Как найти единичный вектор противоположно направленный



1.5.5. Как найти единичный вектор?

Единичный вектор – это вектор, длина которого в ортонормированном базисе равна единице. Таковыми являются сами

координатные векторы  и ,  и противоположно направленные им векторы, например:

То, что их длина равна единице, элементарно видно не только по чертежам, но и по формулам .

А теперь рассмотрим произвольный вектор  либо

 и поставим задачу найти

единичный вектор , коллинеарный исходному. Таких векторов будет два. Чтобы найти сонаправленный единичный вектор нужно каждую координату вектора  разделить на его длину:
 либо ,
или, что то же самое – умножить каждую координату вектора   на . То

есть, деление – это частный случай умножения (осознаём и привыкаем). Противоположно направленный единичный

вектор очевиден:
 либо

Задача 10

Найти единичные векторы, коллинеарные векторам а) , б) . Выполнить проверку.

Решение: а) вычислим длину вектора  и найдём

сонаправленный единичный вектор:
, от иррациональности в знаменателе (корня) тут

обычно не избавляются. Проверка состоит в нахождении длины полученного вектора:
, что и требовалось проверить.
Второй вектор очевиден: , как очевидна и его

длина .

Ответ:

Потребность найти единичный вектор возникает не только в геометрических задачах, и поэтому обязательно прорешайте пункт б)

самостоятельно.

1.5.6. Деление отрезка в данном отношении

1.5.4. Действия с векторами в координатах

| Оглавление |



Автор: Aлeксaндр Eмeлин

Единичный вектор

Единичный вектор (орты координатных осей) — это вектор, длина которого равна единице.

i — единичный вектор оси абсцисс;

j — единичный вектор оси ординат;

k — единичный вектор оси аппликат.

i⊥j⊥k, i=j=k=1

В прямоугольной системе координат в пространстве координаты векторов равны:

i(1;0;0), j(0;1;0), k(0;0;1)

Единичные векторы являются некомпланарными.

Любой вектор можно разложить в виде вектора по ортам координатных осей, формула ниже.

a=xi+уj+zk

где x, y, z — координаты вектора проекции на соответствующие координатные оси.

Эта формула называется разложением вектора по ортам координатных осей.

Единичный вектор определяется по формуле:

Дан вектор а = (1; 2; -2)

Требуется найти длину (модуль) и единичный вектор e направления вектора а

Находим длину вектора a

затем вычисляем единичный вектор e

Векторное произведения единичных векторов

Если направление кратчайшего пути от первого вектора ко второму вектору совпадает с направлением стрелки, то произведение равно третьему вектору, а если не совпадает, то третий вектор берется со знаком «минус» . Смотрите схему 1.

На основании схемы получаем таблицу векторного произведения единичных векторов

Пример 1
Найти векторное произведение iхj, где i, j — единичные векторы (орты) правой системы координат.

Решение
1) Так как длины основных векторов равны единице масштаба, то площадь параллелограмма MOKT численно равна единице. Значит, модуль векторного произведения равен единице.
2) Так как перпендикуляр к плоскости MOKT есть ось OZ, то искомое векторное произведение есть вектор, коллинеарный с вектором k; а так как оба они имеют модуль 1, то искомое векторное произведение равно либо k, либо -k.
3) Из этих двух возможных векторов надо выбрать первый, так как векторы i, j, k образуют правую систему (а векторы i, j, -k — левую).

iхj=k

Пример 2
Найти векторное произведение jхi.

Решение
Как в примере 1, заключаем, что вектор jхi равен либо k, либо —k. Но теперь надо выбрать -k, ибо векторы j, i, —k образуют правую систему (а векторы i, j, —k -левую).
jхi = −k

Насколько публикация полезна?

Нажмите на звезду, чтобы оценить!

Средняя оценка 3.5 / 5. Количество оценок: 4

Векторная алгебра — основные понятия с примерами решения и образцами выполнения

Вектором называется направленный отрезок. Вектор обозначается либо символом ( — точка начала, — точка конца вектора), либо . В математике обычно рассматриваются свободные векторы, то есть векторы, точка приложения которых может быть выбрана произвольно.

2. Длиной (модулем) вектора называется длина отрезка . Модуль вектора обозначается .

3.Вектор называется единичным, если его длина равна «1»; единичный вектор направления вектора называется ортом вектора и определяется по формуле .

4. Вектор называется нулевым, если его начало и конец совпадают ; любое направление можно считать направлением нулевого вектора.

5. Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Коллинеарность векторов обозначается: . Необходимым и достаточным условием коллинеарности векторов и является существование такого числа , что .

6. Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и направление.

7. Вектор называется противоположным вектору , если модули их равны, а направления противоположны.

8. Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Для решения задач необходимо уметь выполнять линейные операции над вектором в геометрической форме, то есть над вектором, как над
направленным отрезком: сложение, вычитание векторов и умножение вектора на число.

9. Сложение двух векторов можно выполнить по правилу параллелограмма (рис. 1) или по правилу треугольника (рис. 2).

При сложении более двух векторов, лежащих в одной плоскости, используется правило «замыкающей линии многоугольника» (рис. 3).

При сложении трех некомпланарных векторов удобно пользоваться правилом «параллелепипеда» (рис. 4).

10. Действие вычитания двух векторов связано с действием сложения (рис.5).

Разностью двух векторов называется вектор, проведенный из конца вычитаемого в конец уменьшаемого. Заметим, что разностью является вектор, служащий второй диагональю параллелограмма.

Разность можно также представить в виде сложения с противоположным вектором (рис. 6).

11. Произведением вектора на число называется вектор , который имеет :

12. Для решения задач полезно знать также следующие законы и свойства:

• переместительный:
• сочетательный:
• распределительный:

Примеры задач решаемых с применением векторной алгебры

Задача:

Пусть даны точки

1) Найти координаты векторов

2) Написать разложение этих векторов по базису

3) Найти длины этих векторов

4) Найти скалярное произведение

5) Найти угол между векторами и .

6) Найти разложение вектора по базису и

Решение:

1) Вычислим координаты векторов и (нужно из координат точки его конца вычесть координаты его начала):

, аналогично,

и

2)

4) Для вычисления угла между векторами воспользуемся формулой:

5) Разложить вектор по векторам и — это значит представить вектор в виде линейной комбинации векторов и , т. е.

, где . Имеем , но у равных векторов соответственно равны координаты, следовательно, получим систему, из которой найдем и .

Задача:

а). Даны векторы и в некотором базисе. Показать, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

Решение:

Три вектора образуют базис, если .

Найдем координаты вектора в базисе и .

Два вектора равны, если их соответствующие координаты равны.

Решим систему методом Крамера:

Ответ: .

Задача:

Даны координаты вершин тетраэдра и . Найти: 1) координаты точки пересечения медиан треугольника ; 2) уравнение прямой, проходящей через вершину параллельно медиане, проведенной из вершины треугольника ; 3) координаты точки, симметричной точке относительно плоскости . Сделать чертёж.

Решение:

1) Найдем координаты т. середины отрезка (рис. 16):

Точка пересечения медиан треугольника делит медиану в отношении , считая от вершины . Найдем координаты точки :

2) Найдем направляющий вектор прямой . Уравнение прямой, проходящей через вершину параллельно прямой :

3) Найдем уравнение плоскости :

Найдем каноническое уравнение прямой, перпендикулярной плоскости и проходящей через т. : . Запишем каноническое уравнение прямой в параметрическом виде: .

Найдем координаты точки пересечения плоскости и найденной прямой:

Координаты точки симметричной точке относительно плоскости — .

Ответ: 1) координаты точки пересечения медиан уравнение прямой ; 3) координаты симметричном точки .

На этой странице размещён краткий курс лекций по высшей математике для заочников с теорией, формулами и примерами решения задач:

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Векторная алгебра — решение заданий и задач по всем темам с вычислением

Понятие вектора. Линейные операции над векторами

1°. Любые две точки пространства, если они упорядочены (например, А является первой, а В — второй точкой), определяют отрезок вместе с выбранным направлением (а именно, от A к В). Направленный отрезок называется вектором. Вектор с началом в A и концом в В обозначается или Длина вектора, обозначаемая , АВ или а, называется также модулем вектора. Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца вектора вычесть одноименные координаты начала: Тогда длина вектора найдется так:

Векторы, расположенные на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными.

Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковые модули и направления. В этом случае пишут Равные векторы имеют равные координаты.

Векторы называются противоположными, если они коллинеарны, имеют одинаковые длины и противоположные направления:

Вектор называется нулевым, если его модуль равен нулю, и обозначается

2°. Линейными называются действия сложения, вычитания векторов и умножения вектора на число.

1.Если начало совмещено с концом то начало совпадает с началом а конец — с концом (рис. 3.1).

2.Если начала векторов совмещены, то начало совпадает с концом , а конец совпадает с концом (рис. 3.2).

3.При умножении вектора на число (скаляр) длина вектора умножается на , а направление сохраняется, если и изменяется на противоположное, если (рис. 3.3).

Вектор называется ортом, или единичным вектором вектора его длина равна единице:

3°. Запись ci — означает, что вектор имеет координаты или разложен по базису — орты осей Ох, Оу и Oz пространственной системы координат Oxyz). При этом

4°. Числа называются направляющими косинусами вектора — углы между вектором и координатными осями Ох, Оу, Oz соответственно. Единичный вектор — орт вектора . Для любого вектора справедливо:

5°. Линейные операции над векторами, которые заданы своими координатами, определяются так: пусть тогда

Следовательно, при сложении векторов складываются их соответствующие координаты, а при умножении вектора на число умножаются на число все координаты вектора.

