Иногда в системе движется не одно, а два связанных между собой тела. Тогда описание движения с применением законов Ньютона включает в себя описания движения каждого из этих тел.
Движение тел по горизонтали без трения
Решение
II закон Ньютона в векторной форме для 1 тела:
II закон Ньютона в векторной форме для 2 тела:
Проекция на ОХ для 1 тела:
Проекция на ОY для 1 тела:
Проекция на ОХ для 2 тела:
Проекция на ОY для 2 тела:
III закон Ньютона:
Движение по горизонтали с учетом сил трения
Решение
II закон Ньютона в векторной форме для 1 тела:
II закон Ньютона в векторной форме для 2 тела:
Проекция на ОХ для 1 тела:
Проекция на ОY для 1 тела:
Проекция на ОХ для 2 тела:
Проекция на ОY для 2 тела:
III закон Ньютона:
Вертикальное движение тел (m1 > m2)
h — расстояние между телами. l1 и l2 — перемещение тела 1 и тела 2 соответственно. Перемещения обоих тел равны, поэтому: l1 = l2 = l.
Решение
Расстояние между телами определяется формулой: h = l1 + l2 = 2l.
II закон Ньютона в векторной форме для 1 тела:
II закон Ньютона в векторной форме для 2 тела:
Проекция на ОY для 1 тела:
Проекция на ОY для 2 тела:
III закон Ньютона:
На один из грузов положили довесок
Решение
II закон Ньютона для 1 тела:
II закон Ньютона для 2 тела:
Проекция на ось ОУ для 1 тела:
Проекция на ось ОУ для 2 тела:
III закон Ньютона:
Вес довеска определяется по формуле:
Пример №1. На нити, переброшенной через неподвижный блок, подвешены грузы массами m и 2m. С каким ускорением будут двигаться грузы, если их отпустить? Трением в блоке пренебречь.
Строим чертеж:
Записываем второй закон Ньютона для каждого из тел. Для первого тела он будет иметь вид:
Для второго тела II закон Ньютона примет следующий вид:
Запишем проекции на ось OУ для каждого из тел:
Выразим силы натяжения нити для каждого из тел и приравняем их правые части:
Сделаем несколько преобразований:
Это значит, если отпустить грузы, они будут двигаться с ускорением, втрое меньшим по сравнению с ускорением свободного падения. Приблизительно оно будет равно 3,33 м/с2.
Задание EF17717
Два груза массами соответственно М1 = 1 кг и М2 = 2 кг, лежащие на гладкой горизонтальной поверхности, связаны невесомой и нерастяжимой нитью. На грузы действуют силы F1 и F2, как показано на рисунке. Сила натяжения нити Т = 15 Н. Каков модуль силы F1, если F2 = 21 Н?
а) 6 Н
б) 12 Н
в) 18 Н
г) 21 Н
Алгоритм решения
1.Записать исходные данные.
2.Сделать чертеж. Указать все силы, которые действуют на 1 и 2 тело. Выбрать систему координат.
3.Записать для каждого тела второй закон Ньютона в векторной форме.
4.Записать для каждого тела второй закон Ньютона в виде проекций на оси ОХ и ОУ.
5.Выразить формулу для вычисления силы, действующей на первое тело.
6.Подставить известные данные и произвести вычисления.
Решение
Запишем исходные данные:
• Масса тела 1: m1 = 1 кг.
• Масса тела 2: m2 = 1 кг.
• Сила натяжения нити: Т = 15 Н.
• Сила, действующая на второе тело, равна: F2 = 21 Н.
Сделаем чертеж. Систему координат выберем такую, чтобы ось ОУ была параллельная ускорению свободного падения.
Согласно третьему закону Ньютона, два тела действуют друг на друга с равными по модулю, но противоположными по направлению силами. Поэтому модули сил натяжения нити Т1 и T2 равны:
T1 = T2 = T
Учтем это при записи второго закона Ньютона для каждого из тел:
Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси ОХ и ОУ. Сначала для первого тела:
T – F1 = m1a
N1 = m1g
Теперь для второго тела:
F2 – T = m2a
N2 = m2g
Выразим из проекции на ось ОХ для 1 тела модуль первой силы:
F1 = T – m1a
Из проекции на ось ОХ для второго тела выразим ускорение:
Подставим ускорение в формулу для нахождения силы, действующей на первое тело:
Ответ: б
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Задание EF18920
На вертикальной оси укреплена гладкая горизонтальная штанга, по которой могут перемещаться два груза массами m1 = 200 г и m2 = 300 г, связанные нерастяжимой невесомой нитью длиной l = 20 см. Нить закрепили на оси так, что грузы располагаются по разные стороны от оси и натяжение нити с обеих сторон от оси при вращении штанги одинаково (см. рисунок). Определите модуль силы натяжения Т нити, соединяющей грузы, при вращении штанги с частотой 600 об/мин.
