Как найти два катета в равнобедренном треугольнике

Как найти катеты равнобедренного треугольника

Нахождение катетов равнобедренного треугольника – задача, требующая теоретических знаний, пространственного и логического мышления. Не менее важным является и правильное оформление решения.

Вам понадобится

• – тетрадь;
• – линейка;
• – карандаш;
• – ручка;
• – калькулятор.

Инструкция

Катет – сторона прямоугольного треугольника, образующая прямой угол. Противоположная прямому углу сторона треугольника называется гипотенузой.Так как в задании фигурирует понятие “катет”, мы можем сделать вывод, что треугольник – прямоугольный.
В вопросе так же сказано, что треугольник равнобедренный. Это означает, что катеты равны. Для решения этого типа задач введите условные обозначения. Обозначим стороны треугольника буквами а, а, в, где а – катеты, а в – гипотенуза. (см. рис. 1)

Дано:
а = а
с = 20 (значение выбрано произвольно для иллюстрации решения)Найти: а

Чтобы найти катеты равнобедренного треугольника, используйте теорему Пифагора. Она гласит, что квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов. Формула: а^2+в^2=с^2.

Решение:а^2+а^2=с^2
2а^2=с2 (это преобразование произошло потому, что в нашей конкретной задаче оба катета равны)
Подставляем известные данные:
2а^2=400 (400 – это квадрат гипотенузы)
а^2=200 (обе части уравнения делятся на два)
а=√200 или 10√2Ответ: √200

Обратите внимание

Катеты существуют только в прямоугольном треугольнике.

Полезный совет

Верна и теорема, обратная теореме Пифагора: если квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то этот треугольник прямоугольный.

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

Стороны равнобедренного треугольника

Свойства

Равнобедренный треугольник имеет две равные по значению боковые стороны a и основание b. Это позволяет рассчитать любые параметры треугольника, необходимые для решения задачи. Периметр равнобедренного треугольника равен удвоенной боковой стороне в сумме с основанием. (рис.88.1) P=2a+b

Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, делит его на два конгруэнтных прямоугольных треугольника, с половиной основания в качестве второго катета и боковой стороной как гипотенузой. Такая высота одновременно является и медианой и биссектрисой. Найти ее можно по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника. (рис.88.2) h_b=m_b=l_b=√(a^2-(b/2)^2 )=√(4a^2-b^2 )/2

Остальные две высоты равны друг другу и считаются через формулу с произведением разностей полупериметров и сторон, где приравнены боковые стороны. (рис.88.8) h_a=(b√((4a^2-b^2)))/2a

Зная высоту, найти площадь равнобедренного треугольника можно, подставив полученное выражение в формулу, по которой площадь равна половине основания, умноженной на его высоту. S=hb/2=(b√(4a^2-b^2 ))/4

Углы в равнобедренном треугольнике распределяются следующим образом – углы при основании друг другу конгруэнтны, также как и боковые стороны, а в сумме все три угла дают 180 градусов, поэтому найти их можно двумя видами разности. α=(180°-β)/2 β=180°-2α

Если ни один из углов не дан, но есть все стороны, то можно воспользоваться теоремой косинусов, чтобы найти любой угол. cos⁡α=(b^2+c^2-a^2)/2bc=(b^2+a^2-a^2)/2ba=b^2/2ba=b/2a cos⁡β=(a^2+a^2-b^2)/(2a^2 )=(2a^2-b^2)/(2a^2 )

Медиана и биссектриса, опущенные на основание, вычисляются по формуле высоты, приведенной выше, а оставшиеся две медианы (равно как и две биссектрисы) равны друг другу, поскольку строятся на равных боковых сторонах. Вычислить медиану можно, упростив формулу произвольного треугольника. (рис. 88.3) m_a=√(2a^2+2b^2-a^2 )/2=√(a^2+2b^2 )/2

В формуле биссектрисы аналогично приравниваются боковые стороны, и ее становится возможным вычислить по упрощенной схеме. (рис. 88.4) l_a=√(ab(2a+b)(a+b-a) )/(a+b)=(b√(a(2a+b) ))/(a+b)

Средняя линия равнобедренного треугольника, параллельная основанию, равна его половине, а средние линии, параллельные боковым сторонам, равны между собой и также равны половинам самих боковых сторон. (рис. 88.5) M_b=b/2 M_a=a/2

Радиус окружности, вписанной в равнобедренной треугольник, является производной формулы для произвольного треугольника, и рассчитать его можно, зная боковую сторону и основание. (рис. 88.6) r=b/2 √((2a-b)/(2a+b))