6°. Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов , устанавливаемое равенством может быть записано соотношениями из которых следует пропорциональность их координат:

Если один из членов какого-нибудь из этих отношений равен нулю, то и второй член того же отношения должен быть нулем. Геометрически это значит, что в этом случае оба вектора перпендикулярны соответствующей координатной оси (например, если то векторы ).

7°. Система векторов называется линейно независимой, если равенство

( — действительные числа) возможно только при Если же равенство (1) возможно при некотором нетривиальном наборе то система этих векторов называется линейно зависимой. Любой вектор линейно зависимой системы линейно выражается через остальные.

Примеры с решениями

Пример:

Доказать, что треугольник с вершинами в точках A(1,2), B(2,5), С(3,4) прямоугольный.

Решение:

Построим векторы, совпадающие со сторонами треугольника (см. п. 1°): (рис. 3.4).

Найдем длины сторон:
Нетрудно видеть, что Следовательно, треугольник ABC прямоугольный с гипотенузой и катетами

Пример:

Проверить, что точки А( 2,-4,3), В(5, —2,9), С( 7,4,6) и D(6,8, -3) являются вершинами трапеции.

Решение:

Составим векторы-стороны с целью обнаружения коллинеарности векторов (в трапеции ВС || AD) (рис. 3.5):

Имеем значит, ABCD — трапеция.

Пример:

Найти орт и направляющие косинусы вектора

Решение:

Имеем В соответствии с п. 3°, 4°

и направляющие косинусы вектора причем

Пример:

Определить точку В, которая является концом вектора , если его начало совпадает с точкой

Решение:

Пусть точка В имеет координаты B(x,y,z) (рис. 3.6). Тогда координа- ^ ты вектора (п. 1°)

Следовательно, Ответ. В(5, -5,3).

Пример:

Вектор разложить по векторам

Решение:

Необходимо найти такие числа х, у, z, что т.е.

Имея в виду, что при сложении векторов складываются их координаты и равные векторы имеют равные координаты, приходим к системе уравнений

Ответ.

Пример:

Показать, что система векторов линейно независима.

Решение:

В данном случае равенство (1) имеет вид , или Отсюда получаем систему уравнений

из которой следует, что Это подтверждает линейную независимость данных векторов.

Пример:

Показать, что система векторов линейно зависима.

Решение:

Равенство (1) равносильно системе уравнений

Она имеет ненулевое решение, например, Таким образом, Отсюда видно, что т.е. вектор линейно выражается через Очевидно, что можно выразить через — через

Скалярное произведение векторов

1°. Скалярным произведением двух ненулевых векторов а и b называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними:

Из (рис. 3.7) имеем ( — проекция вектора на направление вектора ).

Итак,

т.е. скалярное произведение векторов равно сумме произведений одноименных координат этих векторов.

При этом если же , т. е. поскольку cos 90° = 0 (условие перпендикулярности двух векторов).

3°. Из определения скалярного произведения следует формула для вычисления угла между двумя векторами:

Примеры с решениями

Пример:

Перпендикулярны ли векторы если

Решение:

Условие перпендикулярности векторов (п. 2°) в нашем случае

Пример:

Найти проекцию вектора на направление вектора

Решение:

Имеем (п. 1°). Подставив сюда выражение для из п. 3°, получим

Ответ

Пример:

Зная векторы, совпадающие с двумя сторонами: и найти внутренние углы треугольника ABC.

Решение:

При помощи таблиц находим Для нахождения других углов нам понадобится вектор который является суммой : поэтому

Ответ. 123° 10′, 19°29′, 37°21′.

Пример:

Найти координаты вектора если где и

Решение:

На рис. 3.9 имеем Из условий перпендикулярности векторов (п. 2°) имеем Положим Условие задачи перепишем в виде Рис. 3.9 системы

Векторное произведение векторов

1°. Векторы приведенные к одному началу, образуют правую (левую) тройку при условии: если смотреть из конца вектора на плоскость векторов то кратчайший поворот от совершается против (по) часовой стрелки (рис. 3.10).

2°. Векторным произведением ненулевых векторов называется вектор , обозначаемый удовлетворяющий следующим трем условиям.

1) вектор перпендикулярен плоскости векторов

2) Вектор направлен так, что векторы образуют правую тройку.

3) т.е. его длина численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах (рис. 3.11), таким образом,

Если векторы коллинеарны, то под понимается нулевой вектор:

3°. Если известны координаты векторов-сомножителей то для отыскания координат векторного произведения служит формула

в которой определитель следует разложить по элементам первой строки.

Примеры с решениями

Пример:

Найти площадь треугольника, вершины которого находятся в точках А(1,2,3), В<3,2,1), С(1,0,1).

Решение:

Найдем координаты векторов Определим координаты векторного произведения (рис. 3.12):

Найдем длину этого вектора, которая равна численно площади параллелограмма S (п. 2°): Площадь треугольника равна

Пример:

Построить параллелограмм на векторах и вычислить его площадь и высоту, опущенную на .

Сделаем чертеж (рис. 3.13). Имеем Отдельно вычисляем векторное произведение:

Смешанное произведение векторов

1°. Смешанным произведением трех ненулевых векторов называется число, равное скалярному произведению двух векторов, один из которых — векторное произведение , а другой — вектор . Обозначение: Если образуют правую тройку, то Если образуют левую тройку, то

Модуль смешанного произведения векторов равен объему параллелепипеда (рис. 3.14), построенного на этих векторах, Условие равносильно тому, что векторы расположены в одной плоскости, т.е. компланарны. Имеет место равенство

Объем тетраэдра с вершинами в точках можно вычислить по формуле где

2°. Условие равносильно условию линейной независимости , а тогда любой вектор линейно выражается через них, т. е. Для определения х, у, z следует решить соответствующую систему линейных уравнений

Примеры с решениями

Пример:

Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах

Решение:

Искомый объем Поскольку

Пример:

В точках 0(0,0,0), А(5,2,0), В(2,5,0) и С(1,2,4) находятся вершины пирамиды. Вычислить ее объем, площадь грани ABC и высоту пирамиды, опущенную на эту грань.

Решение:

1) Сделаем схематический чертеж (рис. 3.15).

2) Введем векторы .Объем пирамиды ОАВС (тетраэда) равен

3) Площадь грани ABC

4) Объем пирамиды отсюда
Ответ.

Основные понятия векторной алгебры

Прямоугольные декартовы координаты

Координатная ось

Пусть на плоскости или в пространстве задана произвольная прямая L: Ясно, что по этой прямой L сы можем перемещаться в oднoм из двух противоположных направлений. Выбор любого (одного) из этих направлений будем называть ориентацией прямой L.

Оnределение:

Прямая с заданной на ней ориентацией называется осью. На чертеже ориентация оси указывается стрелкой (рис. 1 ) . Фиксируем на оси некоторую точку О и выберем какой-нибудь отрезок а, доложив по определению его длину равной единице (рис. 2).

Пусть М — произвольная точка оси . Поставим этой точке в соответствие число х по следующему прав илу: х равно расстоюiию между точками О и М, взятому со знаком плюс или со знаком минус н зависимости от того, совпадает ли направление движения от точки О к точке М с заданным направлением или противоположно ему (рис. 3).

Оnределение:

Ось с точкой начала отсчета О и масштабными отрезками а называется координатной осью, а число х, вычисляемое по указанному правилу, называется координатой точки М. Обозначение: М (х).

Прямоугольные декартовы координаты на плоскости

Пусть П — произвольная плоскость. Возьмем на ней некоторую точку О и проведем через эту точку взаимно перпендикулярные прямые L ₁ и L _2. Зададим на каждой из nрямых L ₁ и L ₂ ориентацию и выберем единый масштабный отрезок а. Тогда эти прямые nревратятся в координатные оси с общей точкой отсчета О (рис. 4).

Назовем одну из координатных осей осью абсцисс (осью Ох), друrую —осью ординат (осью Оу) (рис. 5). Точка О называется началом координат. Пусть М — произвольная точка плоскости П (рис. 6). Проведем через точку М прямые, перпендикулярные координатным осям, и поставим ей в соответствие упорядоченную пару чисел (х, у) по следующему nравилу:

Числа х и у называются прямоугольными декартовыми при этом х называется ее абсциссой, а у — ординатой. координатами точки М; Обозначение: М(х, у). Чтобы кратко охарактеризовать описанную конструкцию, говорят, что на плоскости П задана прямоугольная декартова система координат Ох у. Координатные оси разбивают плоскость на четыре части, называемые четвертями или квадрантами. На рисунке и в таблице показано, как эти квадранты нумеруются (рис. 7).

Замечание:

Масштабные от резки на координатных осях могут быть и разной длины. В этом случае координатная система называется просто прямоугольной.

Прямоугольные декартовы координаты в пространстве

Возьмем в пространстве некоторую точку О и проведем через нее три взаимно перпендикулярные прямые L ₁ , L ₂ и L ₃ . Выберем на каждой из nрямых ориентацию и единый масштаб. Прямые L ₁ , L ₂ и L ₃ превратятся в координатные оси с общей точкой отсчета О (рис. 8).

