Как найти эквивалентное сопротивление цепи rab - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

2) В случае, если цепь содержит непреобразованные источники напряжения и источники тока, то элементы матрицы узловых токов [Jy] рассчитывают следующим образом:

Jyk Jk Gk Ek ,

где Jk – алгебраическая сумма токов источника тока, подключенных к рассматриваемому узлу. Токи Jk записывают под знаком суммы со знаком плюс, если они направлены к k-му узлу и со знаком минус, если они направлены от k- го узла; GkEk – алгебраическая сумма произведений ЭДС ветвей, сходящихся в k-м узле, на проводимости этих ветвей. Слагаемое записывается со знаком плюс (минус), если ЭДС направлена к узлу (от узла).

1.7 Краткая характеристика методов расчета электрических цепей

Наиболее универсальным методом анализа и расчёта электрических цепей является метод, основанный на применении I и II – го законов Кирхгофа.

Первый закон применяют для описания баланса токов в узлах электрической цепи, согласно которому: “Алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле электрической цепи, должна быть равна нулю”:

Ik 0. k 1

Если бы условие (3) не выполнялось, то в узлах электрической цепи происходило бы накопление электрических зарядов, что экспериментально не подтверждается.

Второй закон применяют для описания замкнутых (условно или, безусловно) контуров, согласно которому: “Алгебраическая сумма ЭДС, действующих в замкнутом контуре, должна уравновешиваться алгебраической суммой падений напряжений на элементах замкнутого контура”:

n m m

Ek Up IpRp. k 1 p 1 p 1

Оба закона Кирхгофа являются следствиями закона сохранения энергии применительно к электрическим цепям.

Метод наложения (суперпозиции) применяют для анализа и расчёта только линейных электрических цепей, содержащих несколько источников энергии. Здесь токи в ветвях определяются путем алгебраического суммирования “частичных” токов, получающихся в ветвях под воздействием каждой частичной ЭДС схемы в отдельности.

Наиболее эффективен метод наложения тогда, когда в цепи содержатся источники тока (с Rвн ) и источники ЭДС (с Rвн 0), так как при рассмотрении “частичных” режимов работы схемы (только с каким – то одним источником) – идеальные источники ЭДС закорачиваются (из-за Rвн 0), а ветви с ис-

точником тока обрываются (из-за Rвн ), что вызывает максимальное упрощение схемы в конкретном “частичном” режиме.

1.8 Потенциальная диаграмма

Второй закон Кирхгофа наглядно иллюстрируется с помощью потенциальной диаграммы (ПД). Если по оси абсцисс прямоугольной системы координат отложить сопротивления участков в той последовательности, в которой они включены в цепь, а по оси ординат – потенциалы соответствующих точек, то получится график распределения потенциала вдоль неразветвленной цепи. Пользуясь этим графиком, можно определить напряжение между двумя любыми точками цепи. Порядок построения потенциальной диаграммы (предварительно необходимо выполнить расчет электрической цепи) состоит в следующем:

1)Выбираем опорный узел и принимаем его потенциал равным нулю;

2)Задаем положительное направление обхода контура;

3)Если направление обхода контура и направление тока совпадают на участке цепи, то потенциал при прохождении через сопротивление уменьшается, при направлении обхода контура и противоположном направлении тока потенциал при прохождении через сопротивление увеличится;

4)Идеальный источник ЭДС вызывает скачкообразное изменение потенциала. Скачок потенциала положительный, если направление ЭДС совпадает по направлению с обходом контура и отрицательный, если направления обхода контура и ЭДС противоположны.

При построении ПД необходимо соблюдать следующие правила:

1)Если направление обхода выбранного замкнутого контура и направление тока на участке цепи совпадают, то потенциал будет уменьшаться при прохождении через сопротивление, на величину падения в нём напряжения;

2)Если направление обхода выбранного замкнутого контура и направление тока на участке цепи противоположны, то потенциал будет увеличиваться при прохождении через сопротивление, на величину падения в нём напряжения;

3)Идеальный источник ЭДС вызывает скачок потенциала на величину

ЭДС источника (т.к. его Rвн =0);

4)Скачок потенциала после источника ЭДС положительный, если направление ЭДС совпадает с направлением обхода и отрицательный, если направление ЭДС и направление обхода противоположны;

5)Источник ЭДС повышает потенциал в той точке, в которую направлена его стрелка.

Для примера построим потенциальную диаграмму для контура “a – b – c – d – a” в схеме представленной на рис. 1.8.1.

Примем потенциал точки “а” равным нулю ( a) и найдём последовательно потенциалы точек “b”, “c”, “d”:

b = a + E1 – I1R01 ,

c = b – I1R1 = a + E1 – I1R01 + I1R1 ,

d = c + I2R2 = a + E1 – I1R01 – I1R1 + I2R2 ,

a = d – E2 = 0.

а затем построим потенциальную диаграмму (рис. 1.8.2).

φ, В

ΔU2 = I1·R02

ΔU1 = –I1·R01

d’

b’

R01

I2·R2

–I1·R1

R02

R01

–E2

d R, Ом

Замечание: При построении ПД один из узлов схемы принимается за опорный и заземляется, то есть его потенциал обнуляется. При этом токи в ветвях не изменяются, так как их величина зависит от разности потенциалов, а не от абсолютной величины потенциала одного отдельно взятого узла схемы.

2 РАСЧЕТ ПРОСТЫХ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА

2.1 Примеры решения задач цепей с источниками постоянного напряжения и тока

2.1.1 Найти эквивалентное сопротивление для цепей рис. 2.1.1 относительно зажимов a, b?

РЕШЕНИЕ: в схеме представленной на

рис. 2.1.1.а резисторы R и 2R попарно соеди-

нены между собой параллельно: эквивалентное

сопротивление состоит из суммы этих двух со-

единений:

2RR

Rab

R Ом.

Рис. 2.1.1.а

2R R

РЕШЕНИЕ: в схеме представленной на

рис. 2.1.1.б перемычка закорачивает резистор

4R, и он как бы исключается из схемы. Экви-

валентное сопротивление состоит из парал-

лельного соединения резисторов 3R и (R+2R):

R 2R 3R

Rab R 2R 3R 1,5R Ом.

Рис. 2.1.1.б

РЕШЕНИЕ: в схеме представленной на

рис. 2.1.1.в резисторы R1 и R2 соединены по-

следовательно: R12=R1+R2; резисторы R4 и R5

соединены параллельно, их общее сопротивле-

ние рассчитывается по формуле:

R4 R2

R45

R4 R5

Эквивалентное сопротивление состоит из двух

параллельно соединенных ветвей с резисто-

Рис. 2.1.1.в

рами: R12 в одной ветви и последовательно со-

единенных R3 и R45 в другой. Эквивалентное

сопротивление рассчитывается по формуле:

R12 R3 R45

Rab

R12 R3 R45

2.1.2 Найти эквивалентное сопротивление цепи (рис. 2.1.2) относительно зажимов “a” и “b”, если: R1=600 Ом, R2=360 Ом, R3=400 Ом, R4=300 Ом.

Рис. 2.1.2

а
	R2
	R4
b	R13
	Рис. 2.1.2.б

Рис. 2.1.2.а

РЕШЕНИЕ: Заданную схему можно представить в ином виде (рис. 2.1.2.а, рис. 2.1.2.б).

Резисторы R1 и R3 соединены параллельно, их сопротивление рассчитывается по формуле:

R13	R1 R3	600 400	240 Ом,
R1 R3	600 400

с резистором R2 сопротивление R13 соединено последовательно, то есть их общее сопротивление R123:

R123 R13 R2 240 360 600 Ом,

Эквивалентное сопротивление цепи Rab состоит из двух соединенных парал-

лельно резисторов R123	и R4:	R123 R4	600 300

			Rab	R123 R4	600 300 200 Ом.
	2.1.3 Чему равно сопротивление цепи (рис. 2.1.3) Rab при разомкнутом и
замкнутом рубильнике?	РЕШЕНИЕ:
а		1
	R			Решение данной задачи распадается на два от-
	R		дельных случая:
	K		1-й случай – ключ “К” разомкнут. Перемычка
	2
			между узлами 1 и 3 шунтирует два резистора,
				поэтому реальная схема имеет вид, представ-
b	R	R		ленный на рис. 2.1.3.а. Следовательно, эквива-
		лентное сопротивление состоит из двух после-

		3
	Рис. 2.1.3		довательно соединенных резисторов: Rab=2R;

a R 1

b R

Рис. 2.1.3.а

а 1

R 2

b R

Рис. 2.1.3.б

2-й случай – ключ “К” замкнут (рис. 2.3.1.б). Наличие в цепи двух перемычек приводит к тому, что три резистора между точками 1 и “b” включены параллельно между собой: каждый резистор одним полюсом подключен к узлу 1, что равносильно подключению к узлу 3, а вторым полюсом подключен к узлу “b”, что равносильно подключению к узлу 2.

