с окружностью. Если же у прямой есть две общие точки, ее называют секущей.

Если провести радиус в точку касания, он будет перпендикулярен касательной к окружности.

Проведем две касательные из этой точки к нашей окружности. Получится, что отрезки касательных сравняются один с другим, а центр окружности расположится на биссектрисе угла с вершиной в этой точке.

Теперь к окружности из нашей точки проведем касательную и секущую. Получим, что квадрат длины отрезка касательной будет равен произведению всего отрезка секущей на его внешнюю часть.

Можно сделать вывод: произведение целого отрезка первой секущей на его внешнюю часть равняется произведению целого отрезка второй секущей на его внешнюю часть.

AC cdot BC = EC cdot DC

Углы в окружности

Градусные меры центрального угла и дуги, на которую тот опирается, равны.

angle COD = cup CD = alpha ^

Вписанный угол — это угол, вершина которого находится на окружности, а стороны содержат хорды.

Вычислить его можно, узнав величину дуги, так как он равен половине этой дуги.

angle AOB = 2 angle ADB

Опирающийся на диаметр, вписанный угол, прямой.

angle CBD = angle CED = angle CAD = 90^

Вписанные углы, которые опираются на одну дугу, тождественны.

angle ADB = angle AEB = angle AFB

Опирающиеся на одну хорду вписанные углы тождественны или их сумма равняется 180^ .

angle ADB + angle AKB = 180^

angle ADB = angle AEB = angle AFB

На одной окружности находятся вершины треугольников с тождественными углами и заданным основанием.

Угол с вершиной внутри окружности и расположенный между двумя хордами тождественен половине суммы угловых величин дуг окружности, которые заключаются внутри данного и вертикального углов.

angle DMC = angle ADM + angle DAM = frac<1> <2>left ( cup DmC + cup AlB ight )

Угол с вершиной вне окружности и расположенный между двумя секущими тождественен половине разности угловых величин дуг окружности, которые заключаются внутри угла.

angle M = angle CBD — angle ACB = frac<1> <2>left ( cup DmC — cup AlB ight )

Вписанная окружность

Вписанная окружность — это окружность, касающаяся сторон многоугольника.

В точке, где пересекаются биссектрисы углов многоугольника, располагается ее центр.

Окружность может быть вписанной не в каждый многоугольник.

Площадь многоугольника с вписанной окружностью находится по формуле:

p — полупериметр многоугольника,

r — радиус вписанной окружности.

Отсюда следует, что радиус вписанной окружности равен:

Суммы длин противоположных сторон будут тождественны, если окружность вписана в выпуклый четырехугольник. И наоборот: в выпуклый четырехугольник вписывается окружность, если в нем суммы длин противоположных сторон тождественны.

В любой из треугольников возможно вписать окружность. Только одну единственную. В точке, где пересекаются биссектрисы внутренних углов фигуры, будет лежать центр этой вписанной окружности.

Радиус вписанной окружности вычисляется по формуле:

Описанная окружность

Если окружность проходит через каждую вершину многоугольника, то такую окружность принято называть описанной около многоугольника.

В точке пересечения серединных перпендикуляров сторон этой фигуры будет находиться центр описанной окружности.

Радиус можно найти, вычислив его как радиус окружности, которая описана около треугольника, определенного любыми 3-мя вершинами многоугольника.

Есть следующее условие: окружность возможно описать около четырехугольника только, если сумма его противоположных углов равна 180^< circ>.

angle A + angle C = angle B + angle D = 180^

Около любого треугольника можно описать окружность, причем одну-единственную. Центр такой окружности будет расположен в точке, где пересекаются серединные перпендикуляры сторон треугольника.

Радиус описанной окружности можно вычислить по формулам:

• a, b, c — длины сторон треугольника,
• S — площадь треугольника.

Теорема Птолемея

Под конец, рассмотрим теорему Птолемея.

Теорема Птолемея гласит, что произведение диагоналей тождественно сумме произведений противоположных сторон вписанного четырехугольника.

Хорда окружности – определение, свойства, теорема

Хорда в геометрии

Каждая хорда имеет свою длину. Ее можно определить с помощью теоремы синусов. То есть длина хорды окружности зависит от радиуса и вписанного угла, опирающегося на данный отрезок. Формула для определения длины выглядит следующим образом: B*A = R*2 * sin α, где R — радиус, AB — это хорда, α — вписанный угол. Также длину можно вычислить через другую формулу, которая выводится из теоремы Пифагора: B*A = R*2 * sin α/2 , где AB — это хорда, α — центральный угол, который опирается на данный отрезок, R — радиус.