Алгоритм решения
1.Записать исходные данные. Перевести их в СИ.
2.Сделать чертеж, обозначив все силы, действующие на систему тел, их направления. Выбрать систему координат.
3.Записать второй закон Ньютона в векторной форме для каждого из тел.
4.Записать второй закон Ньютона для каждого из грузов в виде проекций на ось ОХ.
5.Вывести формулу для радиуса окружности, по которой движется любой из грузов.
6.Вывести формулу для вычисления силы натяжения нити, подставить известные данные и произвести вычисления.
Решение
Запишем исходные данные, сразу переведя их в СИ:
• Масса первого груза m1 = 200 г = 0,2 кг.
• Масса первого груза m2 = 300 г = 0,3 кг.
• Длина нити l = 20 см = 0,2 м.
• Натяжение нити с обеих сторон одинаково, следовательно: T1 = T2 = T.
• Частота вращения штанги ν = 600 об./мин. = 10 об./с.
Сделаем чертеж, обозначив все силы. Учтем, что сила натяжения нити равна с обеих сторон. Выберем систему координат, в которой ось ОУ параллельна оси вращения.
Запишем второй закон Ньютона для первого и второго груза соответственно:
Запишем проекции на ось ОХ для каждого из тел:
T = m1aц.с.1
T = m2aц.с.2
Центростремительное ускорение также определяется формулой:
aц.с. = ω2R
Угловая скорость определяется формулой:
ω = 2πν
Следовательно, центростремительное ускорение равно:
aц.с. = 4π2ν2R
Применим эту формулу для обоих грузов:
aц.с.1 = 4π2ν2R1
aц.с.2 = 4π2ν2R2
Сумма радиусов окружностей, по которым вращаются грузы, есть длина нити:
R1 + R2 = l
Выразим радиус окружности, по которой вращается второй груз:
R2 = l – R1
Так как грузы связаны между собой, и ни один из них не перевешивает другой:
m1gR1 = m2gR2
Ускорение свободного падения взаимоуничтожается. Получаем:
Подставим радиус второй окружности и выразим радиус первой окружности:
Следовательно, центростремительное ускорение первого груза равно:
Теперь возьмем проекцию на ось ОХ для первого тела и вставим в формулу найденное центростремительное ускорение для первого тела:
Подставим известные данные и вычислим силу натяжения нити:
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Задание EF17647
По горизонтальному столу из состояния покоя движется брусок массой 0,9 кг, соединённый с грузом массой 0,3 кг невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через гладкий невесомый блок (см. рисунок). Коэффициент трения бруска о поверхность стола равен 0,2. Натяжение вертикальной части нити равно:
а) 2,25 Н
б) 2,7 Н
в) 3 Н
г) 3,6 Н
Алгоритм решения
• Записать исходные данные.
• Сделать чертеж. Указать все силы, действующие на тела, и их направление. Выбрать систему отсчета.
• Записать второй закон Ньютона для бруска и подвешенного к нити груза в векторной форме.
• Записать второй закон Ньютона для обоих тел в виде проекций на оси.
• Вывести формулу для вычисления искомой величины.
• Подставить известные данные и вычислить искомую величину.
Решение
Запишем исходные данные:
• Масса первого тела (движущегося по плоскости) равна: m1 = 0,9 кг.
• Масса второго тела (подвешенного к нити) равна: m2 = 0,3 кг.
• Коэффициент трения первого тела о поверхность плоскости равна: μ = 0,2.
Выполним чертеж и укажем все силы, которые действуют на брусок и груз на нити. Выберем систему координат так, чтобы направление оси ОХ совпадало с направлением движения бруска.
