Как найти дугу меридиана от параллели

Длина дуги меридиана от экватора до точки

Длина дуги (Х)
меридиана от экватора (В=0⁰)
до точки (или до параллели) с широтой
(В)
вычисляется по формуле:

(4.1)

где

Задание 4.2
Вычислить длины дуг меридиана от
экватора до точек с широтами B₁
= 31°00′
(широта нижней рамки трапеции) и B₂
= 31°20′
(широта верхней рамки трапеции).

Для рассматриваемого
примера имеем:

Х_o^B1
= 3431035,2629

Х_o^B2
= 3467993,3550

Для контроля длины
дуг меридиана от экватора до точек с
широтами B₁,
и B₂
можно также вычислить по формуле:

(4.2)

где:

Для рассматриваемого
примера имеем:

Х_o^B1
= 3431035,2689

Х_o^B2
= 3467993,3605

Лабораторная работа № 5 Вычисление размеров съёмочной трапеции.

Длина дуги (ΔX)
меридиана между параллелями с широтами
В₁
и В₂
вычисляется по формуле:

(5.1)

где ΔB=В₂-В₁
– приращение
широты (в угловых секундах);

– средняя широта;
ρ”
= 206264,8” – количество секунд в радиане;
М₁,
М₂
и
М_m
– радиусы
кривизны меридиана в точках с широтами
В₁,
В₂
и
В_m.

Задание 5.1 Вычислить
радиусы кривизны меридиана, первого
вертикала и средний радиус кривизны
для точек с широтами
B₁
=
31°00′ (широта нижней рамки трапеции), B₂
=
31°20′ (широта верхней рамки трапеции) и
и B_m,=
(B₁
+ B₂)/2
(средняя
широта трапеции)

Для рассматриваемого
примера имеем:

Задание 5.2 Вычислить
длину дуги меридиана между точками с
широтами
B₁
=
31°00′ (широта нижней рамки трапеции), B₂
=
31°20′ (широта верхней рамки трапеции) на
местности и на карте масштаба 1 : 100 000 .

Решение.

Вычисление длины
дуги меридиана между точками
с геодезическими широтами B₁,
и B₂
по формуле 5.1даёт
результат на местности:

ΔХ
= 36958,092 м.,

на
карте масштаба 1:100 000 :

ΔХ
= 36958,09210м. : 100000 = 0,3695809210м. ≈ 369,58мм.

Для контроля длину
дуги меридиана ΔХ
между точками
с геодезическими широтами B₁,
и B₂
можно вычислить по формуле:

ΔХ = Х_o
^B2
–Х_o
^B1

(5.2)

где Х₀^В1
и Х₀^В2
– длины дуги меридиана от экватора до
параллелей с широтами В₁
и В₂
что даёт результат на местности:

ΔХ = 3467993,3550 –
3431035,2629 = 36958,0921м.,

на карте масштаба
1:100000 :

ΔХ = 36957,6715 м.м. :
100000 = 0,369575715м. ≈ 369,58мм.

Длина дуги параллели

Длина дуги параллели
вычисляется по формуле:

(5.3)

где N
– радиус кривизны первого вертикала в
точке с широтой В;

ΔL=L₂
– L₁
– разность
долгот двух меридианов (в угловых
секундах);

ρ” = 206264,8” –
количество секунд в радиане.

Задание 5.3 Вычислить
длины дуг параллелей на
геодезических широтах B₁=31°00′
и B₂=31°20′
между меридианами с долготами L₁=66°00′
и L₂=66°30′.

Решение.

Вычисление длины
дуги параллели на
геодезических широтах B₁,
и B₂
между точками
с долготами L₁‘
и L₂
по формуле
5.3 даёт результат на местности:

ΔУ_Н
= 47 752,934 м., ΔУ_В
= 47 586,020 м.

на
карте масштаба 1:100 000 :

ΔУ_Н
= 47 752,934м. : 100000 = 0, 47752934 м. ≈ 477,53мм.

ΔУ_В
= 47 586,020м. : 100000 = 0, 47586020м м. ≈ 475,86мм.

Вычисление
площади съемочной трапеции.

Площадь съемочной
трапеции вычисляется по
формуле:

(5.4)

Задание 5.4 Вычислить
площадь съёмочной трапеции ограниченной
параллелями с широтами
B₁=31°00′
и B₂=31°20′
и меридианами с долготами L₁=66°00′
и L₂=66°30′.

Решение

Вычисление
площади съёмочной трапеции по формуле
5.4 даёт результат:

Р = 1761777864,9 м².
= 176177,7865 га. = 1761,778 км².

Для грубого
контроля
площадь съемочной
трапеции можно вычислить по
приближённой формуле:

(5.5)

Вычисление
диагонали съемочной трапеции.

Диагональ
съемочной трапециивычисляют
по формуле:

(5.6)

где:

d
– длина диагонали трапеции,

ΔY_Н
– длина
дуги параллели нижней рамки, ΔY_В–
длина дуги параллели верхней рамки
трапеции,

ΔХ
– длина
дуги меридиана левой (правой) рамки.

Задание 5.4 Вычислить
диагональ съёмочной трапеции ограниченной
параллелями с широтами
B₁=31°00′
и B₂=31°20′
и меридианами с долготами L₁=66°00′
и L₂=66°30′.

