Как найти экстремумы функции примеры решения - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Содержание:

Экстремум функции

Функция y=f(x) называется возрастающей (убывающей) в некотором интервале, если при

Если дифференцируемая функция у = f(x) на отрезке возрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке

Точка называется точкой локального максимума (минимума) функции если существует окрестность точки для всех точек которой верно неравенство

Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках – ее экстремумами.

Необходимые условия экстремума. Если точка хо является точкой экстремума функции то либо не существует. Такие точки называют критическими, причем сама функция в критической точке определена. Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек. Первое достаточное условие. Пусть – критическая точка. Если f'(х) при переходе через точку меняет знак плюс на минус, то в точке функция имеет максимум, в противном случае – минимум. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке хо экстремума нет.

Второе достаточное условие. Пусть функция имеет производную f'(х) в окрестности точки и вторую производную в самой точке . Если то точка является точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные.

На отрезке функция у = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка .

Пример:

Найти экстремумы функции

Решение:

Так как то критические точки функции и Экстремумы могут быть только в этих точках. Так как при переходе через точку производная меняет знак плюс на минус, то в этой точке функция имеет максимум. При переходе через точку производная меняет знак минус на плюс, поэтому в точке у функции минимум. Вычислив значения функции в точках и найдем экстремумы функции: максимум f(2) = 14 и минимум f(3) =13.

Пример:

Нужно построить прямоугольную площадку возле каменной стены так, чтобы с трех сторон она была отгорожена проволочной сеткой, а четвертой стороной примыкала к стене. Для этого имеется а погонных метров сетки. При каком соотношении сторон площадка будет иметь наибольшую площадь?

Решение:

Обозначим стороны площадки через Площадь площадки равна Пусть у – это длина стороны, примыкающей к стене. Тогда по условию должно выполняться равенство 2х + у = а. Поэтому (длина и ширина площадки не могут быть отрицательными). откуда Поскольку – единственная критическая точка, проверим, меняется ли знак производной при переходе через эту точку. При значит, в точке функция S имеет максимум. Значение функции

Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции.

Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является у = 2х.

Пример:

Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак вместимостью Каковы должны быть размеры бака (радиус R и высота Н), чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материала?

Решение:

Площадь полной поверхности цилиндра равна Мы знаем объем цилиндра Значит, Находим производную этой функции:следовательно,

Экстремумы функции

Введём несколько новых понятий. Окрестностью точки называется любой промежуток, для которого является внутренней точкой.

Точка называется точкой минимума (максимума) функции если для всех из некоторой окрестности точки выполняется неравенство

Точки минимума и максимума обозначают соответственно.

Значение функции в точке минимума называется минимумом функции, а в точке максимума — максимумом функции. Обозначают их:

Точки минимума и максимума функции называют точками экстремума (лат. extremum — край, конец). Значения функции в точках её экстремума — её экстремальные значения, или экстремумы.

Например, для функции точка является точкой максимума (рис. 77). Её максимум:

Для функции точка является точкой минимума (рис. 78). Её минимум:

Функция, график которой изображён на рисунке 75, имеет четыре экстремальные точки: — точки максимума; и — точки минимума.

Точка экстремума функции не может принадлежать промежутку, на котором эта функция возрастает или убывает (почему?). Следовательно, те точки, в которых производная функции положительная или отрицательная, не могут быть точками её экстремума. Все остальные точки области определения функции являются её критическими точками. Поэтому точками экстремума функции могут быть только её критические точки. Это — необходимое условие существования экстремума.

Выбрать из критических точек функции точки экстремума позволяет достаточное условие существования экстремума.

Пусть функция непрерывна на промежутке и — её критическая точка, Тогда: точка при переходе через которую в направлении роста аргумента производная меняет знак с «плюса» на «минус», является точкой максимума, а точка, при переходе через которую производная меняет знак с «минуса» на «плюс» — точкой минимума.

Действительно, если производная функции отрицательная, то при переходе через точку возрастание функции изменяется на убывание (рис. 79). В этом случае — точка максимума. Если же при переходе через точку убывание функции изменяется на возрастание, то — точка минимума (рис. 80).

Если же производная функции в точке равна нулю, а слева и справа от производная функции положительная (рис.81) или слева и справа отрицательная, то не является точкой экстремума.

Заказать решение задач по высшей математике

Пример №552

Найдите точки экстремума и экстремальные значения функции

Решение:

Критические точки функции: При переходе через точку производная меняет знаке поэтому —точка максимума. При переходе через точку производная меняет знак с поэтому — точка минимума (рис. 82).

Ответ.

Нахождение экстремумов функции можно оформлять в виде таблицы, как на с. 176. Особенно это удобно при общем исследовании функции, когда находят не только её экстремумы, но и другие свойства, строят её график.

Чтобы исследовать функцию, можно пользоваться следующей схемой:

найти область определения функции;
исследовать функцию на чётность, нечётность, периодичность;
найти точки пересечения графика функции с осями координат;
исследовать функцию на монотонность, то есть найти промежутки возрастания и убывания функции;
найти точки экстремума и экстремальные значения функции;
найти асимптоты графика функции;
построить график функции.

Пример №553

Исследуйте функцию и постройте её график.

Решение:

Область определения функции — все действительные числа, кроме Поскольку она не симметрична относительно нуля, то функция не может быть чётной или нечётной. Функция непериодическая.

Уравнение не имеет решений, поэтому график функции не пересекает ось Ось он пересекает в точке с ординатой

Критические точки:

Составим и заполним таблицу.

На промежутках функция возрастает, на промежутках функция убывает. — точка максимума, —точка минимума,

Область значений функции:

График функции имеет вертикальную асимптоту так как

График этой функции изображён на рисунке 83.

Пример №554

Может ли нечётная функция иметь экстремум в точке А чётная функция?

Решение:

Нечётная функция не может. Если в окрестности точки функция имеет экстремум, то с одной стороны от нуля она возрастает, а с другой — убывает, или наоборот. А нечётная функция — или только возрастает, или только убывает в окрестности точки Чётная функция может. Например, функция

Пример №555

Существуют ли такие числа при которых имеет экстремум функция

Решение:

При любых действительных значениях В каждой точке производная данной функции неотрицательная. Функция возрастает на поэтому не может иметь экстремумов.

Ответ. Не существуют.

Пример №556

Исследуйте функцию и постройте её график.

Решение.

2) Функция — нечётная, поскольку

Следовательно, её график симметричен относительно начала координат и достаточно исследовать функцию на промежутке

3) если — график пересекает оси координат только в точке

4) Найдём производную функции:

Очевидно, что для всех х из области определения. Следовательно, функция убывает на каждом из промежутков и не имеет максимумов и минимумов.

Для более точного построения вычислим значение функции в нескольких точках:

График функции имеет вертикальные асимптоты и (Убедитесь самостоятельно.)

График функции изображён на рисунке 84.

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
Скалярное произведение и его свойства
Векторное и смешанное произведения векторов
Преобразования декартовой системы координат
Определитель матрицы
Критерий совместности Кронекера-Капелли
Формулы Крамера
Матричный метод

Источник

п.1. Алгоритм решения задач на поиск экстремума

Шаг 1. Проанализировать условие задачи, обозначить одно из неизвестных буквой (переменной). Если это удобно, обозначить все неизвестные разными буквами и выбрать «основную» переменную.
Шаг 2. Выразить другие неизвестные через основную переменную.
Шаг 3. Записать функцию от основной переменной.
Шаг 4. Найти производную от полученной функции. Исследовать функцию на экстремум.
Шаг 5. Истолковать результат в соответствии с условием задачи.

Например:
Как разбить число 10 на два слагаемых так, чтобы их произведение было наибольшим?
Пусть (x) – первое слагаемое. Тогда ((10-x)) – второе слагаемое.
Их произведение (f(x)=x(10-x)rightarrow max)
Исследуем полученную функцию на экстремум:
(f'(x)=(10x-x^2)’=10-2x)
(f'(x)=0) при (x=5)
По условию значение (xin [0;10]).

(x)	[0;5)	5	(5;10]
(f'(x))	>0	0	<0
(f(x))	(nearrow)	max	(searrow)

Точка максимума (x=5, f_{max}=5cdot (10-5)=25)
Т.е., 10 нужно разбить на две пятерки, которые дадут максимальное возможное произведение 25.
Ответ: 5 и 5, максимальное произведение 25

п.2. Примеры

Пример 1. Какое число в сумме со своим квадратом дает наименьшее значение?
Пусть (x) – данное число.
По условию: (f(x)=x+x^2rightarrow min)
Исследуем полученную функцию на экстремум:
(f'(x)=(x+x^2)’=1+2x)
(f'(x)=0) при (x=-frac12)
По условию значение (xin mathbb{R}).

(x)	(left(-infty;-frac12right))	(-frac12)	(left(-frac12;+inftyright))
(f'(x))	<0	0	>0
(f(x))	(searrow)	min	(nearrow)

Точка минимума (x=-frac12, f_{min}=-frac12+left(-frac12right)^2=-frac12+frac14=-frac14)
Ответ: число (left(-frac12right)), минимальная сумма (left(-frac14right))

Пример 2. Какой из прямоугольников, вписанных в круг радиусом R, имеет наибольшую площадь?

