Как найти дуги вписанной окружности в треугольник

Как найти дуги вписанной окружности в треугольник

Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается касается сторон этого угла.

Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности ), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

что и требовалось доказать.

Замечание . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных , проведенных к окружности из одной точки, равны.

Определение 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

Теорема 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

Определение 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .

Следствие . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.

a, b, c – стороны треугольника,
S – площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

.

a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Фигура Рисунок Формула Обозначения
Произвольный треугольник
Равнобедренный треугольник
Равносторонний треугольник
Прямоугольный треугольник

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
.

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
.

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Произвольный треугольник
Равнобедренный треугольник
Равносторонний треугольник
Прямоугольный треугольник
Произвольный треугольник

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
.

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
.

Равнобедренный треугольник

Равносторонний треугольник

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Прямоугольный треугольник

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, – полупериметр (рис. 6).

с помощью формулы Герона получаем:

что и требовалось.

Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

то, в случае равнобедренного треугольника, когда

что и требовалось.

Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

то, в случае равностороннего треугольника, когда

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником прямоугольником , у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат квадрат . Следовательно,

В силу теоремы 3 справедливы равенства

Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

Треугольник вписанный в окружность

Определение

Треугольник, вписанный в окружность — это треугольник, который
находится внутри окружности и соприкасается с ней всеми тремя вершинами.

На рисунке 1 изображена окружность, описанная около
треугольника и окружность, вписанная в треугольник.

ВD = FC = AE — диаметры описанной около треугольника окружности.

O — центр вписанной в треугольник окружности.

Формулы

Радиус вписанной окружности в треугольник

r — радиус вписанной окружности.

  1. Радиус вписанной окружности в треугольник,
    если известна площадь и все стороны:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны площадь и периметр:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны полупериметр и все стороны:

Радиус описанной окружности около треугольника

R — радиус описанной окружности.

  1. Радиус описанной окружности около треугольника,
    если известна одна из сторон и синус противолежащего стороне угла:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и площадь:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и полупериметр:

Площадь треугольника

S — площадь треугольника.

  1. Площадь треугольника вписанного в окружность,
    если известен полупериметр и радиус вписанной окружности:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен полупериметр:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен высота и основание:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известна сторона и два прилежащих к ней угла:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и синус угла между ними:

[ S = frac<1><2>ab cdot sin angle C ]

Периметр треугольника

P — периметр треугольника.

  1. Периметр треугольника вписанного в окружность,
    если известны все стороны:

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известна площадь и радиус вписанной окружности:

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и угол между ними:

Сторона треугольника

a — сторона треугольника.

  1. Сторона треугольника вписанного в окружность,
    если известны две стороны и косинус угла между ними:

Сторона треугольника вписанного в
окружность, если известна сторона и два угла:

Средняя линия треугольника

l — средняя линия треугольника.

  1. Средняя линия треугольника вписанного
    в окружность, если известно основание:

Средняя линия треугольника вписанного в окружность,
если известныдве стороны, ни одна из них не является
основанием, и косинус угламежду ними:

Высота треугольника

h — высота треугольника.

  1. Высота треугольника вписанного в окружность,
    если известна площадь и основание:

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен сторона и синус угла прилежащего
к этой стороне, и находящегося напротив высоты:

[ h = b cdot sin alpha ]

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен радиус описанной окружности и
две стороны, ни одна из которых не является основанием:

Свойства

  • Центр вписанной в треугольник окружности
    находится на пересечении биссектрис.
  • В треугольник, вписанный в окружность,
    можно вписать окружность, причем только одну.
  • Для треугольника, вписанного в окружность,
    справедлива Теорема Синусов, Теорема Косинусов
    и Теорема Пифагора.
  • Центр описанной около треугольника окружности
    находится на пересечении серединных перпендикуляров.
  • Все вершины треугольника, вписанного
    в окружность, лежат на окружности.
  • Сумма всех углов треугольника — 180 градусов.
  • Площадь треугольника вокруг которого описана окружность, и
    треугольника, в который вписана окружность, можно найти по
    формуле Герона.

Доказательство

Около любого треугольника, можно
описать окружность притом только одну.

окружность и треугольник,
которые изображены на рисунке 2.

окружность описана
около треугольника.

  1. Проведем серединные
    перпендикуляры — HO, FO, EO.
  2. O — точка пересечения серединных
    перпендикуляров равноудалена от
    всех вершин треугольника.
  3. Центр окружности — точка пересечения
    серединных перпендикуляров — около
    треугольника описана окружность — O,
    от центра окружности к вершинам можно
    провести равные отрезки — радиусы — OB, OA, OC.

окружность описана около треугольника,
что и требовалось доказать.

Подводя итог, можно сказать, что треугольник,
вписанный в окружность — это треугольник,
в котором все серединные перпендикуляры
пересекаются в одной точке, и эта точка
равноудалена от всех вершин треугольника.

Окружность, вписанная в треугольник. Теоремы и их рассмотрение

Еще в Древнем Египте появилась наука, с помощью которой можно было измерять объемы, площади и другие величины. Толчком к этому послужило строительство пирамид. Оно предполагало значительное число сложных расчетов. И кроме строительства, было важно правильно измерить землю. Отсюда и появилась наука “геометрия” от греческих слов “геос” – земля и “метрио” – измеряю.

Исследованию геометрических форм способствовало наблюдение астрономических явлений. И уже в 17-м веке до н. э. были найдены начальные способы расчета площади круга, объема шара и главнейшее открытие – теорема Пифагора.

Вам будет интересно: Казахская академия спорта и туризма. Факультеты, структура вуза

Формулировка теоремы об окружности, вписанной в треугольник выглядит следующим способом:

В треугольник можно вписать только одну окружность.