Назовем одну из этих осей осью абсцисс (осью Ох), вторую — осью ординат (осью Оу) и третью — осью аппликат (осью Oz) (рис. 9). Точка О называется началом координат. Пусть М — nроизвольная точка (рис. 10). Проведем через точку М nлоскости, перпендикулярные координатным осям, и поставим ей в соответстnие упорядоченную тройку чисел (х, у, z) по следующему правилу:

Числа х, у и z называются прямоугольными декартовыми координатами точки М; при этом х называется абсциссой точки М, у — ее ординатой, а z —аппликатой. Обозначение: М(х, у, z). Таким образом, в пространстве введена прямоугольная декартова система координат.

Оnределение:

Плоскость, проходящая через любую пару координатных осей, называется координатной плоскостью.

Координатных плоскостей три: Оху, Oyz и Oxz. Эти плоскости разбивают пространство на восемь частей — октантов. 1 .4. Простейшие задачи аналитической геометрии А. Расстояние между точками Пусть М ₁ (х ₁ ) и М ₂ (х ₂ )- две точки на координатной оси. Тогда расстояние d между ними вычисляется по формуле

Если на плоскости задана прямоугольная декартова система координат Оху, то расстояние d между любыми двумя точками М ₁ (х ₁ , у₁ и М₂ (х₂ , y₂) вычисляется по следующей формуле

Рассмотрим прямоугольный треугольник ∆MM₁M₂ (pиc. l l). По теореме Пифагора

,и извлекая из обеих частей равенства квадратный корень, приходим к требуемой формуле .

Замечание:

Расстояние между точками в пространстве вычисляется по следующей формуле

Задача:

Написать уравнение окружности радиуса т с центром в точке Р(а, b).

Пусть М(х, у) — точка окружности (рис. 12). Это означает, что |M P| = r. Заменим |M P|его выражением

и возведем обе части полученного равенства в квадрат:

Это есть каноническое уравнение окружности радиуса r с центром в точке Р(а, b) .

Задача:

Пусть F _л (-с, 0) и F _n (c, 0) -фиксированные точки плоскости, а -заданное число (а > с ≥ 0). Найти условие, которому удовлетворяют координаты х и у точки М, обладающей следующим свойством: сумма расстояний от точки М до F_л и до F _n равна 2а.

Вычислим расстояния между точками М и F _л и между точками М и F _n . Имеем

Перенесем второй корень в правую часть

Возводя обе части в квадрат, после простых преобразований получим

С целью дальнейших упрощений вновь возводим обе части в квадрат. В результате nриходим к равенству

Полагая b 2 = а 2 — с 2 и деля обе части nоследнего соотноwения на а 2 b 2 , nолучаем уравнение эллипса

Деление отрезка в данном отношении:

Требуется выразить координаты х и у этой точки через координаты концов отрезка М₁М₂ и числа λ ₁ и λ ₂ . Предположим сначала, что отрезок М₁М₂ не параллелен оси ординат Оу (рис. 14). Тогда

то из последних двух соотношений получаем, что

Точка М лежит между точками М₁ и М₂ , поэтому либо х ₁ х > х ₂ . В любом из этих случаев разности х₁ — х и х — х ₂ имеют одинаковые знаки. Это позволяет переписать последнее равенство в следующей форме

В случае, когда отрезок М₁М₂ параллелен оси Оу, х ₁ = х ₂ = х. Заметим, что тот же результат дает формула (*), если nоложить в ней х ₁ = х ₂ . Справедливость формулы

доказывается аналогичным рассуждением .

Задача:

Найти координаты центра тяжести М треугольника с вершинами в точках . М₁ ( х ₁ , у ₁ ), М₂ ( х ₂ , у ₂ ) и М₃ ( х ₃ , у ₃ ). Восnользуемся тем, что центр тяжести треугольника совпадает с точкой пересечения его медиан. Точка М делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины (рис. 15). Тем самым, ее координаты х и у можно найти по формулам

где х’ и у’ — координаты второго конца М’ медианы М₃ М’. Так как М’ — середина отрезка М₁М₂, то

Полученные соотношения позволяют выразить координаты z и у центра тяжести М треугольника ∆М₁М₂М₃ через координаты его вершин:

Замечание:

Полярные координаты

Предположим, что задана точка О, ось .содержащая точку О, и масштабный отрезок (эталон длины) (рис. 16).

Пусть М — произвольная точка плоскости, отличная от точки О (рис.17). Ее положение на плоскости однозначно определяется двумя числами: расстоянием г между точками О и М и отсчитываемым против часовой стрелки углом φ между положительным лучом оси и лучом ОМ с началом в точке О. Пару (г, φ) называют полярными координатами точки М; г — полярный радиус точки М , φ — полярный угол.

Точка О называется полюсом, — полярной осью.

Ясно, чтоЕсли точка М совпадаете полюсом, то считаем г = 0; полярный угол φ в этом случае не определен.

Таким образом, на плоскости можно задать еще одну координатную систему — полярную.

Прямоугольную декартову систему координат Оху будем называть согласованной с заданной полярной, если начало координат 0(0, 0) — полюс, ось Ох — полярная ось, а ось Оу составляете осью Ох угол, равный. Тогда

(рис.18). В свою очередь

Пример:

Пусть R > О — заданное число. Множество точек плоскости, полярные координаты (г,

Определители 2-го и 3-го порядков

Определителем второго порядка называется число

Обозначение:

Тем самым, для вычисления определителя второго порядка нужно из произведения а₁₁, а₂₂ элементов главной диагонали вычесть произведение а₁₂, а₂₁ элементов его побочной диагонали (рис. 20).

Пример:

По правилу (1) имеем

С определителями второго порядка мы встречаемся уже при отыскании решения системы двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными

Решая эту систему методом исключения неизвестных при условии, что

Пусгь теперь даны девять чисел a_ij (i = I, 2, 3; j = I, 2, 3).

Определителем третьего порядка называется число, обозначаемое символом

и вычисляемое по следующему правилу:

Первый индекс i элемента a_ij указывает номер строки, в которой он расположен, а второй индекс j — номер столбца.

Чтобы разобраться с распределением знаков в правой части формулы (2), обратим внимание на следующее: произведение элементов а₁₁, а₂₂, а₃₃ главной диагонали входит в формулу со своим знаком, также как и произведение а₁₁, а₂₂, а₃₃ и а₁₁, а₂₂, а₃₃ элементов, расположенных в вершинах треугольников, основания которых параллельны главной диагонали (рис. 21); с другой стороны, произведение а₁₃, а₂₂, а₃₁ элементов побочной диагонали, а также произведения а₁₂, а₂₁, а₃₃ и а₁₁, а₂₃, а₃₂ — с противоположным знаком (рис.22). Такой подход к вычислению определителя третьего порядка называется правилом треугольника.

Пример:

Применяя правило треугольника, находим

Установим некоторые свойства определителей 3-го порядка, легко проверяемые при помощи разложений (1) и (2).

Свойство:

Величина определителя не изменится, если все его строки заменить его столбцами с теми же номерами

Свойство:

При перестановке любых двух строк (или любых двух столбцов) определителя он изменяет свой знак на противоположный.

Свойство:

Общий множитель всех элементов одной строки (или одного столбца) определителя можно вынести за знак определителя

Следующие три свойства определителя вытекают из свойств 1-3. Впрочем, в их справедливости можно убедиться и непосредственно, пользуясь формулами (1) и (2).

Свойство:

Если определитель имеет две равные строки (или дна равных столбца), то он равен нулю.

Свойство:

Если все элементы некоторой строки (или некоторого столбца) равны нулю, то и сам определитель равен нулю.

Свойство:

Если соответствующие элементы двух строк (или двух столбцов) пропорциональны, то определитель равен нулю.

Укажем еще один способ вычисления определителя 3-го порядка

Минором M_ij элемента a_ij определителя ∆ называется определитель, получаемый изданного путем вычеркивания элементов i-й строки и j-ro столбца, на пересечении которых находится этот элемент. Например, минором элемента a₂₃ будет определитель

Алгебраическим дополнением элемента A_ij называется минор M_ij — этого элемента, взятый со своим знаком, если сумма i + j номеров строки и столбца, на пересечении которых расположен элемент a_ij, есть число четное, и с противоположным знаком, если это число нечетное:

Теорема:

Определитель равен сумме произведений элементов любой его строки (любого его столбца) на их алгебраические дополнения, так что имеют место следующие равенства

Покажем, например, что

Пользуясь формулой (2), получаем, что

Правило (3) называется разложением определителя по элементам i-й строки, а правило (4) — разложением определителя по элементам j -го столбца.

Пример:

Раскладывая определитель по элементам 1-ой строки, получим

Понятия связанного и свободного векторов

Рассмотрим две точки А и В. По соединяющему их отрезку можно перемещаться в любом из двух противоположных направлений. Если считать, например, точку А начальной, а точку В конечной, то тогда получаем направленный отрезок АВ, в другом случае — направленный отрезок В А. Направленные отрезки часто называют связанными или закрепленными векторами. На чертеже заданное направление указывается стрелкой (рис. 1).

В случае, когда начальная и конечная точки совпадают, А = В, связанный вектор называется нулевым.

Определение:

Будем говорить, что связанные векторы АВ и CD равны, если середины отрезков AD и ВС совпадают (рис. 2).