Диагонали вписанного прямоугольника являются диаметрами круга: AC=BD=2R
Обозначим угол между диагоналями
(alpha=angle AOB, 0ltalphalt pi).
Используем формулу площади четырехугольника через диагонали: $$ S=frac{d_1d_2}{2}sinalpha=frac{(2R)^2}{2}sinalpha=2R^2sinalpha $$

Мы получили площадь как функцию от угла: (S(alpha)=2R^2 sin⁡alpha)
Исследуем полученную функцию на экстремум:
(S'(alpha)=2R^2 cosalpha)
(S'(alpha)=0) при (cos⁡alpha=0Rightarrow alpha=fracpi 2) – прямой угол.

(alpha)	(left(0;fracpi 2right))	(fracpi 2)	(left(fracpi 2;piright))
(S'(alpha))	>0	0	<0
(S(alpha))	(nearrow)	max	(searrow)

Точка максимума (alpha=fracpi 2, S_{max}=2R^2sinfracpi 2=2R^2cdot 1=2R^2)
Вписанный прямоугольник с прямым углом между диагоналями – это квадрат (т.к. диагонали перпендикулярны и равны).
Сторона квадрата по теореме Пифагора: (AB^2=OA^2+OB^2=2R^2Rightarrow AB=Rsqrt{2})

Ответ: квадрат со стороной (Rsqrt{2}), максимальная площадь (2R^2)

Пример 3. Какой из прямоугольников, вписанных в круг радиусом R, имеет наибольший периметр?

Диагонали вписанного прямоугольника являются диаметрами круга: AC=BD=2R
Обозначим угол между диагоналями
(alpha=angle AOB, 0ltalphalt pi).
По теореме косинусов сторона AB: begin{gather*} AB^2=OA^2+OB^2-2OAcdot OBcdot cosalpha=\ =R^2+R^2-2R^2cosalpha=2R^2(1-cosalpha)=\ =2R^2cdot 2sin^2fracalpha 2=4R^2sin^2fracalpha 2\ AB=2Rsinfracalpha 2 end{gather*}

Сторона BC: begin{gather*} BC^2=OB^2+OC^2-2OBcdot OCcdot cos(180^{circ}-alpha)=\ =R^2+R^2+2R^2cosalpha=2R^2(1+cosalpha)=2R^2cdot 2cos^2fracalpha 2=4R^2cos^2fracalpha 2\ BC=2Rcosfracalpha 2 end{gather*} Периметр: begin{gather*} P(alpha)=2(AB+BC)=2left(2Rsinfracalpha 2+2Rcosfracalpha 2right)=4Rleft(sinfracalpha 2+cosfracalpha 2right), 0ltfracalpha 2ltfracpi 2 end{gather*} Исследуем полученную функцию на экстремум: begin{gather*} P'(alpha)=4Rleft(frac12 cosfracalpha 2-frac12 sinfracalpha 2right)=2Rleft(cosfracalpha 2-sinfracalpha 2right)\ P'(alpha)=0Rightarrow cosfracalpha 2-sinfracalpha 2=0Rightarrow sinfracalpha 2=cosfracalpha 2 |: cosfracalpha 2\ tgfracalpha 2=1Rightarrow fracalpha 2=fracpi 4=Rightarrow alpha = fracpi 2 – text{прямой угол} end{gather*}

(fracalpha 2)	(left(0;fracpi 4right))	(fracpi 4)	(left(fracpi 4;fracpi 2right))
(P'(alpha))	>0	0	<0
(P(alpha))	(nearrow)	max	(searrow)

Точка максимума (alpha=fracpi 2, P_{max}=4Rleft(sinfracpi 4+cosfracpi 4right)=4Rcdot 2cdot frac{sqrt{2}}{2}=4sqrt{2}R)
Вписанный прямоугольник с прямым углом между диагоналями – это квадрат (т.к. диагонали перпендикулярны и равны).
Сторона квадрата по теореме Пифагора: (AB^2=OA^2+OB^2=2R^2Rightarrow AB=Rsqrt{2})

Ответ: квадрат со стороной (Rsqrt{2}), максимальный периметр (4sqrt{2}R)

Пример 4. Определите размеры открытого бассейна с квадратным дном объемом 32 м³ так, чтобы на облицовку его стен и дна ушло как можно меньше материала.

Пусть сторона бассейна a, высота h. Тогда объем: (V=a^2h=32). Откуда (h=frac{32}{a^2}).
Площадь дна: (S_0=a^2).
Площадь каждой стены: (S_1=ah=acdot frac{32}{a^2}=frac{32}{a}).
Общая площадь для облицовки: begin{gather*} S(a)=S_0+4S_1=a^2+4cdot frac{32}{a}=a^2+frac{128}{a} end{gather*} Исследуем полученную функцию на экстремум: begin{gather*} S'(a)=2a-frac{128}{a^2}=frac{2a^3-128}{a^2}=frac{2(a^3-64)}{a^2}=frac{2(a-4)(a^2+4a+16)}{a^2}\ S'(a)=0 text{при} a=4 end{gather*} По условию (agt 4)

(a)	(0;4)	4	(left(4;+inftyright))
(S'(a))	<0	0	>0
(S(a))	(searrow)	min	(nearrow)

Точка минимума (a=4) $$ S_{min}=4^2+frac{128}{4}=16+32=48 (м^2) $$ Оптимальные размеры бассейна: сторона (a=4) м, высота (h=frac{32}{16}=2) м

Ответ: бассейн со стороной 4 м и высотой 2 м,
минимальная площадь облицовки 48 м².

Пример 5*. Найдите наибольшей объем конуса с образующей a.

По условию AB=a
Обозначим угол при основании (alpha=angle BAO, 0ltalphalt fracpi 2).
Тогда: (r=OA=ABcdot cos⁡alpha=acosalpha)
(h=OB=ABcdot sin⁡alpha=asinalpha)
Объем конуса: begin{gather*} V=frac13 Sh=frac13cdotpi r^2h=fracpi 3cdot a^2cos^2alphacdot asinalpha=\ =frac{pi a^3}{3}cos^2alpha sinalpha end{gather*}

Объем как функция угла при основании: (V(alpha)=frac{pi a^3}{3}cos^2alpha sinalpha)
Исследуем полученную функцию на экстремум: begin{gather*} V'(alpha)=frac{pi a^3}{3}((cos^2alpha)’sinalpha+cos^2alpha sin’alpha)=frac{pi a^3}{3}(-2cosalphacdot sin^2alpha+cos^3alpha)=\ =frac{pi a^3}{3}cosalpha(cos^2alpha-2sin^2alpha)=frac{pi a^3}{3}cosalpha(cos^2alpha-2(1-cos^2alpha))=\ =frac{pi a^3}{3}cosalpha(3cos^2alpha-2) end{gather*} Решаем уравнение (V'(alpha)=0Rightarrow cosalpha(3cos^2alpha-2)=0Rightarrow left[ begin{array}{l} cosalpha=0\ 3cos^2alpha-2=0 end{array} right. )
(cosalpha=0) дает (alpha=fracpi 2) – это корень не подходит.
Решаем второе уравнение: (3cos^2alpha-2=0Rightarrow cos^2alpha=frac23Rightarrow cosalpha=pmsqrt{frac23})
Для (0ltalphaltfracpi 2) выбираем положительное значение (cosalpha=sqrt{frac23})
Тогда (sinalpha=sqrt{1-cos^2alpha}=sqrt{1-frac23}=frac{1}{sqrt{3}})

(alpha)	(left(0;arccossqrt{frac23}right))	(arccossqrt{frac23})	(left(arccossqrt{frac23};fracpi 2right))
(V'(alpha))	>0	0	<0
(V(alpha))	(nearrow)	max	(searrow)

Точка максимума (alpha=arccossqrt{frac23}, V_{max}=frac{pi a^3}{3}cdotfrac23cdotfrac{1}{sqrt{3}}=frac{2pi a^3}{9sqrt{3}})

Ответ: максимальный объем (V_{max}=frac{2pi a^3}{9sqrt{3}})

Пример 6. В данный конус вписан цилиндр наибольшего объема. Найдите отношение высоты конуса к высоте этого цилиндра.

Пусть R – радиус конуса, H – высота конуса,
r – радиус цилиндра, h – высота цилиндра.
R и H – постоянные, r и h – переменные.

Исходя из симметрии, задача сводится к вписыванию в равнобедренный треугольник ΔABC, AB=BC прямоугольника DEFG наибольшей площади.
Перейдем в осевую плоскость и решим эту задачу.

По двум углам (triangle ABOsimtriangle ADG) $$ frac{BO}{DG}=frac{AO}{AG}Rightarrow frac Hh=frac{R}{R-r}Rightarrow h=Hfrac{R-r}{R} $$ Площадь прямоугольника: begin{gather*} S=GFcdot DG=2rcdot h=2rcdot Hfrac{R-r}{R}\ S(r)=frac{2Hr(R-r)}{R} end{gather*}

Исследуем полученную функцию на экстремум: begin{gather*} S'(r)=frac{2H}{R}(Rr-r^2)’=frac{2H}{R}(R-2r)\ S'(r)=0 text{при} r=frac R2 end{gather*} По условию (0lt rlt R)

(r)	(left(0;frac R2right))	(frac R2)	(left(frac R2; Rright))
(S'(r))	>0	0	<0
(S(r))	(nearrow)	max	(searrow)

Точка максимума (r=frac R2)
Искомое отношение в точке максимума: $$ frac Hh=frac{R}{R-r}=frac{R}{R-frac R2}=2 $$
Ответ: 2

Пример 7*. Из трех досок одинаковой ширины сколачивается желоб. При каком угле наклона стенок площадь поперечного сечения желоба будет наибольшей?

