1.Если производная функции y
= f(x)
положительна (отрицательна) во всех
точках промежутка, то функцияy
= f(x)
монотонно возрастает (убывает)на этом промежутке.
2.Точкаx0называется точкоймаксимума (минимума)
функцииy = f(x),
если существует интервал, содержащий
точкуx0, такой,
что для всехxиз этого
интервала имеет место неравенствоf(x0)≥ f(x),(f(x0)≤ f(x)).
Точки максимума и точки минимума
называются точкамиэкстремума.
3. Необходимое условие экстремума:
в точке экстремума функции ее производная
либо равна нулю(f
′(x)=0), либо
не существует.
4.Первое достаточное условие
экстремума: если в точке x0функцияy = f(x)
непрерывна, а производная f
′(x)при
переходе через точкуx0меняет знак, то точкаx0– точка экстремума: максимума, если
знак меняется с «+» на «-», и минимума,
если с «–» на «+».
Если при переходе через точку x0производная не меняет знак, то в точкеx0экстремума нет.
5.Второе достаточное условие
экстремума: если в точкеx0
,
а
,
тоx0является точкой
максимума функции. Если
,
а
,
тоx0является точкой
минимума функции.
6.Схема исследования функции
на экстремум:
1) найти производную
;
2) найти критические точки функции, в
которых производная равна нулю или не
существует;
3) исследовать знак производной слева
и справа от каждой критической точки и
сделать вывод о наличии экстремумов
функции;
4) найти экстремальные значения функции.
При исследовании функции на экстремум
с помощью 2-го достаточного условия п.
1), 2), 4) сохраняются, а в п. 3) необходимо
найти вторую производную
и определить ее знак в каждой критической
точке.
7.Чтобы найтинаибольшее и наименьшее
значение(глобальный максимум и
минимум) функции
на отрезке [a,b]
следует выбрать наибольшее (наименьшее)
из значений функции в критических
точках, находящихся в интервале (a,b)
и на концах отрезка (в точкахaиb).
8.Если дифференцируемая на интервале
(a,b) функция
имеетединственнуюточку экстремума,
то в этой точке достигается наибольшее
или наименьшее значение (глобальный
максимум или минимум) функции на интервале
(a,b).
8.35. Найти интервалы монотонности
и экстремумы функции
.
Решение. В соответствии со схемой
исследования (п. 6) найдем
.Очевидно, производная существует при
всех значенияхx. Приравниваяy′ к нулю, получаем
уравнение
откуда
и
– критические точки. Знаки производной
имеют вид (рис. 8.1):
Рис. 8.1
На интервалах
и
производная
и функция возрастает, на интервале
и функция убывает;
Рис. 8.2
– точка максимума и
– точка минимума и
,
так как при переходе через эти точки
производная меняет свой знак соответственно
с «+» на «-» и с «-» на «+».
Замечание.Установить
существование экстремума в критических
точках
и
,
в которых
можно было и с помощью второй производной
(см.
п. 5). Так как
,
а
,
то
– точка максимума, а
– точка минимума.
График данной функции схематично показан
на рисунке 8.2.
8.36. Найти экстремумы и интервалы
монотонности функции
.
Решение.
.
Производная существует во всех точках,
в которых существует и сама функция,
т.е. при x> 0. Точки, в
которых производная обращается в нуль,
задаются равенствамиlnx=0,lnx-1
= 0, откудаx1 =1,x2
= е – критические точки. Знаки
производной указаны на рис. 8.3.
Рис.8.3
Таким образом, функция монотонно
возрастает на промежутках (0;1) и (е;+
)
и монотонно убывает на промежутке (1;е).
Точкаx= 1 – точка максимума
и
,
точка х = е – точка минимума и
.
8.37. Найти экстремумы и интервалы
монотонности функции
Решение.
.
Производная не существует приcosx=1 т.е. при
и равна нулю при
.
Знак производной совпадает со знакомsin(x); таким
образом у’ >0 при
иy'<0 при
.
Это, соответственно, интервалы возрастания
и убывания функции.
– точки максимума
,
– точки минимума
.
8.38. Найти наибольшее значение
(глобальный максимум) функции
на интервале (10;18).
Решение. Найдем
.
На интервале (10;18) имеется всего одна
критическая точкаx= 6.
Производная при переходе через эту
точку меняет знак с «+» на «-», т.е.x= 6 – точка максимума. Следовательно,
функция достигает наибольшего значения
приx= 16, т.е.
.
(Заметим, что наименьшего значения
(глобального минимума) данной функции
на указанном интервале не существует.)
8.40. Забором длиной 24 метра требуется
огородить с трех сторон прямоугольный
палисадник наибольшей площади. Найти
размеры палисадника.
Решение.Пусть длины сторон палисадникаx,y. Тогда
2x+y= 24, т.е.y= 24-2x.
Площадь палисадникаS=xy=x(24-2x)
= 24x-2x2,
где 0<x<12 (ибо 24-2x>0).
Таким образом, задача свелась к отысканию
значенияx, при которомS(x) принимает
наибольшее значение на интервале (0;12).
НайдемS'(x)
= 24-4x= 0 приx= 6. Легко видеть, чтоx= 6
– единственная точка экстремума –
максимума функцииS(x).
Это означает, что на интервале (0;12)S(x)
принимает наибольшее значение приx= 6, т.е. искомые размеры палисадника 6 м
и 24- 2 – 6 = 12 м.
Найти интервалы
монотонности и экстремумы функции:
8.41.
.8.42.
.8.43.
.
8.44.
.8.45.
8.46.
.
8.47.
.8.48.
.8.49.
.
8.50.
.8.51.
.8.52.
.
8.53.
.8.54.
.8.55.
.
8.56.
.8.57.
.8.58.
.
8.59.
.8.60.
.
Найти наибольшее
и наименьшее значение (глобальный
максимум и минимум) функции
на отрезке [a,b]:
8.61.
8.62.
8.63.
8.64.
8.65.
8.66.
8.67.
8.68.
Найти наибольшее
или наименьшее значение (глобальный
максимум или минимум) функции
на интервале(a,b):
8.69.
8.70.
8.71.
8.72.
8.73.
8.74.
8.75. Рассматриваются всевозможные
прямоугольные параллелепипеды, основания
которых являются квадратами, а каждая
из боковых сторон имеет периметр, равный
6 см. найти среди них параллелепипед с
наибольшим объемом и найти этот объем.
8.76. Определить размеры открытого
бассейна с квадратным дном, при которых
на облицовку стен и дна пойдет наименьшее
количество материала. Объем бассейнаVфиксирован.
8.77. Требуется огородить два участка:
один в форме правильного треугольника,
другой в форме полукруга. Длина изгороди
фиксирована и равна Р. Определить размеры
участков (сторону треугольника и радиус
полукруга) так, чтобы сумма площадей
этих участков была бы наименьшей.
8.78. В треугольнике с основаниемaи высотойh вписан
прямоугольник, основание которого лежит
на основании треугольника, а две вершины
– на боковых сторонах. Найти наибольшую
площадь вписанного прямоугольника.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Алгебра и начала математического анализа, 11 класс
Урок № 16. Экстремумы функции.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме
1) Определение точек максимума и минимума функции
2) Определение точки экстремума функции
3) Условия достаточные для нахождения точек экстремума функции
Глоссарий по теме
Возрастание функции. Функция y=f(x) возрастает на интервале X, если для любых х1 и х2, 
из этого промежутка выполняется неравенство 
. Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Максимум функции. Значение функции в точке максимума называют максимумом функции
Минимум функции. Значение функции в точке минимума называют минимумом функции
Производная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, которое характеризует скорость изменения функции (в конкретной точке).
