Уравнение высоты треугольника
Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?
Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.
Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:
- Найти уравнение стороны треугольника.
- Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.
Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).
Написать уравнения высот треугольника.
1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.
Прямая y=kx+b проходит через точки B(5;-3), C(1;8), значит, координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой. Подставив координаты B и C в уравнение прямой, составляем систему уравнений и решаем её:
Таким образом, уравнение прямой BC —
Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,
Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид
Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:
Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:
2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):
Уравнение прямой AB:
Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой
Значит уравнение перпендикулярной AB прямой имеет вид y=2,5x+b. Подставляем в это уравнение координаты точки C(1;8): 8=2,5·1+b, откуда b=5,5.
Получили уравнение высоты, проведённой из точки C к стороне BC: y=2,5x+5,5.
3) Составим уравнение стороны AC треугольника ABC. A(-7;2), C(1;8):
Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,
Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид
Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:
Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B:
Найти уравнение и длину высоты аd
уравнение и длину высоты А D ; уравнение и длину медианы СЕ; внутренний угол В; систему линейных неравенств, определяющую треугольник. Сделать чертеж.
Y
1. Составим уравнения всех сторон треугольника, используя уравнение прямой, проходящей через две данные точки.
.
Так как точки А и С имеют одинаковую ординату, используем данное уравнение в преобразованном виде:
.
2. Найдем длину высоты А D . Используем формулу расстояния от точки до прямой:
.
Приведем уравнение ВС к общему уравнению прямой.
.
3. Составим уравнение высоты А D . Она проходит через точку А(2,1) и перпендикулярна прямой ВС, k BC =2/3. Из условия перпендикулярности k AD =-1/ k BC =-3/2. Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через данную точку в данном направлении:
.
4. Для нахождения длины и уравнения медианы СЕ найдем координаты точки Е как середины отрезка АВ.
Точка Е (1 /2,2).
5. Найдем внутренний угол В. Он отсчитывается в положительном направлении от прямой ВС к прямой АВ. k BC =2/3, k AB =-2/3.
6. Составим систему линейных неравенств, определяющую треугольник. Запишем уравнения сторон в виде
AB : 2 x + 3 y = 7 ,
BC : 2 x – 3 y =- 11 ,
Подставим точку с координатами (-1, 2), лежащую внутри треугольника, в левые части равенств.
2 x – 3 y =- 2-6=-8>-11,
Следовательно, система неравенств, описывающая треугольник, имеет вид
Задача 2. Составить каноническое уравнение гиперболы, если известно, что ее эксцентриситет равен 1,25 и гипербола проходит через точку .
Решение . Каноническое уравнение гиперболы имеет вид . Так как гипербола проходит через точку А (8; ), то ее координаты удовлетворяют уравнению гиперболы, т.е. . Так, как = 1,25, то = 1,25, но , тогда = 1,5625 или .
Итак, получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными а и b .
Решая эту систему, находим = 16 и = 9, следовательно, каноническое уравнение гиперболы имеет вид .
Задача 3. Составить уравнение прямой, проходящей через вершину параболы и центр окружности .
Решение . Найдем координаты вершины параболы и координаты центра окружности. Для этого выделим полные квадраты по каждой переменной.
Уравнение параболы: ;
уравнение окружности: .
Следовательно, вершина параболы имеет координаты В (2;3), а центр окружности имеет координаты С (-2; 1).
Тогда уравнение искомой прямой составим по формуле
.
Получим , или .
Высота треугольника онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора можно найти высоту треугольника. Для нахождения высоты треугольника введите известные элементы треугольника и нажмите на кнопку “Вычислить”. Теоретическую часть смотрите ниже.
Открыть онлайн калькулятор
Высота треугольника. Определение
Определение 1. Отрезок, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника.
Высота треугольника может содержаться внутри треугольника (Рис.1), совпадать со стороной треугольника (при прямоугольном треугольнике высота совпадает с катетом (Рис.2) ), проходить вне треугольника (при тупоугольном треугольнике(Рис.3)).
Теорема о пересечении высот треугольника
Теорема 1. Все три высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.
Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник ABC (Рис.4). Докажем, что высоты ( small AA_1 ,) ( small BB_1 ,) ( small CC_1 ) пересекаются в одной точке. Из каждой вершины треугольника проведем прямую, параллельно противоположной стороне. Получим треугольник ( small A_2B_2C_2. ) Покажем, что точки ( small A, B, C ) являются серединами сторон треугольника ( small A_2B_2C_2. ) ( small AB=A_2C ) так как они являются противоположными сторонами параллелограмма ( small ABA_2C. ) ( small AB=CB_2 ) так как они являются противоположными сторонами параллелограмма ( small ABCB_2. ) Тогда ( small CB_2=CA_2, ) то есть точка ( small C ) является серединой стороны ( small A_2B_2 ) треугольника ( small A_2B_2C_2. ) Аналогично доказывается, что точки ( small A ) и ( small B ) являются серединами сторон ( small B_2C_2 ) и ( small A_2C_2, ) соответственно.
