Добро́тность — параметр колебательной системы, определяющий ширину резонанса и характеризующий, во сколько раз запасы энергии в системе больше, чем потери энергии за время изменения фазы на 1 радиан. Обозначается символом 
от англ. quality factor.
Добротность обратно пропорциональна скорости затухания собственных колебаний в системе. То есть, чем выше добротность колебательной системы, тем меньше потери энергии за каждый период и тем медленнее затухают колебания.
Теория[править | править код]
Общая формула для добротности любой колебательной системы[1]:
,
где
- — резонансная круговая частота колебаний
- — резонансная частота колебаний
- — энергия, запасённая в колебательной системе
- — рассеиваемая мощность.
Например, в электрической резонансной цепи энергия рассеивается из-за конечного сопротивления цепи, в кварцевом кристалле затухание колебаний обусловлено внутренним трением в кристалле, в объемных электромагнитных резонаторах теряется в стенках резонатора, в его материале и в элементах связи, в оптических резонаторах — на зеркалах.
Для последовательного колебательного контура в RLC-цепях, в котором все три элемента включены последовательно:
где R, L и C — сопротивление, индуктивность и ёмкость резонансной цепи, соответственно, а 
— частота резонанса. Выражение 
часто называют характеристическим или волновым сопротивлением колебательного контура. Таким образом, добротность в колебательном контуре равна отношению волнового сопротивления к активному.
Для параллельного контура, в котором индуктивность, ёмкость и сопротивление включены параллельно:
Формулировка частотного отклика или ширины полосы пропускания колебательной системы
ЛАФЧХ колебательных звеньев с разной добротностью
В данном случае R является входным сопротивлением параллельного контура. Однако практически для электрической цепи гораздо проще измерить ток или напряжение, чем энергию или мощность. Поскольку мощность и энергия пропорциональны квадрату амплитуды колебаний, ширина полосы частот на АЧХ определяется на высоте 
от высоты максимума (примерно −3 дБ). Поэтому чаще используется другое эквивалентное определение добротности, которое связывает ширину амплитудной резонансной кривой 
по уровню с круговой частотой резонанса 
где δ — логарифмический декремент затухания, равный отношению полуширины резонансной кривой к частоте резонанса, 
— число колебаний за время релаксации.
Для электрически малых антенн добротность можно определить соотношением[1]:
- ,
![{displaystyle Q={frac {omega _{0}[W_{e}+W_{m}]}{P}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b57a22e7d8165c77164dbf5363e1b320ab8632d)
где
- — резонансная круговая частота электромагнитных колебаний
- — энергия электрического поля, запасённая в антенне
- — энергия магнитного поля, запасённая в антенне
- — рассеиваемая антенной мощность.
Метрологические аспекты[править | править код]
Для измерения электрической добротности на частотах до десятков и сотен мегагерц применяют измеритель добротности или измеритель иммитанса (косвенным способом), в диапазоне СВЧ применяются специальные методы.
См. также[править | править код]
Измеритель добротности
Примечания[править | править код]
- ↑ 1 2 Слюсар В. И. 60 лет теории электрически малых антенн. Некоторые итоги // Электроника: наука, технология, бизнес. — 2006. — Вып. 7. — С. 10—19.
Литература[править | править код]
- Бидерман В. Л. Теория механических колебаний. — Высшая школа, 1980. — 408 с. — 10 000 экз.
- Горелик Г. С. Колебания и волны. — М.: ГИФМЛ, 1959. — 572 с.
Ссылки[править | править код]
- ГПЭ единицы электрической добротности. ФГУП «СНИИМ». Дата обращения: 12 февраля 2015.
Что такое добротность контура
Электрическая цепь — предназначена не только для передачи тока и напряжения от источника к потребителю. В данной электроцепи возникают определенные физические процессы, которые связаны с влиянием ее элементов на протекание данного тока.
В этой статье будет описано, что такое добротность контура. Кроме того будет приведена формула для расчета этой величины, схемы последовательного и параллельного контуров.
Определение
Физика дает следующее определение добротности. Добротностью называют параметр колебательной системы, который определяет ширину резонанса и характеризует, насколько запасы энергии в системе больше возникающих ее потерь во время изменения фазы на один радиан. Дело в том, что данный показатель определяет разницу вынужденных колебаний при резонансе с определенной амплитудой колебаний на каком-то удалении от места резонанса. При этом амплитуда вынужденных колебаний не имеет никакой зависимости от их частоты. Параметр находит применение не только при расчетах электрических цепей. Его применяют так же в механике, акустике и химии.
