Как найти дробную часть от смешанного числа

Правильная и неправильная дробь

Дробь, в которой числитель меньше знаменателя, называется правильной, а дробь, где числитель больше или равен знаменателю, — неправильной.

Число, состоящее из целой и дробной частей, можно обратить в неправильную дробь. Для этого нужно умножить целую часть на знаменатель и к произведению прибавить числитель данной дроби. Полученная сумма будет числителем дроби, а знаменателем остается знаменатель дробной части.

Из любой неправильной дроби можно выделить целую часть. Для этого нужно разделить с остатком числитель на знаменатель. Частное от деления — это целая часть, остаток — это числитель, делитель — это знаменатель.

Дроби

Дроби вида $frac{n}{m}$  называют «обыкновенные дроби». В дроби $frac{n}{m}$ число над чертой называют числителем дроби, а число под чертой – знаменателем дроби.

Знаменатель показывает, на сколько долей делят, а числитель — сколько таких долей взято.

Таким образом, если нам нужно обозначить не один «кусочек» числа, а больше, мы просто пишем в верхней части дроби не единицу, а другое число, например, так:

Дроби нужно уметь читать правильно: числитель читается как количественное числительное женского рода (одна, две и т.д.), а знаменатель как порядковое числительное (вторая, пятая) и согласуется с первым числительным.Например: $frac{1}{2}$  — одна вторая, $frac{2}{5}$ — две пятых,  $frac{6}{11}$  — шесть одиннадцатых.

На рисунке 6 изображён отрезок АВ, его длина 10 см, то есть 1 дм. Длина отрезка АС будет 1 см.

А какую долю составит сантиметр от метра?

Показать ответ

Скрыть

$frac{1}{100}$ 

А грамм от килограмма?

Показать ответ

Скрыть

$frac{1}{1000}$ 

Видео

Нахождение части от целого (дроби от числа)

Чтобы найти часть от целого, нужно число, соответствующее целому, разделить на знаменатель дроби, выражающей эту часть, и результат умножить на числитель той же дроби.

Задача нахождения части от целого по существу является задачей нахождения дроби от числа. Чтобы найти дробь (часть) от числа, необходимо число умножить на эту дробь.

Вычитание дробей

Алгоритм действий при вычитании двух дробей:

1. Перевести смешанные дроби в обыкновенные (избавиться от целой части).
2. Привести дроби к общему знаменателю. Для этого нужно числитель и знаменатель первой дроби умножить на знаменатель второй дроби, а числитель и знаменатель второй дроби умножить на знаменатель первой дроби.
3. Вычесть одну дробь из другой, путем вычитания числителя второй дроби из числителя первой.
4. Найти наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя и сократить дробь, поделив числитель и знаменатель на НОД.
5. Если числитель итоговой дроби больше знаменателя, то выделить целую часть.

Нахождение целого числа по дроби

Зная часть числа и сколько это составляет от целого числа, можно найти изначальное целое число. Это обратная задача к той, которую мы рассматривали в предыдущей теме. Там мы искали дробь от числа, деля это число на знаменатель дроби, и полученный результат умножая на числитель дроби.

А сейчас наоборот, зная дробь и сколько это составляет от числа, найти изначальное целое число.

Например, если  длины линейки составляют шесть сантиметров и нам говорят найти длину всей линейки, то мы должны понимать, что от нас требуют найти изначальное целое число (длину всей линейки) по дроби . Давайте решим эту задачу.

Требуется найти длину всей линейки по дроби . Известно, что  длины всей линейки составляют 6 см.

Мы уже знаем каким образом получились эти 6 см. Имелась какая-то длина, её разделили на пять частей, поскольку знаменатель дроби  это число 5. Затем было взято две части от пяти частей, поскольку числитель дроби  это число 2.

