Как найти экстремумы функции онлайн с решением

Как найти экстремумы функции онлайн с решением

Экстремумы функции

С помощью данного сервиса можно найти наибольшее и наименьшее значение функции одной переменной f(x) с оформлением решения в Word. Если же задана функция f(x,y), следовательно, необходимо найти экстремум функции двух переменных. Также можно найти интервалы возрастания и убывания функции.

  • Решение онлайн
  • Видеоинструкция
  • Оформление Word
  • Также решают

Необходимое условие экстремума функции одной переменной

Уравнение f’0(x*) = 0 – это необходимое условие экстремума функции одной переменной, т.е. в точке x* первая производная функции должна обращаться в нуль. Оно выделяет стационарные точки xс, в которых функция не возрастает и не убывает.

Достаточное условие экстремума функции одной переменной

Пусть f0(x) дважды дифференцируемая по x, принадлежащему множеству D. Если в точке x* выполняется условие:

f’0(x*) = 0

f”0(x*) > 0

то точка x* является точкой локального (глобального) минимума функции.

Если в точке x* выполняется условие:

f’0(x*) = 0

f”0(x*) < 0

то точка x* – локальный (глобальный) максимум.

Пример №1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции:
Наибольшее и наименьшее значения функции. Пример на отрезке [1; 3].

Решение.



Критическая точка одна x1 = 2 (f’(x)=0). Эта точка принадлежит отрезку [1;3]. (Точка x=0 не является критической, так как 0∉[1;3]).

Вычисляем значения функции на концах отрезка и в критической точке.

f(1)=9, f(2)=5/2, f(3)=3 8/81

Ответ: fmin=5/2 при x=2; fmax=9 при x=1

Пример №2. С помощью производных высших порядков найти экстремум функции y=x-2sin(x).

Решение.

Находим производную функции: y’=1-2cos(x). Найдем критические точки: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=±π/3+2πk, k∈Z. Находим y’’=2sin(x), вычисляем Наибольшее и наименьшее значения функции. Пример, значит x=π/3+2πk, k∈Z – точки минимума функции; Наибольшее и наименьшее значения функции. Пример, значит x=-π/3+2πk, k∈Z – точки максимума функции.

Пример №3. Исследовать на экстремум фцнкцию в окрестностях точки x=0.

Решение. Здесь необходимо найти экстремумы функции. Если экстремум x=0, то выяснить его тип (минимум или максимум). Если среди найденных точек нет x = 0, то вычислить значение функции f(x=0).

Следует обратить внимание, что когда производная с каждой стороны от данной точки не меняет своего знака, не исчерпываются возможные ситуации даже для дифференцируемых функций: может случиться, что для сколь угодно малой окрестности по одну из сторон от точки x0 или по обе стороны производная меняет знак. В этих точках приходится применять другие методы для исследования функций на экстремум.

Пример №4. Разбить число 49 на два слагаемых, произведение которых будет наибольшим.

Решение. Обозначим x – первое слагаемое. Тогда (49-x) – второе слагаемое.

Произведение будет максимальным: x·(49-x) → max

или

49x – x2

Наибольший объем цилиндра

Найти размеры цилиндра наибольшего объема, изготовленного из заготовки в форме шара радиуса R.

Решение:



Объем цилиндра равен: V = πr2H

где H = 2h,

Подставим эти значения в целевую функцию.



V → max

Найдем экстремум функции. Поскольку функция объема V(h) зависит только от одной переменной, то найдем производную с помощью сервиса Производная онлайн и приравняем ее к нулю.

dV/dh = 2πR2 – 6πh2

dV/dh = 0

2πR2 – 6πh2 = 0 или R2 = 3h2

Откуда





При высоте и радиусе основания размеры цилиндра будут наибольшими.

