Как найти длину замкнутой ломаной линии

Ломаная линия

• Замкнутая и незамкнутая ломаная
• Самопересекающаяся ломаная
• Длина ломаной

Ломаная линия — это геометрическая фигура, состоящая из последовательно соединённых отрезков, в которой конец одного отрезка является началом следующего. При этом соседние (имеющие общую точку) отрезки не должны лежать на одной прямой.

Отрезки, из которых состоит ломаная, называются её звеньями, а концы этих отрезков — вершинами ломаной.

Построим ломаную из четырёх отрезков:

Отрезки  AB,  BC,  CD  и  DE  — это звенья ломаной. Точки  A,  B,  C,  D  и  E  — вершины ломаной. Обозначение ломаной линии составляют из букв, стоящих при её вершинах, называя их по порядку. Например, говорят или пишут: ломаная  ABCDE  или ломаная  EDCBA.

Замкнутая и незамкнутая ломаная

Незамкнутая ломаная — это ломаная линия, концы которой не совпадают друг с другом:

незамкнутая ломаная  ABCD.

Замкнутая ломаная — это ломаная линия, концы которой совпадают друг с другом:

замкнутая ломаная  ABC.

Самопересекающаяся ломаная

Замкнутые и незамкнутые ломаные линии могут быть самопересекающимися. Самопересекающаяся ломаная — это ломаная линия, звенья которой пересекают другу друга в одной или нескольких точках. Например:

точки  F,  T,  K  — точки самопересечения, то есть точки, в которых ломаная пересекает сама себя.

Замкнутая ломаная линия, у которой звенья не пересекаются между собой, называется многоугольником:

многоугольник  ABCDE.

Длина ломаной

Длина ломаной — это сумма длин всех её звеньев. Длина замкнутой ломаной, не имеющий самопересечений, то есть длина многоугольника, называется периметром.

Математика, 2 класс. Урок №13.

Длина ломаной. Закрепление

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

– Как найти длину ломаной?

Глоссарий по теме:

Ломаная – это геометрическая фигура, состоящая из последовательно соединённых отрезков, в которой конец одного отрезка является началом следующего.

Звенья – отрезки, из которых состоит ломаная.

Отрезок — это часть прямой, которая ограничена двумя точками, то есть она имеет и начало и конец, а значит можно измерить её длину.

Длина ломаной – это сумма длин всех её звеньев.

Основная и дополнительная литература по теме урока (точные библиографические данные с указанием страниц):

1. Математика. 2 класс. Учебник для общеобразовательных организаций. В 2 ч. Ч.1/ М. И. Моро, М. А. Бантова, Г. В. Бельтюкова и др. –8-е изд. – М.: Просвещение, 2017. – с.32-35

2. Математика. Проверочные работы. 2 кл.: учебное пособие для общеобразовательных организаций/ Волкова А.Д.-М.: Просвещение, 2017 – с.20, 21

3. Математика. Тесты. 2 кл: учебное пособие для общеобразовательных организаций/ Волкова С.И.-М.: Просвещение, 2017 – с.20, 21, 25

Теоретический материал для самостоятельного изучения

На рисунке мы видим ломаную линию, состоящую из трёх звеньев.

Как найти длину ломаной линии? Это можно сделать двумя способами.

Первый способ. Сначала узнаем длину каждого звена с помощью линейки

Длина первого звена 4 см.

Длина второго звена 6 см.

Длина третьего звена 5 см.

Найдем сумму этих длин.

4+6+5=15 (см)

Найдем длину ломаной вторым способом.

Отложим на прямой один за другим отрезки, равные по длине звеньям ломаной. Это можно сделать с помощью циркуля. Накладываем циркуль на первый отрезок, переносим его на прямую.

Накладываем циркуль на второй отрезок, переносим его на прямую.

Накладываем циркуль на третий отрезок, переносим его на прямую.

Теперь узнаем длину ломаной. Длина ломаной 15 см. В этом случае узнавать длину каждого звена ломаной не надо.

Выводы: длину ломаной можно находить двумя способами.

Первый способ: узнаем длину каждого звена с помощью линейки и найдем сумму этих длин.

Второй способ: с помощью циркуля откладываем на прямой один за другим отрезки, равные по длине звеньям ломаной. Затем измеряем длину всего отрезка. Это и будет длина всей ломаной.

Тренировочные задания.

