Как найти эксцентриситет орбиты планеты

Эксцентрисите́т орбиты (обозначается «» или «ε») — числовая характеристика орбиты небесного тела (или космического аппарата), которая характеризует «сжатость» орбиты. В общем случае орбита небесного тела представляет собой коническое сечение (то есть эллипс, параболу, гиперболу или прямую), а эксцентриситет орбиты есть эксцентриситет соответствующей кривой. Орбиты многих тел Солнечной системы представляют собой эллипсы.

Вычисление эксцентриситета орбиты[править | править код]

По внешнему виду орбиты можно разделить на пять групп:

Для эллиптических орбит эксцентриситет вычисляется по формуле:

, где  — малая полуось,  — большая полуось эллипса.

Для гиперболических орбит эксцентриситет вычисляется по формуле:

, где  — мнимая полуось,  — действительная полуось гиперболы.

Некоторые эксцентриситеты орбиты[править | править код]

В таблице ниже приведены эксцентриситеты орбиты для некоторых небесных тел (отсортированы по величине большой полуоси орбиты, кроме 1I/Оумуамуа и C/2019 Q4 (Борисова), у которых гиперболические орбиты, и кроме спутников, которые выделены серым цветом).

Небесное тело	Эксцентриситет орбиты
Меркурий	0,205[1]
Венера	0,007[1]
Земля	0,017[1]
Луна	0,05490[2]
(3200) Фаэтон	0,8898[3]
Марс	0,094[1]
Юпитер	0,049[1]
Ио	0,004[4]
Европа	0,009[4]
Ганимед	0,002[4]
Каллисто	0,007[4]
Сатурн	0,057[1]
Титан	0,029[4]
Комета Галлея	0,967[5]
Уран	0,046[1]
Нептун	0,011[1]
Нереида	0,7512[4]
Плутон	0,244[1]
Хаумеа	0,1902[6]
Макемаке	0,1549[7]
Эрида	0,4415[8]
Седна	0,85245[9]
1I/Оумуамуа	1,1995[10]
2I/Borisov	3,36[11]

Эксцентриситет инвариантен относительно движений плоскости и преобразований подобия^[12].

См. также[править | править код]

• Элементы орбиты

Примечания[править | править код]

Как найти эксцентриситет орбиты планеты

Эксцентриситет орбиты – это отношение расстояния между фокусом орбиты и ее центром к длине максимального диаметра эллипса. Она показывает, насколько орбита отклоняется от идеальной круговой орбиты. Он играет ключевую роль в понимании орбитальной динамики планет и астероидов.

Наблюдение за орбитой

Чтобы найти эксцентриситет орбиты, необходимо провести наблюдения и замеры пути планеты в единицах астрономических единиц. Астрономическая единица (А.Е.) — это расстояние между Солнцем и Землей, и она равна приблизительно 150 миллионам километров. Первый шаг – это измерить время, за которое планета выходит на одно из своих экваторов (точку равноденствия). При этом необходимо убедиться, что Солнце и планета находятся в одной плоскости, так как именно график таких наблюдений называют орбитальным.

Когда измерено время прохождения планеты через точку равноденствия, можно записать это время, а также замерить длину пути, который сделает планета за определенный период времени. В клеточном мире в этом случае может помочь простой обычный линейковый и циркульный кабинет, цифровые инструменты или лазерные измерительные приборы.

Подсчет эксцентриситета

Найдя измеренные данные, можно рассчитать эксцентриситет орбиты планеты. Для этого используется формула, которая связывает длину пути, время орбиты и эксцентриситет:

e=c/a

где:

• e – эксцентриситет орбиты
• a – полуось большой эксцентрис (половина расстояния от центра эллипса до противоположной стороны, изображающая количество эксцентриситет пути, использует метры также как во всем мире), в нем уже через рассуждения можно понять, насколько колоссальны различия наблюдаемые на орбитах планет, например, мелководье, океаны, леса, крупные пустыни и горные хребты все это со временем накапливается и перерабатывается путем циклов, затрат на которые необходимо времени.
• c – расстояние от центра эллипса до фокуса галактики (точки экстремальной зависимости пути от времени, как бы точки максимального ускорения планеты).

Результат должен получиться в диапазоне от 0 до 1. Если эксцентриситет равен 0, то это круговая орбита, при значении 1 – орбита является параболой и тело будет двигаться по ней вечно. В действительности многие орбиты в нашей солнечной системе имеют эксцентриситет меньше 1, что значит, что тела периодически вернутся к точке старта.

