Как найти единичный направляющий вектор

Нормальный вектор прямой, координаты нормального вектора прямой

Для изучения уравнений прямой линии необходимо хорошо разбираться в алгебре векторов. Важно нахождение направляющего вектора и нормального вектора прямой. В данной статье будут рассмотрены нормальный вектор прямой с примерами и рисунками, нахождение его координат, если известны уравнения прямых. Будет рассмотрено подробное решение.

Нормальный вектор прямой – определение, примеры, иллюстрации

Чтобы материал легче усваивался, нужно разбираться в понятиях линия, плоскость и определениями, которые связаны с векторами. Для начала ознакомимся с понятием вектора прямой.

Нормальным вектором прямой называют любой ненулевой вектор, который лежит на любой прямой, перпендикулярной данной.

Понятно, что имеется бесконечное множество нормальных векторов, расположенных на данной прямой. Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.

Получаем, что прямая является перпендикулярной одной из двух заданных параллельных прямых, тогда ее перпендикулярность распространяется и на вторую параллельную прямую. Отсюда получаем, что множества нормальных векторов этих параллельных прямых совпадают. Когда прямые a и а 1 параллельные, а n → считается нормальным вектором прямой a , также считается нормальным вектором для прямой a 1 . Когда прямая а имеет прямой вектор, тогда вектор t · n → является ненулевым при любом значении параметра t , причем также является нормальным для прямой a .

Используя определение нормального и направляющего векторов, можно прийти к выводу, что нормальный вектор перпендикулярен направляющему. Рассмотрим пример.

Если задана плоскость О х у , то множеством векторов для О х является координатный вектор j → . Он считается ненулевым и принадлежащим координатной оси О у , перпендикулярной О х . Все множество нормальных векторов относительно О х можно записать, как t · j → , t ∈ R , t ≠ 0 .

Прямоугольная система O x y z имеет нормальный вектор i → , относящийся к прямой О z . Вектор j → также считается нормальным. Отсюда видно, что любой ненулевой вектор, расположенный в любой плоскости и перпендикулярный О z , считается нормальным для O z .

Координаты нормального вектора прямой – нахождение координат нормального вектора прямой по известным уравнениям прямой

При рассмотрении прямоугольной системы координат О х у выявим, что уравнение прямой на плоскости соответствует ей, а определение нормальных векторов производится по координатам. Если известно уравнение прямой, а необходимо найти координаты нормального вектора, тогда необходимо из уравнения A x + B y + C = 0 выявить коэффициенты, которые и соответствуют координатам нормального вектора заданной прямой.

Задана прямая вида 2 x + 7 y – 4 = 0 _, найти координаты нормального вектора.

По условию имеем, что прямая была задана общим уравнением, значит необходимо выписать коэффициенты , которые и являются координатами нормального вектора. Значит, координаты вектора имеют значение 2 , 7 .

Бывают случаи, когда A или В из уравнения равняется нулю. Рассмотрим решение такого задания на примере.

Указать нормальный вектор для заданной прямой y – 3 = 0 .

По условию нам дано общее уравнение прямой, значит запишем его таким образом 0 · x + 1 · y – 3 = 0 . Теперь отчетливо видим коэффициенты, которые и являются координатами нормального вектора. Значит, получаем, что координаты нормального вектора равны 0 , 1 .

Если дано уравнение в отрезках вида x a + y b = 1 или уравнение с угловым коэффициентом y = k · x + b , тогда необходимо приводить к общему уравнению прямой, где можно найти координаты нормального вектора данной прямой.

Найти координаты нормального вектора, если дано уравнение прямой x 1 3 – y = 1 .

Для начала необходимо перейти от уравнения в отрезках x 1 3 – y = 1 к уравнению общего вида. Тогда получим, что x 1 3 – y = 1 ⇔ 3 · x – 1 · y – 1 = 0 .

Отсюда видно, что координаты нормального вектора имеют значение 3 , – 1 .

Ответ: 3 , – 1 .

Если прямая определена каноническим уравнением прямой на плоскости x – x 1 a x = y – y 1 a y или параметрическим x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ , тогда получение координат усложняется. По данным уравнениям видно, что координаты направляющего вектора будут a → = ( a x , a y ) . Возможность нахождения координат нормального вектора n → возможно, благодаря условию перпендикулярности векторов n → и a → .

Имеется возможность получения координат нормального вектора при помощи приведения канонического или параметрического уравнений прямой к общему. Тогда получим:

x – x 1 a x = y – y 1 a y ⇔ a y · ( x – x 1 ) = a x · ( y – y 1 ) ⇔ a y · x – a x · y + a x · y 1 – a y · x 1 x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x – x 1 a x = y – y 1 a y ⇔ a y · x – a x · y + a x · y 1 – a y · x 1 = 0

Для решения можно выбирать любой удобный способ.

Найти нормальный вектор заданной прямой x – 2 7 = y + 3 – 2 .

Из прямой x – 2 7 = y + 3 – 2 понятно, что направляющий вектор будет иметь координаты a → = ( 7 , – 2 ) . Нормальный вектор n → = ( n x , n y ) заданной прямой является перпендикулярным a → = ( 7 , – 2 ) .

Выясним, чему равно скалярное произведение. Для нахождения скалярного произведения векторов a → = ( 7 , – 2 ) и n → = ( n x , n y ) запишем a → , n → = 7 · n x – 2 · n y = 0 .

Значение n x – произвольное , следует найти n y . Если n x = 1 , отсюда получаем, что 7 · 1 – 2 · n y = 0 ⇔ n y = 7 2 .

Значит, нормальный вектор имеет координаты 1 , 7 2 .

Второй способ решения сводится к тому, что необходимо прийти к общему виду уравнения из канонического. Для этого преобразуем

x – 2 7 = y + 3 – 2 ⇔ 7 · ( y + 3 ) = – 2 · ( x – 2 ) ⇔ 2 x + 7 y – 4 + 7 3 = 0

Полученный результат координат нормального вектора равен 2 , 7 .

Ответ: 2 , 7 или 1 , 7 2 .

Указать координаты нормального вектора прямой x = 1 y = 2 – 3 · λ .

Для начала необходимо выполнить преобразование для перехода в общему виду прямой. Выполним:

x = 1 y = 2 – 3 · λ ⇔ x = 1 + 0 · λ y = 2 – 3 · λ ⇔ λ = x – 1 0 λ = y – 2 – 3 ⇔ x – 1 0 = y – 2 – 3 ⇔ ⇔ – 3 · ( x – 1 ) = 0 · ( y – 2 ) ⇔ – 3 · x + 0 · y + 3 = 0

Отсюда видно, что координаты нормального вектора равны – 3 , 0 .

Рассмотрим способы для нахождения координат нормального вектора при уравнении прямой в пространстве, заданной прямоугольной системой координат О х у z .

Когда прямая задается при помощи уравнений пересекающихся плоскостей A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 , тогда нормальный вектор плоскости относится к A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 , тогда получаем запись векторов в виде n 1 → = ( A 1 , B 1 , C 1 ) и n 2 → = ( A 2 , B 2 , C 2 ) .

Когда прямая определена при помощи канонического уравнения пространства, имеющего вид x – x 1 a x = y – y 1 a y = z – z 1 a z или параметрического, имеющего вид x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ , отсюда a x , a y и a z считаются координатами направляющего вектора заданной прямой. Любой ненулевой вектор может быть нормальным для данной прямой, причем являться перпендикулярным вектору a → = ( a x , a y , a z ) . Отсюда следует, что нахождение координат нормального с параметрическими и каноническими уравнениями производится при помощи координат вектора, который перпендикулярен заданному вектору a → = ( a x , a y , a z ) .