При таком расположении окружность – вписанная, а треугольник – описанный около окружности.

Формулировка теоремы о центре окружности, вписанной в треугольник, выглядит следующим образом:

Центральная точка окружности, вписанной в треугольник, есть точка пересечения биссектрис этого треугольника.

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник

Окружность считается вписанной в треугольник, если она хотя бы одной точкой касается всех его сторон.

На фото ниже показана окружность, находящаяся внутри равнобедренного треугольника. Условие теоремы об окружности, вписанной в треугольник, соблюдено – она касается всех сторон треугольника AB, ВС И СА в точках R, S, Q соответственно.

Одним из свойств равнобедренного треугольника является то, что вписанная окружность точкой касания делит основание пополам (BS = SC), а радиус вписанной окружности составляет треть высоты данного треугольника(SP=AS/3).

Свойства теоремы об окружности, вписанной в треугольник:

  • Отрезки, выходящие из одной вершины треугольника к точкам касания с окружностью, равны. На рисунке AR = AQ, BR = BS, CS = CQ.
  • Радиус окружности (вписанной) – это площадь, деленная на полупериметр треугольника. Как пример, нужно начертить равнобедренный треугольник с теми же буквенными обозначениями, что на картинке, следующих размеров: основание ВС = 3 см, высота AS = 2 см, стороны АВ=ВС, соответственно, получаются по 2,5 см каждая. Проведем из каждого угла биссектрису и место их пересечения обозначим как Р. Впишем окружность с радиусом PS, длину которого нужно найти. Узнать площадь треугольника можно, умножив 1/2 основания на высоту: S = 1/2 * DC * AS = 1/2 * 3 * 2 = 3 см2. Полупериметр треугольника равен 1/2 суммы всех сторон: Р = (АВ + ВС + СА) / 2 = (2,5 + 3 + 2,5) / 2 = 4 см; PS = S/P = 3/4 = 0,75 см2, что полностью соответствует действительности, если измерить линейкой. Соответственно, верно свойство теоремы об окружности, вписанной в треугольник.

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

Для треугольника с прямым углом действуют свойства теоремы об вписанной окружности в треугольник. И, кроме того, добавляется возможность решать задачи с постулатами теоремы Пифагора.

Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник можно определить следующим образом: сложить длины катетов, вычесть значение гипотенузы и получившееся значение разделить на 2.

Есть хорошая формула, которая поможет высчитать площадь треугольника – периметр умножить на радиус вписанной в этот треугольник окружности.

Формулировка теоремы о вписанной окружности

В планиметрии важны теоремы о вписанных и описанных фигурах. Одна из них звучит так:

Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения биссектрис, проведенных из его углов.

На представленном рисунке показано доказательство данной теоремы. Показано равенство углов, и, соответственно, равенство прилегающих треугольников.

Теорема о центре окружности, вписанной в треугольник

Радиусы окружности, вписанной в треугольник, проведенные в точки касания перпендикулярны сторонам треугольника.

Задание «сформулируйте теорему об окружности вписанной в треугольник» не должно застать врасплох, потому что это одни из фундаментальных и простейших знаний в геометрии, которыми необходимо владеть в полной мере для решения многих практических задач в реальной жизни.

[spoiler title=”источники:”]

http://colibrus.ru/treugolnik-vpisannyy-v-okruzhnost/

http://1ku.ru/obrazovanie/16764-okruzhnost-vpisannaya-v-treugolnik-teoremy-i-ix-rassmotrenie/

[/spoiler]

Источник

Содержание

  1. Определение
  2. Формулы
  3. Радиус вписанной окружности в треугольник
  4. Радиус описанной окружности около треугольника
  5. Площадь треугольника
  6. Периметр треугольника
  7. Сторона треугольника
  8. Средняя линия треугольника
  9. Высота треугольника
  10. Свойства
  11. Доказательство

Определение

Треугольник, вписанный в окружность — это треугольник, который
находится внутри окружности и соприкасается с ней всеми тремя вершинами.

На рисунке 1 изображена окружность, описанная около
треугольника и окружность, вписанная в треугольник.

ВD = FC = AE — не диаметры описанной около треугольника окружности.

O — центр вписанной в треугольник окружности.

Треугольник вписанный в окружность

Формулы

Радиус вписанной окружности в треугольник

r — радиус вписанной окружности.

  1. Радиус вписанной окружности в треугольник,
    если известна площадь и все стороны:

    [ r = frac{S}{(a+b+c)/2} ]

  2. Радиус вписанной окружности в треугольник,
    если известны площадь и периметр:

    [ r = frac{S}{frac{1}{2}P} ]

  3. Радиус вписанной окружности в треугольник,
    если известны полупериметр и все стороны:

    [ r = sqrt{frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}} ]

Радиус описанной окружности около треугольника

R — радиус описанной окружности.

  1. Радиус описанной окружности около треугольника,
    если известна одна из сторон и синус противолежащего стороне угла:

    [ R = frac{AC}{2 sin angle B} ]

  2. Радиус описанной окружности около треугольника,
    если известны все стороны и площадь:

    [ R = frac{abc}{4S} ]

  3. Радиус описанной окружности около треугольника,
    если известны     все стороны и полупериметр:

    [ R = frac{abc}{4sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}} ]

Площадь треугольника

S — площадь треугольника.

  1. Площадь треугольника вписанного в окружность,
    если известен полупериметр и радиус вписанной окружности:

    [ S = pr ]

  2. Площадь треугольника вписанного в окружность,
    если известен полупериметр:

    [ S = sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} ]

  3. Площадь треугольника вписанного в окружность,
    если известен высота и основание:

    [ S = frac{1}2 ah ]

  4. Площадь треугольника вписанного в окружность,
    если известна сторона и два прилежащих к ней угла:

    [ S = frac{a^2}{2cdot (sin(α)⋅sin(β)) : sin(180 — (α + β))} ]

  5. Площадь треугольника вписанного в окружность,
    если известны две стороны и синус угла между ними:

    [ S = frac{1}{2}ab cdot sin angle C ]

Периметр треугольника

P — периметр треугольника.