1. Подчеркните длину ломаной, составленной из трёх звеньев такой длины: 2 см, 3 см и 5 см

Варианты ответов:

10 см 8 см 7 см

Правильный вариант:

10 см 8 см 7 см

2. Расположите ломаные линии по порядку: от самой короткой до самой длинной

Правильный вариант: Найдем длину каждой ломаной

6 + 2 + 2 = 10 см

7 + 5 = 12 см

2 + 1 + 3 +2 = 8 см

3 + 1 + 5 = 9 см

Расставим в порядке возрастания:

2 + 1 + 3 + 2 = 8 см

3 + 1 + 5 = 9 см

6 + 2 + 2 = 10 см

7 + 5 = 12 см

Ломаная линия — определение

Одним из наиболее простых и понятных геометрических терминов считают прямую линию. Есть в математике похожая фигура, но с некоторыми характерными чертами. Давайте попробуем разобраться, что такое ломаная линия и каковы её особенности.

Ломаная линия — математическая фигура, включающая в себя несколько отрезков, которые меняют направление.

Если выражаться более чётко, то это черта, которая не является прямой по всей длине, но может не иметь изгибов на отдельном отрезке.

Таким образом, фигура в обязательном порядке отвечает нескольким признакам:

• состоит из отрезков, которые являются её звеньями;
• конец каждого звена является началом следующего (кроме последнего);
• находящиеся рядом отрезки не могут располагаться на прямой, то есть угол между ними не равен 180 градусам.

Обозначение ломаной линии

Чтобы отметить ломаную линию на чертеже вам необходимо указать наименования точек стыка, в которых она меняет направление, латинскими буквами.

Из чего состоит ломаная линия

Как вы уже успели заметить, на рисунках присутствуют звенья — отрезки, составляющие ломаную линию. А вот начальные и конечные точки этих составных частей — вершины. На картинке вершины ломаной ABCD — позиции A, B, C, D.

Признак замкнутости ломаной линии

Классификация ломаных линий прежде всего осуществляется по свойству замыкания.

Замкнутая ломаная линия — фигура, у которой конечная позиция совпадает с начальной. Иначе говоря, когда она заканчивается в том же месте, где начиналась.

Яркие представители — треугольник и квадрат, а также остальные виды многоугольников:

Незамкнутая ломаная линия — фигура, которая приходит в позицию, отличающуюся от начальной.

Время от времени, у учащихся возникает вопрос: «Как определить, замкнутая фигура или нет?». Ответ будет весьма прост:»Когда число отрезков равно количеству вершин — она замкнутая, а при наблюдающемся неравенстве — незамкнутая».

В качестве дополнительного вида рассматривают понятие самопересекающаяся ломаная линия — та, которая скрещивается на пути своего следования. Для данного термина не имеет значения сколько раз произошло пересечение.

На рисунке отмечены точки пересечения — S, P, а также вершины — A,B,C,D,E,F.

Иногда люди спрашивают — «Могут ли вершины являться точками пересечения?». Чтобы найти ответ, обратите внимание на рисунок с пересекающейся и одновременно замыкающейся — ломаной линией:

Изображение отличается от предыдущего: отрезок EB перемещён, поэтому вершина A приобрела статус точки пересечения.

Как измерить длину ломаной линии

Ломаная линия, имеющая начало и конец, имеет распространённую стандартную характеристику — длину. Имея цель сделать замер её длины, необходимо суммировать длины всех её составных частей — отрезков.

Чем ломаная линия отличается от прямой

При взгляде на рисунок очевидно: уникальный признак ломаной линии — отсутствие углов, равных 180 градусам. В остальном, фигуры одинаковые и обладают схожими свойствами, например, длиной.

Примеры ломаных линий в быту

В целях наилучшего усвоения теории, разумно на практике ознакомиться с примерами ломаных линий из жизни.

Ломаная линия— график фондового рынка. Так как отрезки графика очень маленькие, поэтому может показаться, что это кривая, но при ближайшем рассмотрении оказывается, что это не так.

Фасад дома при переводе на «язык геометрии» выглядит как замкнутая ломаная линия.

Пирамиды древнего Египта обладали формой треугольника — одной из самых популярных ломаных линий.

Урок математики в 3 классе. УМК «Начальная инновационная школа».

Тема урока. «Длина ломаной линии. Замкнутые и незамкнутые ломаные. ( 2-й урок)

Цель:

– познакомить с понятиями ломаной «замкнутой» и «незамкнутой» и её элементами (вершины, звенья);

– научить выполнять построение замкнутой ломаной и незамкнутой ломаной линий и решать задачи на нахождение длины ломаных линий.

Задачи урока:

 – познакомить учащихся с алгоритмом нахождения длины ломаной линии;

 -расширить геометрические представления и знания учащихся о ломаных линиях;

 – развивать логическое мышление, пространственное воображение;

– совершенствовать умение работать в паре (группе).

