Как найти экстремум первообразной

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №21. Первообразная.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) Нахождение первообразной

2) Определение первообразной, график которой проходит через заданную точку

3) Решение задач, обратных задаче нахождения закона изменения скорости материальной точки по закону ее движения

Глоссарий по теме

Функцию y = F(x) называют первообразной для функции y = f(x) на промежутке Х, если для выполняется равенство F’ (x) = f(x).

Таблица первообразных:

Функция f(x)	Первообразная F(x)
0	C = const
1	x + C
cos x	sin x + C
sin x	-cos x + C

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Орлова Е. А., Севрюков П. Ф., Сидельников В. И., Смоляков А.Н. Тренировочные тестовые задания по алгебре и началам анализа для учащихся 10-х и 11-х классов: учебное пособие – М.: Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2011.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Сегодня мы познакомимся с новым математическим понятием – первообразной. Что это такое?

Для начала обратимся к задаче, которая поможет сформулировать определение первообразной.

С точки зрения механики скорость прямолинейного движения определяется как производная пути по времени. Если некоторая точка прошла путь S(t), то ее мгновенная скорость . Если теперь рассмотреть обратную задачу – нахождение пути, пройденного точкой с заданной скоростью, то придем к функции S(t), которую называют первообразной функции v(t), т.е. такой функцией, что .

Итак, функцию y = F(x) называют первообразной для функции y = f(x) на промежутке Х, если для х Х выполняется равенство F’ (x) = f(x).

Как следует из определения, операция нахождения первообразной – обратна нахождению производной функции

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1.Материальная точка движется прямолинейно со скоростью v(t)=8t–4. Найдите закон движения точки, если в момент времени t=2c пройденный путь составил 4 м.

Решение:

Воспользуемся определением первообразной, т.к. S(t)=v₀t+at²/2

S’(t) = v(t).

Найдем все первообразные S(t)= -4t+4t² +c.

Подставим t=2c и пройденный путь S=4 м.

4= -8+16+с

С= -4.

Следовательно, закон движения будет выглядеть следующим образом:

s(t)=4t²–4t–4

Ответ: s(t)=4t²–4t–4

№2. По графику первообразной функции y = F(x) определите количество точек, в которых функция y = f(x) равна нулю.

Решение:

Так как F'(x) = f(x) -по определению первообразной, то точки, в которых функция f(x) (производная функции F(x)) – это точки экстремума функции F(x). А таких точек на графике 4.

Ответ: 4.

№3. По графику первообразной функции y = F(x) определите числовые промежутки, на которых функция y = f(x) имеет отрицательный знак.

Решение:

Так как F’(x) = f(x)- по определению первообразной, то числовые промежутки, на которых функция f(x) (производная функции F(x)) имеет отрицательный знак – это промежутки убывания функции F(x). Таких промежутков на данном графике 2. Это (-2; 1) и (2; 5).

Ответ: (-2; 1); (2; 5).

№4. Докажите, что функция y = F(x) является первообразной для функции y = f(x).

Решение:

Доказательство.

F'(x)=(х²-е^2х+2)’=2х-2е^2х

По определению первообразной, F'(x)=f(x), следовательно, F'(x) и есть первообразная для функции f(x)

№5. Для функции f(x) = х ² найти первообразную, график которой проходит через точку (-3; 10).

Решение:

Найдем все первообразные функции f(x) :

Найдем число С, такое, чтобы график функции f(x) = х ²    проходил через точку (-3; 10). Подставим х = – 3, y = 10, получим:

10 = (-3)³/3 +с

С=19

Следовательно, 

Ответ:

НАЙТИ ТОЧКИ ЭКСТРЕМУМА И ТОЧКИ ПЕРЕГИБА ФУНКЦИИ
Представим исходный интеграл, как сумму табличных интегралов и найдем функцию:
EQ i(;;f(t3;3)+t2)dt=i(;;f(t3;3))dx+i(;;t2)dt = EQ f(t4;12)+f(t3;3)+C

Подставим значения интеграла 0 и X, получим функцию
F(x) = EQ f(x4+4 x3;12)
Найдем точки экстремума
Необходимое условие экстремума функции одной переменной.
Уравнение f’0(x*) = 0 – это необходимое условие экстремума функции одной переменной, т.е. в точке x* первая производная функции должна обращаться в нуль. Оно выделяет стационарные точки xс, в которых функция не возрастает и не убывает.
Достаточное условие экстремума функции одной переменной.
Пусть f0(x) дважды дифференцируемая по x, принадлежащему множеству D. Если в точке x* выполняется условие:
f’0(x*) = 0
f”0(x*) > 0
то точка x* является точкой локального (глобального) минимума функции.
Если в точке x* выполняется условие:
f’0(x*) = 0
f”0(x*) < 0
то точка x* – локальный (глобальный) максимум.
Решение.
Находим первую производную функции:
EQ yʹ = f(x3;3)+x2
или
EQ yʹ = f(x2·(x+3);3)
Приравниваем ее к нулю:
EQ f(x3;3)+x2 = 0
x1 = 0
x2 = -3
Вычисляем значения функции
f(0) = 0
EQ f(-3) = -f(9;4)

