Содержание:
Экстремум функции
Функция y=f(x) называется возрастающей (убывающей) в некотором интервале, если при 
Если дифференцируемая функция у = f(x) на отрезке 
возрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке 
Точка 
называется точкой локального максимума (минимума) функции 
если существует окрестность точки для всех точек которой верно неравенство 
Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках – ее экстремумами.
Необходимые условия экстремума. Если точка хо является точкой экстремума функции 
то либо 
не существует. Такие точки называют критическими, причем сама функция в критической точке определена. Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек. Первое достаточное условие. Пусть 
– критическая точка. Если f'(х) при переходе через точку 
меняет знак плюс на минус, то в точке функция имеет максимум, в противном случае – минимум. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке хо экстремума нет.
Второе достаточное условие. Пусть функция 
имеет производную f'(х) в окрестности точки и вторую производную 
в самой точке . Если 
то точка является точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же 
то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные.
На отрезке 
функция у = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка 
.
Пример:
Найти экстремумы функции 
Решение:
Так как 
то критические точки функции 
и 
Экстремумы могут быть только в этих точках. Так как при переходе через точку производная меняет знак плюс на минус, то в этой точке функция имеет максимум. При переходе через точку 
производная меняет знак минус на плюс, поэтому в точке у функции минимум. Вычислив значения функции в точках и найдем экстремумы функции: максимум f(2) = 14 и минимум f(3) =13.
Пример:
Нужно построить прямоугольную площадку возле каменной стены так, чтобы с трех сторон она была отгорожена проволочной сеткой, а четвертой стороной примыкала к стене. Для этого имеется а погонных метров сетки. При каком соотношении сторон площадка будет иметь наибольшую площадь?
Решение:
Обозначим стороны площадки через 
Площадь площадки равна 
Пусть у – это длина стороны, примыкающей к стене. Тогда по условию должно выполняться равенство 2х + у = а. Поэтому 
(длина и ширина площадки не могут быть отрицательными). 
откуда 
Поскольку 
– единственная критическая точка, проверим, меняется ли знак производной при переходе через эту точку. При 
значит, в точке 
функция S имеет максимум. Значение функции 
Поскольку S непрерывна на 
и ее значения на концах 
равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции.
Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является у = 2х.
Пример:
Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак вместимостью 
Каковы должны быть размеры бака (радиус R и высота Н), чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материала?
Решение:
Площадь полной поверхности цилиндра равна 
Мы знаем объем цилиндра 
Значит, 
Находим производную этой функции:
следовательно, 
Экстремумы функции
Введём несколько новых понятий. Окрестностью точки 
называется любой промежуток, для которого 
является внутренней точкой.
Точка 
называется точкой минимума (максимума) функции 
если для всех 
из некоторой окрестности точки 
выполняется неравенство 
Точки минимума и максимума обозначают 
соответственно.
Значение функции в точке минимума называется минимумом функции, а в точке максимума — максимумом функции. Обозначают их: 
Точки минимума и максимума функции называют точками экстремума (лат. extremum — край, конец). Значения функции в точках её экстремума — её экстремальные значения, или экстремумы.
Например, для функции 
точка 
является точкой максимума (рис. 77). Её максимум: 
Для функции 
точка 
является точкой минимума (рис. 78). Её минимум: 
Функция, график которой изображён на рисунке 75, имеет четыре экстремальные точки: 
— точки максимума; 
и 
— точки минимума.
Точка экстремума функции не может принадлежать промежутку, на котором эта функция возрастает или убывает (почему?). Следовательно, те точки, в которых производная функции положительная или отрицательная, не могут быть точками её экстремума. Все остальные точки области определения функции являются её критическими точками. Поэтому точками экстремума функции могут быть только её критические точки. Это — необходимое условие существования экстремума.
Выбрать из критических точек функции точки экстремума позволяет достаточное условие существования экстремума.
Пусть функция 
непрерывна на промежутке 
и 
— её критическая точка, 
Тогда: точка 
при переходе через которую в направлении роста аргумента производная меняет знак с «плюса» на «минус», является точкой максимума, а точка, при переходе через которую производная меняет знак с «минуса» на «плюс» — точкой минимума.
Действительно, если производная функции 
отрицательная, то при переходе через точку 
возрастание функции изменяется на убывание (рис. 79). В этом случае 
— точка максимума. Если же при переходе через точку 
убывание функции изменяется на возрастание, то 
— точка минимума (рис. 80).
Если же производная функции в точке 
равна нулю, а слева и справа от 
производная функции положительная (рис.81) или слева и справа отрицательная, то 
не является точкой экстремума.
- Заказать решение задач по высшей математике
Пример №552
Найдите точки экстремума и экстремальные значения функции 
Решение:
Критические точки функции: 
При переходе через точку 
производная меняет знаке 
поэтому 
—точка максимума. При переходе через точку 
производная меняет знак с 
поэтому 
— точка минимума (рис. 82).
