Как найти длину высоты четырехугольной призмы

Как найти высоту четырёхугольной призмы

Призмой называют объемную фигуру, составленную из некоторого количества прямоугольных боковых граней и двух параллельных друг другу оснований. Основания могут иметь форму любого многоугольника, включая и четырехугольник. Высотой этой фигуры называют перпендикулярный основаниям отрезок между плоскостями, в которых они лежат. Его длина в общем случае определяется углом наклона боковых граней к основаниям призмы.

Как найти высоту четырёхугольной призмы

Инструкция

Если в условиях задачи приведен объем (V) пространства, ограниченного гранями призмы, и площадь ее основания (s), для вычисления высоты (H) используйте формулу, общую для призм с основанием любой геометрической формы. Разделите объем на площадь основания: H=V/s. Например, при объеме в 1200 см³ и площади основания, равной 150 см², высота призмы должна быть равна 1200/150=8 см.

Если четырехугольник, лежащий в основании призмы, имеет форму какой-либо правильной фигуры, вместо площади в вычислениях можно использовать длины ребер призмы. Например, при квадратном основании площадь в формуле предыдущего шага замените второй степенью длины его ребра (a):H=V/a². А в случае прямоугольника в ту же формулу подставьте произведение длин двух смежных ребер основания (a и b):H=V/(a*b).

Для вычисления высоты (H) правильной четырехугольной призмы может оказаться достаточным знания полной площади поверхности (S) и длины одного ребра основания (a). Так как общая площадь складывается из площадей двух оснований и четырех боковых граней, а в таком многограннике основанием является квадрат, площадь одной боковой поверхности должна быть равна (S-a²)/4. Эта грань имеет два общих ребра с квадратными основаниями известного размера, значит, для вычисления длины другого ребра разделите полученную площадь на сторону квадрата: (S-a²)/(4*a). Так как рассматриваемая призма является прямоугольной, то ребро вычисленной вами длины примыкает к основаниям под углом 90°, т.е. совпадает с высотой многогранника: H=(S-a²)/(4*a).

В правильной четырехугольной призме для вычисления высоты (H) достаточно знания длины диагонали (L) и одного ребра основания (a). Рассмотрите треугольник, образуемый этой диагональю, диагональю квадратного основания и одним из боковых ребер. Ребро здесь – неизвестная величина, совпадающая с искомой высотой, а диагональ квадрата, основываясь на теореме Пифагора, равна произведению длины стороны на корень из двойки. В соответствии с той же теоремой выразите искомую величину (катет) через длины диагонали призмы (гипотенузы) и диагонали основания (второй катет): H=√(L²-(a*V2)²)=√(L²-2*a²).

Источники:

  • четырехугольная призма

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.


Download Article


Download Article

A prism is a three-dimensional solid with two parallel bases, or faces, that are congruent.[1]
The shape of the base determines what type of prism you have, such as a rectangular or triangular prism. Because it is a 3D shape, finding the volume (space inside) of a prism is a common task; however, sometimes you will need to find the height of a prism. Finding the height is possible if you have enough information already given: either the volume, or the surface area and perimeter of the base. The formulas described in these methods can work for prisms with bases of any shape, provided you know the formula for finding the area of that shape.

  1. Image titled Find The Height Of a Prism Step 1

    1

  2. Image titled Find The Height Of a Prism Step 2

    2

    Plug the volume into the formula. If you do not know the volume, you cannot use this method.

    Advertisement

  3. Image titled Find The Height Of a Prism Step 3

    3

    Find the area of the base. To find the area, you need to know the length and width of the base (or of one side, if the base is a square). Use the formula A=lw. To find the area of a rectangle.[3]

  4. Image titled Find The Height Of a Prism Step 4

    4

    Plug the area of the base into the volume of a prism formula. Make sure you are substituting for the variable A.

    • For example, if you found the area of the base to be 16 square meters, then your formula will look like this:
      64=16h
  5. Image titled Find The Height Of a Prism Step 5

    5

    Solve the equation for h. This will give you the height of your prism.

  6. Advertisement

  1. Image titled Find The Height Of a Prism Step 6

    1

  2. Image titled Find The Height Of a Prism Step 7

    2

    Plug the volume into the formula. If you do not know the volume, you cannot use this method.