Так как тела связаны, силы натяжения нити на обоих концах равны. Будем обозначать их без индекса. Запишем второй закон Ньютона в векторной форме для первого и второго тела соответственно:
Теперь запишем проекции на ось ОХ и ось ОУ соответственно для бруска:
Запишем проекцию на ось ОУ для груза на нити:
Выразим из этого выражения ускорение и получим:
Из проекции на ось ОХ сил, действующих на брусок, тоже выразим ускорение:
Приравняем правые части уравнений и получим:
Произведем вычисления:
Ответ: б
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Задание EF22698
Два груза, связанные нерастяжимой и невесомой нитью, движутся по гладкой горизонтальной поверхности под действием постоянной горизонтальной силы F, приложенной к грузу М1 = 2 кг (см. рисунок). Нить обрывается при значении силы натяжения нити 4 Н, при этом модуль силы F равен 12 H. Чему равна масса второго груза М2?
Алгоритм решения
1.Записать исходные данные.
2.Выполнить чертеж, указав все силы, действующие на каждый из грузов.
3.Записать второй закон Ньютона для обоих тел.
4.Записать второй закон Ньютона в проекциях на ось ОХ.
5.Применить третий закон Ньютона.
6.Выразить массу второго груза (найти общее решение).
Решение
Запишем исходные данные:
• Масса первого груза равна: m1 = 2 кг.
• Сила натяжения нити равна: T = 4 Н.
• Модуль силы, которая действует на систему тел: F = 12 Н.
Выполним чертеж:
Запишем второй закон Ньютона для 1 и 2 тела соответственно:
Запишем второй закон Ньютона для 1 и 2 тела в проекции на ось ОХ:
F – T1 = m1a
T2 = m2a
Отсюда масса второго тела равна:
Согласно третьему закону Ньютона, тела действуют друг на друга с равными по модулю, но противоположными по направлению силами. Следовательно, силы натяжения нити равны на обоих концах:
T1 = T2 = T
Поэтому:
T = F – m1a
Из первого выражения выразим ускорение и подставим его во второе:
Подставим в формулу и получим:
Ответ: 1
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Алиса Никитина | Просмотров: 5k
Динамика: движения системы связанных тел.
Проецирование сил нескольких объектов.
Действие второго закона Ньютона на тела, которые скреплены нитью
Если ты, дружок, позабыл, как силушку проецировать, советую мыслишки в своей головушке освежить.
А для тех, кто все помнит, поехали!
Задача 1. На гладком столе лежат два связанных невесомой и нерастяжимой ниткой бруска с массой 200 г левого и массой правого 300 г. К первому приложена сила 0,1 Н, к левому — в противоположном направлении сила 0,6 Н. С каким ускорением движутся грузы?
Движение происходит только на оси X.
Т.к. к правому грузу приложена большая сила, движение данной системы будет направлено вправо, поэтому направим ось так же. Ускорение у обоих брусков будет направлено в одну сторону — сторону большей силы.
По II з. Ньютона спроецируем силы обоих тел на Ох:
Сложим верхнее и нижнее уравнение. Во всех задачах, если нет каких-то условий сила натяжения у разных тел одинакова T₁ и Т₂.
Выразим ускорение:
Ответ: 1 м/с²
Задача 2. Два бруска, связанные нерастяжимой нитью, находятся на горизонтальной плоскости. К ним приложены силы F₁ и F₂, составляющие с горизонтом углы α и β. Найти ускорение системы и силу натяжения нити. Коэффициенты трения брусков о плоскость одинаковы и равны μ. Силы F₁ и F₂ меньше силы тяжести брусков. Система движется влево.
Cистема движется влево, однако ось можно направить в любую сторону (дело лишь в знаках, можете поэксперментировать на досуге). Для разнообразия направим вправо, против движения всей системы, мы же любим минусы! Спроецируем силы на Ох (если с этим сложности — вам сюда ).
По II з. Ньютона спроецируем силы обоих тел на Ох:
Сложим уравнения и выразим ускорение:
Выразим натяжение нити. Для этого приравняем ускорение из обоих уравнений системы:
Задача 3. Через неподивжный блок перекинуты нить, к которой подвешены три одинаковых груза (два с одной стороны и один с другой) массой 5 кг каждый. Найти ускорение системы. Какой путь пройдут грузы за первые 4 с движения?
В данной задаче можно представить, что два левых груза скреплены вместе без нити, это избавит нас от проецирования взаимно равных сил.
