Макеты страниц
Под искривленной поверхностью жидкости помимо внутреннего давления создается еще дополнительное давление, обусловленное кривизной поверхности. Представим себе жидкость в трех сосудах, в одном из которых ее поверхность имеет выпуклую форму, в другом — плоскую и в третьем — вогнутую.
Рис. 113
Поскольку поверхностный слой жидкости подобен напряженной пленке, выпуклая поверхность, стремясь сократиться и принять плоскую форму, будет, очевидно, оказывать на жидкость дополнительное давление 
направленное так же, как внутреннее давление 
(рис. 113, а). По той же причине под вогнутой поверхностью возникает дополнительное давление, направленное противоположно внутреннему давлению (рис. 113, в). Под плоской поверхностью дополнительного давления не будет (рис. 113, б)
Естественно предположить, что величина дополнительного давления должна зависеть 
величины силы поверхностного натяжения жидкости и от степени искривленности ее поверхности, иначе говоря, от коэффициента поверхностного натяжения а и радиуса кривизны поверхности 
Характер зависимости тоже очевиден: дополнительное давление должно быть пропорционально коэффициенту
поверхностного натяжения и обратно пропорционально радиусу кривизны поверхности жидкости:
Точное выражение для дополнительного давления под жидкой искривленной поверхностью любой формы теоретически вывел в 1805 г. французский математик и физик Лаплас:
Это выражение называется формулой Лапласа. Знак плюс соответствует выпуклой поверхности, знак минус — вогнутой поверхности; 
радиусы кривизны двух нормальных взаимно перпендикулярных сечений поверхности, изображенных на рис. 114. Если искривленную поверхность пересечь двумя плоскостями 
так, чтобы они были взаимно перпендикулярны и содержали в себе нормаль 
к поверхности в точке 
то на поверхности получатся две дуги 
радиусами 
это и есть радиусы кривизны нормальных взаимно перпендикулярных сечений. Полусумма — 
называется средней кривизной поверхности в точке 
Для всех форм поверхности, которые могут образоваться у жидкости, средняя кривизна остается постоянной для любой пары нормальных взаимно перпендикулярных сечений поверхности в данной точке.
Рис. 114
Рис. 115
В случае сферической поверхности 
поэтому, согласно формуле Лапласа, дополнительное давление будет
В случае цилиндрической поверхности следует взять одно сечение поперек цилиндра, другое — вдоль его образующей. Тогда, очевидно, 
(рис. 115). Поэтому дополнительное давление будет
Наконец, в случае плоской поверхности
При большой кривизне поверхности, которая имеет место, например, у очень маленьких капелек, дополнительное давление может быть довольно значительным. Подсчитаем 
для капельки воды радиусом 
Отметим, что из капелек данного размера образуются туманы и дымки.
Дополнительное давление играет большую роль в так называемых капиллярных явлениях.
Если
поверхность жидкости не плоская, а
искривленная, то она оказывает на
жидкость избыточное
(добавочное) давление. Это
давление, обусловленное силами
поверхностного натяжения, для выпуклой
поверхности положительно, а для вогнутой
поверхности — отрицательно.
Для
расчета избыточного давления предположим,
что свободная поверхность жидкости
имеет форму сферы радиуса R,
от
которой мысленно отсечен шаровой
сегмент, опирающийся на окружность
радиуса r=Rsin
(рис.
100). На каждый бесконечно малый элемент
длины l
этого контура действует сила поверхностного
натяжения F=l,
касательная к поверхности сферы.
Разложив F
на
два компонента (F1
и
F2),
видим, что геометрическая сумма сил
F2
равна нулю, так как эти силы на
противоположных сторонах контура
направлены в обратные стороны и взаимно
уравновешиваются. Поэтому равнодействующая
сил поверхностного натяжения,
действующих на вырезанный сегмент,
направлена перпендикулярно плоскости
сечения внутрь жидко-
115
сти
и равна алгебраической сумме
составляющих F1:
Разделив
эту силу на площадь основания сегмента
r2,
вычислим избыточное (добавочное)
давление на жидкость, создаваемое
силами поверхностного натяжения и
обусловленное кривизной поверхности:
Если поверхность
жидкости вогнутая, то можно доказать,
что результирующая сила поверхностного
натяжения направлена из жидкости и
равна
Следовательно,
давление внутри жидкости под вогнутой
поверхностью меньше, чем в газе, на
величину р.
Формулы
(68.1) и (68.2) являются частным случаем
формулы
Лапласа,
определяющей
избыточное давление для произвольной
поверхности жидкости двоякой кривизны:
где
R1
и
R2
— радиусы кривизны двух любых взаимно
перпендикулярных нормальных сечений
поверхности жидкости в данной точке.
Радиус кривизны положителен, если
центр кривизны соответствующего
сечения находится внутри жидкости, и
отрицателен, если центр кривизны
находится вне жидкости.
