Как найти эквивалентную эдс участка цепи

Продолжаем решать задачи по основам электротехники(ТОЭ). В сегодняшней статье будет метод, по которому задают больше всего вопросов. Это понятно, поскольку этот метод является, на мой взгляд, самым сложным методом расчета сложных электрических цепей постоянного тока.

В свое время и я его понял далеко не сразу. Поэтому рассмотрим каждый пункт подробно. Начнём с того, что необходимо знать и понимать для успешного решения этим методом.

1) Закон Ома. Без него не только этот метод, но и многие другие задачи не решаются.

2) Правила последовательного и параллельного соединения резисторов.

3) Хотя бы один любой метод расчета сложных цепей, то есть по Кирхгофу, контурными токами, узловыми потенциалами и так далее.

4) И, самое важное, для этого метода – это умение строить потенциальную диаграмму. Именно потенциальную, а не векторную. Потому что векторная диаграмма строится для цепей переменного тока, а мы рассматриваем цепь постоянного тока. Строить мы конечно потенциальную диаграмму тут не будем. Но чтобы её построить, необходимо знать два основных правила, которые нужны и в методе эквивалентного генератора.

Первое правило: ток течет через резистор всегда от большего потенциала к меньшему.

Второе правило: у ЭДС “+” всегда больше “-“.

Давайте перейдем к решению задачи. На конкретном примере всегда понятнее.

Имеется данная схема цепи. Даны ЭДС и сопротивления резисторов. Требуется найти ток I3 методом эквивалентного генератора.

Поскольку нужно найти ток I3, который протекает по третьей ветви, нам нужно обеспечить холостой ход, сделав обрыв той части цепи, по которой протекает интересующий нас ток. То есть делаем обрыв третьей ветви. Это ветвь подключена между точками “c” и “d”. Сами точки мы не трогаем, а лишь убираем только ветвь.

В точках “c” и “d” узлов нет, поскольку там сходятся только по две ветви. А узел – это место соединения трех и более ветвей.

Наша цель – определить две величины:

1) Напряжение Ucd между точками “c” и “d”, оно же ЭДС эквивалентного генератора(Еэг). И, поскольку, мы обеспечили холостой ход, оборвав третью ветвь, все токи и напряжения будем указываем на схеме с индексом “х”, при коротком замыкании указывают кз.

2) Сопротивление эквивалентного генератора rэг, оно же сопротивление между точками “c” и “d”. А определить это сопротивление нам поможет правило последовательного и параллельного соединения резисторов.

В первом случае, когда мы ищем напряжение Ucd(оно же Еэг), применим один любой метод расчета сложных электрических цепей.

Сложной считается цепь, если в ней два и более источников энергии.

В данном случае два источника. Давайте для начала найдём, каким будет напряжение между точками “c” и “d”. Воспользуемся методом контурных токов.

Получили два неизвестных контурных тока. В цепи, в общем случае, три ветви и два узла. Поскольку две неизвестные, значит составим два уравнения и из этих уравнений найдём контурные токи I11 и I22.

Напряжение Ucd снимается с точек “c” и “d”, а между ними включены резисторы r2 и r4. Нам остается найти напряжение на этих элементах. Их сопротивления известны. Найдем токи I4 и I2, умножим эти токи на сопротивления, получим напряжения.

Контурные токи мы уже нашли. Тогда токи ветвей:

I2x=-I22=0.3333 A; I4x=-I11=0.2222 A;

Напряжения на резисторах r4 и r2:

U4x=I4x*r4=0.2222*4=0.8888 B; U2x=I2x*r2=0.3333*2=0.6666 B;

Так как оба тока направлены в одну и ту же сторону, тогда

Ucdx=U2x+U4x=0.6666+0.8888=1.5554 B;

А теперь самое главное в этом методе. Почему именно взяли U2 + U4? Почему не -U2-U4? А здесь нужно воспользоваться правилом, что ток течет от большего потенциала к меньшему и стрелкой под напряжением Ucdx мы указали, что φс больше чем φd. А так как нам нужно найти ЭДС эквивалентного генератора, давайте представим именно эту часть схемы отдельно.

Предположим, что φc больше чем φd и стрелкой под напряжением укажем направление от большего потенциала к меньшему.