В этом случае эквивалентное сопротивление преобразованной схемы представленной на рис. 2.1.3.в можно найти как:

Rab R					1							R	R		4	R Ом.
	1		1			1		3		3
			R	R			R

а		R				1				3

											R			R			R


b


									2
					Рис. 2.1.3.в

2.1.4 Пусть требуется найти эквивалентное сопротивление цепи представленной на рис. 2.1.4 между различными зажимами “a” – “b”, “c” – “d”, “d”

– “f”, “a” – “f”, “e” – “f”, если: R1=6 Ом, R2=5 Ом, R3=15 Ом, R4=30 Ом, R5=3 Ом, R6=3 Ом.

а	R1	c	R2	d	R5	e

		R3		R4		R6
b						f
			Рис. 2.1.4

РЕШЕНИЕ:

а) Для расчета сопротивления Rab между зажимами “а” и “b” представим схему в ином виде (рис. 2.1.4.а). Эта схема представляет собой лестничное соединение сопротивлений.

Резисторы R5

и R6

соединены по-

следовательно и

эквивалентное

сопротивление резисторов R5 и R6

найдем как:

R56 R5 R6

3 3 6 Ом.

Рис. 2.1.4.а

Сопротивление R56 соединено параллельно R4, поэтому их общее сопротивление найдем по формуле:

R456

R4 R56

30 6

5 Oм.

R4 R56

30 6

После этого преобразования схему мож-

но свернуть и представить в виде (рис.

2.1.4.б). Резисторы R2

и R456 соединены

R456

последовательно, тогда

их общее сопро-

тивление R’ будет равно:

R R2 R456 5 5 10Oм.

Рис. 2.1.4.б

Полное эквивалентное сопротивление цепи Rab состоит из резистора R1, последовательно с которым соединены параллельно включенные резисторы R3 и R’:

Rab R1

c R2

Рис. 2.1.4.в

R3R	15 10
	6	12 Oм;

R3 R	15 10

б) Для расчета сопротивления Rcd между зажимами “с” и “d” перечертим схему и представим в виде (рис. 2.1.4.в). Резистор R1 не следует учитывать, так как он подключен к разомкнутым зажимам “a” – “b”. Резисторы R5, R6 включены между собой последовательно, а с резистором R4 параллельно:

R456	R4 R5 R6		30 3 3	5 Oм,
R4 R5 R6
		30 3 3

с результирующим сопротивлением R456 последовательно соединен резистор R3 и их общее сопротивление R” будет равно: R”=R3+R456 =15+5=20 Ом, Эквивалентное сопротивление Rcd состоит из параллельно соединенных резисторов R2 и R”:

	R	2 R	5 20
Rcd				4Oм.
R2 R
		5 20

в) Для расчета сопротивления Rdf

ме-

жду зажимами “d” и “f” представим

схему в виде, как показано на

рис.

2.1.4.г.

Резистор R1 не будем учитывать, так

как он подключен к разомкнутым за-

Рис. 2.1.4.г

жимам “a” и “b”.

Эквивалентное сопротивление цепи между зажимами “d” – “f” состоит из трех параллельно соединенных ветвей: R2+R3; R4 и R5+R6. Поэтому найдем вначале сумму проводимостей 3-х параллельных ветвей:

1		1		1		1	1	1	1	1	См, откуда Rdf =4 Ом.
	R2 R3		R5 R6	5 15
Rdf		R4			30 3 3 4

R2	R5	e

R3	R4	R6
		f
	Рис. 2.1.4.д

г) Для расчета сопротивления Ref между зажимами “e” и “f” рассчитаем схему, представленную (рис. 2.1.4.д). Резистор R1 так же не будем учитывать, т.к. он включен на разомкнутые зажи-

мы “a” и “b”.

Резисторы R2 и R3 соединены последовательно, то есть R23=R2+R3=5+15=20 Ом, а параллельно с ними соединен резистор R4; тогда их общее сопротивление

R234:

R234		R23 R4	20 30	12Oм,
R23 R4	20 30

последовательно с R234 соединен резистор R5: R2-5=R234 + R5=12 + 3 =15 Ом,

Эквивалентное сопротивление Ref состоит из параллельного соединения

R2-5 и R6:	R2 5 R6		15 3
Ref		2,5Oм.
R2 5 R6
	15 3

2.1.5 Пусть требуется найти сопротивление между зажимами “a” и “b” схемы представленной на рис. 2.1.5 в двух режимах:

1)при холостом ходе зажимов “c” и “d”;

2)коротком замыкании зажимов “c” и “d”, если: R1=16 Ом, R2=4 Ом, R3=4 Ом, R4=12 Ом.

		R4
а	R1	e	R2	c
			R3
b				d
		f
	Рис. 2.1.5
	R4	c	R2

а		R1		e


b			R3
			f

	Рис. 2.1.5.а
а		R1	e
	R4		R3	R2
b
			c
	Рис. 2.1.5.б

РЕШЕНИЕ:

а) Зажимы “c” и “d” разомкнуты (режим холостого хода – хх). Схема для этого случая представлена на рис. 2.1.5.а. В этом режиме резисторы R4 и R2 соединены последовательно.

Результирующий резистор R42 = R4 + R2 соединен параллельно с резистором R1, тогда их общее сопротивление R’ найдем как:

R	R42 R1		(12 4) 16	8Oм,
R42 R1
		12 4 16

R’ оказывается соединен последовательно с R3 и эквивалентное сопротивление между зажимами а и b будет равно:

Rab R’ R3 (R4 R2)R1 R3 R4 R2 R1

8 4 12Oм.

б) Зажимы “c” и “d” закорочены. Для режима К.З. схема представлена на рис. 2.1.5.б. Здесь точки “c”, “d”, “f”, и “b” имеют одинаковые потенциалы, причем резистор R4 при коротком замыкании зажимов “c” и “d” оказывается включенным параллельно зажимам “а” и “b”. “Свернем” схему от конца к началу: резисторы R2 и R3 соединены параллельно между собой, их общее сопротивление R23 включено последовательно с R1:

R123 R1 R2 R3 .

R2 R3

Эквивалентное сопротивление схемы относительно зажимов “a” и “b” представляет параллельное соединение R4 и R123:

(R1

)

4 4

R123

12 (16

)

R2 R3

Rab

4 4

7,2Oм.

R123

2 R3

12 16

4 4

R2 R3

4 4

2.1.6 Найти входное сопротивление цепи, представленной на рис. 2.1.6, при разомкнутом и замкнутом ключе, если: R1=40 Ом, R2=20 Ом, R3=10 Ом, R4=30 Ом, R5=40 Ом.

РЕШЕНИЕ:

а) Пусть ключ “K” разомкнут (рис. 2.1.6). В

этом режиме входное сопротивление цепи оп-

ределяется параллельным соединением двух

ветвей, в которые

последовательно включены

резисторы R1 с R2

и R3 с R4. Найдем последова-

тельно включенные сопротивления:

R12 R1 R2, R34 R3 R4,

Рис. 2.1.6

R3 а R1

R4 b R2

Рис. 2.1.6.a

R3 а R1

R4 b R2

Рис. 2.1.6.б

тогда, эквивалентное сопротивление схемы:

Rвх	R12 R34		(R1 R2) (R3 R4)
R12 R34	R1 R2 R3 R4

(40 20) (10 30) 24Oм. 40 20 30 10

б) Пусть ключ “К” замкнут (рис. 2.1.6.а). В этом случае резисторы схемы образуют два “треугольника” или две “звезды”. Так резисторы R1, R3, R5 и R2, R4, R5 соединены “треугольником”, а R1, R2, R5 и R3, R4, R5 – “звез-

d дой”. Задачу определения Rвх можно решить преобразованием “треугольника” в “звезду”, или “звезды” в “треугольник”.

1 способ:

Преобразуем “треугольник” R2, R4, R5 в эквивалентную “звезду” с сопротивлениями Rb, Rc, Rd. После преобразования схема принимает вид (рис. 2.1.6.б).

Сопротивления звезды:

R2 R4

20 30

6Ом,

R2 R4 R5

20 30 50

R2 R5

10 Ом,

R2 R4 R5

20 30 50

R4 R5

30 50

15 Ом.

R2 R4 R5

20 30 50

Входное сопротивление цепи Rвх:

вх Rb

(R3 Rc)(R1 Rd)

R3 Rc R1 Rd

6 (10 15) (40 10) 22,7 Oм. 10 15 40 10

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Главная
→
Примеры решения задач ТОЭ
→
Расчет электрических цепей постоянного тока методом эквивалентных преобразований

Расчет электрических цепей постоянного тока методом эквивалентных преобразований

Расчет электрических цепей постоянного тока методом эквивалентных преобразований

Основными законами, определяющими расчет электрической цепи, являются законы Кирхгофа.

На основе законов Кирхгофа разработан ряд практических методов расчета электрических цепей постоянного тока, позволяющих сократить вычисления при расчете сложных схем.

Существенно упростить вычисления, а в некоторых случаях и снизить трудоемкость расчета, возможно с помощью эквивалентных преобразований схемы.

