В математике большая часть задач ориентирована на решение стандартных уравнений, в которых представлена одна переменная. Однако, некоторые из них, помимо числовых выражений, содержат одновременно две неизвестные. Перед тем как приступить к решению такого уравнения, стоит изучить его определение.
Содержание:
- Определение
- Решение задач
- Система уравнений с двумя неизвестными
- Метод подстановки
- Метод сложения
- Графический метод
- Видео
Определение
Итак, уравнением с двумя неизвестными называют любое равенство следующего типа:
a*x + b*y =с, где a, b, c — числа, x, y — неизвестные переменные.
Ниже приведены несколько примеров:
- 10x + 25y = 180.
- x — y = 6.
- -6x + y = 7.
Уравнение с двумя неизвестными точно так же, как и с одной, имеет решение. Однако такие выражения, как правило, имеют бесконечное множество разных решений, поэтому в алгебре их принято называть неопределенными.
Решение задач
Чтобы решить подобные задачи, необходимо отыскать любую пару значений x и y, которая удовлетворяла бы его, другими словами, обращала бы уравнение с неизвестными x и y в правильное числовое равенство. Найти удовлетворяющую пару чисел можно при помощи метода подбора.
Для наглядности объяснений подберем корни для выражения: y-x = 6.
При y=5 и x=-1 равенство становится верным тождеством 5- (-1) = 6. Поэтому пару чисел (-1; 5) можно считать корнями выражения y-x = 6. Ответ: (-1; 5).
Необходимо отметить, что записывать полученный ответ по правилам необходимо в скобках через точку с запятой. Первым указывается значение х, вторым — значение y.
У равенств такого вида может и не быть корней. Рассмотрим такой случай на следующем примере: x+y = x+y+9
Приведем исходное равенство к следующему виду:
- x+y-x-y-9 = 0;
- 9 = 0.
В результате мы видим ошибочное равенство, следовательно, это выражение не имеет корней.
При решении уравнений можно пользоваться его свойствами. Первое их них: каждое слагаемое можно вынести в другую часть выражения. Вместе с этим обязательно нужно поменять знак на обратный. Получившееся равенство будет равнозначно исходному.
Например, из выражения 20y — 3x = 16 перенесем неизвестное y в другую его часть.
- 20y — 3x = 16;
- -3x = 16−20y.
Оба равенства равносильны.
Второе свойство: допустимо умножать или делить части выражения на одинаковое число, не равное нолю. В итоге получившиеся равенства будут равнозначны.
Пример:
- y — x = 6*2;
- 2y — 2x = 12.
Оба уравнения также равносильны.
Система уравнений с двумя неизвестными
Система уравнений представляет собой некоторое количество равенств, выполняющихся одновременно. В большинстве задач приходится находить решение системы, состоящей из двух равенств с двумя переменными.
Для решения системы уравнений необходимо найти пару чисел, обращающих оба уравнения системы в правильное равенство. Решением может служить одна пара чисел, несколько пар чисел или вовсе их отсутствие.
Решить подобные системы уравнений можно, применяя следующие методы.
Метод подстановки
Последовательность действий:
- Выражаем неизвестное из любого равенства через вторую переменную.
- Подставляем получившееся выражение неизвестного во второе равенство и решаем его.
- Делаем подстановку полученного значения неизвестного и вычисляем значение второго неизвестного.
Метод сложения
Этапы решения:
- Приводим к равенству модули чисел при каком-либо неизвестном.
- Производим вычисление одной из переменных, произведя сложение или вычитание полученных выражений.
- Подставляем найденное значение в какое-либо уравнение в первоначальной системе и вычисляем вторую переменную.
Графический метод
- Выражаем в каждом равенстве одну переменную через другую.
- Строим графики двух имеющихся уравнений в одной координатной плоскости.
- Определяем точку их пересечения и ее координаты. На этом шаге у вас может получиться три варианта: графики пересекаются — у системы единственно верный вариант решения; прямые параллельны друг другу — система решений не имеет; графики совпадают — у системы бесконечно много решений.
- Делаем проверку, подставив полученные значения в исходную систему равенств.
При нахождении корней у одной системы всеми этими способами у вас обязательно должен получиться одинаковый результат, если вы, конечно, все сделали правильно.
В настоящее время есть возможность решения подобных задач с помощью встроенных средств офисной программы Excel, а также на специализированных онлайн-ресурсах и калькуляторах. С помощью них вы легко можете проверить правильность своих вычислений и результатов.
Надеемся, что наша статья помогла вам в освоении этой базовой темы школьной математики. Если же вы пока не можете справиться с решением уравнений такого вида, не расстраивайтесь. Для понимания и закрепления изученной темы рекомендуется как можно больше практиковаться, и тогда у вас без труда получится решать задачи любой сложности. Желаем вам удачи в покорении математических вершин!
Видео
Из этого видео вы узнаете, как решать уравнения с двумя неизвестными.
