Как найти экспериментальное значение

The concept of experimental value is important in scientific experiments. Experimental value consists of the measurements taken during an experimental run. When taking experiment measurements, the goal is to arrive at a value that is accurate and precise. Accuracy relates to how close a single measurement is to the true theoretical value, while precision relates to how close the values of the measurements are to one another. For this reason, there are, at a minimum, three ways of calculating experimental value.

A Simple Experiment’s Experimental Value Is the Measurement Taken

Sometimes experiments are designed to be simple and quick, and only one measurement is taken. That one measurement is the experimental value.

Complex Experiments Require an Average

Most experiments are designed to be more advanced than the simple experiment type. These experiments often involve conducting several trial runs, which means more than one experimental value is recorded. During these types of experiments, taking the average of the recorded results is understood to be the experimental value.

The formula for the experimental value of a set of five numbers adds all five together and then divides the total by the number 5. For example, to calculate the experimental value for an experiment with results of 7.2, 7.2, 7.3, 7.5, 7.7, 7.8 and 7.9, add them all together first to arrive at a total value of 52.6 and then divide by the total number of trials – 7 in this case. Thus, 52.6 ÷ 7 = 7.5142857 rounded to the nearest 10th gives the experimental value of 7.5.

Calculating Experimental Value Using the Percentage Error Formula

The percentage error formula, which is one of the calculations involved in error analysis, is defined as the comparison between the experimental value compared to the theoretical value. The accuracy of the result reveals how closely the experimental value is to the theoretical value.

The theoretical value is obtained from a scientific table and refers to the universally accepted value of a measurement, as in body temperature being 98.6 degrees Fahrenheit. The error analysis percentage error formula reveals how the experiment results deviate from expectations. Consequently, it helps determine the most significant errors and what effect those errors have on the final result.

The percentage error formula was devised to determine the precision of calculations, and it takes the form of:

text{Percent Error}=frac{text{Experimental Value}-text{Theoretical Value}}{text{Theoretical Value}}times 100

Rearranging this formula gives the experimental value. The closer the percent error is to 0, the more accurate are the experimental results. A number farther away from 0 indicates there are several instances of error – whether human error or equipment error – which could make the results inaccurate and imprecise.

For example, in an experiment that measures body temperature with a percent error of 1, the formula looks like:

It becomes:

Calculating further, the formula gives :

This illustrates how much error there is in the conduct of the experiment, as already hinted at how far the percent error had been from the value of 0. Had the percent error been 0, the results would have been perfect, and the experimental value would have matched the theoretical value at exactly 98.6.

Концепция экспериментального значения важна в научных экспериментах. Экспериментальное значение состоит из измерений, выполненных во время экспериментального прогона. При проведении экспериментальных измерений целью является достижение точного и точного значения. Точность относится к тому, насколько близко одно измерение к истинному теоретическому значению, в то время как точность относится к тому, насколько близки значения измерений друг к другу. По этой причине существует, как минимум, три способа расчета экспериментальной ценности.

Экспериментальная ценность простого эксперимента – результат измерения

Иногда эксперименты предназначены для того, чтобы быть простыми и быстрыми, и проводится только одно измерение. Это одно измерение является экспериментальной величиной.

Сложные эксперименты требуют среднего

Большинство экспериментов предназначены для более продвинутых, чем простой тип эксперимента. Эти эксперименты часто включают проведение нескольких пробных запусков, что означает, что записано более одного экспериментального значения. В ходе экспериментов такого типа под средним значением зарегистрированных результатов понимается экспериментальное значение.

Формула для экспериментального значения набора из пяти чисел складывает все пять вместе, а затем делит общее число на число 5. Например, для вычисления экспериментального значения для эксперимента с результатами 7.2, 7.2, 7.3, 7.5, 7.7, 7.8 и 7.9, сначала сложите их все вместе, чтобы получить общее значение 52, 6, а затем разделите на общее количество испытаний – 7 в этом случае. Таким образом, 52, 6 ÷ 7 = 7, 5142857, округленное до ближайшего десятого, дает экспериментальное значение 7, 5.