Если рассматривать хорды в совокупности с дугами, то получаются новые объекты. Например, в кругу можно дополнительно выделить две области: сектор и сегмент. Сектор образуется с помощью двух радиусов и дуги. Для сектора можно вычислить площадь, а если он является частью конуса, то еще и высоту. Сегмент, в свою очередь, это область, состоящая из отрезка и дуги.

Для того чтобы проверить правильность своего решения в нахождении длины, можно обратиться к онлайн-калькуляторам в интернете. Они представлены в виде таблицы, в которую нужно вписать только известные параметры, а программа сама выполнит необходимые вычисления.

Это очень полезная функция, так как не приходится вспоминать различные уравнения и производить сложные расчеты.

Свойства отрезка окружности

Для решения геометрических задач необходимо знать свойства хорды окружности. Для нее характерны такие показатели:

1. Это отрезок с наибольшей длиною в окружности это диаметр. Он обязательно будет проходить через центр круга.
2. Если есть две равные дуги, то их отрезки, которые их стягивают, будут равны.
3. Хорда, которая перпендикулярна диаметру, будет делить этот отрезок и его дугу на две одинаковые части (справедливо и обратное утверждение).
4. Самый маленький отрезок в окружности это точка.
5. Хорды будут равны, если они находятся на одном расстоянии от центра окружности (справедливо и обратное утверждение).
6. При сравнении двух отрезков в кругу большая из них окажется ближе к центру окружности.
7. Дуги, которые находятся между двумя параллельными хордами, равны.

Помимо основных свойств отрезка круга, нужно выделить еще одно важное свойство. Оно отражено в теореме о пересекающихся хордах.

Ключевая теорема

Имеется круг с центром в точке O и радиусом R. Для теоремы нужно в круг вписать две прямые, пускай это будут хорды BA и CD, которые пересекаются в точке E. Перед тем как перейти к доказательству, нужно сформулировать определение теоремы. Оно звучит следующим образом: если хорды пересекаются в некоторой точке, которая делит их на отрезки, то произведения длин отрезков первой хорды равно произведению длин отрезков второй хорды. Для наглядности можно записать эту формулу: AE*BE= EC*ED. Теперь можно перейти к доказательству.

Проведем отрезки CB и AD. Рассмотрим треугольники CEB и DEA. Известно, что углы CEB и DEA равны как вертикальные углы, DCB и BAD равны за следствием с теоремы про вписанные углы, которые опираются на одну и ту же дугу. Треугольники CEB и DEA подобны (первый признак подобия треугольников). Тогда выходит пропорциональное соотношение BE/ED = EC/EA. Отсюда AE*BE= EC*ED.

Помимо взаимодействия с внутренними элементами окружности, для хорды еще существуют свойства при пересечении с секущейся и касательными прямыми. Для этого необходимо рассмотреть понятия касательная и секущая и определить главные закономерности.

Касательная — это прямая, которая соприкасается с кругом только в одной точке. И если к ней провести радиус круга, то они будут перпендикулярны. В свою очередь, секущая — это прямая, которая проходит через две точки круга. При взаимодействии этих прямых можно заметить некоторые закономерности.

Касательная и секущая

Существует теорема о двух касательных, которые проведены с одной точки. В ней говорится о том, что если есть две прямые OK и ON, которые проведены с точки O, будут равны между собой. Перейдем к доказательству теоремы.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника AFD и AED. Поскольку катеты DF и DE будут равны как радиусы круга, а AD — общая гипотенуза, то между собой данные треугольники будут равны за признаком равенства треугольников, с чего выходит, что AF = AE.

Если возникает ситуация, когда пересекаются касательная и секущая, то в этом случае также можно вывести закономерность. Рассмотрим теорему и докажем, что AB 2 = AD*AC.

Предположим у нас есть касательная AB и секущая AD, которые берут начало с одной точки A. Обратим внимание на угол ABC, он спирается на дугу BC, значит, за свойством значение его угла будет равно половине градусной меры дуги, на которую он опирается. За свойством вписанного угла, величина угла BDC также будет равно половине дуги BC. Таким образом, треугольники ABD и ABC будут подобны за признаком подобия треугольников, так как угол A — общий, а угол ABC равен углу BDC. Опираясь на теорию, получаем соотношение: AB/CA = DA/AB, переписав это соотношение в правильную форму, получаем равенство AB 2 = AD*AC, что и требовалось доказать.