Ответ. 
Нахождение экстремумов функции можно оформлять в виде таблицы, как на с. 176. Особенно это удобно при общем исследовании функции, когда находят не только её экстремумы, но и другие свойства, строят её график.
Чтобы исследовать функцию, можно пользоваться следующей схемой:
- найти область определения функции;
- исследовать функцию на чётность, нечётность, периодичность;
- найти точки пересечения графика функции с осями координат;
- исследовать функцию на монотонность, то есть найти промежутки возрастания и убывания функции;
- найти точки экстремума и экстремальные значения функции;
- найти асимптоты графика функции;
- построить график функции.
Пример №553
Исследуйте функцию 
и постройте её график.
Решение:
Область определения функции — все действительные числа, кроме 
Поскольку она не симметрична относительно нуля, то функция не может быть чётной или нечётной. Функция непериодическая.
Уравнение 
не имеет решений, поэтому график функции не пересекает ось 
Ось 
он пересекает в точке с ординатой 
Критические точки: 
Составим и заполним таблицу.
На промежутках 
функция возрастает, на промежутках 
функция убывает. 
— точка максимума, 
—точка минимума, 
Область значений функции: 
График функции имеет вертикальную асимптоту 
так как 
График этой функции изображён на рисунке 83.
Пример №554
Может ли нечётная функция иметь экстремум в точке 
А чётная функция?
Решение:
Нечётная функция не может. Если в окрестности точки 
функция имеет экстремум, то с одной стороны от нуля она возрастает, а с другой — убывает, или наоборот. А нечётная функция — или только возрастает, или только убывает в окрестности точки 
Чётная функция может. Например, функция 
Пример №555
Существуют ли такие числа 
при которых имеет экстремум функция 
Решение:
При любых действительных значениях 
В каждой точке 
производная данной функции неотрицательная. Функция 
возрастает на 
поэтому не может иметь экстремумов.
Ответ. Не существуют.
Пример №556
Исследуйте функцию 
и постройте её график.
Решение. 
2) Функция — нечётная, поскольку 
Следовательно, её график симметричен относительно начала координат и достаточно исследовать функцию на промежутке 
3) если 
— график пересекает оси координат только в точке 
4) Найдём производную функции:
Очевидно, что 
для всех х из области определения. Следовательно, функция убывает на каждом из промежутков 
и не имеет максимумов и минимумов.
Для более точного построения вычислим значение функции в нескольких точках:
График функции имеет вертикальные асимптоты 
и 
(Убедитесь самостоятельно.)
График функции изображён на рисунке 84.
- Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
- Скалярное произведение и его свойства
- Векторное и смешанное произведения векторов
- Преобразования декартовой системы координат
- Определитель матрицы
- Критерий совместности Кронекера-Капелли
- Формулы Крамера
- Матричный метод
-
Экстремумы функций двух и трёх переменных
Определение
1
Точка
называется
точкой максимума функции
,
если
для любых точек
,
принадлежащих
окрестности точки
,
выполняется неравенство:
.
Определение
2
Точка
называется
точкой минимума функции
,
если
для любых точек
,
принадлежащих окрестности точки
,
выполняется
неравенство:
.
Определение
3
Точки
максимума и минимума называются
точками
экстремума
функции.
Теорема
1 (необходимое условие экстремума)
Если
точка
является точкой экстремума функции
,
то её частные производные в точке
равны нулю или не существуют.
При
доказательстве теоремы 1 используются
определения частных производных и
теорема о необходимых условиях экстремума
функции одной переменной.
Замечание
1.
Аналогично формулируются определения
1 и 2 и теорема 1 для функции трёх и более
переменных.
Теорема
2
(достаточные
условия экстремума функции двух
переменных)
Если
функция
дважды дифференцируема в критической
точке
и её окрестности и определитель
,
то в точке
есть экстремум. Причём, если
,
то точка
является точкой минимума функции, а
если
,
то точка
является точкой максимума.
Замечание
2.
Если определитель
,
то в точке
нет экстремума, при этом точку
называют седловой точкой. Если
,
то вопрос об экстремуме в точке
остаётся нерешённым, нужны исследования
функции
по её производным более высокого порядка.
Теорема
3
(достаточные
условия экстремума функции трёх
переменных)
Пусть
функция
дважды дифференцируема в
критической точке
и её окрестности. Определитель
имеет все главные диагональные миноры
,
,
положительные, то
–точка минимума функции
.
Если
,
и
, то точка
– точка максимума функции
.
Замечание
3.
Если
критическая точка функции
и
,
но не выполняются условия теоремы 3, то
в точке
нет экстремума, при этом точка
называется седловой точкой. Если все
,
то вопрос об экстремуме в точке
решается с помощью производных более
высокого порядка.
Пример
1.
Найти экстремумы функции:
.
Решение.
;
.
.
Получили
две точки
и
;
;
а)
Исследуем точку
:
;
;
.
Тогда
точка
не является точкой экстремума.