Преобразуют параллельные и последовательные соединения элементов, соединение «звезда» в эквивалентный «треугольник» и наоборот. Осуществляют замену источника тока эквивалентным источником ЭДС. Методом эквивалентных преобразований теоретически можно рассчитать любую цепь, и при этом использовать простые вычислительные средства. Или же определить ток в какой-либо одной ветви, без расчета токов других участков цепи.

В данной статье по теоретическим основам электротехники рассмотрены примеры расчета линейных электрических цепей постоянного тока с использованием метода эквивалентных преобразований типовых схем соединения источников и потребителей энергии, приведены расчетные формулы.

Решение задач Расчет электрических цепей постоянного тока методом эквивалентных преобразований

Задача 1. Для цепи (рис. 1), определить эквивалентное сопротивление относительно входных зажимов a−g, если известно: R₁ = R₂ = 0,5 Ом, R₃ = 8 Ом, R₄ = R₅ = 1 Ом, R₆ = 12 Ом, R₇ = 15 Ом, R₈ = 2 Ом, R₉ = 10 Ом, R₁₀= 20 Ом.

Рис. 1

Решение

Начнем эквивалентные преобразования схемы с ветви наиболее удаленной от источника, т.е. от зажимов a−g:

Задача 2. Для цепи (рис. 2, а), определить входное сопротивление если известно: R₁ = R₂ = R₃ = R₄= 40 Ом.

Рис. 2

Решение

Исходную схему можно перечертить относительно входных зажимов (рис. 2, б), из чего видно, что все сопротивления включены параллельно. Так как величины сопротивлений равны, то для определения величины эквивалентного сопротивленияможно воспользоваться формулой:

где R — величина сопротивления, Ом;

n — количество параллельно соединенных сопротивлений.

Задача 3. Определить эквивалентное сопротивление относительно зажимов a–b, если R₁ = R₂ = R₃ = R₄ = R₅ = R₆ = 10 Ом (рис. 3, а).

Рис. 3

Решение

Преобразуем соединение «треугольник» f−d−c в эквивалентную «звезду». Определяем величины преобразованных сопротивлений (рис. 3, б):

По условию задачи величины всех сопротивлений равны, а значит:

На преобразованной схеме получили параллельное соединение ветвей между узлами e–b, тогда эквивалентное сопротивление равно:

И тогда эквивалентное сопротивление исходной схемы представляет последовательное соединение сопротивлений:

Задача 4. В заданной цепи (рис. 4, а) определить методом эквивалентных преобразований входные сопротивления ветвей a−b, c–d и f−b, если известно, что: R₁ = 4 Ом, R₂ = 8 Ом, R₃ =4 Ом, R₄ = 8 Ом, R₅ = 2 Ом, R₆ = 8 Ом, R₇ = 6 Ом, R₈ =8 Ом.

Решение

Для определения входного сопротивления ветвей исключают из схемы все источники ЭДС. При этом точки c и d, а также b и f соединяются накоротко, т.к. внутренние сопротивления идеальных источников напряжения равны нулю.

Рис. 4

Ветвь a−b разрывают, и т.к. сопротивление R_a_–b = 0, то входное сопротивление ветви равно эквивалентному сопротивлению схемы относительно точек a и b (рис. 4, б):

Аналогично методом эквивалентных преобразований определяются входные сопротивления ветвей R_cd и R_bf. Причем, при вычислении сопротивлений учтено, что соединение накоротко точек a и b исключает ( «закорачивает») из схемы сопротивления R₁, R₂, R₃, R₄ в первом случае, и R₅, R₆, R₇, R₈ во втором случае.

Задача 5. В цепи (рис. 5) определить методом эквивалентных преобразований токи I₁, I₂, I₃ и составить баланс мощностей, если известно: R₁ = 12 Ом, R₂ = 20 Ом, R₃ = 30 Ом, U = 120 В.

Рис. 5

Решение

Эквивалентное сопротивлениедля параллельно включенных сопротивлений:

Эквивалентное сопротивление всей цепи:

американские сигареты парламент.

Ток в неразветвленной части схемы:

Напряжение на параллельных сопротивлениях:

Токи в параллельных ветвях:

Баланс мощностей:

Задача 6. В цепи (рис. 6, а), определить методом эквивалентных преобразований показания амперметра, если известно: R₁ = 2 Ом, R₂ = 20 Ом, R₃ = 30 Ом, R₄ = 40 Ом, R₅ = 10 Ом, R₆ = 20 Ом, E = 48 В. Сопротивление амперметра можно считать равным нулю.

Рис. 6

Решение

Если сопротивления R₂, R₃, R₄, R₅ заменить одним эквивалентным сопротивлением R_Э, то исходную схему можно представить в упрощенном виде (рис. 6, б).

Величина эквивалентного сопротивления:

проститутки академическая. Смотри здесь строительство и ремонт деревянного дома.

Преобразовав параллельное соединение сопротивлений R_Э и R₆ схемы (рис. 6, б), получим замкнутый контур, для которого по второму закону Кирхгофа можно записать уравнение:

откуда ток I₁:

Напряжение на зажимах параллельных ветвей U_ab выразим из уравнения по закону Ома для пассивной ветви, полученной преобразованием R_Э и R₆:

Тогда амперметр покажет ток:

Задача 7. Определить токи ветвей схемы методом эквивалентных преобразований (рис. 7, а), если R₁ = R₂ = R₃ = R₄ = 3 Ом, J = 5 А, R₅ = 5 Ом.

Рис. 7

Решение

Преобразуем «треугольник» сопротивлений R₁, R₂, R₃ в эквивалентную «звезду» R₆, R₇, R₈ (рис. 7, б) и определим величины полученных сопротивлений:

Преобразуем параллельное соединение ветвей между узлами 4 и 5

Ток в контуре, полученном в результате преобразований, считаем равным току источника тока J, и тогда напряжение:

И теперь можно определить токи I₄ и I₅:

Возвращаясь к исходной схеме, определим напряжение U₃₂ из уравнения по второму закону Кирхгофа:

Тогда ток в ветви с сопротивлением R₃ определится:

Величины оставшихся неизвестными токов можно определить из уравнений по первому закону Кирхгофа для узлов 3 и 1:

Электронная версия статьи Расчет электрических цепей постоянного тока методом эквивалентных преобразований

Примеры решения задач Расчет электрических цепей постоянного тока методом эквивалентных преобразований

Расчет электрических цепей постоянного тока методом эквивалентных преобразований

Метод эквивалентных преобразований

Источник

Содержание

Дополнительные методы расчета цепей
Постулаты Кирхгофа
Первый постулат
Второй постулат
Параллельное соединение
Эквивалентная схема
Физические формулы и примеры вычислений
Параллельное соединение
Физические формулы и примеры вычислений
Расчет параллельного соединения резисторов
Емкость в цепи переменного тока
Определение
Практическое применение
Простое соединение
Практическое применение
Простое соединение
Комбинированный контур
Виды пассивных элементов
Катушка индуктивности
Емкостной элемент
Расчёт при смешанном соединении устройств
Как рассчитать сложные схемы соединения резисторов

Дополнительные методы расчета цепей

Закон Кирхгофа

Все дополнительные методы расчета цепей в той или иной мере являются или основаны на первом и втором законах Кирхгофа. К этим методам относятся:

Метод контурных токов – основан на введении дополнительных величин контурных токов, удовлетворяющих 1-му закону Кирхгофа;
Метод узловых потенциалов – с его помощью находят потенциалы всех узлов схемы и затем по известным потенциалам токи во всех ветвях. Метод базируется на первом законе Кирхгофа;
Метод эквивалентного генератора – этот метод предоставляет решение задачи, как найти ток только в одной или нескольких ветвях. Суть метода в том, что любую электрическую цепь по отношению к исследуемой ветви можно представить в виде эквивалентного генератора;
Метод наложения – основан на том, что ток в цепи или ветви схемы равен алгебраической сумме токов, наводимых каждым источником в отдельности.

Основная часть методов расчета направлена на упрощение процедуры определения токов в ветвях схемы. Эти мероприятия проводятся либо упрощением систем уравнений, по которым проводятся расчеты, либо упрощением самой схемы. Основываясь, в первую очередь, на постулаты Кирхгофа, любой из методов отвечает на вопрос: как определить силу тока и напряжение электрической цепи.

Постулаты Кирхгофа

Эти принципы используют для расчета сложных электрических схем. Базовые сведения о токах и напряжениях помогут уточнить контрольные параметры в отдельных узлах. С помощью этой информации корректируют характеристики отдельных функциональных компонентов. Они пригодятся для определения уровня выходного сигнала в определенных точках без применения измерительной аппаратуры.

Первый постулат

По классической формулировке сумма (алгебраическая) входящих и выходящих из одного узла токов определяется выражением:

i1 + i2 + … + in = 0.

Это соотношение справедливо для любой контрольной точки схемы, где соединяются ветви. Не имеет значения, какие именно компоненты включены в отдельные цепи:

реактивные;
пассивные;
источники питания в любой полярности.