Как есть теорема про две касательные, так есть и теорема про две секущие. Она так же просто формулируется, как и остальные теоремы. Поэтому рассмотрим доказательство и убедимся, что AB*AC = AE*AD.

Проведем две прямые через точку A, получим две секущие AC и AE. Дорисуем две хорды, соединяя точки C и B, B и D. Получим два треугольника ABD И CEA. Обратим внимание на вписанный четырехугольник BDCE. За свойством вписанных четырехугольников узнаем, что значения углов BDE и ECB в сумме будут давать 180 градусов. И сумма значений углов BDA и BDE также равна 180, за свойством смежных углов.

Отсюда можно получить два уравнения, из которых будет выведено, что углы ECB и BDA будут равны: BDA + BDE = 180; BDE + ECB = 180. Все это записываем в систему уравнений, отнимаем первое от второго, получаем результат, что ECB = BDA.

Если вернутся к треугольникам ABD И CEA, то теперь можно сказать, что они подобны, так как угол А — общий, а углы ECA и BDA — равны. Теперь можно записать соотношение сторон: AB/AE = AD/AC. В итоге получим, что AB*AC = AE*AD.

Решение задач

При решении задач, связанных с окружностью, хорда часто выступает главным элементом, опираясь на который можно найти остальные неизвестные элементы. В каждой второй задаче задаются два параметра, чтобы найти третий неизвестный. В задачах, которые, связанные с кругом, хорда — это обязательный элемент:

• Найти высоту детали, которая была получена путем сгибания заготовки в дугу. В начальных данных обязательно присутствует хорда и длина дуги.
• Дана развертка, нужно найти длину части кольца. Задается хорда и диаметр.
• Также можно находить длину хорды. В случае если заданы уравнения прямой и окружности, которые пересекаются.

Для решения задач с отрезком в окружности удобно использовать схематические рисунки. Их рисуют с помощью линейки и циркуля, и принцип решения задач становится более наглядным.

[spoiler title=”источники:”]

http://obraz-ola.ru/tehnicheskie-nauki/kak-najti-hordu-okruzhnosti.html

http://nauka.club/matematika/geometriya/khorda-okruzhnosti.html

[/spoiler]

Как вычислить длину хорды

Хордой называется отрезок, соединяющий две любые точки одной окружности. Нахождение длины хорды, как и остальных элементов данной фигуры – одна из задач геометрического раздела математики. При вычислении хорды следует опираться на известные величины, свойства элементов и различных построений в окружности.

Инструкция

Пусть задана окружность с известным радиусом R, ее хорда L стягивает дугу φ, где φ определена в градусах или радианах. В этом случае вычислите длину хорды по следующей формуле: L = 2*R*sin(φ/2), подставив все известные значения.

Рассмотрим окружность с центром в точке О и заданным радиусом. Искомыми являются две одинаковые хорды АВ и АС, имеющие одну точку пересечения с окружностью (А). При этом известно, что угол, образуемый хордами, опирается на диаметр фигуры. Выполните графическое построение указанных элементов в окружности. Радиус из центра О опустите до точки пересечения хорд А. Хорды при этом будут образовывать треугольник АВС. Для определения длин одинаковых хорд используйте свойства полученного равнобедренного треугольника (АВ=АС). Отрезки ВО и ОС равны (АС по условию – диаметр) и являются радиусами фигуры, следовательно, АО представляет собой медиану треугольника АВС.

Согласно свойству равнобедренного треугольника, его медиана является одновременно и высотой, то есть, перпендикуляром к основанию. Рассмотрите полученный прямоугольный треугольник АОВ. Катет ОВ известен и равен половине диаметра, то есть, R. Второй катет АО также задан как радиус R. Отсюда, применив теорему Пифагора, выразите неизвестную сторону АВ, которая и является искомой хордой окружности. Вычислите окончательный результат АВ = √(АО² + ОВ²). По условию задачи, длина второй хорды АС равна АВ.

Допустим, задана окружность с диаметром D и хордой СЕ. При этом известен угол, образуемый хордой и диаметром. Вычислить длину хорды можно, используя следующие построения. Нарисуйте окружность с центром в точке О и хорду СЕ, проведите диаметр через центр и одну из точек хорды (С). Известно, что любая хорда соединяет две точки окружности. Опустите из второй точки ее пересечения с окружностью (Е) в центр О радиус ЕО. Таким образом, получается равнобедренный треугольник СЕО с основанием-хордой СЕ. При известном угле у основания ЕСО вычислите хорду с помощью формулы из теоремы о проекциях: СЕ = 2*ОС*cos

Полезный совет

Если хорда проходит через центр окружности, она является диаметром. Угол между пересекающимися хордами соответствует полусумме мер дуги, расположенной в углу, и дуги напротив нее. Если касательная к окружности и хорда образуют угол, то он равен половине градусного значения дуги, стягиваемой этой же хордой.