Расчет экспериментального значения с использованием формулы процентной ошибки

Формула процентной ошибки, которая является одним из вычислений, включенных в анализ ошибок, определяется как сравнение экспериментального значения с теоретическим значением. Точность результата показывает, насколько экспериментальная величина близка к теоретической.

Теоретическое значение получено из научной таблицы и относится к общепринятому значению измерения, например, при температуре тела 98, 6 градусов по Фаренгейту. Формула процентной ошибки анализа ошибок показывает, как результаты эксперимента отличаются от ожидаемых. Следовательно, это помогает определить наиболее существенные ошибки и их влияние на конечный результат.

Формула процентной погрешности была разработана для определения точности вычислений и имеет вид:

Перестановка этой формулы дает экспериментальное значение. Чем ближе процентная ошибка к 0, тем точнее результаты эксперимента. Число, удаленное от 0, указывает на наличие нескольких случаев ошибок – будь то человеческая ошибка или ошибка оборудования – которые могут сделать результаты неточными и неточными.

Например, в эксперименте, который измеряет температуру тела с процентной ошибкой 1, формула выглядит как 1 = (|| ÷ 98, 6) х 100. Она становится 1/100 = 0, 01 = || ÷ 98, 6. При дальнейшем расчете формула дает 0, 986 = | Экспериментальное значение – 98, 6 |. Другими словами, экспериментальное значение в упрощенном виде становится 98, 6 +/- 0, 986, потому что экспериментальное значение = теоретическое значение +/- ошибка.

То, что экспериментальное значение находится в диапазоне от 97, 614 до 99, 586, показывает, насколько велика ошибка при проведении эксперимента, как уже указывалось на том, как далеко была процентная ошибка от значения 0. Если бы процентная ошибка была равна 0, результаты были бы идеальными, и экспериментальное значение соответствовало бы теоретическому значению ровно 98, 6.

Найденное экспериментальное значение

Cтраница 1

Найденные экспериментальные значения действительно ложатся на прямую, проходящую через начало координат.
 [2]

Найденные экспериментальные значения частот собственных колебаний относятся к невращающейся лопатке. Фактор вращения может быть оценен поправкой в виде слагаемого BQ2 на основании формулы ( 163), причем коэффициент В берется как эмпирический, определяемый на основании расчетов для различных типов лопаток.
 [3]

Полученные таким образом значения фононнои теплопроводности сплава и найденные экспериментальные значения электросопротивления сплава и чистого металла позволяют определить фононную теплопроводность чистого металла.
 [4]

Для введения поправки на трение необходимо для каждого найденного экспериментального значения N найти угловую скорость цилиндра на кривой трения и уменьшить величину каждого груза, соответствующего этим значениям N на Ртр при данной угловой скорости вращения цилиндра. Кривая 2, полученная в результате проделанной операции, может быть использована для вычисления величины вязкости.
 [5]

Отсюда видно, что ( Т – t) l / z; найденное экспериментальное значение этой величины равно 273 16 и следовательно, температура по абсолютной шкале, для которой мы применяем символ Т, на 273 16 больше температур в градусах Цельсия.
 [6]

Расчет содержания серы в реактивных топливах и осветительных керосинах по формуле ( 137) дает разницу между вычислениями и найденными экспериментальными значениями около I мм для 75 образцов.
 [7]

Отсутствие совпадений составов исходной смеси и сополимеров в системе координат Л / j0 – MI MI дает указание на то, что Р есть величина отрицательная. Учитывая ошибки опыта следует найденное экспериментальное значение Р рассматривать как приближенное.
 [9]

Для точки плавления кадмия найденные экспериментальные значения лежат в пределах 320 7 – 321 01; в современных справочниках она принимается равной 320 9 С. Цифровые значения для скрытой теплоты плавления кадмия, найденные различными исследователями, резко расходятся между собой.
 [10]