б)
Исследуем точку
:
;
;
.
Тогда
точка
является точкой экстремума. Причём так
как
,
то точка
является точкой минимума функции:
.
Ответ:
-
Условный экстремум
Пусть
задана функция
на множестве
.
Требуется найти экстремумы функции
,
если
и
связаны некоторым условием
,
называемым уравнением
связи.
Определение
4.
Точка
называется точкой
условного экстремума
функции
при выполнении дополнительных условий
– уравнений связи.
Для
нахождения точек условного экстремума
существует два метода: метод прямого
отыскания и метод Лагранжа. Прямой
метод состоит в том, что из уравнения
связи
выражается одна из переменных через
другую, и её подставляют в функцию
.
Получают функцию одной переменной, для
которой и решают задачу нахождения
обычного экстремума. Такой метод
применяют тогда, когда удаётся из
уравнения связи выразить одну переменную
через другую.
Пример
2.
Найти условный экстремум функции
при
условии
Решение.
Используем метод прямого отыскания
точек условного экстремума. Из условия
выразим
и подставим его в функцию
.
Тогда
Найдём
для функции
обычный экстремум.
,
– +
x
Следовательно,
– точка минимума функции
.
Подставляем
в функцию
и получим:
.
Ответ:
.
Определение
5.
Функция
называется функцией
Лагранжа,
а коэффициент λ
–
множителем
Лагранжа.
Замечание
4.
Если связи не одно уравнение, а несколько
(например,
),
то функция Лагранжа для функции
записывается с
множителями Лагранжа:
Теорема
4
(необходимое
условие поиска условного экстремума)
Пусть
функции
и
,
дифференцируемые в точке
а
является точкой условного экстремума
функции
при условии
.
Тогда найдется такое число
,
при котором точка
является критической для функции
Лагранжа
.
Метод
Лагранжа
поиска условного экстремума состоит в
следующем:
1)
составляют функцию Лагранжа
;
2)
находят её частные производные по
;
3)
приравнять частные производные к нулю
и решают систему уравнений
;
4)
исследуют найденную в результате решения
системы точку
при найденном значении
и решают задачу обычного экстремума
для
.
Теорема
5 (достаточное условие поиска условного
экстремума для случая одного уравнения
связи)
Пусть
точка
и
найдены из решения системы
.
Пусть
определитель
.
Если
,
то функция
имеет в точке
условный максимум.
Если
,
то функция
имеет в точке
условный минимум.
Пример
3.
Методом Лагранжа найти условный экстремум
для функции
при условии
.
Решение.
Составим функцию Лагранжа
.
Найдём
её частные производные по
:
при
.
Выясним
характер точки
по теореме 5:
;
;
;
;
.
Составим
определитель:
.
Так
как
,
то
– точка условного минимума.
.
Ответ:
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Экстремумы функции
С помощью данного сервиса можно найти наибольшее и наименьшее значение функции одной переменной f(x) с оформлением решения в Word. Если же задана функция f(x,y), следовательно, необходимо найти экстремум функции двух переменных. Также можно найти интервалы возрастания и убывания функции.
- Решение онлайн
- Видеоинструкция
- Оформление Word
- Также решают
Необходимое условие экстремума функции одной переменной
Уравнение f’0(x*) = 0 – это необходимое условие экстремума функции одной переменной, т.е. в точке x* первая производная функции должна обращаться в нуль. Оно выделяет стационарные точки xс, в которых функция не возрастает и не убывает.
Достаточное условие экстремума функции одной переменной
Пусть f0(x) дважды дифференцируемая по x, принадлежащему множеству D. Если в точке x* выполняется условие:
f’0(x*) = 0
f”0(x*) > 0
то точка x* является точкой локального (глобального) минимума функции.
Если в точке x* выполняется условие:
f’0(x*) = 0
f”0(x*) < 0
то точка x* – локальный (глобальный) максимум.
Пример №1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции:
на отрезке [1; 3].
Решение.
Критическая точка одна x1 = 2 (f’(x)=0). Эта точка принадлежит отрезку [1;3]. (Точка x=0 не является критической, так как 0∉[1;3]).
Вычисляем значения функции на концах отрезка и в критической точке.
f(1)=9, f(2)=5/2, f(3)=3 8/81
Ответ: fmin=5/2 при x=2; fmax=9 при x=1
Пример №2. С помощью производных высших порядков найти экстремум функции y=x-2sin(x).
Решение.
Находим производную функции: y’=1-2cos(x). Найдем критические точки: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=±π/3+2πk, k∈Z. Находим y’’=2sin(x), вычисляем , значит x=π/3+2πk, k∈Z – точки минимума функции; , значит x=-π/3+2πk, k∈Z – точки максимума функции.
Пример №3. Исследовать на экстремум фцнкцию в окрестностях точки x=0.
Решение. Здесь необходимо найти экстремумы функции. Если экстремум x=0, то выяснить его тип (минимум или максимум). Если среди найденных точек нет x = 0, то вычислить значение функции f(x=0).