Для
сферической искривленной поверхности
(R1=R2=R)
выражение
(68.3) переходит в (68.1), для цилиндрической
(R1=R
и
R2=)
— избыточное давление
р=(1/R+1/)=/R.
Для
плоской поверхности (R1=R2=)
силы
поверхностного натяжения избыточного
давления не создают.
§ 69. Капиллярные явления
Если
поместить узкую трубку (капилляр)
одним
концом в жидкость, налитую в широкий
сосуд, то вследствие смачивания или
несмачивания жидкостью стенок капилляра
кривизна поверхности жидкости в капилляре
становится значительной. Если жидкость
смачивает материал трубки, то внутри
ее поверхность жидкости — мениск—
имеет вогнутую форму, если не смачивает
— выпуклую (рис. 101).
Под
вогнутой поверхностью жидкости появится
отрицательное избыточное давление,
определяемое по формуле (68.2). Наличие
этого давления приводит к тому, что
жидкость в капилляре поднимается, так
как под плоской поверхностью жидкости
в широком сосуде избыточного давления
нет. Если же жидкость не смачивает стенки
капилляра, то положительное избыточное
давление приведет к опусканию жидкости
в капилляре. Явление изменения высоты
уровня жидкости в капиллярах называется
капиллярностью.
Жидкость
в капилляре поднимается или опускается
на такую высоту h,
при
которой давление столба жидкости
(гидростатическое
давление) gh
уравновешивается
избыточным давлением р,
т. е.
2/R=gh,
где
— плотность жидкости, g
—
ускорение свободного падения.
Если
m
— радиус
капилляра,
— краевой угол, то из рис. 101 следует,
что (2cos)/r=gh,
откуда
h=(2cos)/(gr).
(69.1)
В соответствии с
тем, что смачивающая жидкость по
капилляру поднимается, а несмачивающая
— опускается, из фор-
116
мулы
(69.1) при </2
(cos>0)
получим положительные значения Л, а
при 0>/2
(cos<0)
—отрицательные.
Из выражения (69.1) видно также, что высота
поднятия (опускания) жидкости в капилляре
обратно пропорциональна его радиусу.
В тонких капиллярах жидкость поднимается
достаточно высоко. Так, при полном
смачивании (6 = 0) вода (=1000
кг/м3,
=0,073
Н/м) в капилляре диаметром 10 мкм поднимается
на высоту h3
м.
Капиллярные явления
играют большую роль в природе и
технике. Например, влагообмен в почве
и в растениях осуществляется за счет
поднятия воды по тончайшим капиллярам.
На капиллярности основано действие
фитилей, впитывание влаги бетоном и т.
д.
Соседние файлы в папке Трофимова Курс физики
- #
16.03.2016155.65 Кб1131.doc
- #
16.03.2016662.53 Кб20710.doc
- #
16.03.2016592.38 Кб24911.doc
- #
- #
16.03.2016181.76 Кб16613.doc
- #
16.03.2016336.38 Кб13514.doc
- #
16.03.2016206.34 Кб13915.doc
Добавочное давление
Cтраница 1
Добавочное давление, обусловленное искривле – нием поверхности, очевидно, должно быть пропорциональным поверхностному натяжению а и кривизне поверхности. Вычислим добавочное давление для сферической поверхности жидкости.
[2]
Добавочное давление ( по сравнению с давлением чистого растворителя), которое нужно приложить к раствору, чтобы процесс осмоса прекратился, называется осмотическим давлением. Согласно третьему закону Ньютона, осмотическое давление равно также избыточному давлению, которое будет оказывать раствор на полупроницаемую перегородку, по сравнению с давлением чистого растворителя при равновесии.
[3]
Добавочное давление, обусловленное искривле нием поверхности, очевидно, должно быть пропор циональным поверхностному натяжению а и кривизне поверхности. Вычислим добавочное давление для сфе рической поверхности жидкости.
[5]
Добавочное давление, обусловленное искривле нием поверхности, очевидно, должно быть пропорциональным поверхностному натяжению а и кркви-гне поверхности. Вычислим добавочное давление для сфе рической поверхности жидкости.
[7]
Добавочное давление (117.4) обусловливает изменение уровня жидкости в узких трубках ( капиллярах), вследствие чего называется иногда капиллярным давлением.
[9]
Добавочное давление Др в случае сферической поверхности найдем, увеличив ( мысленно) радиус шара на dR и приравняв работу внешних сил над поверхностным слоем к изменению его свободной энергии: ApdV adS Дрй ( – – 7гЯ3) тб.
[10]
Добавочное давление рвя производит на газ слой его молекул, граничащих со стенками.
[11]
Теперь добавочное давление гидравлического удара возникает не скачком, а будет нарастать постепенно.
[13]
Теперь добавочное давление Гидравлического удара возникает не скачком, а будет нарастать постепенно.
[15]
Страницы:
1
2
3
4
5