  3. Image titled Find The Height Of a Prism Step 8

    3

    Find the area of the base. To find the area, you need to know the length of the triangle’s base and the height of the triangle. Use the formula A={frac  {1}{2}}(b)(h) to find the area of a triangle.[5]

  4. Image titled Find The Height Of a Prism Step 9

    4

    Plug the area of the base into the volume of a prism formula. Make sure you are substituting for the variable A.

    • For example, if you found the area of the base to be 42 square meters, then your formula will look like this:
      840=42h
  5. Image titled Find The Height Of a Prism Step 10

    5

    Solve the equation for h. This will give you the height of your prism.

  6. Advertisement

  1. Image titled Find The Height Of a Prism Step 11

    1

  2. Image titled Find The Height Of a Prism Step 12

    2

    Plug the surface area of the prism into the formula. If you do not know the surface area, this method will not work.

    • For example, if you know the surface area is 1460 square centimeters, your formula will look like this:
      1460=2B+Ph
  3. Image titled Find The Height Of a Prism Step 13

    3

    Find the area of the base. To find the area, you need to know the length and width of the base (or of one side, if the base is a square). Use the formula A=lw. To find the area of a rectangle.[7]

  4. Image titled Find The Height Of a Prism Step 14

    4

    Plug the area of the base into the formula for the surface area of a prism and simplify. Make sure you are substituting for the letter B.

  5. Image titled Find The Height Of a Prism Step 15

    5

    Find the perimeter of the base. To find the perimeter of a rectangle, add up the length of all four sides, or, for a square, multiply the length of one side by 4.

  6. Image titled Find The Height Of a Prism Step 16

    6

    Plug the perimeter of the base into the formula for the surface area of a prism. Make sure you are substituting for the letter P.

    • For example, if you found the perimeter of the base to be 20, your formula will look like this:
      1460=32+20h
  7. Image titled Find The Height Of a Prism Step 17

    7

    Solve the equation for h. This will give you the height of your prism.

  8. Advertisement

  1. Image titled Find The Height Of a Prism Step 18

    1

  2. Image titled Find The Height Of a Prism Step 19

    2

    Plug the surface area of the prism into the formula. If you do not know the surface area, this method will not work.

    • For example, if you know the surface area is 1460 square centimeters, your formula will look like this:
      1460=2B+Ph
  3. Image titled Find The Height Of a Prism Step 20

    3

    Find the area of the base. To find the area, you need to know the length of the triangle’s base and the height of the triangle. Use the formula A={frac  {1}{2}}(b)(h). To find the area of a triangle.[9]

  4. Image titled Find The Height Of a Prism Step 21

    4

    Plug the area of the base into the formula for the surface area of a prism and simplify. Make sure you are substituting for the letter B.

  5. Image titled Find The Height Of a Prism Step 22

    5

    Find the perimeter of the base. To find the perimeter of a triangle, add up the length of all three sides.

  6. Image titled Find The Height Of a Prism Step 23

    6

    Plug the perimeter of the base into the formula for the surface area of a prism. Make sure you are substituting for the letter P.

    • For example, if you found the perimeter of the base to be 21, your formula will look like this:
      1460=32+21h
  7. Image titled Find The Height Of a Prism Step 24

    7

    Solve the equation for h. This will give you the height of your prism.

  8. Advertisement

Add New Question

  • Question

    How do I find the height of a cylinder given the volume?

    Community Answer

    You can use Method 1 and the formula V = Ah. The base of a cylinder is a circle, so A will equal the area of the circle, which is pi x r^2. As long as you know the radius of the circle, you should be able to solve for h.

  • Question

    How can I find the height of a rectangular prism with the width, length and area of base?

    Donagan

    You also need to know the volume, in which case, you would divide the volume by the area.

  • Question

    How do I find the width of a rectangular prism?

    Donagan

    Assuming you know the volume, divide the volume by the height, then divide by the length.

See more answers

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

Advertisement

Video

Thanks for submitting a tip for review!