Заменим напряжение Ucd на Eэг. Еэг будет направлен от “d” к “c”(минусом на “d”, а плюсом на “c”, потому что “плюс” у ЭДС всегда больше чем “минус”).

Запишем второй закон Кирхгофа:

I4x*r4+I2x*r2=-Еэг

В данном случае ЭДС эквивалентного генератора Еэг получится отрицательным. Можно в принципе оставить как есть, это ошибкой не будет. Но если мы на данном этапе поменяем направление ЭДС эквивалентного генератора на этой схеме, тогда мы получим положительное значение ЭДС эквивалентного генератора. Или оставляем как есть. Как поступить – без разницы. Давай поменяем направление.

Тогда I4x*r4+I2x*r2=Еэг; Еэг=U4x+U2x=0.8888+0.6666=1.5554 B;

Это говорит о том, что потенциал в точке “d” большие чем в точке “с”. Это и так изначально было понятно cудя по тому, как мы направили токи. А ток течет от большего потенциала к меньшему, т. е. мы изначально указали точки от “d” к “e” и от “e” к “c” и эти токи получились положительными. Значит мы их верно расставили.

С ЭДС эквивалентного генератора мы разобрались, осталось посчитать сопротивление эквивалентного генератора (сопротивление между точками “c” и “d”). Для этого мы должны исключить все источники энергии и оставить только резисторы.

Когда исключаем ЭДС, на его месте остается короткое замыкание (это в случае если источник напряжения идеальный и его внутреннее сопротивление равно нулю). Если имеется какое-то внутреннее сопротивление, то оно остается в ветви, это нужно учитывать. Если в схеме цепи есть источник тока, то после его исключения на его месте остается обрыв, поскольку его внутреннее сопротивление бесконечно большое. А после исключения источника тока, его внутреннее сопротивление остается в схеме, и так как оно бесконечно большое, это равносильно обрыву.

В схеме, изображенной на рисунке 9, применяя правила последовательного и параллельного соединения резисторов:

r4 и r5 включены параллельно;

r1 и r2 включены параллельно;

r45 и r12 включены последовательно;

Численные значения r45, r12 и rэг рассчитаны на рисунке 9.

Осталось изобразить последнюю схему, в которой будет протекать ток I3.

Ток получился отрицательным, значит на самом деле он течет не вправо, а влево от “d” к “c”. Это и понятно, поскольку, как мы ранее выяснили, φd больше чем φc, и, повторюсь, ток течет от большего потенциала к меньшему.

Таким образом решаются задачи методом эквивалентного генератора.

Если понравилась статья, подписывайтесь на канал и не пропускайте новые публикации.

Читайте также:

1. Как электроэнергия передается от электростанций до наших домов;

2. Что такое электрический ток – простыми словами;

Главная
→
Примеры решения задач ТОЭ
→
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ТОЭ — МЕТОДЫ, АЛГОРИТМЫ, ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ
→
1 Методы расчета электрических цепей при постоянных токах и напряжениях
→
1.5 Метод эквивалентного генератора (метод эквивалентного источника ЭДС)

1.5 Метод эквивалентного генератора (метод эквивалентного источника ЭДС)

Методы и примеры решения задач ТОЭ
→
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ТОЭ — МЕТОДЫ, АЛГОРИТМЫ, ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ
→
1 Методы расчета электрических цепей при постоянных токах и напряжениях

1.5 Метод эквивалентного генератора (метод эквивалентного источника ЭДС)

Метод эквивалентного генератора основан на теореме об эквивалентном источнике (теорема Тевенена) — активном двухполюснике.

Теорема Тевенена для линейных электрических цепей утверждает, что любая электрическая цепь, имеющая два вывода и состоящая из комбинации источников напряжения, источников тока и резисторов (сопротивлений), с электрической точки зрения эквивалентна цепи с одним источником напряжения E и одним резистором R, соединенными последовательно.

В методе эквивалентного генератора (метод эквивалентного источника ЭДС) сложную разветвленную схему рассматривают как активный двухполюсник по отношению к ветви R с искомым током I, который определяют по выражению

I = E_ЭГ/ (R_ЭГ + R),

где

E_ЭГ = U_хх — ЭДС эквивалентного генератора равная напряжению холостого хода между зажимами подключенного пассивного элемента R в ветви с искомым током;

R_ЭГ = R_вх — сопротивление эквивалентного генератора равное входному сопротивлению пассивного двухполюсника относительно разомкнутых зажимов.