Чтобы узнать длину всей линейки, сначала нужно узнать длину одной части. Как это узнать? Попробуем догадаться, внимательно изучив следующий рисунок:

Если две части длины линейки составляют 6 см, то нетрудно догадаться, что одна часть составляет 3 см. А чтобы получить эти 3 см, надо 6 разделить на 2

6 см : 2 = 3 см

Итак, мы нашли длину одной части. Одна часть из пяти или  длины линейки составляет 3 см. Если частей всего пять, то для нахождения длины линейки, нужно взять три сантиметра пять раз. Другими словами, умножить 3 см на число 5

3 см × 5 = 15

Мы нашли длину линейки. Она составляет 15 сантиметров. Это можно увидеть на следующем рисунке.

Видно, что пять частей из пяти или  составляют пятнадцать сантиметров.

Чтобы легче было находить число по его дроби, можно пользоваться следующим правилом:

Чтобы найти число по его дроби, нужно известное число разделить на числитель дроби, и полученный результат умножить на знаменатель дроби.

Пример 2. Число 20 это  от всего числа. Найдите это число.

Знаменатель дроби  показывает, что число, которое мы должны найти, разделено на пять частей. Если  этого числа составляет число 20, то для нахождения всего числа, сначала нужно найти  (одну часть из пяти) от всего числа. Для этого 20 надо разделить на числитель дроби

20 : 4 = 5

Мы нашли  от всего числа. Эта часть равна 5. Чтобы найти всё число, нужно полученный результат 5 умножить на знаменатель дроби

5 × 5 = 25

Мы нашли  от всего числа. Другими словами, нашли всё число, которое от нас требовали найти. Это число 25.

Пример 3. Десять минут это  времени приготовления каши. Найдите общее время приготовления каши.

Знаменатель дроби  показывает, что общее время приготовления каши разделено на три части. Если  времени приготовления каши составляет десять минут, то для нахождения общего времени приготовления, нужно сначала найти  времени приготовления. Для этого 10 нужно разделить на числитель дроби

10 мин : 2 = 5 мин

Мы нашли  времени приготовления каши.  времени приготовления каши составляют пять минут. Для нахождения общего времени приготовления, нужно 5 минут умножить на знаменатель дроби

5 мин × 3 = 15 мин

Мы нашли  времени приготовления каши, то есть нашли общее время приготовления. Оно составляет 15 минут.

Пример 4.     массы мешка цемента составляет 30 кг. Найти общую массу мешка.

Знаменатель дроби показывает, что общая масса мешка разделена на четыре части. Если массы мешка составляет 30 кг то для того, чтобы найти общую массу мешка нужно сначала найти массы мешка. Для этого 30 надо разделить на числитель дроби .

30кг : 2 = 15кг

Мы нашли массы мешка. массы мешка составляет 15 кг. Теперь, чтобы найти общую массу мешка, надо 15кг умножить на знаменатель дроби

15кг × 4 = 60кг

Мы нашли массы мешка. Другими словами, нашли общую массу мешка. Общая масса мешка цемента составляет 60 кг.

Как перевести десятичную дробь в обыкновенную или смешанную

Для того, чтобы перевести десятичную дробь в обыкновенную, необходимо:

1. Записать дробь в виде десятичная дробь1
2. Умножать числитель и знаменатель на 10 до тех пор, пока числитель не станет целым числом.
3. Найти наибольший общий делитель и сократить дробь.

Например, переведем 0.36 в обыкновенную дробь:

1. Записываем дробь в виде: 0.361
2. Умножаем на 10 два раза, получим 36100
3. Сокращаем дробь 36100 = 925

Применение нахождения дроби от числа для решения задач

В начале урока мы уже разобрали пример с тортом, сейчас посмотрим на другие примеры.

Задача 1

Остап зарабатывает 40 000 рублей в месяц.

Из них (mathbf{frac{1}{4}}) это подработка.

Сколько рублей Остапу приносит подработка?

Решение:

В данной случае числом будет являться сумма заработка за месяц — 40 000

Ну а дробью, очевидно, будет (mathbf{frac{1}{4}}).

Тогда, чтобы найти прибыль от подработки, надо просто умножить дробь на число.

(mathbf{40000cdotfrac{1}{4}=frac{40000}{4}=10000})

Ответ: 10 000 рублей.

Теперь рассмотрим что-нибудь посложнее.