  1.  Периметр треугольника вписанного в окружность,
    если известны все стороны:

    [ P = a + b + c ]

  2. Периметр треугольника вписанного в окружность,
    если известна площадь и радиус вписанной окружности:

    [ P = frac{2S}{r} ]

  3. Периметр треугольника вписанного в окружность,
    если известны две стороны и угол между ними:

    [ P = sqrt{ b2 + с2 — 2 * b * с * cosα} + (b + с) ]

Сторона треугольника

a — сторона треугольника.

  1. Сторона треугольника вписанного в окружность,
    если известны две стороны и косинус угла между ними:

    [ a = sqrt{b^2+c^2 -2bc cdot cos alpha} ]

  2. Сторона треугольника вписанного в
    окружность, если известна сторона и два угла:

    [ a = frac{b · sin alpha }{sin β} ]

Средняя линия треугольника

l — средняя линия треугольника.

  1. Средняя линия треугольника вписанного
    в окружность, если известно основание:

    [ l = frac{AB}{2} ]

  2. Средняя линия треугольника вписанного в окружность,
    если известны две стороны, ни одна из них не является
    основанием, и косинус угла между ними:

    [ l = frac{sqrt{b^2+c^2-2bc cdot cos alpha}}{2} ]

Высота треугольника

h — высота треугольника.

  1. Высота треугольника вписанного в окружность,
    если известна площадь и основание:

    [ h = frac{2S}{a} ]

  2. Высота треугольника вписанного в окружность,
    если известен сторона и синус угла прилежащего
    к этой стороне, и находящегося напротив высоты:

    [ h = b cdot sin alpha ]

  3. Высота треугольника вписанного в окружность,
    если известен радиус описанной окружности и
    две стороны, ни одна из которых не является основанием:

    [ h = frac{bc}{2R} ]

Свойства

  • Центр вписанной в треугольник окружности
    находится на пересечении биссектрис.
  • В треугольник, вписанный в окружность,
    можно вписать окружность, причем только одну.
  • Для треугольника, вписанного в окружность,
    справедлива Теорема Синусов, Теорема Косинусов
    и Теорема Пифагора.
  • Центр описанной около треугольника окружности
    находится на пересечении серединных перпендикуляров.
  • Все вершины треугольника, вписанного
    в окружность, лежат на окружности.
  • Сумма всех углов треугольника — 180 градусов.
  • Площадь треугольника вокруг которого описана окружность, и
    треугольника, в который вписана окружность, можно найти по
    формуле Герона.

Доказательство

Около любого треугольника, можно
описать окружность притом только одну.

около треугольника описана окружность

Дано: окружность и треугольник,
которые изображены на рисунке 2.

Доказать: окружность описана
около треугольника.

Доказательство:

  1.  Проведем серединные
    перпендикуляры — HO, FO, EO.
  2.  O — точка пересечения серединных
    перпендикуляров равноудалена от
    всех вершин треугольника.
  3. Центр окружности — точка пересечения
    серединных перпендикуляров — около
    треугольника описана окружность — O,
    от центра окружности к вершинам можно
    провести равные отрезки — радиусы — OB, OA, OC.

Следовательно: окружность описана около треугольника,
что и требовалось доказать.

Подводя итог, можно сказать, что треугольник,
вписанный в окружность — это треугольник,
в котором все серединные перпендикуляры
пересекаются в одной точке, и эта точка
равноудалена от всех вершин треугольника.

Источник

Окружность, вписанная в треугольник

Определение окружности, вписанной в треугольник

Определение 1. Окружностью, вписанной в треугольник называется окружность, которая находится внутри треугольника и касается всех его сторон (Рис.1).

Можно дать и другое определение окружности, вписанной в треугольник.

Определение 2. Окружностью, вписанной в треугольник называется наибольшая окружность, которая может находится внутри треугольника.

При этом треугольник называется треугольником описанным около окружности. Центр вписанной в треугольник окружности явлется точка пересечения биссектрис треугольника. Центр окружности вписанной в треугольник называется инцентром треугольника.

Теорема об окружности, вписанной в треугольник

Теорема 1. В любой треугольник можно вписать окружность.

Доказательство. Пусть задан произвольный треугольник ABC (Рис.2). Обозначим точкой O точку пересечения биссектрис треугольника. Проведем из точки O перпендикуляры OK, OL и OM к сторонам AB, AC, BC, соответственно. Поскольку точка O равноудалена от сторон треугольника ABC, то OK=OL=OM. Тогда окружность с центром O и радиусом OK проходит через три точки K, L, M. Стороны AB, AC, BC треугольника ABC касаются этой окружности в точках K, L, M, поскольку они перпендикулярны к радиусам OK, OL, OM, соответственно. Следовательно, окружность с центром O и радиусом OK является вписанной в треугольник ABC.

Замечание 1. В любой треугольник можно вписать только одну окружность.

Доказательство. Допустим, что в треугольник можно вписать две окружности. Тогда центр каждой из этих окружностей равноудален от сторон треугольника и совпадает с точкой O пересечения биссектрис треугольника. Радиус этих окружностей равен расстоянию от точки O до сторон треугольника. Поэтому эти окружности совпадают.

