Как найти экстремаль функционала онлайн

Постановка задачи

Данная задача чаще всего формулируется так:

Найти экстремали функционала

J[y]=∫x0x1L(x,y,y′)dxJ [y]=intlimits_{x_0}^{x_1}L (x, y, y’)dx

y(x0)=y0,  y(x1)=y1y(x_0)=y_0,,,y(x_1)=y_1

Шаблон решения

Вычисление производных. Уравнение Эйлера

Уравнение Эйлера для данного функционала:

ddx∂∂y′L(x,y,y′)=∂∂yL(x,y,y′)frac{d}{dx}frac{partial}{partial y’}L(x,y,y’)=frac{partial}{partial y}L(x,y,y’)

Вычисляем производные:

∂∂yL(x,y,y′)frac{partial}{partial y}Lleft(x,y,y’right),

∂∂y′L(x,y,y′)frac{partial}{partial y’}Lleft(x,y,y’right),

ddx∂∂y′L(x,y,y′)frac{d}{dx}frac{partial}{partial y’}Lleft(x,y,y’right)

Выписываем уравнение Эйлера и приводим его к максимально простому виду.

Решение уравнения

Решаем полученное уравнение и выписываем общее решение:

y=y(x,C1,C2)y=y(x,C_1,C_2).

Определение констант

Используя граничные условия, получаем систему для определения постоянных:

{y(x0,C1,C2)=y0y(x1,C1,C2)=y1left{begin{array}{l}
yleft(x_0,C_1,C_2right)=y_0\
yleft(x_1,C_1,C_2right)=y_1
end{array}right.

Решая данную систему, получаем значения констант

C1=C1(x0,x1,y0,y1)C_1=C_1(x_0,x_1,y_0,y_1),

C2=C2(x0,x1,y0,y1)C_2=C_2(x_0,x_1,y_0,y_1).

Уравнение экстремали

Подставляем найденные в предыдущем пункте значения констант в общее решение и получаем уравнение экстремали функционала

y∗(x)=y(x,C1(x0,x1,y0,y1),C2(x0,x1,y0,y1))y_*(x)=y(x,C_1(x_0,x_1,y_0,y_1), C_2(x_0,x_1,y_0,y_1)).

Важный частный случай

Если подинтегральная функция L(x,y,y′)Lleft(x,y,y’right) не зависит от первого аргумента, то уравнение Эйлера имеет первый интеграл

y′∂L(y,y′)∂y′−L(y,y′)=C1y’frac{partial Lleft(y,y’right)}{partial y’}-Lleft(y,y’right)=C_1

Данное выражение определяет дифференциальное уравнение первого порядка, общее решение которого (зависящее от некоторой постоянной C2C_2) совпадает с решением уравнения Эйлера (См. пример 2 ниже).

Примеры

Пример 1

Найти экстремали функционала

J[y]=∫0π/2(4ycos⁡x+y′2−y2)dxJ [y]=intlimits_{0}^{pi/2}(4y cos x+y’^2 – y^2) dx

y(0)=0,  y(π/2)=1y(0)=0,,,y(pi/2)=1.

Решение

1. Уравнение Эйлера для данного функционала имеет вид:

ddx∂∂y′(4ycos⁡x+y′2−y2=∂∂y(4ycos⁡x+y′2−y2){frac{d}{dx} frac{partial }{partial y{‘} }(4ycos x+y{‘} ^{2} -y^{2} =frac{partial }{partial y} (4ycos x+y{‘} ^{2} -y^{2}})

Вычислим производные:

∂∂y(4ycos⁡x+y′2−y2)=4cos⁡x−2y,∂∂y′(4ycos⁡x+y′2−y2)=2y′,frac{partial}{partial y}left(4ycos x+y{‘} ^{2} -y^{2}right)=4cos x-2y,quadfrac{partial}{partial y’}left(4ycos x+y{‘}^{2} -y^{2}right)=2y’,

ddx∂∂y′(4ycos⁡x+y′2−y2)=ddx(2y′)=2y′′.frac{d}{dx}frac{partial}{partial y’}left(4ycos x+y{‘} ^{2} -y^{2}right)=frac{d}{dx}left(2y’right)=2y”.