Источник

Найти экстремумы функции

Данный калькулятор предназначен для нахождения экстремумов функции.
Следует различать понятия точек экстремума и экстремумов функции. Точки экстремума – точки максимума и минимума функции, это значения на оси Ox. Точка x0 является точкой максимума функции y=f(x), если для всех x из ее окрестности выполняется неравенство f(x0)≥f(x). Точка x0 является точкой минимума функции y=f(x), если из ее окрестности для всех x выполняется неравенство f(x0)≤f(x). Значения функции, которые соответствуют точкам экстремума, называются экстремумами функции, это значения на оси Oy.
Для того чтобы найти экстремумы функции можно использовать любой из трех условий экстремума, если функция удовлетворяет эти условиям.
Первым достаточным условием экстремума являются следующие утверждения: если в точке x0 функция непрерывна, и в ней производная меняет знак с плюса на минус, то точка x0 является точкой максимума, а если в данной точке производная меняет знак с минуса на плюс, то x0 – точка минимума.

Вторым признаком экстремума является следующее утверждение: если производная второго порядка от x0 больше нуля, то x0 – точка минимума; если меньше нуля, то x0 – точка максимума.
Третье достаточное условие экстремума функции заключается в следующем. Пусть функция y=f(x) имеет производные до n-ого порядка в окрестности точки x0 и производные до n+1-ого порядка в самой точке x0; пусть f’(x0)= f’’(x0)= f’’’(x0)=…=f(n)( x0)=0 и f(n+1)( x0)≠0. Тогда, если n – нечетное, то x0 – точка экстремума. Если f(n+1)( x0)>0, то x0 – точка минимума, а, если f(n+1)( x0)<0, то x0 – точка максимума.
Для того чтобы найти экстремумы функции, введите эту функцию в ячейку. Основные примеры ввода функций для данного калькулятора указаны ниже.

Для получения полного хода решения нажимаем в ответе Step-by-step.

×

Пожалуйста напишите с чем связна такая низкая оценка:

×

Для установки калькулятора на iPhone – просто добавьте страницу
«На главный экран»

Для установки калькулятора на Android – просто добавьте страницу
«На главный экран»

Источник

Экстремумом функции
называется точка минимума или максимума функции. Рассмотрим функцию, график которой приведен на рисунке:

пример графика функции с минимумами и максимумами

Из графика видно, что точки
(x1,
y1),
(x3,
y3)
являются точками максимума функции, точки
(x2,
y2),
(x4,
y4)
– точками минимума функции. Вместе эти точки, называются точками экстремума функции.

Характерной особенностью является тот факт, что касательная к функции в точках экстремума параллельна оси абсцисс (геометрический смысл точек экстремума). Отсюда немедленно следует, что производная функции в точках экстремума равна нулю (необходимое условие экстремума). Кроме того, в точках экстремума функция может быть не дифференцируемой.

Иногда, требуется найти минимальное (максимальное) значение функции на некотором интервале
[a,
b].
В этом случае необходимо найти точки
экстремума функции
принадлежащие этому интервалу, а также проверить значения функции на концах интервала.

Источник
bold{mathrm{Basic}} bold{alphabetagamma} bold{mathrm{ABGamma}} bold{sincos} bold{gedivrightarrow} bold{overline{x}spacemathbb{C}forall} bold{sumspaceintspaceproduct} bold{begin{pmatrix}square&square\square&squareend{pmatrix}} bold{H_{2}O}
square^{2} x^{square} sqrt{square} nthroot[msquare]{square} frac{msquare}{msquare} log_{msquare} pi theta infty int frac{d}{dx}
ge le cdot div x^{circ} (square) |square| (f:circ:g) f(x) ln e^{square}
left(squareright)^{‘} frac{partial}{partial x} int_{msquare}^{msquare} lim sum sin cos tan cot csc sec
alpha beta gamma delta zeta eta theta iota kappa lambda mu
nu xi pi rho sigma tau upsilon phi chi psi omega
A B Gamma Delta E Z H Theta K Lambda M
N Xi Pi P Sigma T Upsilon Phi X Psi Omega
sin cos tan cot sec csc sinh cosh tanh coth sech
arcsin arccos arctan arccot arcsec arccsc arcsinh arccosh arctanh arccoth arcsech
begin{cases}square\squareend{cases} begin{cases}square\square\squareend{cases} = ne div cdot times < > le ge
(square) [square] ▭:longdivision{▭} times twostack{▭}{▭} + twostack{▭}{▭} – twostack{▭}{▭} square! x^{circ} rightarrow lfloorsquarerfloor lceilsquarerceil
overline{square} vec{square} in forall notin exist mathbb{R} mathbb{C} mathbb{N} mathbb{Z} emptyset
vee wedge neg oplus cap cup square^{c} subset subsete superset supersete
int intint intintint int_{square}^{square} int_{square}^{square}int_{square}^{square} int_{square}^{square}int_{square}^{square}int_{square}^{square} sum prod
lim lim _{xto infty } lim _{xto 0+} lim _{xto 0-} frac{d}{dx} frac{d^2}{dx^2} left(squareright)^{‘} left(squareright)^{”} frac{partial}{partial x}
(2times2) (2times3) (3times3) (3times2) (4times2) (4times3) (4times4) (3times4) (2times4) (5times5)
(1times2) (1times3) (1times4) (1times5) (1times6) (2times1) (3times1) (4times1) (5times1) (6times1) (7times1)
mathrm{Радианы} mathrm{Степени} square! ( ) % mathrm{очистить}
arcsin sin sqrt{square} 7 8 9 div
arccos cos ln 4 5 6 times
arctan tan log 1 2 3 –
pi e x^{square} 0 . bold{=} +