Смотрите также:

  • Радиус вписанной в треугольник окружности онлайн
  • Радиус вписанной окружности в равнобедренный треугольник онлайн
  • Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник онлайн
  • Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник онлайн

Источник

Треугольник (чёрный) с вписанной окружностью (синей), инцентр (I), вневписанными окружностями (оранжевые), эксцентры (JA,JB,JC), внутренние биссектрисы (красные) и внешние биссектрисы (зелёные)

Вписанная в треугольник окружность — окружность внутри треугольника, касающаяся всех его сторон; наибольшая окружность, которая может находиться внутри треугольника. Центр этой окружности является точкой пересечения биссектрис треугольника и называется инцентром треугольника.

Вневписанная окружность треугольника — окружность, лежащая вне треугольника и касающаяся одной стороны треугольника и продолжения двух других сторон[en]. Любой треугольник имеет три различные вневписанные окружности, каждая из которых касается своей стороны треугольника.
Центром вневписанной окружности является пересечение биссектрисы одного внутреннего угла[en] и биссектрис двух других внешних углов[en]. Поскольку биссектриса внутреннего угла перпендикулярна биссектрисе смежного внешнего угла, центр вписанной окружности вместе с тремя центрами вневписанных окружностей образуют ортоцентричную систему[en][1].

Не все многоугольники с числом сторон более трёх имеют вписанную окружность. Те, которые имеют, называются описанными.

Связь с площадью треугольника[править | править код]

Радиусы вписанных и вневписанных окружностей имеют тесную связь с площадью треугольника[2].

Вписанная окружность[править | править код]

Вики вписанная окружность7.png

Пусть triangle ABC имеет вписанную окружность радиуса r с центром I.
Пусть a — длина BC, b — длина AC, а c — длина AB.
Пусть вписанная окружность касается AB в некоторой точке C′, тогда
angle AC'I является прямым.
Тогда радиус C’I будет высотой треугольника
triangle IAB.
Таким образом,
triangle IAB
имеет основание длины c и высоту r, а следовательно, его площадь равна
{tfrac {1}{2}}cr.
Подобным же образом
triangle IAC
имеет площадь
{tfrac {1}{2}}br
и
triangle IBC
имеет площадь {tfrac {1}{2}}ar.
Поскольку эти три треугольника разбивают triangle ABC, получаем, что

{displaystyle Delta ={frac {1}{2}}(a+b+c)r=pr,}

где Delta  — площадь triangle ABC, а {displaystyle p={frac {1}{2}}(a+b+c)} — его полупериметр.

Чтобы получить альтернативную формулу, рассмотрим triangle IC'A. Это прямоугольный треугольник, у которого один из катетов равен r, а другой равен {displaystyle rcdot mathrm {ctg} {frac {angle A}{2}}}. То же самое верно для triangle IB'A. Весь треугольник состоит из 6 таких треугольников, и общая площадь составляет:

{displaystyle Delta =r^{2}cdot (mathrm {ctg} {frac {angle A}{2}}+mathrm {ctg} {frac {angle B}{2}}+mathrm {ctg} {frac {angle C}{2}})}

Вневписанные окружности[править | править код]

Пусть вневписанная окружность, касающаяся стороны AB, касается продолжения стороны AC в точке G, и пусть радиус этой окружности равен r_{c}, а её центр — I_{c}. Тогда I_{c}G является высотой треугольника triangle ACI_{c},
так что triangle ACI_{c} имеет площадь {tfrac {1}{2}}br_{c}. По тем же причинам
triangle BCI_{c}
имеет площадь
{tfrac {1}{2}}ar_{c},
а triangle ABI_{c}
имеет площадь
{tfrac {1}{2}}cr_{c}.
Тогда

{displaystyle Delta ={frac {1}{2}}(a+b-c)r_{c}=(p-c)r_{c}}.

Таким образом, ввиду симметрии,

{displaystyle Delta =pr=(p-a)r_{a}=(p-b)r_{b}=(p-c)r_{c}}.

По теореме косинусов получаем

cos A={frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}

Комбинируя это с тождеством sin ^{2}A+cos ^{2}A=1, получим

sin A={frac {sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2}}}{2bc}}

Но Delta ={tfrac {1}{2}}bcsin A, так что

{displaystyle {begin{aligned}Delta &={frac {1}{4}}{sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2}}}\&={frac {1}{4}}{sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}\&={sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}},end{aligned}}}

и это формула Герона вычисления площади треугольника по его сторонам.

Комбинируя формулу Герона с {displaystyle pr=Delta }, получим

{displaystyle r^{2}={frac {Delta ^{2}}{p^{2}}}={frac {(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}}.

Аналогично, {displaystyle (p-a)r_{a}=Delta } даёт

{displaystyle r_{a}^{2}={frac {p(p-b)(p-c)}{p-a}}}.

Из этих формул видно, что вневписанные окружности всегда больше вписанной и наибольшая окружность соответствует самой длинной стороне, а самая наименьшая из вневписанных окружностей соответствует самой маленькой стороне. Дальнейшее комбинирование формул приводит к:[3]

Delta ={sqrt {rr_{a}r_{b}r_{c}}}.

Отношение площади вписанной окружности к площади треугольника меньше или равно {frac {pi }{3{sqrt {3}}}}, и равенство достигается только на правильных треугольниках[4].

Связанные построения[править | править код]

Окружность девяти точек и точка Фейербаха[править | править код]

  • Теорема Эйлера об окружности Эйлера. Середины отрезков высот от ортоцентра до вершин треугольника называются точками Эйлера. Основания медиан, основания высот и точки Эйлера лежат на одной окружности, называемой окружностью девяти точек[5].
  • Теорема Фейербаха. Окружность девяти точек касается всех трёх вневписанных окружностей, а также вписанной окружности в четырёх разных точках. Одна из них – точка касания окружности Эйлера и вписанной окружности известна как точка Фейербаха.