Задача 2

Порфирий живет в комнате площадью 18 квадратных метров.

3 кровати занимают (mathbf{frac{1}{3}}) площади комнаты.

Какую площадь занимает одна кровать?

Решение:

Сначала найдем, какую площадь занимают 3 кровати, затем разделим это число на 3, чтобы получить площадь одной кровати.

1) (mathbf{18cdotfrac{1}{3}=frac{18}{3}=6}) (квадратных метров) занимают 3 кровати

2) (mathbf{6div3=2}) (квадратных метра) занимает одна кровать

Ответ: 2 квадратных метра.

Теперь посмотрим, как в задачах применяются проценты.

Задача 3

Пересвет работает на заводе и производит 100 деталей в день.

Начальник Елисей пообещал Пересвету выдать премию, если он будет делать на 20% деталей больше.

Сколько деталей в день должен делать Пересвет, чтобы получить премию?

Решение:

Для начала надо понять, на сколько в количественном измерении больше деталей нужно выпустить Пересвету, чтобы получить премию.

Для этого домножим текущее количество деталей на процент или долю, учитывая, что 20% — это 20 частей из 100, или иначе 0,20, и получим искомую прибавку.

1) (mathbf{20%=20div100=0.2})

2) (mathbf{100cdot0.2=20}) (деталей)- то, насколько больше деталей нужно производить

Теперь, чтобы найти общее количество деталей, надо прибавить эту прибавку к тому, что Пересвет производит уже сейчас.

3) (mathbf{100+20=120}) (деталей) в день нужно производить для получения премии

Ответ: 120 деталей.

В некоторых задачах нужно несколько раз применять нахождение процентов от числа.

Задача 4

Глубина реки в начале мая была равна 10 метрам, к началу июня она обмелела на 10%, а к началу июля еще на 15% относительно показателей начала июня. Вычислите, какая глубина реки была в начале июля.

Решение:

Исходное число- 10 метров, дробь задана в виде процентов.

Первым действием нужно будет найти глубину реки в начале июня.

Здесь можно пойти двумя разными путями:

I. Посчитаем, на сколько метров опустился уровень воды, а затем вычтем это из исходных показателей.

0) (mathbf{10%=10div100=0.1})

1) (mathbf{10-10cdot0.1=10-1=9}) (метров)- глубина реки в начале июня

II. Можно вместо того, чтобы считать разницу и вычитать ее, посчитать сколько процентов останется и найти сразу именно эту часть от исходного числа.

Учитывая, что всего у нас 100%, да если глубина уменьшилась на 10%, то осталось 90%.

0) (mathbf{100-10=90}) (процентов) останется

1) (mathbf{90%=90div100=0.9})

2) (mathbf{10cdot0.9=9}) (метров)- глубина реки в начале июня

Как мы видим, эти два подхода дают одинаковый результат.

Поэтому вы можете выбирать любой из них в зависимости от задачи и ваших предпочтений.

Таким образом, мы посчитали глубину в начале июня. Теперь нужно понять, какая будет глубина в начале июля, когда глубина уменьшится еще на 15 процентов.

Используем в этом случае второй способ.

3) (mathbf{100-15=85}) (процентов) останется в июле от уровня июня

4) (mathbf{85%=85div100=0.85})

5) (mathbf{0.85cdot9=7.65}) (метров) составит глубина реки в начале июля

Ответ: 7.65 метра.

Пройти тест Закрыть тест

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации Вход Регистрация

Нахождение числа по значению дроби

Если известно сколько число n занимает в числе m, и эта доля выражена в виде дроби, то для нахождения числа m используется формула:

m = m : a / b

 Пример:

Один ряд кинозала вмещает 20 кресел, что составляет2 / 5

от всей вместимости зала. Определите, сколько всего посадочных мест в зале.

 Решение

Общее количество кресел равняется:

20 :2 / 5

= 20 ⋅5 / 2

=20 ⋅ 5 / 2

= 50

Теги

В предыдущих уроках было сказано, что дробь, состоящая из целой и дробной части, называется смешанной.