Ход урока.

1. Организационный момент. 

–    Начинается урок.

   Сядем тихо и молчок!

  Будем дружно мы решать,

  Новые знания добывать!

1. Актуализация знаний.

– Сегодня мы совершим путешествие в страну, где живут геометрические фигуры.

Слайд 2. ( треугольник, квадрат, круг, прямоугольник, четырёхугольник)

1)- Назовите фигуры, изображённые на рисунке.

– Как называется страна, в которой они живут?

Геометрия– наука очень интересная,

Треугольник, круг, квадрат уже известны вам.

Много нового она в себе таит,

Языком углов и линий говорит.

Что нам встретится в пути – вовсе неизвестно,

И поэтому идти очень интересно!

Слайд 3.

2)- Какие фигуры изображены на слайде? В какой стране они живут?

– Как называется 1 фигура? 2? 3? Назовите свойства каждой фигуры.

(Прямая не имеет ни начала, ни конца – она бесконечна, поэтому ее измерить нельзя).

(Отрезок – часть прямой, ограниченный двумя точками. У отрезка есть начало и конец, поэтому его можно измерить с помощью линейки.

(Если отметить точку и из нее провести часть прямой, то получится изображение луча. Точка, из которой проведена часть прямой, называется началом луча. Конца у луча нет, поэтому его измерить нельзя).

1. Перед путешествием внесём в тетради сведения о начале путешествия. Откройте тетради, запишем число. Слайд 4.
   – 12 октября. Классная работа. 
   – Дайте характеристику числу 12.

(Число 12 двузначное, так как для его записи необходимы две цифры;

в нем 1 десяток, 2 единицы;

соседи этого числа: предыдущее 11, последующее 13;

оно чётное, т.е. оно делится на 2). 

– Итак, отправляемся в путешествие. Первая остановка – «Математический диктант». Запишите:

-Чему равно произведение чисел 4 и 3?

-Первый множитель 6, второй 3. Найдите произведение.

-По 6 взять 4 раза

-Найдите частное чисел 25 и 5?.

-Какое число надо умножить на 8, чтобы получить 32?

-Делимое 49, делитель 7. Чему равно частное?

-24 уменьшить в 3 раза.

-7 увеличить в 5 раз?

Слайд 5. Самопроверка.

– Возьмём карандаши и проверим. Если выполнено верно, ставим под числом + , неверно – .

1. Постановка темы и цели урока. 

– Вот мы уже приближаемся к следующей остановке и нам нужно узнать её название. Преобразуйте величины. Если назовете правильный ответ, появится буква.

Слайд 6.

1дм= см Д 5см 8мм= мм Л 
1см= мм Л 7м= см О

1м= дм И 1дм 7см= см М  
3м= дм Н 81см= дм см А 
1м= см А 50дм= м Н  
5см= мм О  
10мм= см Й 

– Вы, наверное, догадались, что у нас открылось название темы урока. Итак, тема нашего урока – «Длина ломаной».

1. Открытие нового.

Слайд 7 (1 таблица)

1)-Что изображено на слайде?

– Из чего состоит ломаная? (Отрезок или звено).

 – Как называются точки, в которых звенья ломаной соединяются? (Вершины)
– Найдите и покажите звенья и вершины 1-й, 2-й,3-й,4-й ломаной. ( У доски показывают на каждой ломаной)
– Вывод: Ломаная состоит из звеньев. Конец одного звена – является началом другого. Место, где соединяются два звена, называется вершиной. 

Физминутка.

2)- Посмотрите, какая геометрическая фигура у меня в руках?

(Учитель показывает проволоку, похожую на ломаную из 3 звеньев). 
– Сколько звеньев у этой ломаной? Сколько вершин? (Дети показывают).

– Как узнать, какой длины я взяла проволоку, чтобы построить эту ломаную?

(Измерить длину каждого звена и вычислить сумму этих длин).

– Итак, длина первого звена – 20 см, второго – 25 см, а третьего – 15 см. Вычислите длину проволоки.

– Как вы узнали длину ломаной?

3)- Поработаем в парах.

Вспомните правила работы в группах – работать дружно, не ссориться, помогать друг другу. Говорить негромко, вежливо.
– Постройте ломаную из 3 звеньев, используя счётные палочки. Найдите длину получившейся ломаной и запишите в тетрадь.

– Как вы нашли длину вашей ломаной?

-Вывод: Значит, чтобы узнать длину ломаной, надо найти сумму длин всех его звеньев.