Треугольник и точка Жергонна[править | править код]

Треугольник ΔABC с вписанной окружностью (синяя), и её центр (синий, I), треугольник точек касания (красный, ΔTaTbTc) и точка Жергонна (зелёная, Ge)

Треугольник Жергонна (для треугольника ABC) определяется тремя точками касания вписанной окружности на трёх сторонах.
Эти вершины обозначим TA, и т. д..
Точка TA лежит напротив вершины A.

Этот треугольник Жергонна TATBTC известен также как треугольник касаний треугольника ABC.

Три прямые ATA, BTB и CTC пересекаются в одной точке — точке Жергонна и обозначается Ge — X(7). Точка Жергонна лежит внутри открытого ортоцентроидного круга[en] с выколотым центром[6].

Интересно, что точка Жергонна треугольника является точкой пересечения симедиан треугольника Жергонна. Полный набор свойств точки Жергонна можно найти в статье Декова[7].

Трилинейные координаты вершин треугольника касаний задаются формулами

  • вершина A=0:sec ^{2}left({frac {B}{2}}right):sec ^{2}left({frac {C}{2}}right)
  • вершина B=sec ^{2}left({frac {A}{2}}right):0:sec ^{2}left({frac {C}{2}}right)
  • вершина C=sec ^{2}left({frac {A}{2}}right):sec ^{2}left({frac {B}{2}}right):0

Трилинейные координаты точки Жергонна

sec ^{2}left({frac {A}{2}}right):sec ^{2}left({frac {B}{2}}right):sec ^{2}left({frac {C}{2}}right),

или, эквивалентно, по теореме синусов,

{frac {bc}{b+c-a}}:{frac {ca}{c+a-b}}:{frac {ab}{a+b-c}}.

Точка Жергонна является изотомическим сопряжением точки Нагеля.

Треугольник и точка Нагеля[править | править код]

Треугольник Нагеля (см. рис. выше) для треугольника ABC определяется вершинами TA, TB и TC, которые являются точками касания вневписанных окружностей треугольника ABC и точка XA противоположна стороне A, и т. д. Описанная вокруг треугольника TATBTC окружность называется окружностью Мандарта (частный случай эллипса Мандарта). Три прямые ATA, BTB и CTC делят периметр пополам и пересекаются в одной точке Нагеля Na — X(8).

Трилинейные координаты точек касания треугольника вневписанными окружностями задаются формулами

  • вершина A=0:csc ^{2}left({frac {B}{2}}right):csc ^{2}left({frac {C}{2}}right)
  • вершина B=csc ^{2}left({frac {A}{2}}right):0:csc ^{2}left({frac {C}{2}}right)
  • вершина C=csc ^{2}left({frac {A}{2}}right):csc ^{2}left({frac {B}{2}}right):0

Трилинейные координаты точки Нагеля задаются формулами

csc ^{2}left({frac {A}{2}}right):csc ^{2}left({frac {B}{2}}right):csc ^{2}left({frac {C}{2}}right),

или, эквивалентно, по теореме синусов,

{frac {b+c-a}{a}}:{frac {c+a-b}{b}}:{frac {a+b-c}{c}}.

Точка Нагеля является изотомическим сопряжением точки Жергонна.

Трилинейные координаты вписанных треугольников[править | править код]

Трилинейные координаты вершин треугольника, образованного основаниями биссектрис, задаются формулами

  • вершина A=0:1:1
  • вершина B=1:0:1
  • вершина C=1:1:0

Трилинейные координаты треугольника, образованного точками касания сторон внеописанными окружностями, задаются формулами

  • вершина A=-1:1:1
  • вершина B=1:-1:1
  • вершина C=1:-1:-1

Уравнения окружностей[править | править код]

Пусть x : y : z — координаты точки в трилинейных координатах, и пусть u = cos2(A/2), v = cos2(B/2), w = cos2(C/2). Четыре окружности, описанные выше, можно задать любым из двух указанных способов[8]:

  • Вписанная окружность:
u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}-2vwyz-2wuzx-2uvxy=0
pm {sqrt {x}}cos {frac {A}{2}}pm {sqrt {y}}cos {frac {B}{2}}pm {sqrt {z}}cos {frac {C}{2}}=0
  • A-внешневписанная:
u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}-2vwyz+2wuzx+2uvxy=0
pm {sqrt {-x}}cos {frac {A}{2}}pm {sqrt {y}}cos {frac {B}{2}}pm {sqrt {z}}cos {frac {C}{2}}=0
  • B-внешневписанная:
u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}+2vwyz-2wuzx+2uvxy=0
pm {sqrt {x}}cos {frac {A}{2}}pm {sqrt {-y}}cos {frac {B}{2}}pm {sqrt {z}}cos {frac {C}{2}}=0
  • C-внешневписанная:
u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}+2vwyz+2wuzx-2uvxy=0
pm {sqrt {x}}cos {frac {A}{2}}pm {sqrt {y}}cos {frac {B}{2}}pm {sqrt {-z}}cos {frac {C}{2}}=0

Другие свойства вписанной окружности[править | править код]

Некоторые формулы с радиусом вписанной окружности[править | править код]

  • Радиус вписанной окружности не больше одной девятой суммы высот треугольника[9].
  • Неравенство Эйлера: радиус вписанной окружности не превосходит половины радиуса описанной окружности и равенство имеет место лишь для равностороннего треугольника[10].
  • Предположим, что точки касания вписанной окружности делят стороны на отрезки длиной x и y, y и z, z и x. Тогда вписанная окружность имеет радиус[11]
r={sqrt {frac {xyz}{x+y+z}}}