Все дроби, имеющие целую и дробную часть, носят одно общее название — смешанные числа.

Смешанные числа так же как и обыкновенные дроби можно складывать, вычитать, умножать и делить. В данном уроке мы рассмотрим каждое из этих действий по отдельности.

Сложение целого числа и правильной дроби

Встречаются задачи, в которых требуется сложить целое число и правильную дробь. Например, сложить число 2 и дробь . Чтобы решить этот пример, нужно число 2 представить в виде дроби  . Затем сложить дроби с разными знаменателями:

А теперь внимательно посмотрим на этот пример. Смотрим на его начало и на его конец. Начало у него выглядит так: , а конец так: . Различие в том, что в первом случае число 2 и дробь  соединяются знаком сложения, а во втором случае они записаны вместе. На самом деле это одно и то же. Дело в том, что  это свёрнутая форма записи смешанного числа, а  — развёрнутая.

Когда перед нами смешанное число вида , мы должны понимать, что знак сложения опущен.

Какой можно сделать вывод? Если потребуется сложить целое число и правильную дробь, можно опустить плюс и записать целое число и дробь вместе.

Значит значение выражения равно 

Если к двум целым пиццам прибавить половину пиццы, то получится две целые пиццы и ещё половина пиццы:

---

Пример 2. Найти значение выражения

Представим число 3 в виде дроби . Затем сложим дроби с разными знаменателями:

Это первый способ. Второй способ намного проще. Можно поставить знак равенства и записать целую и дробную часть вместе. То есть опустить знак сложения:

---

Пример 3. Найти значение выражения 

Можно записать вместе число 2 и дробь , но этот ответ не будет окончательным, поскольку в дроби  можно выделить целую часть.

Поэтому в данном примере сначала нужно выделить целую часть в дроби  . Пять вторых это две целых и одна вторая:

Теперь в главном выражении  вместо дроби  запишем смешанное число 

Получили новое выражение . В этом выражении смешанное число  запишем в развёрнутом виде:

Применим сочетательный закон сложения. Сложим две двойки, получим 4:

Теперь свернём полученное смешанное число:

Это окончательный ответ. Подробное решение этого примера можно записать следующим образом:

---

Сложение смешанных чисел

Встречаются задачи, в которых требуется сложить смешанные числа. Например, найти значение выражения . Чтобы решить этот пример, нужно целые и дробные части сложить по отдельности.

Для начала запишем смешанные числа в развёрнутом виде:

Применим сочетательный закон сложения. Сгруппируем целые и дробные части по отдельности:

Вычислим целые части: 2 + 3 = 5. В главном выражении заменяем выражение в скобках (2 + 3) на полученную пятёрку:

Теперь вычислим дробные части. Это сложение дробей с разными знаменателями. Как складывать такие дроби мы уже знаем:

Получили   . Теперь в главном выражении заменяем дробные части на полученную дробь

Теперь свернем полученное смешанное число:

Таким образом, значение выражения  равно . Попробуем изобразить это решение в виде рисунка. Если к двум целым и половине пиццы прибавить три целые и одну восьмую пиццы, то получится пять целых пицц и ещё пять восьмых пиццы:

Подобные примеры нужно решать быстро, не останавливаясь на подробностях. Находясь в школе, нам пришлось бы записать решение этого примера следующим образом:

Если в будущем увидите такое короткое решение, не пугайтесь. Вы уже понимаете, что откуда взялось.

---

Пример 2. Найти значение выражения

Запишем смешанные числа в развёрнутом виде:

Сгруппируем целые и дробные части по отдельности:

Вычислим целые части: 5 + 3 = 8. В главном выражении заменяем выражение в скобках (5 + 3) на полученное число 8

Теперь вычислим дробные части:

Получили смешанное число . Теперь в главном выражении заменяем выражение в скобках на полученное смешанное число 

Получили выражение . В данном случае число 8 надо прибавить к целой части смешанного числа  . Для этого смешанное число можно временно развернуть, чтобы было понятнее, что с чем складывать:

Сложим целые части. Получаем 9

Сворачиваем готовый ответ:

Таким образом, значение выражения  равно .