Следует обратить внимание, что когда производная с каждой стороны от данной точки не меняет своего знака, не исчерпываются возможные ситуации даже для дифференцируемых функций: может случиться, что для сколь угодно малой окрестности по одну из сторон от точки x0 или по обе стороны производная меняет знак. В этих точках приходится применять другие методы для исследования функций на экстремум.
Пример №4. Разбить число 49 на два слагаемых, произведение которых будет наибольшим.
Решение. Обозначим x – первое слагаемое. Тогда (49-x) – второе слагаемое.
Произведение будет максимальным: x·(49-x) → max
или
49x – x2
Наибольший объем цилиндра
Найти размеры цилиндра наибольшего объема, изготовленного из заготовки в форме шара радиуса R.
Решение:
Объем цилиндра равен: V = πr2H
где H = 2h,
Подставим эти значения в целевую функцию.
V → max
Найдем экстремум функции. Поскольку функция объема V(h) зависит только от одной переменной, то найдем производную с помощью сервиса Производная онлайн
и приравняем ее к нулю.
dV/dh = 2πR2 – 6πh2
dV/dh = 0
2πR2 – 6πh2 = 0 или R2 = 3h2
Откуда
При высоте и радиусе основания размеры цилиндра будут наибольшими.
Рассмотрим график непрерывной функции y=f(x), изображенной на рисунке.
Значение функции в точке x1 будет больше значений
функции во всех соседних точках как слева, так и справа от x1. В
этом случае говорят, что функция имеет в точке x1 максимум. В точке x3 функция, очевидно,
также имеет максимум. Если рассмотреть точку x2, то в ней значение функции
меньше всех соседних значений. В этом случае говорят, что функция имеет в точке
x2 минимум.
Аналогично для точки x4.
Функция y=f(x) в точке x0 имеет максимум, если значение функции в этой точке больше, чем ее
значения во всех точках некоторого интервала, содержащего точку x0, т.е. если существует такая
окрестность точки x0, что для всех x≠x0,
принадлежащих этой окрестности, имеет место неравенство f(x)<f(x0).
Функция y=f(x) имеет минимум в точке x0, если существует такая окрестность
точки x0, что
для всех x≠x0, принадлежащих этой окрестности, имеет
место неравенство f(x)>f(x0.
Точки, в которых функция
достигает максимума и минимума, называются точками экстремума, а значения
функции в этих точках экстремумами функции.
Обратим внимание на то,
что функция, определенная на отрезке, может достигать максимума и минимума
только в точках, заключенных внутри рассматриваемого отрезка.
Отмети, что если функция
имеет в точке максимум, то это не означает, что в этой точке функция имеет
наибольшее значение во всей области определения. На рисунке, рассмотренном выше,
функция в точке x1 имеет максимум, хотя
есть точки, в которых значения функции больше, чем в точке x1. В частности, f(x1) < f(x4)
т.е. минимум функции больше максимума. Из определения максимума следует только,
что это самое большое значение функции в точках, достаточно близкихк точке максимума.
Теорема 1. (Необходимое условие
существования экстремума.) Если дифференцируемая функция y=f(x) имеет в точке x= x0
экстремум, то ее производная в этой точке обращается в нуль.
Доказательство. Пусть для определенности в точке x0 функция имеет максимум. Тогда при достаточно
малых приращениях Δx имеем f(x0+ Δx)<f(x0), т.е. 
Но тогда
Переходя в этих
неравенствах к пределу при Δx→ 0 и учитывая, что производная f ‘(x0)
существует, а следовательно предел, стоящий слева, не
зависит от того как Δx → 0,
получаем: при Δx → 0
– 0 f’(x0)
≥ 0 а при Δx → 0
+ 0 f’(x0)
≤ 0. Так как f ‘(x0)
определяет число, то эти два неравенства совместны только в том случае, когда f ‘(x0) = 0.
Доказанная
теорема утверждает, что точки максимума и минимума могут находиться только
среди тех значений аргумента, при которых производная обращается в нуль.
Мы рассмотрели случай,
когда функция во всех точках некоторого отрезка имеет производную. Как же
обстоит дело в тех случаях, когда производная не существует? Рассмотрим примеры.
Примеры.
- y=|x|.
Функция не имеет
производной в точке x=0 (в этой точке график функции не имеет определенной касательной),
но в этой точке функция имеет минимум, так как y(0)=0,
а при всех x≠ 0y > 0. -
Функция
не имеет производной
при x=0, так как
обращается в
бесконечность приx=0. Но в этой точке функция имеет максимум. -
Функция
не имеет производной при x=0, так как 
при x→0. В
этой точке функция не имеет ни максимума, ни минимума. Действительно, f(x)=0 и при x<0f(x)<0, а при x>0f(x)>0.