---

Алгоритм метода эквивалентного генератора (метод эквивалентного источника ЭДС)

1. Определяют напряжение холостого хода U_хх. Для этого ветвь с искомым током разрывают, удаляя сопротивление, и оставляют ЭДС в этой ветви, если она имеется.

2. Задаются направлением токов в ветвях оставшейся схемы после размыкания ветви. Записывают выражение для напряжения U_хх между разомкнутыми зажимами по второму закону Кирхгофа. В это уравнение войдет ЭДС разомкнутой ветви.

3. Рациональным методом рассчитываются токи в схеме, вошедшие в выражение напряжения U_хх.

4. Определяют входное сопротивление двухполюсника относительно разомкнутых зажимов.

Индивидуалка Вика (24 лет) т.8 985 260-71-05 Москва, метро Ясенево. платно терапевт самара.

5. В соответствии с методом эквивалентного генератора (метод эквивалентного источника ЭДС), определяют искомый ток ветви.

---

Решение задач методом эквивалентного генератора (методом эквивалентного источника ЭДС)

---

Задача 1.5.1 В схеме рис. 1.5.1 амперметр показывает 0,5 А. Определить его показания в схеме рис. 1.5.2.

Решение. Можно считать, что в схеме рис. 1.5.2 резистор R₅ подключен к зажимам эквивалентного генератора, который в схеме рис. 1.5.1 работает в режиме короткого замыкания.

Рис. 1.5.3

Определим внутреннее сопротивление эквивалентного генератора по схеме рис. 1.5.3, где заменим треугольник сопротивлений R₁R₃R₀ эквивалентным соединением звездой

R 13 = R 1 ⋅ R 3 R 1 + R 3 + R 0 = 2⋅4 2+4+4 =0,8   Ом; R 01 = R 1 ⋅ R 0 R 1 + R 3 + R 0 = 4⋅2 2+4+4 =0,8   Ом; R 03 = R 0 ⋅ R 3 R 1 + R 3 + R 0 = 4⋅4 2+4+4 =1,6   Ом; R Э = R 13 + ( R 01 + R 2 )⋅ ( R 03 + R 4 ) ( R 01 + R 2 )+ ( R 03 + R 4 ) =         =0,8+ ( 0,8+4 )⋅ ( 1,6+2 ) ( 0,8+4 )+ ( 1,6+2 ) =2,86   Ом.

ЭДС эквивалентного генератора определим из формулы I = E_ЭГ/ (R_ЭГ + R) метода эквивалентного генератора. При коротком замыкании I = E_ЭГ/R_ЭГ. Откуда ЭДС эквивалентного генератора

E Э =I⋅ R Э =0,5⋅2,86=1,43  В.

Ток I₅ в схеме рис. 1.5.2 по методу эквивалентного генератора (методу эквивалентного источника ЭДС)

I 5 = E Э R Э + R 5 = 1,43 2,86+1 =0,371  А.

---

Метод эквивалентного источника напряжения, метод эквивалентного источника тока, метод активного двухполюсника в статье ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА. Основные положения и соотношения. Упражнения и задачи

теорема Тевенена,
теорема об эквивалентном источнике,
метод эквивалентного источника ЭДС,
метод эквивалентного генератора

Метод
эквивалентного генератора

Метод эквивалентного генератора,
основанный на теореме об активном
двухполюснике (называемой также
теоремой Гельмгольца-Тевенена), позволяет
достаточно просто определить ток в
одной (представляющей интерес при
анализе) ветви сложной линейной схемы,
не находя токи в остальных ветвях.

Теорема об активном двухполюснике
формулируется следующим образом: если
активную цепь, к которой присоединена
некоторая ветвь, заменить источником
с ЭДС, равной напряжению на зажимах
разомкнутой ветви, и сопротивлением,
равным входному сопротивлению активной
цепи, то ток в этой ветви не изменится.

Ход доказательства теоремы иллюстрируют
схемы на рис. 1.