Полное решение этого примера выглядит следующим образом:

---

Для решения подобных примеров существует универсальное правило. Выглядит оно следующим образом:

Чтобы сложить смешанные числа, надо:

• привести дробные части этих чисел к общему знаменателю;
• отдельно выполнить сложение целых и дробных частей.

Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, выделить целую часть в этой дроби и прибавить ее к полученной целой части.

Применение готовых правил допустимо в том случае, если суть темы полностью понятна. Решение по-шаблону, поглядывая в другие подобные примеры, приводит к ошибкам на обнаружение которых уходит дополнительное время. Поэтому, сначала разумнее понять тему, а затем пользоваться готовым правилом.

Пример 3. Найти значение выражения 

Воспользуемся готовым правилом. Приведём дробные части к общему знаменателю, затем по отдельности сложим целые и дробные части:

---

Сложение целого и смешанного числа

Встречаются задачи, в которых нужно сложить целое и смешанное число. Например, сложить 2 и смешанное число . В этом случае целые части складываются отдельно, а дробная часть остаётся без изменения:

Здесь смешанная дробь была развёрнута в ходе решения, затем целые части были сгруппированы и сложены. В конце целая и дробная части были свёрнуты. В результате получили ответ .

Попробуем изобразить это решение в виде рисунка. Если к двум целым пиццам прибавить три целые и треть пиццы, то получятся пять целых и треть пиццы:

---

Пример 2. Найти значение выражения

В этом примере, как и в предыдущем, нужно сложить целые части:

Осталось свернуть целую и дробную части, но дело в том, что дробная часть   представляет собой неправильную дробь. Сначала нужно выделить целую часть в этой неправильной дроби. Затем целую часть этой дроби прибавить к 4, а дробную часть оставить без изменения. Продолжим данный пример на новой строке:

---

Вычитание дроби из целого числа

Встречаются задачи, в которых требуется вычесть дробь из целого числа. Например, вычесть из числа 1 дробь . Чтобы решить такой пример, нужно целое число 1 представить в виде дроби  , и выполнить вычитание дробей с разными знаменателями:

Если имеется одна целая пицца и мы вычтем из неё половину пиццы, то у нас получится половина пиццы:

---

Пример 2. Найти значение выражения .

Представим число 2 в виде дроби , и выполним вычитание дробей с разными знаменателями:

Если имеются две целые пиццы и мы вычтем из низ половину, то останется одна целая и половина пиццы:

Такие примеры можно решать в уме. Достаточно суметь воспроизвести их в своём воображении. К примеру, найдём значение выражения , не приводя на бумаге никаких вычислений.

Представим, что число 3 это три пиццы:

Нужно вычесть из них . Мы помним, что треть выглядит следующим образом:

Теперь представим, во что превратятся три пиццы, если отрезать от них эту треть

Получилось  (две целых и две трети пиццы).

Чтобы убедиться в правильности решения, можно найти значение выражения  обычным методом, представив число 3 в виде дроби, и выполнив вычитание дробей с разными знаменателями:

---

Пример 3. Найти значение выражения

Представим число 3 в виде дроби . Затем выполним вычитание дробей с разными знаменателями:

---

Вычитание смешанного числа из целого числа

Теперь мы готовы к тому, чтобы вычесть смешанное число из целого числа. Найдём значение выражения .

Чтобы решить этот пример, число 5 нужно представить в виде дроби, а смешанное число перевести в неправильную дробь. После перевода смешанного числа  в неправильную дробь, получим дробь . Теперь выполним вычитание дробей с разными знаменателями:

Если из пяти целых пицц вычесть одну целую и половину пиццы, то останутся три целые пиццы и половина пиццы:

---

Пример 2. Найти значение выражения

Представим 6 в виде дроби , а смешанное число , в виде неправильной дроби. После перевода смешанного числа   в неправильную дробь, получим дробь . Теперь выполним вычитание дробей с разными знаменателями:

Примеры на вычитание дроби из числа или вычитание смешанной дроби из числа опять же можно выполнять в уме. Этот процесс легко поддаётся воображению.