Добротность колебательной системы в англоязычных ресурсах называют Quality factor и обозначают буквой «Q». Данная величина является основной характеристикой всех колебательных систем, но сделать измерения данной величины невозможно, ведь ее можно только вычислить, используя различные формулы. Степень идеальности имеет прямое влияние на коэффициент потерь энергии за время одного колебательного периода. Чем меньше величина, тем выше потери самой энергии. Данное значение обратно пропорционально скорости затухания собственных колебаний системы.
Получается, что колебательный контур является разницей между входящим реактивным сопротивлением и выходящим активным. Если в колебательном контуре имеется емкость C, индуктивность L и нагрузка R, то для расчета Q используется формула:
В данной формуле за резонансную частоту электроцепи ω0 отвечает показатель 1/R.
Параметр добротности измеряется при настройке генератора электросигналов на частоту резонансных колебаний. Сама частота резонанса равна максимальному выходному напряжению такой цепи.
Параллельный контур
Добротность любого параллельного колебательного контура предполагает наличие цепи, в которой имеется емкость, нагрузка и индуктивность, соединенные параллельно. Они образуют так называемую RLC-схему.
Определяющая величина для такой схемы — это проводимость конденсатора с катушкой. Именно она суммируется при расчетах и является реактивной проводимостью параллельного колебательного контура. На резонансной частоте проводимость катушки с конденсатором будут равны, а общая разница при этом равняется 0. Для расчета такой цепи используется формула:
При этом стоит учитывать следующее:
- Не принимается во внимание емкостная паразитная характеристика катушки индуктивности, но учитывается добротность индуктивного элемента. Она соответствует выражению:
- Также учитывается добротность конденсатора, использующегося в такой электроцепи. Потери в конденсаторе связаны с наличием диэлектрика в его конструкции. Добротность конденсатора вместе с имеющимися потерями, напрямую связаны с потерями энергии на его диэлектрике tgδ. Данный коэффициент определяем с помощью такого выражения:
- На резонансной частоте к переменному току прилагается бесконечное сопротивление.
- В реальной RLC-цепи отсутствует бесконечное сопротивление, но этот параметр при увеличении сопротивления контура значительно снижается.
В параллельном колебательном контуре резонансная частота является той частотой, при которой реактивное сопротивление равняется 0, а величина входящего сопротивления является активным. Отсюда можно сделать вывод, что отсутствует фазовый сдвиг между током и напряжением.
Последовательный контур
Для последовательного колебательного контура характерно наличие последовательного соединения емкости с индуктивностью. При этом эти два элемента не влияют на потери энергии в цепи и являются идеальными элементами.
Потери в данной схеме вызваны только наличием активной нагрузки. Ниже представлен график амплитудно-частотной характеристики такой схемы.
Для такой цепи сопротивление катушки и конденсатора являются паразитными, приводят к появлению резонанса. Данный резонанс выравнивает или обнуляет сопротивления, оставляя только влияние активной нагрузки R от резистора. При этом добротность такой электроцепи определяется, как разницу напряжений на источнике тока и выходах катушки/конденсатора. В этом случае Q определяют с помощью следующего выражения:
В данной формуле:
- С — емкость конденсатора.
- L — индуктивность катушки.
- R — потери сопротивления.
Для примера попробуем решить следующую задачу. В цепи имеется катушка индуктивности L=100 мГн с сопротивлением R=100 Ом, которая соединена последовательно с конденсатором емкостью C=0.07 мкФ. Найдите резонансную частоту ω0, характеристическое сопротивление и добротность колебательного контура.
Вычисляем резонансную частоту контура:
Определяем характеристическое сопротивление:
Конечный шаг — вычисление добротности контура:
Заключение
В статье было дано краткое описание, что такое добротность контура и чему параметр равен для различных вариантов контура (параллельного, последовательного). Данная характеристика цепи и ее составных элементов играет ключевое значение при определении потерь от включения в нее различных конденсаторов, катушек и активных резисторов. С помощью добротности можно определить разницу между входным и выходным напряжениями электроцепи.