Источники:

• диаметр и хорда

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

Круговой сегмент — часть круга ограниченная дугой и секущей (хордой).

На рисунке:
L — длина дуги сегмента
c — хорда
R — радиус
a — угол сегмента
h — высота

Первый калькулятор рассчитывает параметры сегмента, если известен радиус и угол по следующим формулам:

Формулы вычисления параметров сегмента

Площадь сегмента:
[1]
Длина дуги:

Длина хорды:

Высота сегмента:

Однако, как справедливо заметил наш пользователь:«на практике часто случается, что как радиус дуги, так и угол неизвестны» (см. длина дуги ). Для этого случая для расчета площади сегмента и длины дуги можно использовать следующий калькулятор:

Калькулятор вычисляет радиус круга по длине хорды и высоте сегмента по следующей формуле:

Далее, зная радиус и длину хорды, легко найти угол сегмента по формуле:

Остальные параметры сегмента вычисляются аналогично первому калькулятору, по формулам, приведенным в начале статьи.

Следующий калькулятор вычисляет площадь сегмента по высоте и радиусу:

Этот калькулятор вычисляет угол из высоты и радиуса по следующей формуле:

далее используется формула [1] для получения площади.

15 вычислений по сегменту круга в одной программе

Последний калькулятор включает в себя все оставшиеся вычисления параметров кругового сегмента:

• длина дуги
• угол
• хорда
• высота
• радиус
• площадь

Выберите два известных аргумента и калькулятор выдаст вам все оставшиеся.

Как посчитать хорду окружности

Чтобы посчитать хорду круга (окружности) просто воспользуйтесь нашим удобным онлайн калькулятором:

Онлайн калькулятор

Как посчитать длину хорды (градусы)

Как посчитать длину хорды (радианы)

Теория

См. также

Секущая и хорда окружности

Зачем что-то знать о секущих и хордах в окружности?

Как обычно, знание свойств и закономерностей сильно облегчает жизнь.

Зная свойства секущих и хорд в окружности и закономерности (формулы), мы сможем решить многие задачи на ЕГЭ!

Поехали!

Секущая и хорда окружности — коротко о главном

Секущая окружности

Здесь ( displaystyle AC) – секущая окружности – начинается снаружи окружности и пересекает её в двух точках.

Хорда окружности

Здесь ( displaystyle BC) – хорда окружности – отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Длина хорды

Пусть ( displaystyle AB) – хорда, ( displaystyle R) – радиус, ( displaystyle angle AСB) – любой вписанный угол, опирающийся на хорду ( displaystyle AB). Тогда:

( displaystyle AB=2Rsin alpha).

Произведение длин отрезков хорд и секущих

Для любых двух хорд, проходящих через некоторую точку ( displaystyle A), выполняется:

( displaystyle ABcdot AC=ADcdot AE).

Теорема о секущей и касательной

Для любых секущей и касательной, проходящих через точку ( A), верно:

( displaystyle A{{C}^{2}}=ADcdot AE).

А теперь подробнее…

Определения секущей и хорды окружности

Давай прежде всего вспомним, что такое секущая и хорда. Смотри на картинки.

Здесь ( displaystyle AC) – секущая окружности – начинается снаружи окружности и пересекает её в двух точках.

Здесь ( displaystyle BC) – хорда окружности – отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Кстати, заметил ли ты, что на первом рисунке хорда ( displaystyle BC) является кусочком секущей ( displaystyle AC)?

Вот так всегда и бывает: если есть секущая, то один её кусок – хорда, а второй называется внешняя часть, ну, как у нас ( displaystyle AB) – она же снаружи, верно?

Что же мы должны знать о секущей и хорде окружности?

Всего-то 2-3-4 утверждения. Давай начнём с того, что ты, возможно, уже читал в разделе «Теорема синусов» и «Теорема косинусов» — с длины хорды в окружности.

Длина хорды окружности

Пусть ( displaystyle AB) – хорда, ( displaystyle R) – радиус, ( displaystyle angle ACB) – любой вписанный угол, опирающийся на хорду ( displaystyle AB).

Тогда ( Largefrac{AB}{sin alpha }=2R)

Узнал теорему синусов?

