Как найти единичный отрезок между точками

В данной статье рассмотрим способы определить расстояние от точки до точки теоретически и на примере конкретных задач. И для начала введем некоторые определения.

Определение 1

Расстояние между точками – это длина отрезка, их соединяющего, в имеющемся масштабе. Задать масштаб необходимо, чтобы иметь для измерения единицу длины. Потому в основном задача нахождения расстояния между точками решается при использовании их координат на координатной прямой, в координатной плоскости или трехмерном пространстве.

Расстояние между точками на координатной прямой

Исходные данные: координатная прямая Ox и лежащая на ней произвольная точка А. Любой точке прямой присуще одно действительное число: пусть для точки А это будет некое число хA, оно же – координата точки А.

В целом можно говорить о том, что оценка длины некого отрезка происходит в сравнении с отрезком, принятым за единицу длины в заданном масштабе.

Если точке А соответствует целое действительное число, отложив последовательно от точки О до точки по прямой ОА отрезки – единицы длины, мы можем определить длину отрезка OA по итоговому количеству отложенных единичных отрезков.

К примеру, точке А соответствует число 3 – чтобы попасть в нее из точки О, необходимо будет отложить три единичных отрезка. Если точка А имеет координату -4 – единичные отрезки откладываются аналогичным образом, но в другом, отрицательном направлении. Таким образом в первом случае, расстояние ОА равно 3; во втором случае ОА = 4.

Если точка A имеет в качестве координаты рациональное число, то от начала отсчета (точка О) мы откладываем целое число единичных отрезков, а затем его необходимую часть. Но геометрически не всегда возможно произвести измерение. К примеру, затруднительным представляется отложить на координатной прямой дробь 4111.

Вышеуказанным способом отложить на прямой иррациональное число и вовсе невозможно. К примеру, когда координата точки А равна 11 . В таком случае возможно обратиться к абстракции: если заданная координата точки А больше нуля, то OA=xA (число принимается за расстояние); если координата меньше нуля, то OA=-xA . В общем, эти утверждения справедливы для любого действительного числа xA.

Резюмируя: расстояние от начала отсчета до точки, которой соответствует действительное число на координатной прямой, равно:

0, если точка совпадает с началом координат;

xA , если xA>0;

-xA , если xA<0 .

При этом очевидно, что сама длина отрезка не может быть отрицательной, поэтому, используя знак модуля, запишем расстояние от точки O до точки A с координатой xA: OA=xA

Верным будет утверждение: расстояние от одной точки до другой будет равно модулю разности координат. Т.е. для точек A и B, лежащих на одной координатной прямой при любом их расположении и имеющих соответственно координаты xA и xB : AB=xB-xA.

Расстояние между точками на плоскости

Исходные данные: точки A и B, лежащие на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy с заданными координатами: A(xA, yA) и B(xB, yB) .

Проведем через точки А и B перпендикуляры к осям координат Ox и Oy и получим в результате точки проекции: Ax, Ay, Bx, By. Исходя из расположения точек А и B далее возможны следующие варианты:

– если точки А и В совпадают, то расстояние между ними равно нулю;

– если точки А и В лежат на прямой, перпендикулярной оси Ox (оси абсцисс), то точки и совпадают, а |АВ| = |АyBy|. Поскольку, расстояние между точками равно модулю разности их координат, то AyBy=yB-yA , а, следовательно AB=AyBy=yB-yA.

– если точки A и B лежат на прямой, перпендикулярной оси Oy (оси ординат) – по аналогии с предыдущим пунктом: AB=AxBx=xB-xA

– если точки A и B не лежат на прямой, перпендикулярной одной из координатных осей, найдем расстояние между ними, выведя формулу расчета:

Мы видим, что треугольник АВС является прямоугольным по построению. При этом AC=AxBx и BC=AyBy. Используя теорему Пифагора, составим равенство: AB2=AC2+BC2⇔AB2=AxBx2+AyBy2 , а затем преобразуем его: AB=AxBx2+AyBy2=xB-xA2+yB-yA2=(xB-xA)2+(yB-yA)2

Сформируем вывод из полученного результата: расстояние от точки А до точки В на плоскости определяется расчётом по формуле с использованием координат этих точек

AB=(xB-xA)2+(yB-yA)2

Полученная формула также подтверждает ранее сформированные утверждения для случаев совпадения точек или ситуаций, когда точки лежат на прямых, перпендикулярных осям. Так, для случая совпадения точек A и B будет верно равенство: AB=(xB-xA)2+(yB-yA)2=02+02=0

Для ситуации, когда точки A и B лежат на прямой, перпендикулярной оси абсцисс:

AB=(xB-xA)2+(yB-yA)2=02+(yB-yA)2=yB-yA

Для случая, когда точки A и B лежат на прямой, перпендикулярной оси ординат:

AB=(xB-xA)2+(yB-yA)2=(xB-xA)2+02=xB-xA

Расстояние между точками в пространстве

Исходные данные: прямоугольная система координат Oxyz с лежащими на ней произвольными точками с заданными координатами A(xA, yA, zA) и B(xB, yB, zB) . Необходимо определить расстояние между этими точками.