Второй постулат

Это правило определяет равенство сумм напряжений и ЭДС, включенных в один контур. Для наглядности можно представить простейший пример с двумя резисторами, подключенными к источнику постоянного тока. С помощью мультиметра измеряют напряжения на выводах:

UR1 = 4 V;
UR1 = 2,5 V;
Uакб = 6,5 V = UR1 + UR2.

Второе правило действительно для всех замкнутых контуров, смешанных и сложных соединений. Для проверки вычислений можно суммировать последовательно разницу потенциалов контрольных точек. Если в цепи отсутствуют дополнительные генераторы (аккумуляторные батареи), получится результат, равный нулю. Выбирают направление обхода контура, соответствующее положительному току (входящему в узел). Выше показан частный случай, когда складывают результаты измерений.

К сведению. Второй постулат Кирхгофа применяют для расчета схем, подключенных к источнику питания переменного тока.

Параллельное соединение

Когда условные выходы деталей имеют общий контакт в одной точке (узле) схемы, а условные входы так же объединены во второй, говорят о параллельном соединении. Узел на чертеже обозначается графической точкой. Это место, где происходят разветвления цепей в схемах. Такой вариант подключения резисторов обеспечивает одинаковое падение напряжения U для всех параллельных элементов. Ток в этой позиции будет равен сумме токов, идущих по каждому компоненту.

Когда в параллельное подключение входит n резистивных элементов, то разность потенциалов, ток и общее сопротивление будут иметь следующие выражения:

общий ток: I = I1 + I2 + … + In;
общее напряжение: U = U1 = U2 = … = Un;
Rобщ. = Rэкв. = U/I1 + U/I2 + …+ U/In) = 1/R1 + 1/R2 +…+ 1/Rn.

Величину, обратно пропорциональную сопротивлению 1/R, называют проводимостью.

Если n равных по номиналу сопротивлений включить параллельно, то Rэкв. = (R*R)/n*R = R/n. Формула подходит и для индуктивных сопротивлений проволочных катушек и ёмкостных сопротивлений конденсаторов.

Эквивалентная схема

При расчётах сопротивления электрических цепей широко используется понятие «эквивалентная схема замещения». Её назначение — упростить сложную схему до вида, состоящую из минимума элементов. Иными словами, каждый сложный радиоэлемент можно представить в виде соответствующих ему эквивалентных простых радиодеталей: резистор, ёмкость, индуктивность, источники тока и напряжения. Это позволяет не только математически описать любую схему, но и рассчитать её параметры.

При этом обычно радиоэлементы идеализируются, то есть их паразитные параметры не учитываются. Так и для подсчёта сопротивления цепи каждый компонент представляется как идеальный резистор. После чего схема перерисовывается, и в результате на ней остаются только подключённые разными способами друг к другу резисторы.

Существует два вида подключения:

последовательное;
параллельное.

Основными элементами электрической цепи являются узел, ветвь и контур. Узел — это место соединения двух и более ветвей. Ветвь — это последовательный участок цепи между двумя узлами, а контур — любая замкнутая цепь. Последовательное соединение состоит из элементов, при котором все компоненты цепи связаны так, что участок цепи, образованный из них, не имеет ни одного узла. А при параллельном соединении все компоненты электрической цепи контактируют между собой в двух узлах. При этом эти узлы напрямую не связаны.

Физические формулы и примеры вычислений

Формулы для эквивалентных сопротивлений цепи, состоящей из пары резисторов R1 и R2, можно выделить в определённый ряд:

параллельное присоединение определяют по формуле Rэкв. = (R1*R2)/R1+R2;
последовательное включение вычисляют, определяя его сумму Rэкв. = R1+R2.

У смешанного соединения резистивных элементов нет конкретной формулы. Чтобы не запутаться при длительных преобразованиях, здесь допустимо воспользоваться специальной программой из интернета. Это сервис «онлайн-калькулятор». Он поможет разобраться со сложными схемами соединения, будь то треугольник, квадрат, пятиугольник или иная схематичная фигура, образованная резистивными элементами.

Понять, как работают все формулы и методы, можно на конкретной задаче. На представленном первом рисунке – смешанная электрическая схема. Она включает в себя 10 резисторов. Элементы представлены в следующих номиналах:

R1 = 1 Ом;
R2 = 2 Ом;
R3 = 3 Ом;
R4 = 6 Ом;
R5 = 9 Ом;
R6 = 18 Ом;
R7 = 2Ом;
R8 = 2Ом;
R9 = 8 Ом;
R10 = 4 Ом.

Напряжение, поданное на схему:

Требуется рассчитать токи на всех резистивных элементах.

Для расчётов применяется закон Ома:

I = U/R, подставляя вместо R эквивалентное сопротивление.

Внимание! Для решения этой задачи сначала вычисляют общее (эквивалентное) R, после чего уже рассчитывают ток в цепи и напряжение на каждом резистивном компоненте. Вычисляя Rэкв., разделяют заданную цепь на звенья, вмещающие в себя параллельные и последовательные включения

Делают расчёты для каждого такого звена, после – всей цепи целиком

Вычисляя Rэкв., разделяют заданную цепь на звенья, вмещающие в себя параллельные и последовательные включения. Делают расчёты для каждого такого звена, после – всей цепи целиком.

На рисунке выше изображено смешанное соединение сопротивлений. Его можно разбить на три участка:

АВ – участок, имеющий две параллельных ветви;
ВС – отрезок, вмещающий в себя последовательное сопряжение;
CD – отрезок схемы с расположением трёх параллельных цепочек.

Сопротивления R2 и R3, образующие нижнюю ветку отрезка АВ, соединены последовательно, что учитывается при расчёте.

Если посмотреть на участок СD, то можно отметить смешанное включение резистивных элементов.

Начало расчётов состоит в определении эквивалентных сопротивлений для этих смешанных фрагментов. Выполняют это в следующем порядке:

Rэкв.2,3 = R2+R3=2 + 3 = 5 Ом;
Rэкв.7,8 = (R7*R8)/R7 + R8 = (2*2)/2 + 2 = 1 Ом;
Rэкв.7,8,9 = Rэкв.7,8 + R9 = 1 + 8 = 9 Ом.

Зная значения полученных эквивалентов, упрощают первоначальную схему. Она будет иметь вид, представленный на рисунке ниже.

Далее можно уже определить Rэкв. для участков AB, BC, CD, по формулам:

Rэкв.AB = (R1*Rэкв 2,3)/R1 + Rэкв 2,3 = (1*5)/1 + 5 = 0,83 Ом;
Rэкв.BC = R4 + R5 = 6 + 9 = 15 Ом;
1/Rэкв.CD = 1/R6 + 1/Rэкв.7,8,9 + 1/R10 = 1/18 + 1/9 + 1/4 = 0,05 + 0,11 + 0,25 = 0,41 Ом.

В результате выполненных вычислений получается эквивалентная схема, в которую входят три Rэкв. сопротивления. Она имеет вид, показанный на рисунке ниже.

Теперь можно определить эквивалентное сопротивление всей первоначальной схемы, сложив эквивалентные значения всех трёх участков:

Rэкв. = Rэкв.AB + Rэкв.BC + Rэкв.CD = 0,83 + 15 + 0,41 = 56,83 Ом.

Далее, используя закон Ома, находят ток в последнем последовательном участке:

I = U/ Rэкв. = 24/56,83 = 0,42 А.

Зная силу тока, можно найти, какое падение напряжения на рассмотренных участках AB, BC, CD. Это выполняется следующим образом:

UAB = I* Rэкв.AB= 0,42*0,83 = 0,35 В;
UBC = I* Rэкв.BC= 0,42*15 = 6,3В;
UCD = I* Rэкв.CD = 0,42*0,41 = 0,17 В.

Следующим шагом станет определение токов на параллельных отрезках AB и CD

I1 = UAB/R1 = 0,35/1 = 0,35 А;
I2 = UAB/Rэкв.2,3 = 0,35/5 = 0,07 А;
I3 = UCD/R6 = 0,17/18 = 0,009 А;
I6 = UCD/Rэкв.7,8,9= 0,17/9 = 0,02 А;
I7 = UCD/R10 = 0,17/4 = 0,04 А.

Далее, чтобы найти значения токов, проходящих через R7 и R8, нужно рассчитать напряжение на этих двух резисторах. Предварительно находят падение напряжения на R9.

U9 = R9*I6 = 8*0,02 = 0,16 В.

Теперь напряжение, падающее на Rэкв.7,8, будет разностью между U CD и U9.

U7,8 = UCD – U9= 0,17 – 0,16 = 1 В.

После этого можно уже узнать значение токов, движущихся по резисторам R7 и R8, используя формулы:

I4 = U7,8/R7 = 1/2 = 0,5 A;
I5 = U7,8/R8 = 1/2 = 0,5 A.

Рассчитывая схемы и решая задачи по нахождению значений электрических параметров, необходимо использовать эквивалентные сопротивления. С помощью такой замены сложные построения превращаются в элементарные цепи, которые сводятся к параллельным и последовательным соединениям резистивных элементов.