Вектор нормали: расчет и пример

Содержание:

В нормальный вектор Он определяет направление, перпендикулярное рассматриваемому геометрическому объекту, который может быть, например, кривой, плоскостью или поверхностью.

Это очень полезная концепция для позиционирования движущейся частицы или какой-либо поверхности в пространстве. На следующем графике можно увидеть, как вектор нормали к произвольной кривой C:

Рассмотрим точку P на кривой C. Точка может представлять движущуюся частицу, которая движется по траектории C. Касательная линия к кривой в точке P нарисована красным.

Обратите внимание, что вектор Т касается C в каждой точке, а вектор N перпендикулярно Т y указывает на центр воображаемого круга, дуга которого является сегментом C. Векторы выделены жирным шрифтом в печатном тексте, чтобы отличать их от других не векторных величин.

Вектор Т он всегда указывает, куда движется частица, следовательно, указывает ее скорость. Вместо вектора N всегда указывает в том направлении, в котором вращается частица, отмечая, таким образом, вогнутость кривой C.

Как получить вектор нормали к плоскости?

Вектор нормали не обязательно является единичным вектором, то есть вектором с модулем 1, но если это так, он называется нормальный единичный вектор.

Во многих приложениях необходимо знать вектор нормали к плоскости вместо кривой. Этот вектор показывает ориентацию указанной плоскости в пространстве. Например, рассмотрим самолет п (желтый) рисунка:

К этой плоскости есть два нормальных вектора: п₁ Y п₂. Использование того или другого будет зависеть от контекста, в котором находится упомянутый самолет. Получить вектор нормали к плоскости очень просто, если вы знаете его уравнение:

ах + по + cz + d = 0, с участием к, б, c Y d вещественные числа.

Ну, нормальный вектор к указанной плоскости задается следующим образом:

N = а я + b j + c k

Здесь вектор N Он выражается через единичные векторы и перпендикулярно друг другу. я, j Y k, направленных по трем направлениям, определяющим пространство X и Zсм. рисунок 2 справа.

Вектор нормали из векторного произведения

Очень простая процедура нахождения вектора нормали использует свойства векторного произведения между двумя векторами.

Как известно, три разные точки, не лежащие на одной прямой, определяют плоскость Р. Теперь можно получить два вектора или Y v которые принадлежат упомянутой плоскости, имеющей эти три точки.

Когда у вас есть векторы, векторный продуктили Икс v – операция, результатом которой, в свою очередь, является вектор, который имеет свойство быть перпендикулярным плоскости, определяемой или Y v.

Известный этот вектор, он обозначается как N, и из него можно будет определить уравнение плоскости благодаря уравнению, указанному в предыдущем разделе:

N = или Икс v

На следующем рисунке показана описанная процедура:

пример

Найти уравнение плоскости, определяемой точками A (2,1,3); В (0,1,1); С (4.2.1).

Решение

Это упражнение иллюстрирует описанную выше процедуру. Имея 3 точки, одна из них выбирается как общее начало двух векторов, которые принадлежат плоскости, определенной этими точками. Например, точка A устанавливается в качестве начала координат и строятся векторы AB Y AC.

Вектор AB – вектор, начало которого – точка A, а конец – точка B. Координаты вектора AB определяются соответственно вычитанием координат B из координат A:

AB = (0-2) я + (1-1) j + (1-3) k = -2я + 0j -2 k

Таким же образом поступаем и находим вектор AC:

AC = (4-2) я + (2-1) j + (1-3) k = 2я + j -2 k

Расчет векторного произведения AB x AC

Существует несколько процедур для нахождения векторного произведения между двумя векторами. В этом примере используется мнемоническая процедура, которая использует следующий рисунок для поиска векторных произведений между единичными векторами. я, j Y k:

Для начала следует помнить, что векторные произведения между параллельными векторами равны нулю, поэтому:

я Икс я = 0; j Икс j = 0; k Икс k = 0

А поскольку векторное произведение – это еще один вектор, перпендикулярный участвующим векторам, двигаясь в направлении красной стрелки, мы имеем:

я Икс j = k ; j Икс k = я; k Икс я = j

Если вам нужно двигаться в направлении, противоположном стрелке, добавьте знак (-):

j Икс я = – k; k Икс j = –я; я Икс k = –j

Всего можно составить 9 векторных произведений с единичными векторами. я, j Y k, из которых 3 будут нулевыми.

AB Икс AC = (-2я + 0j -2 k) х (2я + j -2 k)= -4(я Икс я) -2(я Икс j)+4 (я Икс k)+0 (j Икс я) + 0 (j Икс j) – 0 (j Икс k) – 4 (k Икс я)-2 (k Икс j) + 4 (k Икс k) = -2k-4j-4j+2я = 2я -8j-2k

Уравнение плоскости

Вектор N был определен с помощью предварительно рассчитанного векторного произведения:

N = 2я -8j-2k

Следовательно, a = 2, b = -8, c = -2, искомая плоскость:

ах + по + cz + d = 0 → 2x-8y-2z + d = 0

Значение d. Это легко сделать, если значения любой из имеющихся точек A, B или C подставить в уравнение плоскости. Выбор C, например:

2,4 – 8,2 – 2,1 + d = 0

Вкратце, искомая карта:

Пытливый читатель может задаться вопросом, был бы такой же результат, если бы вместо выполнения AB Икс AC они бы предпочли произвести AC Икс AB. Ответ: да, плоскость, определяемая этими тремя точками, уникальна и имеет два вектора нормали, как показано на рисунке 2.

Что касается точки, выбранной в качестве исходной точки векторов, нет проблем с выбором любого из двух других.

Ссылки

1. Фигероа, Д. (2005). Серия: Физика для науки и техники. Том 1. Кинематика. Отредактировал Дуглас Фигероа (USB). 31-62.
2. Нахождение нормали к плоскости. Получено с: web.ma.utexas.edu.
3. Ларсон, Р. (1986). Исчисление и аналитическая геометрия. Мак Гроу Хилл. 616-647.
4. Линии и плоскости в R 3. Получено с: math.harvard.edu.
5. Нормальный вектор. Получено с сайта mathworld.wolfram.com.

Мао Цзэдун: биография китайского коммунистического лидера

Битва при Сангараре: предшественники, причины и последствия

Нормальный вектор прямой

Вы будете перенаправлены на Автор24

В аналитической геометрии часто требуется составить общее уравнение прямой по принадлежащей ей точке и вектору нормали к прямой.

Нормаль – синоним для слова перпендикуляр.

Общее уравнение прямой на плоскости выглядит как $Ax + By + C = 0$. Подставляя в него различные значениях $A$, $B$ и $C$, в том числе нулевые, можно определить любые прямые.

Можно выразить уравнение прямой и другим способом:

Это уравнение прямой с угловым коэффициентом. В нем геометрический смысл коэффициента $k$ заключается в угле наклона прямой по отношению к оси абсцисс, а независимого члена $b$ – в расстоянии, на которое прямая отстоит от центра координатной плоскости, т.е. точки $O(0; 0)$.

Рисунок 1. Варианты расположения прямых на координатной плоскости. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Нормальное уравнение прямой можно выразить и в тригонометрическом виде:

$x cdot cos <alpha>+ y cdot sin <alpha>- p = 0$

где $alpha$ – угол между прямой и осью абсцисс, а $p$ – расстояние от начала координат до рассматриваемой прямой.