Далее из ( small AA_1⊥BC ) следует, что ( small AA_1⊥B_2C_2 ) поскольку ( small BC ǁ B_2C_2 ). Аналогично, ( small BB_1⊥A_2C_2, ) ( small CC_1⊥A_2B_2. ) Получили, что ( small AA_1,) ( small BB_1, ) ( small CC_1) являются серединными перпендикулярами сторон ( small B_2C_2, ) ( small A_2C_2, ) ( small A_2B_2, ) соответственно. Но серединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке (см. статью Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника). Следовательно высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке.
Точка пересечения высот треугольника называется ортоцентром.
Высота треугольника по основанию и площади
Пусть известны сторона треугольника и площадь. Найти высоту треугольника, отпущенная на известную сторону (Рис.5).
Решение. Площадь треугольника по основанию и высоте вычисляется из формулы:
Пример 1. Сторона треугольника равна ( small a=5 ) а площадь ( small S=7. ) Найти высоту треугольника.
Применим формулу (1). Подставляя значения ( small a ) и ( small S ) в (1), получим:
Ответ:
Высота треугольника по трем сторонам
Формула площади треугольника по трем сторонам имеет следующий вид (см. статью на странице Площадь треугольника онлайн):
где ( small a, b, c ) стороны треугольника а полупериод ( small p ) вычисляется из формулы:
Высота треугольника, отпущенная на сторону ( small a) вычисляется из формулы (1). Подставляя (2) в (1), получим формулу вычисления высоты треугольника по трем сторонам:
Пример 2. Известны стороны треугольника: ( small a=5, ) ( small b= 4, ) ( small c=7. ) Найти высоту треугольника, отпущенная на сторону ( small a. )
Решение: Найдем, сначала полупериод ( small p ) треугольника из формулы (3):
Подставляя значения ( small a , b, c ) и ( small p ) в (4), получим:
Ответ:
Высота треугольника по двум сторонам и радиусу описанной окружности
Рассмотрим треугольник на рисунке 6. Из теоремы синусов имеем:
Далее, из теоремы синусов имеем:
Подставляя (6) в (7), получим:
Отметим, что радиус описанной окружности должен удовлетворять следующему неравенству:
(small max (b,c) ≤2R Пример 3. Известны стороны треугольника: ( small b=7, ) ( small c= 3 ) и радиус описанной окружности ( small R=4. ) Найти высоту треугольника, отпущенная на сторону ( small a. )
Решение: Проверим сначала условие (9):
(small max (7,3) ≤2 cdot 4 Ответ: ( small 2frac<5><8>. )
Высота треугольника по стороне и прилежащему к ней углу
Найдем высоту ( small h_a ) треугольника на рисунке 7. Из теоремы синусов имеем:
( small frac<large h_a><large sin angle B>=frac<large c><large sin 90°>, )
( small h_a=c cdot sin angle B. ) | (11) |
Пример 4. Известны сторона ( small c=12 ) треугольника и прилежащий угол ( small angle B=30°. ) Найти высоту треугольника, отпущенная на сторону ( small a. )
Решение: Для нахождения высоты треугольника подставим значения ( small c=12 ) и ( small angle B=30° ) в (11). Имеем:
[spoiler title=”источники:”]
http://lms2.sseu.ru/courses/eresmat/course1/primz1/pr8.htm
http://matworld.ru/geometry/vysota-treugolnika.php
[/spoiler]
Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?
Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.
Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:
- Найти уравнение стороны треугольника.
- Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.
Пример.
Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).
Написать уравнения высот треугольника.
Решение:
1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.
Прямая y=kx+b проходит через точки B(5;-3), C(1;8), значит, координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой. Подставив координаты B и C в уравнение прямой, составляем систему уравнений и решаем её:
Таким образом, уравнение прямой BC —
Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,
Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид
Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:
Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:
2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):
Уравнение прямой AB:
Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой
Значит уравнение перпендикулярной AB прямой имеет вид y=2,5x+b. Подставляем в это уравнение координаты точки C(1;8): 8=2,5·1+b, откуда b=5,5.
Получили уравнение высоты, проведённой из точки C к стороне BC: y=2,5x+5,5.