Параллельное соединение

общий ток: I = I1 + I2 + … + In;
общее напряжение: U = U1 = U2 = … = Un;
Rобщ. = Rэкв. = U/I1 + U/I2 + …+ U/In) = 1/R1 + 1/R2 +…+ 1/Rn.

Величину, обратно пропорциональную сопротивлению 1/R, называют проводимостью.

Физические формулы и примеры вычислений

параллельное присоединение определяют по формуле Rэкв. = (R1*R2)/R1+R2;
последовательное включение вычисляют, определяя его сумму Rэкв. = R1+R2.

R1 = 1 Ом;
R2 = 2 Ом;
R3 = 3 Ом;
R4 = 6 Ом;
R5 = 9 Ом;
R6 = 18 Ом;
R7 = 2Ом;
R8 = 2Ом;
R9 = 8 Ом;
R10 = 4 Ом.

Напряжение, поданное на схему:

Требуется рассчитать токи на всех резистивных элементах.

Для расчётов применяется закон Ома:

I = U/R, подставляя вместо R эквивалентное сопротивление.

Делают расчёты для каждого такого звена, после – всей цепи целиком

На рисунке выше изображено смешанное соединение сопротивлений. Его можно разбить на три участка:

АВ – участок, имеющий две параллельных ветви;
ВС – отрезок, вмещающий в себя последовательное сопряжение;
CD – отрезок схемы с расположением трёх параллельных цепочек.

Если посмотреть на участок СD, то можно отметить смешанное включение резистивных элементов.

Rэкв.2,3 = R2+R3=2 + 3 = 5 Ом;
Rэкв.7,8 = (R7*R8)/R7 + R8 = (2*2)/2 + 2 = 1 Ом;
Rэкв.7,8,9 = Rэкв.7,8 + R9 = 1 + 8 = 9 Ом.

Далее можно уже определить Rэкв. для участков AB, BC, CD, по формулам:

Rэкв.AB = (R1*Rэкв 2,3)/R1 + Rэкв 2,3 = (1*5)/1 + 5 = 0,83 Ом;
Rэкв.BC = R4 + R5 = 6 + 9 = 15 Ом;
1/Rэкв.CD = 1/R6 + 1/Rэкв.7,8,9 + 1/R10 = 1/18 + 1/9 + 1/4 = 0,05 + 0,11 + 0,25 = 0,41 Ом.

Rэкв. = Rэкв.AB + Rэкв.BC + Rэкв.CD = 0,83 + 15 + 0,41 = 56,83 Ом.

Далее, используя закон Ома, находят ток в последнем последовательном участке:

I = U/ Rэкв. = 24/56,83 = 0,42 А.

UAB = I* Rэкв.AB= 0,42*0,83 = 0,35 В;
UBC = I* Rэкв.BC= 0,42*15 = 6,3В;
UCD = I* Rэкв.CD = 0,42*0,41 = 0,17 В.

Следующим шагом станет определение токов на параллельных отрезках AB и CD

I1 = UAB/R1 = 0,35/1 = 0,35 А;
I2 = UAB/Rэкв.2,3 = 0,35/5 = 0,07 А;
I3 = UCD/R6 = 0,17/18 = 0,009 А;
I6 = UCD/Rэкв.7,8,9= 0,17/9 = 0,02 А;
I7 = UCD/R10 = 0,17/4 = 0,04 А.

U9 = R9*I6 = 8*0,02 = 0,16 В.

Теперь напряжение, падающее на Rэкв.7,8, будет разностью между U CD и U9.

U7,8 = UCD – U9= 0,17 – 0,16 = 1 В.

После этого можно уже узнать значение токов, движущихся по резисторам R7 и R8, используя формулы:

I4 = U7,8/R7 = 1/2 = 0,5 A;
I5 = U7,8/R8 = 1/2 = 0,5 A.

Расчет параллельного соединения резисторов

Для лучшего понимания процессов следует подробно рассмотреть представленную ниже схему. В контрольных точках (разрывах цепей) условно показаны измерительные приборы. Аналогичным образом подключают мультиметр для уточнения результатов теоретических вычислений. Чтобы не усложнять объяснение, использован «идеальный» источник постоянного тока. Его сопротивление в расчетах не учитывается. Аналогичным образом игнорированы емкостные (индуктивные) реактивные составляющие, которые способны создать незначительные нелинейные искажения.

Электрическая схема с пояснительными формулами

В рассматриваемом примере ток (I) идет по замкнутому контуру от положительного к отрицательному электроду АКБ. На входе параллельного участка (точка «а») он разделяется на I1 (I2), проходящие через разные ветки с электрическими сопротивлениями R1 (R2), соответственно. В точке «б» происходит объединение токов.

Если присоединить клеммы мультиметра к положительной клемме аккумулятора и входной точке, а после повторить измерение на выходе, будут определены одинаковые значения. Однако в отдельных ветвях токи будут отличаться, если применены разные сопротивления (R1≠R2). Сложение показаний подтвердит равенство суммы полученным ранее результатам измерений на входе (выходе). Промежуточный вывод, подтвержденный экспериментально:

Iобщ = I1 + I2.

Далее можно проверить разницу потенциалов на клеммах источника питания (Uип), в контрольных точках (Uаб) и на отдельных резисторах (UR1 и UR2). Несложно убедиться в том, что Uип = Uаб = UR1 = UR2. Для отдельных ветвей будут действительны пропорции:

UR1 = I1 * R1;
UR2 = I2 * R2.

Однако с учетом результатов измерений можно приравнять обе стороны выражений:

UR1 = UR2 = I1 * R1 = I2 * R2.

Простым преобразованием получают соотношение:

I1/I2 = R2/R1.

На основе этой формулы надо сделать следующий важный вывод: токи обратно пропорциональны электрическим сопротивлениям в соответствующих ветвях параллельной цепи.

Пример с исходными данными:

батарейка Uип = 6V;
сопротивление параллельных резисторов: R1 = 50 Ом, R2 = 150 Ом.

Расчет:

найти ток в первой ветке можно по формуле: I1 = Uип / R1 = 6/50 = 0,12А = 120 мА;
аналогичным образом вычисляют: I2 = Uип / R2 = 6/150 = 0,04А = 40 мА;
суммарное значение: Iобщ = I1 + I2 = 120 + 40 = 160 мА;
соблюдается отмеченный выше принцип пропорциональности: I1/I2 = R2/R1 = 50/150 = 40/120 ≈ 0,333.

Следует отметить разную силу тока в отдельных ветках. Для наглядности можно вспомнить пример с аналогом из водопроводных труб. В разветвленном участке по протоку с крупным диаметром пройдет больше жидкости, по сравнению с другим за контрольный временной интервал. Аналогичным образом действует электрическое сопротивление. При увеличении номинала пассивного элемента создаются дополнительные препятствия прохождению тока.

Для расчета сложных схем используют технологию эквивалентных сопротивлений. Этим термином обозначают расчетную величину (Rэкв), которая равна сумме измеряемых параметров отдельных компонентов на определенном участке цепи. Проще всего сделать вычисления, если соединить резисторы (номиналы из примера) последовательно:

Rэкв = R1 + R2 = 50 + 150 = 200 Ом.

Ниже подробно рассмотрен вариант с параллельной схемой:

по закону Ома для всей цепи действительно выражение: Iобщ = Uип/ Rэкв;
в отдельных ветках: I1 = U1/ R1 (I2 = U2/ R2);
по закону Кирхгофа для каждого провода: I = I1+ I2;
преобразование перечисленных соотношений позволяет сделать промежуточный вывод: Uип/ Rэкв = U1/ R1 + U2/ R2;
с учетом равенства напряжений: Uип = U1 = U2, можно переделать предыдущую формулу следующим образом: Uип/ Rэкв = Uип / R1 + Uип / R2 = Uип (1/R1 + 1/R2);
делением на общий множитель Uип получают итоговое выражение: 1/Rэкв = 1/R1 + 1/R2.

Последняя позиция позволяет сделать несколько важных заключений:

общая проводимость (величина, обратная электрическому сопротивлению) равна сумме проводимостей параллельных участков цепи;
эквивалентное сопротивление можно вычислить делением единицы на проводимость;
Rэкв при параллельном соединении всегда меньше самого меньшего из пассивных компонентов цепи.

Емкость в цепи переменного тока

При подаче на конденсатор постоянного напряжения он постепенно зарядится до максимальной разности потенциалов на его обкладках. После этого ток через электронный компонент прекратится и, не считая ничтожной утечки, будет равняться нулю. Поэтому в цепи постоянного тока конденсатор имеет огромное сопротивление. При расчетах его величину принимают равной бесконечности.

Реактивное сопротивление имеет вполне исчисляемое значение. Его можно измерить с помощью осциллографа, генератора и постоянного резистора. Для этого потребуется собрать схему. В ней конденсатор образует с резистором делитель напряжения. С помощью осциллографа будет измеряться потенциал, который образуется на выводах ёмкости.