Возможны четыре варианта зависимости наклона прямой от величины углового коэффициента:

1. когда угловой коэффициент положителен, направляющий вектор прямой идёт снизу вверх;
2. когда угловой коэффициент отрицателен, направляющий вектор прямой идёт сверху вниз;
3. когда угловой коэффициент равен нулю, описываемая им прямая параллельна оси абсцисс;
4. для прямых, параллельных оси ординат, углового коэффициента не существует, поскольку тангенс 90 градусов является неопределенной (бесконечной) величиной.

Готовые работы на аналогичную тему

Чем больше абсолютное значение углового коэффициента, тем круче наклонен график прямой.

Зная угловой коэффициент, легко составить уравнение графика прямой, если дополнительно известна точка, принадлежащая искомой прямой:

$y – y_0 = k cdot (x – x_0)$

Таким образом, геометрически прямую на координатной всегда можно выразить с помощью угла и расстояния от начала координат. В этом и заключается смысл нормального вектора к прямой – самого компактного способа записи ее положения, если известны координаты хотя бы одной точки, принадлежащей этой прямой.

Вектором нормали к прямой, иначе говоря, нормальным вектором прямой, принято называть ненулевой вектор, перпендикулярный рассматриваемой прямой.

Для каждой прямой можно найти бесконечное множество нормальных векторов, равно как и направляющих векторов, т.е. таких, которые параллельны этой прямой. При этом все нормальные векторы к ней будут коллинеарными, хотя и не обязательно сонаправлены.

Обозначив нормальный вектор прямой как $vec(n_1; n_2)$, а координаты точки как $x_0$ и $y_0$, можно представить общее уравнение прямой на плоскости по точке и вектору нормали к прямой как

$n_1 cdot (x – x_n) + n_2 cdot (y – y_0) = 0$

Таким образом, координаты вектора нормали к прямой пропорциональны числам $A$ и $B$, присутствующим в общем уравнении прямой на плоскости. Следовательно, если известно общее уравнение прямой на плоскости, то можно легко вывести и вектор нормали к прямой. Если прямая, задана уравнением в прямоугольной системе координат

то нормальный вектор описывается формулой:

При этом говорят, что координаты нормального вектора “снимаются” с уравнения прямой.

Нормальный к прямой вектор и ее направляющий вектор всегда ортогональны по отношению друг к другу, т.е. их скалярные произведения равны нулю, в чем легко убедиться, вспомнив формулу направляющего вектора $bar

(-B; A)$, а также общее уравнение прямой по направляющему вектору $bar

(p_1; p_2)$ и точке $M_0(x_0; y_0)$:

В том, что вектор нормали к прямой всегда ортогонален направляющему вектору к ней можно убедиться с помощью скалярного произведения:

$bar

cdot bar = -B cdot A + A cdot B = 0 implies bar

perp bar$

Всегда можно составить уравнение прямой, зная координаты принадлежащей ей точки и нормального вектора, поскольку направление прямой следует из его направления. Описав точку как $M(x_0; y_0)$, а вектор как $bar(A; B)$, можно выразить уравнение прямой в следующем виде:

$A(x – x_0) + B(y – y_0) = 0$

Составить уравнение прямой по точке $M(-1; -3)$ и нормальному вектору $bar(3; -1)$. Вывести уравнение направляющего вектора.

Для решения задействуем формулу $A cdot (x – x_0) + B cdot (y – y_0) = 0$

Подставив значения, получаем:

$3 cdot (x – (-1)) – (-1) cdot (y – (-3)) = 0$ $3 cdot (x + 1) – (y + 3) = 0$ $3x + 3 – y – 3 = 0$ $3x – y = 0$

Проверить правильность общего уравнения прямой можно “сняв” из него координаты для нормального вектора:

$3x – y = 0 implies A = 3; B = -1 implies bar(A; B) = bar(3; -1),$

Что соответствует числам исходных данных.

Подставив реальные значения, проверим, удовлетворяет ли точка $M(-1; -3)$ уравнению $3x – y = 0$:

Равенство верно. Осталось лишь найти формулу направляющего вектора:

$bar

(-B; A) implies bar

(1; 3)$

Ответ: $3x – y = 0; bar

(1; 3).$

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 04 03 2022

[spoiler title=”источники:”]

http://ru1.warbletoncouncil.org/vector-normal-6378

http://spravochnick.ru/matematika/normalnyy_vektor_pryamoy/

[/spoiler]

Направляющий вектор прямой

В геометрии можно встретить множество задач на изучение прямой в пространстве и ее свойств. В трехмерном пространстве рассматривают не только прямую, но и плоскость. Данные объекты достаточно просто задать, используя направляющие векторы.

Направляющим вектором прямой является любой ненулевой вектор, находящийся на рассматриваемой прямой или на прямой, параллельной ей.

Согласно определению, можно сделать вывод о существовании бесконечного множества направляющих векторов прямой, которая задана. Кроме того, какой-либо направляющий вектор прямой расположен либо на рассматриваемой прямой, либо на прямой, которая ей параллельна. Таким образом, все направляющие векторы заданной прямой коллинеарны.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Отсюда следует, что при (vec{a}) направляющем векторе прямой а, каждое из направлений (t*vec{a}), где t определяется некоторым ненулевым действительным значением, также представляет собой направляющий вектор прямой а, что следует из условия коллинеарности векторов.

Исходя из термина направляющего вектора прямой, следует, что множества направляющих векторов параллельных прямых совпадают. По-другому, данное утверждение можно сформулировать так: в том случае, когда прямые а и а1 параллельны, вектор (vec{a}) является направляющим вектором прямой а, при этом вектор (vec{a}) также является направляющим вектором прямой а1.

Кроме того, из определений направляющего вектора прямой и нормального вектора прямой следует, что каждый нормальный вектор прямой а является перпендикуляром каждому направляющему вектору прямой а.

На примере можно рассмотреть направляющий вектор прямой. Предположим, что в трехмерном пространстве имеется прямоугольная система координат Охуz. Координатные векторы ( vec{i}, vec{j}, vec{k}) представляют собой направляющие векторы координатных прямых Ох, Оу, Оz соответственно.

Можно рассмотреть другой пример, где задан вектор (vec{v}). Его координаты известны (а; b; с). Так как имеется три координаты, то можно заключить, что вектор задан в пространстве. Для того чтобы изобразить рассматриваемый вектор в прямоугольной системе координат, на каждой из трех осей требуется отложить прямую, ограниченную двумя точками, то есть отрезок с длиной, равной соответствующей координате сектора.

Три перпендикуляра, которые восстановлены к плоскостям xy, yz и xz, будут пересекаться в точке, являющейся концом вектора. Начало вектора совпадает с точкой (0; 0; 0). Однако рассматриваемое положение вектора не единственное. Таким же образом можно задать вектор (vec{v}) с началом в произвольной точке пространства.

Отсюда следует вывод о невозможности задания конкретной прямой с помощью вектора. С его помощью можно определить комплекс из бесконечного числа параллельных прямых.

Далее можно отметить в пространстве какую-либо точку P(x0; y0; z0). Следует определить условие, что через данную точку должна проходить прямая. Таким образом, заданная точка будет располагаться на векторе (vec{v}). Исходя из этого, можно сделать вывод, что прямая, заданная с помощью (Р) и (vec{v}), является единственной. Уравнение данной прямой будет иметь вид:

(Q=P+lambda*vec{v})

 где Q является любой точкой, которая принадлежит рассматриваемой прямой.