Радиус окружности, описанной вокруг равнобедренного треугольника, также выводится из общей формулы и выглядит упрощенно следующим образом. (рис. 88.7) R=a^2/√(4a^2-b^2 )

Как посчитать стороны равнобедренного треугольника

Онлайн калькулятор

Чтобы вычислить длины сторон равнобедренного треугольника вам нужно знать следующие параметры (либо-либо):

• длину основания (b) и угол α
• длину основания (b) и угол β
• длину основания (b) и высоту (h)

• длину двух равных сторон (a) и угол α
• длину двух равных сторон (a) и угол β
• длину двух равных сторон (a) и высоту (h)

Введите их в соответствующие поля и получите результат.

Как посчитать сторону a равнобедренного треугольника

Если известна сторона b и угол α

Чему равна сторона a равнобедренного треугольника если длина основания , а угол

Чему равна сторона a у равнобедренного треугольника если известны длина основания (сторона b) и угол α?

Формула

Пример

Если сторона b = 10 см, а ∠α = 30°, то:

Если известна сторона b и угол β

Чему равна сторона a равнобедренного треугольника если длина основания , а угол

Чему равна сторона a у равнобедренного треугольника если известны длина основания (сторона b) и угол β?

Формула

Пример

Если сторона b = 10 см, а ∠β = 30°, то:

a = 10 /_{2⋅sin 15} = 10/(2⋅0.2588) = 19.31см

Если известна сторона b и высота h

Чему равна сторона a равнобедренного треугольника если длина основания , а высота

Чему равна сторона a у равнобедренного треугольника если известны длина основания (сторона b) и высота h?

Формула

Пример

Если сторона b = 10 см, а высота h = 20 см, то:

a = √ 1 /_{10 2} + 20 2 = √ 0.01+400 = 20.61см

Как посчитать сторону b (основание) равнобедренного треугольника

Если известна сторона a и угол α

Чему равна сторона b равнобедренного треугольника если длина стороны , а угол

Чему равна сторона b у равнобедренного треугольника если известны длина стороны a и угол α?

Формула

Пример

Если сторона a = 10 см, а ∠α = 30°, то:

b = 2⋅10⋅cos 30° = 2⋅10⋅0.8660 = 17.32см

Если известна сторона a и угол β

Чему равна сторона b равнобедренного треугольника если длина стороны , а угол

Чему равна сторона b у равнобедренного треугольника если известны длина стороны a и угол β?

Формула

Пример

Если сторона a = 10 см, а ∠β = 40°, то:

Если известна сторона a и высота h

Чему равна сторона b равнобедренного треугольника если длина стороны , а высота

Чему равна сторона b у равнобедренного треугольника если известны длина стороны a и высота h?

Формула

b = 2⋅ √ a 2 – h 2 , h

Пример

Если сторона a = 10 см, а высота h = 5 см, то:

Равнобедренный треугольник: свойства, признаки и формулы

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Определение равнобедренного треугольника

Какой треугольник называется равнобедренным?

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны.

Давайте посмотрим на такой треугольник:

На рисунке хорошо видно, что боковые стороны равны. Это равенство и делает треугольник равнобедренным.

А вот как называются стороны равнобедренного треугольника:

AB и BC — боковые стороны,

AC — основание треугольника.

Для понимания материала нам придется вспомнить, что такое биссектриса, медиана и высота, если вы вдруг забыли.

Биссектриса — луч, который исходит из вершины угла и делит этот угол на два равных угла.

Даже если вы не знаете определения, то про крысу, бегающую по углам и делящую их пополам, наверняка слышали. Она не даст вам забыть, что такое биссектриса. А если вам не очень приятны крысы, то вместо нее бегать может кто угодно. Биссектриса — это киса. Биссектриса — это лИса. Никаких правил для воображения нет. Все правила — для геометрии.

Обратите внимание на рисунок. В представленном равнобедренном треугольнике биссектрисой будет отрезок BH.

Медиана — отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Для медианы не придумали веселого правила, как с биссектрисой, но можно его придумать. Например, буддийская запоминалка: «Медиана — это Лама, бредущий из вершины треугольника к середине его основания и обратно».

В данном треугольнике медианой является отрезок BH.

Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или на прямую, содержащую сторону треугольника.

Высотой в представленном равнобедренном треугольнике является отрезок BH.

Признаки равнобедренного треугольника

Вот несколько нехитрых правил, по которым легко определить, что перед вами не что иное, как его величество равнобедренный треугольник.

