Как найти дополнительные точки для графика функции

Как найти дополнительные точки для графика функции

Как найти дополнительные точки при построении графика?

Nitta



Знаток

(379),
на голосовании



12 лет назад

Голосование за лучший ответ

Сергей Кетков

Мастер

(1780)


12 лет назад

Подставить хорошие числа.

NittaЗнаток (379)

12 лет назад

В функции y=x2+4-2 какие это числа?

Сергей КетковМастер (1780)

12 лет назад

Если там 4x, я так думаю, то нужно искать вершину параболы: x0=-4/2=-2.
y0=-6. Строишь параболу обычную. Можешь выделить полный квадрат и определить сдвиг по осям.

turtujhg

Профи

(689)


12 лет назад

взять любое значение х и подставить его в изначальную функцию и посмотреть чему будет равен у, (х: у) и будет дополнительной точкой

Карина Ткач

Ученик

(116)


2 года назад

Нужно взять любое значение x и поставить в начальное квадратичное уравнение

Похожие вопросы

Источник

Как найти дополнительные точки при построении графика

  1. Просто подставь не 2 точки х, а например 4 точки для более подробного графика

    например

    у=2 х+0

    х=1, у=2

    х = – 1, у = – 2

    х=2, у=4

    х=3, у=6

    • Комментировать
    • Жалоба
    • Ссылка

Найди верный ответ на вопрос ✅ «Как найти дополнительные точки при построении графика …» по предмету 📙 Алгебра, а если ответа нет или никто не дал верного ответа, то воспользуйся поиском и попробуй найти ответ среди похожих вопросов.

Искать другие ответы

Главная » Алгебра » Как найти дополнительные точки при построении графика

Источник

Home » 8 класс » Как построить параболу? Что такое парабола? Как решаются квадратные уравнения?

Урок: как построить параболу или квадратичную функцию?

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Парабола — это график функции описанный формулой ax2+bx+c=0.
Чтобы построить параболу нужно следовать простому алгоритму действий:

1 ) Формула параболы y=ax2+bx+c,
если а>0 то ветви параболы направленны вверх,
а<0 то ветви параболы направлены вниз.
Свободный член c эта точке пересекается параболы с осью OY;

парабола

парабола

2 ) Вершина параболы, ее находят по формуле x=(-b)/2a, найденный x подставляем в уравнение параболы и находим y;

Вершина параболы

3) Нули функции или по другому точки пересечения параболы с осью OX они еще называются корнями уравнения. Чтобы найти корни мы уравнение приравниваем к 0 ax2+bx+c=0;

   Виды уравнений:

a) Полное квадратное уравнение имеет вид ax2+bx+c=0 и решается по дискриминанту;
b) Неполное квадратное уравнение вида ax2+bx=0. Чтобы его решить нужно вынести х за скобки, потом каждый множитель приравнять к 0:
ax2+bx=0,
х(ax+b)=0,
х=0 и ax+b=0;
c)Неполное квадратное уравнение вида ax2+c=0. Чтобы его решить нужно неизвестные перенести в одну сторону, а известные в другую. x =±√(c/a);

Как решать квадратные уравнения посмотреть тут.

4) Найти несколько дополнительных точек для построения функции.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

И так теперь на примере разберем все по действиям:
Пример №1:
y=x2+4x+3
c=3 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=3. Ветви параболы смотрят вверх так как а=1 1>0.
a=1 b=4 c=3 x=(-b)/2a=(-4)/(2*1)=-2 y= (-2)2+4*(-2)+3=4-8+3=-1 вершина находится в точке (-2;-1)
Найдем корни уравнения x2+4x+3=0
По дискриминанту находим корни
a=1 b=4 c=3
D=b2-4ac=16-12=4
x=(-b±√(D))/2a
x1=(-4+2)/2=-1
x2=(-4-2)/2=-3
y=x^2+4x+3 парабола
Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=-2

х -4 -3 -1 0
у 3 0 0 3

Подставляем вместо х в уравнение y=x2+4x+3 значения
y=(-4)2+4*(-4)+3=16-16+3=3
y=(-3)2+4*(-3)+3=9-12+3=0
y=(-1)2+4*(-1)+3=1-4+3=0
y=(0)2+4*(0)+3=0-0+3=3
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=-2

Пример №2:
y=-x2+4x
c=0 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=0. Ветви параболы смотрят вниз так как а=-1 -1<0.
a=-1 b=4 c=0 x=(-b)/2a=(-4)/(2*(-1))=2 y=-(2)2+4*2=-4+8=4 вершина находится в точке (2;4)
Найдем корни уравнения -x2+4x=0
Неполное квадратное уравнение вида ax2+bx=0. Чтобы его решить нужно вынести х за скобки, потом каждый множитель приравнять к 0.
х(-x+4)=0, х=0 и x=4.
y=-x^2+4x
Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=2
х 0 1 3 4
у 0 3 3 0
Подставляем вместо х в уравнение y=-x2+4x значения
y=02+4*0=0
y=-(1)2+4*1=-1+4=3
y=-(3)2+4*3=-9+13=3
y=-(4)2+4*4=-16+16=0
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=2