Данная точка получается путем подбора соответствующего параметра (lambda). Представленная запись уравнения является векторной, а (vec{v}) представляет собой направляющий вектор прямой. В том случае, когда этот вектор пересекает Р и изменяется в длине по параметру (lambda), получается какая-либо точка Q прямой. Координатная форма уравнения:

((x;y;z) = (x_{0};y_{0};z_{0})+lambda*(a;b;c))

Параметрический вид уравнения:

(x=x_{0}+lambda*a;)

(y = y_{0}+lambda *b;)

(z = z_{0} + lambda *c)

Когда нужно знать направляющий вектор

Данные знания пригодятся при решении задач на определение параллельности и перпендикулярности прямых. Кроме того, направляющий вектор используют для расчета расстояния между прямыми, а также точкой и прямой, описания поведения прямой относительно плоскости.

Одна прямая будет параллельна второй прямой в том случае, когда их направляющие вектора параллельны. Аналогично, перпендикулярность прямых доказывают через перпендикулярность их векторов. Подобные задачи предполагают необходимость определения скалярного произведения рассматриваемых векторов для получения ответа.

Когда требуется вычислить расстояние между прямыми и точками, целесообразно использовать формулу с направляющим вектором:

(d=frac{left|left[vec{P_{1}P_{2} }*vec{v}right]right|} {left| vec{v}right|})

В данном случае (vec{P_{1}P_{2} }) является построенным на точках P1 и P2 направленным отрезком. Точка P2 произвольно расположена на прямой с вектором (*vec{v}), а до точки Р1 требуется определить расстояние. Данная точка является самостоятельной, либо расположена на другой прямой или находится в другой плоскости.

Следует заметить, что рассчитывать расстояние целесообразно только между параллельными или скрещивающимися прямыми. В том случае, когда прямые пересекаются, d обладает нулевым значением. Записанная формула для d справедлива и для расчета дистанции между плоскостью и параллельной ей прямой. Но при этом P1 расположена в рассматриваемой плоскости.

Задача на составление векторного уравнения

Представим, что имеется следующее уравнение прямой:

(y = 3 × x – 4)

Необходимо записать векторное уравнение данной прямой.

Допустимо переписать выражение в виде:

((x; y) = (x; 3 × x – 4))

При раскрытии данного уравнения будет получено выражение из условия.

Далее можно разделить правую часть уравнения на вектора таким образом, чтобы лишь один из них включал неизвестные:

((x; y) = (x; 3 × x) + (0; -4))

Затем следует вынести х за скобки, обозначить его (lambda) и поменять вектора правой части местами:

((x; y) = (0; -4) + lambda * (1; 3))

Таким образом, получена векторная форма уравнения прямой из условия. Координаты ее направляющего вектора равны (1; 3).

Задача на определение взаимного расположения прямых

Представим, что в пространстве задана пара прямых:

((x; y; z) = (1; 0; -2) + lambda * (-1; 3; 1);)

((x; y; z) = (3; 2; 2) + lambda * (1; 2; 0))

Необходимо определить, какие эти прямые: параллельные, скрещивающиеся или пересекающиеся. При этом ненулевые вектора (-1; 3; 1) и (1; 2; 0) являются направляющими для заданных прямых. Можно выразить в параметрической форме рассматриваемые уравнения и подставить координаты первого во второе:

(x = 1 – lambda;)

(y = 3 * lambda;)

(z = -2 + lambda;)

(x = 3 + gamma = 1 – lambda => gamma = -2 – lambda;)

(y = 2 + 2 * gamma = 3 * lambda => gamma = 3 / 2 * lambda – 1;)

(z = 2 = -2 + lambda => lambda = 4)

При подстановке определенного параметра (lambda )в два уравнения выше, получится:

(gamma = -2 – lambda = -6;)

(gamma = 3 / 2 *lambda – 1 = 5)

Для параметра (gamma) не предусмотрено наличие сразу двух значений. Таким образом, прямые не обладают ни одной общей точкой, то есть являются скрещивающимися. Параллельность данных прямых исключается, так как ненулевые векторы не параллельны друг другу, то есть для их параллельности должно существовать число, которое бы путем умножения на один вектор приводило к координатам второго.

Математическое описание плоскости

Задать плоскость в пространстве можно путем приведения уравнения общего вида:

(A * x + B * y + C * z + D = 0)

В данном случае латинскими большими буквами обозначают конкретные числа. Первая тройка таких чисел определяет координаты нормального вектора плоскости. В том случае, когда он обозначен (vec{n}), можно записать: (vec{n} = (A; B; C)). Рассматриваемый вектор перпендикулярен к плоскости, поэтому его называют направляющим.

Его знание, а также известные координаты любой точки, находящейся на плоскости, однозначно задают последнюю. Если точка P (x1; y1; z1) плоскости принадлежит, то свободный член D рассчитывается следующим образом:

(D = -1 * (A * x1 + B * y1 + C * z1))

Уравнение прямой по направляющему вектору

Любой ненулевой вектор (vec{a} (а1; а2)) с компонентами, соответствующими условию А а1 + В а2 = 0, представляет собой направляющий вектор прямой.

Ах + Ву + С = 0

В качестве примера можно вывести уравнение прямой, которая проходит через точку А (1, 2) с направляющим вектором (vec{a} ) (1, -1). Для этого требуется записать уравнение в виде:

Ax + By + C = 0

Согласно определению, коэффициенты должны соответствовать следующим условиям:

1 * A + (-1) * B = 0, то есть А = В

В таком случае:

Ax + Ay + C = 0, или x + y + C / A = 0

Если х = 1, у = 2 получаем:

С/ A = -3

Таким образом:

х + у – 3 = 0

Общее уравнение прямой в декартовой системе координат имеет вид:

Ax + By + C = 0

где x, y – являются координатами точек прямой, A, B, C – определяются, как действительные числа при условии ({A^2} + {B^2} ne 0).

В том случае, когда прямая задана общим уравнением:

Ax + By + C = 0

В таком случае вектор:

(mathbf{n}left( {A,B} right))

Его координаты соответствуют коэффициентам A, B. Данный вектор представляет собой вектор нормали к данной прямой.

Уравнение прямой по точке и направляющему вектору представляет собой каноническое уравнение прямой и имеет вид:

(largefrac{{x – {x_1}}}{X}normalsize = largefrac{{y – {y_1}}}{Y}normalsize)

где вектор (mathbf{s}left( {X,Y} right)) направлен вдоль прямой, а точка (Pleft( {{x_1},{y_1}} right)) расположена на этой прямой.

Координаты направляющего вектора из общего уравнения

При рассмотрении данной темы стоит привязать рассматриваемую прямую и ее направляющие векторы к прямоугольной системе координат. Алгоритм действий:

• рассмотреть прямую и ее направляющие векторы в прямоугольной декартовой системе координат Oxy на плоскости;
• рассмотреть прямую и ее направляющие векторы в прямоугольной системе координат Oxyz, принадлежащей трехмерному пространству.

Прямая линия в прямоугольной системе координат Oxy определяется некоторым уравнением прямой на плоскости. При этом направляющие вектора прямой в системе координат Oxy соответствуют координатам направляющих векторов.

Определить координаты направляющего вектора прямой при известном уравнении рассматриваемой прямой можно в том случае, когда прямая линия задана каноническим уравнением или параметрическими уравнениями.

Каноническое уравнение прямой на плоскости можно записать в виде:

(frac{x-x_{1}}{a_{x}}=frac{y-y_{1}}{a_{y}})

Один из направляющих векторов этой прямой можно записать так:

(vec{a}(a_{x}; a_{y}))

Отсюда следует вывод о том, что числа в знаменателях канонического уравнения прямой соответствуют координатам направляющего вектора рассматриваемой прямой.