1. Если у треугольника два угла равны, то этот треугольник — равнобедренный.
2. Если высота треугольника совпадает с его медианой, проведенной из того же угла, то такой треугольник — равнобедренный.
3. Если высота треугольника совпадает с его биссектрисой, проведенной из того же угла, то такой треугольник — равнобедренный.
4. Если биссектриса треугольника совпадает с его медианой, проведенной из того же угла, то такой треугольник снова равнобедренный!

Свойства равнобедренного треугольника

Чтобы понять суть равнобедренного треугольника, нужно думать как равнобедренный треугольник, стать равнобедренным треугольником — и выучить 4 теоремы о его свойствах.

Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Пусть AС — основание равнобедренного треугольника. Проведем биссектрису DK. Треугольник ADK равен треугольнику CDK по двум сторонам и углу между ними (AD = DC, DK — общая, а так как DK — биссектриса, то угол ADK равен углу CDK). Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов, значит угол A равен углу C. Изи!

Теорема 2: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Δ ABH = Δ CBH по двум сторонам и углу между ними (углы ABH и CBH равны, потому что BH биссектриса, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).

Значит, во-первых, AH = HC и BH — медиана.

Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит, они равны по 90 градусов и BH — высота.

Теорема 3: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Δ ABH = Δ CBH по трём сторонам (AH = CH равны, потому что BH медиана, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).

Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.

Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит они равны по 90 градусов и BH — высота.

Теорема 4: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

Δ ABH = Δ CBH по признаку прямоугольных треугольников, равенство гипотенуз и соответствующих катетов (AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).

Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.

Во-вторых, AH = HC и BH — медиана.

Примеры решения задач

Нет ничего приятнее, чем поупражняться и поискать углы и стороны в равнобедренном треугольнике. Ну… почти ничего.

Задачка раз. Дан ΔABC с основанием AC: ∠C = 80°, AB = BC. Найдите ∠B.

Поскольку вы уже знакомы с различными теоремами, то для вас не секрет, что углы при основании в равнобедренном треугольнике равны, а треугольник ABC — равнобедренный, так как AB = BC.

Значит, ∠A = ∠C = 80°.

Не должно вас удивить и то, что сумма углов треугольника равна 180°.

∠B = 180° − 80° − 80° = 20°.

Задачка два. В треугольнике ABC провели высоту BH, угол CAB равен 50°, угол HBC равен 40°. Найдите сторону BC, если BA = 5 см.

Сумма углов треугольника равна 180°, а значит в Δ ABH мы можем узнать угол ABH, который будет равен 180° − 50° − 90° = 40°.

А ведь получается, что углы ABH и HBC оба равны по 40° и BH — биссектриса.

Ну и раз уж BH является и биссектрисой, и высотой, то Δ ABC — равнобедренный, а значит BC = BA = 5 см.

Изучать свойства и признаки равнобедренного треугольника лучше всего на курсах по математике с опытными преподавателями в Skysmart.

[spoiler title=”источники:”]

http://poschitat.online/storony-ravnobedrennogo-treugolnika

http://skysmart.ru/articles/mathematic/chto-takoe-ravnobedrennyj-treugolnik

[/spoiler]

Расчет катета треугольника

Катет треугольника — это одна из двух сторон прямоугольного треугольника, образующая между собой прямой угол.

Формула расчета катета:

a = √(c 2 — b 2 ), где

a — катет;
b — катет;
c — гипотенуза.

Быстро выполнить эту математическую операцию можно с помощью нашей онлайн программы. Для этого необходимо в соответствующее поле ввести исходное значение и нажать кнопку.

На этой странице представлен самый простой онлайн калькулятор расчета катета прямоугольного треугольника, если известен его другой катет и гипотенуза. С помощью этой программы вы в один клик сможете рассчитать катет треугольника.

Как найти стороны прямоугольного треугольника

Чтобы вычислить длины сторон прямоугольного треугольника вам нужно знать следующие параметры (либо-либо):

• для гипотенузы (с):
  • длины катетов a и b
  • длину катета (a или b) и прилежащий к нему острый угол (β или α, соответственно)
  • длину катета (a или b) и противолежащий к нему острый угол (α или β, соответственно)
  • длину гипотенузы (с) и длину одного из катетов
  • длину гипотенузы (с) и прилежащий к искомому катету (a или b) острый угол (β или α, соответственно)
  • длину гипотенузы (с) и противолежащий к искомому катету (a или b) острый угол (α или β, соответственно)
  • длину одного из катетов (a или b) и прилежащий к нему острый угол (β или α, соответственно)
  • длину одного из катетов (a или b) и противолежащий к нему острый угол (α или β, соответственно)

  Введите их в соответствующие поля и получите результат.