Как решать систему уравнений
О чем эта статья:
8 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ
Основные понятия
Алгебра в 8 и 9 классе становится сложнее. Но если изучать темы последовательно и регулярно практиковаться в тетрадке и онлайн — ходить на уроки математики будет не так страшно.
Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в исходное уравнение получилось верное числовое равенство.
Например, возьмем 3 + 4 = 7. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 7 = 7.
Уравнением можно назвать, например, равенство 3 + x = 7 с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.
Система уравнений — это несколько уравнений, для которых надо найти значения неизвестных, каждое из которых соответствует данным уравнениям.
Так как существует множество уравнений, составленных с их использованием систем уравнений также много. Поэтому для удобства изучения существуют отдельные группы по схожим характеристикам. Рассмотрим способы решения систем уравнений.
Линейное уравнение с двумя переменными
Уравнение вида ax + by + c = 0 называется линейным уравнением с двумя переменными x и y, где a, b, c — числа.
Решением этого уравнения называют любую пару чисел (x; y), которая соответствует этому уравнению и обращает его в верное числовое равенство.
Теорема, которую нужно запомнить: если в линейном уравнение есть хотя бы один не нулевой коэффициент при переменной — его графиком будет прямая линия.
Вот алгоритм построения графика ax + by + c = 0, где a ≠ 0, b ≠ 0:
Дать переменной 𝑥 конкретное значение x = x₁, и найти значение y = y₁ при ax₁ + by + c = 0.
Дать x другое значение x = x₂, и найти соответствующее значение y = y₂ при ax₂ + by + c = 0.
Построить на координатной плоскости xy точки: (x₁; y₁); (x₂; y₂).
Провести прямую через эти две точки и вуаля — график готов.
Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!
Система двух линейных уравнений с двумя переменными
Для ax + by + c = 0 можно сколько угодно раз брать произвольные значение для x и находить значения для y. Решений в таком случае может быть бесчисленное множество.
Система линейных уравнений (ЛУ) с двумя переменными образуется в случае, когда x и y связаны не одним, а двумя уравнениями. Такая система может иметь одно решение или не иметь решений совсем. Выглядит это вот так:
Из первого линейного уравнения a₁x + b₁y + c₁ = 0 можно получить линейную функцию, при условии если b₁ ≠ 0: y = k₁x + m₁. График — прямая линия.
Из второго ЛУ a₂x + b₂y + c₂ = 0 можно получить линейную функцию, если b₂ ≠ 0: y = k₂x + m₂. Графиком снова будет прямая линия.
Можно записать систему иначе:
Множеством решений первого ЛУ является множество точек, лежащих на определенной прямой, аналогично и для второго ЛУ. Если эти прямые пересекаются — у системы есть единственное решение. Это возможно при условии, если k₁ ≠ k₂.
Две прямые могут быть параллельны, а значит, они никогда не пересекутся и система не будет иметь решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ ≠ m₂.
Две прямые могут совпасть, и тогда каждая точка будет решением, а у системы будет бесчисленное множество решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ = m₂.
Метод подстановки
Разберем решение систем уравнений методом подстановки. Вот алгоритм при переменных x и y:
Выразить одну переменную через другую из более простого уравнения системы.
Подставить то, что получилось на место этой переменной в другое уравнение системы.
Решить полученное уравнение, найти одну из переменных.
Подставить поочередно каждый из найденных корней в уравнение, которое получили на первом шаге, и найти второе неизвестное значение.
Записать ответ. Ответ принято записывать в виде пар значений (x; y).
Потренируемся решать системы линейных уравнений методом подстановки.
Пример 1
Решите систему уравнений:
x − y = 4
x + 2y = 10
Выразим x из первого уравнения:
x − y = 4
x = 4 + y
Подставим получившееся выражение во второе уравнение вместо x:
x + 2y = 10
4 + y + 2y = 10
Решим второе уравнение относительно переменной y:
4 + y + 2y = 10
4 + 3y = 10
3y = 10 − 4
3y = 6
y = 6 : 3
y = 2
Полученное значение подставим в первое уравнение вместо y и решим уравнение:
x − y = 4
x − 2 = 4
x = 4 + 2
x = 6
Ответ: (6; 2).
Пример 2
Решите систему линейных уравнений:
x + 5y = 7
3x = 4 + 2y
Сначала выразим переменную x из первого уравнения:
x + 5y = 7
x = 7 − 5y
Выражение 7 − 5y подставим вместо переменной x во второе уравнение:
3x = 4 + 2y
3 (7 − 5y) = 4 + 2y
Решим второе линейное уравнение в системе:
3 (7 − 5y) = 4 + 2y
21 − 15y = 4 + 2y
21 − 15y − 2y = 4
21 − 17y = 4
17y = 21 − 4
17y = 17
y = 17 : 17
y = 1
Подставим значение y в первое уравнение и найдем значение x:
x + 5y = 7
x + 5 = 7
x = 7 − 5
x = 2
Ответ: (2; 1).