Вычтем из первого уравнения второе:
Зная ускорение и то, что начальная скорость равна нулю, используем формулу пути для равноускоренного движения:
Ответ: 26,64 м
Задача 4. Два груза массами 4 кг и 6 кг соединены легкой нерастяжимой нитью. Коэффициенты трения между грузом и столом μ = 0,2. Определите ускорение, с которым будут двигаться грузы.
Запишем движение тел на оси, из Oy найдем N для силы трения (Fтр = μN):
(Если сложно понять, какие уравнения понадобятся для решения задачи, лучше запишите все)
Сложим два нижних уравнения для того, чтобы T сократилось:
Выразим ускорение:
Ответ: 2,8 м/с²
Задача 5. На наклонной поскости с углом наклона 45° лежит брускок массой 6 кг. Груз массой 4 кг присоединен к бруску при помощи нити и перекинут через блок. Определите натяжение нити, если коэффициент трения бруска о плоскость μ = 0,02. При каких значениях μ система будет в равновесии?
Ось направим произвольно и предположим, что правый груз перевешивает левый и поднимает его вверх по наклонной плоскости.
Из уравнения на ось Y выразим N для силы трения на ось Х (Fтр = μN):
Решим систему, взяв уравнение для левого тела по оси Х и для правого тела по оси Y:
Выразим ускорение, чтобы осталась одна неизвестная T, и найдем ее:
Система будет в равновесии. Это означает, что сумма всех сил, действующих на каждое из тел, будет равна нулю:
Получили отрицательный коэффициент трения, значит, движение системы мы выбрали неверно (ускорение, силу трения). Можно это проверить, подставив силу натяжения нити Т в любое уравнение и найдя ускорение. Но ничего страшного, значения остаются теми же по модулю, но противоположными по направлению.
Значит, правильное направление сил должно выглядить так, а коэффициент трения, при котором система будет в равновесии, равен 0,06.
Ответ: 0,06
Задача 6. На двух наклонных плоскостях находится по грузу массами 1 кг. Угол между горизонталью и плоскостями равен α = 45° и β = 30°. Коэффициент трения у обеих плоскостей μ = 0,1. Найдите ускорение, с которым движутся грузы, и силу натяжения нити. Каким должно быть отношение масс грузов, чтобы они находились в равновесии.
В данной задаче уже потребуются все уравнения на обе оси для каждого тела:
Найдем N в обоих случаях, подставим их в силу трения и запишем вместе уравнения для оси Х обоих тел:
Сложим уравнения и сократим на массу:
Выразим ускорение:
Подставив в любое уравнение найденное ускорение, найдем Т:
А теперь одолеем последний пункт и разберемся с соотношением масс. Сумма всех сил, действующих на любое из тел, равна нулю для того, чтобы система находилась в равновесии:
Сложим уравнения
Все, что с одной массой, перенесем в одну часть, все остальное — в другую часть уравнения:
Получили, что отношение масс должно быть таким:
Однако, если мы предположим, что система может двигаться в другом направлении, то есть правый груз будет перевешивать левый, направление ускорения и силы трения изменится. Уравнения останутся такими же, а вот знаки будут другими, и тогда отношение масс получится таким:
Тогда при соотношении масс от 1,08 до 1,88 система будет находиться в покое.
У многих может сложиться впечатление, что соотношение масс должно быть каким-то конкретным значением, а не промежутком. Это правда, если отстутвует сила трения. Чтобы уравновешивать силы тяжести под разными углами, найдется только один варинт, когда система находится в покое.
В данном же случае сила трения дает диапазон, в котором, пока сила трения не будет преодолена, движения не начнется.
Ответ: от 1,08 до 1,88
Задачи для закрепления.
Система связанных тел.
Будь в курсе новых статеек, видео и легкого технического юмора.
«Мыслящий ум не чувствует себя счастливым,
пока ему не удастся связать воедино
разрозненные факты, им наблюдаемые»
Г.Ч. де Хевеши
В данной теме будут рассмотрены задачи на движение связанных
тел.
Задача 1. Через блок перекинута невесомая и
нерастяжимая нить, к концам которой подвешены два тела массами 1 и 2 кг. Тела
предоставлены сами себе, а их начальные скорости равны нулю. Определите
перемещение тел за 5 с движения, а также возникающую при этом силу в нити.