Обзор итогов

Найти эксцентриситет орбиты почти любой планеты можно на основе замеров ее длины пути и времени ее движения. Результат находится с помощью формулы, которая определяет отношение расстояния между фокусом и ее центром к длине максимального диаметра эллипса. Эксцентриситет орбиты — это важный параметр, который имеет большое значение для понимания орбитальной динамики планет и астероидов.

Соответственно эксцентриситет пути дает важную возможность оценить насколько она будет эффективна для космических миссий разной направленности. Мы узнали, что рассчитать эксцентриситет сравнительно легко с помощью многократных наблюдений и замеров или с помощью искуственого интеллекта, который сможет не только предсказать орбиту на момент наблюдения, но и точную дату ее возвращения в исходную точку.

Непрерывные наблюдения и последующий анализ данных нашей планетарной семьи помог как общего знакомства с ее внутренним устройством, так и пониманию того, как различные космические приборы могут использовать эти знания для своих задач.

Как найти эксцентриситет орбиты планеты

Орбиты планет в нашей солнечной системе имеют разную форму и размер. Один из параметров, который определяет форму орбиты, это эксцентриситет. Эксцентриситет описывает, насколько сильно орбита отклоняется от круговой формы. Поскольку эксцентриситет орбиты может повлиять на качественные и количественные характеристики орбитальной динамики планеты, знание его значения может быть полезно во многих областях, включая астрономию, инженерию и геодезию.

Что такое эксцентриситет орбиты

В поиске решения вопроса, как найти эксцентриситет орбиты планеты, нужно начать с общего определения. Эксцентриситет орбиты, как уже упоминалось, определяет, насколько сильно орбита отклоняется от круговой формы. В круговой орбите эксцентриситет равен нулю, а чем больше значение эксцентриситета, тем более вытянутой будет орбита.

Формула эксцентриситета орбиты:

e = (rmax – rmin) / (rmax + rmin), где rmax – максимальное расстояние от центра планеты до ее орбиты, а rmin – минимальное расстояние между планетой и орбитой.

Как измерить эксцентриситет орбиты планеты

Для того, чтобы определить эксцентриситет орбиты планеты, необходимо знать параметры орбиты – ее размер (перигелий и апогелий) и форму. Есть несколько способов, как найти эксцентриситет орбиты планеты.

• Наблюдения за движением планеты

  Один из способов определить эксцентриситет орбиты планеты – это основанные на наблюдениях за ее движением. Расчет эксцентриситета может быть основан на изменении расстояния между планетой и Солнцем, которое происходит в разное время года, в зависимости от формы орбиты.

• Данные по скорости планеты

  Скорость планеты также может быть использована для вычисления эксцентриситета орбиты. Наиболее точный способ – использование данных радиолокационных наблюдений.

• Рассчитать по элементам орбиты

  Эксцентриситет орбиты может быть рассчитан на основе двух элементов орбиты: большой полуось (среднее расстояние от планеты до Солнца) и орбитальной скорости. Элементы орбиты могут быть вычислены путем наблюдения за планетой.

Заключение

Как бы ни был рассчитан эксцентриситет орбиты планеты, его значение может оказаться важным для проведения исследований в различных областях, астрономии, геодезии, космической технике и т.д. Тем не менее, точные значения параметров орбит всегда могут быть ограничены ошибками наблюдения и методик рассчета, что может привести к неточностям в определении эксцентриситета. В любом случае, все три способа нахождения эксцентриситета важны и полезны в своих приложениях.

Как найти эксцентриситет орбиты планеты?

Орбита планеты — это траектория движения планеты вокруг своей звезды. Каждая планета движется вокруг своей звезды по определенной орбите, которая может быть круговой или эллиптической. Эксцентриситет орбиты показывает, насколько она отклоняется от круговой формы. В этой статье мы рассчитаем эксцентриситет орбиты планеты.

Что такое эксцентриситет орбиты?

Эксцентриситет орбиты показывает, насколько эллиптическая является орбита планеты. Орбита, обладающая эксцентриситетом 0, является круговой, тогда как орбита с эксцентриситетом близким к 1 является более вытянутой.

Эксцентриситет орбиты можно рассчитать по формуле:

e = (r_max — r_min) / (r_max + r_min)

где e — эксцентриситет орбиты, r_max — максимальное расстояние от планеты до своей звезды в афелии (точке орбиты, наиболее удаленной от звезды), r_min — минимальное расстояние от планеты до своей звезды в перигелии (точке орбиты, наиболее близкой к звезде).

Как рассчитать максимальное и минимальное расстояние до звезды?

Для того чтобы рассчитать эксцентриситет орбиты планеты, нужно знать максимальное и минимальное расстояние от планеты до своей звезды.