Рассмотрим общий случай, когда точки A и B не лежат в плоскости, параллельной одной из координатных плоскостей. Проведем через точки A и B плоскости, перпендикулярные координатным осям, и получим соответствующие точки проекций: Ax, Ay, Az, Bx, By, Bz

Расстояние между точками A и B являет собой диагональ полученного в результате построения параллелепипеда. Согласно построению измерения этого параллелепипеда: AxBx, AyBy и AzBz

Из курса геометрии известно, что квадрат диагонали параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений. Исходя из этого утверждения получим равенство: AB2=AxBx2+AyBy2+AzBz2

Используя полученные ранее выводы, запишем следующее:

AxBx=xB-xA, AyBy=yB-yA, AzBz=zB-zA

Преобразуем выражение:

AB2=AxBx2+AyBy2+AzBz2=xB-xA2+yB-yA2+zB-zA2==(xB-xA)2+(yB-yA)2+zB-zA2

Итоговая формула для определения расстояния между точками в пространстве будет выглядеть следующим образом:

AB=xB-xA2+yB-yA2+(zB-zA)2

Полученная формула действительна также для случаев, когда:

– точки совпадают;

– лежат на одной координатной оси или прямой, параллельной одной из координатных осей.

Примеры решения задач на нахождение расстояния между точками

Пример 1

Исходные данные: задана координатная прямая и точки, лежащие на ней с заданными координатами A(1-2) и B(11+2) . Необходимо найти расстояние от точки начала отсчета O до точки A и между точками A и B.

Решение

Расстояние от точки начала отсчета до точки равно модулю координаты этой точки, соответственно OA=1-2=2-1
Расстояние между точками A и B определим как модуль разности координат этих точек: AB=11+2-(1-2)=10+22

Ответ: OA=2-1, AB=10+22

Пример 2

Исходные данные: задана прямоугольная система координат и две точки, лежащие на ней A(1, -1) и B (λ+1, 3) . λ – некоторое действительное число. Необходимо найти все значения этого числа, при которых расстояние АВ будет равно 5.

Решение

Чтобы найти расстояние между точками A и B, необходимо использовать формулу AB=(xB-xA)2+yB-yA2

Подставив реальные значения координат, получим:AB=(λ+1-1)2+(3-(-1))2=λ2+16

А также используем имеющееся условие, что АВ=5 и тогда будет верным равенство:

λ2+16=5λ2+16=25λ=±3

Ответ: АВ = 5, если λ=±3 .

Пример 3

Исходные данные: задано трехмерное пространство в прямоугольной системе координат Oxyz и лежащие в нем точки A (1, 2, 3) и B-7, -2, 4 .

Решение

Для решения задачи используем формулу AB=xB-xA2+yB-yA2+(zB-zA)2

Подставив реальные значения, получим: AB=(-7-1)2+(-2-2)2+(4-3)2=81=9

Ответ: |АВ| = 9

Источник

Расстоянием между двумя точками A и B называется длина отрезка, соединяющего эти точки.

Чтобы найти длину отрезка на координатной прямой, надо из координаты его правого конца вычесть координату левого конца.

Примеры.

Найти расстояние в единичных отрезках между точками:

1) A(-11) и B(3);

2) M(-5,1) и N(-7,2);

3) C (0) и D(-12);

$[4)P( - frac{2}{9})uK(frac{5}{{12}});]$

$[5)E(3frac{3}{8})uF( - 2frac{1}{6}).]$

Решение:

Чтобы найти расстояние между точками на координатной прямой, определим, какая из точек находится правее, и из координаты правого конца отрезка вычтем координату его левого конца.

Из двух точек на координатной прямой точка с большей координатой лежит правее точки с меньшей координатой.

Для точек A(a) и B(b) это означает, что если b>a, то точка B на координатной прямой лежит правее точки A и расстояние между точками A и B равно

1) Так как 3>11, то на координатной прямой точка B с координатой 3 лежит правее точки A с координатой -11. Следовательно, расстояние между точками A и B

2) -5,1>-7,2, поэтому на координатной прямой точка M(-5,1) лежит правее точки N(-7,2). Значит, расстояние между точками M и N равно

3) Так как 0>-12, точка C (0) на координатной прямой лежит правее точки D(-12). Расстояние между точками C и D:

$[4)frac{5}{{12}} > - frac{2}{9},]$

поэтому точка K на координатной прямой расположена правее, чем точка P.