Для данной схемы вычисления имеют следующий вид.

Формула косвенного измерения

Здесь:

Ur – разность потенциалов на резисторе, В;
Uc – напряжение на обкладках, В;
R – сопротивление резистора, ом;
Xc – сопротивление ёмкости, ом;
I – ток, протекающий в цепи, А.

Косвенное измерение

Важно! Электрический кабель также обладает ёмкостью. Поэтому после снятия напряжения на нём остаётся некоторый заряд

Данное явление опасно для человека, особенно, если проводник до отключения находился под потенциалом 1000 В и выше.

Определение

Если посчитать общее сопротивление (Rобщ), можно выяснить изменение основных электрических параметров (тока (I) и напряжения (U)) при подключении схемы к определенному источнику питания. В простейшем варианте достаточно применить закон Ома (I = U/ R) и пренебречь внутренним сопротивлением аккумулятора.

При напряжении U = 6,5 В через подключенный резистор R = 20 ОМ будет проходить ток I = 6,5/20 = 0,325 А. По вычисленному параметру с помощью классической формулы можно узнать мощность:

P = I2 *R = U2/ R = 0,105625 * 20 = 2,11 Вт.

Полученное значение пригодится для выбора подходящего пассивного элемента в ассортименте магазина.

На практике приходится решать задачи с большим количеством элементов. Общий показатель эквивалентен суммарному сопротивлению цепи. Однако простым сложением правильный результат получить нельзя. Ниже рассмотрены технологии, по которым выполняют корректные вычисления.

Основные термины и определения

Рисунок поясняет используемую терминологию:

i1, i2… i6 – токи в отдельных цепях;
R1-R3 – пассивные элементы (резисторы);
e1, e2 – типичные обозначения источников тока (ЭДС);
L и C – компоненты с реактивными характеристиками (индуктивными и емкостными, соответственно);
ветвями называют с одним током;
места соединение этих цепей – узлы;
контуры (обозначены римскими цифрами I, II и III) показывают замкнутые пути прохождения токов по нескольким ветвям.

Практическое применение

Чаще всего на практике расчёт общего сопротивления цепи выполняют для того, чтобы узнать потребляемую мощность той или иной схемы. При этом, зная общее сопротивление, можно найти и такие важные параметры цепи, как ток и напряжение. Поэтому и рисуют эквивалентную схему электрической цепи. Простые цепи состоят только из последовательных или параллельных участков, но чаще встречаются комбинированные соединения.

Перед тем как приступить к расчёту эквивалентного сопротивления, вся электрическая цепь разделяется на простые контуры. Как только импеданс каждого такого контура будет подсчитан, схема перерисовывается, но вместо контуров рисуется уже резистор. Затем всё повторяется, и это происходит до тех пор, пока не останется один элемент.

Простое соединение

Пусть будет дана схема, состоящая из трёх резисторов, включённых последовательно. При этом сопротивление R1и R2 одинаковое и равно 57 Ом, а сопротивление R3 составляет один килоОм. Для расчёта общего сопротивления цепи сначала понадобится привести значение R3 согласно Международной системе единиц.

R3 = 1 кОм = 1000 Ом.

Так как соединение последовательное, используется формула: Ro = R1+R2+R3. Подставив известные значения, рассчитывается эквивалентное значение: Ro = 57+57+1000 = 1114 Ом.

Если же те же самые резисторы будут расположены параллельно друг другу, то для расчёта общего сопротивления уже используется другое выражение:

1/Ro = 1/R1 + 1/R2 +1/R3.

Ro = R1*R2*R3 / (R1*R2+R2*R3+R1*R3).

Подставив исходные данные в эту формулу, получим:

Ro = 57*57*1000/ (57*57 +57*1000+ 57*1000) = 3249000/117249 = 27,7 Ом.

Практическое применение

Простое соединение

R3 = 1 кОм = 1000 Ом.

1/Ro = 1/R1 + 1/R2 +1/R3.

Ro = R1*R2*R3 / (R1*R2+R2*R3+R1*R3).

Подставив исходные данные в эту формулу, получим:

Ro = 57*57*1000/ (57*57 +57*1000+ 57*1000) = 3249000/117249 = 27,7 Ом.

Комбинированный контур

Необходимо вычислить мощность и эквивалентное сопротивление смешанной цепи, состоящей из четырёх резисторов. Резистор R1 =R2 =5 Ом, R3= 10 Ом, R4 =3 Ом. На схему подаётся питание пять вольт.

Первоначально понадобится упростить схему. Сопротивления R3 и R4 включены относительно друг друга параллельно. Поэтому находится их объединённое сопротивление:

Rp = (R3*R4)/(R3+R4).

Rp = (10*3)/ (10+3) = 2,3 Ом.

Теперь схему можно перерисовать в виде трёх последовательно включённых резисторов и найти общее сопротивление путём сложения их величин:

Ro = R1+R2+Rp = 5+5+2,3 = 12,3 Ом.

Зная эквивалентное сопротивление, используя закон Ома, несложно вычислить силу тока в цепи и мощность эквивалентного резистора:

I = U/R = 5/2,3 = 2,2 A.

P = I*U = 2,2*5= 11 Вт.

Таким образом, путём постепенного упрощения схемы можно свести цепь из последовательно и параллельно соединённых резисторов к одному элементу. А затем рассчитать его сопротивление и требуемую мощность.

Виды пассивных элементов

Данные устройства характеризуются тем, что вместо рассеивания энергии склонны к ее накоплению. Разные типы таких деталей создают различные формы сопротивления.

Катушка индуктивности

Это радиокомпонент, представляющий собой проводниковый элемент спиральной или винтообразной формы, покрытый изоляцией. В схемах катушки используют для нивелирования помех и искажений, снижения величины переменного тока, генерации магнитного поля. Длинные тонкие элементы носят название соленоидов. Катушки отличаются небольшими величинами активной сопротивляемости и емкости, но обладают индуктивностью, генерируя электродвижущую силу.

Подключение катушки в электрическую цепь

Емкостной элемент

Примером этого вида деталей является конденсатор. Он включает в себя две проводящие обкладки, между которыми находится диэлектрический материал. Протекание электротока обусловлено накоплением и отдачей обкладками своего заряда.

Подсоединение конденсатора в электроцепь

Расчёт при смешанном соединении устройств

Произвести расчет сопротивления цепи, когда она разветвлена и наполнена разными видами резистивных соединений, просто не получится. Затрудняет решение задачи множество участков, где детали подключены друг другу в разных комбинациях. В таких обстоятельствах желательно выполнять ряд преобразований, добиваясь упрощения схемы вводом отдельных эквивалентных элементов. Выявляют при этом подходящие контуры последовательных и параллельных присоединений.

Например, выискав некоторое количество последовательных подключений резисторов, заменяют их на один эквивалентный компонент. Определив элементы, соединённые последовательно, также рисуют вместо него эквивалент. Вновь начинают искать подобные простые соединения.

Метод называют «методом свёртывания». Схему упрощают до тех пор, пока в ней не останется одно Rэкв.

Важно! Метод эквивалентных преобразований применяется тогда, когда питание рассматриваемого участка цепи осуществляется от одного источника электрического тока, а также при определении Rэкв. в замкнутом контуре с одной ЭДС

Такой относительный способ определения Rэкв используют и для изучения зависимости токов в некоторой цепи от значения R нагрузки. Это метод эквивалентного генератора, при котором сложный двухполюсник, являющийся активным, представляют эквивалентным генератором. При этом считают, что ЭДС его соответствует Uх.х. (холостого хода) на зажимах, R внутреннее соответствует R входному двухполюсника пассивного на тех же зажимах. Для такого определения источники тока разъединяют, а канал ЭДС закорачивают.

Как рассчитать сложные схемы соединения резисторов

Если соединять большее количество элементов, надо в рассмотренные формулы добавить необходимое количество слагаемых.

Исходные данные:

источник постоянного тока 12V;
сопротивление параллельных резисторов, Ом: 10, 40, 60, 80.

Расчет:

основная формула: 1/Rэкв = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3 + 1/R4;
подставив исходные данные, вычисляют проводимость: G = 1/Rэкв =1/10 + 1/40 + 1/60 +1/80 = 0,1 + 0,025 + 0,0166 +0,0125 = 0,1541;
эквивалентное сопротивление: Rэкв = 1/0,1541 ≈ 6,5 Ом;
ток в цепи: Iобщ = Uип/ Rэкв = 12/ 6,5 ≈ 1,85 А.

Сложные схемы

По аналогичной технологии делают расчеты более сложных цепей. На рисунке обозначены номиналы сопротивлений. В обоих случаях применяется одинаковый источник питания с Uип = 12V.

Расчет 1 (последовательное и параллельное соединение):

для каждого параллельного участка можно использовать формулу: Rобщ = 1/ (1/R1 + 1/R2) = R1*R2/R1 + R2;
эквивалентное сопротивление первой части: Rэкв1 = (2*4)/ (2+4) = 1,3 Ом;
второй: Rэкв2 = (15*5)/ (15+5) = 3,75 Ом;
общее: Rэкв = 1,3 + 10 + 3,75 = 15,05 Ом;
Iобщ = Uип/ Rэкв = 12/ 15,05 ≈ 0,8 А.