Кривые снижения щелочности удовлетворяют уравнению ( 2) при различных значениях К. При этом значении К, исходная щелочность масла С0 3 4 мг КОН должна была снизиться к концу испытания до значения С10, 2 0 мг КОН. Между тем, найденные экспериментальные значения были значительно ниже, что указывает на более высокие скорости расхода.
 [11]

Вероятно, это связанО С тем, что на этом участке превалирующее значение имеет турбулентная диффузия. Аналогичная картина, но менее ясно выраженная, имеет место и для труб других диаметров. Пунктиром показана линия, соответствующая уравнению Аксельрода, которое даст существенное отклонение от найденных экспериментальных значений.
 [12]

Последние работы по оценке вязкости разрушения стеклопластиков проведены Оуэном с сотрудниками. При оценке Кс они учитывали развитие зоны локальных повреждений ( псевдопластической зоны) перед вершиной трещины и делали поправку на нее для найденных экспериментальных значений Кс – Они получили значение Кс, равное примерно 10 МН / м3 / 2 для материалов на основе стекломата из рубленных жгутов и около 15 МН / м3 – для стеклотекстолитов и установили, что введение в связующее до 50 % пластификаторов практически не влияет на величину Кс – Бимон и Филлипс [72] показали, что развитие зоны локальных повреждений перед вершиной трещины обусловлено отслаиванием волокон от матрицы. Оуэн и Бишоп [138] установили, что с точки зрения механики разрушения эту зону следует учитывать аналогично локальной зоне пластических деформаций в металлах.
 [13]

Последние работы по оценке вязкости разрушения стеклопластиков проведены Оуэном с сотрудниками. При оценке Кс они учитывали развитие зоны локальных повреждений ( псевдопластической зоны) перед вершиной трещины и делали поправку на нее для найденных экспериментальных значений Кс – Они получили значение Кс, равное примерно 10 МН / м3 / 2 для материалов на основе стекломата из рубленных жгутов и около 15 МН / м3 – для стеклотекстолитов и установили, что введение в связующее до 50 % пластификаторов практически не влияет на величину Кс. Бимон и Филлипс [72] показали, что развитие зоны локальных повреждений перед вершиной трещины обусловлено отслаиванием волокон от матрицы. Оуэн и Бишоп [138] установили, что с точки зрения механики разрушения эту зону следует учитывать аналогично локальной зоне пластических деформаций в металлах.
 [14]

Содержание железа Б ванне травления влияет на скорость процесса и глубину перетрава и поэтому в производственных условиях оно должно контролироваться. Отношение содержания железа в рабочем растворе к площади поверхности образцов ( А мг / см2), отнесенное к уменьшению массы пластин ( gi-g 2) ( мг / см2) служит показателем глубины перетрава стальных пластин. Если глубина перетрава близка к нулю, то отношение aA / ( gi-g 2) находится в пределах 0 52 – 0 62 в зависимости от степени окисления железа в слое гидрокси-дов. Чем сильнее найденное экспериментальное значение а отклоняется в большую сторону, тем выше перетрав. Кинетика изменения значения а в процессе травления позволяет уточнить режим обработки и состав рабочего раствора.
 [15]

Страницы:  

   1

   2

,
(17)

где n – общее число
экспериментальных точек;

r – число разрядов
гистограммы (включая полубесконечные
разряды);

–
экспериментальная частота попадания
величины x в i-ый
разряд (см. ф-лу (9));

P_i
– вероятность попадания величины x
в i-ый разряд при
гипотезе H₀.

Для экспоненциального закона распределения
P_i
определяется по формуле:

,
(18)

Получим значение
.

Гипотетическое значение

при выбранном уровне значимости

и числе степеней свободы
,
согласно условию

>
)
=

равно
=14,7.

Таким образом,

<

и, следовательно, гипотеза H₀
по критерию согласия

является правдоподобной.