3) Составим уравнение стороны AC треугольника ABC. A(-7;2), C(1;8):
Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,
Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид
Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:
Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B:
2.9. Типовая задача с треугольником
Многие помнят из школы признаки равенства треугольников, признаки подобия треугольников и мучительное заучивание доказательств теорем. Как в
сердцАх сказал один мой одноклассник, «не понимаю, на### доказывать равенство треугольников, если и так видно, что они одинаковые». Мы тоже не
будем ничего доказывать, поскольку аналитическая геометрия рассматривает треугольник совсем с другой стороны.
Типовая задача, как правило, формулируется так: Даны три вершины треугольника. Требуется найти… много чего требуется
найти…. Повезёт, если будет пункта 3-4, но чаще всего их 5-6 и даже больше. И вам повезло – разберём всё! Или почти всё:
Задача 95
Даны вершины треугольника . Требуется:
1) составить уравнения сторон и найти их угловые коэффициенты;
2) найти длину стороны ;
3) найти ;
4) составить прямой , проходящей через точку параллельно прямой ;
5) составить уравнение высоты и найти её длину;
6) вычислить площадь треугольника ;
7) составить уравнение медианы ;
8) найти точку пересечения .
и для особо опасных энтузиастов:
9) найти уравнение биссектрисы ;
10) найти центр тяжести треугольника;
11) составить систему линейных неравенств, определяющих треугольник.
С чего начать решение? Начать целесообразно с выполнения чертежа. По условию этого можно не делать, но для самоконтроля и
самопроверки всегда строим чертёж на черновике, не устану это рекомендовать:
Ещё раз напоминаю, что самый выгодный масштаб 1 единица = 1
см (2 тетрадные клетки). Всё хорошо видно, и расстояния удобно измерять линейкой.
Вперёд без страха и сомнений:
1) Составим уравнения сторон и найдём их угловые
коэффициенты.
Поскольку известны вершины треугольника, то уравнения каждой стороны составим по двум
точкам.
Составим уравнение стороны по точкам :
Для проверки мысленно либо на черновике подставляем координаты каждой точки в полученное уравнение.
Теперь
найдём угловой коэффициент. Для этого перепишем общее уравнение в виде уравнения с угловым коэффициентом:
Таким образом, угловой коэффициент:
Самостоятельно разбираемся со сторонами и сверяемся, что
получилось:
2) Найдём длину стороны . Используем соответствующую формулу для точек :
Сторону легко измерить обычной линейкой, хотя это не сильно строгая проверка 🙂
3) Найдём . Это Задача 31, повторим:
Используем формулу .
Найдём векторы:
Таким образом:
, и сам угол:
, ну что же, похоже на правду, желающие могут приложить транспортир, у кого
он есть.
Внимание! При выполнении этого пункта лучше не использовать формулы ориентированного угла
между прямыми, так как они всегда дают острый угол.
4) Составим уравнение прямой , проходящей через точку параллельно прямой . Это стандартная задача, и мы ленимся отработать её вновь!
Из общего уравнения прямой вытащим направляющий вектор .
Составим уравнение прямой по точке и направляющему вектору :
5) Составим уравнение высоты и найдём её длину.
Первую часть задания мы тоже решали:
Из уравнения стороны снимаем вектор нормали . Уравнение высоты
составим по точке и направляющему вектору :
Обратите внимание, что координаты точки нам не известны.
Иногда уравнение высоты находят из соотношения угловых коэффициентов перпендикулярных прямых: . В данном случае , тогда: . Уравнение высоты составим по точке и угловому коэффициенту :
Длину высоты можно найти двумя способами.
Существует окольный путь:
а) находим – точку
пересечения высоты и стороны ;
б) находим длину отрезка по двум
известным точкам.
Но зачем? – ведь есть удобная формула расстояния от точки до прямой :
6) Вычислим площадь треугольника. Используем «школьную» формулу:
7) Уравнение медианы составим в два шага:
а) Найдём точку – середину стороны . Используем формулы координат середины отрезка.
Известны концы , и тогда середина:
б) Уравнение медианы составим по точкам :
– для проверки подставим координаты точек .
8) Найдём точку пересечения высоты и медианы:
в
Первое уравнение умножили на 5, складываем их почленно:
– подставим в первое уравнение:
9) Биссектриса делит угол пополам:
Из свойств биссектрисы внутреннего угла следует соотношение длин следующих отрезков:
Длины сторон уже найдены в предыдущих пунктах: .
Таким образом, . Координаты точки найдём по формулам деления отрезка в данном отношении. Да,
параметр «лямбда» получился просто сказочным, ну а кому сейчас легко? Точки известны и понеслась нелёгкая:
Примечание: на последнем шаге я умножил числитель и знаменатель на сопряжённое выражение – чтобы использовать формулу и
избавиться от иррациональности в знаменателе.