Обозначение:

Заметим, что в случае, когда точки А, В, С и D не лежат на одной прямой, это равносильно тому, что четырехугольник ABCD — параллелограмм. Ясно, что равные связанные векторы имеют равные длины.

Пример:

Рассмотрим квадрат и выберем векторы, как указано на рис.3. Векторы АВ и DC равны, а векторы ВС и DA не равны.

Укажем некоторые свойства равных связанных векторов:

1. Каждый связанный вектор равен самому себе: АВ = АВ.
2. Если АВ = CD, той CD = АВ.
3. Если АВ = CD и CD = EF,то АВ = EF (рис.4).

Пусть АВ — заданный связанный вектор и С — произвольная точка. Ясно, что, опираясь на определение, всегда можно построить точку D так, чтобы

CD = АВ.

Тем самым, от каждой точки можно отложить связанный вектор, равный исходному (рис. 5).

Мы будем рассматривать свободные векторы, т. е. такие векторы, начальную точку которых можно выбирать произвольно, или, что то же самое, которые можно произвольно переносить параллельно самим себе. Ясно, что свободный вектор однозначно определяется заданием связанного вектора АВ.

Если в качестве начальных выбирать лишь те точки, которые лежат на прямой, определяемой заданным (ненулевым) связанным вектором, то мы приходим к понятию скользящего вектора (рис. 6).

Связанные и скользящие векторы широко используются в теоретической механике.

Для обозначен ия свободных векторов будем пользоваться полужирными строчными латинскими буквами — а, b, с,… ; нулевой вектор обозначается через 0.

Пусть заданы вектор а и точка А. Существует ровно одна точка В, для которой

= а

(рис.7). Операция построения связанного вектора АВ, для которого выполняется это равенство, называется откладыванием свободного вектора а от точки А.

Заметим, что связанные векторы, получаемые в результате описанной операции откладывания, равны между собой и, значит, имеют одинаковую дли ну. Это позволяет ввести длину свободного вектора а, которую мы будем обозначать символом |а. Длина нулевого вектора равна нулю. Если а = b, то |а| = |b; обратное неверно.

Линейные операции над векторами

Сложение векторов

Пусть заданы два вектора а и b. Возьмем какую-нибудь точку О и отложим от нее вектор a: = а. От полученной точки А отложим вектор b: = b. Полученный в результате вектор называется суммой векторов а и b и обозначается через a + b (рис. 8). Этот способ построения суммы векторов называется правилом треугольника.

Нетрудно заметить, что сложение векторов коммутативно, т. е. для любых векторов а и b справедливо равенство

а + b = b + а

Если отложить векторы а и 1» от обшей точки О и построить на них как на сторонах параллелограмм, то вектор , идущий из общего начала О в противоположную вершину параллелограмма, будет их суммой а + b (или b +а) (рис. 10). Этот способ построения суммы векторов называется правилом параллелограмма.

Пусть заданы три вектора, например, a, b и с. Отложим от произвольной точки О вектор a: = а; от полученной точки А отложим вектор b: = b; отточки В — вектор с: = с (рис. 11). По определению суммы — а + b и = (а + b) + с (рис. 12). С другой стороны, АС = b + с и, значит, ОС = а + (Ь + с) (рис. 13). Тем самым, для любых векторов a, b и с выполняется равенство

(а +b) + с = а + (b + с),

т. е. сложение векторов ассоциативно. Опуская скобки, можно говорить о сумме трех векторов и записывать ее так:

а + b + с.

Аналогично определяется сумма любого числа векторов: это есть вектор, который замыкает ломаную, построенную из заданных векторов. На рис. 14 показан», как построить сумму семи векторов:

Приведенный способ сложения произвольного числа векторов называется правилом замыкающего ломаную.

Пример:

Найти сумму векторов, идущих из центра правильного шестиугольника в его вершины.

По правилу замыкающего ломаную получаем

Умножение вектора на число

Определение:

Свободные векторы а и b называются коллинеарными, если определяющие их связанные векторы лежат на параллельных или на совпадающих прямых (рис. 16).

Обозначение: а||b.

Замечание:

Из определения следует, что если хотя бы один из векторов a и b нулевой, то они коллинеарны.

Если отложить коллинеарные векторы а и b от обшей точки О, = n, = Ь, то точки О, А н В будут лежать на одной прямой. При этом возможны два случая: точки А и В располагаются на этой прямой: 1) по одну сторону от точки О, 2) по разные стороны (рис. 17). В первом случае векторы а и b называются одинаково направленными, а во втором — противоположно направленными.

Если векторы имеют равные длины и одинаково направлены, то они равны. Пусть а — вектор, λ — вещественное число.

Определение:

Произведением вектора а на число λ называется вектор b такой, что

2) векторы а и b одинаково (соответственно, противоположно) направлены, если λ > 0 (соответственно, λ

(здесь λ и μ — любые действительные числа, а и Ь — произвольные векторы).
Определение:

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором, или ортом, и обозначается а° (читается: а с нуликом), |а°| = 1.
Если а ≠ 0, то вектор

есть единичный вектор (орт) направления вектора а (рис. 18).

Координаты и компоненты вектора

Выберем в пространстве прямоугольную декартову систему координат. Обозначим через i, j, к единичные векторы (орты) положительных направлений осей Ox, Оу, Oz (рис. 19). Рассмотрим произвольный вектор п, начало которого лежит в начале координат О, а конец — в точке А. Проведем через точку А плоскости, перпендикулярные осям Ох, Оу и Oz. Эти плоскости пересекут координатные оси в точках Р, Q и R соответственно. Из рис. 20 видно, что

Векторы коллинеарны соответственно единичным векторам i, j, k,

поэтому найдутся числа х, у, z такие, что

а = xi + yj + zk. (2)

Формула (2) называется разложением вектора а по векторам i, j, к. Указанным способом всякий вектор может быть разложен по векторам i, j, k.

Векторы i, j, к попарно ортогональны, и их длины равны единице. Тройку i, j, k называют ортонормированным (координатным) базисом (ортобазисом).

Можно показать, что для каждого вектора а разложение (2) по базису i, j, к единственно, т. е. коэффициенты х, у, z в разложении вектора а по векторам i, j, к определены однозначно. Эти коэффициенты называются координатами вектора а. Они совпадают с координатами х, у, z точки А — конца вектора а. Мы пишем в этом случае

а = <х, y,z>.

Эта запись означает, что свободный вектор а однозначно задастся упорядоченной тройкой своих координат. Векторы xi, yj, zk, сумма которых равна вектору а, называются компонентами вектора а.

Из вышеизложенного следует, что два вектора а = < х₁, у₁, z₁ > и b = <х₂, у₂, z₂> равны тогда и только тогда, когда соответственно равны их координаты, т. е.

Радиус-вектором точки М(х,у, z) называется вектор г = xi + yj + zk, идущий из начала координат О в точку М (рис. 21).

Линейные операции над векторами в координатах

— при сложении векторов их координаты попарно складываются. Аналогично получаем

— при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.
Пусть а = < х₁, у₁, z₁>, b = < х₂, у₂, z₂ > — коллинеарные векторы, причем b ≠ 0. Тогда а = μb, т.е.

Обратно, если выполняются соотношения (3), то а = μb, т. е. векторы a и b коллинеарны.

Таким образом, векторы а и b коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны.

Пример:

Найти координаты вектора начало которого находится в точке М₁ ( х₁, у₁, z₁ ). а конец — в точке M₂ (х₂, у₂, z₂).
Из рис. 22 видно, что = r₂ — r₁ , где r₂, r₁ — радиус-векторы точек М₁ и M₂ соответственно. Поэтому

— координаты вектора ММг равны разностям одноименных координат конечной М2 и начальной М точек этого вектора.

Проекция вектора на ось

Рассмотрим на оси l ненулевой направленный отрезок АВ (рис.23). Величиной направленного отрезка АВ на оси l называется число, равное длине отрезка АВ, взятой со знаком «+», если направление отрезка АВ совпадаете направлением оси l, и со знаком «-», если эти направления противоположны.

Рассмотрим теперь произвольный вектор , определяемый связанным вектором АВ. Опуская из его начала и конца перпендикуляры на заданную ось l, построим на ней направленный отрезок CD (рис. 24).

Определение:

Проекцией вектора на ось l называется величина направленного отрезка CD, построенного указанным выше способом.

Обозначение:

Основные свойства проекций

1. Проекция вектора АВ на какую-либо ось l равна произведению длины вектора на косинус угла между осью и этим вектором (рис. 25)
2. Проекция суммы векторов на какую-либо ось l равна сумме проекций векторов на ту же ось.

Скалярное произведение векторов

Пусть имеем два вектора a и b.

Определение:

Скалярным произведением вектора а на вектор b называется число, обозначаемое символом (а, b) и определяемое равенством

(1)
где φ, или в иной записи (), есть угол между векторами а и b (рис. 27 а).
Заметив, что |b| cos φ есть проекция вектора b на направление вектора а, можем написать

(рис. 27 б) и, аналогично,’ (2)

(рис. 27 в), т.е. скалярное произведение двух векторов равно длине одного из них, помноженной на проекцию на него другого вектора. В случае, если один из векторов а или b — нулевой, будем считать, что

(a, b) = 0.

Свойства скалярного произведения

1. Скалярное произведение обращается в нуль в том и только в том случае, когда по крайней мере один из перемножаемых векторов является нулевым или когда векторы а и b ортогональны, a ⊥ b.