Things You’ll Need

  • Pen/pencil and paper or calculator (optional)

References

About This Article

Article SummaryX

To find the height of a rectangular prism with a known volume, use the formula V=Ah, where V equals volume, A equals the area of one side, and h equals height. If you don’t have the area, multiply the width and length of one side to get that value. For triangular prisms with a known value, you use the same formula V=AH, but finding the area of one side is different. Use the formula A = 1/2bh, where b equals base and h equals height to get the area so you can solve for the height of the prism. To learn how to find the height of a triangular prism using the surface area, scroll down!

Did this summary help you?

Thanks to all authors for creating a page that has been read 378,872 times.

Did this article help you?

В школьном курсе стереометрии одной из самых простых фигур, которая имеет не нулевые размеры вдоль трех пространственных осей, является четырехугольная призма. Рассмотрим в статье, что это за фигура, из каких элементов она состоит, а также как можно рассчитать площадь ее поверхности и объем.

Понятие о призме

В геометрии призмой полагают пространственную фигуру, которая образована двумя одинаковыми основаниями и боковыми поверхностями, которые соединяют стороны этих оснований. Отметим, что оба основания переходят друг в друга с помощью операции параллельного переноса на некоторый вектор. Такое задание призмы приводит к тому, что все ее боковые стороны всегда являются параллелограммами.

Количество сторон основания может быть произвольным, начиная от трех. При стремлении этого числа к бесконечности, призма плавно переходит в цилиндр, поскольку ее основание становится кругом, а боковые параллелограммы, соединяясь, образуют цилиндрическую поверхность.

Как и любой полиэдр, призма характеризуется сторонами (плоскости, которые ограничивают фигуру), ребрами (отрезки, по которым пересекаются две любые стороны) и вершинами (точки встречи трех сторон, для призмы две из них являются боковыми, а третья – основанием). Количества названных трех элементов фигуры связаны между собой следующим выражением:

Р = С + В – 2

Здесь Р, С и В – это число ребер, сторон и вершин, соответственно. Это выражение является математической записью теоремы Эйлера.

Прямоугольная и косоугольная призмы

Выше приведен рисунок, где показаны две призмы. В основании одной из них (A) лежит правильный шестиугольник, и стороны боковые перпендикулярны основаниям. Рисунок B демонстрирует другую призму. Ее боковые стороны уже не перпендикулярны основаниям, а основание представляет собой правильный пятиугольник.

Что такое призма четырехугольная?

Как понятно из описания выше, тип призмы в первую очередь определяется видом многоугольника, который образует основание (оба основания одинаковые, поэтому речь можно вести об одном из них). Если этим многоугольником является параллелограмм, то мы получаем четырехугольную призму. Таким образом, все стороны этого вида призмы являются параллелограммами. Четырехугольная призма имеет собственное название – параллелепипед.

Кирпич - прямоугольная призма

Количество сторон параллелепипеда равно шести, причем каждая сторона имеет аналогичную параллельную ей. Поскольку основания параллелепипеда – это две стороны, то оставшиеся четыре являются боковыми.

Количество вершин параллелепипеда равно восьми, в чем легко убедиться, если вспомнить, что вершины призмы образуются только на вершинах базовых многоугольников (4х2=8). Применяя теорему Эйлера, получаем число ребер:

Р = С + В – 2 = 6 + 8 – 2 = 12

Из 12-ти ребер, только 4 образованы самостоятельно боковыми сторонами. Остальные 8 лежат в плоскостях оснований фигуры.

Далее в статье речь пойдет только о четырехугольных призмах.

Виды параллелепипедов

Первый тип классификации заключается в особенности параллелограмма, лежащего в основании. Он может быть следующего вида:

  • обычный, у которого углы не равны 90o;
  • прямоугольник;
  • квадрат – правильный четырехугольник.

Второй тип классификации заключается в угле, при котором боковая сторона пересекает основание. Здесь возможно два разных случая:

  • этот угол не является прямым, тогда призму называют косоугольной или наклонной;
  • угол равен 90o, тогда такая призма является прямоугольной или просто прямой.

Третий тип классификации связан с высотой призмы. Если призма является прямоугольной, и в основании лежит либо квадрат, либо прямоугольник, тогда ее называют прямоугольным параллелепипедом. Если же в основании находится квадрат, призма является прямоугольной, а ее высота равна длине стороны квадрата, то мы получаем всем известную фигуру куб.