Трением в блоке и его массой пренебречь.
|
ДАНО: |
РЕШЕНИЕ: Запишем второй закон Ньютона для первого и второго тела В проекциях на ось Оу Таким образом, получили систему из двух уравнений с Первое уравнение связи вытекает из условия о не Так как нить нерастяжима и в блоке нет трения, то: Второе уравнение связи будет вытекать из условия о Так как блок и веревка невесомы и нет трения в оси блока, Перепишем уравнения движения в следующем виде: Для того чтобы решить полученную систему, вычтем из первого Преобразуем уравнение Кинематическое уравнение для правого тела: В момент времени t = τ: Тогда получаем Теперь определим силу натяжения нити |
Ответ: s = 41,7
м; T1 = T2
= 13,3 Н.
Задача 2. На гладкой горизонтальной поверхности
находятся три бруска массами 1, 2 и 3 кг, связанные невесомыми нерастяжимыми
нитями. К бруску большей массы на нити, перекинутой через неподвижный блок,
подвешен груз массой 4 кг. Определите ускорение этой системы и силы натяжения
всех нитей. Считать, что масса блока пренебрежимо мала и трение в блоке
отсутствует.
|
ДАНО: |
ДАНО: Запишем второй закон Ньютона для всех четырёх связанных тел Так как нить нерастяжима, то: Так как нить невесома, то: В проекциях на оси координат: Для того, чтобы решить данную систему уравнений сложим три
Теперь силы натяжения нитей |
Ответ: a =
20 м/с2; Т1 = 20 Н; Т2 = 60 Н; Т3
= 120 Н.
Задача 3. На гладком горизонтальном столе расположен
брусок массой 5 кг, на котором находится брусок массой 3 кг. Оба бруска
соединены легкой нерастяжимой нитью, перекинутой через невесомый блок. Если к
нижнему бруску приложена сила 55 Н, а коэффициент трения между брусками равен
0,3, то чему равно ускорение, с которым движется система брусков?
|
ДАНО: |
РЕШЕНИЕ: Запишем второй закон Ньютона для каждого тела Так как нить нерастяжима и в блоке нет трения, то: Так как нить и блок невесомы, то: Согласно третьему закону Ньютона, модули сил трения, В проекциях на ось Ох: Вычтем второе уравнение из первого. Тогда получим Преобразуем последнее уравнение и выразим из него ускорение Учтем, что сила трения определяется по выражению В проекциях на ось Оу: Тогда ускорение будет равно |
Ответ: 4,6 м/с2.
-
Движение связанных тел
При записи уравнений движения связанных
тел необходимо иметь в виду, что второй
закон Ньютона формулируется для тела
(одного) массой m.
Следовательно, при описании движения
связанных тел уравнение движения должно
быть записано для каждого тела в
отдельности, а действие тел друг на
друга определяется силой реакции опоры,
натяжения нити и т. д.
З
адача
10.
На столе находится небольшой деревянный
брусок массой 290 г, к которому привязана
нить, перекинутая через невесомый блок,
закрепленный
на краю стола. Ко второму концу нити
привязан груз массой 150 г.
С каким ускорением будут двигаться эти
тела, если коэффициент трения дерева о
стол равен 0,32?
|
Дано:
|
СИ
|
Решение. |
|
|
На
брусок (рис. 10), расположенный на столе,
очевидно (см. задачу 8), действуют четыре
силы: сила тяжести; сила реакции опоры;
сила натяжения нити и сила трения. На
груз, подвешенный на нити, перекинутой
через блок, очевидно (см. задачу 7),
действуют две силы: сила тяжести и сила
натяжения нити. На
основании второго закона Ньютона запишем
уравнение движения
для каждого из этих тел, полагая, что их
размерами в данной задаче можно
пренебречь:
Координатные
оси можно выбрать отдельно для каждого
тела, поскольку после взятия проекций
в формулах останутся только модули
векторов (их длины), которые одинаковы
во всех системах координат. Возьмем
проекции векторов на координатные оси,
добавим формулу для силы трения и
получим:
Поскольку
движущиеся тела связаны, то за одинаковый
промежуток времени они будут проходить
одинаковое расстояние. Отсюда следует,
что модули ускорений, с которыми движутся
эти тела, одинаковы. Силы натяжения
нити, приложенные к бруску и к грузу,
возникают вследствие взаимодействия
этих тел и по модулю равны друг другу
(более подробное объяснение равенства
модулей этих сил будет приведено при
изучении вращательного движения тел).