Расчет 2 (сложное параллельное соединение):

в этом варианте сначала вычисляют проводимость части (R3, R4, R5) по формуле: G345 = 1/5 + 1/10 + 1/ 20 =7/20 = 0,35 сим;
Rэкв (345) = 1/0,35 ≈ 2,857 Ом;
суммарное значение для цепи: R1 + R2 = 20 Ом;
по аналогии с предыдущим способом определяют: G12345 = 0,4 сим и Rэкв(12345) = (20*2,857)/ 20 + 2,857) ≈ 2,5 Ом;
после добавления последнего элемента (R6=7,5 Ом) получают итоговый результат: Rэкв = 2,5 + 7,5 = 10 Ом;
делением определяют силу тока в нагрузке, подключенной к источнику тока 12 V: I = 12/10 = 1,2 А.

В последнем примере применен дополнительный компонент цепи (R6). Соответственно, для этой схемы не будет выполняться рассмотренная выше пропорция равенства напряжений (источника и на подключенной нагрузке).

В этом случае разница потенциалов на шестом резисторе составит:

U6 = I *R6 = 1,2 * 7,5 = 9 В.

Соответственно, изменится напряжение между контрольными точками:

Uав = I * Rэкв(12345) = 1,2*2,5 = 12-9 =3V.

Вторая часть формулы демонстрирует проверку вычитанием напряжений (Uип – U6).

Источник

Введение

Решение задач – неотъемлемая часть обучения
физике, поскольку в процессе решения задач
происходит формирование и обогащение физических
понятий, развивается физическое мышление
учащихся и совершенствуется их навыки
применения знаний на практике.

В ходе решения задач могут быть поставлены и
успешно реализованы следующие дидактические
цели:

Выдвижение проблемы и создание проблемной
ситуации;
Обобщение новых сведений;
Формирование практических умений и навыков;
Проверка глубины и прочности знаний;
Закрепление, обобщение и повторение материала;
Реализация принципа политехнизма;
Развитие творческих способностей учащихся.

Наряду с этим при решении задач у школьников
воспитываются трудолюбие, пытливость ума,
смекалка, самостоятельность в суждениях, интерес
к учению, воля и характер, упорство в достижении
поставленной цели. Для реализации перечисленных
целей особенно удобно использовать
нетрадиционные задачи.

§1. Задачи по расчету электрических
цепей постоянного тока

По школьной программе на рассмотрение данной
темы очень мало отводится времени, поэтому
учащиеся более или менее успешно овладевают
методами решения задач данного типа. Но часто
такие типы задач встречаются олимпиадных
заданиях, но базируются они на школьном курсе.

К таким, нестандартным задачам по расчету
электрических цепей постоянного тока можно
отнести задачи, схемы которых:

1) содержат большое число элементов –
резисторов или конденсаторов;

2) симметричны;

3) состоят из сложных смешанных соединений
элементов.

В общем случае всякую цепь можно рассчитать,
используя законы Кирхгофа. Однако эти законы не
входят в школьную программу. К тому же, правильно
решить систему из большого числа уравнений со
многими неизвестными под силу не многим учащимся
и этот путь не является лучшим способом тратить
время. Поэтому нужно уметь пользоваться
методами, позволяющими быстро найти
сопротивления и емкости контуров.

§2. Метод эквивалентных схем

Метод эквивалентных схем заключается в том, что
исходную схему надо представить в виде
последовательных участков, на каждом из которых
соединение элементов схемы либо
последовательно, либо параллельно. Для такого
представления схему необходимо упростить. Под
упрощением схемы будем понимать соединение или
разъединение каких-либо узлов схемы, удаление
или добавление резисторов, конденсаторов,
добиваясь того, чтобы новая схема из
последовательно и параллельно соединенных
элементов была эквивалентна исходной.

Эквивалентная схема – это такая схема, что при
подаче одинаковых напряжений на исходную и
преобразованную схемы, ток в обеих цепях будет
одинаков на соответствующих участках. В этом
случае все расчеты производятся с
преобразованной схемой.

Чтобы начертить эквивалентную схему для цепи
со сложным смешанным соединением резисторов
можно воспользоваться несколькими приемами. Мы
ограничимся рассмотрением в подробностях лишь
одного из них – способа эквипотенциальных узлов.

Этот способ заключается в том, что в
симметричных схемах отыскиваются точки с
равными потенциалами. Эти узлы соединяются между
собой, причем, если между этими точками был
включен какой-то участок схемы, то его
отбрасывают, так как из-за равенства потенциалов
на концах ток по нему не течет и этот участок
никак не влияет на общее сопротивление схемы.

Таким образом, замена нескольких узлов равных
потенциалов приводит к более простой
эквивалентной схеме. Но иногда бывает
целесообразнее обратная замена одного узла

несколькими узлами с равными потенциалами, что
не нарушает электрических условий в остальной
части.

Рассмотрим примеры решения задач эти методом.

З а д а ч а №1

Рассчитать сопротивление между точками А и В
данного участка цепи. Все резисторы одинаковы и
их сопротивления равны r.

Решение:

В силу симметричности ветвей цепи точки С И Д
являются эквипотенциальными. Поэтому резистор
между ними мы можем исключить. Эквипотенциальные
точки С и Д соединяем в один узел. Получаем очень
простую эквивалентную схему:

Сопротивление которой равно:

RАВ=Rac+Rcd=r*r/r*r+r*r/r+r=r.

З а д а ч а № 2

Решение:

В точках F и F` потенциалы равны, значит
сопротивление между ними можно отбросить.
Эквивалентная схема выглядит так:

Сопротивления участков DNB;F`C`D`; D`, N`, B`; FCD равны
между собой и равны R1:

1/R1=1/2r+1/r=3/2r

R1=2/3*r

С учетом этого получается новая эквивалентная
схема:

Ее сопротивление и сопротивление исходной цепи
RАВ равно:

1/RАВ=1/r+R1+R1+1/r+R1+R1=6/7r

RАВ=(7/6)*r.

З а д а ч а № 3.

Решение:

Точки С и Д имеют равные потенциалы.
Исключением сопротивление между ними. Получаем
эквивалентную схему:

Искомое сопротивление RАВ равно:

1/RАВ=1/2r+1/2r+1/r=2/r

RАВ=r/2.

З а д а ч а № 4.

Решение:

Как видно из схемы узлы 1,2,3 имеют равные
потенциалы. Соединим их в узел 1. Узлы 4,5,6 имеют
тоже равные потенциалы- соединим их в узел 2.
Получим такую эквивалентную схему:

Сопротивление на участке А-1, R 1-равно
сопротивлению на участке 2-В,R3 и равно:

R1=R3=r/3

Сопротивление на участке 1-2 равно: R2=r/6.

Теперь получается эквивалентная схема:

Общее сопротивление RАВ равно:

RАВ= R1+ R2+ R3=(5/6)*r.

З а д а ч а № 5.

Решение:

Точки C и F-эквивалентные. Соединим их в один
узел. Тогда эквивалентная схема будет иметь
следующий вид:

Сопротивление на участке АС:

Rас=r/2

Сопротивление на участке FN:

R_FN=

Сопротивление на участке DB:

R_DB=r/2

Получается эквивалентная схема:

Искомое общее сопротивление равно:

R_AB= r.

Задача №6

Решение:

Заменим общий узел О тремя узлами с равными
потенциалами О, О₁ , О₂. Получим
эквивалентную систему:

Сопротивление на участке ABCD:

R₁=(3/2)*r

Сопротивление на участке A`B`C`D`:

R₂= (8/3)*r

Сопротивление на участке ACВ

R₃ = 2r.

Получаем эквивалентную схему:

Искомое общее сопротивление цепи R_AB
равно:

R_AB= (8/10)*r.

Задача №7.

Решение:

“Разделим” узел О на два эквипотенциальных
угла О₁и О₂. Теперь схему можно
представить, как параллельные соединение двух
одинаковых цепей. Поэтому достаточно подробно
рассмотреть одну из них:

Сопротивление этой схемы R₁равно:

R₁= 3r

Тогда сопротивление всей цепи будет равно:

R_AB = (3/2)*r

З а д а ч а №8

Решение:

Узлы 1 и 2 – эквипотенциальные, поэтому соединим
их в один узел I. Узлы 3 и 4 также эквипотенциальные
– соединимих в другой узел II. Эквивалентная
схема имеет вид:

Сопротивление на участке A- I равно
сопротивлению на участке B- II и равно:

R_I=

Сопротивление участка I-5-6- II равно:

R_II= 2r

Cопротивление участка I- II равно:

R_III=

Получаем окончательную эквивалентную схему:

Искомое общее сопротивление цепи R_AB=(7/12)*r.