Значит, длину хорды окружности можно найти по формуле:

Произведение длин отрезков хорд и секущих

Сейчас мы сформулируем очень важное, пожалуй, даже основное свойство хорд и секущих окружности.

Словами это свойство формулировать неудобно – получается длинно и некрасиво, поэтому ограничимся буквами.

Произведение длин отрезков хорд окружности

Для любых двух хорд окружности, проходящих через некоторую точку ( displaystyle A), выполняется: ( displaystyle ABcdot AC=ADcdot AE)

Произведение длин отрезков секущих окружности

Для любых двух секущих, проходящих через некоторую точку ( displaystyle A), выполняется: ( displaystyle ABcdot AC=ADcdot AE)

Вопрос первый: Почему мы сформулировали утверждения друг под другом столбиком?

Ответ: Утверждения очень похожи – если закрыть картинки и слова, то получится просто одно и то же – удивительно, не правда ли? Ну, и это сходство гораздо лучше видно, когда утверждения стоят рядом.

Вопрос второй: Как не перепутать, что на что умножать?

Произведение длин отрезков хорд окружности — доказательство

Повторим формулировку.

Для любых двух хорд, проходящих через некоторую точку ( displaystyle A), выполняется: ( ABcdot AC=ADcdot AE)

А теперь докажем.

Рассмотрим ( triangle ABD) и ( triangle AEC). У них углы ( displaystyle A) равны как вертикальные и ( angle DBC=angle DEC), потому что они опираются на одну дугу ( displaystyle DC).

Значит, ( displaystyle triangle ABDsim triangle AEC) по двум углам (вспоминаем признаки подобия треугольников).

Запишем, что же нам даёт это подобие (и откроем маленький секрет!).

Произведение длин отрезков секущих окружности — доказательство

Еще раз формулировку…

Для любых двух секущих, проходящих через некоторую точку ( displaystyle A), выполняется: ( ABcdot AC=ADcdot AE)

Снова рассмотрим ( displaystyle triangle ABD) и ( displaystyle triangle AEC).

1. У них есть общий ( angle A);
2. Четырехугольник ( BCED) — вписанный (срочно повторяем или читаем тему «Окружность. Вписанный угол»).

Значит, ( angle 1+angle 2=180{}^circ ) (сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна ( 180{}^circ )). Но ( angle 2+angle 3=180{}^circ ) — как смежные углы (смотри на картинку).

Что же получилось?

( left{ begin{array}{l}angle 1+angle 2=180{}^circ \angle 2+angle 3=180{}^circ end{array} right.Rightarrow angle 1=angle 3)

То есть ( underbrace{angle ACE}_{в triangle AEC}=underbrace{angle ADB}_{в triangle ABD }).

Из всего этого следует, что ( triangle AECsim triangle ABD) по двум углам (( angle A) – общий и ( angle ACE=angle ADB)).

Снова запишем отношение соответствующих сторон:

Теорема о секущей и касательной (секретное оружие)

А сейчас «секретное» оружие — теорема о секущей и касательной. Почему секретное?

Потому что множество задач ОГЭ и ЕГЭ можно решить с помощью этой теоремы. А акцент на ней в учебнике не делается. То есть ее как бы нет…

В предыдущем пункте мы выяснили, что ( ABcdot AC=ADcdot AE)

Но возникает вопрос: а что будет, если секущая ( AC) и «превратится» в касательную?

Видишь: осталось всего три зелёных точки? Оказывается, ничего страшного, всё почти так же. Формулируем:

Для любых секущей и касательной, проходящих через точку ( A), верно: ( Large A{{C}^{2}}=ADcdot AE).

Тут точки ( B) и ( C) как бы слились в одну – и на рисунке, и в формуле. Заметил?

Самые бюджетные курсы по подготовке к ЕГЭ на 90+

Алексей Шевчук — ведущий мини-групп

математика, информатика, физика

+7 (905) 541-39-06 — WhatsApp/Телеграм для записи

alexei.shevchuk@youclever.org — email для записи

• тысячи учеников, поступивших в лучшие ВУЗы страны
• автор понятного всем учебника по математике ЮКлэва (с сотнями благодарных отзывов);
• закончил МФТИ, преподавал на малом физтехе;
• репетиторский стаж — c 2003 года;
• в 2021 году сдал ЕГЭ (математика 100 баллов, физика 100 баллов, информатика 98 баллов — как обычно дурацкая ошибка:);
• отзыв на Профи.ру: «Рейтинг: 4,87 из 5. Очень хвалят. Такую отметку получают опытные специалисты с лучшими отзывами».