Как найти двойной факториал числа

Как найти двойной факториал числа

Двойной факториал

  1. Главная
  2. /
  3. Математика
  4. /
  5. Арифметика
  6. /
  7. Двойной факториал

Для того чтобы посчитать двойной факториал для любого числа воспользуйтесь нашим удобным онлайн калькулятором:

Онлайн калькулятор

Чему равен двойной факториал

!! ?

Ответ:

0

Введите число, для которого нужно посчитать двойной факториал и получите ответ.

Теория

Двойной Факториал натурального числа n – это произведение всех натуральных чисел, той же чётности что и n, от 1 (или 2) до n включительно. Обозначается как n!!.

Формулы

Для чётного n:

n!! = 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ … ⋅ n

Для нечётного n:

n!! = 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ … ⋅ n

Пример для чётного числа

Посчитаем двойной факториал чётного числа 6:

6!! = 2⋅4⋅6 = 48

Пример для нечётного числа

Посчитаем двойной факториал нечётного числа 9:

9!! = 1⋅3⋅5⋅7⋅9 = 945

См. также

Источник

From Wikipedia, the free encyclopedia

The double factorial should not be confused with the factorial function iterated twice (sequence A000197 in the OEIS), which is written as {displaystyle (n!)!}, not n!!.

In mathematics, the double factorial of a number n, denoted by n‼, is the product of all the integers from 1 up to n that have the same parity (odd or even) as n.[1] That is,

{displaystyle n!!=prod _{k=0}^{leftlceil {frac {n}{2}}rightrceil -1}(n-2k)=n(n-2)(n-4)cdots .}

For even n, the double factorial is

{displaystyle n!!=prod _{k=1}^{frac {n}{2}}(2k)=n(n-2)(n-4)cdots 4cdot 2,,}

and for odd n it is

{displaystyle n!!=prod _{k=1}^{frac {n+1}{2}}(2k-1)=n(n-2)(n-4)cdots 3cdot 1,.}

For example, 9‼ = 9 × 7 × 5 × 3 × 1 = 945. The zero double factorial 0‼ = 1 as an empty product.[2][3]

The sequence of double factorials for even n = 0, 2, 4, 6, 8,… starts as

1, 2, 8, 48, 384, 3840, 46080, 645120,… (sequence A000165 in the OEIS)

The sequence of double factorials for odd n = 1, 3, 5, 7, 9,… starts as

1, 3, 15, 105, 945, 10395, 135135,… (sequence A001147 in the OEIS)

The term odd factorial is sometimes used for the double factorial of an odd number.[4][5]

History and usage[edit]

In a 1902 paper, the physicist Arthur Schuster wrote:[6]

The symbolical representation of the results of this paper is much facilitated by the introduction of a separate symbol for the product of alternate factors, {displaystyle ncdot n-2cdot n-4cdots 1}, if n be odd, or {displaystyle ncdot n-2cdots 2} if n be odd [sic]. I propose to write n!! for such products, and if a name be required for the product to call it the “alternate factorial” or the “double factorial.”

Meserve (1948)[7] states that the double factorial was originally introduced in order to simplify the expression of certain trigonometric integrals that arise in the derivation of the Wallis product. Double factorials also arise in expressing the volume of a hypersphere, and they have many applications in enumerative combinatorics.[1][8] They occur in Student’s t-distribution (1908), though Gosset did not use the double exclamation point notation.

Relation to the factorial[edit]

Because the double factorial only involves about half the factors of the ordinary factorial, its value is not substantially larger than the square root of the factorial n!, and it is much smaller than the iterated factorial (n!)!.

The factorial of a non-zero n may be written as the product of two double factorials:[2]

{displaystyle n!=n!!cdot (n-1)!!,,}

and therefore

{displaystyle n!!={frac {n!}{(n-1)!!}}={frac {(n+1)!}{(n+1)!!}},,}

where the denominator cancels the unwanted factors in the numerator. (The last form also applies when n = 0.)

For an even non-negative integer n = 2k with k ≥ 0, the double factorial may be expressed as

{displaystyle n!!=2^{k}k!,.}

For odd n = 2k − 1 with k ≥ 1, combining the two previous formulas yields

{displaystyle n!!={frac {(2k)!}{2^{k}k!}}={frac {(2k-1)!}{2^{k-1}(k-1)!}},.}

For an odd positive integer n = 2k − 1 with k ≥ 1, the double factorial may be expressed in terms of k-permutations of 2k as[1][9]

{displaystyle (2k-1)!!={frac {_{2k}P_{k}}{2^{k}}}={frac {(2k)^{underline {k}}}{2^{k}}},.}

Applications in enumerative combinatorics[edit]

The fifteen different rooted binary trees (with unordered children) on a set of four labeled leaves, illustrating 15 = (2 × 4 − 3)‼ (see article text).