Пусть AB=BC=CD=d
Искомый угол (alpha=angle ABC).
ABCD – равнобедренная трапеция
(S_{ABCD}rightarrow max)

Выразим площадь трапеции через угол.
Найдем диагональ AC по формуле косинусов: begin{gather*} AC^2=AB^2+BC^2-2ABcdot BCcdot cosalpha=d^2+d^2-2d^2cosalpha=2d^2(1-cosalpha)=\ =2d^2cdot 2sin^2fracalpha 2=4d^2sin^2fracalpha 2\ AC=sqrt{4d^2sin^2fracalpha 2}=2dsinfracalpha 2 end{gather*} Заметим, что (angle ACD=angle BCD-angle BCA=alpha-left(90^circ-fracalpha 2right)=frac{3alpha}{2}-90^circ)
Площадь трапеции: begin{gather*} S_{ABCD}=S_{ABC}+S_{ACD}=frac12 ABcdot BCcdot sinalpha+frac12 ACcdot CDcdot sinangle ACD=\ =frac12left(d^2sinalpha+2dsinfracalpha 2cdot 2cdot sinleft(frac{3alpha}{2}-90^circright)right)=frac{d^2}{2}left(sinalpha+2sinfracalpha 2 sinleft(frac{3alpha}{2}-90^circright)right)=\ =frac{d^2}{2}left(sinalpha-2sinfracalpha 2 cosfrac{3alpha}{2}right)=frac{d^2}{2}left(sinalpha-sinleft(fracalpha 2+frac{3alpha}{2}right)+sinleft(fracalpha 2-frac{3alpha}{2}right)right)=\ =frac{d^2}{2}(sinalpha-(sin2alpha-sinalpha))=frac{d^2}{4}(2sinalpha-sin2alpha)=\ =frac{d^2}{4}(2sinalpha-2sinalpha cosalpha)=frac{d^2}{2}sinalpha(1-cosalpha) end{gather*} Полученная функция: $$ S(alpha)=frac{d^2}{2}sinalpha(1-cosalpha) $$ Исследуем на экстремум: begin{gather*} S'(alpha)=frac{d^2}{2}(sin’aalpha(1-cosalpha)+sinalpha(1-cosalpha)’)=\ =frac{d^2}{2}(cosalpha(1-cosalpha)+sin^2alpha)=frac{d^2}{2}(cosalpha-cos^2alpha+1-cos^2alpha)=\ =frac{d^2}{2}(1+cosalpha-2cos^2alpha) end{gather*} Решаем уравнение begin{gather*} S'(alpha)=0Rightarrow 1+cosalpha-2cos^2alpha=0\ 2cos^2alpha-cosalpha-1=0 end{gather*} Замена: (t=cosalpha, |t|leq 1) begin{gather*} 2t^2-t-1=0Rightarrow (2t+1)(t-1)=0Rightarrow left[ begin{array}{l} t=-frac12\ t=1 end{array} right. end{gather*} Возвращаемся к исходной переменной. По условию (0lt alphaltpi). begin{gather*} left[ begin{array}{l} cosalpha=-frac12\ cosalpha=1 end{array} right. Rightarrow left[ begin{array}{l} a=frac{2pi}{3}\ a=0 – text{не подходит} end{array} right. end{gather*}

(alpha)	(left(0;frac{2pi}{3}right))	(frac{2pi}{3})	(left(frac{2pi}{3};piright))
(S'(alpha))	>0	0	<0
(S(alpha))	(nearrow)	max	(searrow)

Точка максимума (alpha=frac{2pi}{3})
Максимальная площадь поперечного сечения $$ S_{max}=frac{d^2}{2}sinfrac{2pi}{3}left(1-cosfrac{2pi}{3}right)=frac{d^2}{2}cdot frac{sqrt{3}}{2}cdotleft(1+frac12right)=frac{3sqrt{3}}{8}d^2 $$ Желоб нужно делать с углом (frac{2pi}{3} (120^circ))
Ответ: (frac{2pi}{3})

Источник

Чтобы определить характер функции и говорить о ее поведении, необходимо находить промежутки возрастания и убывания. Этот процесс получил название исследования функции и построения графика. Точка экстремума используется при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции, так как в них происходит возрастание или убывание функции из интервала.

Данная статья раскрывает определения, формулируем достаточный признак возрастания и убывания на интервале и условие существования экстремума. Это применимо к решению примеров и задач. Следует повторить раздел дифференцирования функций, потому как при решении необходимо будет использовать нахождение производной.

Возрастание и убывание функции на интервале

Определение 1

Функция y=f(x) будет возрастать на интервале x, когда при любых x1∈X и x2∈X , x2>x1неравенство f(x2)>f(x1) будет выполнимо. Иначе говоря, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Определение 2

Функция y=f(x) считается убывающей на интервале x, когда при любых x1∈X, x2∈X, x2>x1 равенство f(x2)>f(x1) считается выполнимым. Иначе говоря, большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Замечание: Когда функция определенная и непрерывная в концах интервала возрастания и убывания, то есть (a;b), где х=а, х=b, точки включены в промежуток возрастания и убывания. Определению это не противоречит, значит, имеет место быть на промежутке x.

Основные свойства элементарных функций типа y=sinx – определенность и непрерывность при действительных значениях аргументах. Отсюда получаем, что возрастание синуса происходит на интервале -π2; π2, тогда возрастание на отрезке имеет вид -π2; π2.

Точки экстремума, экстремумы функции

Определение 3

Точка х0 называется точкой максимума для функции y=f(x), когда для всех значений x неравенство f(x0)≥f(x) является справедливым. Максимум функции – это значение функции в точке, причем обозначается ymax.

Точка х0 называется точкой минимума для функции y=f(x), когда для всех значений x неравенство f(x0)≤f(x) является справедливым. Минимум функции – это значение функции в точке, причем имеет обозначение вида ymin.

Окрестностями точки х0 считаются точки экстремума, а значение функции, которое соответствует точкам экстремума. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Экстремумы функции с набольшим и с наименьшим значением функции. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Первый рисунок говорит о том, что необходимо найти наибольшее значение функции из отрезка [a;b]. Оно находится при помощи точек максимума и равняется максимальному значению функции, а второй рисунок больше походит на поиск точки максимума при х=b.

Достаточные условия возрастания и убывания функции

Чтобы найти максимумы и минимумы функции, необходимо применять признаки экстремума в том случае, когда функция удовлетворяет этим условиям. Самым часто используемым считается первый признак.

Первое достаточное условие экстремума

Определение 4

Пусть задана функция y=f(x), которая дифференцируема в ε окрестности точки x0, причем имеет непрерывность в заданной точке x0. Отсюда получаем, что

когда f'(x)>0 с x∈(x0-ε; x0) и f'(x)<0 при x∈(x0; x0+ε), тогда x0 является точкой максимума;
когда f'(x)<0 с x∈(x0-ε; x0) и f'(x)>0 при x∈(x0; x0+ε), тогда x0 является точкой минимума.

Иначе говоря, получим их условия постановки знака:

когда функция непрерывна в точке x0, тогда имеет производную с меняющимся знаком, то есть с + на -, значит, точка называется максимумом;
когда функция непрерывна в точке x0, тогда имеет производную с меняющимся знаком с – на +, значит, точка называется минимумом.

Алгоритм для нахождения точек экстремума

Чтобы верно определить точки максимума и минимума функции, необходимо следовать алгоритму их нахождения:

найти область определения;
найти производную функции на этой области;
определить нули и точки, где функция не существует;
определение знака производной на интервалах;
выбрать точки, где функция меняет знак.

Рассмотрим алгоритм на примере решения нескольких примеров на нахождение экстремумов функции.

Пример 1

Найти точки максимума и минимума заданной функции y=2(x+1)2x-2.

Решение

Область определения данной функции – это все действительные числа кроме х=2. Для начала найдем производную функции и получим:

y’=2x+12x-2’=2·x+12’·(x-2)-(x+1)2·(x-2)'(x-2)2==2·2·(x+1)·(x+1)’·(x-2)-(x+1)2·1(x-2)2=2·2·(x+1)·(x-2)-(x+2)2(x-2)2==2·(x+1)·(x-5)(x-2)2

Отсюда видим, что нули функции – это х=-1, х=5, х=2, то есть каждую скобку необходимо приравнять к нулю. Отметим на числовой оси и получим:

Теперь определим знаки производной из каждого интервала. Необходимо выбрать точку, входящую в интервал, подставить в выражение. Например, точки х=-2, х=0, х=3, х=6.

Получаем, что

y'(-2)=2·(x+1)·(x-5)(x-2)2x=-2=2·(-2+1)·(-2-5)(-2-2)2=2·716=78>0, значит, интервал -∞; -1 имеет положительную производную. Аналогичным образом получаем, что

y'(0)=2·(0+1)·0-50-22=2·-54=-52<0y'(3)=2·(3+1)·(3-5)(3-2)2=2·-81=-16<0y'(6)=2·(6+1)·(6-5)(6-2)2=2·716=78>0

Так как второй интервал получился меньше нуля, значит, производная на отрезке будет отрицательной. Третий с минусом, четвертый с плюсом. Для определения непрерывности необходимо обратить внимание на знак производной, если он меняется, тогда это точка экстремума.