Таким образом, уравнение может быть записано как

2y′′=4cos⁡x−2y  ⇔  y′′+y=2cos⁡x2y”=4cos x-2y,,Leftrightarrow,,
y”+y=2cos x

1. Уравнение Эйлера является неоднородным ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами.

Общее решение соответствующего однородного уравнения

y0=C1cos⁡x+C2sin⁡x.y_{0} =C_{1} cos x+C_{2} sin x.

Решение неоднородного уравнения ищем в виде

y1=Axcos⁡x+Bxsin⁡x.y_{1} =Axcos x+Bxsin x.

Подстановка в уравнение Эйлера дает

y′′+y=−2Asin⁡x+2Bcos⁡x=2cos⁡x.y”+y=-2Asin x+2Bcos x=2cos x.

Следовательно, A=0A=0 и B=1B=1.

Таким образом, общее решение уравнения Эйлера

y=C1cos⁡x+C2sin⁡x+xsin⁡x.y=C_{1} cos x+C_{2} sin x+xsin x.

1. Используя граничные условия, получаем систему для определения постоянных

{C1cos⁡0+C2sin⁡0+0sin⁡0=0C1cos⁡π/2+C2sin⁡π/2+(π/2)sin⁡π/2=1left{begin{array}{l}
C_{1} cos 0+C_{2} sin 0+0sin 0=0\
C_{1} cos pi/2+C_{2} sin pi/2+left(pi/2right)sin pi/2=1
end{array}right.

Решая данную систему, получим

{C1=0C2+π/2=1⇔{C1=0C2=1−π/2left{begin{array}{l}
C_{1}=0\
C_{2}+pi/2=1
end{array}right.Leftrightarrow left{begin{array}{l}
C_{1}=0\
C_{2}=1-{pi}/{2}
end{array}right.

1. Подставляем найденные в предыдущем пункте значения констант в общее решение и получаем уравнение экстремали функционала JJ

y∗(x)=(x+1−π2)sin⁡x.y_*(x)=left(x+1-frac{pi}{2}right) sin x.

Пример 2

Найти экстремали функционала

J[y]=∫021+y′2ydx,J[y]=intlimits_{0}^{2}frac{sqrt{1+y’^2}}{y}dx,

y(0)=0,  y(2)=4.y(0)=0,,,y(2)=4.

Решение

1, 2. Подинтегральная функция L(x,y,y′)=1+y′2yLleft(x,y,y’right)=frac{sqrt{1+y’^2}}{y} не зависит от переменной xx, поэтому уравнение Эйлера для данного функционала имеет первый интеграл

y′∂∂y′1+y′2y−1+y′2y=C,y’frac{partial }{partial y’}frac{sqrt{1+y’^2}}{y}-frac{sqrt{1+y’^2}}{y}=C,

где CC – некоторая постоянная.

Вычислив частную производную и выполнив элементарные преобразования, получим уравнение

y′=C12y2−1y’=sqrt{frac{C_1^2}{y^2}-1},

где C1=1/CC_1=1/C.

Отсюда следует, что

dx=ydyC12−y2.dx=frac{yd y}{sqrt{C_1^2-y^2}}.

Интегрируя, получим

x=∫ydyC12−y2=−12∫d(C12−y2)C12−y2=−C12−y2+C2.x=intfrac{y d y}{sqrt{C_1^2-y^2}}=-frac{1}{2}intfrac{d (C_1^2-y^2)}{sqrt{C_1^2-y^2}}=-sqrt{C_1^2-y^2}+C_2.

Таким образом, общее решение уравнения Эйлера

y(x)=C12−(x−C2)2.y(x)=sqrt{C_1^2-(x-C_2)^2}.