Подпишитесь, чтобы подтвердить свой ответ

Подписаться

Войдите, чтобы сохранять заметки

Войти

Номер Строки

Примеры

  • absolute:крайние:точки:y=frac{x^{2}+x+1}{x}

  • absolute:крайние:точки:f(x)=x^3

  • absolute:крайние:точки:f(x)=ln (x-5)

  • absolute:крайние:точки:f(x)=frac{1}{x^2}

  • absolute:крайние:точки:y=frac{x}{x^2-6x+8}

  • absolute:крайние:точки:f(x)=sqrt{x+3}

  • absolute:крайние:точки:f(x)=cos(2x+5)

  • absolute:крайние:точки:f(x)=sin(3x)

  • Показать больше

Описание

Пошаговый поиск абсолютных экстремумов функций

function-absolute-extreme-points-calculator

ru

Блог-сообщения, имеющие отношение к Symbolab

  • Functions

    A function basically relates an input to an output, there’s an input, a relationship and an output. For every input…

    Read More

    • Введите Задачу

    Сохранить в блокнот!

    Войти

    Источник

    19:45

    Найти экстремум функции

    Калькулятор для нахождения экстремума функции.

    Замечание. Данный калькулятор находит производную функции, решает уравнение f ‘ (x)=0, и выдает точки подозрительные на экстремум (необходимое условие экстремума).

    Данные точки будут экстремумами, если также будет выполнятся достаточное условие экстремума:

    Если f ‘(x) при переходе через точку xо меняет знак плюс на минус, то в точке xо функция имеет максимум, в противном случае – минимум.

    Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке xо экстремума нет.

    Пример. Найти экстремумы функции

    $$y=frac{x^3}{4left ( 2-x right )^2}$$

    Решение. Вставляем в калькулятор функцию в виде x^3/(4(2-x)^2), нажимаем “Ok”, получаем точки подозрительные на экстремум: x=0, x=6

    Проверим достаточное условие экстремумов:

    Из рисунка видно, что  экстремум функции находится в точке x=6, и называется локальным минимумом, а также получаем интервалы монотонности функции:
    (-    ∞ ;2) и (6;+∞) – функция возрастает,
    (-2;6) – функция убывает

    Выполнение достаточного условия можно было проверить и по другому:

    Второе достаточное условие. Пусть функция f(x) имеет производную
    f ‘     (x) в окрестности точки xо и вторую производную  в самой точке xо.

    Если f ‘ (xо) = 0, f “(x0)>0 (f “(x0)<0), то точка xо является точкой локального минимума (максимума) функции f(x).

    Если же f “(x0)=0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные, см. калькулятор высших производных.

    Решенные примеры: Полное исследование функции
    • 1
    • 2
    • 3
    • 4
    • 5

    Категория: Экстремумы функции | Просмотров: 127092 | | Теги: найти производную, монотонность функции, построить график, исследовать функцию | Рейтинг: 3.3/10

    Источник

    Добавить комментарий