Получим, что в точке х=-1 функция будет непрерывна, значит, производная изменит знак с + на -. По первому признаку имеем, что х=-1 является точкой максимума, значит получаем

ymax=y(-1)=2·(x+1)2x-2x=-1=2·(-1+1)2-1-2=0

Точка х=5 указывает на то, что функция является непрерывной, а производная поменяет знак с – на +. Значит, х=-1 является точкой минимума, причем ее нахождение имеет вид

ymin=y(5)=2·(x+1)2x-2x=5=2·(5+1)25-2=24

Графическое изображение

Ответ: ymax=y(-1)=0, ymin=y(5)=24.

Стоит обратить внимание на то, что использование первого достаточного признака экстремума не требует дифференцируемости функции с точке x0, этим и упрощает вычисление.

Пример 2

Найти точки максимума и минимума функции y=16×3=2×2+223x-8.

Решение.

Область определения функции – это все действительные числа. Это можно записать в виде системы уравнений вида:

-16×3-2×2-223x-8, x<016×3-2×2+223x-8, x≥0

После чего необходимо найти производную:

y’=16×3-2×2-223x-8′, x<016×3-2×2+223x-8′, x>0y’=-12×2-4x-223, x<012×2-4x+223, x>0

Точка х=0 не имеет производной, потому как значения односторонних пределов разные. Получим, что:

lim y’x→0-0=lim yx→0-0-12×2-4x-223=-12·(0-0)2-4·(0-0)-223=-223lim y’x→0+0=lim yx→0-012×2-4x+223=12·(0+0)2-4·(0+0)+223=+223

Отсюда следует, что функция непрерывна в точке х=0, тогда вычисляем

lim yx→0-0=limx→0-0-16×3-2×2-223x-8==-16·(0-0)3-2·(0-0)2-223·(0-0)-8=-8lim yx→0+0=limx→0-016×3-2×2+223x-8==16·(0+0)3-2·(0+0)2+223·(0+0)-8=-8y(0)=16×3-2×2+223x-8x=0=16·03-2·02+223·0-8=-8

Необходимо произвести вычисления для нахождения значения аргумента, когда производная становится равной нулю:

-12×2-4x-223, x<0D=(-4)2-4·-12·-223=43×1=4+432·-12=-4-233<0x2=4-432·-12=-4+233<0

12×2-4x+223, x>0D=(-4)2-4·12·223=43×3=4+432·12=4+233>0x4=4-432·12=4-233>0

Все полученные точки нужно отметить на прямой для определения знака каждого интервала. Поэтому необходимо вычислить производную в произвольных точках у каждого интервала. Например, у нас можно взять точки со значениями x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6. Получим, что

y'(-6)=-12×2-4x-223x=-6=-12·-62-4·(-6)-223=-43<0y'(-4)=-12×2-4x-223x=-4=-12·(-4)2-4·(-4)-223=23>0y'(-1)=-12×2-4x-223x=-1=-12·(-1)2-4·(-1)-223=236<0y'(1)=12×2-4x+223x=1=12·12-4·1+223=236>0y'(4)=12×2-4x+223x=4=12·42-4·4+223=-23<0y'(6)=12×2-4x+223x=6=12·62-4·6+223=43>0

Изображение на прямой имеет вид

Значит, приходим к тому, что необходимо прибегнуть к первому признаку экстремума. Вычислим и получим, что

x=-4-233, x=0, x=4+233, тогда отсюда точки максимума имеют значениx=-4+233, x=4-233

Перейдем к вычислению минимумов:

ymin=y-4-233=16×3-22+223x-8x=-4-233=-8273ymin=y(0)=16×3-22+223x-8x=0=-8ymin=y4+233=16×3-22+223x-8x=4+233=-8273

Произведем вычисления максимумов функции. Получим, что

ymax=y-4+233=16×3-22+223x-8x=-4+233=8273ymax=y4-233=16×3-22+223x-8x=4-233=8273

Графическое изображение

Ответ:

ymin=y-4-233=-8273ymin=y(0)=-8ymin=y4+233=-8273ymax=y-4+233=8273ymax=y4-233=8273

Второй признак экстремума функции

Если задана функция f'(x0)=0, тогда при ее f”(x0)>0 получаем, что x0 является точкой минимума, если f”(x0)<0, то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x0.

Пример 3

Найти максимумы и минимумы функции y=8xx+1.

Решение

Для начала находим область определения. Получаем, что

D(y): x≥0x≠-1⇔x≥0

Необходимо продифференцировать функцию, после чего получим

y’=8xx+1’=8·x’·(x+1)-x·(x+1)'(x+1)2==8·12x·(x+1)-x·1(x+1)2=4·x+1-2x(x+1)2·x=4·-x+1(x+1)2·x

При х=1 производная становится равной нулю, значит, точка является возможным экстремумом. Для уточнения необходимо найти вторую производную и вычислить значение при х=1. Получаем:

y”=4·-x+1(x+1)2·x’==4·(-x+1)’·(x+1)2·x-(-x+1)·x+12·x'(x+1)4·x==4·(-1)·(x+1)2·x-(-x+1)·x+12’·x+(x+1)2·x'(x+1)4·x==4·-(x+1)2x-(-x+1)·2x+1(x+1)’x+(x+1)22x(x+1)4·x==-(x+1)2x-(-x+1)·x+1·2x+x+12x(x+1)4·x==2·3×2-6x-1x+13·x3⇒y”(1)=2·3·12-6·1-1(1+1)3·(1)3=2·-48=-1<0

Значит, использовав 2 достаточное условие экстремума, получаем, что х=1 является точкой максимума. Иначе запись имеет вид ymax=y(1)=811+1=4.

Графическое изображение

Ответ: ymax=y(1)=4..

Третье достаточное условие экстремума

Определение 5

Функция y=f(x) имеет ее производную до n-го порядка в ε окрестности заданной точки x0 и производную до n+1-го порядка в точке x0. Тогда f'(x0)=f”(x0)=f”'(x0)=…=fn(x0)=0.

Отсюда следует, что когда n является четным числом, то x0 считается точкой перегиба, когда n является нечетным числом, то x0 точка экстремума, причем f(n+1)(x0)>0, тогда x0 является точкой минимума, f(n+1)(x0)<0, тогда x0 является точкой максимума.

Пример 4

Найти точки максимума и минимума функции yy=116(x+1)3(x-3)4.

Решение

Исходная функция – целая рациональная, отсюда следует, что область определения – все действительные числа. Необходимо продифференцировать функцию. Получим, что

y’=116x+13′(x-3)4+(x+1)3x-34’==116(3(x+1)2(x-3)4+(x+1)34(x-3)3)==116(x+1)2(x-3)3(3x-9+4x+4)=116(x+1)2(x-3)3(7x-5)

Данная производная обратится в ноль при x1=-1, x2=57, x3=3. То есть точки могут быть точками возможного экстремума. Необходимо применить третье достаточное условие экстремума. Нахождение второй производной позволяет в точности определить наличие максимума и минимума функции. Вычисление второй производной производится в точках ее возможного экстремума. Получаем, что

y”=116x+12(x-3)3(7x-5)’=18(x+1)(x-3)2(21×2-30x-3)y”(-1)=0y”57=-368642401<0y”(3)=0

Значит, что x2=57 является точкой максимума. Применив 3 достаточный признак, получаем, что при n=1 и f(n+1)57<0.

Необходимо определить характер точек x1=-1, x3=3. Для этого необходимо найти третью производную, вычислить значения в этих точках. Получаем, что

y”’=18(x+1)(x-3)2(21×2-30x-3)’==18(x-3)(105×3-225×2-45x+93)y”'(-1)=96≠0y”'(3)=0

Значит, x1=-1 является точкой перегиба функции, так как при n=2 и f(n+1)(-1)≠0. Необходимо исследовать точку x3=3. Для этого находим 4 производную и производим вычисления в этой точке:

y(4)=18(x-3)(105×3-225×2-45x+93)’==12(105×3-405×2+315x+57)y(4)(3)=96>0

Из выше решенного делаем вывод, что x3=3 является точкой минимума функции.

Графическое изображение

Ответ: x2=57 является точкой максимума, x3=3 – точкой минимума заданной функции.

Источник

Пример 1:

Исследовать функцию на экстремум и вычислить значение функции в точках экстремума:

Решение от преподавателя:

Решение.

Пример 2:

Исследуйте на экстремум функцию.

y = х² – 10х + 5

Решение от преподавателя:

Пример 3:

Найти экстремумы функций двух переменных

z = 2x³ + 6xy² – 30x – 24y.

Решение от преподавателя:

Пример 4:

Исследовать на экстремум:

Решение от преподавателя:

Необходимое условие экстремума функции одной переменной.

Уравнение f’₀(x*) = 0 – это необходимое условие экстремума функции одной переменной, т.е. в точке x* первая производная функции должна обращаться в нуль. Оно выделяет стационарные точки x_с, в которых функция не возрастает и не убывает.