Пример 3
Решите систему линейных уравнений:
x − 2y = 3
5x + y = 4
Из первого уравнения выразим x:
x − 2y = 3
x = 3 + 2y
Подставим 3 + 2y во второе уравнение системы и решим его:
5x + y = 4
5 (3 + 2y) + y = 4
15 + 10y + y = 4
15 + 11y = 4
11y = 4 − 15
11y = −11
y = −11 : 11
y = −1
Подставим получившееся значение в первое уравнение и решим его:
x − 2y = 3
x − 2 (−1) = 3
x + 2 = 3
x = 3 − 2
x = 1
Ответ: (1; −1).
Метод сложения
Теперь решим систему уравнений способом сложения. Алгоритм с переменными x и y:
При необходимости умножаем почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами.
Складываем почленно левые и правые части уравнений системы.
Решаем получившееся уравнение с одной переменной.
Находим соответствующие значения второй переменной.
Запишем ответ в в виде пар значений (x; y).
Система линейных уравнений с тремя переменными
Системы ЛУ с тремя переменными решают так же, как и с двумя. В них присутствуют три неизвестных с коэффициентами и свободный член. Выглядит так:
Решений в таком случае может быть бесчисленное множество. Придавая двум переменным различные значения, можно найти третье значение. Ответ принято записывать в виде тройки значений (x; y; z).
Если x, y, z связаны между собой тремя уравнениями, то образуется система трех ЛУ с тремя переменными. Для решения такой системы можно применять метод подстановки и метод сложения.
Решение задач
Разберем примеры решения систем уравнений.
Задание 1. Как привести уравнение к к стандартному виду ах + by + c = 0?
5x − 8y = 4x − 9y + 3
5x − 8y = 4x − 9y + 3
5x − 8y − 4x + 9y = 3
Задание 2. Как решать систему уравнений способом подстановки
Выразить у из первого уравнения:
Подставить полученное выражение во второе уравнение:
Найти соответствующие значения у:
Задание 3. Как решать систему уравнений методом сложения
- Решение систем линейных уравнений начинается с внимательного просмотра задачи. Заметим, что можно исключить у. Для этого умножим первое уравнение на минус два и сложим со вторым:
- Решаем полученное квадратное уравнение любым способом. Находим его корни:
- Найти у, подставив найденное значение в любое уравнение:
- Ответ: (1; 1), (1; -1).
Задание 4. Решить систему уравнений
Решим второе уравнение и найдем х = 2, х = 5. Подставим значение переменной х в первое уравнение и найдем соответствующее значение у.
Задание 5. Как решить систему уравнений с двумя неизвестными
При у = -2 первое уравнение не имеет решений, при у = 2 получается:
Решение уравнений с двумя неизвестными
В математике большая часть задач ориентирована на решение стандартных уравнений, в которых представлена одна переменная. Однако, некоторые из них, помимо числовых выражений, содержат одновременно две неизвестные. Перед тем как приступить к решению такого уравнения, стоит изучить его определение.
Определение
Итак, уравнением с двумя неизвестными называют любое равенство следующего типа:
a*x + b*y =с, где a, b, c — числа, x, y — неизвестные переменные.
Ниже приведены несколько примеров:
Уравнение с двумя неизвестными точно так же, как и с одной, имеет решение. Однако такие выражения, как правило, имеют бесконечное множество разных решений, поэтому в алгебре их принято называть неопределенными.
Решение задач
Чтобы решить подобные задачи, необходимо отыскать любую пару значений x и y, которая удовлетворяла бы его, другими словами, обращала бы уравнение с неизвестными x и y в правильное числовое равенство. Найти удовлетворяющую пару чисел можно при помощи метода подбора.
Для наглядности объяснений подберем корни для выражения: y-x = 6.
При y=5 и x=-1 равенство становится верным тождеством 5- (-1) = 6. Поэтому пару чисел (-1; 5) можно считать корнями выражения y-x = 6. Ответ: (-1; 5).
Необходимо отметить, что записывать полученный ответ по правилам необходимо в скобках через точку с запятой. Первым указывается значение х, вторым — значение y.
У равенств такого вида может и не быть корней. Рассмотрим такой случай на следующем примере: x+y = x+y+9
Приведем исходное равенство к следующему виду:
В результате мы видим ошибочное равенство, следовательно, это выражение не имеет корней.
При решении уравнений можно пользоваться его свойствами. Первое их них: каждое слагаемое можно вынести в другую часть выражения. Вместе с этим обязательно нужно поменять знак на обратный. Получившееся равенство будет равнозначно исходному.
Например, из выражения 20y — 3x = 16 перенесем неизвестное y в другую его часть.
Оба равенства равносильны.
Второе свойство: допустимо умножать или делить части выражения на одинаковое число, не равное нолю. В итоге получившиеся равенства будут равнозначны.