Видео по теме
Что такое добротность колебательного контура?
как измерить добротность в радиолюбительских условиях.
«Добротность обозначается символом Q (от английского quality factor) и является тем параметром колебательной системы,
который определяет ширину резонанса и характеризует, во сколько раз запасы энергии в системе больше, чем потери энергии за
время изменения фазы на 1 радиан.
Добротность обратно пропорциональна скорости затухания собственных колебаний в системе. То есть, чем выше добротность
колебательной системы, тем меньше потери энергии за каждый период и тем медленнее затухают колебания
»
– авторитетно учит нас Википедия.
Да уж. Напустили тумана ироды – без поллитры не разберёшься. А ведь придётся, раз впряглись.
Для начала возьмём ёжика. Хорошее животное! Хотя выдающимся умом не обладает, но думаю, что и оно в курсе, что
“quality factor” – это показатель качества колебательного контура и в первую очередь, конструктивного качества катушки индуктивности.
Теперь возьмём женщину в теле – добротную женщину. Таких женщин рисовали художники 18-го, 19-го веков, а поэты писали: «Её
выпуклости меня восхищают, её впуклости сводят с ума».
Так вот. К чему это я?
А к тому, что для получения в сухом остатке высокодобротного колебательного контура, придётся поискать в загашнике и высококачественный
конденсатор с низким током утечки, и катушку индуктивности – крепкую, добротную и красивую, словно выпавшую из картины
венецианского мастера в Пушкинском музее.
Приведём эквивалентную схему колебательного контура.
Здесь L и C – собственные индуктивность и ёмкость компонентов, входящих в состав колебательного
контура,
rL – сопротивление катушки, эквивалентное потерям электрической энергии в проводе катушки индуктивности,
Rш – сумма сопротивлений, обусловленных потерями в изоляции провода, каркасе, экране, сердечнике катушки индуктивности,
а также потерями, вызванные наличием токов утечки в конденсаторе.
Рис.1
При подключении к контуру внешних цепей, параллельно Rш добавляется дополнительное сопротивление Rн, вносимое этими внешними цепями.
По большому счёту, на Рис.1 не хватает ещё одной ёмкости, равной сумме паразитных ёмкостей катушки индуктивности, внешних цепей и
паразитной ёмкости монтажа. На высоких частотах эти привнесённые ёмкости могут иметь существенные величины, соизмеримые с ёмкостью самого
контурного конденсатора. На добротность эти ёмкости существенного влияния не оказывают, но при расчёте резонансной частоты их необходимо
учитывать и суммировать со значением основной ёмкости С.
Теперь давайте разберёмся, что такое “скорость затухания собственных колебаний в системе” и, каким боком она связана с добротностью.
Для начала мысленно спаяем схему, нарисованную на Рис.1, и замкнём переключатель на батарейку (в левое по схеме положение).
Конденсатор С зарядится до уровня, равного напряжению питания.
Теперь перещёлкнем переключатель в правое по схеме положение.
Благодаря энергии, запасённой в конденсаторе, в образовавшейся LC-цепи возникнут свободные колебания на частоте резонанса
колебательного контура, равной fо= 1/2π√LС.
Поскольку у нас ни с какой стороны не вечный двигатель – свободные колебания затухают, причём скорость затухания зависит от потерь
в конденсаторе и катушке индуктивности: чем они меньше, тем медленнее затухание.
Число колебаний от момента возбуждения свободных колебаний до момента, когда их амплитуда уменьшится в еπ = 23,14 раза,
как раз и будет числено равняться добротности контура Q.
Число периодов свободных колебаний в контуре можно подсчитать счётчиком импульсов и таким образом узнать добротность
колебательного контура, генератор сигналов в этом случае не нужен.
Собственно говоря, на таком принципе и строится большинство промышленных измерителей добротности.
Вспоминаем дальше: «Добротность является тем параметром колебательной системы, который определяет ширину резонанса».
Рисуем резонансную кривую (амплитудно частотную характеристику) колебательного контура.
По частотной характеристике условно определяется полоса пропускания контура Δf.
При этом сделано допущение, что напряжение внутри этой полосы имеет право снижаться до уровня 0,707 от максимального.
Исходя из этого, формула для определения добротности приобретает следующий вид:
Q = f рез/Δf
.