4) –Посмотрите внимательно: что изменилось? Чем эта ломаная отличается от 1-й ломаной?

(Все звенья соединены между собой – замкнуты)

– Такие ломаные линии называют “замкнутыми”, а на первой таблице – “незамкнутые” ломаные линии. Слайд 8.

Слайд 9 (2 таблица)

-Как мы называем эту замкнутую ломаную? Сколько звеньев, вершин у неё?

(Показываю на другой ломаной – проволоке той же длины)

– Как называем вторую замкнутую ломаную? 3-ю? 4-ю? Сколько звеньев, вершин у каждой ломаной?

-Назовите эти фигуры одним словом.( Многоугольники).

– Вывод: Замкнутые ломаные образуют многоугольники.

5) Поработаем в парах. Постройте из счётных палочек замкнутую ломаную из 5 звеньев. Вычислите длину этой ломаной, если длина каждого звена равна 4 см. Вычисления запишите в своей тетради.

– Мы раньше вычисляли длину замкнутых ломаных? Как мы называли эту длину?

(Периметром)

-Вывод: Замкнутые ломаные образуют многоугольники. Находя длину замкнутой ломаной, мы находим сумму длин всех сторон многоугольника, т.е. его периметр.
– Так что же такое периметр многоугольника?

(Это сумма длин его сторон).

-Значит, чтобы найти длину замкнутой ломаной, надо найти периметр многоугольника.

Слайд 11.

1. Первичное закрепление. 

– Следующая остановка «Закрепление». Закрепим полученные знания.

(№ 2 с. 37. 1 ученик решает у доски, остальные – в тетради).

-Следующая остановка «Смекалка».

–Сколько квадратов видите на рисунке? Слайд 12.

–– Назовите замкнутую ломаную линию, которая имеет меньше всего звеньев.

– Может ли быть замкнутая линия из двух звеньев, подумайте.

(Нет, чтобы “замкнуть” линию, нужно добавить третье звено)

ВЫВОД: Наименьшее количество звеньев у замкнутой ломаной – 3, а у незамкнутой ломаной – 2 звена.

7. Итог урока.

– Что изучали на уроке? (Длину ломаной, периметр). 

– Какие ломаные бывают?( Замкнутые и незамкнутые).
– Как найти длину ломаной? ( Сложить длину всех ее сторон. 
– Что такое периметр? (Сумма длин всех сторон многоугольника). 

– Как вы думаете, зачем мы учимся находить периметр? Где и кому это умение может пригодиться в жизни?

– Надеюсь, что полученные на этом уроке знания вам тоже понадобятся в жизни.

8. Рефлексия. Слайд 13.

-Нарисуйте в тетради незамкнутую ломаную из четырех звеньев и обведите её соответствующим цветом. Если вы…

-хорошо поработали на уроке и вам было всё понятно – красным цветом,

– хорошо работали, но не всё было понятным – синим,

– вам еще необходимо поработать над данной темой – зеленым.

9. Д/з. Стр.37, № 5, 7. Слайд 14.

Дата публикации: 08 апреля 2017.

Что такое ломаная линия или просто ломаная?

Ломаная линия – это геометрическая фигура, которая состоит из нескольких отрезков, последовательно соединенных своими концами.



Для примера, Дейл нарисовал вот такую ломаную.


Концы каждого отрезка обозначаются латинскими буквами.
В нашем примере ломаная линия состоит из пяти звеньев или сторон: AB, BC, CD, DE, EF и обозначается, как ABCDEF.
Ломаная линия может состоять из очень многих звеньев.
Точка, где соединяются два звена, называется вершиной. У нашей ломаной 4 вершины – В, С, D, E и два конца &ndash A и F.
А ещё, ломаные линии бывают замкнутые и не замкнутыми.

Если первая и последняя вершины ломаной совпадают, то такую ломаную линию называют замкнутой.
Ребята, вы конечно уже догадались, что замкнутая ломаная – это многоугольник.

Длина ломаной линии

Как определить длину ломаной линии?

Для этого нужно сложить длину всех звеньев, из которых состоит ломаная. Длина ломаной ABCDEF, которую нарисовал Чип, равна сумме длин пяти сторон: AB + BC + CD + DE + EF.

Практическая работа с ломаной линией

Посмотри внимательно на рисунок и ответь на вопросы Чипа.

1. Ломаная под каким номером состоит из наибольшего числа звеньев?
2. Ломаная под каким номером состоит из наименьшего числа звеньев?
3. Ломаная под каким номером является незамкнутой?
4. Ломаная под каким номером является замкнутой?
5. Какая ломаная имеет три вершины?