Точка максимума функции. Точку х0 называют точкой максимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство 
.
Точка минимума функции. Точку х0 называют точкой минимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство 
.
Точки экстремума функции. Точки минимума и максимума называют точками экстремума.
Убывание функции. Функция y = f(x) убывает на интервале X, если для любых х1 и х2, 
из этого промежутка выполняется неравенство 
. Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Алгоритм исследования функции на монотонность и экстремумы:
1) Найти область определения функции D(f)
2) Найти f’ (x).
3) Найти стационарные (f'(x) = 0) и критические (f'(x) не
существует) точки функции y = f(x).
4) Отметить стационарные и критические точки на числовой
прямой и определить знаки производной на получившихся
промежутках.
5) Сделать выводы о монотонности функции и точках ее
экстремума.
Основная литература:
Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.
Дополнительная литература:
Орлова Е. А., Севрюков П. Ф., Сидельников В. И., Смоляков А.Н. Тренировочные тестовые задания по алгебре и началам анализа для учащихся 10-х и 11-х классов: учебное пособие – М.: Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2011.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Точки, в которых происходит изменение характера монотонности функции – это ТОЧКИ ЭКСТРЕМУМА.
- Точку х = х0 называют точкой минимума функции у = f(х), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x) ≥ f(x0).
- Точку х = х0 называют точкой максимума функции у = f(х), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой выполняется неравенство f(x) ≤ f(x0).
Точки максимума и минимума – точки экстремума.
Функция может иметь неограниченное количество экстремумов.
Критическая точка – это точка, производная в которой равна 0 или не существует.
Важно помнить, что любая точка экстремума является критической точкой, но не всякая критическая является экстремальной.
Алгоритм нахождения максимума/минимума функции на отрезке:
- найти экстремальные точки функции, принадлежащие отрезку,
- найти значение функции в экстремальных точках из пункта 1 и в концах отрезка,
- выбрать из полученных значений максимальное и минимальное.
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
№1. Определите промежуток монотонности функции у=х2 -8х +5
Решение: Найдем производную заданной функции: у’=2x-8
2x-8=0
х=4
Определяем знак производной функции и изобразим на рисунке, следовательно, функция возрастает при хϵ (4;+∞); убывает при хϵ (-∞;4)
Ответ: возрастает при хϵ (4;+∞); убывает при хϵ (-∞;4)
№2. Найдите точку минимума функции у= 2х-ln(х+3)+9
Решение: Найдем производную заданной функции: 
Найдем нули производной: 
х=-2,5
Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:
Ответ: -2,5 точка min
№3. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 10t2 − 48t + 15, где x – расстояние от точки отсчета в метрах, t – время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 3с.
Решение: Если нас интересует движение автомобиля, то, принимая в качестве функции зависимость пройденного расстояния от времени, с помощью производной мы получим зависимость скорости от времени.
V=х'(t)= 20t – 48. Подставляем вместо t 3c и получаем ответ. V=12 мc
Ответ: V=12 мc
№4. На рисунке изображен график функции. На оси абсцисс отмечены семь точек: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7. Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.
Решение: Производная функции отрицательна на тех интервалах, на которых функция убывает. В данном случае это точки х3,х5,х7. Следовательно, таких точек 3
Ответ: 3
Исследование функции на монотонность и экстремумы, выпуклость и точки перегиба
- Производная функции и промежутки монотонности
- Критические точки
- Вторая производная, промежутки выпуклости и точки перегиба
- Примеры
п.1. Производная функции и промежутки монотонности
Рассмотрим кусочно-непрерывную функцию: ( y= begin{cases} x+1, xleq 1\ 2, 1lt xleq 4\ 6-x, xgt 4 end{cases} )
Эта функция интересна тем, что имеет промежуток возрастания при (xleq 1), промежуток постоянства при (1lt xleq 4) и промежуток убывания при (xgt 4).
Посмотрим, как ведет себя производная на каждом из промежутков, используя определение производной (см. §42 данного справочника).
Заметим, что в точках излома x=1 и x=4 функция определена и непрерывна, но её производная не существует.
При (xlt 1): $$ triangle y=(f(x_0+triangle x)-f(x_0)=left((x_0+triangle x)+1right)-(x_0+1)=triangle x $$ Получается, что знаки (triangle y) и (triangle x) всегда совпадают, и их частное (frac{triangle y}{triangle x}=1gt 0) – всегда положительно. Поэтому и производная на промежутке возрастания функции положительна: $$ f'(x_0)=lim_{triangle xrightarrow 0}frac{triangle y}{triangle x}=lim_{triangle xrightarrow 0}frac{triangle x}{triangle x}=lim_{triangle xrightarrow 0}1=1gt 0 $$ При (1lt xlt 4): $$ triangle y=f(x_0+triangle x)-f(x_0)=2-2=0 $$ Производная на промежутке постоянства равна нулю: $$ f'(x_0)=lim_{triangle xrightarrow 0}frac{triangle y}{triangle x}=lim_{triangle xrightarrow 0}frac{0}{triangle x}=lim_{triangle xrightarrow 0}0=0 $$ При (xgt 4): $$ triangle y=f(x_0+triangle x)-f(x_0)=left(6-(x_0+triangle x)right)-(6-x_0)=-triangle x $$ Знаки (triangle y) и (triangle x) всегда противоположны, и их частное (frac{triangle y}{triangle x}=-1lt 0) – всегда отрицательны. Поэтому и производная на промежутке убывания функции отрицательна: $$ f'(x_0)=lim_{triangle xrightarrow 0}frac{triangle y}{triangle x}=lim_{triangle xrightarrow 0}frac{-triangle x}{triangle x}=lim_{triangle xrightarrow 0}(-1)=-1lt 0 $$ Полученные результаты можно обобщить для любой функции, поскольку всегда:
- на промежутках возрастания (frac{triangle y}{triangle x}gt 0) и (f'(x)gt 0,)
- на промежутках постоянства (frac{triangle y}{triangle x}=0) и (f'(x)=0,)
- на промежутках убывания (frac{triangle y}{triangle x}lt 0) и (f'(x)lt 0,)
Верно и обратное утверждение:
Если в каждой точке некоторого промежутка производная функции (y=f(x)):
- положительна, то функция на этом промежутке возрастает;
- равна нулю, то функция на этом промежутке постоянна;
- отрицательна, то функция на этом промежутке убывает.
begin{gather*} f'(x)gt 0Leftrightarrow y=f(x) uparrow\ f'(x)=0Leftrightarrow y=f(x)=const\ f'(x)lt 0Leftrightarrow y=f(x)downarrow end{gather*}
п.2. Критические точки
Внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует, называют критическими точками.
Например:
Найдем критические точки функции (y=frac{x^2-10x+16}{x^2})
Точка (x=0notin D) не входит в ОДЗ функции, следовательно, производная в ней не существует и (x=0) – критическая точка.
Найдем точки, в которых производная равна 0.
Преобразуем выражение: (frac{x^2-10x+16}{x^2}=1-frac{10}{x}+frac{16}{x^2}) begin{gather*} y’=left(1-frac{10}{x}+frac{16}{x^2}right)=0+frac{10}{x^2}-frac{16cdot 2}{x^3}=frac{10x-32}{x^3}=frac{10(x-3,2)}{x^3}\ y’=0 text{при} x=3,2 end{gather*} Ответ: x=0 и x=3,2
Напомним, что:
Окрестностью точки (x_0) называется любой сколь угодно малый промежуток, для которого (x_0) является внутренней точкой.