К примеру, если нужно быстро найти значение выражения , то вовсе необязательно представлять число 2 в виде дроби и выполнять вычитание дробей с разными знаменателями. Число 2 можно вообразить, как две целые пиццы и далее представить, как от одной из них отрезали две третьих (два куска из трёх)

Тогда от той пиццы, от которой отрезали  останется  пиццы. Плюс одна из пицц останется нетронутой. Получится одна целая пицца и треть пиццы:

Если на рисунке вы закроете рукой две третьих пиццы (она закрашена), то сразу всё поймёте.

---

Вычитание смешанных чисел

Встречаются задачи, в которых требуется вычесть из одного смешанного числа другое смешанное число. Например, найдём значение выражения:

Чтобы решить этот пример, нужно смешанные числа  и  перевести в неправильные дроби, затем выполнить вычитание дробей с разными знаменателями:

Если от трёх целых и половины пиццы вычесть две целые и треть пиццы, то останутся одна целая и одна шестая пиццы:

---

Пример 2. Найти значение выражения

Переводим смешанные числа и в неправильные дроби и выполняем вычитание дробей с разными знаменателями:

К вычитанию смешанных чисел мы ещё вернёмся. В вычитании дробей есть немало тонкостей, которым новичок пока не готов. Например, возможен случай, когда уменьшаемое может оказаться меньше вычитаемого. Это может вывести нас в мир отрицательных чисел, которых мы ещё не изучали.

А пока изучим умножение смешанных чисел. Благо оно не такое сложное, как сложение и вычитание.

---

Умножение целого числа на дробь

Чтобы целое число умножить на дробь, достаточно умножить это целое число на числитель дроби, а знаменатель оставить без изменения.

Например, умножим число 5 на дробь . Чтобы решить этот пример, нужно число 5 умножить на числитель дроби , а знаменатель оставить без изменения:

В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:

Если имеются пять целых пицц и мы возьмём от этого количества половину, то у нас окажется две целые пиццы и половина пиццы:

---

Пример 2. Найти значение выражения

Умножим число 3 на числитель дроби 

В ответе получилась неправильная дробь , но мы выделили её целую часть и получили 2.

Также, можно было сократить эту дробь. Получился бы тот же результат. Выглядело бы это следующим образом:

Если имеются три целые пиццы и мы возьмём от этого количества две третьих, то у нас окажется две целые пиццы:

---

Пример 3. Найти значение выражения

Этот пример решается так же, как и предыдущие. Целое число и числитель дроби нужно перемножить:

---

Пример 4. Найти значение выражения

Умножим число 3 на числитель дроби 

---

Умножение смешанного числа на дробь

Чтобы умножить смешанное число на дробь, нужно смешанное число перевести в неправильную дробь, затем выполнить перемножение обыкновенных дробей.

Пример 1. Найти значение выражения 

Переведём смешанное число  в неправильную дробь. После перевода это число превратится в дробь . Затем можно будет умножить эту дробь на 

Допустим, имеются одна целая и половина пиццы:

Умножить эти куски на  означает взять от них две трети. Чтобы взять от них две трети, сначала разделим их на три равные части. Разделим пополам ту пиццу, которая слева. Тогда у нас получится три равных куска:

Теперь если мы возьмем  (два куска из трёх имеющихся), то получим одну целую пиццу. Для наглядности закрасим эти два куска:

Поэтому значение выражения  было равно 1

---

Умножение смешанных чисел

Встречаются задачи, в которых требуется перемножить смешанные числа. Например, перемножить  и . Чтобы решить этот пример, нужно перевести эти смешанные числа в неправильные дроби, затем выполнить умножение неправильных дробей:

Попробуем разобраться в этом примере с помощью рисунка. Допустим, имеются одна целая и половина пиццы:

Теперь разберемся со смешанным множителем . Этот множитель означает, что одну целую и половину пиццы нужно взять 2 раза и еще  раза.