Решение

Соседние файлы в папке литература ВГ

• #
• #

Подборка по базе: КР ЛА Прыжок в длину способом %22согнув ноги%22 у женщин.docx, Практическая работа по теме Вычисление интегралов.pdf, № 10 – Зайка – длиные уши.docx, Самостоятельная работа по математике _Окружность. Круг. Длина ок, 5. Длинноволосая звезда.docx, метрические единицы длины.doc, контр раб по геом 9Б кл Длина окр и площад круга.docx, конспект урока математики в 1 классе Дециметр – единица длины.do, Практическая работа №4 Вычисление проиводных.docx, ТЕОРИЯ ДЛИННЫХ ЦИКЛОВ.pptx

Задание № 1: Вычисление длин дуг меридианов и параллелей

1. Определить длины рамок (меридиан и параллели) трапеций масштаба 1:100000

Определение исходных данных для задачи:

1. Параметры эллипсоида в таблице № 1 приложения 1.

2. Широтный пояс трапеции масштаба 1: 1000000 выбирается по номеру десятка из номера учетного шифра (разделить номер на 10 и округлить вверх) в таблице № 3 приложения 1;

3. Номер номенклатуры листа масштаба 1:100000 – номер пояса выбираем по номеру единиц в номере учетного шифра (например, в номере 23 единицы – 3) в таблице № 2 приложения 1.

4. Номер зоны для листа трапеции масштаба 1:1000000 – 7.

Длины дуг меридианов и параллелей
Вычисление длины дуги меридиана (от экватора) выполняют степенными функциями,

;

(1)

Коэффициенты, являющиеся постоянными величинами имеют вид:

; ; ; ; ;	(2)
; ; ; ;	(3)

где – – квадрат первого эксцентриситета; а — большая или экваториальная полуось эллипсоида, b — малая или полярная полуось.

Параллель представляет собой окружность радиуса . Поэтому длину дуги параллели на широте В между меридианами и найдем по формуле

.

(4)

Примечание: разности долгот дуг параллелей на разных широтах, будут иметь разную длину, так как радиус параллели зависит от широты.

Приложение

Таблица 1 Параметры эллипсоидов №1 и №2

С помощью карты можно определять расстояние между точками на земной поверхности, но точность таких вычислений невысока.

Ситуация относительно проста, если точки лежат на одном меридиане. Все меридианы имеют одинаковую длину. Можно подсчитать, что одному градусу широты соответствует примерно 111,3 км реальной длины. Поэтому надо найти разницу в долготе между точками и умножить ее на 111,3 км. Например, если точка А находится на северной широте 50°, а Б располагается на северной широте 32°, и при этом у них совпадает долгота, то расстояние между ними составит.

111,3х(50° – 32°) = 111,3х16 = 1780,8 км

Ситуация меняется, когда одна точка имеет северную, а другая – южную широту. В этом случае широты уже надо складывать. Так, если бы точка Б из предыдущего примера располагалась бы на южной широте 32°, то расстояние от А до Б составило бы:

111,3х(50° + 32°) = 111,3х82 = 9126,6 км

Ситуация усложняется, когда точки находятся на разных меридианах, но на одной параллели. Если у обеих точек долгота западная (или, наоборот, восточная), то сначала надо найти разницу их долгот. Если же одна точка имеет восточную, а другая западную долготу, то их надо суммировать. Далее результат надо умножить на длину 1° параллели. Эта длина у параллелей различна и зависит от их широты. Можно воспользоваться таблицей ниже:

Например, нужно найти расстояние между точками, имеющими координаты:

А – 60° с. ш, 39° з. д.
Б – 60° с. ш, 25° з. д.

Широты у них одинаковы, поэтому смотрим на долготу. Она у обеих точек западная, поэтому надо найти их разницу:

39° – 25° = 14°

Полученный результат надо умножить на длину 1° параллели, широта которой составляет 60°. По табличке определяем, что на широте 60° дуга в 1° имеет длину 55,8 км. Перемножаем два числа:

14°х 55,8 км = 781,2 км

Список использованных источников

• https://www.yaklass.ru/p/geografiya/5-klass/izobrazheniia-zemnoi-poverkhnosti-i-ikh-ispolzovanie-131512/geograficheskie-koordinaty-161116/re-d77ff3cc-0858-4fd8-aabd-69f1fdffb41d
• https://interneturok.ru/lesson/geografy/5-klass/plan-i-karta/gradusnaya-setka-geograficheskaya-dolgota-i-shirota

Есть у нас калькулятор, вычисляющий длину дуги меридиана в зависимости от широты, а точнее, длину дуги меридиана размером в одну минуту, более известной как морская миля. Для полноты решил написать калькулятор, рассчитывающий размер длины дуги параллели в зависимости от широты. Из достаточно очевидных соображений, чем больше широта, то есть, чем ближе мы к тому или иному полюсу, тем меньше размер дуги, скажем, в 1 градус, в метрах. Калькулятор ниже и считает размер этой дуги на заданной широте по заданному угловому размеру дуги. Для справки, на экваторе размер дуги параллели в один градус будет максимальным (широта равна нулю) и составит 111 км 319 метров (приближенно). Как это считается, описано под калькулятором.

Длина дуги параллели

Расчет достаточно простой, и выполняется из общих геометрических соображений. Землю мы конечно приближенно представляем сферой (хотя она геоид).
Чтобы найти длину дуги окружности по углу дуги α, достаточно радиус окружности r умножить на угол дуги в радианах

Для длины дуги в 360 градусов, или 2π радиан, формула превращается в известную всем формула длины окружности

Как видно из рисунка, на определенной широте нас интересует радиус окружности r, полученной при отсечении части сферы плоскостью, параллельной плоскости экватора. На самом экваторе радиус совпадает с радиусом земли R. Выразим интересующий нас радиус через радиус Земли R и заданную широту β:

Соответственно, финальная формула

Ну и в качестве радиуса Земли берем значение, определенное в стандарте WGS-84, а именно, 6378137м. Вот и всё.