Теперь проверим ту же самую гипотезу с
помощью критерия согласия Колмогорова.
Максимальное различие между гипотетической
и эмпирической функциями распределения
в этом случае равно:

,

откуда получаем экспериментальное
значение критерия Колмогорова:

.

Гипотетическое значение того же самого
критерия при уровне значимости

(по таблице Колмогорова) равно
.
Таким образом,
<

и, следовательно, гипотеза H₀
по критерию Колмогорова также является
правдоподобной.

Рис. 1

Рис. 2

14

Концепция последовательного эксперимента

Смысл этой концепции заключается в том, что нужно использовать последовательную – шаговую стратегию. После каждого шага должен производится анализ результатов, и на основании этого анализа следует принимать решение о дальнейшей деятельности.

Концепция многофакторного эксперимента

Смысл концепции заключается в оптимальном использовании пространства независимых переменных. Пусть имеется k-мерное факторное пространство, в котором все факторы линейно влияют на выходной параметр. Для определения коэффициентов, характеризующих это влияние, можно варьировать каждую переменную по очереди, тогда дисперсия оценки коэффициентов будет рассчитываться по 2n измерениям (n – количество параллельных наблюдений). Если же варьировать все переменные сразу, чтобы каждый эффект оценивался по всей совокупности опытов, то дисперсия оценки коэффициентов будет производиться по (k+1)n измерениям, что приведет к ее уменьшению, а, следовательно, повышению точности.

Концепция редукции (свертки) информации

После того как эксперимент поставлен и получены его результаты, возникает задача представить эти результаты в компактной форме. Результат каждого эксперимента несвободен от некоторого элемента неопределенности. Для того, чтобы оценить элемент неопределенности с помощью числа, обращаются к статистическому анализу результатов наблюдений. Например, если рассматривается выборка, взятая мз нормально распределенной генеральной совокупности, то достаточно привести три величины, среднее, выборочную дисперсию и число наблюдений. Одной из задач ГОСТа является стандартизация процесса свертки информации для того, чтобы сделать совместимыми результаты научных исследований, проведенных в разных лабораториях в различное время.

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ О СВОЙСТВАХ ЭКСПЕРИМЕНТА

На основании оценок, полученных по выборке после проведения измерений, можно сделать предположения о распределении генеральной совокупности той или иной случайной величины. Такие предположения называются статистическими гипотезами. Чтобы принять или отвергнуть гипотезу, ее необходимо проверить, т.е. сопоставить некоторые статистические показатели, вычисленные по выборке, со значениями этих показателей, определенных в предположении, что проверяемая гипотеза верна. Эти показатели называются критериями проверки (значимости).

При проверке гипотез можно совершить ошибки двух видов. Можно отвергнуть верную гипотезу. Вероятность такой ошибки не больше принятого при проверке уровня значимости q (либо р). Другая ошибка заключается в том, что принимается неверная гипотеза. Вероятность этой ошибки тем меньше, чем выше уровень значимости, т.к. при высоком уровне значимости отвергается большое число гипотез. Одну и ту же статистическую гипотезу можно исследовать при помощи различных критериев проверки. Обычно стараются выбрать тот, у которого при заданном уровне значимости меньше вероятность  принятия неверной гипотезы, другими словами, чем больше мощность критерия 1-

При анализе результатов экспериментов (например, при проверке статистических гипотез о свойствах эксперимента) наиболее часто используются следующие критерии.

• Критерий Фишера (F-критерий)

применяется в случае, когда необходимо проверить гипотезу о фактическом равенстве двух дисперсий нормально распределенной случайной величины. Такие заключения бывают необходимы, в частности, при сравнении точности измерений двумя методами, когда нужно оценить является ли случайным различие дисперсий для одной и той же случайной величины; либо при уточнении вопроса о воспроизводимости эксперимента, когда нужно оценить однородность изменчивости в разных опытах.