Оба уравнения также равносильны.
Система уравнений с двумя неизвестными
Система уравнений представляет собой некоторое количество равенств, выполняющихся одновременно. В большинстве задач приходится находить решение системы, состоящей из двух равенств с двумя переменными.
Для решения системы уравнений необходимо найти пару чисел, обращающих оба уравнения системы в правильное равенство. Решением может служить одна пара чисел, несколько пар чисел или вовсе их отсутствие.
Решить подобные системы уравнений можно, применяя следующие методы.
Метод подстановки
- Выражаем неизвестное из любого равенства через вторую переменную.
- Подставляем получившееся выражение неизвестного во второе равенство и решаем его.
- Делаем подстановку полученного значения неизвестного и вычисляем значение второго неизвестного.
Метод сложения
- Приводим к равенству модули чисел при каком-либо неизвестном.
- Производим вычисление одной из переменных, произведя сложение или вычитание полученных выражений.
- Подставляем найденное значение в какое-либо уравнение в первоначальной системе и вычисляем вторую переменную.
Графический метод
- Выражаем в каждом равенстве одну переменную через другую.
- Строим графики двух имеющихся уравнений в одной координатной плоскости.
- Определяем точку их пересечения и ее координаты. На этом шаге у вас может получиться три варианта: графики пересекаются — у системы единственно верный вариант решения; прямые параллельны друг другу — система решений не имеет; графики совпадают — у системы бесконечно много решений.
- Делаем проверку, подставив полученные значения в исходную систему равенств.
При нахождении корней у одной системы всеми этими способами у вас обязательно должен получиться одинаковый результат, если вы, конечно, все сделали правильно.
В настоящее время есть возможность решения подобных задач с помощью встроенных средств офисной программы Excel, а также на специализированных онлайн-ресурсах и калькуляторах. С помощью них вы легко можете проверить правильность своих вычислений и результатов.
Надеемся, что наша статья помогла вам в освоении этой базовой темы школьной математики. Если же вы пока не можете справиться с решением уравнений такого вида, не расстраивайтесь. Для понимания и закрепления изученной темы рекомендуется как можно больше практиковаться, и тогда у вас без труда получится решать задачи любой сложности. Желаем вам удачи в покорении математических вершин!
Видео
Из этого видео вы узнаете, как решать уравнения с двумя неизвестными.
Системы уравнений
Система уравнений — это группа уравнений, в которых одни и те же неизвестные обозначают одни те же числа. Чтобы показать, что уравнения рассматриваются как система, слева от них ставится фигурная скобка:
 |
x – 4y = 2 |
| 3x – 2y = 16 |
Решить систему уравнений — это значит, найти общие решения для всех уравнений системы или убедиться, что решения нет.
Чтобы решить систему уравнений, нужно исключить одно неизвестное, то есть из двух уравнений с двумя неизвестными составить одно уравнение с одним неизвестным. Исключить одно из неизвестных можно тремя способами: подстановкой, сравнением, сложением или вычитанием.
Способ подстановки
Чтобы решить систему уравнений способом подстановки, нужно в одном из уравнений выразить одно неизвестное через другое и результат подставить в другое уравнение, которое после этого будет содержать только одно неизвестное. Затем находим значение этого неизвестного и подставляем его в первое уравнение, после этого находим значение второго неизвестного.
Рассмотрим решение системы уравнений:
| |
x – 4y = 2 |
| 3x – 2y = 16 |
Сначала найдём, чему равен x в первом уравнении. Для этого перенесём все члены уравнения, не содержащие неизвестное x, в правую часть:
Так как x, на основании определения системы уравнений, имеет такое же значение и во втором уравнении, то подставляем его значение во второе уравнение и получаем уравнение с одним неизвестным:
| 3x | – 2y = 16; |
| 3( 2 + 4y ) | – 2y = 16. |
Решаем полученное уравнение, чтобы найти, чему равен y. Как решать уравнения с одним неизвестным, вы можете посмотреть в соответствующей теме.
| 3(2 + 4y) – 2y = 16; |
| 6 + 12y – 2y = 16; |
| 6 + 10y = 16; |
| 10y = 16 – 6; |
| 10y = 10; |
| y = 10 : 10; |
| y = 1. |
Мы определили что y = 1. Теперь, для нахождения численного значения x, подставим значение y в преобразованное первое уравнение, где мы ранее нашли, какому выражению равен x:
x = 2 + 4y = 2 + 4 · 1 = 2 + 4 = 6.
Способ сравнения
Способ сравнения — это частный случай подстановки. Чтобы решить систему уравнений способом сравнения, нужно в обоих уравнениях найти, какому выражению будет равно одно и то же неизвестное и приравнять полученные выражения друг к другу. Получившееся в результате уравнение позволяет узнать значение одного неизвестного. С помощью этого значения затем вычисляется значение второго неизвестного.