Достаточное условие экстремума функции одной переменной.
Пусть f₀(x) дважды дифференцируемая по x, принадлежащему множеству D. Если в точке x* выполняется условие:
f’₀(x*) = 0
f”₀(x*) > 0
то точка x* является точкой локального (глобального) минимума функции.
Если в точке x* выполняется условие:
f’₀(x*) = 0
f”₀(x*) < 0
то точка x* – локальный (глобальный) максимум.
Решение.
Находим первую производную функции:
y’ = 6x²+6x
или
y’ = 6x(x+1)
Приравниваем ее к нулю:
6x²+6x = 0
x₁ = 0
x₂ = -1
Вычисляем значения функции
f(0) = -11
f(-1) = -10
Ответ:
f_min = -11, f_max = -10
Используем достаточное условие экстремума функции одной переменной. Найдем вторую производную:
y” = 12x+6
Вычисляем:
y”(0) = 6>0 – значит точка x = 0 точка минимума функции.
y”(-1) = -6<0 – значит точка x = -1 точка максимума функции.

Пример 5:

Найти стационарные точки и исследовать на экстремум функцию

z = x² + y²– 2x – 2y+ 8

Решение от преподавателя:

Исследовать на экстремум функцию z = x² + y²– 2x – 2y+ 8

1. Найдем частные производные.
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=frac%7b%20partial%20z%7d%7b%20partial%20x%7d%20=%202cdot%20x-2$
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=frac%7b%20partial%20z%7d%7b%20partial%20y%7d%20=%202cdot%20y-2$
2. Решим систему уравнений.
2x-2 = 0
2y-2 = 0
Получим: x = 1, y = 1
критическая точка M₁(1;1)
3. Найдем частные производные второго порядка.
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=frac%7b%20partial%5e%7b2%7dz%7d%7b%20partial%20x%20partial%20y%7d%20=%200$
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=frac%7b%20partial%5e%7b2%7dz%7d%7b%20partial%20x%5e%7b2%7d%7d%20=%202$
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=frac%7b%20partial%5e%7b2%7dz%7d%7b%20partial%20y%5e%7b2%7d%7d%20=%202$
4. Вычислим значение этих частных производных второго порядка в критических точках M(x₀;y₀).
Вычисляем значения для точки M₁(1;1)
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=A%20=%20%7bfrac%7b%20partial%5e%7b2%7dz%7d%7b%20partial%20x%5e%7b2%7d%7d%7d_%7b(1;1)%7d%20=%202$
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=C%20=%20%7bfrac%7b%20partial%5e%7b2%7dz%7d%7b%20partial%20y%5e%7b2%7d%7d%7d_%7b(1;1)%7d%20=%202$
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=B%20=%20%7bfrac%7b%20partial%5e%7b2%7dz%7d%7b%20partial%20x%20partial%20y%7d%7d_%7b(1;1)%7d%20=%200$
AC – B² = 4 > 0 и A > 0 , то в точке M₁(1;1) имеется минимум z(1;1) = 6
Вывод: В точке M₁(1;1) имеется минимум z(1;1) = 6;

Пример 6:

Исследовать на экстремум функцию:

Решение от преподавателя:

Пример 7:

Исследовать функцию z(x,y) на экстремум

Решение от преподавателя:

Пример 8:

Исследовать на экстремум функцию:

Решение от преподавателя:

Вычислим производную этой функции и найдем стационарные точки, в которых она обращается в нуль:

Решая это уравнение, находим корни x₁ = 1 и x₂ = 2. Они являются подозрительными на экстремум в данной задаче. При этом знаки производной нашей функции распределены следующим образом:

Согласно теореме о достаточном условии экстремума первого порядка, полученные точки являются точками локального экстремума, а именно: x₁ = 1 — точка локального максимума, причем f(x₁) = 11, а x₂ = 2 — точка локального минимума, причем f(x₂) = 10.

Глобальных экстремумов в этой задаче нет. Это видно из того, что

Итак, локальный максимум достигается в точке x = 1 и равен 11, локальный минимум достигается в точке x = 2, и равен 10.

Пример 9:

Исследуйте на экстремум функцию z = z(x;y).

Решение от преподавателя:

Пример 10:

Исследовать на экстремум:

y = (2*x-8)*(9*x+1)

Решение от преподавателя:

Необходимое условие экстремума функции одной переменной.

Пусть f₀(x) дважды дифференцируемая по x, принадлежащему множеству D. Если в точке x* выполняется условие:
f’₀(x*) = 0
f”₀(x*) > 0
то точка x* является точкой локального (глобального) минимума функции.
Если в точке x* выполняется условие:
f’₀(x*) = 0
f”₀(x*) < 0
то точка x* – локальный (глобальный) максимум.
Решение.
Находим первую производную функции:
y’ = 36x-70
Приравниваем ее к нулю:
36x-70 = 0
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=x_%7b1%7d%20=%20frac%7b35%7d%7b18%7d$
Вычисляем значения функции
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=f(frac%7b35%7d%7b18%7d)%20=%20-frac%7b1369%7d%7b18%7d$
Используем достаточное условие экстремума функции одной переменной. Найдем вторую производную:
y” = 36
Вычисляем:
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=y%5e%7bprime%20prime%7d(frac%7b35%7d%7b18%7d)%20=%2036%3E0$
значит эта точка – минимума функции.

Пример 11:

Найти экстремумы функции z(x,y) при данном условии:

Решение от преподавателя:

Пример 12:

Исследовать на экстремум функцию:

Решение от преподавателя:

Найдем производную f′ (x) = e^x − e^−x . Чтобы найти критические точки функции f(x), приравняем эту производную к нулю:

Очевидно, что точка x = 0 является решением последнего уравнения. Функция f′(x) строго возрастает (поскольку ). Поэтому она отрицательна при x < 0 и положительна при x > 0.

Следовательно, точка x = 0 является точкой строгого локального минимума функции f(x), и f(0) = 2 — соответствующее минимальное значение.

В данной ситуации можно также применить теорему о достаточном условии экстремума второго порядка. Поскольку f′′(0) = 2 > 0, функция f(x) имеет строгий локальный минимум в точке x = 0.

Кроме того, этот минимум глобальный, потому что

Ответ: точка x = 0 является точкой глобального минимума для исследуемой функции и f_min = f(0) = 2.

Пример 13:

Найти наибольшее и наименьшее значения функции z(x,y) в области D:

Решение от преподавателя:

Пример 14:

Исследовать на экстремум функцию:

y = x³+6*x²-4, [-4;1].

Решение от преподавателя:

Необходимое условие экстремума функции одной переменной.

Ответ: f_min = -4, f_max = 28.

Пример 15:

Исследовать на экстремум функцию

Решение от преподавателя:

Как обычно, начнем с нахождения производной исследуемой функции и точек, подозрительных на экстремум:

Легко видеть, что точка x = 0 является критической.

Найдем вторую производную:

Очевидно, f′′(0) = 0. Воспользуемся теоремой о достаточном условии экстремума n-го порядка и будем дифференцировать функцию до того момента, пока не появится отличная от нуля производная:

Значит, x = 0 — точка локального минимума функции f(x).

Из предыдущего примера следует, что при . В то же время . Поэтому f′′(x) > 0 при . Отсюда следует, что производная f′(x) обращается в нуль в единственной точке x = 0.

Так как , минимум в точке x = 0 является глобальным.

Ответ: есть один глобальный минимум f(0) = 4.

Пример 16:

С помощью второй производной исследуйте на экстремум функцию . Найдите наибольшее М и наименьшее m значения этой функции на отрезке [-1, 2].

Решение от преподавателя:

Определяем критические точки

Определяем вторую производную функции

Определяем знаки второй производной в критических точках

Т. к. вторая производная положительная, то в точке х=0 минимум

Т. к. вторая производная отрицательная, то в точке х=1 максимум

Наибольшее М и наименьшее m значения этой функции на отрезке [-1, 2]

Т. к. обе критические точки принадлежат указанному отрезку, то определяем значения функции в полученных точках и на концах отрезка

Т. о., М=у(-1)=6 m=у(2)=-3

Пример 17:

Исследовать на экстремум функцию:

Решение от преподавателя:

Подозрительные на экстремум точки найдем с помощью леммы Ферма. Так как

то единственная подозрительная на экстремум точка (в которой все частные производные обращаются в нуль) — это точка a = (3, −2, −1).

Определим, есть ли в этой точке экстремум. Для этого найдем все частные производные второго порядка

и составим из них матрицу полной второй производной f′′(a):

Главные миноры этой матрицы чередуют знаки:

По теореме (достаточное условие экстремума второго порядка) в точке a локальный максимум. Ответ: локальный максимум достигается в точке a = (3, −2, −1) и равен 14.

Ответ: локальный максимум достигается в точке a = (3, −2, −1) и равен 14.

Пример 18:

Найти экстремумы функции:

Решение от преподавателя:

Подозрительные на экстремум точки найдем с помощью леммы Ферма. Так как

то единственной стационарной точкой будет точка a = (0, 0).

Посмотрим, есть ли в ней экстремум. Для этого вычислим частные производные второго порядка

и составим из них матрицу второй производной в точке a:

Очевидно, ее определитель равен нулю. Значит, достаточные условия экстремума из теоремы (достаточное условие экстремума второго порядка) в данном случае не применимы.