Для расчета максимального расстояния (r_max) нужно знать:

• Расстояние от звезды до центра галактики, которое можно оценить в 27 000 световых лет;
• Расстояние от Земли до центра галактики, которое можно оценить в 25 000 световых лет;
• Координаты звезды и планеты в галактической системе координат.

Для расчета минимального расстояния (r_min) нужно знать:

• Расстояние от звезды до центра галактики, которое можно оценить в 27 000 световых лет;
• Расстояние от Земли до центра галактики, которое можно оценить в 25 000 световых лет;
• Координаты звезды и планеты в галактической системе координат;
• Угол между направлением на планету и центром галактики.

Если координаты и углы неизвестны, то можно приближенно определить значения r_max и r_min.

Приближенный расчет эксцентриситета орбиты

Для приближенного расчета эксцентриситета орбиты можно воспользоваться формулой Коперника:

e = (D — d) / (D + d)

где D — расстояние от Земли до звезды, d — расстояние от Земли до планеты.

Однако, эту формулу можно использовать лишь приближенно, так как в ней не учитываются многие факторы, такие как начальное расстояние, углы наклона и вращения планеты и многие другие.

Вывод

Эксцентриситет орбиты планеты является важным параметром, который показывает, насколько округлой или вытянутой является орбита планеты вокруг своей звезды. Его можно рассчитать по формуле, которая учитывает максимальное и минимальное расстояния от планеты до своей звезды. Также, можно воспользоваться приближенной формулой Коперника, когда необходимо быстро рассчитать эксцентриситет орбиты.

From Wikipedia, the free encyclopedia

In astrodynamics, the orbital eccentricity of an astronomical object is a dimensionless parameter that determines the amount by which its orbit around another body deviates from a perfect circle. A value of 0 is a circular orbit, values between 0 and 1 form an elliptic orbit, 1 is a parabolic escape orbit (or capture orbit), and greater than 1 is a hyperbola. The term derives its name from the parameters of conic sections, as every Kepler orbit is a conic section. It is normally used for the isolated two-body problem, but extensions exist for objects following a rosette orbit through the Galaxy.

Definition[edit]

In a two-body problem with inverse-square-law force, every orbit is a Kepler orbit. The eccentricity of this Kepler orbit is a non-negative number that defines its shape.

The eccentricity may take the following values:

• circular orbit: e = 0
• elliptic orbit: 0 < e < 1
• parabolic trajectory: e = 1
• hyperbolic trajectory: e > 1

The eccentricity e is given by^[1]

where E is the total orbital energy, L is the angular momentum, m_red is the reduced mass, and the coefficient of the inverse-square law central force such as in the theory of gravity or electrostatics in classical physics:

( is negative for an attractive force, positive for a repulsive one; related to the Kepler problem)

or in the case of a gravitational force:^[2]: 24

where ε is the specific orbital energy (total energy divided by the reduced mass), μ the standard gravitational parameter based on the total mass, and h the specific relative angular momentum (angular momentum divided by the reduced mass).^{[2]: 12–17}

For values of e from 0 to 1 the orbit’s shape is an increasingly elongated (or flatter) ellipse; for values of e from 1 to infinity the orbit is a hyperbola branch making a total turn of 2 arccsc(e), decreasing from 180 to 0 degrees. Here, the total turn is analogous to turning number, but for open curves (an angle covered by velocity vector). The limit case between an ellipse and a hyperbola, when e equals 1, is parabola.

Radial trajectories are classified as elliptic, parabolic, or hyperbolic based on the energy of the orbit, not the eccentricity. Radial orbits have zero angular momentum and hence eccentricity equal to one. Keeping the energy constant and reducing the angular momentum, elliptic, parabolic, and hyperbolic orbits each tend to the corresponding type of radial trajectory while e tends to 1 (or in the parabolic case, remains 1).

For a repulsive force only the hyperbolic trajectory, including the radial version, is applicable.

For elliptical orbits, a simple proof shows that yields the projection angle of a perfect circle to an ellipse of eccentricity e. For example, to view the eccentricity of the planet Mercury (e = 0.2056), one must simply calculate the inverse sine to find the projection angle of 11.86 degrees. Then, tilting any circular object by that angle, the apparent ellipse of that object projected to the viewer’s eye will be of the same eccentricity.

Etymology[edit]

The word “eccentricity” comes from Medieval Latin eccentricus, derived from Greek ἔκκεντρος ekkentros “out of the center”, from ἐκ- ek-, “out of” + κέντρον kentron “center”. “Eccentric” first appeared in English in 1551, with the definition “…a circle in which the earth, sun. etc. deviates from its center”.^{[citation needed]} In 1556, five years later, an adjectival form of the word had developed.