С множителем 2 всё понятно, он означает что одну целую и половину пиццы нужно взять два раза. Давайте возьмём два раза целую пиццу и половину:

Но ещё осталось взять  от изначальной целой пиццы и половины, ведь множителем было смешанное число . Для этого вернёмся к изначальной одной целой и половине пиццы, и разделим их на равные части так, чтобы можно было взять от них ровно половину. А половину мы сможем взять, если разделим целую пиццу на четыре части, а половину на две части:

Мы разделили нашу целую пиццу и половину на равные части, и теперь можем сказать, что является половиной от этих кусков. Половиной от этих кусков является  пиццы. Это можно хорошо увидеть, если мы упорядочим наши равные кусочки следующим образом:

А если смотреть на изначальную целую пиццу и половину с точки зрения такого порядка, как на этом рисунке, то половиной от них является пиццы.

Поэтому значение выражения  равно 

---

Пример 2. Найти значение выражения

Переводим смешанные числа в неправильные дроби и перемножаем эти неправильные дроби. Если в ответе получится неправильная дробь, выделим в ней целую часть:

---

Деление целого числа на дробь

Чтобы разделить целое число на дробь, нужно это целое число умножить на дробь, обратную делителю.

Например, разделим число 3 на дробь . Здесь число 3 — это делимое, а дробь  — делитель.

Чтобы решить этот пример, нужно число 3 умножить на дробь, обратную дроби . А обратная дробь для дроби  это дробь . Поэтому умножаем число 3 на дробь 

Допустим, имеются три целые пиццы:

Если мы зададим вопрос «cколько раз  (половина пиццы) содержится в трёх пиццах», то ответом будет «шесть раз».

Действительно, если мы разделим каждую пиццу пополам, то у нас получится шесть половинок:

Поэтому значение выражения  равно 6.

---

Пример 2. Найти значение выражения 

Чтобы решить этот пример, нужно число 2 умножить на дробь, обратную дроби . А обратная дробь для дроби  это дробь 

Допустим, имеются две целые пиццы:

Зададим вопрос «Сколько раз  пиццы содержится в этих двух пиццах?» Чтобы ответить на этот вопрос, выделим целую часть в дроби . После выделения целой части в этой дроби получим 

Теперь поставим вопрос так: «Сколько раз  (одна целая и половина пиццы) содержится в двух пиццах?».

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно найти в двух пиццах такое количество пиццы, которое изображено на следующем рисунке:

В двух пиццах одна целая и половина пиццы содержится один раз. Это можно увидеть, если вторую пиццу разделить пополам:

А оставшаяся половина это треть от , которая не вместилась. Третью она является по той причине, что в одной целой и половине пиццы целую часть пиццы можно разделить пополам. Тогда каждый кусок будет третью от этого количества:

Поэтому значение выражения  равно 

---

Пример 3. Найти значение выражения 

Чтобы решить этот пример, нужно число 5 умножить на дробь, обратную дроби . А обратная дробь для дроби  это дробь . Поэтому умножаем число 5 на 

Дробь  это 2 целых и . Проще говоря, две целые и четверть пиццы:

А выражение  определяет сколько раз  содержится в пяти целых пиццах. Ответом было смешанное число .

То есть  пиццы содержится в пяти целых пиццах  раза.

Давайте нащупаем в пяти пиццах два раза по 

Белым цветом осталось не выделено две четверти. Эти две четверти представляют собой  от , которые не вместились. Двумя девятыми они являются по той причине, что в  пиццы каждую целую пиццу можно разделить на четыре части. Тогда каждый кусок будет девятой частью от этого количества, а два куска соответственно двумя из девяти:

Поэтому значение выражения  равно 

---

Деление дроби на целое число

Чтобы разделить дробь на целое число, нужно данную дробь умножить на число, обратное делителю. Таким делением мы занимались в прошлом уроке. Вспомним ещё раз.