Разбираемся со второй координатой:
аким образом:
И предчувствие вас не обмануло, уравнение биссектрисы составим по точкам по формуле :
обратите внимание на технику упрощений:
Проверил, всё сходится. На практике, конечно, вычисления почти всегда будут проще. Никого не хотел запугать, так уж получилось =)
10) Найдём центр тяжести треугольника.
Но сначала поймём, что такое центр тяжести плоской фигуры. Мысленно вырежьте из тонкого однородного картона любую фигуру. …Почему-то фигура зайца
в голову пришла. Так вот: если слегка насадить данную фигуру центром тяжести (какой же я изверг =)) на вертикально расположенную иголку, то
теоретически фигура не должна свалиться.
Центром тяжести треугольника является точка пересечения его медиан. В треугольнике три медианы и пересекаются они в одной точке.
Из пункта 7 нам уже известна одна из медиан: . Как решить задачу?
Напрашивается очевидный алгоритм: можно найти уравнение второй медианы (любой из двух оставшихся) и точку пересечения этих медиан. Но есть путь
короче! Нужно только знать полезное свойство:
Точка пересечения медиан делит каждую из медиан в
отношении , считая от вершины треугольника. Поэтому справедливо
отношение
Нам известны концы отрезка – точки и .
По формулам деления отрезка в данном отношении:
Таким образом, центр тяжести треугольника:
И заключительный пункт задачи, для освоения которого нужно уметь решать недавно разобранные линейные
неравенства:
11) Составим систему линейных неравенств, определяющих треугольник.
Для удобства я перепишу найденные уравнения сторон:
Рассмотрим прямую . Треугольник лежит в полуплоскости, где находится
вершина . Составим вспомогательный многочлен и вычислим его значение в точке : . Поскольку сторона принадлежит треугольнику, то неравенство будет нестрогим:
Внимание! Если вам не понятен этот алгоритм, то обратитесь к
Задаче 90.
Рассмотрим прямую . Треугольник расположен ниже данной прямой, поэтому
очевидно неравенство .
И, наконец, для составим многочлен , в который подставим координаты точки : .
Таким образом, получаем третье неравенство: .
Итак, треугольник определяется следующей системой линейных
неравенств:
Готово.
Какой можно сделать вывод?
Многие задачи аналитической геометрии прозрачны и просты,
главное, не допустить вычислительных ошибок.
Следует отметить, что по настоящему трудные задачи в аналитической геометрии встречаются редко, и вы справитесь практически с любой из них!
Главное, придерживаться методики решения и проявить маломальское упорство.
Ну что, может ещё задачку? Да ладно, не надо стесняться, я же по глазам вижу, что хотите =)
Но сейчас на очереди другая увлекательная тема, продолжаем изучать геометрию плоскости:
3.1. Алгебраическая линия и её порядок
2.8. Как научиться решать задачи по геометрии?
| Оглавление |
Автор: Aлeксaндр Eмeлин
Решить треугольник Онлайн по координатам
Данный онлайн-сервис вычисляет (показываются промежуточные расчёты) следующие параметры треугольника:
1) длины и уравнения сторон, медиан, средних линий, высот, серединных перпендикуляров, биссектрис;
2) система линейных неравенств, определяющих треугольник;
2) уравнения прямых, проходящих через вершины параллельно противолежащим сторонам;
3) внутренние углы по теореме косинусов;
4) площадь треугольника;
5) точка пересечения медиан (центроид) и точки пересечения медиан со сторонами;
10) параметры вписанной и описанной окружностей и их уравнения.
Внимание! Этот сервис не работает в браузере IE (Internet Explorer).
Запишите координаты вершин треугольника и нажмите кнопку.
Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).
Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.
8
Даны вершины
треугольника.
Найти:
-
длину стороны ВС;
-
уравнение высоты ВС;
-
уравнение высоты, проведённой из вершины
А; -
длину высоты, проведённой из вершины
А; -
угол В.
Сделать чертёж.
Дано: А(-8;3), В(4;-2), С(7;2).
РЕШЕНИЕ
-
Длину стороны ВС находим по формуле
.
По условию имеем В(4;-2), С(7;2).