Точка (x_0)является точкой минимума функции (y=f(x)), если для всех (x(xne x_0)) из некоторой окрестности точки (x_0) выполняется неравенство (f(x_0)lt f(x)).
Точка (x_0) является точкой максимума функции (y=f(x)), если для всех (x(xne x_0)) из некоторой окрестности точки (x_0) выполняется неравенство (f(x_0 )gt f(x)).
Все точки минимума и максимума функции (y=f(x)) образуют множество точек экстремума данной функции.
Необходимое условие существования экстремума
Точками экстремума функции могут быть только её критические точки.
Т.е. все критические точки объявляются подозрительными на экстремум.
Достаточное условие существования экстремума
Точка (x_0) принадлежит промежутку непрерывности функции (y=f(x)) и при подходе к точке (x_0) слева и справа производные имеют разные знаки.
Т.е., для всех точек, подозрительных на экстремум, которые лежат в промежутках непрерывности функции и для которых производные слева и справа имеют разные знаки, «подозрение подтверждается» – и такие точки признаются экстремумами.
Например:
Исследуем промежутки монотонности и найдем экстремумы функции (y=frac{x^2-10x+16}{x^2}).
Выше мы уже нашли критические точки: (x=0) и (x=3,2).
Производная: (y’=frac{10(x-3,2}{x^3})
Определить знак производной на промежутке просто: нужно взять любое значение x из промежутка и подставить в производную. При этом не нужно точно считать, сколько получается; главное – понять, какой знак у каждой скобки/множителя.
Составим таблицу:
| (x) | ((-infty;0)) | 0 | (0;3,2) | 3,2 | ((3,2;+infty)) |
| (f'(x)) | >0 | не существует | <0 | 0 | >0 |
| (f(x)) | (nearrow) | не существует | (searrow) | min | (nearrow) |
Вывод:
Функция возрастает при (xin(-infty;0)cup(3,2;+infty))
Функция убывает при (xin(0;3,2))
Точка минимума (x=3,2; y_{min}=f(3,2)=-frac{9}{16})
п.3. Вторая производная, промежутки выпуклости и точки перегиба
Пусть функция (y=f(x)) является дифференцируемой на промежутке (xin(a;b)), и её производная (f'(x)) также является дифференцируемой на этом же промежутке.
Тогда существует производная от производной: (left(f'(x)right)’=f”(x)), которую называют второй производной или производной второго порядка от функции (y=f(x)).
Например:
1) Найдем вторую производную для (y=3x^4+2x^3+4x)
(f'(x)=3cdot 4x+2cdot 3x^2+4cdot 1=12x^3+6x^2+4)
(f”(x)=12cdot 3x^2+6cdot 2x+0=36x^2+12x)
2) Найдем вторую производную для (y=frac{x^2-10x+16}{x^2}).
Первую мы уже нашли выше: (f'(x)=frac{10(x-3,2)}{x^3}=frac{10}{x^2}-frac{32}{x^3})
Получаем: (f”(x)=left(frac{10}{32}-frac{32}{x^3}right)’=-frac{10cdot 2}{x^3}+frac{32cdot 3}{x^4}=frac{-20x+96}{x^4}=-frac{20(x-4,8)}{x^4})
Кривая (y=f(x)) называется выпуклой вверх на интервале ((a;b)), если все точки, кроме точки касания (x_0), лежат под касательной, проведенной через любую точку (x_0in(a;b)).
Кривая (y=f(x)) называется выпуклой вниз на интервале ((a;b)), если все точки, кроме точки касания (x_0), лежат над касательной, проведенной через любую точку (x_0in(a;b)).
Точка кривой (y=f(x)), в которой меняется характер выпуклости, называется точкой перегиба.
Например:
 |
Точка A принадлежит промежутку, выпуклому вверх, т.к. все точки этого промежутка лежат под касательной, проведенной через A.
Точка B принадлежит промежутку, выпуклому вниз, т.к. все точки этого промежутка лежат над касательной, проведенной через B. Точка C – точка перегиба. |
- положительна, то функция на этом промежутке выпуклая вниз;
- равна нулю, то функция на этом промежутке постоянна;
- отрицательна, то функция на этом промежутке выпуклая вверх.
begin{gather*} f”(x)gt 0 forall xin(a;b)Leftrightarrow y=f(x)cup\ f”(x)=0 forall xin(a;b)Leftrightarrow y=f(x)=const\ f”(x)lt 0 forall xin(a;b)Leftrightarrow y=f(x)cap end{gather*}
Внутренние точки области определения функции, в которых вторая производная равна нулю или не существует, называют критическими точками второго порядка.
Необходимое условие существования точки перегиба
Точками перегиба функции могут быть только её критические точки второго порядка.
Т.е. все критические точки второго порядка объявляются подозрительными на перегиб.
Достаточное условие существования точки перегиба
Точка (x_0) принадлежит промежутку непрерывности первой производной (f'(x)) и при подходе к точке (x_0) слева и справа вторые производные имеют разные знаки.
Т.е., для всех точек, подозрительных на перегиб, которые лежат в промежутках непрерывности первой производной и для которых вторые производные слева и справа имеют разные знаки, «подозрение подтверждается» – и такие точки признаются точками перегиба.
Например:
Продолжим исследование функции (y=frac{x^2-10x+16}{x^2}) и найдем промежутки выпуклости и точки перегиба.
Вторая производная: (f”(x)=frac{-20(x-4,8)}{x^4})
Критические точки второго порядка: (x=0) и (x=4,8).