Пусть в схеме выделена некоторая ветвь
с сопротивлением Z, а вся оставшаяся
цепь обозначена как активный двухполюсник
А (рис. 1,а). Разомкнем эту ветвь между
точками 1 и 2 (рис. 1,б). На зажимах этой
ветви имеет место напряжение
.
Если теперь между зажимами 1 и 2 включить
источник ЭДС
с
направлением, указанным на рис. 1,в , то,
как и в цепи на рис.1,б ток в ней будет
равен нулю. Чтобы схему на рис. 1,в сделать
эквивалентной цепи на рис. 1,а, в
рассматриваемую ветвь нужно включить
еще один источник ЭДС
,
компенсирующий действие первого (рис.
1,г). Будем теперь искать ток
по
принципу наложения, т.е. как сумму двух
составляющих, одна из которых вызывается
источниками, входящими в структуру
активного двухполюсника, и источником
ЭДС
,
расположенным между зажимами 1 и 2 слева,
а другая – источником ЭДС
,
расположенным между зажимами 1 и 2 справа.
Но первая из этих составляющих в
соответствии с рис. 1,в равна нулю, а
значит, ток
определяется
второй составляющей,

т.е. по схеме на рис. 1,д, в которой активный
двухполюсник А заменен пассивным
двухполюсником П. Таким образом,
теорема доказана.

Указанные в теореме ЭДС и сопротивление
можно интерпретировать как соответствующие
параметры некоторого эквивалентного
исходному активному двухполюснику
генератора, откуда и произошло название
этого метода.

Таким образом, в соответствии с данной
теоремой схему на рис. 2,а, где относительно
ветви, ток в которой требуется определить,
выделен активный двухполюсник А со
структурой любой степени сложности,
можно трансформировать в схему на рис.
2,б.

Отсюда ток
находится,
как:

,

(1)

где
–
напряжение на разомкнутых зажимах a-b.

Уравнение (1) представляет собой
аналитическое выражение метода
эквивалентного генератора.

Параметры эквивалентного генератора
(активного двухполюсника) могут быть
определены экспериментальным или
теоретическим путями.

В первом случае, в частности на постоянном
токе, в режиме холостого хода активного
двухполюсника замеряют напряжение
на
его зажимах с помощью вольтметра, которое
и равно
.
Затем закорачивают зажимы a и b активного
двухполюсника с помощью амперметра,
который показывает ток
(см.
рис. 2,б). Тогда на основании результатов
измерений
.

В принципе аналогично находятся параметры
активного двухполюсника и при
синусоидальном токе; только в этом
случае необходимо определить комплексные
значения
и
.

При теоретическом определении
параметров эквивалентного генератора
их расчет осуществляется в два этапа:

1. Любым из известных методов расчета
линейных электрических цепей определяют
напряжение на зажимах a-b активного
двухполюсника при разомкнутой исследуемой
ветви.

2. При разомкнутой исследуемой ветви
определяется входное сопротивление
активного двухполюсника, заменяемого
при этом пассивным. Данная замена
осуществляется путем устранения из
структуры активного двухполюсника всех
источников энергии, но при сохранении
на их месте их собственных (внутренних)
сопротивлений. В случае идеальных
источников это соответствует закорачиванию
всех источников ЭДС и размыканию всех
ветвей с источниками тока.

Сказанное иллюстрируют схемы на рис.
3, где для расчета входного (эквивалентного)
сопротивления активного двухполюсника
на рис. 3,а последний преобразован в
пассивный двухполюсник со структурой
на рис. 3,б. Тогда согласно схеме на рис.
3,б

.

В качестве примера использования метода
эквивалентного генератора для анализа
определим зависимость показаний
амперметра в схеме на рис. 4 при изменении
сопротивления R переменного резистора
в диагонали моста в пределах
.
Параметры цепи Е=100 В; R1=R4=40 Ом; R2=R3=60 Ом.

В соответствии с изложенной выше
методикой определения параметров
активного двухполюсника для нахождения
значения
перейдем
к схеме на рис. 5, где напряжение
на
разомкнутых зажимах 1 и 2 определяет
искомую ЭДС
.
В данной цепи

.

Для определения входного сопротивления
активного двухполюсника трансформируем
его в схему на рис. 6.

Со стороны зажимов 1-2 данного пассивного
двухполюсника его сопротивление равно:

.

Таким образом, для показания амперметра
в схеме на рис. 4 в соответствии с (1) можно
записать

.

(2)

Задаваясь значениями R в пределах его
изменения, на основании (2) получаем
кривую на рис.7.