Решение:

EQ fmin = -f(9;4), fmax = 0
Используем достаточное условие экстремума функции одной переменной. Найдем вторую производную:
yʺ = x2+2·x
или
yʺ = x·(x+2)
Вычисляем:
yʺ(0) = 0=0 – значит точка x = 0 точка перегиба функции.
yʺ(-3) = 3>0 – значит точка x = -3 точка минимума функции.

Найдем точки перегиба
1. Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная.
EQ fʹ(x) = f(x3;3)+x2 или EQ fʹ(x)=f(x2·(x+3);3)
Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю
x2·(x+3) = 0
Откуда:
x1 = 0
x2 = -3

EQ (-∞ ;-3) EQ (-3; 0) EQ (0; +∞)
f ‘(x) < 0 f ‘(x) > 0 f ‘(x) > 0
функция убывает
функция возрастает
функция возрастает

В окрестности точки x = -3 производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = -3 – точка минимума.

2. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости функции. Вторая производная.
EQ fʺ(x) = f(x2;3)+f(2·x·(x+3);3) или fʺ(x) = x·(x+2)
Находим корни уравнения. Для этого полученную функцию приравняем к нулю.
x·(x+2) = 0
Откуда точки перегиба:
x1 = 0
x2 = -2

EQ (-∞ ;-2) EQ (-2; 0) EQ (0; +∞)
f ”(x) > 0 f ”(x) < 0 f ”(x) > 0
функция вогнута
функция выпукла
функция вогнута

Пусть
функция
определена на
точка
называетсяточкой
локального максимума (минимума)
функции
если существует окрестностьт.такая что при всехвыполняется неравенство()
(1). Точканазываетсяточкой
строгого локального максимума (минимума)
если в (1) нестрогие неравенства можно
заменить строгими. Точка
называетсяточкой
локального экстремума
если она является либо точкой локального
максимума (либо минимума).

Пусть
функция
определена наэта функция называетсявыпуклой
(вогнутой)
на
если касательная проведенная к графику
функции в любой его точке лежит выше
(ниже) графика. Функция выпуклая, есливыполняется неравенство.
Функция вогнутая, есливыполняется неравенство.

Пусть
функция
определена в некоторой окрестноститочкии имеет производнуют.называетсяточкой
перегиба если
касательная к графику функции в т.
относительно графиков функции изменяется
при переходе через.

7. Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Таблица неопределенных интегралов.

Пусть
функция
определена натогда функцияназываетсяпервообразной
для функции
если:

1)
непрерывна на;

2)
во внутренних точках промежутка
функциядифференцируема и удовлетворяет
равенству.

Неопределенным
интегралом
от функции
заданной на некотором промежуткеназывается совокупность всех ее
первообразных. Обозначается.

Свойства
интеграла

1)
Производная от интеграла = подинтегральной
функции

2)
,
гдепроизводная функции

3)
Линейность интеграла: интеграл суммы
= сумме интегралов и const
можно

выносить
за знак интеграла
и

Таблица
неопределенных интегралов

15.

16.

17.

18.

19.

20.

8. Интегрирование при помощи переменной и по частям.

Теорема
1 (правило замены переменной в неопределенном
интеграле):
пусть функция
определена на промежуткеи имеет первообразную на этом промежутке
т. е. существует интеграл.
Пусть функцияопределенная на промежуткенепрерывна на этом промежутке и имеет
производнуюв его внутренних точках, кроме того,
предположим, чтодля любоготогда функцияимеет первообразную наи при этом.
Данная формула означает, что для
нахождения интеграла в ее левой части
нужно найти интеграл (первообразную)
от функциии затем подставить вместоx
его значение
.

Доказательство:
Пусть
– первообразная для функциит. е.рассмотрим функцию– непрерывна накак композиция непрерывных функцийиво внутренних точкахфункцияимеет производную, которая вычисляется
по правилу дифференцирования сложной
функции т. е.следовательно функцияесть первообразная для функциит. е. для подинтегральной функции в левой
части формулы.