Составим таблицу:
| (x) | ((-infty;0)) | 0 | (0;4,8) | 4,8 | ((4,8;+infty)) |
| (f”(x)) | >0 | не существует | >0 | 0 | <0 |
| (f(x)) | (cup) | не существует | (cup) | перегиб | (cap) |
Вывод:
Функция выпуклая вниз при (xin(-infty;0)cup(0;4,8))
Функция выпуклая вверх при (xin(4,8;+infty))
Точка перегиба (x=4,8; f(4,8)=frac{7}{18})
п.4. Примеры
Пример 1. Найдите промежутки монотонности и точки экстремума функции:
a) ( y=2x^3-6x^2-18x+7 )
ОДЗ: (xinmathbb{R})
Первая производная: begin{gather*} f'(x)=2cdot 3x^2-6cdot 2x-18cdot 1+0=6x^2-12x-18=6(x^2-2x-3)=\ =6(x-3)(x+1)\ f'(x)=0 text{при} left[ begin{array}{l} x=3\ x=-1 end{array} right. end{gather*} Критические точки: (x=-1) и (x=3)
Составляем таблицу:
| (x) | ((-infty;-1)) | -1 | (-1;3) | 3 | ((3;+infty)) |
| (f'(x)) | >0 | 0 | <0 | 0 | >0 |
| (f(x)) | (nearrow) | max | (searrow) | min | (nearrow) |
Вывод:
Функция возрастает при (xin(-infty;-1)cup(3;+infty))
Функция убывает при (xin(-1;3))
Точка максимума (x=-1; y_{max}=f(-1)=-2-6+18+7=17)
Точка минимума (x=3; y_{min}=f(3)=54-54-54+7=-47)
б) ( y=frac{x^2}{x^2-9} )
ОДЗ: (x^2-9=ne 0Rightarrow xnepm 3)
Первая производная: begin{gather*} f'(x)=frac{2x(x^2-9)-x^2cdot 2x}{(x^2-9)^2}=frac{2x(x^2-9-x^2)}{(x^2-9)^2}=-frac{18x}{(x^2-9)^2} end{gather*} Критические точки: (x=left{0;pm 3right})
Составляем таблицу:
| (x) | ((-infty;-3)) | -3 | (-3;0) | 0 | ((0;3)) | 3 | ((3+infty)) |
| (f'(x)) | >0 | не существует | >0 | 0 | <0 | не существует | <0 |
| (f(x)) | (nearrow) | не существует | (nearrow) | max | (searrow) | не существует | (searrow) |
Вывод:
Функция возрастает при (xin(-infty;-3)cup(-3;0))
Функция убывает при (xin(0;3)cup(3;+infty))
Точка максимума (x=0; y_{max}=f(0)=0)
в) ( y=frac3x+frac x3 )
ОДЗ: (xne 0)
Первая производная: begin{gather*} f'(x)=-frac{3}{x^2}+frac13=frac{x^2-9}{3x^2}=frac{(x+3)(x-3)}{3x^2}\ f'(x)=0 text{при} x=pm 3 end{gather*} Критические точки: (x=left{0;pm 3right})
Составляем таблицу:
| (x) | ((-infty;-3)) | -3 | (-3;0) | 0 | ((0;3)) | 3 | ((3+infty)) |
| (f'(x)) | >0 | 0 | <0 | (varnothing) | <0 | 0 | >0 |
| (f(x)) | (nearrow) | max | (searrow) | (varnothing) | (searrow) | min | (nearrow) |
Вывод:
Функция возрастает при (xin(-infty;-3)cup(-3;+infty))
Функция убывает при (xin(-3;0)cup(0;3))
Точка максимума (x=-3; y_{max}=f(-3)=-1-1=-2)
Точка минимума (x=3; y_{min}=f(3)=1+1=2)
г*) ( y=frac{x^2}{8}-ln(x^2-8) )
ОДЗ: (x^2-8gt 0Rightarrow x^2gt 8Rightarrow |x|gt sqrt{8}Rightarrow xlt -2sqrt{2}cup xgt 2sqrt{2})
Критические точки на границе ОДЗ: (x=pm 2sqrt{2})
Первая производная: begin{gather*} f'(x)=frac{2x}{8}-frac{2x}{x^2-8}=2xleft(frac18-frac{1}{x^2-8}right)=frac{2x(x^2-8-8)}{8(x^2-8)}=frac{x(x^2-16)}{4(x^2-8)}=\ =frac{x(x+4)(x-4)}{4(x+2sqrt{2})(x-2sqrt{2})}\ f'(x)=0 text{при} x=left{0;pm 4right} end{gather*} (x=0notin D) – не входит в ОДЗ.
Критические точки: (x=left{pm2sqrt{2};pm 4right})
Составляем таблицу:
| (x) | ((-infty;-4)) | -4 | ((-4;-2sqrt{2})) | (-2sqrt{2}) | ((-2sqrt{2};2sqrt{2})) | (2sqrt{2}) | ((2sqrt{2};4)) | 4 | ((4;+infty)) |
| (f'(x)) | <0 | 0 | >0 | (varnothing) | (varnothing) | (varnothing) | <0 | 0 | >0 |
| (f(x)) | (searrow) | min | (nearrow) | (varnothing) | (varnothing) | (varnothing) | (searrow) | min | (nearrow) |
Вывод:
Функция возрастает при (xin(-4;-2sqrt{2})cup(4;+infty))
Функция убывает при (xin(-infty;-4)cup(2sqrt{2};4))
Точка минимума $$ x=pm 4; y_{min}=f(pm 4)=frac{16}{8}-ln(16-8)=2-ln 8=2-ln 2^3=2-3ln 2 $$
Пример 2. Найдите промежутки выпуклости и точки перегиба функции:
a) ( y=2x^3-6x^2-18x+7 )
Первая производная: begin{gather*} f'(x)=2cdot 3x^2-6cdot 2x-18cdot 1+0=6x^2-12x-18 end{gather*} Вторая производная: begin{gather*} f”(x)=6cdot 2x-12cdot 1-0=12x-12=12(x-1)\ f”(x)=0 text{при} x=1 end{gather*} Критическая точка 2-го порядка: (x=1)
Составляем таблицу:
| (x) | ((-infty;1)) | 1 | ((1;+infty)) |
| (f”(x)) | <0 | 0 | >0 |
| (f(x)) | (cap) | перегиб | (cup) |
Вывод:
Функция выпуклая вверх при (xin(-infty;1))
Функция выпуклая вниз при (xin(1;+infty))
Точка перегиба (x=1; f(1)=2-6-18+7=-15)
б) ( y=frac{x^2}{x^2-9} )
ОДЗ: (x^2-9ne 0Rightarrow xne pm 3)
Первая производная: begin{gather*} f'(x)=frac{2x(x^2-9)-x^2cdot 2x}{(x^2-9)^2}=frac{2x(x^2-9-x^2)}{(x^2-9)^2}=-frac{18x}{(x^2-9)^2} end{gather*} Вторая производная: begin{gather*} f”(x)=-18left(frac{1cdot (x^2-9)^2-xcdot 2(x^2-9)cdot 2x}{(x^2-9)^4}right)=-18left(frac{(x^2-9)-4x^2}{(x^2-9)^3}right)=\ =-28left(frac{-3x^2-9}{(x^2-9)^3}right)=frac{54(x^2+3)}{(x^2-9)^3} end{gather*} ( f”(x)=0 text{при} x=invarnothing) – таких x нет.
Критические точки 2-го порядка: (x=left{pm 3right})
Составляем таблицу:
| (x) | ((-infty;-3)) | -3 | ((-3;3)) | 3 | ((3;+infty)) |
| (f”(x)) | >0 | не существует | <0 | не существует | >0 |
| (f(x)) | (cup) | не существует | (cap) | не существует | (cup) |
Вывод:
Функция выпуклая вверх при (xin(-3;3))
Функция выпуклая вниз при (xin(-infty;-3)cup(3;+infty))
Точек перегиба нет.
в) ( y=frac3x+frac x3 )
ОДЗ: (xne 0)
Первая производная: begin{gather*} f'(x)= -frac{3}{x^2}+frac13=frac{x^2-9}{3x^2} end{gather*} Вторая производная: begin{gather*} f”(x)=frac13left(1-frac{9}{x^2}right)’=frac13left(0+frac{9cdot 2}{x^3}right)=frac{6}{x^3} end{gather*} Вторая производная нулей не имеет.
Критическая точка 2-го порядка: (x=0)
Составляем таблицу:
| (x) | ((-infty;0)) | 0 | ((0;+infty)) |
| (f”(x)) | <0 | (varnothing) | >0 |
| (f(x)) | (cap) | (varnothing) | (cup) |
Вывод:
Функция выпуклая вверх при (xin(-infty;0))
Функция выпуклая вниз при (xin(0;+infty))
Точек перегиба нет.