По измеренным в ходе опыта значениям вычисляется экспериментальное значение F-критерия, равное отношению двух дисперсий s₁ и s₂ c соответствующими степенями свободы f₁, f₂:

(8)

Причем, дисперсия, стоящая в числителе, должна быть больше дисперсии в знаменателе. Найденное экспериментальное значение F-критерия сравнивают с его критическим значением F_кр , соответствующим максимальному значению отношения двух дисперсий, при котором еще можно считать гипотезу о равенстве рассматриваемых дисперсий справедливой. Критическое значение критерия определяется по соответствующим таблицам исходя из числа степеней свободы дисперсий и заданного уровня значимости. Если F< =F_кр , то гипотеза о равенстве выборочных дисперсий принимается. В противном случае рассматриваемые дисперсии нельзя признать равными.

• Критерий Кохрена (G-критерий)

применяется для оценки однородности нескольких дисперсий при равном числе повторов в каждом эксперименте, в частности, при проверке воспроизводимости эксперимента, состояшего из нескольких опытов.

Для его использования рассчитываются дисперсии экспериментальных значений функции отклика в каждом эксперименте. Очевидно, что недоверие будут вызывать наибольшие значения. Поэтому критерий Кохрена подсчитывается как отношение максимального значения изменчивости среди N опытов к сумме изменчивостей во всех опытах:

(9)

Найденное экспериментальное значение сравнивают с критическим G_kp , представляющим собою максимально возможное значение критерия G, при котором гипотеза об однородности дисперсий может считаться справедливой. Критическое значение определяется исходя из числа сравниваемых дисперсий N, числа параллельных опытов n и заданного уровня значимости. Если G<=G_kp, то «подозрительное» максимальное значение изменчивости не является «инородным». В противном случае эксперимент не является воспроизводимым.

• Критерий Стьюдента (t-критерий)

применяется для проверки гипотезы о равенстве двух выборочных средних значений случайной величины, имеющей нормальный (гауссовский) закон распределения (при n>=30 распределение можно считать практически нормальным , при n<=10 распределение не является нормальным). Типичным является его применение для сопоставления номинального значения параметра с реальным, т.е. измеренным в результате эксперимента.

Для его использования подсчитывают выборочные средние арифметические значения случайной величины х₁ и х₂, соответственно для выборок n₁ и n₂, и их выборочные стандартные отклонения:

(10)

и

Далее подсчитывают величину стандартного отклонения выборочных средних арифметических значений по формуле:

(11)

и величину

(12)

Для случая, когда среднее выборочное сравнивается с математическим ожиданием М(х) генеральной совокупности N, из которой берется выборка n (n<<N), дисперсия средних подсчитывается по формуле:

D_x = D / n^1/2 (13а)

Если генеральная характеристика D неизвестна ( а это наиболее часто встречающийся случай), то берется ее оценка

(13б)

После того, как определены стандартные отклонения выборочных средних арифметических, подсчитывают размах Стьюдента:

(14)

или

(15)

Найденное экспериментальное значение t-критерия сравнивают с критическим, найденным по таблице распределения Стьюдента исходя из заданного критерия значимости и числа степеней свободы f.

Если t<=t_kp, то гипотеза о равенстве выборочных средних арифметических значений принимается, а это значит, что выборки взяты из одной и той же генеральной совокупности.

• Критерий Пирсона (^критерий)

и его применение в общем виде для оценки соответствия экспериментального распределения предполагаемому теоретическому можно проиллюстрировать на следующем примере.

Предположим, что имеется статистический ряд наблюдений над случайной величиной х. Требуется проверить, согласуются ли экспериментальные данные с гипотезой о том, что случайная величина имеет предполагаемый теоретический закон распределения.

Первоначально статистический ряд разбивают на k интервалов и подсчитывают число значений случайной величины Y в каждом интервале. В результате получают экспериментальный ряд частот:

m’₁, m’₂……. m’_k

Следует сразу оговорить, что предпосылкой применения критерия ^ является достаточная заполненность интервалов. На практике рекомендуется иметь в каждом интервале не менее 5… 10 наблюдений. число наблюдений п отдельных интервалах мало, имеет смысл объединить эти интервалы.