Таким образом, из
приведенных примеров и сформулированной теоремы видно, что функция может иметь
экстремум лишь в двух случаях: 1) в точках, где производная существует и равна
нулю; 2) в точке, где производная не существует.Однако, если в некоторой точке x0 мы знаем,
что f ‘(x0)=0, то отсюда нельзя делать вывод, что в
точке x0 функция
имеет экстремум.Например.
.Но точка x=0 не является
точкой экстремума, поскольку слева от этой точки значения функции расположены
ниже оси Ox, а справа выше.Значения аргумента из
области определения функции, при которых производная функции обращается в нуль
или не существует, называются критическими
точками.Из всего вышесказанного
следует, что точки экстремума функции находятся среди критических точек, и,
однако, не всякая критическая точка является точкой экстремума. Поэтому, чтобы
найти экстремум функции, нужно найти все критические точки функции, а затем
каждую из этих точек исследовать отдельно на максимум и минимум. Для этого
служит следующая теорема.Теорема 2. (Достаточное
условие существования экстремума.) Пусть функция непрерывна на некотором
интервале, содержащем критическую точку x0, и дифференцируема
во всех точках этого интервала (кроме, быть может, самой точки x0). Если при
переходе слева направо через эту точку производная меняет знак с плюса на
минус, то в точке x = x0
функция имеет максимум. Если же при переходе через x0
слева направо производная меняет знак с минуса на плюс, то функция имеет в этой
точке минимум.Таким образом, если
- f ‘(x)>0 при x<x0 и f ‘(x)<0 при x> x0, то x0 – точка максимума;
при x<x0
и f ‘(x)>0 при x> x0, то x0 – точка минимума.
Доказательство. Предположим сначала, что при переходе
через x0 производная меняет знак с плюса на минус, т.е.
при всех x, близких к точке x0 f ‘(x)>0 для x< x0, f ‘(x)<0 для x> x0. Применим теорему
Лагранжа к разности f(x) – f(x0) = f ‘(c)(x- x0), где c лежит между x и
x0.- Пусть x < x0. Тогда c< x0 и f ‘(c)>0. Поэтомуf ‘(c)(x- x0)<0и, следовательно,
f(x) – f(x0)<0,т.е. f(x)< f(x0).
- Пусть x > x0. Тогда c> x0
и f ‘(c)<0. Значитf ‘(c)(x- x0)<0. Поэтому f(x) – f(x0)<0,т.е.f(x) < f(x0).
Таким образом, для всех
значений x достаточно близких к x0 f(x) < f(x0). А это значит, что в точке x0 функция
имеет максимум.Аналогично доказывается
вторая часть теоремы о минимуме.Проиллюстрируем
смысл этой теоремы на рисунке. Пусть f ‘(x1)=0 и для любых x, достаточно близких к x1, выполняются неравенстваf ‘(x)<0 при x< x1, f ‘(x)>0 при x> x1.
Тогда слева от точки x1 функция возрастает, а
справа убывает, следовательно, при x = x1
функция переходит от возрастания к убыванию, то есть имеет максимум.Аналогично можно рассматривать
точки x2 и x3.
Схематически все вышесказанное можно изобразить на картинке:Правило исследования
функции y=f(x) на экстремум- Найти область определения
функции f(x). - Найти первую
производную функции f ‘(x). - Определить критические
точки, для этого:- найти действительные корни уравнения f ‘(x)=0;
- найти все значения x при которых производная f ‘(x) не существует.
- Определить знак
производной слева и справа от критической точки. Так как знак производной
остается постоянным между двумя критическими точками, то достаточно определить
знак производной в какой-либо одной точке слева и в одной точке справа от
критической точки. - Вычислить значение
функции в точках экстремума.
Примеры. Исследовать функции на
минимум и максимум.
. Область определения функции D(y)=R.
Найдем
производную заданной функции
Определим
критические точки
. Производная не существует при х2= 0. Следовательно,
критические точки: 0 и 2/5. Нанесем их на числовую ось и определим знак
производной на каждом из полученных промежутков.
-
Критическая точка функции x =3. Точка x= –1 не входит в область определения функции.
НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ НА ОТРЕЗКЕ
Наибольшим значением функции на отрезке называется самое
большое из всех ее значений на этом отрезке, а наименьшим – самое маленькое из всех ее значений.Рассмотрим функцию y=f(x) непрерывную
на отрезке [a, b].
Как известно, такая функция достигает своего наибольшего и наименьшего
значений, либо на границе отрезка, либо внутри него. Если наибольшее или
наименьшее значение функции достигается во внутренней точке отрезка, то это
значение является максимумом или минимумом функции, то есть достигается в
критических точках.Таким образом,
получаем следующее правило нахождения
наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке[a, b]:- Найти все
критические точки функции в интервале (a, b) и вычислить значения функции в этих точках. - Вычислить
значения функции на концах отрезка при x = a, x = b. - Из всех полученных
значений выбрать наибольшее и наименьшее.
Примеры.
- Найти наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезке [–2; –0,5].
Найдем
критические точки функции.