Пример 1. Разделим дробь  на число 2

Чтобы разделить дробь  на 2, нужно данную дробь умножить на число, обратное числу 2. А обратное числу 2 это дробь 

Пусть имеется половина пиццы:

Разделим её поровну на две части. Тогда каждая получившаяся часть будет одной четвертой пиццы:

Поэтому значение выражения  равно 

---

Пример 2. Найти значение выражения 

Чтобы решить этот пример, нужно дробь  умножить на число, обратное числу 2. Обратное числу 2 это дробь

---

Пример 3. Найти значение выражения

Умножаем первую дробь на число, обратное числу 3. Обратное числу 3 это дробь

---

Деление целого числа на смешанное число

Встречаются задачи, в которых требуется разделить целое число на смешанное число. Например, разделим 2 на .

Чтобы решить этот пример, нужно делитель перевести в неправильную дробь. Затем умножить число 2 на дробь, обратную делителю.

Переведём делитель  в неправильную дробь, получим . Затем умножим 2 на дробь, обратную дроби . Обратная для дроби  это дробь

Допустим, имеются две целые пиццы:

Зададим вопрос «Сколько раз  (одна целая и половина пиццы) содержится в двух целых пиццах?». Похожий пример мы решали ранее, когда учились делить целое число на дробь.

В двух пиццах одна целая и половина пиццы содержится один раз. Это можно увидеть, если вторую пиццу разделить пополам:

А оставшаяся половина это треть от , которая не вместилась. Третью она является по той причине, что в одной целой и половине пиццы целую часть пиццы можно разделить пополам. Тогда каждый кусок будет третью от этого количества:

Поэтому значение выражения  равно 

---

Пример 2. Найти значение выражения

Переводим делитель  в неправильную дробь, получаем . Теперь умножаем число 5 на дробь, обратную дроби . Обратная для дроби  это дробь 

Сначала мы получили ответ , затем сократили эту дробь на 5, и получили , но этот ответ нас тоже не устроил, поскольку он представлял собой неправильную дробь. Мы выделили в этой неправильной дроби целую часть. В результате получили ответ

---

Деление смешанного числа на целое число

Чтобы разделить смешанное число на целое число, нужно смешанное число перевести в неправильную дробь, затем умножить эту дробь на число, обратное делителю.

Например, разделим  на 2. Чтобы решить этот пример, нужно делимое  перевести в неправильную дробь. Затем умножить эту дробь на число, обратное делителю 2.

Переведём смешанное число  в неправильную дробь, получим .

Теперь умножаем  на число, обратное числу 2. Обратное числу 2 это дробь

Допустим, имеется одна целая и половина пиццы:

Разделим это количество пиццы поровну на две части. Для этого сначала разделим на две части целую пиццу:

Затем разделим поровну на две части и половину:

Теперь если мы сгруппируем эти кусочки на две группы, то получим по  пиццы в каждой группе:

Поэтому значение выражения  равно 

---

Пример 2. Найти значение выражения 

Переведём делимое в неправильную дробь, получим . Теперь умножаем  на число, обратное числу 4. Обратное числу 4 это дробь .

---

Деление смешанных чисел

Чтобы разделить смешанные числа, нужно перевести их в неправильные дроби, затем выполнить обычное деление дробей. То есть умножить первую дробь на дробь, обратную второй.

Пример 1. Найти значение выражения

Переведём смешанные числа в неправильные дроби. Получим следующее выражение:

Как решать дальше мы уже знаем. Первую дробь  нужно умножить на дробь, обратную второй. Обратная для второй дроби это дробь .

Дорешаем данный пример до конца:

Допустим, имеются две целые и половина пиццы:

Если зададим вопрос «Сколько раз  (одна целая и четверть пиццы) содержится в двух целых и половине пиццы», то ответом будет «два раза»:

---

Пример 2. Найти значение выражения

Переведём смешанные числа в неправильные дроби. Получим следующее выражение:

Теперь умножаем первую дробь на дробь, обратную второй. Обратная для дроби это дробь

Сначала мы получили дробь. Эту дробь мы сократили на 9. В результате получили дробь , но такой ответ нас тоже не устроил и мы выделили в дроби  целую часть. В результате получили окончательный ответ .

---

Задания для самостоятельного решения

---

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках