Как найти дробные координаты на координатной прямой

Математика

5 класс

Урок №80

Представление дробей на координатном луче

Перечень рассматриваемых вопросов

– изображение дробей на координатном луче;

– запись координаты дроби;

– решение текстовых задач с опорой на смысл понятия координаты числа;

– применение дроби для выражения единиц измерения длины, массы, времени в более крупных единицах.

Тезаурус

Единичный отрезок – это расстояние от 0 до точки, выбранной для измерения.

Координатная ось – это прямая, с заданными на ней началом отсчёта, единичным отрезком и направлением отсчёта.

Координата данной точки – это число, которое соответствует данной точке на координатной оси.

Средним арифметическим нескольких чисел называют частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых.

Обязательная литература

1. Никольский С. М. Математика. 5 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений. / ФГОС//С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. — М.: Просвещение, 2017. — 272 с.

Дополнительная литература

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. — М.: Просвещение, 2009. — 142 с.

2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. — М.: Просвещение, 2014. — 95 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Мы уже знаем, что прямую с заданными на ней началом отсчёта, единичным отрезком и направлением отсчёта называют координатным лучом.

Начало отсчёта – точка 0.

Единичный отрезок – это расстояние от 0 до точки, выбранной для измерения.

Координатный луч обычно располагают горизонтально и направляют вправо.

На координатном луче можно изобразить дробь.

Изобразим дробь

Для этого единичный отрезок разделим на q частей.

Возьмём часть и отложим p раз на координатном луче от точки 0.

Точку, изображающую на координатном луче дробь p/q, называют точкой с координатой p/q или короче – точкой p/q

Например, точка А имеет координату три пятых. Пишем A (3/5).

Точка В имеет координату семь пятых, выраженную неправильной дробью или одна целая две пятых, выраженную смешанным числом. Пишем В (7/8) или В(1 2/5)

Положительные дроби называют ещё положительными рациональными числами, а точки, изображающие их на луче, называют положительными рациональными точками.

3/5, 7/5,1 2/5 – положительные дроби, или положительные рациональные числа.

Если а и с – два положительных рациональных числа и с > a, то:

1. точка c на координатном луче находится правее точки а;
2. расстояние между точками а и c равно c – а;
3. точка (a + c) : 2 является серединой отрезка, соединяющего точки а и с.

Докажем, что точка (a + c) : 2 является серединой отрезка, соединяющего точки а и с:

Рассмотрим задачу.

Найдём длину отрезка, соединяющего точки:

и с = 1, и координату середины этого отрезка.

Решение

3/7 < 1, поэтому точка 1 находится правее 3/7.

Значит, длина отрезка, соединяющего точки а и с, равна:

Середина этого отрезка будет иметь координату:

Таким способом можно вычислить координату середины отрезка, соединяющего любые две рациональные точки.

Т. е. между любыми двумя рациональными точками находится ещё хотя бы одна рациональная точка.

Число (a + c) : 2 называется средним арифметическим чисел а и с.

Например:

Если необходимо вычислить среднее арифметическое нескольких чисел, нужно найти частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых.

Например:

Рассмотрим, как применять дроби для выражения единиц измерения длины, массы и времени в более крупных единицах.

Известно, что для измерения массы используют единицы измерения: граммы, килограммы, центнеры, тонны. Если масса тела небольшая, используют г или кг. Если тело более крупное, то массу измеряют в тоннах.

Мы знаем, что 1 кг = 1000 г. А как узнать, сколько килограмм в грамме? Для этого нужно один разделить на тысячу, получим одну тысячную, т. е. в одном грамме содержится одна тысячная килограмма.

Рассмотрим единицы измерения времени. Время измеряют в секундах, минутах, часах. Вы знаете, что в одном часе шестьдесят минут, следовательно, минута будет равна одной шестидесятой часа.

Рассмотрим единицы измерения длины.

Длину измеряют в метрах, километрах, сантиметрах.

Тренировочные задания

№ 1. Подставьте к изображению координаты середин отрезков АВ, ВС и СК.

Варианты ответов:

Координаты середины отрезка определяются по формуле (a + c) : 2, где а и с – координаты концов отрезка.

Найдём середину отрезка АВ. Для этого сложим координаты точки А и В, поделим на два и получим:

Значит, 1 – это середина отрезка АВ.

Найдём середину ВС. Для этого сложим координаты точки В и С, поделим на два и получим:

Значит, 2 – это середина отрезка ВС.

Найдём середину СК. Для этого сложим координаты точки С и К, поделим на два и получим:

Значит, 3 – это середина отрезка СК.

№ 2. Найдите среднее арифметическое чисел 11, 14 и 17. В ответе напишите только число: __

Средним арифметическим нескольких чисел называют частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых.

У нас три слагаемых, значит, сложим числа 11, 14 и 17 и полученную сумму разделим на 3.

(11 + 14 + 17) : 3 = 42 : 3 = 14

Правильный ответ:14.

Нарисуем линию  и обозначим на ней точку O, которую назовем  началом отсчета координат. После этого выберем направление и единичный отрезок. В этом случае можно сказать, что у нас есть координатная прямая с точкой ноль и началом отсчета координат. Справа от нуля располагается положительное направление слева –  отрицательное.

Каждое натуральное число или дробь можно представить на этой прямой. Каждая точка на прямой может быть связана только с единственной  координатой. Например, как найти координату (5)? Нужно  от (0) отложить пять единиц вправо –  вот это и есть представление точки на координатной прямой.

Решение: требуется изобразить на координатной прямой дроби со знаменателем 8, поэтому  мы разделим единичный отрезок на 8 равных частей:

Запишись на бесплатный пробный урок тут и разберись с тем, что тебе непонятно.

Также, как и на координатном луче, изображение дроби на координатной прямой начинается с выбора единичного отрезка.

Самый удобный вариант — единичный отрезок взять из такого количества клеточек, каков знаменатель дроби.

Например, требуется на координатной прямой отметить точки, координаты которых — смешанные числа и дроби со знаменателем 3. В качестве единичного  берем отрезок длиной три клеточки. В этом случае одна клеточка соответствует дроби 1/3, две клеточки — 2/3, а три клеточки — 1.

   

   

Если требуется изобразить на координатной прямой дроби со знаменателем 4, удобно в качестве единичного взять отрезок длиной 4 клеточки:

   

   

   

Если знаменатель равен 6, для изображения дроби на координатной прямой берем единичный отрезок длиной шесть клеточек:

   

   

   

Причем в этом случае удобно изображать не только дроби со знаменателем 6, но также дроби со знаменателем 3 и 2 (так как в этом случае 6 — их наименьший общий знаменатель).

Для изображения дроби на координатной прямой:

1) разбиваем единичный отрезок на столько частей, каков знаменатель;

2) берем из них столько частей, каков числитель.

• Дроби, как и натуральные числа, можно изображать точками на координатной прямой.

Пример. Изобразить на координатной прямой дроби 35, 55 и 75.

• начертите прямую, отметьте на ней точку 0, отложите единичный отрезок (возьмите отрезок длиной 5 см) и отметьте число 1;

• разделите единичный отрезок на пять равных частей и отсчитайте от 0 вправо 3, 5 и 7 частей;

• надпишите над точками соответственно 35, 55 и 75; правильной дроби соответствует точка, расположенная левее точки с координатой 1, а неправильной дроби – правее 1.