З а д а ч а №9

В ветви ОС заменим сопротивление на два
параллельно соединенных сопротивления по 2r.
Теперь узел С можно разделить на 2
эквипотенциальных узла С₁и С₂.
Эквивалентная схема в этом случае выглядит так:

Сопротивление на участках ОС_IB и DC_IIB
одинаковы и равны, как легко подсчитать 2r. Опять
чертим соответствующую эквивалентную схему:

Сопротивление на участке AOB равно
сопротивлению на участке ADB и равно (7/4)*r. Таким
образом получаем окончательную эквивалентную
схему из трех параллельно соединенных
сопротивлений:

Ее общее сопротивление равно R_AB= (7/15)*r

З а д а ч а № 10

Точки СОD имеют равные потенциалы – соединим их
в один узел О^I.Эквивалентная схема
изображена на рисунке :

Сопротивление на участке А О^I равно . На участке
О^IВ сопротивление равно .Получаем совсем
простую эквивалентную схему:

ЕЕ сопротивление равно искомому общему
сопротивлению

R_AB=(5/6)*r

Задачи № 11 и № 12 решаются несколько иным
способом, чем предыдущие. В задаче №11 для ее
решения используется особое свойство
бесконечных цепей, а в задаче № 12 применяется
способ упрощения цепи.

Задача № 11

Решение

Выделим в этой цепи бесконечно повторяющееся
звено, оно состоит в данном случае из трех первых
сопротивлений. Если мы отбросим это звено, то
полное сопротивление бесконечной цепи R не
измениться от этого , так как получится точно
такая же бесконечная цепь. Так же ничего не
измениться, если мы выделенное звено подключим
обратно к бесконечному сопротивлению R, но при
этом следует обратить внимание , что часть звена
и бесконечная цепь сопротивлением R соединены
параллельно. Таким образом получаем
эквивалентную схему :

Получается уравнения

R_AB=2ч +

R_AB = R

Решая систему этих уравнений, получаем:

R=ч (1+ ).

§3. Обучение решению задач по расчету
электрических цепей способом эквипотенциальных
узлов

Задача – это проблема, для разрешения которой
ученику потребуются логические рассуждения и
выводы. Строящиеся на основе законов и методов
физики. Таким образом, с помощью задач происходит
активизация целенаправленного мышления
учащихся.

В то же время. Теоретические знания можно
считать усвоенными только тогда, когда они
удачно применяются на практике. Задачи по физике
описывают часто встречающиеся в жизни и на
производстве проблемы, которые могут быть решены
с помощью законов физики и, если ученик успешно
решает задачи, то можно сказать, что он хорошо
знает физику.

Для того, чтобы ученики успешно решали задачи,
недостаточно иметь набор методов и способов
решения задач, необходимо еще специально учить
школьников применению этих способов.

Рассмотрим план решения задач по расчету
электрических цепей постоянного тока методом
эквипотенциальных узлов.

Чтение условия.
Краткая запись условия.
Перевод в единицы СИ.
Анализ схемы:

установить, является ли схема симметричной;
установить точки равного потенциала;
выбрать, что целесообразнее сделать –
соединить точки равных потенциалов или же,
наоборот, разделить одну точку на несколько
точек равных потенциалов;
начертить эквивалентную схему;
найти участки только с последовательным или
только с параллельным соединением и рассчитать
общее сопротивление на каждом участке по законам
последовательного и параллельного соединения;
начертить эквивалентную схему, заменяя участки
соответствующими им расчетными сопротивлениями;
пункты 5 и 6 повторять до тех пор, пока не
останется одно сопротивление, величина которого
и будет решением задачи.

Анализ реальности ответа.

Подробнее об анализе схемы

а) установить, является ли схема симметричной.

Определение. Схема симметрична, если одна ее
половина является зеркальным отражением другой.
Причем симметрия должна быть не только
геометрической, но должны быть симметричны и
численные значения сопротивлений или
конденсаторов.

Примеры:

Схема симметричная, так как ветви АСВ и АДВ
симметричны геометрически и отношение
сопротивления на одном участке АС:АД=1:1 такое же,
как и на другом участке СД:ДВ=1:1.

Схема симметричная, так как отношение
сопротивлений на участке АС:АД=1:1 такое же, как и
на другом участке СВ:ДВ=3:3=1:1

Схема не симметрична, так как отношения
сопротивлений численно

не симметричны -1:2 и 1:1.

б) установить точки равных потенциалов.

Пример:

Из соображений симметрии делаем вывод, что в
симметричных точках потенциалы равны. В данном
случае симметричными точками являются точки С и
Д. Таким образом, точки С и Д – эквипотенциальные
точки.

в) выбрать, что целесообразно сделать –
соединить точки равных потенциалов или же,
наоборот, разделить одну точку на несколько
точек равных потенциалов.

Мы видим в этом примере, что между точками
равных потенциалов С и Д включено сопротивление,
по которому ток не будет течь. Следовательно, мы
можем отбросить это сопротивление, а точки С и Д
соединить в один узел.

г) начертить эквивалентную схему.

Чертим эквивалентную схему. При этом получаем
схему с соединенными в одну точку точками С и Д.

д) найти участки только с последовательным или
только с параллельным соединением и рассчитать
общее сопротивление на каждом таком участке по
законам последовательного и параллельного
соединения.

Из полученной эквивалентной схемы видно, что на
участке АС мы имеем два параллельно соединенных
резистора. Их общее сопротивление находится по
закону параллельного соединения:

1/ Rобщ=1/R1+1/R2+1/R3+…

Таким образом 1/RAC=1/r+1/r=2/r,откуда RAC= r/2.

На участке СВ картина аналогичная:

1/RCB= 1/r+1/r =2/r, откуда RCB=r/2.

е)начертить эквивалентную схему, заменяя
участки соответствующими им расчетными
сопротивлениями.

Чертим эквивалентную схему подставляя в нее
рассчитанные сопротивления участков RAC и RCB:

ж)пункты д) и е) повторять до тех пор, пока
останется одно сопротивление, величина которого
и будет решением задачи.

Повторяем пункт д): на участке АВ имеем два
последовательно соединенных сопротивления. Их
общее сопротивление находим по закону
последовательного соединения:

Rобщ= R1+R2+R3+… то есть, RAB=RAC+RCB = r/2+r/2 =2r/2 = r.

Повторяем пункт е): чертим эквивалентную
схему:

Мы получили схему с одним сопротивлением,
величина которого равна сопротивлению исходной
схемы. Таким образом, мы получили ответ RAB = r.

Далее, для проверки усвоения данного материала
можно учащимся предложить задания для
самостоятельной работы, взятые из
дидактического материала. (см. приложение)

Литература

Балаш. В.А. задачи по физике и методы их решения. –
М: Просвещение,1983.
Лукашик В.И. Физическая олимпиада.- М:
Просвещение, 2007
Усова А.В., Бобров А.А. Формирование учебных
умений и навыков учащихся на уроках физики.- М:
Просвещение,1988
Хацет А. Методы расчета эквивалентных схем
//Квант.
Чертов А. Г. Задачник по физике. – М.: Высшая
школа,1983
Зиятдинов Ш.Г., Соловьянюк С.Г. (методические
рекомендации) г. Бирск,1994г
Марон А.Е., Марон Е.А. Физика. Дидактические
материалы. Москва, “Дрофа”, 2004г

Источник

Физика,

вопрос задал o4irmadorzhieva,

9 месяцев назад

Приложения:

Ответы на вопрос

Ответил ivankorobejnikov74

Ответ:

………………………………………………

Приложения:

Предыдущий вопрос

Следующий вопрос

Новые вопросы

Қазақ тiлi,
1 месяц назад

мен келер деп ойлаймын.Талдау
…

Русский язык,
1 месяц назад

Придумай и запиши предложения со словом ОКЕАН: в первом это слово должно быть подлежащим, во втором – второстепенным членом предложения .

Қазақ тiлi,
9 месяцев назад

5 сынып 80 бет 4 тапсырма…

Русский язык,
9 месяцев назад

пожалуйста дам 10 б…

Математика,
6 лет назад

Сколько будет 320432+28323-4000/4…

Математика,
6 лет назад

Назовите все отрезки с концами в точках M, N и K.Сколько отрезков получилось?
A___M______N___K____B…

Источник

Расчет электрических цепей постоянного тока методом эквивалентных преобразований

Дополнительные методы расчета цепей

Постулаты Кирхгофа

Первый постулат

Второй постулат

Параллельное соединение

Эквивалентная схема

Физические формулы и примеры вычислений

Параллельное соединение

Физические формулы и примеры вычислений

Расчет параллельного соединения резисторов

Емкость в цепи переменного тока

Определение

Практическое применение

Простое соединение

Практическое применение

Простое соединение

Комбинированный контур

Виды пассивных элементов

Катушка индуктивности

Емкостной элемент

Расчёт при смешанном соединении устройств

Как рассчитать сложные схемы соединения резисторов

Ответы на вопрос

Вам также может понравиться

Как найти дающую девушку

Смотреть как найти маму аниме

Как мне найти сайт госуслуги

Добавить комментарий Отменить ответ