Решение
системы уравнений выполним в следующем
порядке: из второго уравнения выразим
силу реакции опоры и подставим в третье
уравнение, а получившееся при этом
выражение для силы трения подставим в
первое:
Сложим
левые и правые части уравнений системы
,
при этом в правой
части полученного выражения взаимно
уничтожится неизвестная сила натяжения
нити, а затем выразим ускорение:
;
.
Ответ:
тела будут двигаться с ускорением
.
-
Движение под действием переменных сил
Если силы, действующие
на тело, при его движении изменяются с
течением времени, то ускорение, с которым
движется тело, не будет оставаться
постоянным. Это обстоятельство
делает невозможным использование формул
кинематики равноускоренного движения
и требует применения дифференциального
и интегрального исчисления при решении
задач такого типа.
Задача
11.
Водный мотоцикл массой 160 кг (без водителя)
движется по спокойной воде. После падения
водителя на крутом вираже и автоматической
остановки двигателя скорость мотоцикла
при его дальнейшем движении по прямой
за 4,5 с уменьшилась в 10 раз. Считая силу
сопротивления движению пропорциональной
скорости (
),
найти коэффициент сопротивления
.
|
Дано:
|
|
|
|
Решение.
Д
вижение
вод-ного мотоцикла пос-ле остановки
двигателя происходит под действием
трех сил: силы тяжести, направленной
вертикально вниз, силы Архимеда,
направленной вверх, и силы сопротивления,
направленной против скорости.
На
основании второго закона Ньютона запишем
уравнение движения:
.
Выберем
ось Ox
вдоль направления движения. Тогда для
этой оси уравнение можно переписать
с учетом того, что проекции силы тяжести
и силы Архимеда на горизонтальную ось
равны нулю, а проекция силы сопротивления
:
.
Из
уравнения видно, что ускорение, с
которым движется водный мотоцикл, не
остается постоянным с течением времени,
а изменяется вместе с изменением
скорости. По
определению для ускорения при одномерном
движении и
произвольном характере зависимости
ускорения от времени можно записать:
(именно
поэтому в уравнении не взяты проекции
скорости и ускорения).
Подставляя
формулу в уравнение , получим
дифференциальное уравнение с разделяющимися
переменными, в котором неизвестной
является функция скорости от времени:
.
Разделим
переменные и проинтегрируем обе части
уравнения ,
полагая, что секундомер был включен в
момент выключения двигателя:
.
С
учетом формулы Ньютона-Лейбница и правил
потенцирования, получим:
.
Если
необходимо получить зависимость скорости
от времени, то следует взять экспоненту
от обеих частей выражения и применить
к левой части основное логарифмическое
тождество. В данной задаче искомую
величину выразим непосредственно из
формулы :
;
.
Ответ:
коэффициент сопротивления движению
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Динамика прямолинейного движения связанных тел
Динамика прямолинейного движения связанных тел
Основная задача динамики прямолинейного движения связанных тел
Основной задачей динамики при рассмотрении движения связанных тел в разных системах отсчета является объяснение причин, которые определяют характер движения. При этом возникает необходимость понять, при каких условиях системы тел движутся по прямой линии, в каком случае их траекторией является кривая, в результате действия каких причин тела движутся равномерно, ускоренно или замедленно.
При изучении поведения систем связанных тел со скоростями много меньшими скорости света используют классические законы Ньютона:
Если тела не взаимодействуют с другими телами или действие других тел скомпенсировано, то скорость системы не изменяется ни по модулю, ни по направлению. Система перемещается равномерно и прямолинейно.
Сила ($overline{F}$), вызывающая ускорение системы тел ($overline{a}$), в инерциальной системе отсчета пропорциональная массе ($m$) тел, умноженной на его ускорение:
[overline{F}=moverline{a}left(1right).]
Силы взаимодействия тел равны по величине, направлены вдоль одной прямой и имеют противоположные направления.
Если не указано иное, то связи, обычно нити, считают нерастяжимыми и невесомыми. В таком случае при рассмотрении движения связанных тел необходимо помнить, что ускорение движения тел в системе одинаково (результат действия связей). Силу натяжения нитей считают равной по всей длине нити.
В некоторых случаях можно выбирать разные системы координат при рассмотрении движения разных тел системы.