Вычислим
значения функции в найденной точке и на концах заданного отрезка.
Итак,
- Найти
наибольшее и наименьшее значения функцииy=x-2·ln x на [1; e].
- Чему равна наименьшая площадь боковой поверхности
прямого кругового конуса объема 3π?
По теореме Пифагора
.Следовательно,
.
.Найдем
критические точки функции S: S‘ = 0, т.е.
Покажем, что при
найденном значении h функция Sбок
достигает минимума.
. -
Найти радиус основания и высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиусом R.
Пусть r – радиус основания цилиндра, h – высота.
Нам нужно
максимизировать объем цилиндра
.Используя
условие задачи, найдем связь между r и h. По теореме
Пифагора из треугольника ABC следует,
что
. Отсюда 
.
, по смыслу задачи 0≤h≤2R.
.Покажем, что при
найденном значении h
функция V принимает наибольшее
значение.
не имеет производной
обращается в
не имеет производной при x=0, так как 
при x→0. В
.
при x<x0
. Область определения функции D(y)=R.
. Производная не существует при х2= 0. Следовательно,
на отрезке [–2; –0,5].
.
.
.
.
.
. Отсюда 
.
, по смыслу задачи 0≤h≤2R.
.
Чтобы определить характер функции и говорить о ее поведении, необходимо находить промежутки возрастания и убывания. Этот процесс получил название исследования функции и построения графика. Точка экстремума используется при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции, так как в них происходит возрастание или убывание функции из интервала.
Данная статья раскрывает определения, формулируем достаточный признак возрастания и убывания на интервале и условие существования экстремума. Это применимо к решению примеров и задач. Следует повторить раздел дифференцирования функций, потому как при решении необходимо будет использовать нахождение производной.
Возрастание и убывание функции на интервале
Функция y=f(x) будет возрастать на интервале x, когда при любых x1∈X и x2∈X , x2>x1неравенство f(x2)>f(x1) будет выполнимо. Иначе говоря, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Функция y=f(x) считается убывающей на интервале x, когда при любых x1∈X, x2∈X, x2>x1 равенство f(x2)>f(x1) считается выполнимым. Иначе говоря, большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
Замечание: Когда функция определенная и непрерывная в концах интервала возрастания и убывания, то есть (a;b), где х=а, х=b, точки включены в промежуток возрастания и убывания. Определению это не противоречит, значит, имеет место быть на промежутке x.
Основные свойства элементарных функций типа y=sinx – определенность и непрерывность при действительных значениях аргументах. Отсюда получаем, что возрастание синуса происходит на интервале -π2; π2, тогда возрастание на отрезке имеет вид -π2; π2.
Точки экстремума, экстремумы функции
Точка х0 называется точкой максимума для функции y=f(x), когда для всех значений x неравенство f(x0)≥f(x) является справедливым. Максимум функции – это значение функции в точке, причем обозначается ymax.
Точка х0 называется точкой минимума для функции y=f(x), когда для всех значений x неравенство f(x0)≤f(x) является справедливым. Минимум функции – это значение функции в точке, причем имеет обозначение вида ymin.
Окрестностями точки х0 считаются точки экстремума, а значение функции, которое соответствует точкам экстремума. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
Экстремумы функции с набольшим и с наименьшим значением функции. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
Первый рисунок говорит о том, что необходимо найти наибольшее значение функции из отрезка [a;b]. Оно находится при помощи точек максимума и равняется максимальному значению функции, а второй рисунок больше походит на поиск точки максимума при х=b.
Достаточные условия возрастания и убывания функции
Чтобы найти максимумы и минимумы функции, необходимо применять признаки экстремума в том случае, когда функция удовлетворяет этим условиям. Самым часто используемым считается первый признак.
Первое достаточное условие экстремума
Пусть задана функция y=f(x), которая дифференцируема в ε окрестности точки x0, причем имеет непрерывность в заданной точке x0. Отсюда получаем, что
- когда f'(x)>0 с x∈(x0-ε; x0) и f'(x)<0 при x∈(x0; x0+ε), тогда x0 является точкой максимума;
- когда f'(x)<0 с x∈(x0-ε; x0) и f'(x)>0 при x∈(x0; x0+ε), тогда x0 является точкой минимума.
Иначе говоря, получим их условия постановки знака:
- когда функция непрерывна в точке x0, тогда имеет производную с меняющимся знаком, то есть с + на -, значит, точка называется максимумом;
- когда функция непрерывна в точке x0, тогда имеет производную с меняющимся знаком с – на +, значит, точка называется минимумом.
Алгоритм для нахождения точек экстремума
Чтобы верно определить точки максимума и минимума функции, необходимо следовать алгоритму их нахождения:
- найти область определения;
- найти производную функции на этой области;
- определить нули и точки, где функция не существует;
- определение знака производной на интервалах;
- выбрать точки, где функция меняет знак.
Рассмотрим алгоритм на примере решения нескольких примеров на нахождение экстремумов функции.