(frac{x-1}{4}=frac{y+1/2}{-3})

Необходимо рассчитать координаты любого направляющего вектора данной прямой.

Решение

Согласно каноническому уравнению прямой на плоскости, координаты какого-то из направляющих векторов рассматриваемой прямой соответствуют числам в знаменателях. Таким образом, искомый направляющий вектор обладает координатами (4; -3).

Ответ: (4; -3)

Подобным образом можно определить прямую с направляющим вектором (vec{a}(a_{x}; a_{y})) с помощью параметрических уравнений прямой на плоскости:

(x=x_{1}+a_{x}*lambda)

(y=y_{1}+a_{y}*lambda)

Таким образом, коэффициенты при параметре в параметрических уравнениях прямой представляют собой соответствующие координаты направляющего вектора прямой.

(x=-1)

(y=7-5*lambda)

При этом (lambda in R). Требуется определить координаты направляющих векторов заданной прямой.

Решение

В первую очередь следует преобразовать уравнение прямой:

(x=-1+0*lambda)

(y=7-5*lambda)

Коэффициенты с параметром (lambda) соответствуют координатам направляющего вектора прямой:

(vec{a}(0; -5))

Данный вектор является одним из направляющих векторов исходной прямой. Так как направляющие вектора прямой коллинеарны, их можно записать в виде: (t*vec{a}). В координатной форме запись будет иметь вид: ((0; -5*t)). В данном случае t является любым действительным числом, которое не равно нулю.

Ответ: ((0; -5*t), t in R, tneq 0)

Далее можно рассмотреть принцип поиска координат направляющего вектора прямой, заданной общим уравнением прямой вида: (Ax + By + C = 0.)

Ели А=0 в выражении Ах + Ву + С = 0, то уравнение будет записано в виде:

Ву + С = 0

Данное уравнение определяет прямую, которая параллельна оси абсцисс. Таким образом, направляющим вектором прямой (Ву + С = 0) является координатный вектор (vec{i}(1; 0).)

Если В=0, то запись общего уравнения прямой будет следующая:

(Ах + С = 0)

Данная прямая параллельна оси ординат. В связи с этим, ее направляющим вектором будет координатный вектор (vec{j}(1; 0).)

Решение

С помощью уравнения х-2=0 в прямоугольной системе координат Oxy можно задать прямую, которая будет параллельна оси Oy. Таким образом, роль ее направляющего вектора играет координатный вектор (vec{j}(0; 1).)

Ответ: (0; 1)

В том случае, когда общее уравнение прямой имеет вид (Ах + Ву + С = 0) с коэффициентами А и В, не равными нулю, координаты направляющего вектора находят одним из следующих методов:

• приведение заданного уравнения в канонический вид, что позволит распознать координаты направляющего вектора;
• поиск координат пары не совпадающих точек на данной прямой, принятие их в качестве начала и конца направляющего вектора прямой и определение его координат;
• поиск координат любого вектора, который перпендикулярен к нормальному вектору (vec{n}(A; B)) прямой (Ах + Ву + С = 0.)

(3х + 2у – 10 = 0)

Решение

В первую очередь необходимо привести общее уравнение прямой к каноническому виду. В данном случае в левой части выражения остается лишь слагаемое 3х, а остальные компоненты следует перенести в правую часть, меняя знак на противоположный:

(3х + 2у – 10 = 0)

(3х = -2у + 10)

Преобразованное равенство имеет вид:

(3х = -2у + 10)

(3х = -2(у -5))

(frac{x}{-2}=frac{y-5}{3})

Полученное уравнение позволяет сделать вывод о том, что координаты направляющего вектора равны (2;-3).

Ответ: (2;-3)

Координаты направляющего вектора из уравнения с угловым коэффициентом

Уравнение с угловым коэффициентом записывают в таком виде:

(y=kx+b)

Определить координаты направляющего вектора прямой, описанной данным уравнением, можно с помощью приведения рассматриваемого уравнения к общему виду. В процессе требуется перенести компоненты в левую часть:

(y−kx–b=0)

Далее можно прибегнуть к алгоритму, характерному для общего уравнения. Уравнение с угловым коэффициентом, преобразованное в каноническое, запишем следующим образом:

(x1=y−bk)

Таким образом, координаты направляющего вектора для данного случая равны:

(vec{S}=(1;k))

Уравнение прямой с угловым коэффициентом:

(y = kx + b)

где (k = tanalpha) представляет собой угловой коэффициент прямой, число b определяется, как координата точки пересечения прямой с осью Oy.

Угловой коэффициент прямой рассчитывают с помощью уравнения:

(k = tan alpha = largefrac{{{y_2} – {y_1}}}{{{x_2} – {x_1}}}normalsize,)

где (Aleft( {{x_1},{y_1}} right), Bleft( {{x_2},{y_2}} right)) – являются координатами двух точек, расположенных на прямой.

Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту имеет вид:

(y = {y_0} + kleft( {x – {x_0}} right),)

где k – является угловым коэффициентом, а точка (Pleft( {{x_0},{y_0}} right) ) расположена на рассматриваемой прямой.

Направляющий вектор прямой, координаты направляющего вектора прямой

С понятием прямой линии тесно связано понятие ее направляющего вектора. Часто в задачах бывает удобнее рассматривать его вместо самой прямой. В рамках данного материала мы разберем, что же такое направляющий вектор прямой в пространстве и на плоскости, и расскажем, для чего можно его использовать.

В первом пункте мы сформулируем определение и покажем основные понятия на иллюстрациях, дополнив их конкретными примерами направляющего вектора. Далее мы посмотрим, как прямая и направляющие векторы взаимодействуют в прямоугольной системе координат и как можно вычислить координаты этого вектора, если мы знаем уравнение прямой. Все правила, как всегда, будут проиллюстрированы примерами решений задач.

Что такое направляющий вектор прямой

Для того чтобы понять эту тему, нам нужно хорошо представлять, что такое вообще прямая и как она может размещаться в пространстве и на плоскости. Кроме того, важно вспомнить ранее изученное понятие вектора. Об этом мы уже писали в отдельном материале. Если нужно, найдите и перечитайте эти статьи.

Сформулируем, что такое направляющий вектор.

Направляющим вектором прямой является любой вектор, не равный нулю, который размещается на данной прямой или же на прямой, параллельной ей.

Получается, что у каждой прямой есть бесконечное множество направляющих векторов. При этом все они будут являться коллинеарными в силу озвученного определения, ведь они лежат на одной прямой или параллельной ей другой прямой. Выходит, что если a → является направляющий вектором прямой a , то другой направляющий вектор мы можем обозначить как t · a → при любом значении t , соответствующем действительному числу.

Также из определения выше можно сделать вывод, что направляющие векторы двух параллельных прямых будут совпадать: если прямые a и a 1 являются параллельными, то вектор a → будет направляющим и для a , и для a 1 .

Третий вывод, следующий из определения: если у нас есть направляющий вектор прямой a , то он будет перпендикулярным по отношению к любому нормальному вектору той же прямой.

Приведем пример направляющего вектора: в прямоугольной системе координат для осей O x , O y и O z направляющими будут координатные векторы i → , j → и k → .

Как вычислить координаты направляющего вектора по уравнениям прямой

Допустим, что у нас есть некая прямая с направляющими векторами, лежащая в прямоугольной системе координат. Сначала мы разберем случай с плоской декартовой системой O x y , а потом с системой O x y z , расположенной в трехмерном пространстве.