Теорема
2 (интегрирование по частям):
пусть функции
иимеют производные на промежуткетогда

(формула
интегрирования по частям).

Доказательство:

Используя
правило дифференцирования произведения

интегрируя
это равенство получаем
по определению интеграла следовательно
получаем

.

9. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница. Условие интегрирования функции.

Разбиением
отрезка

называется конечный набор точек
таких что.
Обозначается– разбиение т.отрезка.Мелкостью
разбиения

называется число
– наибольшее из длин отрезков разбиения.
Пусть назадана функцияпусть– некоторое разбиение, выберем внутри
каждого отрезка т.и составим сумму.
Данная сумма называетсяинтегральной
суммой
функции
для разбиенияи выбранных точек.
Обозначаетсяили.
ЧислоI
называют пределом
интегральных сумм

если для любой последовательности
разбиений
отрезкатакой чтои при любом выбореn.
соответствующая
разбиениюсоответствует последовательность
интегральных суммсходится к числуI
т. е.
.
Функцияопределенная на отрезкеназываетсяинтегрируемой
по Риману
если существует предел интегральных
сумм
при.
Этот предел называется определенным
интегралом (Римана) функциипо отрезкуи обозначается.где– подинтегральная функция,a
и b
– нижний и верхний пределы интегрирования.

Формула
Ньютона-Лейбница

Необходимое
условие интегрируемости:
если функция
интегрируема на отрезке,
то она ограничена на этом отрезке.

Соседние файлы в папке !!!!!

• #
• #
• #

На этой странице вы узнаете

• Где проходит граница между теплом и холодом? 
• Почему успех фильма не всегда зависит от наличия экшн-сцен?
• Чем кофе похож на функцию, ее первообразную и производную?  

Многие из нас чем-то похожи на родителей. Не являясь их точной копией, мы перенимаем определенные черты. То же самое происходит и с графиками. О том, какие особенности “наследуют” друг у друга графики функции, производной и первообразной, поговорим в статье. 

Связь графика функции и производной

Подготовим карандаши и линейки, мы начинаем погружение в мир графиков. Почему графики — это круто? Они дают нам наглядное представление о функции. Мы можем проанализировать ее, не прибегая к сложным формулам и трудоемким вычислениям. 

Воспринимать визуальную информацию всегда легче. А графики — это как раз визуальное описание функции. 

Возьмем график произвольной функции. 

Прежде чем приступать к дальнейшему изучению материала, рекомендуем ознакомиться с «Определением и графиком функции», а также «Производной».

Мы точно видим, на каких промежутках график будет возрастать, а на каких убывать. Если представить, что мы пойдем по направлению оси х, то график будет возрастать на подъемах в горку и убывать на спусках с нее. Отметим промежутки возрастания зеленым фоном, а промежутки убывания красным. 

В зеленых промежутках производная будет положительна, а в красных отрицательна. Пока что просто запомним этот факт. 

Обратим внимание на границы между зелеными и красными зонами. В этих точках функция будет менять свой знак с положительного на отрицательный или обратно. Такие точки называются точками экстремума. 

Экстремум — это точка, в которой достигается максимальное или минимальное значение функции на заданном отрезке. 

Точки экстремума — точки, в которых достигается экстремум. 

В точках экстремума производная равна 0.

Теперь попробуем построить примерный график производной. Для начала опустим точки экстремума. Где они будут лежать на графике производной? На оси х. 

Вспомним, что в точках экстремума производная функции будет равна 0. Пусть график будет задан 

y = f'(x), тогда в точках экстремума получаем y = 0. Это и есть ось х. 

Так мы получили целых 9 точек, через которые пройдет производная. Осталось провести через них примерный график. 

Вспомним, что:

• производная положительна на промежутках возрастания функции;
• производная отрицательна на промежутках убывания функции. 

Как понять, что все точки на графике производной будут положительны или отрицательны? Достаточно посмотреть на то, с какой стороны от оси х они располагаются. 

Положительные значения всегда будут лежать выше оси х. Это связано со значением y: значения функции будут положительны при положительных значениях у, и отрицательны при отрицательных значениях у. 

Итак, как нам нарисовать график производной? На зеленых участках ее график будет лежать над осью х, а на красных участках — под ней. 

Подведем итоги:

• В точках экстремума функции график производной будет проходить через ось х.
• На промежутках возрастания функции график производной будет лежать выше оси х.
• На промежутках убывания функции график производной будет лежать ниже оси х. 

Эти зависимости можно отследить на любых графиках функции и ее производной. 