Пример №3
y=x2-4
c=4 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=4. Ветви параболы смотрят вверх так как а=1 1>0.
a=1 b=0 c=-4 x=(-b)/2a=0/(2*(1))=0 y=(0)2-4=-4 вершина находится в точке (0;-4)
Найдем корни уравнения x2-4=0
Неполное квадратное уравнение вида ax2 +c=0. Чтобы его решить нужно неизвестные перенести в одну сторону, а известные в другую. x =±√(c/a)
x2=4
x1=2
x2=-2

Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=0
х -2 -1 1 2
у 0 -3 -3 0
Подставляем вместо х в уравнение y= x2-4 значения
y=(-2)2-4=4-4=0
y=(-1)2-4=1-4=-3
y=12-4=1-4=-3
y=22-4=4-4=0
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=0

Подписывайтесь на канал на YOUTUBE, чтобы быть в курсе всех новинок и готовится с нами к экзаменам.

Источник

Как найти дополнительную точку на графике?

Есть вот решение задания. Подскажите пожалуйста, откуда взялась еще одна точка на пересечении оси X? Как ее вычислить?

5bffe36046649166640185.jpeg5bffe364cd302157349484.jpeg


  • Вопрос задан

    более трёх лет назад

  • 298 просмотров

Пригласить эксперта

Точки пересечения с осями. Это же из школы еще: если игрек равен нулю, то икс равен какомуто уравнению, которое надо решить. Если функция известна то в нее и подставляем вместо игрек ноль.


  • Показать ещё
    Загружается…

23 мая 2023, в 12:54

3500 руб./за проект

23 мая 2023, в 12:34

10000 руб./за проект

23 мая 2023, в 12:16

3000 руб./за проект

Минуточку внимания

Источник

Прежде чем перейти к разбору квадратичной функции рекомендуем вспомнить, что называют
функцией в математике.

Если вы прочно закрепите общие знания о функции (способы задания, понятие графика)
дальнейшее изучение других
видов функций будет даваться значительно легче.

Что называют квадратичной функцией

Запомните!
!

Квадратичная функция — это функция вида

y = ax2 + bx + c,

где a,
b и с — заданные числа.

Другими словами можно сказать, что если в функции старшая (то есть самая большая) степень,
в которой стоит «x» — это «2»,
то перед нами квадратичная функция.

Рассмотрим примеры квадратичных функций и определим, чему в них равны коэффициенты «a»,
«b» и «с».

Квадратичная функция Коэффициенты
y = 2x2 − 7x + 9
  • a = 2
  • b = −7
  • с = 9
y = 3x2 − 1
  • a = 3
  • b = 0
  • с = −1
y = −3x2 + 2x
  • a = −3
  • b = 2
  • с = 0

Как построить график квадратичной функции

Запомните!
!

График квадратичной функции называют параболой.

Парабола выглядит следующим образом.

парабола - график квадратичной функции

Также парабола может быть перевернутой.

перевернутая парабола

Существует четкий алгоритм действий при построении графика квадратичной функции.
Рекомендуем при построении параболы всегда следовать этому порядку действий, тогда вы сможете избежать ошибок при построении.

Чтобы было проще понять этот алгоритм, сразу разберем его на примере.

Построим график квадратичной функции «y = x2 −7x + 10».

  1. Направление ветвей параболы

    Запомните!
    !

    Если «a > 0», то ветви направлены вверх.
    парабола маленькая

    Если «a < 0», то ветви направлены вниз.
    перевернутая парабола маленькая

    В нашей функции «a = 1», это означает, что ветви параболы направлены вверх.
    перевернутая парабола мальнькая

  2. Координаты вершины параболы

    Запомните!
    !

    Чтобы найти «x0»
    (координата вершины по оси «Ox»)
    нужно использовать формулу:

    Найдем «x0» для нашей функции «y = x2 −7x + 10».

    Теперь нам нужно найти «y0»
    (координату вершины по оси «Oy»).
    Для этого нужно подставить найденное значение «x0» в исходную функцию.
    Вспомнить, как найти значение функции можно в уроке
    «Как решать задачи на функцию» в подразделе
    «Как получить значение функции».

    y0(3,5) =
    (3,5)2 − 7 ·3,5 + 10 = 12,25 − 24,5 + 10 =

    −12,25 + 10 = −2,25

    Выпишем полученные координаты вершины параболы.

    (·) A (3,5; −2,25) — вершина параболы.

    Отметим вершину параболы на системе координат.
    Проведем через отмеченную точку ось симметрии, так как парабола — это симметричный график
    относительно оси «Oy».