г*) ( y=frac{x^2}{8}-ln(x^2-8) )
ОДЗ: (x^2-8gt 0Rightarrow x^2gt 8Rightarrow |x|gt sqrt{8}Rightarrow xlt -2sqrt{2}cup xgt 2sqrt{2})
Критические точки на границе ОДЗ: (x=pm 2sqrt{2})
Первая производная: begin{gather*} f'(x)=frac{2x}{8}-frac{2x}{x^2-8}=2xleft(frac18-frac{1}{x^2-8}right)=frac{2x(x^2-8-8)}{8(x^2-8)}=frac{x(x^2-16)}{4(x^2-8)} end{gather*} Вторая производная: begin{gather*} f”(x)=frac14left(frac{x^3-16x}{x^2-8}right)’=frac14cdotfrac{(3x^2-16)(x^2-8)-(x^3-16x)cdot 2x}{(x^2-8)^2}=\ =frac14cdotfrac{3x^4-40x^2+128-2x^4+32x^2}{(x^2-8)^2}=frac14cdotfrac{x^4-8x^2+128}{(x^2-8)^2} end{gather*} Для биквадратного уравнения (x^4-8x^2+128=0) дискриминант (D=64-4cdot 128lt 0)
Значит, (x^4-8x^2+128gt 0) на всей ОДЗ. Нулей у второй производной нет.
Критические точки 2-го порядка: (x=left{pm 2sqrt{2}right})
Составляем таблицу:
| (x) | ((-infty;-2sqrt{2})) | (-2sqrt{2} ) | ((-2sqrt{2};2sqrt{2})) | (2sqrt{2}) | ((2sqrt{2};+infty)) |
| (f”(x)) | >0 | (varnothing) | (varnothing) | (varnothing) | >0 |
| (f(x)) | (cup) | (varnothing) | (varnothing) | (varnothing) | (cup) |
Вывод:
Функция выпуклая вниз при (xin(-infty;-2sqrt{2})cup(2sqrt{2};+infty)) (на всей ОДЗ)
Точек перегиба нет.
Пример 3*. Найдите наименьшее значение функции:
begin{gather*} y=3^x+2cdot 3^{3-x}-xln 27-9 end{gather*} ОДЗ: (xinmathbb{R})
Первая производная: begin{gather*} f'(x)=3^xln 3+2cdot 3^{3-x}cdot (3-x)’cdot ln 3-1cdotln 27-0=\ =3^xln 3-2cdot 3^{3-x}ln 3-ln 3^3=3^xln 3-2cdot 3^3cdot 3^{-x}ln 3-3ln 3=\ =ln 3cdot (3^x-54cdot 3^{-x}-3) end{gather*} Найдём нули первой производной: begin{gather*} ln 3cdot (3^x-54cdot 3^{-x}-3)=0 |:ln 3\ 3^x-54cdot 3^{-x}-3=0 end{gather*} Замена: (t=3^xgt 0) begin{gather*} t-frac{54}{t}-3=0Rightarrow frac{t^2-3t-54}{t}=0Rightarrow begin{cases} t^2-3t-54=0\ tne 0 end{cases} \ (t+6)(t-9)=0Rightarrow left[ begin{array}{l} t=-6lt 0 – text{не подходит}\ t=9 end{array} right. end{gather*} Возвращаемся к исходной переменной: (3^x=9Rightarrow x=2) $$ f'(x)=0 text{при} x=2 $$ Критическая точка (x=2)
Для определения знаков в промежутке ((-infty;2)) можно взять (x=1) и тогда:
$$ f'(1)=ln 3cdot (3^1-54cdot 3^{-1}-3)=ln 3cdot (3-18-3)lt 0 $$ В промежутке ((2;+infty)) можно взять 3 и тогда: $$ f'(3)=ln 3cdot (3^3-54cdot 3^{-3}-3)=ln 3cdot (27-2-3)gt 0 $$ Получаем:
| (x) | ((-infty;2)) | 2 | ((2;+infty)) |
| (f'(x)) | <0 | 0 | >0 |
| (f(x)) | (searrow) | min | (nearrow) |
(x=2) точка минимума.
Значение функции в этой точке: begin{gather*} y_{min}=f(2)=3^2+2cdot 3^{3-2}-2ln 27-9=9+6-2ln 3^3-9=\ =6-6ln 3=6(1-ln 3) end{gather*} Ответ: (y_{min}=6(1-ln 3)) при (x=2)
Пример 4*. Найдите наибольшее значение функции begin{gather*} f(x)=x^4-6bx^2+b^2 end{gather*} на отрезке [-2;1] в зависимости от параметра b.
Первая производная: begin{gather*} f'(x)=4x^3-12bx=4x(x^2-3b)\ f'(x)=0 text{при} x=0 text{и} x=pmsqrt{3b} end{gather*}
Критическая точка (x=0) будет при любом b. При (bgt 0, x=0) будет максимумом, при (bleq 0) – минимумом.
Пара критических точек (x=pmsqrt{3b}) появляется только при условии (bgt 0), и это две точки минимума. Т.к. по условию мы ищем точку максимума (наибольшее значение функции), эти точки нам не интересны.
Поэтому рассмотрим значения на концах отрезка и в нуле в общем случае: begin{gather*} f(-2)=(-2)^4-6bcdot(-2)^2+b^2=b^2-24b+16\ f(0)=b^2\ f(1)=1-6b+b^2 end{gather*} Сравниваем попарно значения функций: begin{gather*} f(1)-f(0)=1-6b+b^2-b^2=1-6b\ f(1)gt f(0) text{при} bltfrac16\ f(1)lt f(0) text{при} bgtfrac16\ \ f(-2)-f(0)=b^2-24b+16-b^2=16-24b=8(2-3b)\ f(-2)gt f(0) text{при} bltfrac23\ f(-2)lt f(0) text{при} bgtfrac23\ \ f(-2)-f(1)=b^2-24b+16-(1-6b+b^2)=-18b+15=3(5-6b)\ f(-2)gt f(1) text{при} bltfrac56\ f(-2)lt f(1) text{при} bgtfrac56\ end{gather*} Получаем таблицу:
| b | Соотношение значений функции |
| (left(-infty;frac16right)) | (f(-2)gt f(1)gt f(0)) |
| (frac16) | (f(-2)gt f(1)=f(0)) |
| (left(frac16;frac23right)) | (f(-2)gt f(0)gt f(1)) |
| (frac23) | (f(-2)=f(0)gt f(1)) |
| (left(frac23;frac56right)) | (f(0)gt f(-2)gt f(1)) |
| (frac56) | (f(0)gt f(-2)=f(1)) |
| (left(frac56;+inftyright)) | (f(0)gt f(1)gt f(2)) |
Получаем, что при (bltfrac23) максимальное значение на отрезке имеет $$ f(-2)=b^2-24b+16 $$ При (bgeq frac23) максимальное значение будет для (f(0)=b^2)
Ответ:
При (bltfrac23, max_{[-2;1]}f(x)=f(-2)=b^2-24b+16)
При (bgeqfrac23, max_{[-2;1]}f(x)=f(0)=b^2)
Тема курса Применение
производной при исследовании и построении графиков функций
Тема
урока №22. Возрастание и убывание функций.
Экстремум функций
Возрастание и убывание функции.
Экстремум функций
Возрастание и убывание функции.
Приведем
формулировки теорем, используемых при исследовании функций.
Достаточное условие строгого
возрастания (убывания) функции.
Если () в интервале , то строго
возрастает (убывает) в этом интервале.