Например, для решение системы:
| |
x – 4y = 2 |
| 3x – 2y = 16 |
найдём в обоих уравнениях, чему равен y (можно сделать и наоборот — найти, чему равен x):
| x – 4y = 2 | 3x – 2y = 16 |
| -4y = 2 – x | -2y = 16 – 3x |
| y = (2 – x) : – 4 | y = (16 – 3x) : -2 |
Составляем из полученных выражений уравнение:
Решаем уравнение, чтобы узнать значение x:
|
||||||
| 2 – x = 32 – 6x | ||||||
| –x + 6x = 32 – 2 | ||||||
| 5x = 30 | ||||||
| x = 30 : 5 | ||||||
| x = 6 |
Теперь подставляем значение x в первое или второе уравнение системы и находим значение y:
| x – 4y = 2 | 3x – 2y = 16 |
| 6 – 4y = 2 | 3 · 6 – 2y = 16 |
| -4y = 2 – 6 | -2y = 16 – 18 |
| -4y = -4 | -2y = -2 |
| y = 1 | y = 1 |
Способ сложения или вычитания
Чтобы решить систему уравнений способом сложения, нужно составить из двух уравнений одно, сложив левые и правые части, при этом одно из неизвестных должно быть исключено из полученного уравнения. Неизвестное можно исключить, уравняв при нём коэффициенты в обоих уравнениях.
| |
x – 4y = 2 |
| 3x – 2y = 16 |
Уравняем коэффициенты при неизвестном y, умножив все члены второго уравнения на -2:
| |
x – 4y = 2 |
| -6x + 4y = -32 |
Теперь сложим по частям оба уравнения, чтобы получить уравнение с одним неизвестным:
| + | x – 4y = 2 |
| -6x + 4y = -32 | |
| -5x = -30 |
Находим значение x (x = 6). Теперь, подставив значение x в любое уравнение системы, найдём y = 1.
Если уравнять коэффициенты у x, то, для исключения этого неизвестного, нужно было бы вычесть одно уравнение из другого.
Уравняем коэффициенты при неизвестном x, умножив все члены первого уравнения на 3:
(x – 4y) · 3 = 2 · 3
| |
3x – 12y = 6 |
| 3x – 2y = 16 |
Теперь вычтем по частям второе уравнение из первого, чтобы получить уравнение с одним неизвестным:
| – | 3x – 12y = 6 |
| 3x – 2y = 16 | |
| -10y = -10 |
Находим значение y (y = 1). Теперь, подставив значение y в любое уравнение системы, найдём x = 6:
| 3x – 2y = 16 |
| 3x – 2 · 1 = 16 |
| 3x – 2 = 16 |
| 3x = 16 + 2 |
| 3x = 18 |
| x = 18 : 3 |
| x = 6 |
Для решения системы уравнений, рассмотренной выше, был использован способ сложения, который основан на следующем свойстве:
Любое уравнение системы можно заменить на уравнение, получаемое путём сложения (или вычитания) уравнений, входящих в систему. При этом получается система уравнений, имеющая те же решения, что и исходная.
[spoiler title=”источники:”]
http://liveposts.ru/articles/education-articles/matematika/reshenie-uravnenij-s-dvumya-neizvestnymi
http://izamorfix.ru/matematika/algebra/sistema_uravn.html
[/spoiler]
Прежде чем перейти к разбору как решать системы уравнений, давайте разберёмся, что называют системой уравнений
с двумя неизвестными.
Запомните!
Системой уравнений называют два уравнения с двумя неизвестными (чаще всего неизвестные в них называют
«x» и «y»),
которые объединены в общую систему фигурной скобкой.
Например, система уравнений может быть задана следующим образом.
Чтобы решить систему уравнений, нужно найти и «x», и «y».
Как решить систему уравнений
Существуют два основных способа решения систем уравнений. Рассмотрим оба способа решения.
Способ подстановки
или
«железобетонный» метод
Первый способ решения системы уравнений называют способом подстановки или «железобетонным».
Название «железобетонный» метод получил из-за того, что с помощью этого метода практически всегда можно
решить систему уравнений. Другими словами, если у вас не получается решить систему уравнений,
всегда пробуйте решить её методом подстановки.
Разберем способ подстановки на примере.
Выразим из первого уравнения «x + 5y = 7»
неизвестное «x».
Важно!
Чтобы выразить неизвестное, нужно выполнить два условия:
- перенести неизвестное, которое хотим выразить, в левую часть уравнения;
- разделить и левую и правую часть уравнения на нужное число так,
чтобы коэффициент при неизвестном стал равным единице.
Перенесём в первом уравнении «x + 5 y = 7» всё что
содержит «x» в левую часть,
а остальное в правую часть по
правилу переносу.
При «x» стоит коэффициент равный единице, поэтому дополнительно делить уравнение
на число не требуется.