  Найти гипотенузу (c)

  Найти гипотенузу по двум катетам

  Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны оба катета (стороны a и b)?

  Формула

  следовательно: c = √ a² + b²

  Пример

  Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 3 см, а катет b = 4 см:

  c = √ 3² + 4² = √ 9 + 16 = √ 25 = 5 см

  Найти гипотенузу по катету и прилежащему к нему острому углу

  Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны один из катетов (a или b) и прилежащий к нему угол?

  Формула

  Пример

  Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а прилежащий к нему ∠β = 60°:

  c = 2 / cos(60) = 2 / 0.5 = 4 см

  Найти гипотенузу по катету и противолежащему к нему острому углу

  Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны один из катетов (a или b) и противолежащий к нему угол?

  Формула

  Пример

  Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а противолежащий к нему ∠α = 30°:

  c = 2 / sin(30) = 2 / 0.5 = 4 см

  Найти гипотенузу по двум углам

  Найти гипотенузу прямоугольного треугольника только по двум острым углам невозможно.

  Найти катет

  Найти катет по гипотенузе и катету

  Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и второй катет?

  Формула

  Пример

  Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 5 см, а катет b = 4 см:

  a = √ 5² — 4² = √ 25 — 16 = √ 9 = 3 см

  Найти катет по гипотенузе и прилежащему к нему острому углу

  Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и прилежащий к искомому катету острый угол?

  Формула

  Пример

  Для примера посчитаем чему равен катет b прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 5 см, а ∠α = 60°:

  b = 5 ⋅ cos(60) = 5 ⋅ 0.5 = 2.5 см

  Найти катет по гипотенузе и противолежащему к нему острому углу

  Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и противолежащий к искомому катету острый угол?

  Формула

  Пример

  Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 4 см, а ∠α = 30°:

  a = 4 ⋅ sin(30) = 4 ⋅ 0.5 = 2 см

  Найти катет по второму катету и прилежащему к нему острому углу

  Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известен другой катет и прилежащий к нему острый угол?

  Формула

  Пример

  Для примера посчитаем чему равен катет b прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а ∠β = 45°:

  b = 2 ⋅ tg(45) = 2 ⋅ 1 = 2 см

  Найти катет по второму катету и противолежащему к нему острому углу

  Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известен другой катет и противолежащий к нему острый угол?

  Формула

  Пример

  Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если катет b = 3 см, а ∠β = 35°:

  Как найти катет равнобедренного треугольника,зная гипотенузу?

  В прямоугольном треугольнике по теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов его катетов. Если нам дан равнобедренный прямоугольный треугольник, то квадрат гипотенузы будет равен квадрату катетов, помноженному на два. Введем обозначения: возьмем гипотенузу за «a», катет за «b». Распишем, используя «a» и «b» теорему Пифагора, и определим значение катета:

  Таким образом, катет равен квадратному корню из гипотенузы в квадрате, деленной на два.

Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника по гипотенузе Калькулятор

Search
Дом	математика ↺
математика	Геометрия ↺
Геометрия	2D геометрия ↺
2D геометрия	Треугольник ↺
Треугольник	Равнобедренный прямоугольный треугольник ↺
Равнобедренный прямоугольный треугольник	Сторона равнобедренного прямоугольного треугольника ↺

Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника по гипотенузе Решение

ШАГ 0: Сводка предварительного расчета

ШАГ 1. Преобразование входов в базовый блок

Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника: 11 метр –> 11 метр Конверсия не требуется

ШАГ 2: Оцените формулу

ШАГ 3: Преобразуйте результат в единицу вывода

7.77817459305202 метр –> Конверсия не требуется

7 Сторона равнобедренного прямоугольного треугольника Калькуляторы

Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника по гипотенузе формула

Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника = Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника/sqrt(2)

S_Legs = H/sqrt(2)

Что такое равнобедренный прямоугольный треугольник?

Равнобедренный прямоугольный треугольник – это прямоугольный треугольник, состоящий из двух катетов одинаковой длины. Поскольку две стороны прямоугольного треугольника равны по длине, соответствующие углы также будут равны. Таким образом, в равнобедренном прямоугольном треугольнике две стороны и два острых угла равны.

Что такое гипотенуза?

В геометрии гипотенуза — это самая длинная сторона прямоугольного треугольника, сторона, противоположная прямому углу.