Исходя из предполагаемого теоретического закона распределения вычисляют частоты в тех самых интервалах, на которые разбит статистический ряд. В результате получают теоретический ряд частот в k интервалах: m₁, m₂……. m_k

Для проверки согласованости теоретического и экспериментального распределении подсчитывают меру расхождения:

(16)

и число степеней свободы . Число степеней свободы в этом случае равно числу интервалов k минус число ограничений f:

=k–f. (17)

Число ограничений равно числу параметров в рассматриваемом законе распределення, увеличенному на единицу. Например, для гауссовского закона имеются два параметра [M(х) и ()]; в этом случае число ограничений равно трем, а экспоненциальный закон характеризуется одним параметром, т. е. число ограничении для него равно двум.

Для распределения ^ составлены специальные таблицы. Пользуясь этими таблицами, можно для каждого значения ^ и числа степеней свободы v, являющихся входами, определить вероятность Р того, что за счет чисто случайных причин мера расхождения теоретического и экспериментального распределения (16) будет меньше, чем фактически наблюдаемое в данной серии опытов значение ^. Если эта вероятность Р мала (настолько, что событие с такой вероятностью можно считать практически невозможным), то результат опыта следует считать противоречащим гипотезе о том, что закон распределения величины Y является гауссовским. Эту гипотезу следует отбросить, как неправдоподобную. Напротив, если вероятность Р сравнительно велика, можно признать расхождение между теоретическим и экспериментальным распределениями несущественным и отнести его за счет случайных причин. Гипотезу о том, что величина Y распределена по нормальному закону, можно считать в этом случае правдоподобной, по крайней мере не противоречащей экспериментальным данным. В таблице приложения входами являются значение ^ и число степеней свободы v. Числа, стоящие в таблице, представляют соответствующие значения Р.

Насколько мала должна быть вероятность Р для того, чтобы отбросить или пересмотреть гипотезу,— вопрос неопределенный. Он не может быть решен из математических соображений, а должен базироваться на априорных сведениях о физической сущности изучаемого процесса.

ПОРЯДОК ПЕРВИЧНОЙ ОБРАБОТКИ И АНАЛИЗА РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА

С целью повышения достоверности полученных в результате эксперимента значений функции отклика проводят ряд параллельных опытов. Однако при их проведении исследователь должен быть уверен в воспроизводимости эксперимента, т.е. в том, что все полученные в серии параллельных опытов значения функции отклика являются результатом случайного рассеяния, а не результатом доминирующего действия какого-либо неконтролируемого и неуправляемого воздействия, которое может возникнуть при проведении опыта. Если при проведении эксперимента отсутствует такое доминирующее воздействие, то при увеличении числа параллельных опытов распределение экспериментальных значений функции отклика будет подчиняться нормальному закону.

Порядок первичной обработки результатов экспериментов следующий:

1. Проверить результаты измерений на наличие грубой ошибки:

Грубой ошибкой может быть только крайнее значение выборки. Задача сводится к сравнению двух средних значений выборок, одной – без подозреваемого значения, другой – из одного подозреваемого значения. Если два сравниваемых числа нельзя считать равными, то подозреваемое значение действительно является грубой ошибкой и должно быть исключено из дальнейшей статистической обработки.

1. Построить производственное распределение параметров технологического процесса:

• определить максимальное и минимальное значения выборки из n элементов;

• определить количество интервалов k в диапазоне изменения случайной величины в выборке по полуэмпирической формуле:

k = 1 + 3,322lgn, (18)

где n – объем выборки, с округлением до ближайшего целого;

• определить длину каждого интервала;

• в интервалы распределить данные;

• определить количество элементов выборки n_i, попавших в каждый интервал, и относительную частоту попадания случайной величины в соответствующий интервал:

p_i = n_i / n ; (19)

• построить производственное распределение параметра технологического процесса (гистограмму) (см. рис. 2.)