Calculation[edit]

The eccentricity of an orbit can be calculated from the orbital state vectors as the magnitude of the eccentricity vector:

where:

• e is the eccentricity vector (“Hamilton’s vector”).^{[2]: 25, 62–63}

For elliptical orbits it can also be calculated from the periapsis and apoapsis since and where a is the length of the semi-major axis, the geometric-average and time-average distance.^{[2]: 24–25 [failed verification]}

where:

• r_a is the radius at apoapsis (also “apofocus”, “aphelion”, “apogee”), i.e., the farthest distance of the orbit to the center of mass of the system, which is a focus of the ellipse.
• r_p is the radius at periapsis (or “perifocus” etc.), the closest distance.

The eccentricity of an elliptical orbit can also be used to obtain the ratio of the apoapsis radius to the periapsis radius:

For Earth, orbital eccentricity e ≈ 0.01671, apoapsis is aphelion and periapsis is perihelion, relative to the Sun.

For Earth’s annual orbit path, the ratio of longest radius (r_a) / shortest radius (r_p) is

Examples[edit]

Eccentricities of Solar System bodies

Object	eccentricity
Triton	0.00002
Venus	0.0068
Neptune	0.0086
Earth	0.0167
Titan	0.0288
Uranus	0.0472
Jupiter	0.0484
Saturn	0.0541
Moon	0.0549
1 Ceres	0.0758
4 Vesta	0.0887
Mars	0.0934
10 Hygiea	0.1146
Makemake	0.1559
Haumea	0.1887
Mercury	0.2056
2 Pallas	0.2313
Pluto	0.2488
3 Juno	0.2555
324 Bamberga	0.3400
Eris	0.4407
Nereid	0.7507
Sedna	0.8549
Halley’s Comet	0.9671
Comet Hale-Bopp	0.9951
Comet Ikeya-Seki	0.9999
C/1980 E1	1.057
ʻOumuamua	1.20[a]
2I/Borisov	3.5[b]

The eccentricity of Earth’s orbit is currently about 0.0167; its orbit is nearly circular. Venus and Neptune have even lower eccentricities. Over hundreds of thousands of years, the eccentricity of the Earth’s orbit varies from nearly 0.0034 to almost 0.058 as a result of gravitational attractions among the planets.^[3]

The table lists the values for all planets and dwarf planets, and selected asteroids, comets, and moons. Mercury has the greatest orbital eccentricity of any planet in the Solar System (e = 0.2056). Such eccentricity is sufficient for Mercury to receive twice as much solar irradiation at perihelion compared to aphelion. Before its demotion from planet status in 2006, Pluto was considered to be the planet with the most eccentric orbit (e = 0.248). Other Trans-Neptunian objects have significant eccentricity, notably the dwarf planet Eris (0.44). Even further out, Sedna, has an extremely-high eccentricity of 0.855 due to its estimated aphelion of 937 AU and perihelion of about 76 AU.

Most of the Solar System’s asteroids have orbital eccentricities between 0 and 0.35 with an average value of 0.17.^[4] Their comparatively high eccentricities are probably due to the influence of Jupiter and to past collisions.

The Moon’s value is 0.0549, the most eccentric of the large moons of the Solar System. The four Galilean moons have an eccentricity of less than 0.01. Neptune’s largest moon Triton has an eccentricity of 1.6×10⁻⁵ (0.000016),^[5] the smallest eccentricity of any known moon in the Solar System;^{[citation needed]} its orbit is as close to a perfect circle as can be currently^[when?] measured. However, smaller moons, particularly irregular moons, can have significant eccentricity, such as Neptune’s third largest moon Nereid (0.75).

Comets have very different values of eccentricity. Periodic comets have eccentricities mostly between 0.2 and 0.7,^[6] but some of them have highly eccentric elliptical orbits with eccentricities just below 1; for example, Halley’s Comet has a value of 0.967. Non-periodic comets follow near-parabolic orbits and thus have eccentricities even closer to 1. Examples include Comet Hale–Bopp with a value of 0.995^[7] and comet C/2006 P1 (McNaught) with a value of 1.000019.^[8] As Hale–Bopp’s value is less than 1, its orbit is elliptical and it will return.^[7] Comet McNaught has a hyperbolic orbit while within the influence of the planets,^[8] but is still bound to the Sun with an orbital period of about 10⁵ years.^[9] Comet C/1980 E1 has the largest eccentricity of any known hyperbolic comet of solar origin with an eccentricity of 1.057,^[10] and will eventually leave the Solar System.