и площадь треугольника равна

K={sqrt {xyz(x+y+z)}}.
  • Если высоты, опущенные на стороны a, b и c есть ha, hb и hc, то радиус вписанной окружности r равен одной трети гармонического среднего этих высот, то есть
r={frac {1}{h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1}}}.
  • Произведение радиуса вписанной окружности r и радиуса описанной окружности R треугольника со сторонами a, b и c равен[1]
rR={frac {abc}{2(a+b+c)}}.
  • Некоторые связи сторон, радиусов вписанной окружности и описанной окружностей[12]:
ab+bc+ca=s^{2}+(4R+r)r,
a^{2}+b^{2}+c^{2}=2s^{2}-2(4R+r)r.
  • Любая прямая, проходящая через треугольник и делящая площадь треугольника и периметр пополам, проходит через центр вписанной окружности. Таких прямых может существовать три, две или одна[13].
  • Перпендикуляры, восставленные к сторонам треугольника в точках касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке. Эта точка симметрична центру вписанной окружности относительно центра описанной окружности[14].

Формулы для расстояний до центра вписанной или вневписанной окружностей[править | править код]

Теорема Эйлера[править | править код]

Теорема Эйлера утверждает, что в треугольнике[10]:

(R-r_{in})^{2}=d^{2}+r_{in}^{2},

где R и rin являются радиусами описанной и вписанной окружностей соответственно, а d — расстояние между центрами этих окружностей.

Для вневписанных окружностей уравнение выглядит похоже:

(R+r_{ex})^{2}=d^{2}+r_{ex}^{2},

где rex — радиус одной из вневписанных окружностей, а d — расстояние между центрами описанной и вневписанной окружностей[15][16][17]

  • Возводя в квадрат и приводя подобные из первой формулы Эйлера выше имеем:

Квадрат расстояния от центра вписанной окружности I до центра описанной O задаётся уравнением[18]

OI^{2}=d^{2}=R(R-2r_{in}),
{displaystyle OI^{2}={frac {abc,}{a+b+c}}left[{frac {abc,}{(a+b-c),(a-b+c),(-a+b+c)}}-1right]}

Аналогично для второй формулы:

d^{2}=R(R+2r_{ex}).

Другие формулы для расстояний до центра вписанной или вневписанной окружностей[править | править код]

  • Расстояние от центра вписанной окружности до центра N окружности девяти точек равно[18]
IN={frac {1}{2}}(R-2r)<{frac {1}{2}}R.
  • Расстояние от вершины до точек касания вписанной окружности на прилегающих сторонах равно полусумме длин прилегающих сторон минус половина противолежащей стороны[19]. Так, для вершины B и прилежащих точек касания TA и TC,
BT_{A}=BT_{C}={frac {BC+AB-AC}{2}}.
  • Если обозначить центр вписанной окружности треугольника ABC буквой I, мы получим[20]
{frac {IAcdot IA}{CAcdot AB}}+{frac {IBcdot IB}{ABcdot BC}}+{frac {ICcdot IC}{BCcdot CA}}=1

и[21]

IAcdot IBcdot IC=4Rr^{2}.
  • Теорема Мансиона (составная часть Теоремы о трезубце). Середины трёх отрезков, соединяющих центр вписанной окружности с центрами вневписанных окружностей лежат на описанной окружности[10].

  • Теорема Харкорта. Пусть треугольник задан своими вершинами A, B и C, противоположные вершинам стороны имеют длины a, b и c, площадь равна K и прямая касается вписанной в треугольник окружности в произвольной точке. Обозначим расстояния от вершин треугольника до прямой через a ‘, b ‘ и c ‘, при этом, если вершина и центр окружности лежат по разные стороны от прямой, расстояние считается отрицательным. Тогда
aa^{prime }+bb^{prime }+cc^{prime }=2K..

Другие свойства вневписанных окружностей[править | править код]

  • Следующее отношение выполняется для радиуса r вписанной окружности, радиуса R описанной окружности, полупериметра s и радиусов вневписанных окружностей ra, rb, rc[12]:
r_{a}+r_{b}+r_{c}=4R+r,
r_{a}r_{b}+r_{b}r_{c}+r_{c}r_{a}=s^{2},
r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}=(4R+r)^{2}-2s^{2},
  • Окружность, проходящая через центры вневписанных окружностей, имеет радиус 2R[12].
  • Если H — ортоцентр треугольника ABC, то[12]
r_{a}+r_{b}+r_{c}+r=AH+BH+CH+2R,
r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}+r^{2}=AH^{2}+BH^{2}+CH^{2}+(2R)^{2}.
  • Вершины A, B и C треугольника ABC являются основаниями высот треугольника JAJB,JC,

где JAJB,JC — центры вневписанных окружностей[10].

  • Перпендикуляры, восставленные к сторонам треугольника в точках касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке. Эта точка симметрична центру вписанной окружности относительно центра описанной окружности[14].
  • Центр Шпикера треугольника является радикальным центром его вневписанных окружностей[22]. Если из центра Шпикера треугольника провести 6 касательных к 3 вневписанным окружностям треугольника, то все их длины будут равны между собой.

Окружность Аполлония[править | править код]

Определение окружности Аполлония[править | править код]

Точка Аполлония и окружность Аполлония

Пусть дан треугольник ABC. Пусть вневписанные окружности треугольника ABC, противоположные вершинам A, B и C, есть соответственно EA, EB, EC (см. рисунок). Тогда окружность Аполлония E (на рис. справа показана зеленым цветом) касается внутренним образом сразу трех вневписанных окружностей треугольника ABC в точках соответственно EA, EB и EC (см. рисунок)[23].

Радиус окружности Аполлония[править | править код]

Радиус окружности Аполлония равен {frac {r^{2}+s^{2}}{4r}}, где r — радиус вписанной окружности и s — полупериметр треугольника[24].