Если провести обратные рассуждения, то по графику производной можно восстановить примерный график функции. В этом случае:

• В точках, где график производной пересекает ось х, будут лежать точки экстремума. При этом если в точке производная меняет значение с положительного на отрицательное, то это точка максимума, а если с отрицательного на положительное, то это точка минимума. 
• На промежутках, где график производной будет лежать выше оси х, функция будет возрастать. 
• На промежутках, где график производной будет лежать ниже оси х, функция будет убывать. 

Разберем несколько примеров, где можно применить эти знания. 

Пример 1. На рисунке изображен график функции f(x) и отмечены пять точек на оси абсцисс: x₁, x₂, x₃, x₄, x₅. В скольких из этих точек производная функции отрицательна?

Решение. Производная отрицательна на промежутках убывания функции. Отметим такие промежутки. 

В точках, которые попали в эти промежутки, производная отрицательная. Всего таких точек 2.

Ответ: 2

Пример 2. На рисунке изображен график функции y = f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-5; 3). Найдите точку максимума функции f(x).

Решение. Точки экстремума на графике производной лежат на оси х. На данном графике таких точки две: x = -2, x = 2. 

Точка максимума — это точка, в которой производная меняет знак с положительного на отрицательный. По графику определяем, что это точка x = -2.

Ответ: -2

Связь графика функции и первообразной

Мы разобрались, как связаны графики функции и ее производной. Есть ли связь между графиком функции и «Первообразной»?

Вспомним один важный факт: если взять производную от первообразной, то получим функцию. 

F'(x) = f(x)

Похоже на функцию и ее производную, верно? На самом деле, ситуации ничем не отличаются. 

В этом случае изначальной функцией будет первообразная, а ее производной — функция. Для наглядности составим таблицу. 

	Было	Взяли производную	Стало
Функция и производная	f(x)	f'(x)	f'(x)
Функция и первообразная	F(x)	F'(x)	f(x)

Получается, для функции и первообразной будут действовать почти те же правила, что и для функции и ее производной. 

При решении заданий с графиками первообразной достаточно проанализировать уравнение F'(x) = f(x). Рассмотрим несколько примеров. 

Пример 3. На рисунке изображен график функции y = F(x) — одной из первообразных функции f(x) и отмечены шесть точек на оси абсцисс x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆. В скольких из этих точек функция f(x) отрицательна? 

Решение. Поскольку F'(x) = f(x), то функция f(x) будет отрицательна в тех же точках, в которых будет отрицательна F'(x). 

Поскольку на графике изображена функция y = F(x), то ее производная будет отрицательна на промежутках убывания функции. Отметим их красным. 

В эти промежутки попадают 3 из 6 точек.  

Ответ: 3. 

Пример 4. На рисунке изображен график функции y = F(x) — одной из первообразных функции f(x), определенной на интервале (-6; 7). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x) = 0 на отрезке [-5; 4]. 

Решение. Вспомним, что F'(x) = f(x). Тогда если f(x) = 0, то и F'(x) = 0. Следовательно, на заданном промежутке нужно найти точки экстремума. 

Отметим заданный промежуток красными линиями. На промежутке всего 9 точек экстремума, значит, в 9 точках f(x) будет равна 0. 

Ответ: 9

Фактчек

• Графики функции, производной и первообразной связаны между собой. 
• В точках экстремума функции график производной будет проходить через ось х.
• На промежутках возрастания функции график производной будет лежать выше оси х.
• На промежутках убывания функции график производной будет лежать ниже оси х. 
• Для решения задач с первообразной необходимо вспомнить, что F'(x) = f(x). Любой график можно проанализировать с помощью этого уравнения также, как анализируются графики функции и ее производной. 

Проверь себя

Задание 1. 
На каких промежутках будет производная функции будет положительна?

1. На промежутках убывания функции.
2. На промежутках возрастания функции.
3. В точках экстремума.
4. Невозможно определить по графику. 

Задание 2. 
На каких промежутках производная функции будет отрицательна?

1. На промежутках возрастания функции.
2. На промежутках убывания функции.
3. В точках экстремума.
4. Невозможно определить по графику. 

Задание 3. 
На рисунке изображен график производной функции f(x), на котором отмечена точка. Чем будет являться эта точка для функции f(x)? 

1. Точка максимума функции.
2. Точка минимума функции.
3. Любая произвольная точка на функции.
4. Невозможно определить по графику. 

Задание 4. 
Выберите верный вариант:

1. F(x) = f'(x)
2. F(x) = f(x)
3. F'(x) = f'(x)
4. F'(x) = f(x)

Ответы: 1. — 2 2. — 2 3. — 1 4. — 4