Найти точки максимума и минимума заданной функции y=2(x+1)2x-2.
Решение
Область определения данной функции – это все действительные числа кроме х=2. Для начала найдем производную функции и получим:
y’=2x+12x-2’=2·x+12’·(x-2)-(x+1)2·(x-2)'(x-2)2==2·2·(x+1)·(x+1)’·(x-2)-(x+1)2·1(x-2)2=2·2·(x+1)·(x-2)-(x+2)2(x-2)2==2·(x+1)·(x-5)(x-2)2
Отсюда видим, что нули функции – это х=-1, х=5, х=2, то есть каждую скобку необходимо приравнять к нулю. Отметим на числовой оси и получим:
Теперь определим знаки производной из каждого интервала. Необходимо выбрать точку, входящую в интервал, подставить в выражение. Например, точки х=-2, х=0, х=3, х=6.
Получаем, что
y'(-2)=2·(x+1)·(x-5)(x-2)2x=-2=2·(-2+1)·(-2-5)(-2-2)2=2·716=78>0, значит, интервал -∞; -1 имеет положительную производную. Аналогичным образом получаем, что
y'(0)=2·(0+1)·0-50-22=2·-54=-52<0y'(3)=2·(3+1)·(3-5)(3-2)2=2·-81=-16<0y'(6)=2·(6+1)·(6-5)(6-2)2=2·716=78>0
Так как второй интервал получился меньше нуля, значит, производная на отрезке будет отрицательной. Третий с минусом, четвертый с плюсом. Для определения непрерывности необходимо обратить внимание на знак производной, если он меняется, тогда это точка экстремума.
Получим, что в точке х=-1 функция будет непрерывна, значит, производная изменит знак с + на -. По первому признаку имеем, что х=-1 является точкой максимума, значит получаем
ymax=y(-1)=2·(x+1)2x-2x=-1=2·(-1+1)2-1-2=0
Точка х=5 указывает на то, что функция является непрерывной, а производная поменяет знак с – на +. Значит, х=-1 является точкой минимума, причем ее нахождение имеет вид
ymin=y(5)=2·(x+1)2x-2x=5=2·(5+1)25-2=24
Графическое изображение
Ответ: ymax=y(-1)=0, ymin=y(5)=24.
Стоит обратить внимание на то, что использование первого достаточного признака экстремума не требует дифференцируемости функции с точке x0, этим и упрощает вычисление.
Найти точки максимума и минимума функции y=16×3=2×2+223x-8.
Решение.
Область определения функции – это все действительные числа. Это можно записать в виде системы уравнений вида:
-16×3-2×2-223x-8, x<016×3-2×2+223x-8, x≥0
После чего необходимо найти производную:
y’=16×3-2×2-223x-8′, x<016×3-2×2+223x-8′, x>0y’=-12×2-4x-223, x<012×2-4x+223, x>0
Точка х=0 не имеет производной, потому как значения односторонних пределов разные. Получим, что:
lim y’x→0-0=lim yx→0-0-12×2-4x-223=-12·(0-0)2-4·(0-0)-223=-223lim y’x→0+0=lim yx→0-012×2-4x+223=12·(0+0)2-4·(0+0)+223=+223
Отсюда следует, что функция непрерывна в точке х=0, тогда вычисляем
lim yx→0-0=limx→0-0-16×3-2×2-223x-8==-16·(0-0)3-2·(0-0)2-223·(0-0)-8=-8lim yx→0+0=limx→0-016×3-2×2+223x-8==16·(0+0)3-2·(0+0)2+223·(0+0)-8=-8y(0)=16×3-2×2+223x-8x=0=16·03-2·02+223·0-8=-8
Необходимо произвести вычисления для нахождения значения аргумента, когда производная становится равной нулю:
-12×2-4x-223, x<0D=(-4)2-4·-12·-223=43×1=4+432·-12=-4-233<0x2=4-432·-12=-4+233<0
12×2-4x+223, x>0D=(-4)2-4·12·223=43×3=4+432·12=4+233>0x4=4-432·12=4-233>0
Все полученные точки нужно отметить на прямой для определения знака каждого интервала. Поэтому необходимо вычислить производную в произвольных точках у каждого интервала. Например, у нас можно взять точки со значениями x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6. Получим, что
y'(-6)=-12×2-4x-223x=-6=-12·-62-4·(-6)-223=-43<0y'(-4)=-12×2-4x-223x=-4=-12·(-4)2-4·(-4)-223=23>0y'(-1)=-12×2-4x-223x=-1=-12·(-1)2-4·(-1)-223=236<0y'(1)=12×2-4x+223x=1=12·12-4·1+223=236>0y'(4)=12×2-4x+223x=4=12·42-4·4+223=-23<0y'(6)=12×2-4x+223x=6=12·62-4·6+223=43>0
Изображение на прямой имеет вид
Значит, приходим к тому, что необходимо прибегнуть к первому признаку экстремума. Вычислим и получим, что
x=-4-233, x=0, x=4+233, тогда отсюда точки максимума имеют значениx=-4+233, x=4-233
Перейдем к вычислению минимумов:
ymin=y-4-233=16×3-22+223x-8x=-4-233=-8273ymin=y(0)=16×3-22+223x-8x=0=-8ymin=y4+233=16×3-22+223x-8x=4+233=-8273
Произведем вычисления максимумов функции. Получим, что
ymax=y-4+233=16×3-22+223x-8x=-4+233=8273ymax=y4-233=16×3-22+223x-8x=4-233=8273
Графическое изображение
Ответ:
ymin=y-4-233=-8273ymin=y(0)=-8ymin=y4+233=-8273ymax=y-4+233=8273ymax=y4-233=8273
Второй признак экстремума функции
Если задана функция f'(x0)=0, тогда при ее f”(x0)>0 получаем, что x0 является точкой минимума, если f”(x0)<0, то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x0.
Найти максимумы и минимумы функции y=8xx+1.
Решение
Для начала находим область определения. Получаем, что
D(y): x≥0x≠-1⇔x≥0
Необходимо продифференцировать функцию, после чего получим
y’=8xx+1’=8·x’·(x+1)-x·(x+1)'(x+1)2==8·12x·(x+1)-x·1(x+1)2=4·x+1-2x(x+1)2·x=4·-x+1(x+1)2·x
При х=1 производная становится равной нулю, значит, точка является возможным экстремумом. Для уточнения необходимо найти вторую производную и вычислить значение при х=1. Получаем:
y”=4·-x+1(x+1)2·x’==4·(-x+1)’·(x+1)2·x-(-x+1)·x+12·x'(x+1)4·x==4·(-1)·(x+1)2·x-(-x+1)·x+12’·x+(x+1)2·x'(x+1)4·x==4·-(x+1)2x-(-x+1)·2x+1(x+1)’x+(x+1)22x(x+1)4·x==-(x+1)2x-(-x+1)·x+1·2x+x+12x(x+1)4·x==2·3×2-6x-1x+13·x3⇒y”(1)=2·3·12-6·1-1(1+1)3·(1)3=2·-48=-1<0
Значит, использовав 2 достаточное условие экстремума, получаем, что х=1 является точкой максимума. Иначе запись имеет вид ymax=y(1)=811+1=4.
Графическое изображение
Ответ: ymax=y(1)=4..
Третье достаточное условие экстремума
Функция y=f(x) имеет ее производную до n-го порядка в ε окрестности заданной точки x0 и производную до n+1-го порядка в точке x0. Тогда f'(x0)=f”(x0)=f”'(x0)=…=fn(x0)=0.
Отсюда следует, что когда n является четным числом, то x0 считается точкой перегиба, когда n является нечетным числом, то x0 точка экстремума, причем f(n+1)(x0)>0, тогда x0 является точкой минимума, f(n+1)(x0)<0, тогда x0 является точкой максимума.
Найти точки максимума и минимума функции yy=116(x+1)3(x-3)4.
Решение
Исходная функция – целая рациональная, отсюда следует, что область определения – все действительные числа. Необходимо продифференцировать функцию. Получим, что
y’=116x+13′(x-3)4+(x+1)3x-34’==116(3(x+1)2(x-3)4+(x+1)34(x-3)3)==116(x+1)2(x-3)3(3x-9+4x+4)=116(x+1)2(x-3)3(7x-5)
Данная производная обратится в ноль при x1=-1, x2=57, x3=3. То есть точки могут быть точками возможного экстремума. Необходимо применить третье достаточное условие экстремума. Нахождение второй производной позволяет в точности определить наличие максимума и минимума функции. Вычисление второй производной производится в точках ее возможного экстремума. Получаем, что
y”=116x+12(x-3)3(7x-5)’=18(x+1)(x-3)2(21×2-30x-3)y”(-1)=0y”57=-368642401<0y”(3)=0
Значит, что x2=57 является точкой максимума. Применив 3 достаточный признак, получаем, что при n=1 и f(n+1)57<0.
Необходимо определить характер точек x1=-1, x3=3. Для этого необходимо найти третью производную, вычислить значения в этих точках. Получаем, что
y”’=18(x+1)(x-3)2(21×2-30x-3)’==18(x-3)(105×3-225×2-45x+93)y”'(-1)=96≠0y”'(3)=0
Значит, x1=-1 является точкой перегиба функции, так как при n=2 и f(n+1)(-1)≠0. Необходимо исследовать точку x3=3. Для этого находим 4 производную и производим вычисления в этой точке:
y(4)=18(x-3)(105×3-225×2-45x+93)’==12(105×3-405×2+315x+57)y(4)(3)=96>0
Из выше решенного делаем вывод, что x3=3 является точкой минимума функции.
Графическое изображение
Ответ: x2=57 является точкой максимума, x3=3 – точкой минимума заданной функции.