Поверхность призмы и ее площадь

Совокупность всех точек, которые лежат на двух основаниях призмы (параллелограммах) и на ее боковых сторонах (четыре параллелограмма), образуют поверхность фигуры. Площадь этой поверхности может быть вычислена, если рассчитать площадь основания и эту величину для боковой поверхности. Тогда их сумма даст искомое значение. Математически это записывается так:

S = 2*So + Sb

Здесь So и Sb – площадь основания и боковой поверхности, соответственно. Цифра 2 перед So появляется в виду того, что оснований два.

Отметим, что записанная формула справедлива для любой призмы, а не только для площади четырехугольной призмы.

Полезно напомнить, что площадь параллелограмма Sp вычисляется по формуле:

Sp = a*h

Где символы a и h обозначают длину одной из его сторон и высоту, проведенную к этой стороне, соответственно.

Площадь прямоугольной призмы с квадратным основанием

Цветочный горшок - прямоугольная призма

В правильной четырехугольной призме основание представляет собой квадрат. Обозначим для определенности его сторону буквой a. Чтобы рассчитать площадь правильной четырехугольной призмы, следует знать ее высоту. Согласно определению для этой величины, она равна длине перпендикуляра, опущенного из одного основания на другое, то есть равна расстоянию между ними. Обозначим ее буквой h. Поскольку все боковые грани перпендикулярны основаниям для рассматриваемого типа призмы, то высота правильной четырехугольной призмы будет равна длине ее бокового ребра.

В общей формуле для площади поверхности призмы стоит два слагаемых. Площадь основания в данном случае рассчитать просто, она равна:

So = a2

Чтобы вычислить площадь боковой поверхности, рассуждаем следующим образом: эта поверхность образована 4-мя одинаковыми прямоугольниками. Причем стороны каждого из них равны a и h. Это означает, что площадь Sb буде равна:

Sb = 4*a*h

Заметим, что произведение 4*a – это периметр квадратного основания. Если обобщить это выражение на случай произвольного основания, тогда для прямоугольной призмы боковую поверхность можно рассчитать так:

Sb = Po*h

Где Po – периметр основания.

Возвращаясь к задаче расчета площади правильной четырехугольной призмы, можно записать итоговую формулу:

S = 2*So + Sb = 2*a2 + 4*a*h = 2*a*(a+2*h)

Площадь косоугольного параллелепипеда

Вычислить ее несколько сложнее, чем для прямоугольного. В этом случае площадь основания четырехугольной призмы вычисляется по той же формуле, что и для параллелограмма. Изменения касаются способа определения площади боковой поверхности.

Для этого используется та же формула через периметр, что приведена в пункте выше. Только теперь в ней появятся несколько иные множители. Общая формула для Sb в случае косоугольной призмы имеет вид:

Sb = Psr*c

Здесь с – это длина бокового ребра фигуры. Величина Psr является периметром прямоугольного среза. Строится этот сред следующим образом: необходимо плоскостью пересечь все боковые грани таким образом, чтобы она была перпендикулярна всем им. Образованный прямоугольник и будет искомым срезом.

Прямоугольное сечение

На рисунке выше приведен пример косоугольного параллелепипеда. Заштрихованное его сечение с боковыми сторонами образует прямые углы. Периметр сечения равен Psr. Он образован четырьмя высотами боковых параллелограммов. Для этой четырехугольной призмы площадь боковой поверхности рассчитывается по указанной выше формуле.

Длина диагонали прямоугольного параллелепипеда

Диагональ параллелепипеда – это отрезок, который соединяет две вершины, не имеющие общих сторон, которые их образуют. В любой четырехугольной призме диагоналей всего четыре. Для прямоугольного параллелепипеда, в основании которого расположен прямоугольник, длины всех диагоналей равны друг другу.

Ниже на рисунке приведена соответствующая фигура. Красный отрезок является ее диагональю.

Диагональ параллелепипеда

Рассчитать ее длину очень просто, если вспомнить о теореме Пифагора. Каждый школьник может получить искомую формулу. Она имеет следующую форму:

D = √(A2 + B2 + C2)

Здесь D – длина диагонали. Остальные символы – это длины сторон параллелепипеда.

Многие путают диагональ параллелепипеда с диагоналями его сторон. Ниже приводится рисунок, где цветными отрезками изображены диагонали сторон фигуры.