Double factorials are motivated by the fact that they occur frequently in enumerative combinatorics and other settings. For instance, n‼ for odd values of n counts

  • Perfect matchings of the complete graph Kn + 1 for odd n. In such a graph, any single vertex v has n possible choices of vertex that it can be matched to, and once this choice is made the remaining problem is one of selecting a perfect matching in a complete graph with two fewer vertices. For instance, a complete graph with four vertices a, b, c, and d has three perfect matchings: ab and cd, ac and bd, and ad and bc.[1] Perfect matchings may be described in several other equivalent ways, including involutions without fixed points on a set of n + 1 items (permutations in which each cycle is a pair)[1] or chord diagrams (sets of chords of a set of n + 1 points evenly spaced on a circle such that each point is the endpoint of exactly one chord, also called Brauer diagrams).[8][10][11] The numbers of matchings in complete graphs, without constraining the matchings to be perfect, are instead given by the telephone numbers, which may be expressed as a summation involving double factorials.[12]
  • Stirling permutations, permutations of the multiset of numbers 1, 1, 2, 2, …, k, k in which each pair of equal numbers is separated only by larger numbers, where k = n + 1/2. The two copies of k must be adjacent; removing them from the permutation leaves a permutation in which the maximum element is k − 1, with n positions into which the adjacent pair of k values may be placed. From this recursive construction, a proof that the Stirling permutations are counted by the double permutations follows by induction.[1] Alternatively, instead of the restriction that values between a pair may be larger than it, one may also consider the permutations of this multiset in which the first copies of each pair appear in sorted order; such a permutation defines a matching on the 2k positions of the permutation, so again the number of permutations may be counted by the double permutations.[8]
  • Heap-ordered trees, trees with k + 1 nodes labeled 0, 1, 2, … k, such that the root of the tree has label 0, each other node has a larger label than its parent, and such that the children of each node have a fixed ordering. An Euler tour of the tree (with doubled edges) gives a Stirling permutation, and every Stirling permutation represents a tree in this way.[1][13]
  • Unrooted binary trees with n + 5/2 labeled leaves. Each such tree may be formed from a tree with one fewer leaf, by subdividing one of the n tree edges and making the new vertex be the parent of a new leaf.
  • Rooted binary trees with n + 3/2 labeled leaves. This case is similar to the unrooted case, but the number of edges that can be subdivided is even, and in addition to subdividing an edge it is possible to add a node to a tree with one fewer leaf by adding a new root whose two children are the smaller tree and the new leaf.[1][8]

Callan (2009) and Dale & Moon (1993) list several additional objects with the same counting sequence, including “trapezoidal words” (numerals in a mixed radix system with increasing odd radixes), height-labeled Dyck paths, height-labeled ordered trees, “overhang paths”, and certain vectors describing the lowest-numbered leaf descendant of each node in a rooted binary tree. For bijective proofs that some of these objects are equinumerous, see Rubey (2008) and Marsh & Martin (2011).[14][15]

The even double factorials give the numbers of elements of the hyperoctahedral groups (signed permutations or symmetries of a hypercube)

Asymptotics[edit]

Stirling’s approximation for the factorial can be used to derive an asymptotic equivalent for the double factorial. In particular, since {displaystyle n!sim {sqrt {2pi n}}left({frac {n}{e}}right)^{n},} one has as n tends to infinity that

{displaystyle n!!sim {begin{cases}displaystyle {sqrt {pi n}}left({frac {n}{e}}right)^{n/2}&{text{if }}n{text{ is even}},\[5pt]displaystyle {sqrt {2n}}left({frac {n}{e}}right)^{n/2}&{text{if }}n{text{ is odd}}.end{cases}}}

Extensions[edit]

Negative arguments[edit]

The ordinary factorial, when extended to the gamma function, has a pole at each negative integer, preventing the factorial from being defined at these numbers. However, the double factorial of odd numbers may be extended to any negative odd integer argument by inverting its recurrence relation

n!!=ntimes (n-2)!!