В качестве примера использования метода
эквивалентного генератора для анализа
цепи при синусоидальном питании
определим, при каком значении нагрузочного
сопротивления
в
цепи на рис. 8 в нем будет выделяться
максимальная мощность, и чему она будет
равна.

Параметры цепи:
;
.

В соответствии с теоремой об активном
двухполюснике обведенная пунктиром на
рис. 8 часть схемы заменяется эквивалентным
генератором с параметрами

В соответствии с (1) для тока
через
можно
записать

откуда для модуля этого тока имеем

. (3)

Анализ полученного выражения (3)
показывает, что ток I, а следовательно,
и мощность будут максимальны, если
;
откуда
,
причем знак “-” показывает, что нагрузка
имеет
емкостный характер.

Таким образом,

и 
.

Данные соотношения аналогичны
соответствующим выражениям в цепи
постоянного тока, для которой, как
известно, максимальная мощность на
нагрузке выделяется в режиме согласованной
нагрузки, условие которого
.

Таким образом, искомые значения
и
максимальной мощности:
.

Теорема вариаций

Теорема вариаций применяется в тех
случаях, когда требуется рассчитать,
насколько изменятся токи или напряжения
в ветвях схемы, если в одной из ветвей
этой схемы изменилось сопротивление.

Выделим на рис. 9,а некоторые ветви с
токами
и
,
а остальную часть схемы обозначим
активным четырехполюсником А. При этом,
полагаем что проводимости
и
известны.

Пусть сопротивление n-й ветви изменилось
на
.
В результате этого токи в ветвях схемы
будут соответственно равны
и
(рис.
9,б). На основании принципа компенсации
заменим
источником
с ЭДС
.
Тогда в соответствии с принципом
наложения можно считать, что приращения
токов
и
вызваны
в
схеме на рис. 9,в, в которой активный
четырехполюсник А заменен на
пассивный П.

Для этой цепи можно записать

откуда

и 
.

Полученные соотношения позволяют
определить изменения токов в m-й и n-й
ветвях, вызванные изменением сопротивления
в n-й ветви.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Метод эквивалентного генератора:

Метод эквивалентного генератора рационально применять в случае необходимости определения тока (напряжения, мощностн и др.) только одной ветви сложной электрической цепи.

Для этой цели разбивают сложную электрическую цепь на две части — на сопротивление R, ток которого

Активным этот двухполюсник называют потому, что в нем имеется источник ЭДС. Этот активный двухполюсник обладает определенной ЭДС

Ток в резисторе с сопротивлением R определяют по закону Ома 

Таким образом, определение тока сводится к вычислению ЭДС эквивалентного генератора и его внутреннего сопротивления .

Величина ЭДС определяется любым методом расчета цепей постоянного тока относительно точек А а В при разомкну-клеммах, т. е. в режиме холостого хода. Практически эту ЭДС о измерить вольтметром, подключенным к клеммам А и В холостом ходе.

Внутреннее сопротивление эквивалентного генератора выявляется относительно точек А и В после предварительной смены всех источников сложной схемы эквивалентного генера-а их внутренними сопротивлениями.

Практически для определения внутреннего сопротивления эквивалентного генератора измеряют амперметром ток между точки А и В работающего двухполюсника при коротком замыкании так как сопротивление амперметра настолько мало, что им можно пренебречь. Тогда

где  — напряжение холостого хода, — ток короткого замыкания.

Такой метод практического определения внутреннего сопротивления эквивалентного генератора называется методом хо-ого хода и короткого замыкания. Расчет параметров эквивалентного генератора, его ЭДС и внутреннего сопротивления , рассматриваются в примерах 4.12 4.13.

Пример 4.12

Определить ток в сопротивлении , подключенном к точкам А В электрической цепи (рис. 4.8а) примера 4.6 методом эквивалентного генератора.

Решение

Для определения тока в сопротивлении определим ЭДС эквивалентного генератора (рис. 4.16а) и его внутреннее сопротивление (рис. 4.166) при холостом ходе, т. е. разомкнутой цепи (между точками А и В).

Знак «минус» обусловлен тем, что источники в схеме включены встречно и потенциал в точке А больше потенциала в точке В, так как (см. пример 4.6).