$[left| {PK} right| = frac{5}{{12}} - ( - frac{2}{9}) = frac{{{5^{backslash 3}}}}{{12}} + frac{{{2^{backslash 4}}}}{9} = frac{{15 + 8}}{{36}} = frac{{23}}{{36}}.]$

$[5)3frac{3}{8} > - 2frac{1}{6},]$

значит, точка E на координатной прямой находится справа от точки F. Поэтому длина отрезка EF, а значит, и расстояние между точками E и F

$[left| {EF} right| = 3frac{3}{8} - ( - 2frac{1}{6}) = 3frac{{{3^{backslash 3}}}}{8} + 2frac{{{1^{backslash 4}}}}{6} = 5frac{{9 + 4}}{{24}} = 5frac{{13}}{{24}}.]$

Источник

В прошлых уроках Вы узнали, что такое натуральные числа – это числа, используемые при счете предметов.

Также мы успели поговорить про шкалы – линии с отмеченными на них величинами, которые помогают нам определить ту или иную величину.

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Сегодня мы рассмотрим в некотором смысле “шкалу” для натуральных чисел – координатный луч, узнаем, что скрывается за этим определением.

Ответим на вопрос, почему луч подходит больше всего для обозначения натуральных чисел, а также научимся определять с помощью него длины отрезков.

Луч- это часть прямой ограниченная с одной стороны точкой, называемой началом луча.

Начертим луч с началом в точке О так, чтобы он шел слева направо, и отметим на нем точку А не очень далеко от начала.

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Отрезок ОА назовем единичным отрезком.

Далее отложим от точки А следующий отрезок АВ, равный отрезку ОА.

Затем отложим от точки В отрезок ВС, также равный единичному отрезку.

Продолжим процесс, уже не называя точки.

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Теперь напишем над точкой O число 0, над точкой А число 1, над точкой В число 2, над С – 3 и так далее.

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Так мы получили шкалу, которую называют координатным лучом.

В самом деле, для шкалы нам необходимы были такие объекты, как штрих, деление, цена деления, посмотрим, чем они представлены в данном случае.

В роли штрихов выступают точки.

Изображая координатный луч, можно точки обозначать как небольшие штрихи, это ничуть не делает рисунок менее точным.

Делением в данном случае является отрезок между любыми соседними точками.

Этот отрезок всегда равен единичному по построению, ведь мы всегда откладывали отрезок, равный единичному.

Ценой деления в данном случае является единица.

Может быть немного непривычно, что единица идет без наименования, ведь на других шкалах обычно цена деления 1 кг, 1 см, 1 км/ч.

Но здесь идет измерение натуральных чисел, поэтому просто единица.

Так что координатный луч вполне можно считать шкалой.

Если же говорить про более конкретное определение, то вот оно.

Координатный луч – луч с указанным для него единичным отрезком.

Нередко к этому определению добавляют помимо единичного отрезка еще два объекта: точку начала отсчета и направление увеличения чисел.

В сущности они не обязательны, ведь на луче уже есть точка – точка начала луча.

А на координатном луче точка начала отсчета и точка начала луча всегда совпадают.

Направление задавать тоже нет необходимости, ведь у луча только одно вполне определенное направление: от начала.

Единичный отрезок же необходим, ведь без него не будет одинакового расстояния между соседними точками и смысла в луче не будет.

Отметим важный момент: в одном координатном луче всегда один единичный отрезок.

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Мы уже поговорили про координатный луч, но важно понять, почему он “координатный” и как определены координаты в данном случае.

Обычно можно услышать слово “координаты” в географическом контексте.

Когда мы узнаем координаты, а это два числа, то можем однозначно сказать, про какую точку на карте идет речь.

Другими словами, в географическом смысле, координаты являются числами, определяющими положение точки на карте.

В случае с координатным лучом все даже проще.

Ведь если карта – двумерный объект, то есть, если перед нами лежит карта, нам нужно одно число, чтобы определить, как высоко расположена точка, а второе число, чтобы определить насколько она смещена вправо или влево, то на луче точка может быть лишь дальше или ближе от его начала.

Координата точки на координатном луче соответствует количеству единичных отрезков между этой точкой и точкой начала отсчета.

Посмотрим еще раз на рисунок из прошлой главы:

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Точка А находится на расстоянии одного единичного отрезка от точки начала отсчета.

Точке А соответствует число 1

Точка В находится на расстоянии двух единичных отрезков от точки начала отсчета.