to give

{displaystyle n!!={frac {(n+2)!!}{n+2}},.}

Using this inverted recurrence, (−1)!! = 1, (−3)!! = −1, and (−5)!! = 1/3; negative odd numbers with greater magnitude have fractional double factorials.[1] In particular, when n is an odd number, this gives

{displaystyle (-n)!!times n!!=(-1)^{frac {n-1}{2}}times n,.}

Complex arguments[edit]

Disregarding the above definition of n!! for even values of n, the double factorial for odd integers can be extended to most real and complex numbers z by noting that when z is a positive odd integer then[16][17]

{displaystyle {begin{aligned}z!!&=z(z-2)cdots 3cdot 1\[3mu]&=2^{frac {z-1}{2}}left({frac {z}{2}}right)left({frac {z-2}{2}}right)cdots left({frac {3}{2}}right)\[5mu]&=2^{frac {z-1}{2}}{frac {Gamma left({tfrac {z}{2}}+1right)}{Gamma left({tfrac {1}{2}}+1right)}}\[5mu]&={sqrt {frac {2}{pi }}}2^{frac {z}{2}}Gamma left({tfrac {z}{2}}+1right),.end{aligned}}}

The final expression is defined for all complex numbers except the negative even integers and satisfies (z + 2)!! = (z + 2) · z!! everywhere it is defined. As with the gamma function that extends the ordinary factorial function, this double factorial function is logarithmically convex in the sense of the Bohr–Mollerup theorem.

The formula {displaystyle {sqrt {frac {2}{pi }}}2^{frac {z}{2}}Gamma left({tfrac {z}{2}}+1right)} does not agree with the usual product formula for z!! for non-negative even integer values of z. Instead, it implies the following alternative:

{displaystyle (2k)!!={sqrt {frac {2}{pi }}}2^{k}Gamma left(k+1right)={sqrt {frac {2}{pi }}}prod _{i=1}^{k}(2i),,}

with the value for 0!! in this case being

{displaystyle 0!!={sqrt {frac {2}{pi }}}approx 0.797,884,5608dots }

(sequence A076668 in the OEIS).

Using this formula as the definition, the volume of an n-dimensional hypersphere of radius R can be expressed as[18]

{displaystyle V_{n}={frac {2left(2pi right)^{frac {n-1}{2}}}{n!!}}R^{n},.}

Additional identities[edit]

For integer values of n,

{displaystyle int _{0}^{frac {pi }{2}}sin ^{n}x,dx=int _{0}^{frac {pi }{2}}cos ^{n}x,dx={frac {(n-1)!!}{n!!}}times {begin{cases}1&{text{if }}n{text{ is odd}}\{frac {pi }{2}}&{text{if }}n{text{ is even.}}end{cases}}}

Using instead the extension of the double factorial of odd numbers to complex numbers, the formula is

{displaystyle int _{0}^{frac {pi }{2}}sin ^{n}x,dx=int _{0}^{frac {pi }{2}}cos ^{n}x,dx={frac {(n-1)!!}{n!!}}{sqrt {frac {pi }{2}}},.}

Double factorials can also be used to evaluate integrals of more complicated trigonometric polynomials.[7][19]

Double factorials of odd numbers are related to the gamma function by the identity:

{displaystyle (2n-1)!!=2^{n}cdot {frac {Gamma left({frac {1}{2}}+nright)}{sqrt {pi }}}=(-2)^{n}cdot {frac {sqrt {pi }}{Gamma left({frac {1}{2}}-nright)}},.}

Some additional identities involving double factorials of odd numbers are:[1]

{displaystyle {begin{aligned}(2n-1)!!&=sum _{k=0}^{n-1}{binom {n}{k+1}}(2k-1)!!(2n-2k-3)!!=sum _{k=1}^{n}{binom {n}{k}}(2k-3)!!(2(n-k)-1)!!,,\(2n-1)!!&=sum _{k=0}^{n}{binom {2n-k-1}{k-1}}{frac {(2k-1)(2n-k+1)}{k+1}}(2n-2k-3)!!,,\(2n-1)!!&=sum _{k=1}^{n}{frac {(n-1)!}{(k-1)!}}k(2k-3)!!,.end{aligned}}}

An approximation for the ratio of the double factorial of two consecutive integers is

{displaystyle {frac {(2n)!!}{(2n-1)!!}}approx {sqrt {pi n}}.}

This approximation gets more accurate as n increases, which can be seen as a result of the Wallis Integral.

Generalizations[edit]

Definitions[edit]

In the same way that the double factorial generalizes the notion of the single factorial, the following definition of the integer-valued multiple factorial functions (multifactorials), or α-factorial functions, extends the notion of the double factorial function for {displaystyle alpha in mathbb {Z} ^{+}}:

{displaystyle n!_{(alpha )}={begin{cases}ncdot (n-alpha )!_{(alpha )}&{text{ if }}n>0,;\1&{text{ if }}-alpha <nleq 0,;\0&{text{ otherwise. }}end{cases}}}

Alternative extension of the multifactorial[edit]

Alternatively, the multifactorial z!(α) can be extended to most real and complex numbers z by noting that when z is one more than a positive multiple of the positive integer α then

{displaystyle {begin{aligned}z!_{(alpha )}&=z(z-alpha )cdots (alpha +1)\&=alpha ^{frac {z-1}{alpha }}left({frac {z}{alpha }}right)left({frac {z-alpha }{alpha }}right)cdots left({frac {alpha +1}{alpha }}right)\&=alpha ^{frac {z-1}{alpha }}{frac {Gamma left({frac {z}{alpha }}+1right)}{Gamma left({frac {1}{alpha }}+1right)}},.end{aligned}}}

This last expression is defined much more broadly than the original. In the same way that z! is not defined for negative integers, and z‼ is not defined for negative even integers, z!(α) is not defined for negative multiples of α. However, it is defined for and satisfies (z+α)!(α) = (z+α)·z!(α) for all other complex numbers z. This definition is consistent with the earlier definition only for those integers z satisfying z ≡ 1 mod α.

In addition to extending z!(α) to most complex numbers z, this definition has the feature of working for all positive real values of α. Furthermore, when α = 1, this definition is mathematically equivalent to the Π(z) function, described above. Also, when α = 2, this definition is mathematically equivalent to the alternative extension of the double factorial.

Generalized Stirling numbers expanding the multifactorial functions[edit]

A class of generalized Stirling numbers of the first kind is defined for α > 0 by the following triangular recurrence relation:

{displaystyle left[{begin{matrix}n\kend{matrix}}right]_{alpha }=(alpha n+1-2alpha )left[{begin{matrix}n-1\kend{matrix}}right]_{alpha }+left[{begin{matrix}n-1\k-1end{matrix}}right]_{alpha }+delta _{n,0}delta _{k,0},.}

These generalized α-factorial coefficients then generate the distinct symbolic polynomial products defining the multiple factorial, or α-factorial functions, (x − 1)!(α), as

{displaystyle {begin{aligned}(x-1|alpha )^{underline {n}}&:=prod _{i=0}^{n-1}left(x-1-ialpha right)=(x-1)(x-1-alpha )cdots {bigl (}x-1-(n-1)alpha {bigr )}\&=sum _{k=0}^{n}left[{begin{matrix}n\kend{matrix}}right](-alpha )^{n-k}(x-1)^{k}\&=sum _{k=1}^{n}left[{begin{matrix}n\kend{matrix}}right]_{alpha }(-1)^{n-k}x^{k-1},.end{aligned}}}

The distinct polynomial expansions in the previous equations actually define the α-factorial products for multiple distinct cases of the least residues x ≡ n0 mod α for n0 ∈ {0, 1, 2, …, α − 1}.

The generalized α-factorial polynomials, σ(α)
n(x) where σ(1)
n(x) ≡ σn(x), which generalize the Stirling convolution polynomials from the single factorial case to the multifactorial cases, are defined by

{displaystyle sigma _{n}^{(alpha )}(x):=left[{begin{matrix}x\x-nend{matrix}}right]_{(alpha )}{frac {(x-n-1)!}{x!}}}

for 0 ≤ n ≤ x. These polynomials have a particularly nice closed-form ordinary generating function given by

{displaystyle sum _{ngeq 0}xcdot sigma _{n}^{(alpha )}(x)z^{n}=e^{(1-alpha )z}left({frac {alpha ze^{alpha z}}{e^{alpha z}-1}}right)^{x},.}

Other combinatorial properties and expansions of these generalized α-factorial triangles and polynomial sequences are considered in Schmidt (2010).[20]

Exact finite sums involving multiple factorial functions[edit]

Suppose that n ≥ 1 and α ≥ 2 are integer-valued. Then we can expand the next single finite sums involving the multifactorial, or α-factorial functions, (αn − 1)!(α), in terms of the Pochhammer symbol and the generalized, rational-valued binomial coefficients as

{displaystyle {begin{aligned}(alpha n-1)!_{(alpha )}&=sum _{k=0}^{n-1}{binom {n-1}{k+1}}(-1)^{k}times left({frac {1}{alpha }}right)_{-(k+1)}left({frac {1}{alpha }}-nright)_{k+1}times {bigl (}alpha (k+1)-1{bigr )}!_{(alpha )}{bigl (}alpha (n-k-1)-1{bigr )}!_{(alpha )}\&=sum _{k=0}^{n-1}{binom {n-1}{k+1}}(-1)^{k}times {binom {{frac {1}{alpha }}+k-n}{k+1}}{binom {{frac {1}{alpha }}-1}{k+1}}times {bigl (}alpha (k+1)-1{bigr )}!_{(alpha )}{bigl (}alpha (n-k-1)-1{bigr )}!_{(alpha )},,end{aligned}}}

and moreover, we similarly have double sum expansions of these functions given by

{displaystyle {begin{aligned}(alpha n-1)!_{(alpha )}&=sum _{k=0}^{n-1}sum _{i=0}^{k+1}{binom {n-1}{k+1}}{binom {k+1}{i}}(-1)^{k}alpha ^{k+1-i}(alpha i-1)!_{(alpha )}{bigl (}alpha (n-1-k)-1{bigr )}!_{(alpha )}times (n-1-k)_{k+1-i}\&=sum _{k=0}^{n-1}sum _{i=0}^{k+1}{binom {n-1}{k+1}}{binom {k+1}{i}}{binom {n-1-i}{k+1-i}}(-1)^{k}alpha ^{k+1-i}(alpha i-1)!_{(alpha )}{bigl (}alpha (n-1-k)-1{bigr )}!_{(alpha )}times (k+1-i)!.end{aligned}}}

The first two sums above are similar in form to a known non-round combinatorial identity for the double factorial function when α := 2 given by Callan (2009).

{displaystyle (2n-1)!!=sum _{k=0}^{n-1}{binom {n}{k+1}}(2k-1)!!(2n-2k-3)!!.}

Similar identities can be obtained via context-free grammars.[21] Additional finite sum expansions of congruences for the α-factorial functions, (αn − d)!(α), modulo any prescribed integer h ≥ 2 for any 0 ≤ d < α are given by Schmidt (2018).[22]

References[edit]

  1. ^ a b c d e f g h i j Callan, David (2009). “A combinatorial survey of identities for the double factorial”. arXiv:0906.1317 [math.CO].
  2. ^ a b Weisstein, Eric W. “Double Factorial”. mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-09-10.
  3. ^ “Double Factorials and Multifactorials | Brilliant Math & Science Wiki”. brilliant.org. Retrieved 2020-09-10.
  4. ^ Henderson, Daniel J.; Parmeter, Christopher F. (2012). “Canonical higher-order kernels for density derivative estimation”. Statistics & Probability Letters. 82 (7): 1383–1387. doi:10.1016/j.spl.2012.03.013. MR 2929790.
  5. ^ Nielsen, B. (1999). “The likelihood-ratio test for rank in bivariate canonical correlation analysis”. Biometrika. 86 (2): 279–288. doi:10.1093/biomet/86.2.279. MR 1705359.
  6. ^ Schuster, Arthur (1902). “On some definite integrals and a new method of reducing a function of spherical co-ordinates to a series of spherical harmonics”. Proceedings of the Royal Society of London. 71 (467–476): 97–101. doi:10.1098/rspl.1902.0068. JSTOR 116355. See in particular p. 99.
  7. ^ a b Meserve, B. E. (1948). “Classroom Notes: Double Factorials”. The American Mathematical Monthly. 55 (7): 425–426. doi:10.2307/2306136. JSTOR 2306136. MR 1527019.
  8. ^ a b c d Dale, M. R. T.; Moon, J. W. (1993). “The permuted analogues of three Catalan sets”. Journal of Statistical Planning and Inference. 34 (1): 75–87. doi:10.1016/0378-3758(93)90035-5. MR 1209991.
  9. ^ Gould, Henry; Quaintance, Jocelyn (2012). “Double fun with double factorials”. Mathematics Magazine. 85 (3): 177–192. doi:10.4169/math.mag.85.3.177. MR 2924154. S2CID 117120280.
  10. ^ Kitaev, Sergey (2011). Patterns in Permutations and Words. EATCS Monographs in Theoretical Computer Science. Springer. p. 96. ISBN 9783642173332.
  11. ^ Dale, M. R. T.; Narayana, T. V. (1986). “A partition of Catalan permuted sequences with applications”. Journal of Statistical Planning and Inference. 14 (2): 245–249. doi:10.1016/0378-3758(86)90161-8. MR 0852528.
  12. ^ Tichy, Robert F.; Wagner, Stephan (2005). “Extremal problems for topological indices in combinatorial chemistry” (PDF). Journal of Computational Biology. 12 (7): 1004–1013. doi:10.1089/cmb.2005.12.1004. PMID 16201918.
  13. ^ Janson, Svante (2008). “Plane recursive trees, Stirling permutations and an urn model”. Fifth Colloquium on Mathematics and Computer Science. Discrete Math. Theor. Comput. Sci. Proc., AI. Assoc. Discrete Math. Theor. Comput. Sci., Nancy. pp. 541–547. arXiv:0803.1129. Bibcode:2008arXiv0803.1129J. MR 2508813.
  14. ^ Rubey, Martin (2008). “Nestings of matchings and permutations and north steps in PDSAWs”. 20th Annual International Conference on Formal Power Series and Algebraic Combinatorics (FPSAC 2008). Discrete Math. Theor. Comput. Sci. Proc., AJ. Assoc. Discrete Math. Theor. Comput. Sci., Nancy. pp. 691–704. MR 2721495.
  15. ^ Marsh, Robert J.; Martin, Paul (2011). “Tiling bijections between paths and Brauer diagrams”. Journal of Algebraic Combinatorics. 33 (3): 427–453. arXiv:0906.0912. doi:10.1007/s10801-010-0252-6. MR 2772541. S2CID 7264692.
  16. ^ Hassani, Sadri (2000). Mathematical Methods: For Students of Physics and Related Fields. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer. p. 266. ISBN 9780387989587.
  17. ^ “Double factorial: Specific values (formula 06.02.03.0005)”. Wolfram Research. 2001-10-29. Retrieved 2013-03-23.
  18. ^ Mezey, Paul G. (2009). “Some dimension problems in molecular databases”. Journal of Mathematical Chemistry. 45 (1): 1–6. doi:10.1007/s10910-008-9365-8. S2CID 120103389.
  19. ^ Dassios, George; Kiriaki, Kiriakie (1987). “A useful application of Gauss theorem”. Bulletin de la Société Mathématique de Grèce. 28 (A): 40–43. MR 0935868.
  20. ^ Schmidt, Maxie D. (2010). “Generalized j-Factorial Functions, Polynomials, and Applications”. J. Integer Seq. 13.
  21. ^ Triana, Juan; De Castro, Rodrigo (2019). “The formal derivative operator and multifactorial numbers”. Revista Colombiana de Matemáticas. 53 (2): 125–137. doi:10.15446/recolma.v53n2.85522. ISSN 0034-7426.
  22. ^ Schmidt, Maxie D. (2018). “New congruences and finite difference equations for generalized factorial functions” (PDF). Integers. 18: A78:1–A78:34. arXiv:1701.04741. MR 3862591.
Источник

Использование двойного факториала может быть полезным при решении математических задач, которые требуют знания четности чисел. Он может также использоваться в комбинаторике и теории вероятностей для подсчета числа перестановок элементов множества.

Содержание:
  1. калькулятор двойного факториала
  2. что такое двойной факториал
  3. формула двойного факториала
  4. примеры нахождения двойного факториала
  5. таблица двойных факториалов
  6. примеры задач с использованием двойных факториалов

Что такое двойной факториал

Двойной факториал – это математическая операция, которая применяется к натуральным числам и обозначается как n!! (читается как “n двойной факториал“). Она представляет собой произведение всех чисел, меньших или равных n, с одинаковой четностью. Если n четное, то двойной факториал будет равен произведению всех четных чисел от 2 до n, а если n нечетное, то он будет равен произведению всех нечетных чисел от 1 до n.

Формула двойного факториала

{n!! = begin{cases}
n cdot (n-1)…5cdot3cdot1 & text{если } n>0 ; и ; нечётное \
n cdot (n-2)…6cdot4cdot2 & text{если } n>0 ; и ; чётное \
1 & text{если } n=-1, 0 \
end{cases}}

n – число, для которого рассчитывается двойной факториал

Примеры вычисления двойного факториала

Пример 1

Найдите двойной факториал 7.