Схема решения типовой задачи при движении связанных тел
- Графически изображаем ситуацию, описанную в задаче. Рисуем чертеж, изображаем силы, скорости движения тел, ускорения. Выбираем и изображаем системы отсчета.
- Записываем основной закон динамики поступательного движения (второй закон Ньютона) в векторной форме, необходимые кинематические уравнения движения, другие необходимые законы и формулы, например, основной закон динамики вращательного движения, формулу силы трения и т.д.
- Проектируем векторные уравнения на оси систем координат.
- Решаем уравнения.
- Проводим необходимые вычисления, предварительно убедившись, что все величины записаны в единой системе единиц.
Примеры задач с решением
Пример 1
Задание. На горизонтальной поверхности находится тележка, имеющая массу $M$. К ней привязана невесомая, нерастяжимая нить. Нить перекинута через невесомый блок. Ко второму концу нити прикреплен груз массой $m$ (рис.1). С каким ускорением будет двигаться тележка. Силы трения не учитывать.
Решение. Изобразим силы, которые действуют на тележку и груз на рис.1. и ускорения движения тел системы. Помним, что сил трения нет. Отметим, что ускорения связанных тел (тележки и груза) будут одинаковы, кроме этого силы натяжения нити ($overline{N}$), действующие на тележку и на груз равны по величине (блок невесомый), но имеют разные направления (рис.1). Запишем второй закон Ньютона для тележки:
[{overline{F}}_R+Moverline{g}+overline{N}=Moverline{a}left(1.1right).]
Основной закон динамики для груза имеет вид:
[moverline{g}+overline{N}=moverline{a} left(1.2right).]
Систему отсчета свяжем с Землей, запишем проекции уравнения (1.1) на оси координат:
[left{ begin{array}{c}
X:N=Ma \
Y:Mg=F_R end{array}
right.left(1.3right).]
В проекциях на эти же оси координат уравнение (1.2) даст одно скалярное уравнение:
[left{ begin{array}{c}
X:mg-N=ma \
Y:0 end{array}
right.left(1.4right).]
Из первого уравнения системы (1.3) и уравнения (1.4) имеем:
[mg-Ma=ma left(1.5right).]
Выразим из (1.5) искомое ускорение:
[a=frac{m}{M+m}.]
Ответ. $a=frac{m}{M+m}$
Пример 2
Задание. Два груза массами $m_1 и m_2,$ связанные невесомой нитью, скользят по гладкой поверхности. На груз массы $m_1 $действует с силой F направленной горизонтально (рис.2). Каково ускорение грузов? Какой будет сила натяжения нити, связывающей эти грузы? Силу трения грузов о поверхность не учитывайте. textit{}
Решение. На рис. 2 изобразим силы, действующие на груз массы $m_1$ (рис.2).
В соответствии со вторым законом Ньютона запишем:
[m_1overline{g}+{overline{N}}_1+overline{F}+overline{T}=m_1overline{a}left(2.1right).]
Систему отсчета свяжем с Землей, выберем направления осей координат (рис.2).
Для решения задачи нам потребуется проекция уравнения (2.1) только на ось Y:
[F-T=m_1a left(2.2right).]
В уравнении (2.2) мы имеем две неизвестные величины: сила натяжения нити ($T$) и ускорение тела ($a$). Для нахождения ускорения с которым движется первое тело и вся система из связанных тел, выясним, какие силы действуют на систему, если оба тела считать одним целым. Тогда на систему массой $m_1+m_2$ действует одна сила $overline{F}$. В этом случае второй закон Ньютона принимает вид:
[left(m_1+m_2right)overline{a}=overline{F}+left(m_1+m_2right)overline{g}+overline{N}left(2.3right).]
В проекции на ось Y формулы (2.3) получим:
[left(m_1+m_2right)a=F left(2.4right).]
Из (2.4) ускорение тел равно:
[a=frac{F}{m_1+m_2}left(2.5right).]
Из (2.2) и (2.5) получим силу натяжения нити равной:
[T=Fleft(1-frac{m_1}{m_1+m_2}right). ]
Ответ.$ 1)a=frac{F}{m_1+m_2}.$ 2) $T=Fleft(1-frac{m_1}{m_1+m_2}right)$
Читать дальше: закон всемирного тяготения, сила тяжести.
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