Промежутки, в которых функция возрастает (убывает),
называются промежутками монотонности функции. Чтобы найти промежутки
монотонности функции необходимо:
1. найти область определения функции;
2. найти производную функции;
3. приравнять производную к нулю и определить ее корни
(стационарные точки), а также найти точки, в которых производная не
существует, а функция определена;
4. определить знак производной в каждом из
промежутков, на которые разбивается полученными точками область определения
функции.
Экстремумы функций.
Внутренняя точка интервала называется
точкой максимума (минимума) функции , если существует такое ,
что для всех из интервала , содержащегося внутри интервала , выполняется
неравенство (). Точки максимума и минимума называют точками экстремума
(локального экстремума) функции. Точки, в которых производная обращается в
ноль, называют стационарными точками.
Необходимое условие экстремума
функции
Если функция дифференцируема в
точке и достигает в этой точке 
максимума (минимума), то .
Точками экстремума могут быть
только те точки, в которых производная равна нулю, либо не существует. Точки, в
которых производная равна нулю или не существует, называют точками,
подозрительными на экстремум, или 
критическими точками.
Достаточные условия экстремума
функции
Если при переходе через точку ,
подозрительную на экстремум, производная меняет знак, то точка является точкой
экстремума. При этом если в некоторой окрестности точки для и для , то является
точкой максимума. Если же в этой окрестности для и для , то – точка
минимума.
Другим достаточным признаком существования экстремума в
стационарной точке является условие (тогда это точка максимума) и (тогда это
точка минимума). При этом считается, что имеет непрерывную вторую производную
в некоторой окрестности точки .
Примеры. Исследовать функции на минимум и максимум.
. Область определения
функции D(y)=R.
. Область определенияНайдем производную заданной функции 
Определим критические точки 
. Производная не существует при х2=
0. Следовательно, критические точки: 0 и 2/5. Нанесем их на числовую ось и
определим знак производной на каждом из полученных промежутков.
Критическая точка функции x =3. Точка x= –1
не входит в область определения функции.
Преподаватель: Г.Б.Слямова
План урока:
Исследование функций на монотонность
Экстремумы функции
Выпуклость и вогнутость функций
Исследование функций и построение их графиков
Исследование функций на монотонность
Говоря о смысле производной, мы замечали, что у возрастающих функций она принимает положительные значения, а у убывающих – отрицательные. Убедиться в этом можно с помощью графиков. Действительно, если провести касательную к возрастающей ф-кции, то она образует с осью Ох острый угол, а потому тангенс этого угла (а он как раз равен произ-ной) окажется положительным числом:
Если же ф-кция убывает, то касательная образует с осью Ох тупой угол, чей тангенс будет отрицательным:
Рассмотрим более сложный случай, когда ф-кция на каких-то промежутках убывает, а на каких-то возрастает. В качестве примера приведем зависимость у = х2. Она является убывающей на промежутке (– ∞; 0] и возрастающей на промежутке [0; + ∞). Можно заметить, что любая касательная, проведенная на первом из этих промежутков, будет образовывать тупой угол с Ох. И наоборот, любая касательная на втором промежутке имеет острый угол:
Это означает, что произ-ная ф-кции на первом промежутке должна быть отрицательной, а на втором – положительной (сразу отметим, что граничная точка х = 0 стоит особняком, так как входит в оба промежутка). Попробуем найти произ-ную аналитически. Мы рассматриваем ф-кцию у = х2, её произ-ная равна
Действительно, произ-ная у′ = 2х принимает отрицательные значения при х∈ (– ∞;0) и оказывается положительной при х∈(0; + ∞). Заметим, что в граничной точке произ-ная равна нулю.
Это наблюдение подсказывает нам, что по знаку произ-ной можно определить, возрастает или убывает ф-кция. Однако сначала надо разобраться с тем случаем, когда произ-ная оказывается равной нулю. Рассмотрим ф-кцию у = х3. Очевидно, что она возрастает на всей числовой прямой. Значит ли это, что её произ-ная на этой прямой строго положительна? Нет, не значит. Запишем у′:
Произ-ная положительна во всех точках, кроме х = 0. При х = 0 у′ также оказывается равной нулю. Однако мы можем сказать, что у′ неотрицательна на всей числовой прямой.
Можно привести пример ф-кции
ее произ-ная равна
Сама ф-кция убывает на всей числовой прямой, а её произ-ная неположительна на ней.
Рассмотрим особый случай, когда у ф-кции произ-ная одновременно и неположительна, и неотрицательна на отрезке. Как ни сложно догадаться, это означает, что производная равна нулю. Мы помним, что нулю равна произ-ная константы:
В качестве примера приведем ф-кцию у = 2. Её произ-ная на всей числовой прямой равна нулю:
При этом ф-кция и не убывает, и не возрастает на числовой прямой:
Рассматривая все эти примеры, можно сделать вывод, что для возрастания ф-кции на промежутке достаточно, чтобы её произ-ная принимала на этом отрезке только положительные отрезки:
Аналогично можно сформулировать и достаточный признак убывания ф-кции:
Сформулированные признаки не охватывают тех ситуаций, когда произ-ная в отдельных точках промежутка обращается в ноль. Если произ-ная равна нулю на всём промежутке, то ф-кция на нем остается неизменной (как в случае с функцией у = 2). Если же производная обращается в ноль только в отдельных точках (случай у = х3 и у = х2), то эти точки оказываются граничными для промежутков возрастания и промежутков убывания функции. В этих случаях эти граничные точки добавляют в соответствующие промежутки.
Задание. Докажите, что функция
возрастает при любом значении аргумента.
Решение. Найдем произ-ную у′:
Найдем, при каких значениях х произ-ная у′ оказывается положительной. Для этого запишем неравенство:
Множитель (5х2 + 6) при любом х положителен, а потому мы можем поделить обе части неравенства на него и преобразовать его к виду
Его решениями являются промежутки (– ∞; 0) и (0; + ∞), а при х = 0 произ-ная оказывается равной нулю, то есть это граничная точка. Значит, промежутками возрастания функции являются (– ∞; 0] и [0; + ∞). Обратите внимание, что мы добавили в каждый из промежутков граничную точку х = 0. Но объединением этих промежутков является вся числовая прямая:
Получается, что ф-кция возрастает при любом х.
Теперь попытаемся найти промежутки возрастания и убывания функции
Для их нахождения определим, где произ-ная положительна, а где отрицательна. Для этого сначала найдем произ-ную:
Решим неравенство у′ > 0, при этом мы используем метод интервалов:
Отмечаем нули на координатной прямой и расставляем знаки промежутков:
Напомним, что для определения знаков промежутков можно просто выбрать на каждом из них одну точку и подставить её в неравенство. Например, на интервале х∈(– ∞; – 1) возьмем число – 2:
Итак, произ-ная положительна на промежутках (– ∞; – 1) и (0; + ∞). При х = 0 и х = 1 произ-ная обращается в ноль – это граничные точки, которые надо добавить в промежутки возрастания. То есть ф-кция возрастает на промежутках (– ∞; – 1] и [0; + ∞).
Рассматривая аналогичное неравенство у′ < 0, получаем, что произ-ная отрицательна при х∈(– 1; 0). Тогда промежутком убывания ф-кции является [– 1; 0].
Для наглядности построим график рассматриваемой нами ф-кции:
Проведенное нами действие (поиск промежутков возрастания и убывания ф-кции) называется исследованием функции на монотонность. Для его проведения необходимо вычислить производную ф-кцию у′, а потом найти, на каких промежутках она положительна или отрицательна. Если в граничных точках полученных промежутков произво-дная обращается в ноль, то эти точки следует включить в промежутки.