1. Используя граничные условия, получаем систему для определения постоянных

{0=C12−(0−C2)24=C12−(2−C2)2⇔{C1=±C216=4C2−4⇔{C1=±5C2=5left{begin{array}{l}
0=sqrt{C_1^2-(0-C_2)^2}\
4=sqrt{C_1^2-(2-C_2)^2}
end{array}right.Leftrightarrow left{begin{array}{l}
C_1=pm C_2\
16=4C_2-4end{array}right.
Leftrightarrow left{begin{array}{l}
C_1=pm 5\
C_2=5
end{array}right.

1. Подставляем найденные в предыдущем пункте значения констант в общее решение и получаем уравнение экстремали функционала JJ

y∗(x)=10x−x2.y_*(x)=sqrt{10x-x^2}.

Экстремаль является дугой окружности радиуса 5 с центром в точке (5,0)(5,0).

Пример 3

Важно отметить, что существуют функционалы, у которых нет экстремалей, удовлетворяющих данным граничным условиям.

Найти экстремали функционала

J[y]=∫01(xy+y2−2y2y′)dxJ[y]=intlimits_{0}^{1}(xy+y^2-2y^2y’)d x,

y(0)=y0,  y(1)=y1.y(0)=y_0,,,y(1)=y_1.

Решение

Уравнение Эйлера для данного функционала имеет вид

ddx∂∂y′(xy+y2−2y2y′)=∂∂y(xy+y2−2y2y′)frac{d}{dx} frac{partial }{partial y{‘} } left(xy+y^2-2y^2y’right)=frac{partial }{partial y} left(xy+y^2-2y^2y’right)

Вычислим производные:

∂∂y(xy+y2−2y2y′)=x+2y−4yy′,∂∂y′(xy+y2−2y2y′)=−2y2,frac{partial}{partial y}left(xy+y^2-2y^2y’right)=x+2y-4yy’,quadfrac{partial}{partial y’}left(xy+y^2-2y^2y’right)=-2y^2,

ddx∂∂y′(xy+y2−2y2y′)=ddx(−2y2)=−4yy′.frac{d}{dx}frac{partial}{partial y’}left(xy+y^2-2y^2y’right)=frac{d}{dx}left(-2y^2right)=-4yy’.

Таким образом, уравнение Эйлера может быть записано как

x+2y−4yy′=−4yy′  ⇔  y=−x2x+2y-4yy’=-4yy’,,Leftrightarrow,,
y=-frac{x}{2}

и по сути не является дифференциальным.

Исходный функционал имеет только одну экстремаль y=−x2y=-frac{x}{2}. Поставленная задача имеет решение только если y0=0y_0=0 и y1=−12y_1=-frac{1}{2}.

Тест по теме «Одномерная задача с закрепленными концами»

Вариационное исчисление: примеры и задачи

Вариационное исчисление для чайников

Древнейшей из задач на максимум и минимум является задача отыскания среди плоских замкнутных кривых заданной длины такую, которая охватывает наибольшую площадь (5 в до н.э.) – и это классическая изопериметрическая задача вариационного исчисления. Началось же классическое вариационное исчисление с задачи о кривой наискорейшего спуска (брахистохроне) в 1696 г. с публикации Иоганна Бернулли.

Общие принципы и методы решения задач вариационного исчисления были введены в 18 веке Эйлером и Лангранжем, они же установили тесную связь между ВИ и естествознанием. Далее на протяжении более чем двух столетий они разрабатывались, были найдены помимо необходимых условий первого порядка (уравнений Эйлера-Лагранжа) необходимые и достаточные услвоия второго порядка для сильных и слабых экстремумов.

На этой странице мы рассмотрим примеры с подробным решением следующих типов: простейшая задача вариационного исчисления, задача Больца, изопериметрическая задача, задача со старшими производными. А также научимся находить вариацию и допустимые экстремали функционала. Все это относится к классическому вариационному исчислению.

Смежные задачи вы можете найти в соответствующих разделах: Нелинейное программирование, Многокритериальная оптимизация, Математическое программирование и т.д.