Напряжение

Напряжение

Следовательно, Внутреннее сопротивление эквивалентного генератора

Искомый ток

Такой же ток получен в примере 4.6 на сопротивлении 

Пример 4.13

В схеме рис. 4.17а сопротивления плеч моста равны

Сопротивление гальванометра R_r = 98,33 Ом, ЭДС источника . Методом эквивалентного генератора определить в ветви гальванометра (между точками А и В).

Решение

Для определения тока в цепи гальванометра методом эквивалентного генератора необходимо вычислить ЭДС эквивалентного генератора между точками А и В (рис. 4.176) и внутреннее сопротивление эквивалентного генератора относительно точек А и В при присутствии гальванометра, заменив в схеме (рис. 4.17в) источник ЭДС его внутренним сопротивлением ( = 0) равным нулю.

Для определения ЭДС эквивалентного генератора принимают потенциал точки С схемы (рис. 4.176) равным нулю, т. е. ф_с=о.

Тогда

При замене источника ЭДС его внутренним сопротивлением, равным нулю, замыкаются накоротко точки С и D схемы (рис. 4.17в). При этом (рис. 4.17г) сопротивления соединены между собой параллельно. Также параллельно соединены между собой сопротивления . Между точками А и В сопротивления соединены последовательно. Следовательно, сопротивление эквивалентного генератора относительно точек А и В будет равно

Тогда ток в ветви с гальванометром, который направлен из точки В в точку А, т. е. из точки с большим потенциалом в точку с наименьшим потенциалом (рис. 4.17а), будет равен

Метод эквивалентного генератора (активного двухполюсника)

Все методы, рассмотренные ранее, предполагали расчет токов одновременно во всех ветвях цепи. Однако в ряде случаев бывает необходимым контролировать ток в одной отдельно взятой ветви. В этом случае применяют для расчета метод эквивалентного генератора.

Пусть дана некоторая электрическая цепь, которую заменим активным двухполюсником (рис. 3.10), оставив только ветвь в которой необходимо рассчитать ток.

Сначала, введем в ветвь  два источника ЭДС  и  одинаковые по величине и противоположно направленные:

Затем, используя принцип наложения, данную цепь представим суммой двух цепей. В первой оставим все источники активного двухполюсника и источник ЭДС Вторая цепь представляет собой пассивный двухполюсник, имеющий входное сопротивление  и источник ЭДС

Рис. 3.10. Преобразование исходного двухполюсника в сумму двух цепей

На основании принципа наложения ток ветви 

Поскольку и они могут быть любые по величине, то подберем их значения такими, чтобы ток был равен нулю. Для этого выберем 

Напряжение на зажимах источника в режиме холостого хода численно равно его ЭДС. Тогда активный двухполюсник с источником может быть представлен в виде, представленном на рис. 3.11:

Рис. 3.11. Схема замещения активного двухполюсника

В этой схеме ЭДС  численно равна активного двухполюсника, и, следовательно, ток:

Таким образом, ток в ветви

Пусть дана цепь (рис. 3.12), в которой необходимо рассчитать ток методом эквивалентного генератора.

Рис. 3.12. Исходная цепь

Последовательность расчета:

1. Разомкнем ветвь с сопротивлением или примем 

2. Зададим положительное направление и для произвольно выбранных положительных направлений токов. Например, для первого контура запишем уравнение по второму закону Кирхгофа:

3. Токи и в преобразованной схеме по рис. 3.13 рассчитываем любым известным методом, например, методом контурных токов

Тогда 

4. Определим эквивалентное сопротивление пассивного двухполюсника. Для этого мысленно закоротим все источники ЭДС исходной цепи, оставляя в схеме для реальных источников их внутренние сопротивления.

В образовавшейся схеме пассивного двухполюсника невозможно определить эквивалентное сопротивление относительно зажимов так как нет последовательно-параллельного соединения приемников, поэтому необходимо выполнить преобразование какого-либо участка цепи из «треугольника» в «звезду» или выполнить обратное преобразование.

Преобразуем, например, «треугольник» сопротивлений в «звезду» При этом получится схема с последовательно-параллельным соединением приемников (рис. 3.14).

Рис. 3.14. Схема пассивного двухполюсника

Сопротивления этой схемы будут:

Входное сопротивление цепи относительно зажимов и запишем в виде:

Окончательно имеем:

При расчёте электрических цепей грамотно проведённые преобразования позволяют уменьшить число уравнений, описывающих работу схемы. Далее приведены основные эквивалентные преобразования.