Рис.2
Из формулы естественным образом вытекает, что чем выше добротность – тем уже полоса пропускания резонансного контура,
соответственно, чем ниже – тем шире.
А как измерить добротность контура, не прибегая к изготовлению специальных устройств, в домашней лаборатории?
1. Если речь идёт о низких (звуковых) частотах, то тут всё просто.
В этом случае, Q равна отношению реактивного сопротивления индуктивного или ёмкостного характера (характеристического сопротивления)
к полному последовательному сопротивлению потерь в резонансном контуре. В виду того, что конденсаторы на данных частотах практически не
вносят потерь, то добротность контура равна добротности катушки индуктивности, величина которой напрямую зависит от активного сопротивления
катушки.
А поскольку данное сопротивление можно легко измерить обычным омметром, то имеет полный смысл проделать эту не сильно замысловатую
манипуляцию, после чего перейти на страницу ссылка на страницу и в первой таблице произвести расчёт
добротности. Естественным образом, подразумевается, что катушка намотана на соответствующем для данных частот сердечнике, не вносящих
существенных потерь в работу колебательного контура.
2. На высоких частотах (радиочастотах) значение активного сопротивления катушки может составлять доли ома, к
тому же возможно проявление влияния добротности конденсатора на общую добротность цепи, поэтому такими же примитивными
методами, как в случае НЧ обойтись не удастся.
Рискну сделать осторожное предположение, что в радиолюбительской лаборатории у нас затерялся высокочастотный генератор с 50-омным
выходом и такой же высокочастотный осциллограф, или, на худой конец, измеритель ВЧ напряжений.
В этом случае мы воспользуемся ещё одним определением Q. Добротность резонансного контура равна фактору увеличения напряжения и
может быть выражена отношением напряжения, развиваемого на реактивных элементах к входному напряжению, поданному последовательно с
контуром.
Спаяем пару резисторов.
Добротность измеряется при настройке генератора сигналов на частоту резонанса контура, соответствующую максимальному выходному
напряжению.
Добротность Q рассчитывается как отношение выходного напряжения на резонансном контуре к напряжению, поданному на него.
В нашем случае
Q = 250
x V2/V1 .
Рис.3
Так как в случае высокодобротных элементов, сопротивление контура на резонансной частоте может превышать значение в сотню
килоом, для корректного измерения добротности, входные импедансы измерителя ВЧ напряжений, либо осциллографа должны превышать
это значение как минимум на порядок.
Все наши рассуждения и формулы корректны для ненагруженных параллельных колебательных контуров, то есть для случаев, когда на выходе
отсутствует реальная нагрузка.
В реальной схеме контур связан с источником колебаний и нагрузкой, которые вносят в него дополнительные потери, снижающие добротность.
Эквивалентная добротность Q параллельного колебательного контура с учётом этих потерь вычисляется по следующей формуле:
Q = Q0
x Rш/(Rш+Rо) , где
Q0 – добротность ненагруженного контура,
Rш – шунтирующее сопротивление, равное R(источника) ll R(нагрузки),
Rо – эквивалентное сопротивление ненагруженного контура, равное сопротивлению контура на резонансной частоте,
значение которого можно посчитать на той же странице ссылка на страницу во 2-ой таблице.
А на следующей странице порассуждаем на тему: что надо сделать, чтобы намотать катушку с максимально-возможной добротностью.
С качественной
стороны механическую колебательную
систему можно характеризовать соотношением
между силами упругости и силами вязкого
трения. Первые поддерживают колебания,
вторые – способствуют их затуханию.
Добротностью колебательной системы
называют величину, определяемую
отношением полной механической энергии
системы к потерям энергии за один период,
взятое для любого периода колебаний.
Существуют и другое определение
добротности. Например, добротность
определяют как число радиан, на которое
изменяется фаза колебаний система с
затуханием при уменьшении энергии
системы до значения:
Мы определим
добротность как отношение резонансной
амплитуды к тому смещению тела, которое
произойдёт под действием постоянной
силы, численно равной амплитуде
вынуждающей силы. Если на тело будет
действовать постоянная сила, равная
амплитуде вынуждающей силы, то тело
будет отклоняться от положения равновесия
до тех пор, пока силы упругости не
уравновесят внешнюю силу. Смещение тела
от положения равновесия при этом будет
равно:
При действии же
на тело гармонической внешней силы с
амплитудой F0
и частотой, равной резонансной, амплитуда
колебаний принимает значение:
(331)
Отношение резонансной
амплитуды к смещению тела под действием
постоянной силы F0
равно
принимая во
внимание, что
и
что квадрат частоты собственных колебаний
много больше n2
, можно далее записать, что
(332)
Здесь
– логарифмический декремент затухания.