Вариационное исчисление: задачи с решениями

Задача 1. Решить классическую задачу вариационного исчисления:

$$
int_0^1 dot{x}^2 dt to extr, quad x(0)=1, x(1)=0.
$$

Задача 2. Решить задачу Больца

$$
int_0^1 dot{x}^2 dt +alpha x^2(1) to extr, quad x(0)=1.
$$

Задача 3. Решить изопериметрическую задачу

$$
int_0^1 dot{x}^2 dt to extr, int_0^1 x^2 dt =3, quad x(0)=1, x(1)=6.
$$

Задача 4. Решить задачу со старшими производными

$$
int_0^pi (ddot{x}^2+4x^2) dt to extr, quad x(0) = dot x(0)=0, , dot x(pi)=sh(pi).
$$

Задача 5. Найти все экстремали функционала $J(y)$, удовлетворяющие указанным граничным условиям

$$
J(y)=int_0^1 (e^y +xy’)dx, quad y(0)=0, y(1)=1.
$$

Задача 6. Найти все экстремали функционала $J(y)$, удовлетворяющие указанным граничным условиям

$$
J(y)=int_0^1 e^{-x}cdot y” ^2 dx, quad y(0)=0, y'(0)=1, y(1)=e, y'(1)=2e.
$$

Задача 7. Для указанной вариационной задачи записать уравнение Эйлера и найти экстремаль, удовлетворяющую условиям $y(0) = 19, y(1)=30$

$$int_0^1 (1+y’^2)dx.$$

Задача 8. Найти вариацию функционала

$$int_0^1 (x+y’)ln sin y’ dx.$$

Задача 9. Найти все экстремали функционала $J(y)$, удовлетворяющие указанным граничным условиям

$$
J(y)=int_0^{pi/4} (4ysin x +y’^2-y^2)dx, quad y(0)=0, y(pi/4)=0.
$$

Консультации и помощь

Нужно выполнить контрольную работу или задачи по вариационному исчислению и смежным предметам? Нет проблем! Стоимость консультации по решению – от 150 рублей, подробное оформление согласно требованиям методички в Word.

Полезные ссылки

• Вариационное исчисление: задачи, алгоритмы, примеры Крайне удобная для решения задач методичка: для каждого типа задач есть теория, краткий алгоритм и пример решения нескольких задач. Рекомендуем.
• Вариационное исчисление и основы теории управления Краткое учебное пособие с примерами задач по ВИ
• Эльсгольц Л.Э. Вариационное исчисление Классический учебник, теория изложена на простом уровне, множество разобранных примеров по каждому разделу.
• Изопериметрическая задача: теория и примеры решения