Это следует из формулы (1), определяющей скалярное произведение.

Поскольку направление нулевого вектора не определено, мы можем его считать ортогональным любому вектору. Поэтому указанное свойство скалярного произведения можно сформулировать так:

2. Скалярное произведение коммутативно:

(а, b) = (b, а).

Справедливость утверждения вытекает из формулы (I), если учесть четность функции cos φ: cos(- φ) = cos φ.

3. Скалярное произведение обладает распределительным свойством относительно сложения:

(а + b, с) = (а, с) + (b, c).

4. Числовой множитель А можно выносить за знак скалярного произведения

(λа, b) = (а, λb) = λ (а, b).

• Действительно, пусть λ > 0. Тогда

поскольку при λ > 0 углы () и (λ) равны (рис.28).

Аналогично рассматривается случай λ

Замечание:

В общeм случае (а, b)c ≠ a(b, c).

Скалярное произведение векторов, заданных координатами

Пусть векторы а и b заданы своими координатами в ортонормированном базисе i, j, k:

Рассмотрим скалярное произведение векторов а и b:

Пользуясь распределительным свойством скалярного произведения, находим

То есть, если векторы а и b заданы своими координатами в ортонормированном базисе, то их скалярное произведение равно сумме произведений одноименных координат.

Пример:

Найти скалярное произведение векторов n = 4i — 2j + k и b = 6i + 3j + 2k.

(a, b) = 4 • 6 + (-2) • 3 + 1 • 2 = 20.

Скалярное произведение вектора на себя называется скалярным квадратом:

(а, а) = а 2 .

Применяя формулу (4) при b = а, найдем (5)

С другой стороны,

так что из (5) следует, что (6)

— в ортонормированном базисе длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов его координат.

Косинус угла между векторами. Направляющие косинусы

Согласно определению

(а, b) = |а| • |b| • cos φ,

где φ — у гол между векторами а и b. Из этой формулы получаем
(7)

(предполагается, что векторы а и b — ненулевые).

Пример:

Найти угол между векторами a = <2, -4,4,>и d = <-3,2,6>. Пользуясь формулой (8), находим

или, в координатной записи, (9)

где а есть угол, образованный вектором я с осью Ох. Аналогично получаем формулы

Формулы (9)-(11) определяют направляющие косинусы вектора а, т. е. косинусы углов, образуемых вектором n с осями координат (рис. 29).

Пример:

Найти координаты единичного вектора n°. По условию | n°| = 1. Пусть n° = zi+ yj+ zk. Тогда

Таким образом, координатами единичного вектора являются косинусы углов, образованных этим вектором с осями координат:

Пример:

Пусть единичный вектор n° ортогонален оси z:

(рис. 30). Тогда его координаты г и у соответственно равны

x=cos φ, y = sin φ.

Векторное произведение векторов

Определение:

Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор, обозначаемый символом [a, b] (или a х b), такой, что

1) длина вектора [а, b] равна |а| • |Ь| • sin φ, где φ — угол между векторами а и b (рис.31);

2) вектор [а, b] перпендикулярен векторам а и b, т.е. перпендикулярен плоскости этих векторов;

3) вектор [а, Ь] направлен так, что из конца этого вектора кратчайший поворот от л к Ь виден происходящим против часовой стрелки (рис. 32).

Иными словами, векторы я, b и [a, b] образуют правую тройку векторов, т.е. расположены так, как большой, указательный и средний пальцы правой руки. В случае, если векторы a и b коллинеарны, будем считать, что [a, b] = 0.

По определению длина векторного произведения (1)

численно равна площади параллелограмма (рис.33), построенного на перемножаемых векторах a и b как на сторонах:

|[a, b]| = .

Свойства векторного произведения

1. Векторное произведение равно нулевому вектору тогда и только тогда, когда по крайней мере один из перемножаемых векторов является нулевым или когда эти векторы коллинеарны (если векторы я и b коллинеарны, то угол между ними равен либо 0, либо тг).

Это легко получить из того, что |[a, b]| = |a| • |b| • sin φ.

Если считать нулевой вектор коллинеарным любому вектору, то условие коллинеарности векторов a и b можно выразить так

2. Векторное произведение антикоммутативно, т. е. всегда (2)

В самом деле, векторы [а, b] и [b, а] имеют одинаковую длину и коллинеарны. Направления же этих векторов противоположны, так как из конца вектора [a, b] кратчайший поворот от a к b будет виден происходящим против часовой стрелки, а из конца вектора [b, a] — почасовой стрелке (рис. 34).

3. Векторное произведение обладает распределительным свойством по отношению к сложению

4. Числовой множитель λ можно выносить за знак векторного произведения

Векторное произведение векторов, заданных координатами

Пусть векторы a и b заданы своими координатами в базисе i,j, k: а = < х₁, у₁, z₁>, b = < х₂, у₂, z₂ >. Пользуясь распределительным свойством векторного произведения, находим (3)

Выпишем векторные произведения координатных ортов (рис. 35):

Поэтому для векторного произведения векторов a и b получаем из формулы (3) следующее выражение (4)

Формулу (4) можно записать в символической, легко запоминающейся форме, если воспользоваться определителем 3-го порядка: (5)

Разлагая этот определитель по элементам 1-й строки, получим (4). Примеры:

1. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах а = i + j- k, b = 2i + j- k.

Искомая площадь = |[а, b]. Поэтому находим

2. Найти площадь треугольника ОАВ (рис.36).

Ясно, что площадь S∆ треугольника ОАВ равна половине площади S параллелограмма О АС В. Вычисляя векторное произведение [a, b] векторов a= и b = , получаем

Замечание:

Векторное произведение не ассоциативно, т.е. равенство [[а, b], с] = [а, b,с]] в общем случае неверно. Например, при а = i, b = j. c= j имеем

Смешанное произведение векторов

Пусть имеем три вектора а, b и с. Перемножим векторы а и b векторно. В результате получим вектор [а, b). Умножим его скалярно на вектор с:

([a, b], с).

Число ([а, b], с) называется смешанным произведением векторов а, b, с и обозначается символом (а, b, с).

Геометрический смысл смешанного произведения

Отложим векторы а, b и с от общей точки О (рис. 37). Если все четыре точки О, А, В, С лежат в одной плоскости (векторы a, b и с называются в этом случае компланарными), то смешанное произведение ([а, b], с) = 0. Это следует из того, что вектор [а, b] перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы а и b, а значит, и вектору с.

Если же точки О, А, В, С не лежат в одной плоскости (векторы a, b и с некомпланарны), построим на ребрах OA, OB и ОС параллелепипед (рис. 38 а). По определению векторного произведения имеем

где — площадь параллелограмма OADB, а с — единичный вектор, перпендикулярный векторам а и b и такой, что тройка а, b, с — правая, т. е. векторы a, b и с расположены соответственно как большой, указательный и средний пальцы правой руки (рис. 38 6).

Умножая обе части последнего равенства справа скалярно на вектор с, получаем, что

Число ргe с равно высоте h построенного параллелепипеда, взятого со знаком « + », если угол ip между векторами с и с острый (тройка а, b, с — правая), и со знаком «-», если угол — тупой (тройка а, b, с — левая), так что

Тем самым, смешанное произведение векторов a, b и с равно объему V параллелепипеда, построенного на этих векторах как на ребрах, если тройка а, b, с — правая, и -V, если тройка а, b, с — левая.

Исходя из геометрического смысла смешанного произведения, можно заключить, что, перемножая те же векторы a, b и с в любом другом порядке, мы всегда будем О получать либо +V, либо -V. Знак произведения будет зависеть лишь от того, какую тройку образуют перемножаемые векторы — правую или левую. Если векторы а, b, с образуют правую тройку, то правыми будут также тройки b, с, а и с, а, b. В то же время все три тройки b, а, с; а, с, b и с, b, а — левые. Тем самым,

(а, b, с) = (b, с, а) = (с, a,b) = -(b, а, с) = -(а, с, b) = -(с, b, а).

Еще раз подчеркнем, что смешанное произведение векторов равно нулю тогда и только тогда, когда перемножаемые векторы а, b, с компланарны:

Смешанное произведение в координатах

Пусть векторы а, b, с заданы своими координатами в базисе i, j, k:

Найдем выражение для их смешанного произведения (а, b, с). Имеем

— смешанное произведение векторов, заданных своими координатами в базисе i, j, k, равно определителю третьего порядка, строки которого составлены соответственно из координат первого, второго и третьего из перемножаемых векторов.

Пример:

Проверить, компланарны ли векторы

Рассматриваемые векторы будут компланарны или некомпланарны в зависимости от того, будет равен нулю или нет определитель

Разлагая его по элементам первой строки, получим

Двойное векторное произведение

Двойное векторное произведение [а, [b, с]] представляет собой вектор, перпендикулярный к векторам а и [b, с]. Поэтому он лежит в плоскости векторов b и с и может быть разложен по этим векторам. Можно показать, что справедлива формула

[а, [b, с]] = b(а, с) — с(а, b).

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Координаты и компоненты вектора

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Выберем в пространстве прямоугольную декартову систему координат. Обозначим через i, j, к единичные векторы (орты) положительных направлений осей Ох. Оу, Oz (рис. 19). Рассмотрим произвольный вектор а, начало которого лежит в начале координат О, а коней — в точке А. Проведем через точку А плоскости, перпендикулярные .осям Ох, Оу и Oz. Эти плоскости пересекут координатные оси в точках Ру Q и R соответственно.