-
Найдём уравнение стороны ВС. Найдём
уравнение прямой, на которой лежит
сторона ВС. Используем уравнение прямой,
проходящей через две точки
,
полагая
-
Найдём уравнение высоты, проведённой
из вершины А. При составлении уравнения
прямой, на которой лежит высота
треугольника, воспользуемся формулой
и условием перпендикулярности двух
прямых
:
Определим угловой коэффициент прямой
ВС. Для этого разрешим уравнение стороны
ВС относительно у:
Следовательно, высота, проведённая из
точки А, имеет угловой коэффициент
Тогда, уравнение высоты, опущенной из
вершины А(-8;3) на сторону ВС:
-
Найдём длину высоты, проведённой из
вершины А. Она равна расстоянию от точки
А(-8;3) до прямой ВС заданной уравнением
.
По формуле
вычисляем расстояние от точки А до
прямой ВС, полагая
-
Найдём угол В. Угол В равен углу между
прямыми ВС и АВ и может быть найден с
помощью формулы
.
Угловой коэффициент прямо ВС известен
и равен
.
Найдём угловой коэффициент прямой АВ
по формуле:
Тогда получаем,
И угол равен
Выполним чертёж. В прямоугольной
декартовой системе координат хОу строим
исходные точки и получаем треугольник
АВС. Затем из вершины А опустим
перпендикуляр на сторону ВС, получим
АК.
18
Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4.
Найти:
-
координаты вектора
и длину ребра
; -
угол между рёбрами
и
; -
площадь грани
; -
объём пирамиды;
-
уравнение плоскости
; -
уравнение прямой
; -
угол между ребром
и гранью
; -
уравнение высоты, опущенной из вершины
на грань
;
Сделать чертёж.
Дано: А1(7;2;2), А2(5;7;7), А3(5;3;1),
А4(2;3;7).
РЕШЕНИЕ
-
Вектор
равен
Длину ребра
можно найти как расстояние между двумя
точками
и
,
оно равно
Получаем
-
Угол между рёбрами
и
найдём как угол между векторами
и
.
Вектор
Таким образом, имеем два вектора
и
,
угол между ними найдём по формуле:
Скалярное произведение двух векторов
в числителе дроби находили как сумму
произведений одноимённых координат
(проекций).
-
Площадь грани
равна половине площади параллелограмма,
построенного на векторах, как на
сторонах. И площадь треугольника
можно вычислить через векторное
произведение
Координаты вектора
или
Векторное произведение вычислим через
определитель 3-го порядка, разложив его
по элементам первой строки:
Модуль векторного произведения
-
Объём треугольной пирамиды А1А2А3А4
можно рассматривать как одну шестую
часть объёма параллелепипеда, построенного
на векторах
,
и
как на рёбрах:
Смешанное произведение трёх векторов
равно
-
Уравнение плоскости
имеет вид
или для нашей задачи
Разложим определитель по элементам
первой строки:
-
Уравнения прямой
найдём в канонической форме, для этого
воспользуемся уравнением прямой,
проходящей через две заданные точки
и
:
,
-
Углом ψ между ребром
и гранью
будет острый угол между прямой
и её проекцией на плоскость
.
Для нахождения угла ψ воспользуемся
формулой
Канонические уравнения прямой
получим как:
Отсюда l=5; m=1;
n=-5, где l,
m, n –
координаты направляющего вектора прямой
:
;
Уравнение плоскости
было получено в пункте 5:
Отсюда А=5; В=7; С=-4, где А, В, С – координаты
нормального вектора плоскости
:
Тогда получаем
-
Уравнения высоты, опущенной из вершины
на грань
.
Канонические уравнения прямой, проходящей
через точку
,
имеют вид
,
где l, m, n
– координаты направляющего вектора
прямой.
Так как высота перпендикулярна плоскости
,
то из условия перпендикулярности прямой
и плоскости
координаты направляющего вектора
прямой, перпендикулярной плоскости
можно заменить координатами нормального
вектора плоскости l=A=5;
m=B=7; n=C=-4.
Окончательно получим
Выполним чертёж пирамиды как пересечения
плоскостей её граней:
Грань А1А2А4:
Грань А1А2А3:
Грань А1А3А4:
Грань А2А3А4:
28
Составить уравнение и построить линию,
каждая точка которой равноотстоит от
оси ординат и от окружности
РЕШЕНИЕ
В системе координат хОу строим ось
ординат х=0 и окружность
Пусть точка М(х; у) – произвольная точка
искомого геометрического места точек.
Опустим перпендикуляры на ось ординат
и на окружность.
Тогда расстояние от произвольной точки
М(х; у) до оси ординат
–
абсцисса точки М(х; у), а расстояние от
точки М(х; у) до окружности
.
Приравнивая эти расстояния и снимая
знак модуля, получаем
Получили уравнение параболы, строим
верхнюю часть окружности и параболы,
так как чертёж симметричный:
Соседние файлы в папке Приборостроителям
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #