Рис. (1). Ноутбук.
Двугранный угол — это часть пространства, заключённая между двумя полуплоскостями, имеющими одну общую границу.
Рис. (2). Две пересекающиеся плоскости.
Если в пространстве пересекаются две плоскости, получаются четыре двугранных угла (аналогично как при пересечении двух прямых получаются четыре угла). Рассмотрим один из них.
Рис. (3). Двугранный угол.
Полуплоскости
α
и
β
, образующие двугранный угол, называются его гранями.
Общая прямая (a) этих граней называется ребром двугранного угла.
Выберем на ребре (a) двугранного угла произвольную точку (C) и проведём две пересекающиеся прямые
AC⊥a
и
BC⊥a
, а через эти прямые — плоскость
γ
перпендикулярно ребру (a).
Рис. (4). Линейный угол двугранного угла.
Линии пересечения (AC) и (BC) полуплоскостей
α
и
β
с плоскостью
γ
образуют некоторый угол
∠ACB
. Этот угол называется линейным углом двугранного угла. Величина линейного угла не зависит от выбора точки (C) на ребре (a).
Обрати внимание!
Величина двугранного угла (0° <)
∠ACB
(< 180°).
Если плоскости параллельны, то угол между ними равен (0°) по определению.
Если при пересечении плоскостей один из двугранных углов составляет (90°), то три остальных угла — тоже (90°). Эти плоскости называют перпендикулярными.
Следующие теоремы, которые здесь приведём без доказательств, могут пригодиться при решении задач.
1. Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.
2. Плоскость, перпендикулярная прямой, по которой пересекаются две плоскости, перпендикулярна каждой из этих плоскостей.
3. Если две плоскости перпендикулярны, и в одной из них прямая проведена перпендикулярно линии пересечения плоскостей, то эта прямая перпендикулярна второй плоскости.
Многогранные углы
Объясним понятие многогранных углов.
Представим несколько лучей в пространстве с общим началом. Их можно представить тоже как часть линий пересечения плоскостей — трёх, четырёх или больше — и назвать рёбрами многогранного угла.
Рис. (5). Трёхгранный угол.
Рис. (6). Четырёхгранный угол.
Рис. (7). Пятигранный угол.
Каждые два луча образуют угол, который называют плоским углом многогранного угла.
Обрати внимание!
Каждый плоский угол трёхгранного угла меньше суммы двух других плоских углов.
Сумма плоских углов многогранного угла меньше (360°).
Источники:
Рисунки 2-7. Плоскости, углы, © ЯКласс.
Двугранный угол
Евгений Николаевич Беляев
Эксперт по предмету «Математика»
Задать вопрос автору статьи
Понятие двугранного угла
Для введения понятия двугранного угла, для начала вспомним одну из аксиом стереометрии.
Любую плоскость можно разделить на две полуплоскости прямой $a$, лежащей в этой плоскости. При этом, точки, лежащие в одной полуплоскости находятся с одной стороны от прямой $a$, а точки, лежащие в разных полуплоскостях — по разные стороны от прямой $a$ (рис. 1).
Рисунок 1.
На этой аксиоме основан принцип построение двугранного угла.
Определение 1
Фигура называется двугранным углом, если она состоит из прямой и двух полуплоскостей этой прямой, не принадлежащих одной плоскости.
При этом полуплоскости двугранного угла называются гранями, а прямая, разделяющая полуплоскости — ребром двугранного угла (рис. 1).
Двугранный угол”>
Рисунок 2. Двугранный угол
Градусная мера двугранного угла
Определение 2
Выберем на ребре произвольную точку $A$. Угол между двумя прямыми, лежащими в разных полуплоскостях, перпендикулярных ребру и пересекающихся в точке $A$ называется линейным углом двугранного угла (рис. 3).
Рисунок 3.
Очевидно, что каждый двугранный угол имеет бесконечное число линейных углов.
Все линейные углы одного двугранного угла равняются между собой.
Доказательство.
Рассмотрим два линейных угла $AOB$ и $A_1{OB}_1$ (рис. 4).
Рисунок 4.
Так как лучи $OA$ и ${OA}_1$ лежат в одной полуплоскости $alpha $ и перпендикулярны одной прямой, то они являются сонаправленными. Так как лучи $OB$ и ${OB}_1$ лежат в одной полуплоскости $beta $ и перпендикулярны одной прямой, то они являются сонаправленными. Следовательно
[angle AOB=angle A_1{OB}_1]
В силу произвольности выборов линейных углов. Все линейные углы одного двугранного угла равны между собой.
Теорема доказана.
«Двугранный угол» 👇
Определение 3
Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера линейного угла двугранного угла.
Примеры задач
Пример 1
Пусть нам даны две неперпендикулярные плоскости $alpha $ и $beta $ которые пересекаются по прямой $m$. Точка $A$ принадлежит плоскости $beta $. $AB$ — перпендикуляр к прямой $m$. $AC$ перпендикуляр к плоскости $alpha $ (точка $C$ принадлежит $alpha $). Доказать, что угол $ABC$ является линейным углом двугранного угла.
Доказательство.
Изобразим рисунок по условию задачи (рис. 5).
Рисунок 5.
Для доказательства вспомним следующую теорему
Теорема 2: Прямая, проходящая через основание наклонной, перпендикулярно ей, перпендикулярна её проекции.
Так как $AC$ – перпендикуляр к плоскости $alpha $, то точка $C$ – проекция точки $A$ на плоскость $alpha $. Следовательно, $BC$ — проекция наклонной $AB$. По теореме 2, $BC$ перпендикулярна ребру двугранного угла.
Тогда, угол $ABC$ удовлетворяет всем требованиям определения линейного угла двугранного угла.
ч. т. д.
Пример 2
Двугранный угол равен $30^circ$. На одной из граней лежит точка $A$, которая удалена от другой грани на расстояние $4$ см. Найти расстояние от точки $A$ до ребра двугранного угла.
Решение.
Будем рассматривать рисунок 5.
По условию, имеем $AC=4 см$.
По определению градусной меры двугранного угла, имеем, что угол $ABC$ равен $30^circ$.
Треугольник $ABC$ является прямоугольным треугольником. По определению синуса острого угла
[frac{AC}{AB}=sin{30}^0] [frac{5}{AB}=frac{1}{2}] [AB=10]
Ответ: $10$ см.
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
Дата последнего обновления статьи: 27.04.2023
Углы при пересечении двух прямых
Если какие-нибудь две прямые пересечены третьей прямой, то пересекающая их прямая называется секущей по отношению к прямым, которые она пересекает.
При пересечении двух прямых третьей, образуется два вида углов: внешние и внутренние.
На рисунке изображены две прямые a и b, пересекаемые прямой c. Прямая c по отношению к прямым a и b является секущей. Синим цветом на рисунке обозначены внешние углы (∠1, ∠2, ∠7 и ∠8), а красным — внутренние углы (∠3, ∠4, ∠5 и ∠6).
Также при пересечении двух прямых третьей, образовавшиеся углы получают попарно следующие названия:
Углы при пересечении параллельных прямых
Если секущая пересекает две параллельные прямые линии, то:
- внутренние накрест лежащие углы равны;
- сумма внутренних односторонних углов равна 180°;
- соответственные углы равны;
- внешние накрест лежащие углы равны;
- сумма внешних односторонних углов равна 180°.
Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, односторонние, соответственные, накрест лежащие углы
Пусть прямая с пересекает параллельные прямые и . При этом образуется восемь углов. Углы при параллельных прямых и секущей так часто используются в задачах, что в геометрии им даны специальные названия.
Углы и — вертикальные. Очевидно, вертикальные углы равны, то есть
Конечно, углы и , и — тоже вертикальные.
Углы и — смежные, это мы уже знаем. Сумма смежных углов равна .
Углы и (а также и , и , и ) — накрест лежащие. Накрест лежащие углы равны.
Углы и — односторонние. Они лежат по одну сторону от всей «конструкции». Углы и — тоже односторонние. Сумма односторонних углов равна , то есть
Углы и (а также и , и , и ) называются соответственными.
Соответственные углы равны, то есть
Углы и (а также и , и , и ) называют накрест лежащими.
Накрест лежащие углы равны, то есть
Чтобы применять все эти факты в решении задач ЕГЭ, надо научиться видеть их на чертеже. Например, глядя на параллелограмм или трапецию, можно увидеть пару параллельных прямых и секущую, а также односторонние углы. Проведя диагональ параллелограмма, видим накрест лежащие углы. Это — один из шагов, из которых и состоит решение.
Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!
1. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении , считая от вершины тупого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен .
Напомним, что биссектриса угла — это луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам.
Пусть — биссектриса тупого угла . По условию, отрезки и равны и соответственно.
Рассмотрим углы и . Поскольку и параллельны, — секущая, углы и являются накрест лежащими. Мы знаем, что накрест лежащие углы равны. Значит, треугольник — равнобедренный, следовательно, .
Периметр параллелограмма — это сумма всех его сторон, то есть
2. Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы и . Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Нарисуйте параллелограмм и его диагональ. Заметив на чертеже накрест лежащие углы и односторонние углы, вы легко получите ответ: .
3. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна ? Ответ дайте в градусах.
Мы знаем, что равнобедренной (или равнобокой) называется трапеция, у которой боковые стороны равны. Следовательно, равны углы при верхнем основании, а также углы при нижнем основании.
Давайте посмотрим на чертеж. По условию, , то есть .
Углы и — односторонние при параллельных прямых и секущей, следовательно,
Геометрия. Урок 2. Углы
Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Содержание страницы:
- Углы
Понятие угла
Угол – геометрическая фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки.
Стороны угла – лучи, которые образуют угол.
Вершина угла – точка, из которой выходят лучи.
Угол называют тремя заглавными латинскими буквами, которыми обозначены вершина и две точки, расположенные на сторонах угла.
Важно: в названии буква, обозначающая вершину угла, стоит между двумя буквами, обозначающими точки на сторонах угла. Так, угол, изображенный на рисунке, можно назвать: ∠ A O B или ∠ B O A , но ни в коем случае не ∠ O A B , ∠ O B A , ∠ A B O , ∠ B A O .
Величину угла измеряют в градусах. ∠ A O B = 24 ° .
Виды углов:
Биссектриса угла
Биссектриса угла – это луч с началом в вершине угла, делящий его на два равных угла.
Биссектриса угла – это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла.
O D – биссектриса угла ∠ A O B . Она делит этот угол на два равных угла.
∠ A O D = ∠ B O D = ∠ A O B 2
Точка D – произвольная точка на биссектрисе. Она равноудалена от сторон O A и O B угла ∠ A O B .
Углы, образованные при пересечении двух прямых
Вертикальные углы – пара углов, у которых стороны одного угла являются продолжением сторон второго.
Свойство: вертикальные углы равны.
Смежные углы – пара углов, у которых одна сторона общая, а две другие стороны расположены на одной прямой.
Свойство: сумма смежных углов равна 180 ° .
( 1 ) и ( 3 )
( 2 ) и ( 4 )
называются вертикальными .
По свойству вертикальных углов:
∠ C O D = ∠ A O B
∠ B O D = ∠ A O C
( 1 ) и ( 2 )
( 2 ) и ( 3 )
( 3 ) и ( 4 )
( 4 ) и ( 1 )
называются смежными .
По свойству смежных углов:
∠ C O D + ∠ D O B = 180 ° ∠ D O B + ∠ B O A = 180 ° ∠ B O A + ∠ A O C = 180 ° ∠ A O C + ∠ C O D = 180 °
Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей
Прямая, пересекающая две заданные прямые, называется секущей этих прямых.
Существует пять видов углов, которые образуются при пересечении двух прямых секущей.
( 1 ) и ( 5 )
( 2 ) и ( 6 )
( 3 ) и ( 7 )
( 4 ) и ( 8 )
называются соответственными .
(Легко запомнить: они соответствуют друг другу, похожи друг на друга).
( 3 ) и ( 5 )
( 4 ) и ( 6 )
называются внутренними односторонними .
(Легко запомнить: лежат по одну сторону от секущей, между двумя прямыми).
( 1 ) и ( 7 )
( 2 ) и ( 8 )
называются внешними односторонними .
(Легко запомнить: лежат по одну сторону от секущей по разные стороны от двух прямых).
( 3 ) и ( 6 )
( 4 ) и ( 5 )
называются внутренними накрест лежащими .
(Легко запомнить: лежат между двумя прямыми, расположены наискосок друг относительно друга).
( 1 ) и ( 8 )
( 2 ) и ( 7 )
называются внешними накрест лежащими .
(Легко запомнить: лежат по разные стороны от двух прямых, расположены наискосок друг относительно друга).
Если прямые, которые пересекает секущая, параллельны , то углы имеют следующие свойства:
- Соответственные углы равны.
- Внутренние накрест лежащие углы равны.
- Внешние накрест лежащие углы равны.
- Сумма внутренних односторонних углов равна 180 ° .
- Сумма внешних односторонних углов равна 180 ° .
Сумма углов многоугольника
Сумма углов произвольного n -угольника вычисляется по формуле:
S n = 180 ° ⋅ ( n − 2 )
где n – это количество углов в n -угольнике.
Пользуясь этой формулой, можно вычислить сумму углов для произвольного n -угольника.
Сумма углов треугольника: S 3 = 180 ° ⋅ ( 3 − 2 ) = 180 °
Сумма углов четырехугольника: S 4 = 180 ° ⋅ ( 4 − 2 ) = 360 °
Сумма углов пятиугольника: S 5 = 180 ° ⋅ ( 5 − 2 ) = 540 °
Так можно продолжать до бесконечности.
Правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны.
На рисунках изображены примеры правильных многоугольников:
Чтобы найти величину угла правильного n -угольника , необходимо сумму углов этого многоугольника разделить на количество углов.
α n = 180 ° ⋅ ( n − 2 ) n
Примеры решений заданий из ОГЭ
Модуль геометрия: задания, связанные с углами
[spoiler title=”источники:”]
http://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/ugly-pri-parallelnyx-pryamyx/
[/spoiler]
Что такое двугранный угол
Двугранным углом называют геометрическую фигуру, которая сформирована парой полуплоскостей, выходящие из общей прямой.
Заметим, что угол, измеряемый в градусах, разделяющий пару плоскостей, является минимальным из количества двугранных углов, которые сформированы в результате пересечения плоскостей.
Примечание 1
Важно отметить, что по модели двугранный угол может быть острым и тупым. При этом угол, разделяющий две плоскости, является острым. Это необходимо учитывать в решении задач, чтобы избежать путаницы.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Источник: ru.wikipedia.org
Как найти
В поиске ответов на различные примеры из геометрии следует руководствоваться основными понятиями. Введем несколько обозначений для элементов двугранного угла.
Грани двугранного угла представляют собой полуплоскости, которые образовали данный угол.
Ребро двугранного угла является единой прямой для рассматриваемых полуплоскостей.
В процессе измерения двугранных углов используют величины линейных углов, то есть тех, что образованы при пересечении двугранного угла и плоскости, расположенной под прямым углом к ребру рассматриваемого угла. В результате для поиска величины двугранного угла рекомендуется следовать следующему алгоритму действий:
- следует определить какую-либо точку на его ребре;
- далее под прямым углом к ребру нужно опустить из определенной ранее точки лучи ко всем граням;
- угол, который разделяет изображенные лучи, соответствует величине искомого двугранного угла.
Запишем в табличной форме значения двугранных углов, характерные для правильных многогранников:
В данном случае следует считать (phi) равным (frac{1+sqrt{5}}{2}), то есть золотым сечением.
Виды двугранных углов
Тупой двугранный угол представляет собой такой угол, градусная величина которого превышает значение в 90°.
Тупой двугранный угол:
Источник: rusinfo.info
Прямой двугранный угол является таким двугранным углом, градусная мера которого соответствует 90°.
Прямой двугранный угол:
Источник: rusinfo.info
Острым двугранным углом называют двугранный угол с градусной мерой, равной 90°.
Острый двугранный угол:
Источник: rusinfo.info
Задачи
Задача 1
Имеется геометрическая фигура в виде пирамиды с четырьмя углами и равными между собой ребрами. При этом в основании фигуры расположен квадрат. Требуется определить, чему равен (6cos alpha) , если за (alpha) обозначен угол, разделяющий смежные боковые грани.
Решение
Предположим, что искомая пирамида имеет следующее название SABCD. Пусть S играет роль вершины геометрической фигуры, а ее ребра соответствуют а. Тогда, согласно условию задания, требуется найти угол, разделяющий грани SAD и SCD.
Источник: shkolkovo.net
Построим (CHperp SD). Заметим, что:
(triangle SAD=triangle SCD)
В этом случае AH также играет роль высоты в (triangle SAD). Таким образом, исходя из определения:
(angle AHC=alpha)
Заметим, что (alpha) является линейным углом, разделяющим грани SAD и SCD. При условии квадратного основания в пирамиде запишем следующее:
(AC=asqrt2)
Кроме того, имеет место такое равенство:
CH=AH
Высота AH находится в треугольнике с одинаковыми сторонами, равными а. Таким образом:
(CH=AH=frac{sqrt3}2a)
Воспользуемся теоремой косинусов применительно к (triangle AHC):
(cos alpha=dfrac{CH^2+AH^2-AC^2}{2CHcdot AH} =-dfrac13 quadRightarrowquad 6cosalpha=-2.)
Ответ: -2.
Задача 2
На рисунке изображено пересечение плоскостей, обозначенных за (pi_1) и (pi_2). В результате образуется общая прямая l с точками M и N. Полученные отрезки MA и MB расположены перпендикулярно по отношению к прямой l, а также принадлежат плоскостям за (pi_1) и ( pi_2) соответственно. При этом справедливы следующие равенства: MN = 15; AN = 39; BN = 17; AB = 40. Необходимо вычислить (3cosalpha) , где (alpha) является углом, разделяющим плоскости (pi_1) и (pi_2) .
Решение
Источник: shkolkovo.net
Заметим, что треугольник AMN обладает прямым углом, тогда:
(AN^2 = AM^2 + MN^2)
В результате:
(AM^2 = 39^2 – 15^2 = 36^2)
Прямоугольным также является треугольник BMN. В таком случае:
(BN^2 = BM^2 + MN^2)
Исходя из этого, получим:
(BM^2 = 17^2 – 15^2 = 8^2)
Воспользуемся теоремой косинусов применительно к треугольнику AMB:
(AB^2 = AM^2 + MB^2 – 2cdot AMcdot MBcdotcosangle AMB)
Таким образом:
(40^2 = 36^2 + 8^2 – 2cdot 36cdot 8cdotcosangle AMBqquadLeftrightarrowqquad cosangle AMB = -dfrac{5}{12})
Исходя из того, что угол (alpha), разделяющий плоскости, является острым, а угол (angle AMB) определяется как тупой, получим следующее равенство:
(cosalpha=dfrac5{12})
(3cosalpha = dfrac54=1,25)
Ответ: 1,25.
Задача 3
На рисунке изображен квадрат ABCD. В точке О пересекаются диагонали. Точка S расположена за пределами квадратной плоскости, а (SO perp ABC). Требуется вычислить угол, разделяющий плоскости ASD и ABC, при условии, что SO = 5, а AB = 10.
Решение
Источник: shkolkovo.net
Геометрические фигуры в виде треугольников с прямыми углами (triangle SAO) и (triangle SDO) являются идентичными, согласно паре сторон и углу, который их разделяет:
(SO perp ABC Rightarrow angle SOA = angle SOD = 90^circ)
AO = DO
Записанные выше равенства являются справедливыми, так как в точке O пересекаются диагонали квадрата, а SO служит общей стороной.
(Rightarrow AS = SD Rightarrow triangle ASD)
(triangle ASD) является равнобедренным. Точка K делит пополам AD. В таком случае SK представляет собой высоту в треугольнике (triangle ASD), а OK обозначает высоту в треугольнике AOD. Таким образом, плоскость SOK расположена под прямым углом к плоскостям ASD и ABC. Можно сделать вывод о том, что (angle SKO) является линейным углом, который соответствует искомому двугранному углу.
Источник: shkolkovo.net
Рассмотрим треугольник (triangle SKO):
(OK = frac{1}{2}cdot AB = frac{1}{2}cdot 10 = 5 = SO)
Таким образом, (triangle SOK) является равнобедренным прямоугольным треугольником. Тогда:
(angle SKO = 45^circ.)
Ответ: (45^circ.)
Возьмите лист бумаги, согните его (не обязательно пополам) примяв не очень сильно, и потом свободно отпустите. Линия сгиба разделит листок на две части, А и Б. Эти части немного разойдутся, из плоскости не будут совпадать. Вот угол между этими плоскостями А и Б и есть двугранный угол. Величина его измеряется обычным плоским углом, между перпендикулярами, проведенными в двух плоскостях к одной и той же точке на линии сгиба. Или сделайте так. На линии сгиба обозначьте точку. На обеих частях А и Б проведите из этой точки перпендикуляры к линии сгиба, и разрежьте листок по этим линиям. Вот два края разрезов и образуют плоский угол, являющийся мерой двугранного.
Конкретно в Вашей задаче. Судя по обозначениям, дана некая призма, например трехгранная АВСА1В1С1, и в ней требуется найти двугранный угол. Двугранный угол А1ВСА – обозначение не совсем строгое. Более строго будет так двугранный угол, который содержит на одной грани точку А1, на другой грани точку А, а точки В и С на линии сгиба.