Экстремумы функции
Еще раз посмотрим на график рассмотренной нами ф-кции
На нем есть две особые точки: (– 1; 0) и (0; – 1). Они являются границами для промежутков возрастания и убывания. При этом значение произ-ной в этих точках оказалось равным нулю. Если мы проведем касательные к графику в этих точках, то окажется, что они являются горизонтальными линиями, то есть их угол наклона равен нулю:
Действительно, если произ-ная в точке равна нулю, то тангенс угла наклона должен быть также равен нулю. А это значит, что и сам угол равен нулю, ведь tg 0 = 0. Геометрически это означает, что касательная будет выглядеть как горизонтальная линия, которая либо параллельна оси Ох, либо совпадает с ней.
Ещё одна особенность точек (– 1; 0) и (0; – 1). Первая из них в некоторой, достаточно малой локальной области является точкой максимума функции. Действительно, если взять промежуток [– 1,5; – 0,5], то на нем именно в точке х = –1 ф-кция принимает наибольшее значение:
Аналогичную окрестность можно указать и для точки х = 0, только на ней точка (0; – 1) окажется точкой минимума функции, а не максимума:
Ни для какой другой точки на графике такую окрестность указать не удастся. Дадим более точное определение таким понятиям, как точка минимума и точка максимума функции:
Ещё раз заметим, что в таких точках ф-кция достигает наибольшего или наименьшего значения только в определенной локальной области. Поэтому часто их называют локальными максимумами или минимумами. Пусть ф-кция задана следующим графиком:
На графике можно отметить 5 минимумов функции и 5 максимумов, причем только один максимум и минимум будут соответствовать наибольшему или наименьшему значению на всей области определения (их ещё называют глобальными максимумами и минимумами):
Грубо говоря, точки максимума соответствуют вершинам графика, а точки минимума – впадинам графика.
Для обозначения этих точек используют специальный термин – точки экстремума функции.
Довольно очевидно, что точки экстремума находятся на границе промежутков возрастания и убывания ф-кции, то есть в тех самых граничных точках. Напомним, что в этих точках произ-ная равна нулю. Однако возможен ещё один случай появления экстремума. Он связан с так называемыми негладкими ф-кциями, пример одной из которых приведен на рисунке:
На графике явно видно два экстремума функции. Однако в этих точках ф-кция меняет свое поведение резко, а не плавно. Из-за этого график кажется «зазубренным». Обратите внимание, что построить единственную касательную к графику в экстремумах не получается:
С точки зрения математического анализа это означает, что произ-ная в таких точках не существует. Заметим, что все элементарные ф-кции, а также сложные ф-кции, получаемые из нескольких элементарных, являются гладкими. Поэтому на практике в школьном курсе такие случаи почти не встречаются.
Итак, можно сформулировать признак существования экстремума:
Задание. Докажите, что у функции вида
где a, b, c, d – постоянные числа, есть не более двух экстремумов.
Решение. Чтобы найти экстремумы функции, сначала просто продифференцируем её:
Заметим, что производная является квадратичной функцией
Эта ф-кция определена при любом значении х. Это значит, что не существует таких экстремумов, в которых произ-ная не существует. Если приравнять произ-ную к нулю, то получим квадратное уравнение:
Напомним, что квадратное уравнение может иметь не более 2 различных корней. То есть у ф-кции есть не более 2 точек, в которых произ-ная обращается в ноль. Следовательно, и экстремумов у ф-кции не более двух.
Точки, в которых произ-ная обращается в ноль или не существует, называют критическими точками функции.
Заметим, что не каждая критическая точка обязательно оказывается экстремумом. Можно снова привести пример ф-кции у = х3. Она возрастает на всей области числовой прямой, то есть не имеет экстремумов. Однако ее произ-ная имеет вид у′ = 3х2, и она обращается в ноль при х = 0. В связи с этим встает вопрос – есть ли какой-то метод, позволяющий достоверно определить наличие экстремума у ф-кции? Оказывается, есть. Надо лишь проанализировать поведение производной вблизи критической точки. Если произ-ная в точке меняет знак, то она является экстремумом, а если не меняет – то не является.
Более того, можно определить, является ли экстремум точкой минимума или точкой максимума. Если произ-ная меняет знак с плюса на минус, то это точка максимума, а если с минуса на плюс – то это точка минимума.
Для примера рассмотрим ф-кцию
Попытаемся найти ее экстремумы. Для этого вычислим производную:
Найдем нули произ-ной:
Теперь отметим на координатной прямой нули ф-кции. Они разобьют числовую прямую на три промежутка. Расставим знаки производной на этих промежутках:
Знаки на промежутках можно определить, просто подставив в произ-ную одно из чисел из промежутка:
Получается, что в точке х = 0 произ-ная меняет знак с «+» на (–), а в точке х = 2 знак произ-ной не меняется. Это значит, что точка х = 0 является точкой минимума, а х = 2 – это вообще не экстремум ф-кции:
В общем случае для определения экстремумов ф-кции можно руководствоваться следующей схемой:
До этого мы рассматривали случаи, когда ф-кция была определена при любом значении аргумента. Теперь изучим ф-кцию
Ее особенностью является то, что она не определена при х = 0, так как при таком значении аргумента получается деление на ноль. Вычислим у′:
Теперь найдем нули произ-ной:
Выражение х2 + 4 при любом х не равно нулю, а потому на него можно поделить уравнение:
Теперь на числовой прямой мы должны отметить две найденные критические точки. Но также на ней следует отметить число х = 0, так как в этой точке ф-кция не определена:
Обратите внимание, что точка х = 0 НЕ является экстремумом, хотя кажется, что в ней ф-кция меняет свой знак. Дело в том, ф-кция не существует при таком значении аргумента. Это значит, что х = 0 – это асимптота графика. График ф-кции будет выглядеть примерно так:
Выпуклость и вогнутость функций
Нарисуем две немного отличающиеся друг от друга возрастающие ф-кции:
Видно, что эти графики будто выгнуты в разные стороны. Оказывается, в математике есть специальное свойство ф-кций, которое указывает на направление, в котором выгнуты их графики. Левая ф-кция является вогнутой функцией, а правая – выпуклой функцией.
Определить, выпукла или вогнута ф-кция, очень просто. Достаточно провести к графику касательную. Если она проходит выше графика, то это указывает на вогнутость функции, а если ниже, то она выпукла:
Естественно, встречаются ф-кции, которые на одном промежутке выпуклые, а на другом – вогнутые. Классическим примером является кубическая парабола у = х3. На промежутке (– ∞; 0] она вогнутая, а на промежутке [0; + ∞) она становится выпуклой. При этом в точке х = 0 она меняет свой характер. Такая точка называется точкой перегиба функции:
Ранее мы уже заметили, что точка х = 0 для ф-кции у = х3 – этой пример критической точки, которая не является экстремумом. Действительно, произ-ная ф-кции у = х3 имеет вид
и она обращается в ноль при х = 0, однако в этой точке ф-кция возрастает. Это подсказывает нам, что критические точки, в которых ф-кция НЕ меняет своего знака, являются точками перегиба. И это действительно так.
Заметим, однако, что в общем случае точка перегиба может и вовсе не являться критической точкой ф-кции. В рамках школьного курса мы не будем детально изучать выпуклость функций и точки перегиба. Отметим лишь, что для их поиска необходимо вычислять уже не только первую, но и вторую произ-ную функции.