ʻOumuamua is the first interstellar object found passing through the Solar System. Its orbital eccentricity of 1.20 indicates that ʻOumuamua has never been gravitationally bound to the Sun. It was discovered 0.2 AU (30000000 km; 19000000 mi) from Earth and is roughly 200 meters in diameter. It has an interstellar speed (velocity at infinity) of 26.33 km/s (58900 mph).

Mean eccentricity[edit]

The mean eccentricity of an object is the average eccentricity as a result of perturbations over a given time period. Neptune currently has an instant (current epoch) eccentricity of 0.0113,^[11] but from 1800 to 2050 has a mean eccentricity of 0.00859.^[12]

Climatic effect[edit]

Orbital mechanics require that the duration of the seasons be proportional to the area of Earth’s orbit swept between the solstices and equinoxes, so when the orbital eccentricity is extreme, the seasons that occur on the far side of the orbit (aphelion) can be substantially longer in duration. Northern hemisphere autumn and winter occur at closest approach (perihelion), when Earth is moving at its maximum velocity—while the opposite occurs in the southern hemisphere. As a result, in the northern hemisphere, autumn and winter are slightly shorter than spring and summer—but in global terms this is balanced with them being longer below the equator. In 2006, the northern hemisphere summer was 4.66 days longer than winter, and spring was 2.9 days longer than autumn due to the Milankovitch cycles.^[13][14]

Apsidal precession also slowly changes the place in Earth’s orbit where the solstices and equinoxes occur. This is a slow change in the orbit of Earth, not the axis of rotation, which is referred to as axial precession. Over the next 10000 years, the northern hemisphere winters will become gradually longer and summers will become shorter. However, any cooling effect in one hemisphere is balanced by warming in the other, and any overall change will be counteracted by the fact that the eccentricity of Earth’s orbit will be almost halved.^[15] This will reduce the mean orbital radius and raise temperatures in both hemispheres closer to the mid-interglacial peak.

Exoplanets[edit]

Of the many exoplanets discovered, most have a higher orbital eccentricity than planets in the Solar System. Exoplanets found with low orbital eccentricity (near-circular orbits) are very close to their star and are tidally-locked to the star. All eight planets in the Solar System have near-circular orbits. The exoplanets discovered show that the Solar System, with its unusually-low eccentricity, is rare and unique.^[16] One theory attributes this low eccentricity to the high number of planets in the Solar System; another suggests it arose because of its unique asteroid belts. A few other multiplanetary systems have been found, but none resemble the Solar System. The Solar System has unique planetesimal systems, which led the planets to have near-circular orbits. Solar planetesimal systems include the asteroid belt, Hilda family, Kuiper belt, Hills cloud, and the Oort cloud. The exoplanet systems discovered have either no planetesimal systems or one very large one. Low eccentricity is needed for habitability, especially advanced life.^[17] High multiplicity planet systems are much more likely to have habitable exoplanets.^[18][19] The grand tack hypothesis of the Solar System also helps understand its near-circular orbits and other unique features.^{[20][21][22][23][24][25][26][27]}

See also[edit]

• Equation of time

Footnotes[edit]

References[edit]

Further reading[edit]

• Prussing, John E.; Conway, Bruce A. (1993). Orbital Mechanics. New York: Oxford University Press. ISBN 0-19-507834-9.

External links[edit]

• World of Physics: Eccentricity
• The NOAA page on Climate Forcing Data includes (calculated) data from Berger (1978), Berger and Loutre (1991)^{[permanent dead link]}. Laskar et al. (2004) on Earth orbital variations, Includes eccentricity over the last 50 million years and for the coming 20 million years.
• The orbital simulations by Varadi, Ghil and Runnegar (2003) provides series for Earth orbital eccentricity and orbital inclination.
• Kepler’s Second law’s simulation

Сегодня речь пойдет о конфигурации планет.

Конфигурация — характерное взаимное положение Солнца, планет, других небесных тел Солнечной системы на небесной сфере.

Будем называть планеты нижними, если они расположены ближе к Солнцу, чем Земля. Остальные планеты будут верхними – они расположены дальше нашей планеты от Солнца.

Планета может расположиться так, что Земля, Солнце и указанная планета находятся на одной линии. При этом может оказаться, что Солнце расположилось между Землей и рассматриваемой планетой. Такое расположение будем называть верхним соединением. Если же планета оказалась между Землей и Солнцем – то это уже нижнее соединение. Также может быть, что Земля находится между верхней планетой и Солнцем – тогда речь пойдет о противостоянии, или оппозиции.