Решение

Так как число 7 нечётное, то для нахождения двойного факториала 7 по формуле нам необходимо перемножить все нечетные числа от 7 до 1:

7!! = 7 x 5 x 3 x 1 = 105

Ответ: 7!! = 105

Полученный ответ легко проверить на калькуляторе .

Пример 2

Найдите двойной факториал 6.

Решение

Число 6 чётное, значит для нахождения двойного факториала 6 нам необходимо перемножить все четные числа от 6 до 2:

6!! = 6 x 4 x 2 = 48

Ответ: 6!! = 48

Проверим ответ с помощьюкалькулятора .

Таблица двойных факториалов

0!! 1
1!! 1
2!! 2
3!! 3
4!! 8
5!! 15
6!! 48
7!! 105
8!! 384
9!! 945
10!! 3840
11!! 10395
12!! 46080
13!! 135135
14!! 645120
15!! 2027025
16!! 10321920
17!! 34459425
18!! 185794560
19!! 654729075
20!! 3715891200
21!! 13749310575
22!! 81749606400
23!! 316234143225
24!! 1961990553600
25!! 7905853580625
26!! 51011754393600
27!! 213458046676875
28!! 1428329123020800
29!! 6190283353629375
30!! 42849873690624000
31!! 191898783962510625
32!! 1371195958099968000
33!! 6332659870762850625
34!! 46620662575398912000
35!! 221643095476699771875
36!! 1678343852714360832000
37!! 8200794532637891559375
38!! 63777066403145711616000
39!! 319830986772877770815625
40!! 2551082656125828464640000
41!! 13113070457687988603440625
42!! 107145471557284795514880000
43!! 563862029680583509947946875
44!! 4714400748520531002654720000
45!! 25373791335626257947657609375
46!! 216862434431944426122117120000
47!! 1192568192774434123539907640625
48!! 10409396852733332453861621760000
49!! 58435841445947272053455474390625
50!! 520469842636666622693081088000000

Надеемся, эта таблица будет полезна вам при решении задач, связанных с двойным факториалом.

Примеры задач на двойной факториал

Задача 1

Сколькими способами можно выбрать команду из 6 человек, если группа состоит из 10 человек, а в команде должно быть ровно 3 мужчины и 3 женщины?

Решение

Для решения этой задачи нужно вычислить количество способов выбрать 3 мужчин и 3 женщин из 5 мужчин и 5 женщин. Количество способов выбрать 3 мужчин из 5 равно 5!!, а количество способов выбрать 3 женщин из 5 равно 5!!. Таким образом, общее количество способов выбрать команду из 6 человек равно произведению двойных факториалов: 5!! × 5!! = 1200.

Ответ: 1200.

Задача 2

На факультете информатики 10 студентов, и они должны разбиться на 5 пар для выполнения лабораторных работ. Сколько существует различных комбинаций пар?

Решение

Для того, чтобы получить количество различных комбинаций пар, нужно вычислить двойной факториал от числа студентов (10!!), а затем поделить его на произведение двойных факториалов от числа студентов в каждой паре (2!!). Таким образом, мы получим:

10!! / (2!!)^5 = (10 × 8 × 6 × 4 × 2) / (2 × 2 × 2 × 2 × 2) = 945

То есть, существует 945 различных комбинаций пар из 10 студентов.

Ответ: 945.

Задача 3

Сколько различных способов можно использовать, чтобы расставить 6 книг на 3 полках так, чтобы на каждой полке лежало хотя бы по одной книге?

Решение

Первую полку можно заполнить любой из 6 книг, вторую – любой из 5 оставшихся книг, а третью – любой из 4 оставшихся книг. Таким образом, количество способов расставить книги на полках равно произведению двойных факториалов: 6!! × 5!! × 4!! = 46080.

Ответ: 46080.

Задача 4

Сколько существует перестановок букв в слове “БАБУШКА”?

Решение

В слове “БАБУШКА” 2 буквы “Б”, 2 буквы “У”, 1 буква “А”, 1 буква “Ш” и 1 буква “К”. Количество перестановок букв в этом слове равно произведению двойных факториалов для каждой буквы: 2!! × 2!! × 1!! × 1!! × 1!! × 1!! = 8.