Определение точки Аполлония Ap[править | править код]

  • Точка Аполлония Ap в Энциклопедии центров треугольника у Кларка Кимберлинга (Encyclopedia of Triangle Centers (ETC)) именуется как центр треугольника под именем X(181).
  • Точка Аполлония Ap или X(181) определяется следующим образом:

Пусть A’ , B’ и C’ есть точки касания окружности Аполлония E с соответствтвующими вневписанными окружностями. Тогда прямые AA’ , BB’ и CC’ пересекаются в одной точке Ap, которую называют точкой Аполлония треугольника ABC.

Изогональное сопряжение[править | править код]

Изогональное сопряжение имеет ровно четыре неподвижные точки (то есть точки, которые сопряжены самим себе): центр вписанной окружности и центры вневписанных окружностей треугольника[25].

Ортоцентр треугольника изогонально сопряжён центру описанной окружности этого треугольника[25].

Обобщение на другие многоугольники[править | править код]

  • Некоторые (но не все) четырёхугольники имеют вписанную окружность. Они называются описанными четырёхугольниками. Среди свойств этих четырёхугольников наиболее важным является то, что суммы противоположных сторон равны. Это утверждение называется теоремой Пито.
  • Некоторые (но не все) четырёхугольники имеют вневписанную окружность. Они называются внеописанными четырёхугольниками. Среди свойств этих четырёхугольников наиболее важное свойство отмечает теорема Уркхарта. Она утверждает:
  • Если противоположные стороны выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точках E и F, то
{displaystyle AB+BC=AD+DCquad Leftrightarrow quad AE+EC=AF+FC.}

См. также[править | править код]

  • Вневписанная окружность
  • Внеописанный четырёхугольник
  • Вписанная окружность
  • Вписанные и описанные фигуры для треугольника
  • Вписанное коническое сечение[en]
  • Вписанная сфера
  • Высота треугольника
  • Замечательные точки треугольника
  • Инцентр или Центр вписанной окружности
  • Окружность
  • Описанная окружность
  • Описанный четырёхугольник
  • Ортоцентр
  • Степень точки относительно окружности
  • Теорема Мансиона
  • Теорема о трезубце
  • Теорема Тебо 2 и 3
  • Теорема Харкорта
  • Точки Аполлония
  • Степень точки относительно окружности
  • Центр Шпикера
  • Центроид
  • Центроид треугольника
  • Эллипс Мандарта
  • Эллипс Штейнера

Примечания[править | править код]

  1. ↑ 1 2 Roger A. Johnson. Advanced Euclidean Geometry. — Dover, 2007 (оригинал — 1929).. — С. 189, #298(d).
  2. ↑ H.S.M. Coxeter. Introduction to Geometry. — 2. — Wiley, 1961..
  3. ↑ Marcus Baker. A collection of formulae for the area of a plane triangle. — January 1885. — Т. part 1, vol. 1(6). — С. 134-138.. См. также часть 2 в томе. 2(1), Сентябрь 1885, 11-18.)
  4. ↑ D. Minda, S. Phelps. Triangles, ellipses, and cubic polynomials // American Mathematical Monthly. — October 2008. — Вып. 115. — С. 679-689: Theorem 4.1..
  5. ↑ С. И. Зетель. Новая геометрия треугольника. — Москва: УЧПЕДГИЗ, 1962. — С. 52-53 Глава III.
  6. ↑ Christopher J. Bradley, Geoff C. Smith. The locations of triangle centers // Forum Geometricorum. — 2006. — Вып. 6. — С. 57-70..
  7. ↑ Deko Dekov. Computer-generated Mathematics : The Gergonne Point // Journal of Computer-generated Euclidean Geometry. — 2009. — Т. 1. — С. 1–14.. Архивировано 5 ноября 2010 года.
  8. ↑ William Allen Whitworth. Trilinear Coordinates and Other Methods of Modern Analytical Geometry of Two Dimensions. — 2012. — С. 210-215. — (Forgotten Books).
  9. ↑ Alfred S. Posamentier, Ingmar Lehmann. The Secrets of Triangles. — Prometheus Books, 2012. — С. 289.
  10. ↑ 1 2 3 4 А. Д. Куланин, С. Н. Федин. Геометрия треугольника в задачах. — М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. — ISBN 978-5-397-00786-3.
  11. ↑ Thomas Chu. The Pentagon. — Spring, 2005. — С. 45, задача 584..
  12. ↑ 1 2 3 4 Amy Bell. Hansen’s right triangle theorem, its converse and a generalization // Forum Geometricorum. — 2006. — Вып. 6. — С. 335–342.
  13. ↑ Dimitrios Kodokostas. Triangle Equalizers // Mathematics Magazine. — 2010. — Вып. 83, April. — С. 141-146..
  14. ↑ 1 2 Мякишев, 2002, с. 11, п. 5.
  15. ↑ Roger Nelson. Euler’s triangle inequality via proof without words // Mathematics Magazine. — February 2008. — Вып. 81(1). — С. 58-61.
  16. ↑ R. A. Johnson. Modern Geometry. — Boston: Houghton Mifflin, 1929. — С. 187.
  17. ↑ Lev Emelyanov, Tatiana Emelyanova. Euler’s formula and Poncelet’s porism // Forum Geometricorum. — 2001. — Вып. 1. — С. 137–140..
  18. ↑ 1 2 3 William N. Franzsen. The distance from the incenter to the Euler line // Forum Geometricorum. — 2011. — Т. 11. — С. 231–236..
  19. ↑ Mathematical Gazette, July 2003, 323—324.
  20. ↑ Patricia R. Allaire, Junmin Zhou, Haishen Yao. Proving a nineteenth century ellipse identity // Mathematical Gazette. — 2012. — Вып. 96, March. — С. 161-165..
  21. ↑ Nathan Altshiller-Court. College Geometry. — Dover Publications, 1980. — С. 121,#84.
  22. ↑ Odenhal, 2010, с. 35—40.
  23. ↑ Darij Grinberg, Paul Yiu. The Apollonius Circle as a Tucker Circle // Forum Geometricorum. — 2002. — Вып. 2. — С. 175-182.
  24. ↑ Milorad R. Stevanovi´c. The Apollonius circle and related triangle centers // Forum Geometricorum. — 2003. — Вып. 3. — С. 187-195..
  25. ↑ 1 2 В. В. Прасолов. Точки Брокара и изогональное сопряжение. — М.: МЦНПО, 2000. — (Библиотека «Математическое просвещение»). — ISBN 5-900916-49-9.