Диагонали сторон параллелепипеда

Длина каждой из них также определяется по теореме Пифагора и равна квадратному корню из суммы квадратов соответствующих длин сторон.

Объем призмы

Помимо площади правильной четырехугольной призмы или других видов призм, для решения некоторых геометрических задач следует знать и их объем. Эта величина для абсолютно любой призмы вычисляется по следующей формуле:

V = So*h

Если призма является прямоугольной, тогда достаточно вычислить площадь ее основания и умножить его на длину ребра боковой стороны, чтобы получить объем фигуры.

Если призма является правильной четырехугольной, тогда ее объем будет равен:

V = a2 *h.

Легко видеть, что эта формула преобразуется в выражение для объема куба, если длина бокового ребра h равна стороне основания a.

Задача с прямоугольным параллелепипедом

Для закрепления изученного материала решим следующую задачу: имеется прямоугольный параллелепипед, стороны которого равны 3 см, 4 см и 5 см. Необходимо рассчитать площадь его поверхности, длину диагонали и объем.

Для определенности будем считать, что основанием фигуры является прямоугольник со сторонами 3 см и 4 см. Тогда его площадь равна 12 см2, а период составляет 14 см. Используя формулу для площади поверхности призмы, получаем:

S = 2*So + Sb = 2*12 + 5*14 = 24 + 70 = 94 см2

Для определения длины диагонали и объема фигуры можно непосредственно воспользоваться приведенными выше выражениями:

D = √(32+42+52) = 7,071 см;

V = 3*4*5 = 60 см3.

Задача с косоугольным параллелепипедом

Ниже на рисунке изображена косоугольная призма. Ее стороны равны: a=10 см, b = 8 см, с = 12 см. Необходимо найти площадь поверхности этой фигуры.

Косоугольный параллелепипед

Сначала определим площадь основания. Из рисунка видно, что острый угол равен 50o. Тогда его площадь равна:

So = h*a = sin(50o)*b*a

Для определения площади боковой поверхности, следует найти периметр заштрихованного прямоугольника. Стороны этого прямоугольника равны a*sin(45o) и b*sin(60o). Тогда периметр этого прямоугольника равен:

Psr = 2*(a*sin(45o)+b*sin(60o))

Полная площадь поверхности этого параллелепипеда равна:

S = 2*So + Sb = 2*(sin(50o)*b*a + a*c*sin(45o) + b*c*sin(60o))

Подставляем данные из условия задачи для длин сторон фигуры, получаем ответ:

S = 458,5496 см3

Из решения этой задачи видно, что для определения площадей косоугольных фигур используются тригонометрические функции.

Как найти площадь боковой поверхности призмыВ школьной программе по курсу стереометрии изучение объёмных фигур обычно начинается с простого геометрического тела — многогранника призмы. Роль её оснований выполняют 2 равных многоугольника, лежащих в параллельных плоскостях. Частным случаем является правильная четырёхугольная призма. Её основами являются 2 одинаковых правильных четырёхугольника, к которым перпендикулярны боковые стороны, имеющие форму параллелограммов (или прямоугольников, если призма не наклонная).

Как выглядит призма

Правильной четырёхугольной призмой называется шестигранник, в основаниях которого находятся 2 квадрата, а боковые грани представлены прямоугольниками. Иное название для этой геометрической фигуры — прямой параллелепипед.

Рисунок, на котором изображена четырёхугольная призма, показан ниже.

На картинке также можно увидеть важнейшие элементы, из которых состоит геометрическое тело. К ним принято относить:

  1. Куб в пространствеОсновы призмы — квадраты LMNO и L₁M₁N₁O₁.
  2. Боковые грани — прямоугольники MM₁L₁L, LL₁O₁O, NN₁O₁O и MM₁N₁N, расположенные под прямым углом к основаниям.
  3. Боковые рёбра — отрезки, расположенные на стыке между двумя боковыми гранями: M₁M, N₁N, O₁O и L₁L. Также выполняют роль высоты (поскольку лежат в параллельной основаниям плоскости). В призме боковые рёбра всегда равны между собой — это одно из важнейших свойств этого геометрического тела.
  4. Диагонали, которые, в свою очередь, подразделяются ещё на 3 категории. К ним относится 4 диагонали основания (MO, N₁L₁), 8 диагоналей боковых граней (ML₁, O₁L) и 4 диагонали призмы, начала и концы которых являются вершинами 2 разных оснований и боковых сторон (MO₁, N₁L).