Из рис. 20 видно, что Векторы OP, OQ и OR коллинеарны соответственно единичным векторам i, j, k. поэтому найдутся числа х, у, 2 такие, что и, следовательно, Координаты и компоненты вектора Формула (2) называется разложением вектора и по век/порам i, j, к. Указанным способом всякий вектор может быть разложен по векторам i, j, k. Векторы i, j, k попарно ортогональны, и их длины равны единице. Тройку i, j, k называют ортонормированным (координатным) базисом (ортобазисом).

Можно показать, что для каждого вектора а разложение (2) по базису i, j, к единственно, т. с. коэффициенты!, у, z в разложении вектора а по векторам i, j, к определены однозначно.

Эти коэффициенты называются координатами вектора а. Они совпадают с координатами х, у, z точки Л — конца вектора а. Мы пишем в этом случае Эта запись означает, что свободный вектор а однозначно задастся упорядоченной тройкой своих координат. Векторы х, t/j, zk, сумма которых равна вектору а, называются компонентами вектора а.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Из вышеизложенного следует, что два вектора а = и Ь = <х2,у2,22>равны тогда и только тогда, когда соответственно равны их координаты, т. с. Пусть а = <яь yt, zj>, b = <яг, угУ zi>— коллинеарные векторы, причем b Ф 0. Тогда л = цЬ, т.е. Координаты и компоненты вектора Обратно, если выполняются соотношения (3), то п = цЬ, т. е. векторы а и b коллинеарны.

а и b коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны. Пример. Найти координаты вектора MMi, начало которого находится в точке М(х, у, z). а конец — в точке Afi(«2> 22). Из рис. 22 видно, что ММг = Г2 – п, где р,, р2 — радиус-векторы точек М| и Мг соответственно. Поэтому — координаты вектора ММг равны разностям одноименных координат конечной М^ и начальной М точек этого вектора.

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

[spoiler title=”источники:”]

http://lfirmal.com/vektornaya-algebra-osnovnyie-ponyatiya-i-opredeleniya/

http://natalibrilenova.ru/koordinatyi-i-komponentyi-vektora/

[/spoiler]

Единичный вектор
находится:
,
где– модуль вектора.

Находим

тогда

Ответ:
.

Примечание.
Координаты единичного вектора должны
быть не больше единицы.

6.3. Найти длину
и направляющие косинусы вектора
.
Сравните с ответом в предыдущем пункте.
Сделайте выводы.

Длина вектора –
это есть его модуль:

,
а направляющие косинусы мы можем найти
по формуле одного из способов задания
векторов:

Из полученного мы
видим, что направляющие косинусы это и
есть координаты единичного вектора.

Ответ:
,,,.

6.4. Найти
.

Необходимо выполнить
действия умножения вектора на число,
сложения и модуль.

Почленно перемножаем
координаты векторов на число.

Почленно складываем
координаты векторов.

Находим модуль
вектора.

Ответ:

6.5. Определить
координаты вектора
,
коллинеарного вектору,
зная, чтои он направлен в сторону, противоположную
вектору.

Вектор
коллинеарен вектору,
значит, его единичный вектор равен
единичному векторутолько со знаком минус, т.к. направлен
в противоположную сторону.

Единичный вектор
имеет длину равную 1, значит, если его
умножить на 5, то его длинна будет равна
пяти.

Находим

Ответ:

6.6. Вычислить
скалярные произведения
и.
Перпендикулярны ли векторыи,имежду собой?

Выполним скалярное
произведение векторов.

Если вектора
перпендикулярны, их скалярное произведение
равно нулю.

Мы
видим, что в нашем случае вектораиперпендикулярны.

Ответ:
,,
векторы не перпендикулярны.

Примечание.
Геометрический смысл скалярного
произведения малоприменим на практике,
но все-таки существует. Результат такого
действия можно изобразить и вычислить
геометрически.

6.7. Найти работу,
совершённую материальной точкой к
которой приложена сила
,
при перемещении её из точки B в точку С.

Физический смысл
скалярного произведения – это работа.
Вектор силы здесь
,
вектор перемещения – это.
А произведение этих векторов и будет
искомой работой.

Находим работу

Ответ: -3.

6.8. Найти
внутренний угол при вершине A
и внешний угол при вершине C
треугольника ABC.

Из определения,
скалярного произведения векторов
получим формулу нахождения угла:
.

Далее, нам нужно
определить вектора, между которыми
будем искать угол.

Внутренний
угол будем искать как угол между
векторами, выходящими из одной точки.

Для нахождения
внешнего угла нужно совмещать вектора,
таким образом, чтоб они выходили из
одной точки. Рисунок это поясняет.

Стоит заметить,
что
,
только имеют разные начальные координаты.

Находим необходимые
вектора и углы

Ответ: внутренний
угол при вершине А =
,
внешний угол при вершине В =.

6.9. Найти проекции векторов: и

Вспомним вектора-орты:
,,.

Проекция находится
также из скалярного произведения

–проекция b
на a.

Ранее полученные
нами вектора

,
,

Находим проекцию

Находим вторую
проекцию

Ответ:
,

Примечание.
Знак минуса при нахождении проекции
означает то, что проекция опускается
не на сам вектор, а в противоположную
сторону, на линию на которой лежит этот
вектор.

6.10. Вычислить
.

Выполним векторное
произведение векторов

Найдем модуль

Синус угла между
векторами найдём из определения
векторного произведения векторов

Ответ:
,,.

6.11. Найти площадь
треугольника ABC
и длину высоты, опушенной из точки С.

Геометрический
смысл модуля векторного произведения
состоит в том, что это площадь
параллелограмма, образованного этими
векторами. А площадь треугольника равна
половине площади параллелограмма.

Площадь треугольника
также можно найти как произведение
высоты, на основание, делённое на два,
из этого можно вывести формулу нахождения
высоты.

Таким образом,
найдём высоту

Ответ:
,.

6.12. Найти
единичный вектор, перпендикулярный
векторам
и.

Результатом
скалярного произведения есть вектор,
который перпендикулярный двум исходным.
А единичный вектор – это вектор, делённый
на его длину.

Ранее, нами было
найдено:

,

Ответ:
.

6.13. Определить
величину и направляющие косинусы момента
силы
,
приложенной к А относительно точки С.

Физический смысл
векторного произведения – это момент
силы. Приведём иллюстрацию к данному
заданию.

Находим момент
силы

Ответ:
.

6.14. Лежат ли
векторы
,ив одной плоскости? Могут ли эти векторы
образовывать базис пространства? Почему?
Если могут, разложите по этому базису
вектор.

Чтобы проверить
лежат ли вектора в одной плоскости
необходимо выполнить смешанное
произведение этих векторов.

Смешанное
произведение не равно нулю, следовательно,
вектора не лежат в одной плоскости (не
компланарные) и могут образовывать
базис. Разложим
по этому базису.

Разложим по базису,
решив уравнение

Ответ: Векторы
,ине лежат в одной плоскости..

6.15. Найти
.
Чему равен объём пирамиды с вершинами
A, B, C, D и её высота, опущенная из точки A
на основание BCD.

Геометрический
смысл смешанного произведения в том,
что это объём параллелепипеда образованного
этими векторами.

Объём же пирамиды
в шесть раз меньше объёма параллелепипеда.

Объём пирамиды,
ещё можно найти так:

Получим формулу
нахождения высоты

Находим

Находим высоту

Ответ: объём = 2.5,
высота =.

6.16. Вычислить
и.

–над этим заданием
предлагаем вам подумать самим.

–выполним
произведение.

Ранее было получено

Ответ:
.

6.17. Вычислить

Выполним действия
по частям

1)

2)

3)

4)

5)

Суммируем полученные
значения

Ответ:
.

6.18. Найти вектор
,
зная, что он перпендикулярен векторами,
а его проекция на векторравна 5.

Разобьем данную
задачу на две подзадачи

1) Найдём вектор,
перпендикулярный векторам
ипроизвольной длинны.

Перпендикулярный
вектор мы получим в результате векторного
произведения

Ранее, нами было
найдено:

Искомый вектор
отличается лишь длинной, от полученного

2) Найдем
через уравнение

Ответ:

6.19. Найти вектор
,
удовлетворяющий условиям,,.

Рассмотрим более
детально данные условия.

Это система линейных
уравнений. Составим и решим данную
систему.

Ответ:

6.20. Определить
координаты какого-либо вектора
,
компланарного с векторамии,
и перпендикулярного вектору.

В данном задании
два условия: компланарность векторов
и перпендикулярность, выполним сначала
первое условие, а потом второе.

1) Если вектора
компланарны, значит их смешанное
произведение равно нулю.

Отсюда
получим некоторую зависимость координат
вектора

Найдем вектор
.

2) Если вектора
перпендикулярны, значит их скалярное
произведение равно нулю

Мы получили вторую
зависимость координат искомого вектора

Для любого значения
вектор будет удовлетворять условиям.
Подставим.

Ответ:
.

Аналитическая
геометрия

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

  03.03.2016959.94 Кб5PT.pdf

• #

Вопросы к главе IV

1. Справедливо ли утверждение: а) любые два противоположно направленных вектора коллинеарны; б) любые два коллинеарных вектора сонаправлены; в) любые два равных вектора коллинеарны; г) любые два сонаправленных вектора равны; д) если а↑↓b, b↑↓c, то a↑↓c; е) существуют векторы а, b и с такие что а и с не коллинеарны, b и с не коллинеарны, а a и b коллинеарны?