Величина
– называется добротностью колебательной
системы. Как видно из приведенного
выражения, его можно применять для
оценки качества колебательной системы
независимо от ее природы. Действительно,
логарифмический декремент затухания
является характеристикой колебательной
системы любой природы, описывая с
количественной стороны процесс затухания
колебаний.
Установление
колебаний в системе зависит как от
свойств самой системы, так и от характера
вынуждающей силы. Если к моменту начала
воздействуя внешней силы система
покоилась, то сначала в
системе
возникают колебания, параметры которых
будут изменяться с течением времени.
Это – так называемые неустановившиеся
колебания. Только по истечении достаточно
большого промежутка времени в системе
установятся периодические колебания
с периодом, равным периоду вынуждающей
силы. До этого же колебания могут быть
не периодическими. Установление колебаний
в системе происходит тем быстрее, чем
больше затухание в системе. Таким
образом, в колебательных системах с
высокой добротностью установившиеся
колебания возникают не сразу после
начала действии периодической вынуждающей
силы, а через достаточно большой
промежуток времени. В течение этого
времени (особенно при частотах, близких
к резонансной) амплитуда колебаний
будет периодически изменяться, причём
эти изменения амплитуды постепенно
уменьшаются. При достаточно же большом
затухании практически сразу возникают
периодические колебания с постоянно
увеличивающейся амплитудой, приближающейся
по значению к амплитуде установившихся
колебаний. Поэтому колебательные системы
с высокой добротностью не всегда являются
оптимальными в тех устройствах, в которых
необходимо быстро возбудить колебания
при воздействии внешних периодических
сил.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Ударный спектр и добротность колебательной системы
Ударный спектр — это график значений максимального отклика на внешнее воздействие системы резонаторов с одной степенью свободы, упорядоченный по собственным частотам резонаторов.
Определение краткое и достаточно точное, но почему-то у людей возникают дополнительные вопросы. Дополнительные вопросы возникают оттого, что людям трудно представить себе образ даже одного резонатора с одной степенью свободы, то что говорить о целой системе.
Если объяснять этот термин на пальцах, то надо подходить к этому вопросу аккуратно и последовательно, чтобы постепенно сложить в голове человека образ описываемого явления. С материальными объектами проще — их достаточно показать, чтобы человеку всё стало ясно. С информационными явлениями гораздо сложнее, но мы эту проблему решим.
Резонатор с одной степень свободы
Представим себе объект, который может совершать колебания в пространстве только в направлении одной оси. Это и будет резонатор с одной степенью свободы. Пружины и маятники — это всё примеры резонаторов с одной степенью свободы. Хотя природа их колебаний различна в теории они описываются аналогичными уравнениями. У них есть одна собственная частота и одна резонансная частота. Для удобства практического использования эти частоты объединяют в одну, но это две разные частоты. Резонансная частота — это частота действия внешней силы, на которой достигается максимальная амплитуда колебаний. Собственная частота — это частота затухающих колебаний, когда внешняя сила исчезла и система теряет энергию, возвращаясь в положение равновесия (останавливается).
Представим себе знакомый нам всем с детства маятник — качели.
Резонансная частота маятника не зависит от массы груза (то есть не разницы кто сидит на качелях хрупкая маленькая девочка или её большой тяжёлый папа), а зависит только от длины подвеса. Чем длиннее этот подвес, тем меньше резонансная частота. Чем выше качели, тем дольше период одного качания.
Ребёнок, впервые попавший на качели, поначалу прилагает много самых разных усилий с произвольной частотой, но качели почти не двигаются. Достаточно быстро он понимает темп, в котором надо делать усилия, чтобы раскачивать качели и понимает, что делать их надо в момент, когда качели замирают на одном из пиков.
Говоря сухим научным языком, когда частота действия внешней силы совпадает с частотой резонанса система начинает в этот самый резонанс входить, увеличивая амплитуду колебаний.