Иногда в задачах по геометрии можно встретить понятие сечения. Определение будет звучать так: сечение — это все точки объёмного тела, принадлежащие секущей плоскости. Сечение бывает перпендикулярным (пересекает рёбра фигуры под углом 90 градусов). Для прямоугольной призмы также рассматривается диагональное сечение (максимальное количество сечений, которых можно построить — 2), проходящее через 2 ребра и диагонали основания.

Куб с разноцветными гранями

Если же сечение нарисовано так, что секущая плоскость не параллельна ни основам, ни боковым граням, в результате получается усечённая призма.

Для нахождения приведённых призматических элементов используются различные отношения и формулы. Часть из них известна из курса планиметрии (например, для нахождения площади основания призмы достаточно вспомнить формулу площади квадрата).

Площадь поверхности и объём

Чтобы определить объём призмы по формуле, необходимо знать площадь её основания и высоту:

V = Sосн·h

Так как основанием правильной четырёхгранной призмы является квадрат со стороной a, можно записать формулу в более подробном виде:

V = a²·h

Если речь идёт о кубе — правильной призме с равной длиной, шириной и высотой, объём вычисляется так:

V = a³

Чтобы понять, как найти площадь боковой поверхности призмы, необходимо представить себе её развёртку.

Сколько граней у куба

Из чертежа видно, что боковая поверхность составлена из 4 равных прямоугольников. Её площадь вычисляется как произведение периметра основания на высоту фигуры:

Sбок = Pосн·h

С учётом того, что периметр квадрата равен P = 4a, формула принимает вид:

Sбок = 4a·h

Для куба:

Sбок = 4a²

Для вычисления площади полной поверхности призмы нужно к боковой площади прибавить 2 площади оснований:

Sполн = Sбок + 2Sосн

Применительно к четырёхугольной правильной призме формула имеет вид:

Sполн = 4a·h + 2a²

Для площади поверхности куба:

Sполн = 6a²

Зная объём или площадь поверхности, можно вычислить отдельные элементы геометрического тела.

Нахождение элементов призмы

Часто встречаются задачи, в которых дан объём или известна величина боковой площади поверхности, где необходимо определить длину стороны основания или высоту. В таких случаях формулы можно вывести:

  • длина стороны основания: a = Sбок / 4h = √(V / h),
  • длина высоты или бокового ребра: h = Sбок / 4a = V / a²,
  • площадь основания: Sосн = V / h,
  • площадь боковой грани: Sбок. гр = Sбок / 4.

Сколько вершин у кубаЧтобы определить, какую площадь имеет диагональное сечение, необходимо знать длину диагонали и высоту фигуры. Для квадрата d = a√2. Из этого следует:

Sдиаг = ah√2

Для вычисления диагонали призмы используется формула:

dприз = √(2a² + h²)

Чтобы понять, как применять приведённые соотношения, можно попрактиковаться и решить несколько несложных заданий.

Примеры задач с решениями

Вот несколько заданий, встречающихся в государственных итоговых экзаменах по математике.

Куб геометрическая фигура

Задание 1.

В коробку, имеющую форму правильной четырёхугольной призмы, насыпан песок. Высота его уровня составляет 10 см. Каким станет уровень песка, если переместить его в ёмкость такой же формы, но с длиной основания в 2 раза больше?

Решение.

Следует рассуждать следующим образом. Количество песка в первой и второй ёмкости не изменялось, т. е. его объём в них совпадает. Можно обозначить длину основания за a. В таком случае для первой коробки объём вещества составит:

V₁ = ha² = 10a²

Для второй коробки длина основания составляет 2a, но неизвестна высота уровня песка:

V₂ = h (2a)² = 4ha²

Поскольку V₁ = V₂, можно приравнять выражения:

10a² = 4ha²

После сокращения обеих частей уравнения на a² получается:

10 = 4h

В результате новый уровень песка составит h = 10 / 4 = 2,5 см.

Трехмерный куб

Задание 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ правильная призма. Известно, что BD = AB₁ = 6√2. Найти площадь полной поверхности тела.