а) Да, так как они лежат на параллельных прямых. б) Нет, они могут быть противоположно направлены. в) Да. г) Нет, например a и 2a. д) Нет, a↑↑c. е) Да, например три стороны параллелограмма.

2. Точки A и С симметричны относительно точки О и AD = BC. Симметричны ли точки В и D относительно точки О?

Да, так как ABCD — параллелограмм и BD — его диагональ, а О — центр.

3. Точки A и С симметричны относительно прямой а и AD = BC. Могут ли точки В и D быть: а) симметричными относительно прямой а; б) несимметричными относительно прямой а?

а) Да, (рис. 226 а), б) Да, (рис. 226 б).

4. Точки A и С, а также точки В и D симметричны относительно плоскости α. Могут ли векторы АВ и CD быть: а) равными; неравными?

а) Да; б) Да.

5. Известно, что векторы а и a+b коллинеарны. Коллинеарны ли векторы а и b?

Да, так как a и a — (a + b) коллинеарны.

6. Может ли длина суммы двух векторов быть меньше длины каждого из слагаемых?

Да, например

7. Может ли длина суммы нескольких ненулевых векторов быть равной сумме длин этих векторов?

Да, если все векторы сонаправлены.

8. Может ли длина разности двух ненулевых векторов быть равной сумме длин этих векторов?

Да, если эти векторы противоположно направлены.

9. Может ли длина разности двух ненулевых векторов быть равной разности длин этих векторов?

Да, если эти векторы сонаправлепы.

10. Может ли длина суммы двух ненулевых векторов быть равна длине разности этих векторов?

Да, если эти векторы перпендикулярны.

11. На какое число нужно умножить ненулевой вектор а, чтобы получить вектор b, удовлетворяющий следующим условиям:

а) На 1; б) на — 3; в) на — k; г) на 0.

12. Известно, что AB = k⋅CD, причем точки А, В и С не лежат на одной прямой. При каком значении k прямые AC и BD являются: а) параллельными; б) пересекающимися? Могут ли прямые АС и BD быть скрещивающимися?

а) Эти прямые параллельны при k = 1 б) При k ≠ 1 и k ≠ 0 эти прямые пересекаются. Прямые АС и BD не могут быть скрещивающимися, т. к. лежат в одной плоскости.

13. Компланарны ли векторы: а) а, b, 2а, 3b; б) а, b, a+b, а — b?

а, б) Да, эти векторы лежат в плоскости, проходящей через вектора a и b.

14. Известно, что векторы а, b и с компланарны. Компланарны ли векторы: а) а, 2b, 3с; б) а+b, а+2с, 2b — Зс?

Да.

15. Точки А, В и С лежат на окружности, а точка О не лежит в плоскости этой окружности. Могут ли векторы ОА, ОВ и ОС быть компланарными?

Нет, так как если эти вектора лежат в одной плоскости, то точка О лежит в плоскости ABC, но точка О не лежит в этой плоскости.

Источник:

Решебник
по
геометрии
за 10 класс (Л.С.Атанасян, 2001 год),
задача №0
к главе «Глава IV. Векторы в пространстве § 3. Компланарные вектора ».

Все задачи

← 375. В тетраэдре ABCD точки К и М — середины ребер АВ и CD Докажите, что середины отрезков КС, KD, МА и MB являют ся вершинами некоторого параллелограмма.

376. Лан параллелепипед MNРQМ1N1P1Q1. Докажите, что: →

Векторы в пространстве

Векторы в пространстве

вход

Содержание

I . Понятие вектора в пространстве

II . Коллинеарные векторы

III . Компланарные векторы

IV . Действия с векторами

V. Разложение вектора

VI . Базисные задачи

Проверь себя

Помощь в управлении презентацией

Выход

Понятие вектора в пространстве

Вектор(направленный отрезок) –

отрезок, для которого указано какой из его концов считается началом, а какой – концом.

Длина вектора – длина отрезка AB.

В

M

А

Коллинеарные векторы

Два ненулевых вектора называются коллинеарными , если они лежат на одной

прямой или параллельных прямых.

Среди коллинеарных различают:

• Сонаправленные векторы
• Противоположно направленные векторы

Сонаправленные векторы

Сонаправленные векторы — векторы, лежащие

по одну сторону от прямой, проходящей через их начала.

Нулевой вектор считается сонаправленным с любым вектором.

• Равные векторы

Равные векторы

Равные векторы — сонаправленные векторы,

длины которых равны.

От любой точки можно отложить вектор,

равный данному, и притом только один.

Противоположно направленные векторы

Противоположно направленные векторы – векторы, лежащие по разные стороны от прямой, проходящей через их начала.

• Противоположные векторы

Противоположные векторы

Противоположные векторы – противоположно направленные векторы, длины которых равны.

Вектором, противоположным нулевому,

считается нулевой вектор.

Признак коллинеарности

Доказательство

Доказательство признака коллинеарности

Определение компланарных векторов

Компланарные векторы – векторы, при откладывании которых от одной и той же точки пространства, они будут лежать в одной плоскости.

Пример:

B 1

C 1

A 1

D 1

B

C

А

D

О компланарных векторах

Любые два вектора всегда компланарны.

Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, компланарны.

α

если

Признак компланарности

Доказательство

Задачи

Задачи на компланарность

• Компланарны ли векторы:

а)

б)

Справка Решение

• Известно, что векторы , и компланарны. Компланарны ли векторы:

а)

б)

Справка Решение

Решение

Решение

Решение

Доказательство признака компланарности

B 1

С

B

A

A 1

O

Свойство компланарных векторов

Действия с векторами

• Сложение
• Вычитание
• Умножение вектора на число
• Скалярное произведение

Сложение векторов

• Правило треугольника
• Правило параллелограмма
• Правило многоугольника
• Правило параллелепипеда
• Свойства сложения

Правило треугольника

B

А

C

Правило треугольника

B

А

C

Для любых трех точек А, В и С справедливо равенство:

Правило параллелограмма

B

А

C

Свойства сложения

Правило многоугольника

Сумма векторов равна вектору, проведенному

из начала первого в конец последнего(при последовательном откладывании).

B

C

A

Пример

E

D

Пример

B 1

C 1

A 1

D 1

B

C

A

D

Правило параллелепипеда

Вектор, лежащий на диагонали параллелепипеда, равен сумме векторов, проведенных из той же точки и лежащих на трех измерениях параллелепипеда.

B 1

C 1

A 1

D 1

B

C

А

D

Свойства

B 1

C 1

A 1

D 1

B

C

А

D

Вычитание векторов

• Вычитание
• Сложение с противоположным

Вычитание

Разностью векторов и называется такой

вектор, сумма которого с вектором равна

вектору .

Вычитание

B

A

Правило трех точек

C

Правило трех точек

Любой вектор можно представить как разность двух векторов, проведенных из одной точки.

B

А

K

Сложение с противоположным

Разность векторов и можно представить как сумму вектора и вектора, противоположного вектору .

А

B

O

Умножение вектора на число

Свойства

• Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор.
• Произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор.

Свойства

Скалярное произведение

Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.

Справедливые утверждения

Вычисление скалярного произведения в координатах

Свойства скалярного произведения

Справедливые утверждения

• скалярное произведение ненулевых векторов

равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны

• скалярный квадрат вектора (т.е. скалярное произведение вектора на себя) равен квадрату

его длины

Вычисление скалярного произведения в координатах

Доказательство

Доказательство формулы скалярного произведения

B

α

O

A

A

B

O

O

B

A

Доказательство формулы скалярного произведения

Свойства скалярного произведения

1 0 .

2 0 .

3 0 .

4 0 .

(переместительный закон)

(распределительный закон)

(сочетательный закон)

Разложение вектора

• По двум неколлинеарным векторам
• По трем некомпланарным векторам

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Теорема.

Любой вектор можно разложить по двум

данным неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Доказательство

Доказательство теоремы

• Пусть коллинеарен .

Тогда , где y – некоторое число. Следовательно,

т.е. разложен по векторам и .

P

B

O

A

A 1

Доказательство теоремы

• не коллинеарен ни вектору , ни вектору .

Отметим О – произвольную точку.

Доказательство теоремы

Докажем, что коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Допустим:

Тогда:

—

Разложение вектора по трем некомпланарным векторам

Если вектор p представлен в виде

где x, y, z – некоторые числа, то говорят, что вектор

разложен по векторам , и .

Числа x, y , z называются коэффициентами разложения.

Теорема

Любой вектор можно разложить по трем данным некомпланарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Доказательство

Доказательство теоремы

P

С

B

P 1

P 2

O

A

Доказательство теоремы

Докажем, что коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Допустим:

Тогда:

—

Базисные задачи

Вектор, проведенный в середину отрезка

Вектор, проведенный в точку отрезка

Вектор, соединяющий середины двух отрезков

Вектор, проведенный в центроид треугольника

Вектор, проведенный в точку пересечения

диагоналей параллелограмма

Вектор, лежащий на диагонали параллелепипеда

Вектор, проведенный в середину отрезка,

равен полусумме векторов, проведенных из той же точки в его концы.

С

A

B

O

Доказательство

Доказательство

С

A

B

O

Вектор, проведенный в точку отрезка

Точка С делит отрезок АВ в отношении т : п .