Сил у ребёнка немного и раскачать качели он сильно не может. В определённый момент все силы его начинают уходит не на увеличение амплитуды колебаний, а на поддержание колебаний на том же уровне. В этот момент вся энергия, которую прикладывает ребёнок, будет тратиться за один период колебаний на преодоление трения подвеса и сопротивление воздуха. Если предположить, что в каждый период колебаний качелей ребёнок прикладывает одинаковое усилие совершая работу A, то достигнув максимальных колебаний за n раз, он затратит количество энергии:
W=n×A,
которая перейдёт в энергию качания качелей (часть этой энергии будет рассеяна, но пока это не существенно).
После этого вся его энергия будет полностью рассеиваться за один такт качения:
A=E×d
После понимания этого момента можно переходит к понятию добротности.
Добротность
Добротность — параметр колебательной системы, определяющий ширину резонанса и характеризующий, во сколько раз запасы энергии в системе больше, чем потери энергии за один период колебаний. В общем виде для любой колебательной системы добротность вычисляется по следующей формуле:
f0 — резонансная частота;
W — запасённая энергия системы;
Pd — рассеиваемая мощность;
Ed — рассеиваемая энергия за один период колебаний;
A — работа, совершаемая внешней силой за один период колебаний;
n — количество колебаний, которое сделал система, прежде чем достигла максимальной амплитуды колебаний.
Из этой формулы можно сделать один очень важный вывод, который нам пригодится:
Чем выше добротность колебательной системы, тем больше колебаний сделает система под действием внешний силы, прежде чем достигнет максимальной амплитуды.
То есть, чем выше качели (чем длиннее маятник — тем выше его добротность) тем больше нужно сделать колебаний, чтобы их раскачать. От величины внешней силы зависит только амплитуда колебаний, которые может совершать система. Если ребёнок не сам качается на качелях, а его качает папа (а у папы силы больше и энергии он даёт больше), качели будут подниматься гораздо выше, но максимальной амплитуды качели достигнут примерно за то же число колебаний, если папа будет качать с одинаковым усилием. В качании на качелях самое главное не переусердствовать иначе ребёнка может укачать или качели сломаются.
Собственная частота
Когда дети становятся старше, им надоедает просто качаться на качелях и они раскачавшись прыгают с них, стараясь подлететь повыше и подальше приземлиться (хорошо что детские площадки посыпают песком). После такого прыжка на качелях не остаётся источника внешней толкающей силы, да и отцу становится «не очень интересно » толкать пустые качели. Постепенно амплитуда качения уменьшается и качели останавливаются. Интервал времени между двумя ближайшими моментами отклонения качелей (маятника, резонатора, сигнала и т.д.) называется периодом собственных колебаний, а обратная ему величина — частотой собственных колебаний.
Одни колебательные системы останавливаются быстро, всего за пару тройку колебаний (большинство качелей во дворе останавливаются не более чем за 7 колебаний), а колебания других могут затухать очень долго (колокола — это тоже колебательные системы). Скорость, с которой колебания затухают, очень важный параметр. Он называется декремент затухания.
Декремент затухания
Декремент затухания или логарифмический декремент колебаний — это безразмерная физическая величина, описывающая уменьшение амплитуды колебательного процесса и равная натуральному логарифму отношения двух последовательных (или через некоторое целое количество периодов) амплитуд колеблющейся величины в одну и ту же сторону:
Декремент затухания равен показателю экспоненты в законе затухающих колебаний:
Из декремента затухания можно рассчитать другую величину — коэффициент демпфирования по следующей формуле:
Коэффициент демпфирования (затухания)
Декремент затухания величина расчётная и рассчитывается по графику затухающих колебаний. Для колебательных систем с вязким трением (сила сопротивления пропорциональная скорости движения) физической величиной определяющей характер колебаний является коэффициент демпфирования.
, где
c — коэффициент силы сопротивления движению;
k — коэффициент упругости;
m — масса подвижного груза.
При коэффициенте демпфирования меньшем единицы колебательная система будет плавно затухать. Чем меньше будет коэффициент, тем дольше будут длиться колебания. При коэффициенте равном единице или большем никаких колебаний система испытывать не будет, а просто плавно будет стремиться к нулевому положению. Так, например, дверные доводчики настраивают на коэффициент демпфирования 1 и более, чтобы дверь автоматически закрылась через некоторое время без удара о створку. Демпферы для входных дверей в метро наоборот настроены на коэффициент демпфирования меньше 1. После того как человек толкнёт такую дверь она сделает два три колебания и остановится.