1. Прямую линию в O x y можно описать с помощью уравнения прямой на плоскости. В этом случае координаты направляющих векторов будут соответствовать направляющим векторам исходной прямой. А если нам известно уравнение прямой, как вычислить координаты ее направляющего вектора? Это легко сделать, если мы имеем дело с каноническим или параметрическим уравнением.

Допустим, у нас есть канонический случай уравнения, которое имеет вид x — x 1 a x = y — y 1 a y . С его помощью на плоскости задана прямая с направляющим вектором a → = ( a x , a y ) .

Чтобы вычислить координаты направляющего вектора, нам нужно взять числа из знаменателя канонического уравнения прямой.

Приведем пример задачи.

В прямоугольной системе координат задана прямая, которую можно описать уравнением x — 1 4 = y + 1 2 — 3 . Вычислите координаты одного из направляющих векторов прямой.

Решение

Из уравнения мы можем сразу взять координаты направляющего вектора. Берем числа в знаменателях и записываем: 4 , — 3 . Это и будет нужный нам ответ.

Ответ: 4 , — 3 .

Если же прямая описана уравнением параметрического типа, то нам нужно смотреть на коэффициенты при параметре. Они будут соответствовать координатам нужного нам направляющего вектора.

У нас есть прямая, которую можно описать с помощью системы параметрических уравнений x = — 1 y = 7 — 5 · λ , при этом λ ∈ R . Найдите координаты направляющих векторов.

Решение

Для начала перепишем данные параметрические уравнения в виде x = — 1 + 0 · λ y = 7 — 5 · λ . Посмотрим на коэффициенты. Они сообщат нам нужные координаты направляющего вектора – a → = ( 0 , 5 ) . Учитывая, что все направляющие векторы одной прямой будут коллинеарны, мы можем задать их в виде t · a → или 0 , — 5 · t , где t может быть любым действительным числом. О том, как проводить действия с векторами в координатах, мы писали в отдельной статье.

Ответ: 0 , — 5 · t , t ∈ R , t ≠ 0

Теперь разберем случай, как найти координаты вектора, если прямая задана общим уравнением вида A x + B y + C = 0 . Если A = 0 , то исходное уравнение можно переписать как B y + C = 0 . Оно определяет прямую, которая будет параллельна оси абсцисс. Значит, в качестве ее направляющего вектора мы можем взять координатный вектор i → = 1 , 0 .

А если B = 0 , то уравнение прямой мы можем записать как A x + C = 0 . Описываемая им прямая будет параллельна оси ординат, поэтому ее координатный вектор j → = 0 , 1 также будет направляющим. Рассмотрим конкретную задачу.

У нас есть прямая, заданная при помощи общего уравнения x — 2 = 0 . Найдите координаты любого направляющего вектора.

Решение

В прямоугольной системе координат исходное уравнение будет соответствовать прямой, параллельной оси ординат. Значит, мы можем взять координатный вектор j → = ( 0 , 1 ) . Он будет для нее направляющим.

Ответ: ( 0 , 1 )

А как быть в случае, если ни один коэффициент в A x + B y + C = 0 не будет равен 0? Тогда мы можем использовать несколько разных способов.

1. Мы можем переписать основное уравнение так, чтобы оно превратилось в каноническое. Тогда координаты вектора можно будет взять из его значений.

2. Можно вычислить отдельно начальную и конечную точку направляющего вектора. Для этого надо будет взять координаты двух любых несовпадающих точек исходной прямой.

3. Третий способ заключается в вычислении координат любого вектора, который будет перпендикулярен нормальному вектору этой прямой n → = A , B .

Самым простым является первый подход. Проиллюстрируем его на примере задачи.

Есть прямая на плоскости, заданная уравнением 3 x + 2 y — 10 = 0 . Запишите координаты любого направляющего вектора.

Решение

Перепишем исходное уравнение в каноническом виде. Сначала перенесем все слагаемые из левой части, кроме 3 x, в правую с противоположным знаком. У нас получится:

3 x + 2 y — 10 = 0 ⇔ 3 x = — 2 y + 10

Получившееся равенство преобразовываем и получаем:

3 x = — 2 y + 10 ⇔ 3 x = — 2 ( y — 5 ) ⇔ x — 2 = y — 5 3

Отсюда мы уже можем вывести координаты нужного нам направляющего вектора: -2 , 3

К общему виду легко свести и такие типы уравнений, как уравнение прямой в отрезках x a + y b = 1 и уравнение прямой с угловым коэффициентом y = k · x + b , так что если они встретились вам в задаче на нахождение координат направляющего вектора, то можно также использовать этот подход.

Далее мы разберем, как найти эти координаты, если прямая у нас задана не в плоскости, а в пространстве.

Вектор a → = ( a x , a y , a z ) является направляющим для прямой, выраженной с помощью:

1) канонического уравнения прямой в пространстве x — x 1 a x = y — y 1 a y = z — z 1 a z

2) параметрического уравнения прямой в пространстве x — x 1 a x = y — y 1 a y = z — z 1 a z

Таким образом, для вычисления координат направляющего вектора нужно взять числа из знаменателей или коэффициентов при параметре в соответствующем уравнении.

Рассмотрим конкретную задачу.

Прямая в пространстве задана уравнением вида x — 1 4 = y + 1 2 0 = z — 3 . Укажите, какие координаты будет иметь направляющий вектор данной прямой.

Решение

В каноническом уравнении необходимые числа видны сразу в знаменателях. Получается, что ответом будет вектор с координатами 4 , 0 , — 3 . Координаты всех направляющих векторов данной прямой можно записать в виде 4 · t , 0 , — 3 · t при условии, что t является действительным числом.

Ответ: 4 · t , 0 , — 3 · t , t ∈ R , t ≠ 0

Вычислите координаты любого направляющего вектора для прямой, которая задана в пространстве с помощью параметрического уравнения x = 2 y = 1 + 2 · λ z = — 4 — λ .

Решение

Перепишем данные уравнения в виде x = 2 + 0 · λ y = 1 + 2 · λ z = — 4 — 1 · λ .

Из этой записи можно вычленить координаты нужного нам вектора – ими будут коэффициенты перед параметром.

Разберем еще один случай. Как вычислить нужные координаты, если прямая задана уравнением двух пересекающихся плоскостей вида A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 ?

Есть два способа. Можно записать это уравнение в параметрическом виде, где будут видны нужные координаты. Но можно использовать и другой способ. Объясним его.

Вспомним, что такой нормальный вектор плоскости. Он по определению будет лежать на прямой, перпендикулярной исходной плоскости. Значит, любой направляющий вектор прямой, которая в ней находится, будет перпендикулярен ее любому нормальному вектору.

Направляющий вектор прямой, образованной пересечением двух плоскостей A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 , будет перпендикулярен нормальным векторам n 1 → = ( A 1 , B 1 , C 1 ) и n 2 → = ( A 2 , B 2 , C 2 ) . То есть в качестве направляющего вектора мы может взять произведение векторов n 1 → = ( A 1 , B 1 , C 1 ) и n 2 → = ( A 2 , B 2 , C 2 ) .

n 1 → × n 2 → = i → j → k → A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2 — это и есть направляющий вектор прямой, по которой пересекаются исходные плоскости.

Решим задачу, в которой применяется этот подход.

Запишите координаты направляющего вектора прямой, выраженной с помощью уравнения x + 2 y + 3 z — 1 = 0 2 x + 4 y — 4 z + 5 = 0 .