Придется использовать определение экстремума. Рассмотрим разность . Она больше нуля при всех y > 0 и меньше нуля при y < 0. Поэтому в точке a = (0, 0) нет экстремума.

Ответ: у функции f нет экстремумов.

Пример 19:

Найти экстремумы функции

Решение от преподавателя:

Очевидно,

и единственная стационарная точка — это a = (0, 0).

Далее вычисляем частные производные второго порядка

и выписываем матрицу второй производной в точке a:

Ее определитель равен нулю. Достаточные условия экстремума опять не работают. С другой стороны, . Поэтому в точке (0, 0) глобальный минимум.

Ответ: есть один глобальный минимум f(0, 0) = 0.

Пример 20:

Исследовать на экстремумы функцию.

Решение от преподавателя:

Источник

Точки экстремума
Необходимое условие максимума и минимума функции
Достаточные условия существования экстремума
Алгоритм исследования функции на экстремум
Монотонность и выпуклость функций
Алгоритм исследования функции на выпуклость и точки перегиба
Асимптоты функций
Правило Лопиталя
Правило Лопиталя
Построение графиков функций
Производные и дифференциалы функций нескольких переменных
Градиент
Однородные функции
Экстремумы функции двух переменных
Условный экстремум
Дополнение к исследованию функции

Исследование функции — задача, заключающаяся в определении основных параметров заданной функции. Одной из целей исследования является построение графика функции.

Точки экстремума

Максимумом или минимумом функции y = f(x) называется
такое ее значение для которого имеют место
неравенства при любых малых положительных и отрицательных значениях

■ — для случая максимума;

■ — для случая минимума.

Таким образом, в точках максимума (минимума) значение больше (соответственно меньше) всех соседних значений функции (рис. 7.1).

Функция, представленная на рис. 7.1, в точке имеет
максимум, а в точке минимум.

Точки, в которых функция принимает максимальное или минимальное значения, называются точками экстремума.

Необходимое условие максимума и минимума функции

Теорема Ферма:

Если функция определена и дифференцируема
в некотором промежутке X и во внутренней точке этого промежутка имеет наибольшее (наименьшее) значение, то
производная функции в этой точке равна нулю, т.е.

Доказательство:

Пусть функция y = f(x) в точке
промежутка X имеет наибольшее значение (рис. 7.2).

Тогда если принадлежит Х. Отсюда при достаточно малых независимо от его знака.

Если то и а если то и

Переходя к пределам справа при и слева при
получим

Так как по условию функция y=f(x) дифференцируема в
точке то ее предел при не зависит от способа
стремления (слева или справа).

Поэтому

т.е. Аналогично доказывается случай для наименьшего значения функции.

Необходимым условием максимума (минимума) непрерывной функции является равенство нулю первой производной.

Это условие является следствием теоремы Ферма. Действительно, если в точке дифференцируемая функция имеет экстремум, то в некоторой окрестности этой точки выполняются условия теоремы Ферма и, следовательно, производная функции в этой точке равна нулю, т.е.

Необходимое условие максимума или минимума непрерывной функции имеет простой геометрический смысл. Так как в экстремальных точках касательная параллельна оси Ох (см. рис. 7.1 и 7.2), т.е. угол наклона касательной к оси Ох равен нулю, то тангенс данного угла, который равен производной, также равен нулю.

Максимум или минимум может иметь место также в тех точках, где производная не существует вовсе (рис. 7.3).

Приведенное условие существования экстремумов является необходимым, но не достаточным. На рис. 7.4 приведен случай, когда необходимое условие выполняется в точке но ни максимума, ни минимума нет.

Достаточные условия существования экстремума

Первое условие. Если при переходе через точку производная дифференцируемой функции y = f(x) меняет свой знак с плюса на минус, то точка является точкой максимума, а если с минуса на плюс, то точкой минимума.

Действительно, если при и при то в промежутке функция f(x) возрастает, а в
промежутке убывает, так что значение будет
наибольшим в промежутке т.е. в точке функция имеет максимум. Аналогично доказывается случай для минимума функции. Графически сказанное поясняется на рис. 7.5.

Если при переходе через точку производная не меняет
своего знака, то в точке нет ни максимума, ни минимума
(см. рис. 7.4).

Второе условие. Если функция y = f(x) дважды дифференцируема в точке , и ее первая производная в данной точке равна
нулю, а вторая производная в этой точке положительна, то точка
является точкой минимума. Если вторая производная
функции y = f(x) отрицательна в точке , то она является точкой максимума.

Действительно, вторая производная вычисляется по формуле:

так как по условию.

Пусть Тогда дробь положительна для всех х
из окрестности точки . Для знаменатель этой дроби поэтому а для знаменатель дроби
Таким образом, производная при переходе
точки меняет знак с минуса на плюс. Согласно первому условию
в такой точке имеет место минимум. Аналогично можно показать,
что при в точке имеет место максимум. Сказанное
поясняется на рис. 7.5.

Если вторая производная в некоторой точке равна нулю, то эта
точка также может быть экстремальной. Например, для функции
в точке х = 0 имеет место минимум, хотя вторая производная в этой точке равна нулю. Действительно, и

Алгоритм исследования функции на экстремум

1.Найти производную функции и приравнять ее нулю.

2.Решив это уравнение, определить подозрительные точки.

3.Исследовать знак производной слева и справа от каждой
подозрительной точки и принять решение о наличии
минимума или максимума.

4.Найти значения функции в экстремальных точках.

Пример:

Найти максимумы и минимумы функции

Решение:

Область определения функции — вся числовая ось.
Определяем производную:

Подозрительные точки находим, решая уравнение

Отсюда или

Определяем вторую производную:

Для точки имеем у» = 18*0 —12*0 —12 = -12, т.е. в этой точке
имеет место максимум. Его значение равно

у = 1,5*0-2*0-6*0 + 1 = 1.

Для точки имеем т.е. в этой точке
имеет место минимум. Его значение равно

Для точки имеем т.е. в этой
точке имеет место минимум. Его значение равно

Пример:

Производитель реализует свою продукцию по цене
60 ден. ед. за единицу продукции. Издержки производителя
определяются кубической зависимостью где х —
количество изготовленной и реализованной продукции. Найти оптимальный объем выпуска и соответствующий ему доход.

Решение:

Доход определяется разностью между выручкой за
проданную продукцию 60х и ее себестоимостью, т.е.

Для определения оптимального объема выпуска найдем производную
этой функции, приравняем ее нулю и решим полученное уравнение

Отрицательный корень не имеет экономического смысла, поэтому
для дальнейших исследований принимаем Вторая
производная в исследуемой точке r»(х) = -0,006х = -0,006 • 100 = -0,6 является отрицательной, т.е. в этой точке имеет место максимум функции. Таким образом, оптимальный объем выпуска равен 100 единицам продукции.

Доход, соответствующий оптимальному выпуску,

Для определения наибольшего и наименьшего значений на
отрезке, помимо указанного алгоритма, находят значения функции на концах отрезка. Затем выбирают наибольшее и наименьшее
значения из этих двух и всех экстремальных значений. Смысл
сказанного поясняется на рис. 7.6.

Монотонность и выпуклость функций

Функция y = f(x) не убывает (не возрастает) на промежутке X, если для любых из этого промежутка при условии следует неравенство

Если меньшему значению неравенства аргумента соответствует меньшее значение функции, то функция называется возрастающей (рис. 7.7). Если меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции, то функция называется убывающей (рис.7.8).

Функции возрастающие и убывающие называются монотонными.

Функция называется ограниченной на промежутке X, если существует такое положительное число М > 0, что для любого х из промежутка X. Например, функция у = cos х ограничена на всей числовой оси, так как для любого х числовой оси.

Функция y = f(x) на интервале (а,b) имеет выпуклость вниз (вверх), если в пределах данного интервала график лежит не ниже (не выше) любой касательной к графику функции. На рис. 7.9 изображен график функции, имеющей выпуклость вниз, а на рис. 7.10 — график функции, имеющей выпуклость вверх.

Функция y = f(x) на интервале (а, b) называется выпуклой вниз, если для любых двух значений из данного интервала выполняется неравенство (рис. 7.9)

Функция y = f(x) на интервале (а, b) называется выпуклой вверх, если для любых двух значений из данного интервала выполняется неравенство (рис. 7.10)

При исследовании функций бывают полезны две следующие
теоремы.

Теорема:

Функция выпукла вниз (вверх) тогда и только тогда,
когда ее первая производная на этом промежутке монотонно
возрастает (убывает).

Теорема:

Если вторая производная дважды дифференцируемой
функции положительна (отрицательна) внутри интервала (a, b), то
функция выпукла вниз (вверх) внутри этого интервала (достаточное
условие).

Однако, данное условие справедливо не всегда. Например,
функция выпукла вниз на всей числовой оси, хотя вторая
производная не всюду положительна (при х = 0 у» = 0).

Точка называется точкой перегиба графика функции
y = f(x), если в этой точке график имеет касательную и существует
такая окрестность точки , в пределах которой график функции слева и справа от точки имеет разные направления выпуклости.

На рис. 7.4 точка является точкой перегиба.

Необходимое условие перегиба. Вторая производная дважды
дифференцируемой функции в точке перегиба равна нулю:

Достаточное условие перегиба. Вторая производная дважды
дифференцируемой функции при переходе точки перегиба
меняет свой знак.