Коэффициент демпфирования связан с добротностью следующей формулой:
Из формулы следует, что чем больше добротность колебательной системы, тем меньше декремент затухания. Чем меньше декремент затухания, тем меньше теряется энергии с каждым колебанием и тем больше колебаний совершит система перед остановкой. Этот простой вывод нам пригодится для дальнейшей работы.
Если рассматривать качели, маятники и прочие системы с низкой собственной частотой (и большим периодом колебаний соответственно), то считать количество колебаний достаточно легко. Но когда мы рассматриваем колокола, балки и прочие системы с высокой собственной частотой, то «на глаз» подсчитать количество колебаний при затухании становится невозможно.
Система резонаторов
Если собрать несколько резонаторов с разными собственными частотами, но одинаковыми значениями декремента затухания, то получится та самая система резонаторов, о которой шла речь в самом начале статьи. Представьте себе площадку в парке отдыха, на которой установлены качели разных размеров, но похожие по конструкции. От размеров качелей будет зависеть собственная частота, а от конструкции и материалов декремент затухания. Таким образом, у них будут разные собственные частоты и одинаковый декремент затухания.
Если представить себе, что все качели одновременно испытывают воздействие внешней возбуждающей силы, от которой они начинают раскачиваться, то максимальная амплитуда колебаний, которую в какой-то момент достигнут качели, будет тем самым максимальным откликом. Подобным внешним воздействием может быть землетрясение. Если упорядочить значения максимальных ответов по возрастанию собственных частот соответствующих резонаторов, то полученный график называется ударным спектром. Если мы имеем дело с землетрясением, то в этом случае ударный спектр называют спектром ответа.
Как мы уже выяснили выше, максимальный отклик некоторых резонаторов может быть достигнут не тогда, когда мгновенное значение силы максимально, а в какой-нибудь другой момент. Этот момент зависит от гармоник, которые присутствуют в сигнале, и от их длительности. Даже если на систему действует гармонический сигнал с одной частотой, то раскачиваться под его воздействием будут все резонаторы. Максимального по амплитуде колебаний отклика достигнет резонатор с собственной частотой наиболее близкой к частоте колебаний, остальные будут колебаться меньше. Наглядно это демонстрирует график резонанса.
Если мы имеем дело, не с установившимися колебаниями, а с коротким воздействием, то картина будет иной. Будем на систему резонаторов действовать импульсом, состоящем из нескольких периодов синусоидального сигнала с частотой 1000 Гц от полу-периода до 10 периодов. Скажем заранее, что коэффициент демпфирования всех резонаторов равен 0,05, а добротность соответственно равна 10.
Как мы видим на графиках ударного спектра с ростом длительности воздействия увеличивается максимальный отклик системы резонаторов, причём частота, соответствующая максимальному отклику приближается к частоте сигнала генератора. На этом месте возникает уместный вопрос: «Почему от импульсов с малым числом периодов сильнее откликаются (то есть имеют большее значение) резонаторы с частотами большими частоты действующего импульса?». Для ответа на этот вопрос нужно внимательно рассмотреть график резонанса, приведённый выше.
На графике резонанса изображена зависимость ответной реакции резонатора на входное воздействие постоянной амплитуды при изменяющейся частоте входного сигнала. На графике хорошо видно, что у резонаторов с низкой добротностью резонанс наступает на частоте заметно меньшей чем собственная частота резонатора. По мере роста добротности резонатора пик резонанса становится острее и выше, а частота приближается к собственной частоте резонатора.
В ударном спектре всё наоборот. Частота входного сигнала остаётся неизменной, а варьируются собственные частоты резонаторов. Добротность каждого резонатора ограничена сверху, но длительность входного воздействия позволяет раскачать все резонаторы. Поэтому добротность каждого резонатора будет определяться количеством периодов в сигнале (но не более 10).
Если частота резонатора выше частоты входного сигнала, то соотношение wa/w0 < 1 и отклик не опускается ниже амплитуды входного сигнала. То есть маятники с коротким подвесом от низкочастотного воздействия не раскачиваются, а просто ходят за ним. Соответственно, небольшие строения (телефонные будки, ларьки и прочие) при землетрясении не испытывают внутренних напряжений и не ломаются, а двигаются все целиком за волной.