С

A

m

n

B

O

Доказательство

Доказательство

С

A

m

n

B

O

Вектор, соединяющий середины двух отрезков,

равен полусумме векторов, соединяющих их концы.

N

С

N

D

С

D

B

B

M

M

A

A

Доказательство

Доказательство

N

С

D

B

M

A

Вектор, проведенный в центроид треугольника,

равен одной трети суммы векторов, проведенных из этой точки в вершины треугольника.

Центроид – точка пересечения медиан треугольника.

O

С

M

A

B

Доказательство

Доказательство

O

С

M

K

A

B

Вектор, проведенный в точку пересечения диагоналей параллелограмма,

равен одной четверти суммы векторов, проведенных из этой точки в вершины параллелограмма.

O

C

B

M

A

D

Доказательство

O

Доказательство

C

B

M

A

D

Вектор, лежащий на диагонали параллелепипеда,

равен сумме векторов, лежащих на трех его ребрах, исходящих из одной вершины.

C 1

B 1

A 1

D 1

B

C

A

D

Доказательство

Доказательство

B 1

C 1

A 1

D 1

B

C

A

D

Помощь в управлении презентацией

• управление презентацией осуществляется с помощью левой клавиши мыши
• переход от одного слайда к другому и на гиперссылки по одиночному щелчку
• завершение презентации при нажатии кнопки выход

переход к следующему слайду

возврат к содержанию

возврат к подтеме

возврат с гиперссылок

Проверь себя

• Устные вопросы
• Задача 1 . Задача на доказательство
• Задача 2. Разложение векторов
• Задача 3. Сложение и вычитание векторов
• Задача 4. Скалярное произведение

Устные вопросы

Справедливо ли утверждение:

а) любые два противоположно направленных вектора коллинеарны?

б) любые два коллинеарных вектора сонаправлены?

в) любые два равных вектора коллинеарны?

г) любые два сонаправленных вектора равны?

д)

е) существуют векторы , и такие, что

и не коллинеарны, и не коллинеарны, а

и коллинеарны?

Ответы

Ответы

а) ДА

б) НЕТ (могут быть и противоположно направленными)

в) ДА

г) НЕТ (могут иметь разную длину)

д) ДА

е) ДА

Задача 1. Задача на доказательство

B 1

C 1

A 1

D 1

M 2

M 1

B

C

А

D

Решение

Решение

B 1

C 1

A 1

D 1

M 2

M 1

B

C

А

D

Задача 2. Разложение векторов

Разложите вектор по , и :

а)

б)

в)

г)

Решение

D

B

A

N

C

Решение

а)

б)

в)

г)

Задача 3. Сложение и вычитание

Упростите выражения:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

Решение

Решение

а)

б)

в)

г)

д)

е)

Задача 4. Скалярное произведение

Вычислить скалярное произведение векторов:

C 1

B 1

A 1

D 1

B

C

A

D

Решение

Задача 4. Скалярное произведение

Вычислить скалярное произведение векторов:

B 1

C 1

O 1

A 1

D 1

B

C

A

D

Решение

Решение

Решение

Решение

B 1

C 1

O 1

A 1

D 1

B

C

A

D

Как найти единичный вектор, противоположно направленный \[v=\left( 1,3,-4 \right)\]?

Последняя обновленная дата: 25 января 2023 г.

•

Общее представление: 214,2K

•

Просмотр сегодня: 4,08K

Ответ

Проверено

214.2K+ виды

HINT: 9003 мы должны найти единичный вектор, направленный противоположно [v=left( 1,3,-4 right)].. Сначала мы можем увидеть, что заданное имеет противоположное направление, где мы можем умножить a знак минус к заданному вектору. Затем мы можем написать формулу для единичного вектора и расширить ее, мы можем изменить ее на противоположно направленную и мы можем вычислить оставшуюся часть, чтобы получить ответ для единичного вектора.

Полное пошаговое решение:
Мы знаем, что данный вектор равен
[v=left( 1,3,-4 right)]
Теперь мы можем написать вектор, противоположный приведенному выше вектору изменив его знак, мы получим
[-v=-<1,3,-4>]…….. (1)
Теперь мы можем написать формулу для противоположного единичного вектора. {2} }}] 9{2}}}}left( —<1,3,-4> right)]
Теперь мы можем упростить описанный выше шаг, мы получим
[Rightarrow -dfrac{1}{26}<1 ,3,-4>]
Следовательно, единичный вектор, противоположно направленный [v=left( 1,3,-4 right)], равен [-dfrac{1}{26}< 1,3,-4>].

Примечание: Учащиеся делают ошибки при написании величины, которая находится в формуле, где величина представляет собой квадратный корень из суммы квадратов заданных величин. Мы также должны помнить, что единичный вектор — это величина, умноженная на вектор. Следует также отметить, что данное является противоположно направленным, где мы можем умножить отрицательный знак на данный вектор.

Недавно обновленные страницы

Если ab и c единичные векторы, то left ab2 right+bc2+ca2 математика класса 12 JEE_Main

Стержень AB длиной 4 единицы перемещается горизонтально, когда математика класса 11 JEE_Main

Оценить значение intlimits0pi cos 3xdx A 0 B 1 класс 12 математика JEE_Main

Что из следующего верно цианид с А Этиловый спирт класс 12 по химии JEE_Main

Если ab и c единичные векторы, то влево ab2 right+bc2+ca2 математика класса 12 JEE_Main

Стержень AB длиной 4 единицы перемещается горизонтально, когда математика класса 11 JEE_Main

Вычислить значение intlimits0pi cos 3xdx A 0 B 1 математика класса 12 JEE_Main

Что из следующего является правильным 1 nleft S чашка T справа класс 10 математика JEE_Main

Какова площадь треугольника с вершинами Aleft математика класса 11 JEE_Main

KCN легко реагирует с образованием цианида с A Этил спирт 12 класс химия JEE_Main

Сомнения в тренде

Вектор — Математическая энциклопедия

геометрический

Направленный отрезок прямой в евклидовом пространстве, один конец которого (точка $A$)
называется началом координат, а другая (точка $B$)
называется концом вектора. Такой вектор можно обозначить $ mathbf a $,
$ overline{а}; $,
$vec{a}$,
или $ overline{ {AB }}; $.
Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым вектором и обычно обозначается $mathbf 0 $.
Вектор характеризуется своим модулем (или длиной), который равен длине отрезка $AB$
и обозначается $ | mathbf а | $,
и по его направлению: от $A$
до $В$.
Вектор $ overline{BA}; $
называется вектором, противоположным $ overline{AB}; $.
Вектор с длиной, равной единице, называется единичным вектором. Любое направление может быть назначено нулевому вектору. Два вектора называются коллинеарными, если они расположены на одной прямой или на двух параллельных прямых; они называются компланарными, если лежат в одной плоскости или в двух параллельных плоскостях. Два коллинеарных вектора называются одинаково (противоположно) направленными, если их конечные точки находятся по одну сторону (по разные стороны) от прямой, соединяющей их начала, или по одну сторону от их общего начала. Два вектора $ overline{AB}; $
и $ overline{ {A ^ prime B ^ prime }}; $
на одной прямой называются одинаково (противоположно) направленными, если один из лучей $AB$,
$ А ^ простой Б ^ простой $
полностью включено (не) в другое. Два вектора называются равными, если они имеют одинаковые модули и одинаково направлены (такие векторы также известны как свободные векторы). Все нулевые векторы называются равными.

Помимо свободных векторов, т. е. векторов, начало которых нематериально, в механике и физике часто рассматривают векторы, характеризуемые своей длиной, направлением и местом своего начала (точки приложения). Класс равных векторов, лежащих на одной прямой, называется скользящим вектором. Также рассматриваются связанные векторы, которые называются равными, если они имеют не только равные модули и одинаковые направления, но и общую точку приложения. Векторное исчисление, которое представляет собой изучение операций, выполняемых над векторами, основано на свободных векторах, поскольку два заданных свободных вектора эквивалентны заданному скользящему вектору или заданному связанному вектору.

Понятие вектора возникло как математическая абстракция объектов, которые характеризуются величиной и направлением, такими как смещение, скорость и напряженность магнитного или электрического поля.

Понятие вектора может быть введено аксиоматически (ср. Векторное пространство).

Комментарии

Геометрический вектор, как определено выше, исходит из таких понятий, как сила в механике, величина, которая имеет величину, направление и точку приложения. Математическая установка — это установка аффинного пространства, которое является векторным пространством «с точностью до места его начала» или, точнее, просто транзитивным групповым действием $ phi $
(лежащей в основе аддитивной группы) векторного пространства $ L $
на множестве $A$.
Простая транзитивность определяет отображение $ theta : A times A rightarrow L $
характеризуется $phi(theta(x,y),x)=y$.
Написание $ vec{xy} $
для $тета(x,y)$,
$ vec{ху} $
— свободный вектор, определяемый связанным вектором или геометрическим вектором, $ ( x, y) $
или $ ( x, vec{xy} ) $(
которая имеет точку приложения $ x $
а направление и величина задаются $ vec{xy} $).
Для трех точек $ x, y , z in A $
есть $ vec{xy} + vec{yz} + vec{zx} = 0 $
в $L$,
которое называется отношением Шаля (ср.

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах. 

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте. 

Как быстро и эффективно исправить почерк?  Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.