Теперь, вместо «x» подставим во второе уравнение полученное выражение
«x = 7 − 5y» из первого уравнения.
| x = 7 − 5y | |
| 3(7 − 5y) − 2y = 4 |
Подставив вместо «x» выражение «(7 − 5y)»
во второе уравнение,
мы получили обычное линейное уравнение с одним неизвестным «y».
Решим его по правилам
решения линейных уравнений.
Чтобы каждый раз не писать всю систему уравнений заново, решим полученное уравнение
«3(7 − 5y) − 2y = 4» отдельно.
Вынесем его решение отдельно с помощью
обозначения звездочка (*).
| x = 7 − 5y | |
| 3(7 − 5y) − 2y = 4 (*) |
(*) 3(7 − 5y) − 2y = 4
21 − 15y − 2y = 4
− 17y = 4 − 21
− 17y = − 17 | :(−17)
y = 1
Мы нашли, что «y = 1».
Вернемся к первому уравнению «x = 7 − 5y» и вместо «y» подставим в него полученное числовое значение.
Таким образом можно найти «x».
Запишем в ответ оба полученных значения.
Ответ: x = 2; y = 1
Способ сложения
Рассмотрим другой способ решения системы уравнений. Метод называется способ сложения.
Вернемся к нашей системе уравнений еще раз.
По правилам математики уравнения системы можно складывать. Наша задача в том, чтобы сложив исходные
уравнения, получить такое уравнение, в котором останется только одно неизвестное.
Давайте сейчас сложим уравнения системы и посмотрим, что из этого выйдет.
Запомните!
При сложения уравнений системы
левая часть первого уравнения полностью складывается
с левой частью второго уравнения,
а правая часть полностью складывается с
правой частью.
| x + 5y = 7 | (x + 5y) + (3x − 2y) = 7 + 4 | ||
| + => |
x + 5y + 3x − 2y = 11 |
||
| 3x − 2y = 4 | 4x + 3y = 11 |
При сложении уравнений мы получили уравнение «4x + 3y = 11».
По сути, сложение уравнений в исходном виде нам ничего
не дало, так как в полученном уравнении мы по прежнему имеем оба неизвестных.
Вернемся снова к исходной системе уравнений.
Чтобы при сложении неизвестное «x» взаимноуничтожилось,
нужно сделать так, чтобы в первом уравнении при «x» стоял коэффициент
«−3».
Для этого умножим первое уравнение на «−3».
Важно!
При умножении уравнения на число, на это число умножается каждый член уравнения.
| x + 5y = 7 | ·(−3) | |
| 3x − 2y = 4 |
| x ·(−3) + 5y · (−3) = 7 · (−3) |
|
| 3x − 2y = 4 |
| −3x −15y = −21 | |
| 3x − 2y = 4 |
Теперь сложим уравнения.
| −3x −15y = −21 | (−3x −15y ) + (3x − 2y) = −21 + 4 | ||
| + => |
−3x −15y + 3x − 2y = −21 + 4 |
||
| 3x − 2y = 4 | −17y = −17 |:(−17) | ||
| y = 1 |
Мы нашли «y = 1».
Вернемся к первому уравнению и подставим вместо «y» полученное числовое
значение и найдем «x».
Ответ: x = 2; y = 1
Пример решения системы уравнения
способом подстановки
Выразим из первого уравнения «x».
Подставим вместо «x» во второе уравнение полученное выражение.
| x = 17 + 3y | |
| (17 + 3y) − 2y = −13 (*) |
(*) (17 + 3y) − 2y = −13
17 + 3y − 2y = −13
17 + y = −13
y = −13 − 17
y = −30
Подставим в первое уравнение полученное числовое значение «y = −30» и
найдем «x».
| x = 17 + 3 · (−30) | |
| y = −30 |
Ответ: x = −73; y = −30
Пример решения системы уравнения
способом сложения
Рассмотрим систему уравнений.
| 3(x − y) + 5x = 2(3x − 2) | |
| 4x − 2(x + y) = 4 − 3y |
Раскроем скобки и упростим выражения в обоих уравнениях.
| 3x − 3y + 5x = 6x − 4 | |
| 4x − 2x − 2y = 4 − 3y |
| 8x − 3y = 6x − 4 | |
| 2x −2y = 4 − 3y |
| 8x − 3y − 6x = −4 | |
| 2x −2y + 3y = 4 |
Мы видим, что в обоих уравнениях есть «2x».
Наша задача, чтобы при сложении уравнений «2x» взаимноуничтожились и в
полученном уравнении осталось только «y».
Для этого достаточно умножить первое уравнение на «−1».
| 2x − 3y = −4 |·(−1) | |
| 2x + y = 4 |
|
2x · (−1) − 3y · (−1) = −4 · (−1) |
|
| 2x + y = 4 |
Теперь при сложении уравнений у нас останется только «y» в уравнении.
| −2x + 3y = 4 | (−2x + 3y ) + (2x + y) = 4 + 4 | ||
| + => |
−2x + 3y + 2x + y = 4 + 4 |
||
| 2x + y = 4 | 4y = 8 | :4 | ||
| y = 2 |
Подставим в первое уравнение полученное числовое значение «y = 2» и
найдем «x».