Решение

Возьмем произведение двух нормальных векторов плоскостей x + 2 y + 3 z — 1 = 0 и 2 x + 4 y — 4 z + 5 = 0 . У них следующие координаты: 1 , 2 , 3 и 2 , 4 , — 4 .

У нас получится:

n 1 → × n 2 → = i → j → k → 1 2 3 2 4 — 4 = i → · 2 · ( — 4 ) + j → · 3 · 2 + k → · 1 · 4 — — k → · 2 · 2 — i → · 3 · 4 — j → · 1 · ( — 4 ) = — 20 · i → + 10 · j → + 0 · k →

Выходит, что вектор n 1 → × n 2 → = — 20 · i → + 10 · j → + 0 · k → ⇔ n 1 → × n 2 → = — 20 , 10 , 0 – это и есть нужный нам направляющий вектор прямой.

Ответ: — 20 , 10 , 0

В конце статьи отметим, что умение вычислять направляющий вектор пригодится для решения многих задач, таких, как сопоставление двух прямых, доказательство их параллельности и перпендикулярности, вычисление угла между пересекающимися или скрещивающимися прямыми и др.

Направляющий вектор прямой

Направляющим вектором прямой называется вектор, параллельный прямой, которую он определяет или совпадающий с ней.

Рассмотрим прямую $L$, заданную точкой $M_0$, лежащей на ней, и направляющим вектором $overline$ с координатами $(l;m)$, при этом вектор $overline$ — ненулевой. Обозначим на прямой произвольную точку $M$ с координатами $(x, y)$, не совпадающую с точкой $M_0$. Радиус-векторы этих точек назовём $overline$ и $overline$. Вектор $overline$ при этом будет колинеарен вектору $overline$.

Вектор $overline$ можно выразить через сумму векторов $overline$:

$overline = overline + overlineleft(1right).$

Вектор $overline$ лежит на прямой $L$, поэтому он по условию является параллельным направляющему вектору $overline$ и связан с ним соотношением $overline= toverlineleft(2right)$, где $t$ — множитель, являющийся скалярной величиной и зависящий от позиции точки $M$ на прямой.

Рисунок 1. Направляющий вектор прямой L

Учитывая равенство $(2)$, формулу $(1)$ можно переписать следующим образом:

$overline = overline + toverlineleft(3right)$

Данное равенство носит название векторного уравнения прямой.

Возможны следующие варианты задания уравнения прямой на плоскости:

• Общее уравнение прямой;
• Уравнение с угловым коэффициентом;
• Через параметрические уравнения;
• Каноническое уравнение;
• С помощью двух точек, через которые проходит прямая.

Для каждого из этих вариантов подходит свой способ нахождения направляющего вектора.

Направляющий вектор из канонического уравнения прямой и через две точки

Готовые работы на аналогичную тему

Каноническое уравнение прямой выглядит так:

Из канонического уравнения выразить координаты направляющего вектора проще всего: достаточно выписать знаменатели из уравнения следующим образом:

Уравнение прямой, проходящей через 2 точки, имеет вид, очень похожий на каноническое уравнение:

$frac= fracleft(5right)$, где $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ — координаты точек, через которые проходит прямая.

В этом случае координаты направляющего вектора $overline$ равны $((x_2 – x_1); (y_2-y_1))$.

Даны две точки $(5; 10)$ и $(2;1)$. Составьте уравнение прямой и выпишите координаты направляющего вектора.

Подставим координаты данных точек в уравнение $(5)$ и получим:

Ответ: координаты направляющего вектора $overline$ равны $(3;9)$.

Направляющий вектор из параметрических уравнений

Параметрические уравнения имеют следующий вид: $begin x=x_0 + lt \ y=y_0 + mt end$

Для того чтобы выразить координаты направляющего вектора из параметрических уравнений, нужно выписать коэффициенты, стоящие перед параметром $t$, т.е. $overline=(l; m)$.

Координаты направляющего вектора из общего уравнения

Общее уравнение имеет следующий вид:

$Ax + By + C = 0left(6right)$

Для того чтобы получить координаты направляющего вектора, нужно от общего уравнения прямой перейти к каноническому.

Сделаем это в общей форме.

Сначала перенесём часть $By + C$ в правую часть:

Теперь разделим всё на $A$:

А после этого всё уравнение разделим на $B$:

Из вышеизложенного следует, что координаты направляющего вектора $overline$ будут равны $(B; -A)$.

Дано общее уравнение прямой $6x-7y + 5 = 0$. Получите направляющий вектор для данной прямой.

Воспользуемся уравнением прямой $(7)$. Из этого уравнения получается, что координаты направляющего вектора равны $(6;7)$.

Координаты направляющего вектора из уравнения с угловым коэффициентом

Уравнение с угловым коэффициентом имеет вид:

Для того чтобы получить из него координаты направляющего вектора, необходимо сначала привести его к общему виду, для этого переносим всё в левую часть:

Затем нужно воспользоваться алгоритмом для общего уравнения.

Уравнение с угловым коэффициентом, приведённое к каноническому, выглядит так:

то есть координаты направляющего вектора в данном случае будут $overline= (1;k)$.

2.2.3. Как найти направляющий вектор
по общему уравнению прямой?

Утверждение позволяет найти лишь один направляющий вектор из бесчисленного множества, но нам больше и не нужно. Хотя в ряде случаев координаты направляющих векторов целесообразно сократить: так, уравнение задаёт прямую, которая параллельна оси и координаты полученного направляющего вектора удобно разделить на –2, получая в точности базисный вектор в качестве направляющего вектора. Аналогично, уравнение задаёт прямую, параллельную оси , и, разделив координаты вектора на 5, получаем направляющий вектор .

Читателям с низким уровнем подготовки рекомендую постоянно выполнять чертежи, чтобы лучше понимать мои объяснения!

Теперь выполним проверку Задачи 61. Решение уехало вверх, поэтому напоминаю, что в ней мы составили уравнение прямой по точке и направляющему вектору . Проверка состоит в двух действиях:

Во-первых, по уравнению прямой восстанавливаем её направляющий вектор: – всё нормально, получили исходный вектор (в ряде случаев может получиться коллинеарный исходному вектор, и это несложно заметить по пропорциональности соответствующих координат).

Во-вторых, координаты точки должны удовлетворять уравнению . Подставляем их в уравнение:

– получено верное равенство, чему мы очень рады.

Вывод: задание выполнено правильно.

Задача 62

Составить уравнение прямой по точке и направляющему вектору

Это задача для самостоятельного решения. И проверка, проверка, проверка!

Старайтесь всегда (если это возможно) выполнять проверку на черновике.
Глупо допускать ошибки там, где их 100%-но можно избежать!

В том случае, если одна из координат направляющего вектора равна нулю, поступают очень просто:

Задача 63

Составить уравнение прямой по точке и направляющему вектору .

Решение: формула не годится, так как знаменатель правой части равен нулю. Но выход прост! Используя свойства пропорции, перепишем уравнение в виде , и дальнейшее покатилось по глубокой колее:

переставим части местами:

Ответ:

Проверка:

1) Восстановим направляющий вектор найденной прямой :
– полученный вектор коллинеарен исходному направляющему вектору .

2) Подставим координаты точки в уравнение :

– получено верное равенство, значит, точка удовлетворяет уравнению.

Вывод: задание выполнено правильно

Возникает вопрос: зачем маяться с формулой , если существует универсальная версия , которая сработает в любом случае?

Причин две. Во-первых, формула в виде дроби гораздо лучше запоминается. А во-вторых, недостаток универсальной формулы состоит в том, что здесь повышается риск запутаться при подстановке координат.