Алгоритм исследования функции на выпуклость и точки перегиба

1.Найти вторую производную функции и приравнять ее нулю.

2.Решив это уравнение, определить подозрительные точки.

3.Исследовать знак второй производной слева и справа от
каждой подозрительной точки и принять решение об интервалах
выпуклости и наличии точек перегиба.

4.Найти значения функции в точках перегиба.

Пример:

Найти экстремальные точки, интервалы выпуклости
и точки перегиба функции

Решение:

Находим первую и вторую производные исследуемой
функции:

Приравняем нулю первую производную и решим полученное
уравнение:

Подставив полученные значения в формулу для второй
производной, найдем

Таким образом, точка является точкой минимума.
Значение исследуемой функции в этой точке

Точку необходимо исследовать дополнительно. Первая
производная определена на всей числовой оси, так как точек, в которых производная отсутствует, не существует. Исследуем знак производной на интервале Для этого рассчитаем значения производной в точках х = 1 и х = 3:

Так как слева и справа от точки знак производной
положительный, то в этой точке экстремума нет.

Приравняем нулю вторую производную и решим полученное
уравнение:

Вторая производная также определена на всей числовой оси. В
точке х = 0 значение второй производной

в точке

в точке х = 3 —

Поэтому:

■ на интервале — функция выпукла вниз;

■ на интервале (1; 2) у» < 0 — функция выпукла вверх;

■ на интервале — функция выпукла вниз.

Таким образом, точки являются точками перегиба.
Значение исследуемой функции в этих точках:

Асимптоты функций

Прямая называется асимптотой функции y = f(x), если расстояние от
точки (х, f(x)) , лежащей на графике функции, до этой прямой
стремится к нулю при движении точки по графику в бесконечность.

Существуют три вида асимптот: вертикальные (рис. 7.11),
горизонтальные (рис. 7.12) и наклонные (рис. 7.13, 7.14).

На рис. 7.14 кривая приближается к асимптоте, все время пересекая ее.

Прямая х = а называется вертикальной асимптотой графика
функции у = f(x), если хотя бы одно из предельных значений или равно или

Прямая у = b называется горизонтальной асимптотой графика
функции y = f (х), если или

Прямая y = kx + b называется наклонной асимптотой
графика функции у = f(x), если существуют конечные пределы

Действительно, если у = kх + b — наклонная асимптота, то

Из последнего выражения следует

При известном k из равенства находим

Если для горизонтальной и наклонной асимптот конечен только
предел при или при то эти асимптоты называются соответственно правосторонней или левосторонней.

Пример:

Найти асимптоты графика функции

Решение:

Областью определения является вся числовая ось,
кроме точки х = 3 . Причем

Поэтому прямая х = 3 — вертикальная асимптота. Так как то график функции наклонных асимптот не имеет. ►

Пример:

Найти асимптоты графика функции у = х + arctg х.
Решение. Функция непрерывна на всей числовой оси, поэтому
вертикальные асимптоты отсутствуют. Так как

то отсутствуют и горизонтальные асимптоты.

Для правосторонней наклонной асимптоты

Уравнение правосторонней асимптоты имеет вид

Для левосторонней наклонной асимптоты

Уравнение правосторонней асимптоты имеет вид

Правило Лопиталя

При отыскании предела часто сталкиваются с
неопределенностями или Для решения задачи применяют правило Лопиталя.

Прежде чем переходить к доказательству правила Лопиталя,
рассмотрим две теоремы.

Теорема Ролля:

Пусть функция y = f(x) удовлетворяет
следующим условиям:

■ непрерывна на промежутке [а,b];
■ дифференцируема на промежутке (а,b);
■ на концах промежутка принимает равные значения, т.е.
f(a) = f(b).

Тогда внутри промежутка существует по крайней мере одна точка
производная функции в которой равна нулю, т.е.

Доказательство. Действительно, если внутри промежутка функция имеет хотя бы одну точку, в которой она принимает наибольшее или наименьшее значение, то в соответствии с теоремой Ферма производная в этой точке равна нулю. Если же таких точек нет, то функция тождественно постоянна на всем интервале. Тогда производная равна нулю во всех точках указанного интервала.

Теорема Лагранжа:

Пусть функция y = f(x) удовлетворяет
следующим условиям:

■ непрерывна на промежутке [а, b];
■ дифференцируема на промежутке (а, b).

Тогда внутри промежутка существует по крайней мере одна точка
в которой производная функции равна частному от деления
приращения функции на приращение аргумента на данном промежутке:

Доказательство:

Введем функцию

Эта функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля, поскольку она:

■ непрерывна на промежутке [а, b];

■ дифференцируема на промежутке (а, b) и

■ на концах промежутка принимает равные значения:

Следовательно, внутри промежутка существует по крайней мере одна точка производная функции g(x) в которой равна нулю:

Отсюда находим

Правило Лопиталя

Пусть Причем функции и удовлетворяют следующим условиям:

■ непрерывны на промежутке [х, а];

■ дифференцируемы на промежутке (х, а) и

■ (неопределенность

(неопределенность

Тогда

Доказательство:

Доказательство проведем для неопределенности Применяя теорему Лагранжа для функций и получим

Так как при имеем то, используя теорему о пределе частного двух функций, получим

В случае, если снова представляет собой неопределенность вида или то применяют это правило вторично, и т.д.

Пример:

Используя правило Лопиталя, найти пределы:

Решение:

Во всех примерах имеем неопределенность . Используя правило Лопиталя, получим

Пример:

Используя правило Лопиталя, найти предел

Решение:

Имеем неопределенность Применяя правило Лопиталя n раз, получим:

Пример:

Используя правило Лопиталя, найти предел

Решение:

Имеем неопределенность Разделив числитель и
знаменатель на х , получим Неопределенность этого предела Используя правило Лопиталя, найдем:

Построение графиков функций

Изучение функции и построение ее графика целесообразно
проводить по следующей схеме:

1.Найти область существования функции, точки разрыва и
определить их характер.

2.Определить поведение функции в бесконечности, вычислив
пределы

3.Найти асимптоты.

4.Найти пересечение кривой с осью Ох, решая уравнение
f(x) = 0, и с осью Оу , вычисляя у = f(0).

5.Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.

6.Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба.

7.По полученным данным постепенно делают набросок
кривой, уточняя его по отдельным точкам.

Пример:

Построить график функции

Решение:

1. Эта функция определена и непрерывна для всех При приближении к точке слева
а справа — Таким образом, прямая х = -1 является вертикальной асимптотой.

2.Пределы функции в бесконечности:

3.Определим параметры наклонных асимптот. Угловой
коэффициент справа

Угловой коэффициент слева

Точка пересечения асимптоты с осью Оу справа

Точка пересечения асимптоты с осью Оу слева

Таким образом, параметры правой и левой асимптот совпали,
т.е. имеет место одна асимптота, определенная уравнением прямой
у = х-4.

4.Точка пересечения кривой с осью Оу находится из
соотношения

Точка пересечения кривой с осью Ох находится из уравнения

Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, т.е.

Решение данного квадратного уравнения имеет вид

5.Для определения экстремумов и интервалов монотонности
функции найдем первую и вторую производные:

Приравняв нулю первую производную, получим:

Решив данное уравнение, найдем подозрительные точки:

Значения функции в этих точках:

Подставив полученные координаты экстремальных точек в формулу
второй производной, найдем:

т.е. в точке (0,4; -2,2) имеет место минимум,

т.е. в точке (-2,4; -7,8) имеет место максимум.

Для исследования функции на монотонность проследим поведение производных внутри полученных интервалов (рис. 7.15). Знаками плюс и минус показан знак производной на данном интервале.

В точке имеет место максимум, поэтому на промежутке функция возрастает, а на промежутке (-2,4; -1) убывает и при слева стремится к В точке имеет
место минимум, поэтому на промежутке (-1; 0,4) функция
убывает, а на промежутке — возрастает.

6.Для нахождения точек перегиба приравняем нулю вторую производную: Это уравнение не имеет корней, т.е. точек перегиба нет.

По полученным данным строим график функции (рис. 7.16). ►

Производные и дифференциалы функций нескольких переменных

Пусть задана функция n переменных

Первой частной производной функции по переменной называется производная данной функции по при фиксированных остальных переменных:

Аналогично определяется первая частная производная по любой другой переменной. Например, первую частную производную по записывают в виде

Второй частной производной функции называется первая частная производная от первой частной производной данной функции.

Функция n переменных имеет вторых частных производных. Действительно, количество частных производных от частной производной по переменной равно n (см. первую строку табл. 7.1). Количество строк в табл. 7.1 также равно n.

Таблица 7.1

Для функции двух переменных имеем четыре вторые частные производные:

Вторая частная производная по двум различным переменным, например называется смешанной. Величина смешанной производной, непрерывной при данных значениях переменных и , не зависит от порядка переменных, по которым берутся производные, т.е.

Аналогично определяются производные более высоких порядков, например третья частная производная, четвертая частная производная и т.д.