Элонгация — одна из конфигураций планет, такое положение планеты, при котором её угловое расстояние от Солнца максимально для земного наблюдателя. Различают восточную и западную элонгацию (планета находится, соответственно, к востоку и к западу от Солнца). Об элонгации имеет смысл говорить только для Венеры и Меркурия; наилучшие условия для наблюдения этих планет наступают именно вблизи элонгаций. Из-за того, что орбиты планет не вполне круговые, угловое расстояние от Солнца в момент элонгации может быть разным, для Меркурия — от до , для Венеры — около .

Квадратура — в астрономии такая конфигурация Луны или верхней планеты (то есть планеты, более удалённой от Солнца, чем Земля) относительно Земли и Солнца, когда угол планета-Земля-Солнце равен . Если светило при этом находится к востоку от Солнца, конфигурация называется восточной квадратурой, к западу — западной квадратурой.

Сидерический период – это время совершения полного оборота какого-либо тела (планеты, кометы, астероида или искусственного спутника) вокруг главного тела (Солнца или др. планеты для спутника планеты) относительно неподвижных звёзд. Сидерический период также называют годом. Например, Меркурианский год, Юпитерианский год, и т. п.

Синодический же период – это время наблюдения с Земли совершения полного оборота планеты вокруг Солнца или Луны (искусственного спутника) вокруг Земли относительно Солнца ; промежуток времени между двумя последовательными соединениями Луны или какой-нибудь планеты Солнечной системы с Солнцем при наблюдении за ними с Земли. При этом соединения планет с Солнцем должны происходить в фиксированном линейном порядке, что существенно для внутренних планет: например, это будут последовательные верхние соединения, когда планета проходит за Солнцем.

Будем помнить также и о том, что орбиты планет не круговые. Это эллипсы, причем Солнце находится в одном из главных фокусов орбиты планеты.

Перигелий — ближайшая к Солнцу точка орбиты планеты или иного небесного тела Солнечной системы.

Антонимом перигелия является афелий (апогелий) — наиболее удалённая от Солнца точка орбиты. Воображаемую линию между афелием и перигелием называют линией апсид.

Названия апоцентров меняются: эти точки получают конкретные наименования но названию центрального тела, и некоторые из них приведены в нижеследующей таблице:

Задача 9.

Центральное тело	Греческое название	Наименование перицентра	Наименование апоцентра
Солнце	Гелиос	перигелий	афелий
Земля	Гея	перигей	апогей
Венера	Геспер	перигесперий	апогесперий
Марс	Арес	периарий	апоарий
Сатурн	Кронос	перикроний	апокроний
Луна	Селена	периселений	апоселений

Теперь обратимся к математике и разберемся, что же такое эксцентрисистет. Будем говорить об эксцентриситете эллипса, поскольку нас пока больше интересуют орбиты планет.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение рас­стояния между фокусами этого эллипса к длине его большой оси; обозначив эксцентриситет буквой  , получаем:

Так как , то , т. е. эксцентриситет каждого эллипса меньше единицы. Заметим, что , поэтому

Или

И

Следовательно, эксцентриситет определяется отношением осей эллипса, а отношение осей, в свою очередь, опреде­ляется эксцентриситетом. Таким образом, эксцентриситет характеризует форму эллипса. Чем ближе эксцентриситет к единице, тем меньше , тем меньше, следовательно, отношение  ; значит, чем больше эксцентриситет, тем более эллипс вытянут. В случае окружности  и  .

Радиус перигелия рассчитывается по формуле:

где:

 — большая полуось;

 — эксцентриситет орбиты.

Скорость в перигелии рассчитывается по формуле:

где:

 — гравитационная постоянная;

 — масса Солнца;

 — большая полуось;

 — эксцентриситет орбиты.

Афелийное расстояние рассчитывается по формуле

Следовательно, большая полуось орбиты планеты является средним  ее расстоянием от Солнца

Cидерические периоды обращения и двух планет связаны с их средними расстояниями и от Солнца третьим законом Кеплера

Если  дается в годах   и   — в   астрономических единицах, то, принимая для Земли год и а. е., получим для любой планеты

Средняя орбитальная, или круговая, скорость планеты

всегда выражается в км/с. Так как обычно задается в астрономических единицах (1 а. е.= км) и T— в годах (1 год= с), то

Подставляя , получим:

Где скорость планеты теперь выражена в км/с.

Средняя продолжительность синодического периода обращения планеты связана с сидерическим периодом уравнением синодического движения:  для  верхних планет

для нижних планет

где — сидерический период обращения Земли, равный 1 звездному году.