Решение.

Чтобы было проще понять, какие именно элементы известны, можно изобразить фигуру.

Поскольку речь идёт о правильной призме, можно сделать вывод, что в основании находится квадрат с диагональю 6√2. Диагональ боковой грани имеет такую же величину, следовательно, боковая грань тоже имеет форму квадрата, равного основанию. Получается, что все три измерения — длина, ширина и высота — равны. Можно сделать вывод, что ABCDA₁B₁C₁D₁ является кубом.

Длина любого ребра определяется через известную диагональ:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Площадь полной поверхности находится по формуле для куба:

Sполн = 6a² = 6·6² = 216

Правильный куб

Задание 3.

В комнате производится ремонт. Известно, что её пол имеет форму квадрата с площадью 9 м². Высота помещения составляет 2,5 м. Какова наименьшая стоимость оклейки комнаты обоями, если 1 м² стоит 50 рублей?

Решение.

Поскольку пол и потолок являются квадратами, т. е. правильными четырёхугольниками, и стены её перпендикулярны горизонтальным поверхностям, можно сделать вывод, что она является правильной призмой. Необходимо определить площадь её боковой поверхности.

Длина комнаты составляет a = √9 = 3 м.

Обоями будет оклеена площадь Sбок = 4·3·2,5 = 30 м².

Наименьшая стоимость обоев для этой комнаты составит 50·30 = 1500 рублей.

Таким образом, для решения задач на прямоугольную призму достаточно уметь вычислять площадь и периметр квадрата и прямоугольника, а также владеть формулами для нахождения объёма и площади поверхности.

Как найти площадь куба

Правильная четырёхугольная призмаОбъем призмы Прямая призма Площадь боковой поверхности призмыПлощадь основания призмыПрямоугольная призмаПлощадь полной поверхности призмыВысота призмы Ребра призмы Нахождение объёма призмыВычисление элементов призмыКуб и его элементыКуб в пространствеГрани куба Куб в изометрии

Проститутки Ростов на Дону rostovchanotki.ru


Загрузить PDF


Загрузить PDF

Призма – это объемная фигура с двумя равными параллельными основаниями.[1]
Фигура в основании определяет тип призмы, например, прямоугольная или треугольная призма. Так как призма является объемной фигурой, зачастую нужно вычислить объем (пространство, ограниченное боковыми гранями и основаниями) призмы. Но иногда в задачах требуется найти высоту призмы. Это не так сложно, если дана необходимая информация: объем или площадь поверхности и периметр основания. Формулы, приведенные в этой статье, применимы к призмам с основаниями любой формы, если знать, как вычислить площадь основания.

  1. Изображение с названием Find The Height Of a Prism Step 1

    1

  2. Изображение с названием Find The Height Of a Prism Step 2

    2

    В формулу подставьте объем. Если объем не дан, этот метод использовать нельзя.

    • Пример: объем призмы равен 64 кубических метров (м3); формула запишется так:
      64=Sh
  3. Изображение с названием Find The Height Of a Prism Step 3

    3

    Вычислите площадь основания. Для этого нужно знать длину и ширину основания (или одну из сторон, если основание представляет собой квадрат). Чтобы вычислить площадь прямоугольника, воспользуйтесь формулой S=lw.

  4. Изображение с названием Find The Height Of a Prism Step 4

    4

    Подставьте площадь основания в формулу для вычисления объема призмы. Значение площади подставьте вместо S.

    • Пример: площадь основания равна 16 м2, поэтому формула запишется так:
      64=16h
  5. Изображение с названием Find The Height Of a Prism Step 5

    5

    Найдите h. Так вы вычислите высоту призмы.

    Реклама

  1. Изображение с названием Find The Height Of a Prism Step 6

    1

  2. Изображение с названием Find The Height Of a Prism Step 7

    2

    В формулу подставьте объем. Если объем не дан, этот метод использовать нельзя.

    • Пример: объем призмы равен 840 кубических метров (м3); формула запишется так:
      840=Sh
  3. Изображение с названием Find The Height Of a Prism Step 8

    3

    Вычислите площадь основания. Для этого нужно знать высоту треугольника и сторону, на которую опущена высота. Чтобы вычислить площадь треугольника, воспользуйтесь формулой S={frac  {1}{2}}(b)(h).