Ответ: x = 1; y = 2
Ваши комментарии
Важно!
Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи
«ВКонтакте».
Оставить комментарий:
8 мая 2020 в 16:20
Алина Козлова
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Алина Козлова
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
у-2х=-3
х+у=3
0
Спасибо
Ответить
9 мая 2020 в 21:50
Ответ для Алина Козлова
Evgeny Bayron
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Evgeny Bayron
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
y=3-x
3-x-2x=-3
x=2
y-2*2=-3
y=1
0
Спасибо
Ответить
15 мая 2019 в 13:21
Марина Чернявская
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Марина Чернявская
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Решительно систему уравнений.
4x+3y =22.
-x+7y =10.
a)графическим способом.
б)способом подстановки
в)способом сложения
0
Спасибо
Ответить
15 мая 2019 в 22:31
Ответ для Марина Чернявская
Лёха Чешуйка
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 2
Лёха Чешуйка
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 2
в): Домножаем первое на 1, второе на 4:
4x+3y=22
-4x+28y=40
Складываем:
4x+(-4x)+3y+28y=22+40
31y=62
y=62/31
y=2
Подставляем y в первое:
4x+3 · 2=22
4x=22-6
4x=16
x=4
0
Спасибо
Ответить
15 мая 2019 в 22:41
Ответ для Марина Чернявская
Лёха Чешуйка
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 2
Лёха Чешуйка
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 2
б): Выражаем из второго x:
-x=10-7y
x=7y-10
Подставляем x в первое:
4(7y-10)+3y=22
28y-40+3y=22
31y=22+40
31y=62
y=2
Подставляем y в первое:
4x+3 · 2=22
4x=22-6
4x=16
x=4
0
Спасибо
Ответить
20 октября 2015 в 13:24
Елена Тутуликова
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Елена Тутуликова
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Помогите, пожалуйста, решить систему уравнений.{y + sinx = 5; {4y + 2 sinx = 19
Спасибо!
0
Спасибо
Ответить
23 октября 2015 в 21:25
Ответ для Елена Тутуликова
Елизавета Яременко
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 5
Елизавета Яременко
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 5
Я думаю{y + sinx =5; {4y + 2 sinx =19
0
Спасибо
Ответить
9 июня 2016 в 14:19
Ответ для Елена Тутуликова
Евгений Фёдоров
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 60
Евгений Фёдоров
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 60
sinx = 1/2
y = 9/2
0
Спасибо
Ответить
Диофантовы уравнения – лично для меня одно из самых красивых направлений математики. Они представляют собой уравнения с минимум двумя неизвестными, решения которых необходимо искать только в целых числах.
Давайте решим наиболее простое из диофантовых уравнений – линейное с двумя переменными, а в следующих материалах уже перейдем к более сложным. Итак:
Тривиальное решение этого уравнения (4,0), а что же с остальными? Для начала выразим одну переменную через другую:
Выбираем значение y=3n, исходя из того, чтобы x в любом случае было целым (тройка в знаменателе сокращается). Теперь осталось просто выразить x:
Как всегда, не лишним будет проверить решение при произвольном n:
Конечно, есть еще несколько способов решения таких линейных диофантовых уравнений: например, методом Евклида или даже, самым красивым по моему мнению, геометрическим. Спасибо за внимание!
Читайте также:
|
Одно уравнение с двумя неизвестными решить невозможно. Нужна система из двух уравнений с двумя неизвестными. Тогда мы в одном из уравнений одно неизвестное выражаем через другое. Затем это неизвестное подставляем во второе уравнение. Таким образом получаем уже одно уравнение с одним неизвестным. Решаем его и находим результат. Теперь подставляем найденное значение в первое уравнение и находим второе неизвестное. Вот простой пример решения:
автор вопроса выбрал этот ответ лучшим
Уравнение с двумя неизвестными сейчас элементарно решается с помощью Excel надстройка Поиск решения методом линейного программирования. Например, x+3*y=10. В Excel в окне Параметры поиска решения устанавливаем значение целевой функции = 10. Вводим в ячейках Excel коэффициенты 1 и 3 (значения возле переменных). Вводим исходные нули для x и y (потом программа преобразует эти нули в найденные значения) – это Изменение ячейки переменных. Записываем в виде формулы целевую функцию: 1*0+3*0 (Оптимизировать целевую функцию). Нажимаем найти решение. Вместо нулей получаем значения x и y. В данном случае 1 и 3.