Задача 1.

Найти перигельное и афелийное расстояния, сидерический и синодический периоды обращения, а также круговую скорость малой планеты Поэзии, если большая полуось и эксцентриситет ее орбиты равны 3,12 а. е. и 0,144.

Перигельное расстояние, а.е.

афелийное расстояние, а.е.

Сидерический период обращения

а так как а. е., то планета верхняя и поэтому ее синодический период обращения вычисляется по формуле

при году:

Круговая скорость, км/с:

Задача 2.

Вычислить перигельное и афелийное расстояния планет Сатурна и Нептуна, если их средние расстояния от Солнца равны 9,54 а. е. и 30,07 а. е., а эксцентриситеты орбит— 0,054 и 0,008.

Перигельное расстояние Сатурна, а.е.

афелийное расстояние Сатурна, а.е.

Перигельное расстояние Нептуна, а.е.

афелийное расстояние Нептуна, а.е.

Ответ: а.е., а.е., а.е., а.е.

Задача 3.

Какая из двух планет — Нептун (а = 30,07 а.е., ) или Плутон (а = 39,52 а. е., )    —     подходит ближе к Солнцу? В скобках даны большая полуось и эксцентриситет орбиты  планеты.

Нужно сравнить перигельные расстояния, причем для Нептуна мы его уже вычислили: а.е. Вычислим для Плутона:

Таким образом, Плутон ближе подходит к Солнцу.

Задача 4.

Найти эксцентриситет орбиты и перигельное расстояние планеты Марса и астероида Адониса, если у Марса большая полуось орбиты равна 1,52 а. е. и наибольшее расстояние от Солнца 1,66 а. е., а у Адониса соответственно 1,97 а. е. и 3,50 а. е. Указать, какая из этих двух планет подходит ближе к Солнцу.

Опять определим перигельные расстояния. Наибольшие расстояния от Солнца нам известны – афелийные. Тогда для Марса

Следовательно, перигельное расстояние Марса равно

Для Адониса

Следовательно, перигельное расстояние Адониса равно

Таким образом, Адонис подходит ближе к Солнцу.

Ответ: , а.е. , , а.е.

Задача 5.

На каком среднем и наибольшем гелиоцентрическом расстоянии движутся малые планеты Икар и Симеиза, если у Икара перигельное расстояние и эксцентриситет орбиты равны 0,187 а. е. и 0,827, а у Симеизы — 3,219 а. е. и 0,181? У какой из этих планет радиус-вектор изменяется в больших пределах, абсолютно и относительно?

Так как афелийное расстояние у Симеизы больше, то радиус-вектор ее длиннее (абсолютно). Но, так как , то относительно радиус-вектор Икара больше изменяется.

Задача 6.

Вычислить периоды обращения вокруг Солнца планеты Венеры и астероида Европы, у которых средние гелиоцентрические расстояния соответственно равны 0,723 а. е. и 3,10 а. е.

Сидерический период Венеры равен:

Или 224,5 суток.

Сидерический период астероида Европы равен:

Ответ: сидерический период Венеры равен 0,615 года или 224,5 суток, а у Европы 5,458 года.

Задача 7.

Определить периоды обращения вокруг Солнца малой планеты Аполлона и кометы Икейи, если обе они проходят вблизи Солнца почти на одинаковых расстояниях, равных у Аполлона 0,645 а. е., а у кометы 0,633 а. е., но их орбиты имеют эксцентриситеты 0,566 и 0,9933 соответственно.

Определим большие полуоси орбит Аполлона и кометы Икейи:

Тогда сидерический период Аполлона

Тогда сидерический период Икейи

Ответ: года, лет.

Задача 8.

Первый спутник планеты Юпитера — Ио обращается вокруг нее за 42ч28м на среднем расстоянии в 421 800 км. С какими периодами обращаются вокруг Юпитера его спутники Европа и Ганимед, большие полуоси орбит которых равны 671,1 тыс. км и 1070 тыс. км?

Для спутников справедлив закон Кеплера. Применим его для Европы:

Период 42ч28м= ч.

А теперь то же самое для Ганимеда:

Ответ: Период Европы 85,23 ч, или 3^д 55, период Ганимеда 171,59 ч, или 7^д 15

Задача 9.

Найти средние расстояние от Сатурна его спутников Мимаса и Реи, обращающихся вокруг планеты с периодами в 22ч37м и 4^д,518. Самый крупный спутник планеты — Титан, обращается за 15^д,945 по орбите с большой полуосью в 1221 тыс. км.