Задача 64

Составить уравнение прямой по точке и направляющему вектору , выполнить проверку.

Это задача для самостоятельного решения. Кстати, проверку можно выполнять и графически – решили задачу и изобразили всё на чертеже. Правда, такой способ бывает неудобен или трудновыполнИм, и поэтому всё-таки «рулит» аналитика.



2.2.3. Как найти направляющий вектор
по общему уравнению прямой?

Очень просто:

Если прямая задана общим уравнением , то вектор  является направляющим вектором данной прямой.

Примеры нахождения направляющих векторов прямых:

Утверждение позволяет найти лишь один направляющий вектор из бесчисленного множества, но нам больше и не нужно. Хотя в ряде случаев координаты направляющих векторов целесообразно сократить: так, уравнение  задаёт прямую, которая параллельна оси  и координаты полученного направляющего вектора  удобно разделить на –2, получая в точности базисный вектор  в качестве направляющего вектора. Аналогично, уравнение  задаёт прямую, параллельную оси , и, разделив координаты вектора  на 5, получаем направляющий вектор .

Читателям с низким уровнем подготовки рекомендую постоянно выполнять чертежи, чтобы лучше понимать мои объяснения!

Теперь выполним проверку Задачи 61. Решение уехало вверх, поэтому напоминаю, что в ней мы составили уравнение прямой  по точке  и направляющему вектору . Проверка состоит в двух действиях:

Во-первых, по уравнению прямой  восстанавливаем её направляющий вектор:  – всё нормально, получили исходный вектор (в ряде случаев может получиться коллинеарный исходному вектор, и это несложно заметить по пропорциональности соответствующих координат).

Во-вторых, координаты точки  должны удовлетворять уравнению . Подставляем их в уравнение:

 – получено верное равенство, чему мы очень рады.

Вывод: задание выполнено правильно.

Задача 62

Составить уравнение прямой по точке  и направляющему вектору

Это задача для самостоятельного решения. И проверка, проверка, проверка!

Старайтесь всегда (если это возможно) выполнять проверку на черновике.
Глупо допускать ошибки там, где их 100%-но можно избежать!

В том случае, если одна из координат направляющего вектора равна нулю, поступают очень просто:

Задача 63

Составить уравнение прямой по точке  и направляющему вектору .

Решение: формула  не годится, так как знаменатель правой части равен нулю. Но выход прост! Используя свойства пропорции, перепишем уравнение в виде , и дальнейшее покатилось по глубокой колее:

переставим части местами:

Ответ:

Проверка:

1) Восстановим направляющий вектор найденной прямой :
 – полученный вектор коллинеарен исходному направляющему вектору .

2) Подставим координаты точки  в уравнение :

 – получено верное равенство, значит, точка  удовлетворяет уравнению.

Вывод: задание выполнено правильно

Возникает вопрос: зачем маяться с формулой , если существует универсальная версия , которая сработает в любом случае?

Причин две. Во-первых, формула в виде дроби  гораздо лучше запоминается. А во-вторых, недостаток универсальной формулы  состоит в том, что здесь повышается риск запутаться при подстановке координат.

Задача 64

Составить уравнение прямой по точке  и направляющему вектору , выполнить проверку.

Это задача для самостоятельного решения. Кстати, проверку можно выполнять и графически – решили задачу и изобразили всё на чертеже. Правда, такой способ бывает неудобен или трудновыполнИм, и поэтому всё-таки «рулит» аналитика.

Вернёмся к вездесущим двум точкам:

2.2.4. Как составить уравнение прямой по двум точкам?

2.2.2. Как составить уравнение прямой по точке и направляющему вектору?

| Оглавление |



Автор: Aлeксaндр Eмeлин

Рассмотрим прямую $L$, заданную точкой $M_0$, лежащей на ней, и направляющим вектором $overline{S}$ с координатами $(l;m)$, при этом вектор $overline{S}$ — ненулевой. Обозначим на прямой произвольную точку $M$ с координатами $(x, y)$, не совпадающую с точкой $M_0$. Радиус-векторы этих точек назовём $overline{r_0}$ и $overline{r}$. Вектор $overline{MM_0}$ при этом будет колинеарен вектору $overline{S}$.

Вектор $overline{r}$ можно выразить через сумму векторов $overline{MM_0}$:

$overline{r} = overline{r_0} + overline{MM_0}left(1right).$

Вектор $overline{MM_0}$ лежит на прямой $L$, поэтому он по условию является параллельным направляющему вектору $overline{S}$ и связан с ним соотношением $overline{MM_0}= toverline{S}left(2right)$, где $t$ — множитель, являющийся скалярной величиной и зависящий от позиции точки $M$ на прямой.

Учитывая равенство $(2)$, формулу $(1)$ можно переписать следующим образом:

Возможны следующие варианты задания уравнения прямой на плоскости:

• Общее уравнение прямой;
• Уравнение с угловым коэффициентом;
• Через параметрические уравнения;
• Каноническое уравнение;
• С помощью двух точек, через которые проходит прямая.

Для каждого из этих вариантов подходит свой способ нахождения направляющего вектора.

Направляющий вектор из канонического уравнения прямой и через две точки

«Направляющий вектор прямой» 👇

Каноническое уравнение прямой выглядит так:

$frac{x-x_0}{l}= frac{y-y_0}{m}left(4right)$

Из канонического уравнения выразить координаты направляющего вектора проще всего: достаточно выписать знаменатели из уравнения следующим образом:

$overline{S}=(l; m)$.

Уравнение прямой, проходящей через 2 точки, имеет вид, очень похожий на каноническое уравнение:

$frac{x-x_1}{x_2 – x_1}= frac{y-y_1}{y_2-y_1}left(5right)$, где $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ — координаты точек, через которые проходит прямая.

В этом случае координаты направляющего вектора $overline{S}$ равны $((x_2 – x_1); (y_2-y_1))$.

Направляющий вектор из параметрических уравнений

Параметрические уравнения имеют следующий вид:
$begin{cases} x=x_0 + lt \ y=y_0 + mt end{cases}$

Для того чтобы выразить координаты направляющего вектора из параметрических уравнений, нужно выписать коэффициенты, стоящие перед параметром $t$, т.е. $overline{S}=(l; m)$.

Координаты направляющего вектора из общего уравнения

Общее уравнение имеет следующий вид:

$Ax + By + C = 0left(6right)$

Для того чтобы получить координаты направляющего вектора, нужно от общего уравнения прямой перейти к каноническому.

Сделаем это в общей форме.

Сначала перенесём часть $By + C$ в правую часть:

$Ax = – By – C$

Теперь разделим всё на $A$:

$x=-frac{By}{A} – frac{C}{A}$

А после этого всё уравнение разделим на $B$:

$frac{x}{B}=-frac{y}{A} – frac{C}{AB}$

$frac{x}{B} = frac{y + frac{C}{B}}{-A}left(7right)$

Из вышеизложенного следует, что координаты направляющего вектора $overline{S}$ будут равны $(B; -A)$.

Координаты направляющего вектора из уравнения с угловым коэффициентом

Уравнение с угловым коэффициентом имеет вид:

$y = kx + b$

Для того чтобы получить из него координаты направляющего вектора, необходимо сначала привести его к общему виду, для этого переносим всё в левую часть:

$y – kx – b= 0$

Затем нужно воспользоваться алгоритмом для общего уравнения.

Уравнение с угловым коэффициентом, приведённое к каноническому, выглядит так:

$frac{x}{1}=frac{y-b}{k}$,

то есть координаты направляющего вектора в данном случае будут $overline{S}= (1;k)$.