Результаты 1-9 из 9 по запросу найти экстремумы функции

---

bold{mathrm{Basic}}	bold{alphabetagamma}	bold{mathrm{ABGamma}}	bold{sincos}	bold{gedivrightarrow}	bold{overline{x}spacemathbb{C}forall}	bold{sumspaceintspaceproduct}	bold{begin{pmatrix}square&square\square&squareend{pmatrix}}	bold{H_{2}O}
square^{2} x^{square} sqrt{square} nthroot[msquare]{square} frac{msquare}{msquare} log_{msquare} pi theta infty int frac{d}{dx} ge le cdot div x^{circ} (square) |square| (f:circ:g) f(x) ln e^{square} left(squareright)^{‘} frac{partial}{partial x} int_{msquare}^{msquare} lim sum sin cos tan cot csc sec alpha beta gamma delta zeta eta theta iota kappa lambda mu nu xi pi rho sigma tau upsilon phi chi psi omega A B Gamma Delta E Z H Theta K Lambda M N Xi Pi P Sigma T Upsilon Phi X Psi Omega sin cos tan cot sec csc sinh cosh tanh coth sech arcsin arccos arctan arccot arcsec arccsc arcsinh arccosh arctanh arccoth arcsech begin{cases}square\squareend{cases} begin{cases}square\square\squareend{cases} = ne div cdot times < > le ge (square) [square] ▭:longdivision{▭} times twostack{▭}{▭} + twostack{▭}{▭} – twostack{▭}{▭} square! x^{circ} rightarrow lfloorsquarerfloor lceilsquarerceil overline{square} vec{square} in forall notin exist mathbb{R} mathbb{C} mathbb{N} mathbb{Z} emptyset vee wedge neg oplus cap cup square^{c} subset subsete superset supersete int intint intintint int_{square}^{square} int_{square}^{square}int_{square}^{square} int_{square}^{square}int_{square}^{square}int_{square}^{square} sum prod lim lim _{xto infty } lim _{xto 0+} lim _{xto 0-} frac{d}{dx} frac{d^2}{dx^2} left(squareright)^{‘} left(squareright)^{”} frac{partial}{partial x} (2times2) (2times3) (3times3) (3times2) (4times2) (4times3) (4times4) (3times4) (2times4) (5times5) (1times2) (1times3) (1times4) (1times5) (1times6) (2times1) (3times1) (4times1) (5times1) (6times1) (7times1) mathrm{Radians} mathrm{Degrees} square! ( ) % mathrm{clear} arcsin sin sqrt{square} 7 8 9 div arccos cos ln 4 5 6 times arctan tan log 1 2 3 – pi e x^{square} 0 . bold{=} +

Subscribe to verify your answer

Subscribe

Sign in to save notes

Sign in

Number Line

Examples

• extreme:points:f(x)=sqrt{x+3}
  

• extreme:points:y=frac{x^2+x+1}{x}
  

• extreme:points:f(x)=x^3
  

• extreme:points:f(x)=ln (x-5)
  

• extreme:points:f(x)=frac{1}{x^2}
  

• extreme:points:y=frac{x}{x^2-6x+8}
  

• Show More

Description

Find functions extreme and saddle points step-by-step

calculus-function-extreme-points-calculator

en

Related Symbolab blog posts

Functions

A function basically relates an input to an output, there’s an input, a relationship and an output. For every input…

Read More

Enter a problem

Save to Notebook!

Sign in

minimize x^4-x

Найти максимум функции одной переменной (y=x(1-x)e^x)

maximize x(1-x)e^x

Найти максимум функции двух переменных (z=5 + 3x – 4y – x^2 + x y – y^2)

maximize 5 + 3x - 4y - x^2 + x y - y^2

Найти минимум функции двух переменных (z=(4 – x^2 – 2y^2)^2)

minimize (4 - x^2 - 2y^2)^2

Найти минимум функции (y= x^5 – 3x^4 + 5) на отрезке ([0,4])

minimize x^5 - 3x^4 + 5 over [0,4]

Найти максимум функции (z=e^x cdot sin(y) ) в области (x^2+y^2=1)

maximize e^x sin y on x^2+y^2=1

Найти максимум функции (v=xyz) в объеме (x^2+2y^2+3z^2<=1)

maximize xyz in x^2+2y^2+3z^2<=1

Найти локальный максимум функции (y=x^5 – 10x^3 + 30x)

local maximum x^5 - 10x^3 + 30x

Найти локальные экстремумы функции (y=sin x^2)

local extrema sin x^2

Найти стационарные точки функции (y=(x^5+x^9-x-1)^3):

stationary points of (x^5+x^9-x-1)^3

Найти стационарные точки функции двух переменных (z=(3x+1)y^3 + x^2 y):

stationary points (3x+1)y^3 + x^2 y

Найти стационарные точки функции (f(t)=sin^2(t)cos(t))

stationary points f(t)=sin^2(t)cos(t)

Найти стационарные точки функции (y=cos(x)) на интервале (|x|<10)

stationary points of cos x with |x|<10

Найти стационарные точки функции (y=(sin t)/t) в окрестности точки (t=4)

stationary point of (sin t)/t near t=4

---

Похожие публикации

2016-03-30 • Просмотров [ 14691 ]

---