Переведем периоды в часы: период Мимаса 22,62 ч, период Реи 108,43 ч, период Титана 382, 68 ч.

Применяем закон Кеплера для Титана и Мимаса:

То же для Реи:

Ответ: большая полуось Мимаса 185,27 тыс. км, Реи 526,7 тыс. км.

Эксцентриситет (обозначается e или ε) входит в шестёрку кеплеровских элементов орбиты. Наряду с большой полуосью он определяют форму орбиты.

Определение эксцентриситета

Первый закон Кеплера гласит о том, что орбиты любой планеты Солнечной системы представляет собой эллипс. Эксцентриситет определяет, насколько орбита отлична от окружности. Он равен отношению расстояния от центра эллипса (c) до его фокуса большой полуоси (a).

У окружности фокус совпадает с центром, т.е. c = 0. Также любого эллипса c<a. Таким образом, при ε = 0 имеет форму окружности, при 0< ε< 1 – эллипса. При ε = 1 орбита является параболой, при ε > 1 – гиперболой. То есть, объект, орбита которого имеет эксцентриситет, равный или больший единицы, уже не обращается вокруг другого объекта. Примером тому являются некоторые кометы, которые, однажды, посетив Солнце, больше никогда к нему не вернуться. При эксцентриситете, равном бесконечности орбита представляет собой прямую линию.

Эксцентриситеты объектов Солнечной Системы

В нашей системе орбиты планет ничем не примечательны. Самой «круговой» орбитой обладает Венера. Её афелий всего-лишь на 1,4 млн. км.больше перигелия, а эксцентриситет равен 0,007 (у Земли – 0,016). По довольно вытянутой орбите движется Плутон. Обладая ε = 0,244, он временами приближается к Солнцу даже ближе чем Нептун. Однако, поскольку Плутон не так давно попал в разряд карликовых планет, самую вытянутую орбит среди планет теперь имеет Меркурий, обладающий ε = 0,204.

Среди карликовых планет наиболее примечательна Седна. Обладая ε = 0,86, она делает полный оборот вокруг Солнца почти за 12 тысяч лет, удаляясь от неё в афелии более чем на тысячу астрономический единиц. Однако даже это несравнимо с параметрами орбит долгопериодических комет. Периоды их обращения порой исчисляются миллионами лет, а многих из них и вовсе никогда не вернутся к Солнцу – т.е. обладают эксцентриситетом, большем 1. Облако Оорта может содержать триллионы комет, удалённых от Солнца на 50-100 тысяч астрономических единиц (0,5 – 1 световых лет). На таких расстояниях на нихмогут влиять другие звёзды и галактические приливные силы. Поэтому такие кометы могут обладать очень непредсказуемыми и непостоянными орбитами с самими различными эксцентриситетами.

Наконец, самым интересным является то, что даже Солнце обладает совсем ни круговой орбитой, как это может показаться на первый взгляд. Как известно, Солнце движется вокруг центра Галактики, проделывая свой путь за 223 млн. лет. Причём, из-за бесчисленного взаимодействия со звездами она получила довольно ощутимый эксцентриситет, равный 0,36.

Эксцентриситеты в других системах

Открытие других солнечных систем неизбежно влечёт открытие планет с очень причудливыми параметрами орбит. Примером тому служат эксцентричные юпитеры, газовые гиганты с довольно высокими эксцентриситетами. В системах, имеющие такие планеты невозможно существование планет, подобных Земле. Они неизбежно упадут на гиганты или же статут их спутниками.
Среди обнаруженных на данный момент эксцентричных юпитеров самым большим эксцентриситетом обладает HD 80606b. Он движется вокруг звезды чуть меньшей, чем наше Солнце. Эта планета в перигелии приближается к звезде в 10 раз ближе, чем Меркурий к Солнцу, тогда как в афелии она удаляется от неё почти на астрономическую единицу. Таким образом, она имеет эксцентриситет 0,933.

Стоит отметить, что хоть данная планета и пересекает зону жизни, ни о каких видах привычной биосферы не может идти и речи. Её орбита создаёт на планете экстремальный климат.За короткий период сближения со звездой температура её атмосферы за считанные часы меняется на сотни градусов, в результате чего скорость ветров достигают многих километров в секунду. Подобными условиями обладают прочие планеты с высокими коэффициентами. Тот же Плутон, к примеру, при приближение к Солнцу приобретает обширную атмосферу, которая оседает в виде снега при удалении. В тоже время все Землеподобные планеты обладают орбитами, близкими к круговым. Поэтому эксцентриситет можно назвать одним из параметров, определяющим возможность наличия органической жизни на планете.