  4. Изображение с названием Find The Height Of a Prism Step 9

    4

    Подставьте площадь основания в формулу для вычисления объема призмы. Значение площади подставьте вместо S.

    • Пример: площадь основания равна 42 м2, поэтому формула запишется так:
      840=42h
  5. Изображение с названием Find The Height Of a Prism Step 10

    5

    Найдите h. Так вы вычислите высоту призмы.

    Реклама

  1. Изображение с названием Find The Height Of a Prism Step 11

    1

  2. Изображение с названием Find The Height Of a Prism Step 12

    2

    В формулу подставьте площадь поверхности. Если площадь поверхности не дана, этот метод использовать нельзя.

    • Пример: площадь поверхности призмы равна 1460 квадратных сантиметров; формула запишется так:
      1460=2S+Ph
  3. Изображение с названием Find The Height Of a Prism Step 13

    3

    Вычислите площадь основания. Для этого нужно знать длину и ширину основания (или одну из сторон, если основание представляет собой квадрат). Чтобы вычислить площадь прямоугольника, воспользуйтесь формулой S=lw.

  4. Изображение с названием Find The Height Of a Prism Step 14

    4

    Подставьте площадь основания в формулу для вычисления площади поверхности призмы. Значение площади подставьте вместо S.

  5. Изображение с названием Find The Height Of a Prism Step 15

    5

    Найдите периметр основания. Чтобы найти периметр прямоугольника, сложите значения всех (четырех) сторон; чтобы найти периметр квадрата, умножьте значение одной стороны на 4.

  6. Изображение с названием Find The Height Of a Prism Step 16

    6

    Подставьте периметр основания в формулу для вычисления площади поверхности призмы. Значение периметра подставьте вместо P.

    • Пример: если периметр основания равен 20, формула запишется так:
      1460=32+20h
  7. Изображение с названием Find The Height Of a Prism Step 17

    7

    Найдите h. Так вы вычислите высоту призмы.

    Реклама

  1. Изображение с названием Find The Height Of a Prism Step 18

    1

  2. Изображение с названием Find The Height Of a Prism Step 19

    2

    В формулу подставьте площадь поверхности. Если площадь поверхности не дана, этот метод использовать нельзя.

    • Пример: площадь поверхности призмы равна 1460 квадратных сантиметров; формула запишется так:
      1460=2S+Ph
  3. Изображение с названием Find The Height Of a Prism Step 20

    3

    Вычислите площадь основания. Для этого нужно знать высоту треугольника и сторону, на которую опущена высота. Чтобы вычислить площадь треугольника, воспользуйтесь формулой S={frac  {1}{2}}(b)(h).

  4. Изображение с названием Find The Height Of a Prism Step 21

    4

    Подставьте площадь основания в формулу для вычисления площади поверхности призмы. Значение площади подставьте вместо S.

  5. Изображение с названием Find The Height Of a Prism Step 22

    5

    Найдите периметр основания. Чтобы найти периметр треугольника, сложите значения всех (трех) сторон.

  6. Изображение с названием Find The Height Of a Prism Step 23

    6

    Подставьте периметр основания в формулу для вычисления площади поверхности призмы. Значение периметра подставьте вместо P.

    • Пример: если периметр основания равен 21, формула запишется так:
      1460=32+21h
  7. Изображение с названием Find The Height Of a Prism Step 24

    7

    Найдите h. Так вы вычислите высоту призмы.

    Реклама

Предупреждения

  • Не путайте высоту треугольной призмы с высотой треугольника, который лежит в основании призмы. Высота треугольника – это перпендикуляр, опущенный из любой вершины треугольника на противоположную сторону, которая называется основанием треугольника. Высоту равнобедренного треугольника можно найти, если дано основание и боковая сторона. Разделите основание на 2, а затем воспользуйтесь теоремой Пифагора (a^{{2}}+b^{{2}}=c^{{2}}), где а (или b) – высота треугольника. Запомните: апофемы в призме нет!

Реклама

Что вам понадобится

  • Ручка/карандаш и бумага или калькулятор (необязательно)

Об этой статье

Эту страницу просматривали 99 856 раз.

Была ли эта статья полезной?

Добавить комментарий