Исследование функций и построение их графиков
Ранее мы строили графики ф-кций в основном «по точкам». То есть мы просто вычисляли значение ф-кции при различных значениях х, отмечали получившиеся точки на координатной плоскости, а потом соединяли их плавной кривой. Однако при этом можно упустить некоторые важные особенности ф-кций – наличие у них минимумов и максимумов, точки их пересечения с осями координат и т.п. Поэтому в математике используют особый алгоритм для построения графиков ф-кции, который называют «исследованием функции».
Последовательность алгоритма следующая:
- Находят область определения ф-кции. Здесь нужно учесть такие простые правила, согласно которым нельзя делить на ноль, под знаком квадратного корня не может стоять отрицательное число и т.п.
- Выясняют, является ли ф-кция четной или нечетной, периодической или непериодической.
- Находят производную ф-кции.
- Приравнивая произ-ную к нулю, находят критические точки ф-кции, промежутки ее возрастания и убывания (то есть проводят исследование на монотонность).
- Находят точку пересечения графика с осью Оу, для чего подставляют в ф-кцию х = 0. Конечно, это действие совершается только в том случае, если точка х = 0 входит в область определения ф-кции.
- Находят точку пересечения графика с горизонтальной осью Ох. Для этого надо составить уравнение у(х) = 0 и решить его. Возможна ситуация, когда решить уравнение точно не получается, тогда этот этап можно пропустить.
- Находят промежутки знакопостоянства ф-кции.
- Изучают поведение ф-кции вблизи ее особых точек. Обычно это подразумевает поиск пределов ф-кции на бесконечности или в точках, где она не определена.
- Определяют область значений ф-кции.
- С учетом всех особенностей ф-кции строят ее график.
Заметим, что у ф-кции можно также найти точки перегиба ф-кции, исследовать ее на выпуклость и вогнутость, однако в рамках программы 11 класса это не делается.
Сразу скажем, что исследование ф-кции – это трудоемкая задача. Она не очень сложная, но требует больших затрат времени и бумаги.
Для начала рассмотрим относительно простой пример ф-кции
Область ее определения – это вся числовая прямая. Ф-кция не является ни четной, ни нечетной. Доказать это на примере конкретной точки. Возьмем х = 1:
Однако у нас это условие явно не выполняется, ведь 0 ≠ 4. Если бы ф-кция была нечетной, то выполнялось бы условие
Оно также не выполняется, так как 0 ≠ – 4.
Вычислим произ-ную ф-кции:
Произ-ная также определена на всей числовой прямой. Для поиска критических точек приравняем ее к нулю:
Получили две критические точки. Отметим их на прямой и расставим знаки:
Итак, мы смогли найти точку максимума функции, равно как и ее точку минимума.
Сразу же вычислим значение ф-кции в ее экстремумах:
Для расстановки знаков возьмем по одному значению из каждого промежутка. Например, можно взять числа (– 2), 0 и 2:
Далее находим, где прямая пересекается с осью Оу, для чего подставляем в ф-кцию значение х = 0:
Получили точку (0; 2). Для нахождения точек пересечения графика с горизонтальной остью Ох надо приравнять всю ф-кцию к нулю:
Это кубическое уравнение. Решить его можно методом подбора корней и последующим делением многочлена на многочлен. Не останавливаясь на подробностях решения, укажем, что его корнями являются числа (– 2) и 1, а других корней. Убедиться в этом можно, просто подставив в уравнение эти числа.
Следующий шаг – определение промежутков знакопостоянства. Для этого надо решить неравенство у(х) > 0:
Это неравенство решается методом интервалов. Он сводится к тому, что находятся нули левой части, которые мы уже нашли – это числа (– 2) и 1. Далее они отмечаются на прямой, после чего на образовавшихся промежутках проставляются знаки:
Знаки определяем, выбирая по одной точке из каждого промежутка:
Достаточно очевидно, что при х→∞ сама ф-кция также стремится к бесконечности. Если же х→ – ∞, то и у→ – ∞.
Представим найденную нами информацию в виде таблицы. В верхней строке будем записывать промежутки и отдельные точки, а ниже – особенности ф-кции на этих промежутках (возрастает ф-кция или убывает, положительна она или отрицательна и т.п.):
В итоге график ф-кции будет иметь следующий вид:
Теперь исследуем более сложную ф-кцию
Начнем с области определения. Знаменатель дроби не может равняться нулю, а потому
Итак, аргумент ф-кции может принимать любые значение, кроме 1 и (– 1). Поэтому её область определения (она обычно обозначается как D (x)) можно записать так:
Далее проверяем ф-кцию на четность или нечетность. Напомним, что для этого надо подставить в нее вместо аргумента х аргумент (– х):
Мы получили у(х). Это означает, что ф-кция четная, а ее график симметричен относительно оси Оу.
Следующий шаг – находим произ-ную ф-кции:
Заметим, что область определения произ-ной полностью совпадает с областью определения самой ф-кции. Поэтому у ф-кции нет таких критических точек, в которых произ-ная не существует.
Теперь произ-ную можно приравнять к нулю:
Мы нашли всего одну критическую точку. Отметив ее на координатной прямой, можно выяснить, что она является точкой максимума. При этом стоит также отметить точки х = 1 и х = – 1, в которых ф-кция не определена (их ещё называют точками разрывов):
Для определения знаков произ-ной достаточно вычислить её значение в одной точке на каждом получившемся промежутке. Возьмем значения (– 2), (– 0,5), 0,5 и 2
Найдем точку пересечения графика с осью Оу, для чего подставим в ф-кцию значение х = 0:
Получили точку (0; – 1).
Далее находим точку пересечения графика с осью Ох. Для этого подставим в ф-кцию значение у = 0 и решим получившееся уравнение:
Числитель дроби в правой части при любом значении х положителен, то есть не равен нулю. Это значит, что уравнение не имеет решения. Отсюда вывод – график НЕ пересекается с осью Ох.
Следующий шаг – это определение промежутков знакопостоянства функции. Чтобы найти, при каких значениях аргумента ф-кция положительная, составим неравенство:
Это дробно-рациональное неравенство. Для его решения надо отметить на координатной прямой те значения х, при которых либо знаменатель, либо числитель обращается в ноль. Числитель при любом аргументе положителен, а нулями знаменателя являются точки х = – 1 и х = 1:
Знаки на промежутках определяем, подставляя точки из промежутков в ф-кцию:
Далее следует исследовать поведение ф-кции вблизи при х →∞ и х→ –∞. Для этого преобразуем ф-кцию, выделив целую часть:
При х→∞ число (х2 – 1) также стремится к бесконечности, а дробь
будет стремиться к единице. Аналогично можно убедиться, что при х→ – ∞ ф-кция также стремится к единице.
Все полученные данные можно удобно представить в табличном виде:
На основании этих результатов строим график:
Из рисунка видно, что область значений ф-кции имеет вид
Итак, мы узнали, что с помощью производной можно определять промежутки, на которых функция возрастает и убывает, а также находить ее минимумы и максимумы. Эти навыки помогают при решении многих практических задач, когда требуется найти такое значение некоторых параметров, при которых какая-то величина принимает максимальное или минимальное значение. Например, продавцы товара могут назначать такую цену на свою продукцию, которая принесет им максимальный доход (просто назначить как можно большую цену нельзя, так как слишком дорогой товар никто не купит). Более подробно такие задачи мы рассмотрим подобные задачи в следующих уроках.