И точке В соответствует число 2

Аналогично каждой следующей точке соответствует число на единицу больше.

Число, соответствующее точке на координатном луче, называют координатой этой точки.

Заметим теперь, как соответствуют друг другу натуральный ряд и координатный луч.

За исключением точки начала отсчета, каждой точке соответствует натуральное число.

Если смотреть от начала отсчета, то координата следующей точки после данной равна следующему натуральному числу после координаты данной точки.

На том же самом рисунке мы видим, что следующее число за координатой точка В (2) , за точкой В идет точка С и координата точки С (3)

Допустим мы знаем, что точки P и Q – соседние, причем Q находится дальше от точки начала отсчета, чем P.

И также мы знаем, что координата точки P равняется 276

Тогда мы сможем сказать координату точки Q, это будет следующее натуральное число после числа 276, то есть ответ: 277

Аналогичная логика работает и в другую сторону.

Координата точки, идущей перед данной, является предыдущим натуральным числом по отношению к координате данной точки.

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Так, если координата точки В – это 2, то координата точки А будет числом, на единицу меньшим, чем 2, то есть единицей.

Допустим, точки E и R соседние.

Также известно, что R находится дальше от точки начала отсчета, чем Е; а также известна координата точки R, она равна 315

Чтобы найти координату точки Е достаточно взять предыдущее натуральное число от числа 315, это будет число 314

Эти примеры показывают, как натуральный ряд ложится на координатный луч.

Отметим, что именно луч идеально соответствует натуральным числам, ведь и луч, и натуральный ряд ограничены с одной стороны (с начала), но продолжаются бесконечно.

Если же нам надо найти координату точки безотносительно соседних точек, то достаточно отсчитать количество единичных отрезков между данной точкой и точкой начала отсчета.

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Найдем координату точки Н.

Между ей и точкой О (началом отсчета) 4 единичных отрезка, значит, координата точки Н равна 4

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Только что в тесте было задание, в котором было необходимо найти разность координат двух точек.

Возможно, вы заметили некоторую закономерность, но если нет, сейчас разберем.

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Посмотрим на разность координат точек D и C

Мы можем посчитать их координаты. В данном случае они сразу указаны, надо просто вычесть из большей меньшую.

Получится, что разность координат равна единице.

Также заметим, что между точками C и D один единичный отрезок.

Если рассмотрим разность координат точек D и В, то увидим, что разность координат равна 2, а также то, что между ними 2 единичных отрезка.

Правило: чтобы посчитать разность координат двух точек на координатном луче, достаточно посчитать, сколько между ними единичных отрезков.

Данное правило удобно, когда изначально координаты точек неизвестны, но при этом легко посчитать, сколько между ними единичных отрезков.

Теперь поговорим про измерение отрезков.

Допустим, требуется найти длину отрезка AD

Мы можем просто сосчитать количество единичных отрезков между точками А и D

Получится 3 отрезка, следовательно, длина равна 3.

Но можно сделать проще.

Правило: чтобы найти длину отрезка на координатном луче необходимо из координаты точки, дальней от точки начала отсчета, надо вычесть координаты ближней точки.

В случае с отрезком AD необходимо вычесть из координаты точки D (4) координату точки А (1)

Таким образом, длина отрезка AD равна ((mathbf{4-1=3}))

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Интересно, что с математикой можно столкнуться не только в учебниках, но и в художественной литературе и даже в кинематографе.

Привычно видеть в роли главного героя в фильме какого-либо сильного человека, спортсмена, политика.

Но иногда главным харизматичным героем может быть математик, ученый.

Расскажу про одну достаточно интересную картину, повествующую о нестандартно мыслящемем математике.

А именно про “Человека, который изменил все”.

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Данный фильм рассказывает про то, как менеджер одного из беднейших в американской лиге бейсбольных клубов “Окленд Атлетикс” нанимает к себе, казалось бы, далекого от спорта человека, похожего на типичного “ботаника”.

Этот человек оказывается выпускником экономического факультета, который решает отбирать игроков в клуб используя методы статистического анализа.

И здесь очень интересна концепция: нередко тот или иной клуб тратит большие деньги, чтобы нанять к себе успешного игрока.

Правда, после того как деньги потрачены, за новый клуб игрок может выступать уже не так хорошо.

Суть статистики заключалась в том, чтобы посмотреть данные множества игроков и начать выявлять таланты, которые еще не успели себя проявить.

Таким образом, клуб нанимает к себе игроков, которые в будущем становятся успешными, да еще и за не очень большие деньги.

Со статистикой можно даже идти дальше и просчитывать не только успехи отдельных игроков, но и всей команды в целом.

Так что данный фильм интересен той концепцией, которую он несет в массы.