Литература[править | править код]

  • Мякишев А.Г. Элементы геометрии треугольника. — М.: МЦНМО, 2002.
  • Clark Kimberling. Triangle Centers and Central Triangles // Congressus Numerantium. — 1998. — Вып. 129. — С. i-xxv, 1-295.
  • Sándor Kiss. The Orthic-of-Intouch and Intouch-of-Orthic Triangles // Congressus Numerantium. — 2006. — Вып. 6. — С. 171—177.
  • Boris Odenhal. Some triangle centers associated with the circles tangent to the excircles // Forum Geometricorum. — 2010. — Т. 10.

Ссылки[править | править код]

  • Derivation of formula for radius of incircle of a triangle
  • Weisstein, Eric W. Incircle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Сайты с интерактивным содержанием[править | править код]

  • Triangle incenter Triangle incircle Incircle of a regular polygon With interactive animations
  • Constructing a triangle’s incenter / incircle with compass and straightedge An interactive animated demonstration
  • Equal Incircles Theorem at cut-the-knot
  • Five Incircles Theorem at cut-the-knot
  • Pairs of Incircles in a Quadrilateral at cut-the-knot
  • An interactive Java applet for the incenter
Источник

Здравствуйте, уважаемые читатели. Продолжаем разбор заданий с окружностью. В этой статье рассмотрим третью тему.

1. Центральные и вписанные углы.

2.Касательная, хорда, секущая.

3.Вписанная и описанная окружность (треугольник)

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон. Радиус вписанной окружности обозначается маленькой буквой r

При решении задач, будем вспоминать необходимую теорию непосредственно в решении.

Задача №1

Условие задачи №1
Условие задачи №1

Площадь треугольника, в который вписана окружность, равна произведению полупериметра треугольника на радиус окружности.

Вписанная и описанная окружность . Задание №16 ОГЭ

Полупериметр – это периметр треугольника, деленный пополам.

В некоторых задачах, даны лишние данные. В этой задаче лишним является длина стороны, которая равна 18. Полупериметр равен 48:2=24, радиус равен 3. Подставим все в формулу, получим:

Вписанная и описанная окружность . Задание №16 ОГЭ

Задача №2

Вписанная и описанная окружность . Задание №16 ОГЭ

Решим задачу двумя способами:

Способ №1

Для решения этой задачи, воспользуемся формулой площади треугольника через радиус вписанной окружности

Вписанная и описанная окружность . Задание №16 ОГЭ

В этой формуле нам известен радиус. Нужно найти полупериметр. Поскольку треугольник равносторонний, то пусть стороны треугольника равны а

Вписанная и описанная окружность . Задание №16 ОГЭ

Подставим все в нашу формулу:

Вписанная и описанная окружность . Задание №16 ОГЭ

С другой стороны, площадь треугольника равна половина произведения высоты на сторону, к которой проведена эта высота

Вписанная и описанная окружность . Задание №16 ОГЭ

Не важно по какой формуле вычислять площадь треугольника, она будет одинаковой, поэтому приравняем эти формулы и найдем высоту треугольника:

Вписанная и описанная окружность . Задание №16 ОГЭ

Способ №2

Формулу радиуса окружности, вписанной в равносторонний или правильный треугольник, вы можете взять в справочных материалах, которые выдаются на экзамене, и по этой формуле вычислить сторону равностороннего треугольника:

Вписанная и описанная окружность . Задание №16 ОГЭ

Так как треугольник по условию задачи равносторонний, то высота является медианой.

ВН - высота и медиана в равностороннем треугольнике. АН=НС
ВН – высота и медиана в равностороннем треугольнике. АН=НС

Поскольку треугольник ВНС – прямоугольный, то ВН найдем по теореме Пифагора.

Вписанная и описанная окружность . Задание №16 ОГЭ

Задание №3

Вписанная и описанная окружность . Задание №16 ОГЭ

Окружность называется описанной около треугольника, если все вершины треугольника лежат на окружности. Радиус описанной окружности обозначается большой буквой R

Найдем сторону равностороннего треугольника, через формулу радиуса описанной около равностороннего треугольника окружности. Возьмем эту формулу из справочного материала, выдаваемый на экзамене:

Вписанная и описанная окружность . Задание №16 ОГЭ

Так как треугольник, вписанный в окружность, равносторонний, то высота треугольника является и медианой. Значит АН=НС

Вписанная и описанная окружность . Задание №16 ОГЭ

По теореме Пифагора найдем высоту треугольника:

Вписанная и описанная окружность . Задание №16 ОГЭ

Высоту равностороннего треугольника, можно найти и по формуле:

Вписанная и описанная окружность . Задание №16 ОГЭ

Но этой формулы в справочнике на экзамене нет, поэтому теорема Пифагора – универсальный способ.

Спасибо что дочитали. Вы меня очень поддержите, если поставите лайк и подпишитесь на мой блог.

Вписанная и описанная окружность . Задание №16 ОГЭ
Источник

Добавить комментарий