Частный дифференциал функции n переменных по одной из переменных, например по , определяется равенством

Полный дифференциал функции n переменных определяется по формуле

Полный дифференциал второго порядка функции двух переменных задается соотношением

Пример:

Найти частные производные первого и второго порядка от функции

Решение:

Находим первую и вторую частные производные по х:

Находим первую и вторую частные производные по у :

Находим смешанные вторые частные производные:

Как и следовало ожидать, смешанные частные производные равны. ►

Пример:

Найти дифференциалы первого и второго порядков от функции

Решение. Частные производные первого и второго порядков исследуемой функции равны:

Дифференциал первого порядка

Дифференциал второго порядка

Градиент

Градиентом функции n переменных называется вектор с координатами

При этом пишут grad y,

Известно, что вектор в n-мерной системе координат можно представить в виде

где — проекции вектора на оси координат;

— орты или векторы единичной длины, совпадающие по направлению с координатными осями соответственно.

Градиент функции трех переменных u = f(x, у, z) можно представить в виде

где — орты координатных осей х, у, z соответственно.

Градиент функции в заданной точке показывает направление самого быстрого роста функции в этой точке.

В экономике достаточно часто используются функции двух переменных. Градиент функции двух переменных u = f(х, у) можно представить в виде

Существует четкая связь между линиями уровня таких функций и направлением градиента.

Теорема:

Пусть задана дифференцируемая функция u = f(x,у) и величина градиента данной функции, отличная от нуля, в точке . Тогда градиент в точке перпендикулярен линии уровня, проходящей через эту точку.

Доказательство. Линия уровня, представленная на рис. 7.17, задана уравнением L = f(x, у).

В точке линии уровня проведем касательную и построим вектор , совпадающий по направлению с касательной, с началом в этой точке.

Пусть проекция вектора на ось Ох будет равна единице. Отношение проекций или

Таким образом, вектор можно представить в виде:

Умножив данный вектор на dx , получим

Найдем скалярное произведение градиента функции u = f(x,y)
в точке и вектора

С другой стороны, полный дифференциал функции u = f(x, у)
в точке

На линии уровня функция u = f(x, у) не изменяется по определению, поэтому полный дифференциал по направлению вектора равен нулю:

Сопоставив это выражение с (7.1), можно сделать вывод о
перпендикулярности векторов и grad u.

Пример:

Для функции u = ху построить линию уровня, проходящую через точку и и найти градиент в данной
точке.

Решение:

Уровень в исследуемой точке равен с = 1 • 1 = 1. Линия уровня определяется формулой

1 = ху или

Таким образом, линией уровня является гипербола.

Для отыскания градиента найдем частные производные функции в
исследуемой точке:

Отсюда следует выражение для градиента функции в исследуемой
точке:

Из полученной формулы видно, что градиент в исследуемой точке
направлен вправо вверх под углом 45° к осям Ох и Оу (рис. 7.18).

Его модуль равен

Однородные функции

Пусть задана функция и переменных определенная при где i = 1, 2,…, n, и имеющая в области определения непрерывные первые частные производные.

Функция называется однородной функцией степени р, если для любого числа t > 0 выполняется равенство

Заметим, что условие определения функции при где i = 1, 2,…, n, широко используется в экономическом анализе.

Для однородных функций п переменных степени р справедлива формула

Для однородной функции двух переменных u=f(x, у) степени р имеем

Приведенные формулы называются формулами Эйлера.

Пример:

Определить степень однородных функций:

а) u = ах + by;

б)

Решение:

a) a(tx) + b(ty) = t(ax + by) = tu , т.е. функция u = ax + by имеет первую степень однородности;

б) т.е. функция имеет вторую степень однородности. ►

Экстремумы функции двух переменных

Пусть задана функция двух переменных u = f(x, у).

Точка называется точкой локального максимума (минимума), если для всех точек (х, у) из области определения функции u = f(x, у), близких к точке — лежащих в двумерной окрестности точки , справедливо неравенство (соответственно для точки локального минимума

Двумерной окрестностью точки называется множество точек (х,у), принадлежащих открытому кругу сколь угодно малого радиуса с центром в точке . Если при фиксированном числе точка (х, у) принадлежит окрестности точки , то говорят, что точка (х, у) близка к точке , в противном случае — далека от точки (рис. 7.19).

Если — точка локального экстремума функции u = f(x,y). то около точки где функция
u = f(х,у) имеет вид шапочки, повернутой выпуклостью вверх
(максимум) или вниз (минимум).

Точка называется точкой глобального (абсолютного)
максимума (глобального (абсолютного) минимума) функции u = f(x,у), если для всех точек (х, у), для которых функция u = f(х, у) определена, справедливо неравенство (соответственно для точки глобального минимума

Пусть функция u = f(x, у) определена в окрестности точки
и имеет в ней первые частные производные. Необходимым
условием локального экстремума данной функции в точке
является равенство нулю первых частных производных:

Эти точки являются подозрительными и среди них следует
искать точки локального экстремума. Подозрительные точки не
обязаны быть точками локального экстремума.

Достаточное условие локального экстремума функции u = f(x, у)
дважды дифференцируемой в точке состоит в следующем.
Пусть функция u = f(x, у) в точке имеет первые частные
производные, равные нулю:

1.Если или и выполняется неравенство то точка является точкой локального минимума.

2. Если или и выполняется неравенство то точка является точкой локального максимума.

3.Если то точка не является экстремальной.

Пример:

Исследовать на экстремум следующие функции
нескольких переменных: 1)

Решение:

1.Находим первые частные производные и приравниваем их к нулю:

Решив полученные уравнения, находим подозрительные точки:

Находим в подозрительной точке вторые частные производные:

Так как то точка (0, 1) является точкой локального минимума. Значение функции в этой точке

2.Находим первые частные производные и приравниваем их к нулю:

Решив систему из двух уравнений, находим подозрительные точки:

Находим в подозрительной точке вторые частные производные:

Так как то точка (1, 0) является точкой локального минимума. Значение функции в этой точке

Условный экстремум

При определении безусловного экстремума функции п
независимых переменных (см. §7.11) на независимые переменные не накладывается никаких
дополнительных условий. В задачах на условный экстремум поведение независимых переменных ограничено определенными условиями. Рассмотрим эту задачу для n независимых переменных в следующей формулировке.

Найти локальный экстремум функции n независимых
переменных при условии, что независимые переменные удовлетворяют ограничению

Задача на условный экстремум записывается следующим образом:

при условиях

где m<n.

В задаче на условный экстремум функцию называют целевой, а функции где — функциями связи. При решении задач на условный экстремум обычно используется метод Лагранжа.

Пусть функция n независимых переменных и функции, определяющие условия (7.2), непрерывны и имеют непрерывные частные первые производные в точке локального экстремума a где При выполнении этих условий строят функцию Лагранжа, которая имеет вид

где — множители Лагранжа.

Затем функцию Лагранжа от n + m переменных исследуют на
абсолютный экстремум. Для этих целей определяют подозрительную точку путем решения n + m уравнений:

Система имеет n + m решений: которые являются координатами абсолютного экстремума функции Лагранжа. Точка является укороченной (так как из нее удалены координаты подозрительной точкой локального условного экстремума функции при условиях (7.2). Укороченную точку анализируют и выясняют, является ли она точкой условного экстремума при наличии ограничений (7.2) или не является.

Условия (7.3) являются необходимыми для существования локального условного экстремума.

Для функции двух независимых переменных задача на условный экстремум формулируется следующим образом: найти локальный экстремум функции u = f(x, у) при условии, что независимые переменные удовлетворяют ограничению g(x, у) = 0 , т.е.

при условии

g(x,y) = 0.

Функция Лагранжа для этого случая имеет вид

Подозрительная точка определяется путем решения трех
уравнений:

Пример:

Отыскать условный экстремум функции u = ху при
условии у = 1-х (g(x, у) = у + х-1 = 0).

Решение:

Функция Лагранжа имеет вид

Подозрительная точка определяется путем решения трех уравнений:

Вычитая из первого уравнения второе, находим Из
третьего уравнения определяем Подставив в
последнюю формулу, окончательно получим С учетом полученных значений из первого или второго уравнения находим Значение функции в точке экстремума Геометрия условий данного примера в координатах хОу представлена на рис. 7.20.

Линия уровня, проходящая через подозрительную точку,
описывается уравнением ху = 1/4. Все линии уровня, лежащие ниже линии уровня ху = 1/4 , имеют уровень меньше 1/4 , а лежащие выше линии уровня ху = 1/4 — больше 1/4 . Это следует из уравнения линий уровней где k — значение уровня. Ясно, что чем больше k, тем
правее проходит кривая.

Функция, определяющая условие g (х, у) = у + х -1 = 0 , является
прямой линией (см. рис. 7.20). Из-за симметрии задачи функции
ху = 1/4 и g(x, у) = у + х-1 = 0 касаются друг друга в подозрительной
точке (1/4,1/4). Из сказанного следует, что на прямой g(x, у) = у + х-1 = 0 значение функции u = ху меньше 1/4, т.е. в подозрительной точке имеет место максимум. ►

Геометрический смысл локального условного экстремума
функции u = f(x, у) в точке состоит в том, что градиенты
целевой функции grad и функции связи
выходящие из точки , обязательно расположены на одной
прямой. Отсюда следует, что линии уровней функций f(x, у)
и g(x, у), содержащие точку , касаются в этой точке.

Действительно, пусть функции f(х, у) и g(x, у) непрерывны и
имеют непрерывные частные производные первого порядка по переменным х и у , — точка условного локального
экстремума функции u = f(x, у) при наличии ограничения g(x, у) = 0, а