    вершина параболы

  3. Нули функции

    Для начала давайте разберемся, что называют нулями функции.

    Запомните!
    !

    Нули функции — это точки пересечения графика функции с осью «Ox»
    (осью абсцисс).

    Наглядно нули функции на графике выглядят так:

    нули функции

    Свое название нули функции получили из-за того, что у этих точек координата
    по оси «Oy» равна нулю.

    Теперь давайте разберемся, как до построения графика функции рассчитать координаты точек нулей функции.

    Запомните!
    !

    Чтобы найти координаты точек нулей функции, нужно в исходную функцию подставить вместо
    «y = 0».

    Подставим в заданную функцию «y = x2 −7x + 10»
    вместо «y = 0» и решим полученное
    квадратное уравнение
    относительно
    «x» .

    0 = x2 −7x + 10
    x2 −7x + 10 = 0

    x1;2 =

    7 ±
    √49 − 4 · 1 · 10
    2 · 1

    x1;2 =

    x1;2 =

    x1 =

    x2 =

    x1 =

    x2 =

    x1 = 5

    x2 = 2

    Мы получили два корня в уравнении, значит, у нас две точки пересечения
    с осью «Ox».
    Назовем эти точки и выпишем их координаты.

    • (·) B (5; 0)
    • (·) C (2; 0)

    Отметим полученные точки («нули функции») на системе координат.

    отмечаем нули функции на системе координат

  4. Дополнительные точки для построения графика

    Возьмем четыре произвольные числовые значения для «x».
    Целесообразно брать целые числовые значения на оси «Ox»,
    которые наиболее близки к оси
    симметрии. Числа запишем в таблицу в порядке возрастания.

    x 1 3 4 6
    y

    Для каждого выбранного значения «x»
    рассчитаем «y».

    • y(1) = 12 − 7 · 1 + 10 = 1 − 7 + 10 =
      4
    • y(3) = 32 − 7 · 3 + 10 = 9 − 21 + 10 =
      −2

    • y(4) = 42 − 7 · 4 + 10 = 16 − 28 + 10 =
      −2
    • y(6) = 62 − 7 · 6 + 10 = 36 − 42 + 10 =
      4

    Запишем полученные результаты в таблицу.

    x 1 3 4 6
    y 4 −2 −2 4

    Отметим полученные точки графика на системе координат (зеленые точки).

    дополнительные точки для построения

    Теперь мы готовы построить график.
    На забудьте после построения подписать график функции.

    график параболы

Краткий пример построения параболы

Рассмотрим другой пример построения графика квадратичной функции.
Только теперь запишем алгоритм построения коротко без подробностей.

Пусть требуется построить график функции
«y = −3x2 − 6x − 4».

  1. Направление ветвей параболы

    2. «a = −3» — ветви параболы направлены вниз.
    перевернутая парабола маленькая

  2. Координаты вершины параболы

    x0 =
    x0 = =

    = −1

    y0(−1) = (−3) · (−1)2 − 6 · (−1) − 4 =
    −3 · 1 + 6 − 4 = −1

    (·) A (−1; −1)

    — вершина параболы.

    вершина параболы -3x^2 - 6x - 4

  3. Нули функции

    Точки пересечения с осью «Ox» (y = 0).

    0 = −3x2 − 6x − 4

    −3x2 − 6x − 4 = 0 |·(−1)

    3x2 + 6x + 4 = 0

    x1;2 =

    −6 ±
    √62 − 4 · 3 · 4
    2 · 1

    x1;2 =

    x1;2 =


    Ответ: нет действительных корней.

    Так как корней нет, значит, график функции не пересекает ось
    «Ox».

  4. Вспомогательные точки для: «x = −3»;
    «x = −2»;
    «x = 0»;
    «x = 1». Подставим в исходную функцию
    «y = −3x2 − 6x − 4».

    • y(−3) = −3 · (−3)2 − 6 · (−3) − 4
      = −3 · 9 + 18 − 4 = −27 + 14 = −13

    • y(−2) = −3 · (−2)2 − 6 · (−2) − 4
      = −3 · 4 + 12 − 4 = −12 + 12 − 4 = −4

    • y(0) = −3 · 02 − 6 · 0 − 4
      = −4

    • y(1) = −3 · 12 − 6 · 1 − 4
      = −3 −6 − 4 = −13
    x −3 −2 0 1
    y −13 −4 −4 −13

Отметим вспомогательные точки. Отмечаем на системе координат только те точки, которые
не выходят за масштаб нашей системы координат, то есть точки
«(−2; −4)» и «(0; −4)».
Построим и подпишем график функции.

график функции -3x^2 - 6x - 4

Ваши комментарии

Важно!
Галка

Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи

«ВКонтакте».

Пришелец пожимает плечами

Оставить комментарий:

Источник

Добавить комментарий