Лилия Казакова 5 лет назад Существует способ решения уравнения с двумя неизвестными – с помощью графика. Для этого необходимо начертить графики двух прямых по отдельности в одной системе координат. Это уравнение прямой выглядит так: y=kx+b. Для того, чтобы эту прямую выстроить, нужно найти координаты 2-х точек, при этом X выбирается абсолютно в произвольном порядке. Например: 2X-Y = 4 Y= -3X+1 По первому уравнению строим прямую, его записываем так: Y=2X-4 Значения для X надо придумать, найти Y. Таким образом получаются две точки, по которым надо построить прямую. X 01 y-4-2 Строим прямую по 2-му уравнению: y=-3X+1 Строим прямую X02 y1-5 После этого необходимо найти координаты точки пересечения обоих прямых, которые мы построили. Прямые могут и не пересекаться, в таком случае уравнение решения не имеет.
danilaups 5 лет назад Уравнение с двумя неизвестными на самом деле очень легкие, чего не скажешь, о 3 и 4 неизвестных, вот так действительно придется повозиться. В двух словах расскажу самые простые способы решения таких уравнений: чаше всего эти уравнения даются в виде системы уравнений из двух, объеденных фигурной скобкой, есть два простых способа решения. 1- выражаете в первом уравнении х через у или наоборот, затем подставляем то что вы выразили из первого уравнения во второе, соответственно вместо х или у, все считаем и все. 2- умножаем первое или второе на -1, и складываем уравнения, затем также все считаем и получаем ответ, оговорюсь, что второй способ работает только если в результате сложения х или у исчезают.
Для того чтобы решить такое уравнение, нужно составить систему. И одно неизвестное выразить через другое. А потом решать просто как обычное уравнение с одним неизвестным членом. После нахождения корней, сделать подстановку результатов в уравнение и найти второе неизвестное. Есть еще один способ решения. Домножьте одно из уравнений на столько, чтобы коэффициент перед любой из переменных, стал одинаков в обоих уравнениях. Когда вычтете обе части одного уравнения из другого, то увидите, что вторая переменная исчезла. Остаётся только решить полученное уравнение, подставить найденное значение в любое из первоначальных равенств и решить его.
Dilyara K 5 лет назад Уравнение с двумя неизвестными бывает такого вида ax+by=c, где x и y неизвестные, a,b,c – любые действительные числа. Можно решить и одно уравнение с двумя неизвестными. Пример: 2x+y=2 Если y=0, то x=1 Если y=1, то x=0.5 и т.д То есть решения этого уравнения есть, но их может быть бесконечное множество. Чтобы решение было единственным, нужно наличие второго уравнения, через которое можно выразить одну переменную и подставив в первое уравнение найти поочередно обе незвестные. Пример 2x+y=2 x-y=1 Далее y=x-1 Подставляем в первое уравнение 2x+x-1=2 3x=3 x=1, тогда y=0. Мы получили единственно возможное решение
МарияСС 7 лет назад Уравнение с двумя неизвестными имеет бесконечное число решений, такие уравнения в математике называют неопределенными. Уравнение с двумя неизвестными имеет следующий вид: ax+by=c. Здесь x и y – неизвестные. с – это свободный член. Любые x и y, которые будут удовлетворять данному уравнению будут называться решением уравнения. Можно подставлять значения одного неизвестного и находить соответствующее ему значение другого неизвестного. Полученные значения можно обозначить точками в декартовой системе координат и нарисовать график, который будет представлять собой множество решений данного уравнения.
KillNUR 5 лет назад Если есть одно уравнение с двумя неизвестными, то решить его не получится никак. Только выразить одно неизвестное через другое, не более. Например, в корзине есть 100 яблок и груш. Сколько груш, сколько яблок в корзине? Выразим через уравнение. X + Y = 100 Таких данных нам явно мало для получения точного ответа. Мы можем судить только о том, что правильный ответ будет колебаться от 1 до 99. Добавим данных. Известно, что яблок в три раза больше чем груш. То есть X = 3Y В таком случае задача решается за секунды. Подставляем вместо X в первом уравнении 3Y: 3Y + Y = 100 Y = 100/4 = 25, X = 75 Эта система уравнений самая простая. Но принцип решения почти всегда одинаков.
Карлитос 5 лет назад Нужно одно из неизвестных выразить через другое. Например, если х и у, то у= и записываете все что ест в уравнении, учитывая знаки. Потом в первоначальное уравнение подставляем получение на место у и решаем, как уравнение с 1 неизвестным. Когда будет результат, его ставим в первоначальное уравнение. У нас снова одно неизвестное. Решаем и вуаля) все ответы получены.
Уравнением является тождество, где среди известных членов скрывается одно число, которое необходимо вставить вместо латинской буквы, что бы его найти надо в одно сторону перевести все известные члены, а в другую все неизвестные члены. Есть три способа, способ подстановки, способ сложения и метод графиков.
Лаврентий что еще написать чтоб не было такого же 3 года назад кто знает ответ подскажите с решением если можно х*2-25=(х-5):3 Знаете ответ? |