Если частота резонатора ниже, то соотношение wa/w0 > 1 и амплитуда отклика быстро падает с уменьшением частоты резонатора. То есть маятники с длинным подвесом от высокочастотных воздействия даже не трогаются с места. Соответственно, большие строения (точнее сказать, строения из крупных блоков) никак не реагируют на работу отбойного молотка на улице, будь их там даже тысячи работающих одновременно.
Если взять график резонанса соответствующий δ=0.5w0, то он будет примерно соответствовать спектру ударного отклика на полу-период синуса с той лишь разницей, что он будет отражён в другую сторону. Сигналам с большим числом периодов соответствуют графики с большей добротностью. Если совместить несколько графиков ударных спектров в одних осях, то мы увидим график напоминающий график резонанса, приведённый выше, но развёрнутый в обратном направлении.
Вывод
Подводя итог статьи необходимо сделать вывод, что ударный спектр это прекрасный показатель внутреннего состояния объекта. Так для небольших объектов при построение ударного спектра по выходному сигналу можно выяснить состояние «внутренней системы резонаторов». Усталость материи, внутренние трещины и прочие неприятности вносят изменения в эту «внутреннюю систему резонаторов». Обычно это выражается в том, что происходит изменение собственных и резонансных частот, реже происходит падение добротности колебательных контуров.
Так, например, церковные колокола со временем «понижают» свои голоса, то есть у них происходит уменьшение собственной частоты (унтертона) и высота их звука падает. Таким образом проявляется эффект «старения» бронзы [1]. Если же колокол треснет (например, в сильный мороз), то он резко потеряет чистоту звука, то есть упадёт его добротность.
Можно представить себе испытуемый объект как систему резонаторов в виде набора струн (можно представить себе рояль), определить и запомнить какие «струны» в нём звучат и как сильно. А после эксплуатации по изменению этого набора откликов можно судить об внутренних изменениях. Так, например, ГОСТы на механические испытания рекомендую измерять и сравнивать АЧХ до и после испытаний. Ещё пример, при изменении основного тона собственных колебаний здания более чем в два раза в меньшую либо в большую сторону (одна из методик контроля), МЧС делает заключение, что здание находится в аварийном состоянии.
При землетрясениях наоборот измеряют ударный спектр самого землетрясения. Таким образом учёные оценивают степень разрушения зданий и сооружений [2]. Для каждого типа сооружений вычисляется диапазон наиболее разрушительных частот. Чем выше рассчитанный спектр в определённой полосе, тем больше повреждений получит здание.
При проектировании зданий в сейсмоопасных районах в конструкцию здания закладывают системы демпфирования колебаний. Системы демпфирования рассчитывают на гашение наиболее опасных частот. Такие частоты определяются исходя из анализа сейсмограмм в данной области за всё время наблюдений. И в конце проектных работы модель здания подвергают испытаниям на модельные землетрясения [3].
Ссылки
- https://www.muszone.ru/articles/23.html
- https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D1%8C_%D1%81%D0%B5%D0%B9%D1%81%D0%BC%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%B2%D0%BE%D0%B7%D0%B4%D0%B5%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B8%D1%8F_%C2%AB%D0%A1%D0%90-482%C2%BB
- https://ru.wikipedia.org/wiki/Сейсмостойкое_строительство
- https://www.iris.edu/hq/inclass/video/building_resonance__boss_model_construction__use
P.S.
В конце можно позволить отступить от области механики и сейсмики в область социальную. В обществе имеют место аналогичные явления, называемые «общественным резонансом». Если какое-то событие овладевает умами многих людей (говорят «нашло отклик в сердцах людей»), и о нём долго вспоминают и обсуждают (говорят «событие долго будоражит умы»), то налицо общественный резонанс. Такие события могут побудить людей к действиям, например, написать письмо на телевидение, в редакцию газеты или в руководящие органы. Руководство телеканала или администрация отсортируют письма, получат весь спектр ответов, проанализируют ситуацию и примут какие-то действия.
Подобная аналогия из жизни общества может быть не абсолютно точно повторяет свойства резонанса и ударного спектра в механике, но позволяет приблизить к пониманию механического резонанса большое число людей, не имеющих технического образования.