Ответ: 8.

Задача 5

Сколько существует способов разложить число 10 в сумму нечетных положительных целых чисел?

Решение

Число 10 можно разложить в сумму нечетных чисел следующим образом: 1 + 3 + 5 + 1. Количество способов разложить число 10 в сумму нечетных положительных целых чисел равно произведению двойных факториалов: 5!! × 3!! × 1!! = 15.

Ответ: 15.

Двойной факториал можно использовать для вычисления произведения чисел с определенной четностью. Например, произведение всех нечетных чисел от 1 до 15 равно 15!!, а произведение всех четных чисел от 2 до 14 равно 14!! (см. формулу факториала).

Таким образом, двойной факториал может быть использован в различных задачах, связанных с комбинаторикой, теорией вероятностей и математическим анализом. Он позволяет более эффективно решать задачи, связанные с четностью чисел и перестановками элементов множества.

Источник

Кроме просто факториала, существует двойной факториал.

Двойной факториал n — это произведение всех натуральных чисел из диапазона [1, n], которые имеют ту же четность, что и число n.

Двойной факториал числа n обозначается так — n!!

Калькулятор двойного факториала

Формула двойного факториала

Так как двойной факториал зависит от четности числа, то возможны два варианта:
для четного n
формула двойного факториала для четных чисел
для нечетного n
формула двойного факториала для нечетных чисел

Также как и для обычного факториала, двойной факториал нуля равен единице.
0!! = 1

Примеры

Пример 1.

Найдите двойной факториал 8.

Так как 8 — четное число, то умножим все четные натуральные числа от 1 до 8 и получим результат:

8!! = 2 * 4 * 6 * 8 = 384

Пример 2.

Найдите двойной факториал 9.

9 — нечетное число, поэтому будем умножать нечетные числа от 1 до 9:

9!! = 1 * 3 * 5 * 7 * 9 = 945

Таблица двойных факториалов

Число n!!
0 1
1 1
2 2
3 3
4 8
5 15
6 48
7 105
8 384
9 945
10 3840
11 10395
12 46080
13 135135
14 645120
15 2027025
16 10321920
17 34459425
18 185794560
19 654729075
20 3715891200

Ваша оценка

[Оценок: 47 Средняя: 3.8]

Двойной факториал Автор admin средний рейтинг 3.8/5 – 47 рейтинги пользователей

Источник

Привет, любители математики!

В школе такому не учат. Что такое двойной факториал?

Многие из нас, а я всерьез полагаю, что даже все, знают что такое факториал числа.

Факториал шести к примеру
Факториал шести к примеру

Факториал натурального числа n – это произведение всех натуральных чисел от n до 1. Или от 1 до n. Разницы никакой

Этому учат еще в школе и сложного совершенно ничего нет. Но, оказывается, факториалы бывают разные.

В данной статье я хочу вкратце поведать о двойном факториале.

На самом деле, несмотря на свое название, он не удваивает значение, суть его совершенно в другом. Двойным его прозвали, потому что запись двойного факториала выглядит так:

Просто 2 восклицательных знака, вместо одного
Просто 2 восклицательных знака, вместо одного

Двойной факториал – это произведение всех натуральных чисел в интервале от 1 до n, имеющих ту же четность, что и n.

Как все это выглядит в живую?

Например, если мы хотим взять двойной факториал 7, то нужно проделать следующие действия:

В школе такому не учат. Что такое двойной факториал?

Ну, а двойной факториал четного, например 6, вычисляют по следующей схеме:

В школе такому не учат. Что такое двойной факториал?

Как видите, все предельно просто. Четное число – перемножаем четные числа, нечетное – нечетные.

Из интересностей, двойной факториал нуля равен:

Просто потому что так договорились
Просто потому что так договорились

Хотя, если копать глубже и немного разобраться в комбинаторике, с которой факториалы неразлучные друзья, то окажется, что когда у вас на столе ничего нет и комбинировать то нечем – это единственная возможная комбинация, т.е. факториал нуля – единица. Об этом на моем канале есть целая публикация.

Статья создавалась исключительно в познавательных целях и для обычного пользователя не несет никакой практической пользы! Надеюсь, было просто интересно и познавательно. Расширять кругозоры – дело тоже полезное 🙂

Подписывайтесь на меня в соц сетях. Там, надеюсь, тоже будет много интересного 🙂

Источник

Добавить комментарий