Воспользуйтесь программой онлайн-расчёта электрических цепей. Программа позволяет рассчитывать электрические цепи по закону Ома, по законам Кирхгофа, по методам контурных токов, узловых потенциалов и эквивалентного генератора, а также рассчитывать эквивалентное сопротивление цепи относительно источника питания.

• Последовательное соединение пассивных элементов
• Параллельное соединение пассивных элементов
• Параллельное соединение большого количества ветвей
• Параллельное соединение ветвей с источниками ЭДС
• Преобразование источника ЭДС в источник тока
• Преобразование источника тока в источник ЭДС
• Преобразование звезды сопротивлений в треугольник
  • Калькулятор преобразования звезды сопротивлений в треугольник
• Преобразование треугольника сопротивлений в звезду
  • Калькулятор преобразования треугольника сопротивлений в звезду

Последовательное соединение пассивных элементов

Пример схемы приведён на рис. 1.

Рис. 1. Преобразование последовательно соединённых элементов

Эквивалентное сопротивление определяется по формуле

$$ underline{Z}={{underline{Z}}_{1}}+{{underline{Z}}_{2}}. $$

В общем случае при последовательном соединении N элементов

$$ underline{Z}=sumlimits_{i=1}^{N}{{{underline{Z}}_{i}}}. $$

Параллельное соединение пассивных элементов

Пример схемы приведён на рис. 2.

Рис. 2. Преобразование параллельно соединённых элементов

Эквивалентное сопротивление определяется по формуле

$$ underline{Z}=frac{{{underline{Z}}_{1}}cdot {{underline{Z}}_{2}}}{{{underline{Z}}_{1}}+{{underline{Z}}_{2}}}. $$

Параллельное соединение большого количества ветвей

Пример схемы приведён на рис. 3.

Рис. 3. Преобразование параллельно соединённых ветвей

Эквивалентное сопротивление определяется по формуле

$$ underline{Z}=frac{1}{sumlimits_{i=1}^{N}{frac{1}{{{underline{Z}}_{i}}}}}. $$

Параллельное соединение ветвей с источниками ЭДС

Пример схемы приведён на рис. 4.

Рис. 4. Преобразование параллельно соединённых ветвей с источниками ЭДС

Эквивалентное сопротивление определяется по формуле

$$ underline{Z}=frac{{{underline{Z}}_{1}}cdot {{underline{Z}}_{2}}}{{{underline{Z}}_{1}}+{{underline{Z}}_{2}}}. $$

Эквивалентная ЭДС определяется по формуле

$$ underline{E}=frac{{{underline{E}}_{1}}{{underline{Z}}_{2}}+{{underline{E}}_{2}}{{underline{Z}}_{1}}}{{{underline{Z}}_{1}}+{{underline{Z}}_{2}}}. $$

В общем случае при параллельном соединении N ветвей с источниками ЭДС эквивалентное сопротивление определяется по формуле

$$ underline{Z}=frac{1}{sumlimits_{i=1}^{N}{frac{1}{{{underline{Z}}_{i}}}}}. $$

Эквивалентная ЭДС при параллельном соединении N ветвей определяется по формуле

$$ underline{E}=frac{sumlimits_{i=1}^{N}{frac{{{underline{E}}_{i}}}{{{underline{Z}}_{i}}}}}{sumlimits_{i=1}^{N}{frac{1}{{{underline{Z}}_{i}}}}}. $$

Преобразование источника ЭДС в источник тока

Пример схемы приведён на рис. 5.

Рис. 5. Преобразование источника ЭДС в источник тока

Сила тока источника тока определяется по формуле

$$ underline{J}=frac{underline{E}}{underline{Z}}. $$

Проводимость ветви, параллельной источнику току, определяется по формуле

$$ underline{Y}=frac{1}{underline{Z}}. $$

Преобразование источника тока в источник ЭДС

Пример схемы приведён на рис. 6.

Рис. 6. Преобразование источника тока в источник ЭДС

ЭДС определяется по формуле

$$ underline{E}=frac{underline{J}}{underline{Y}}. $$

Сопротивление определяется по формуле

$$ underline{Z}=frac{1}{underline{Y}}. $$

Преобразование звезды сопротивлений в треугольник

Пример схемы приведён на рис. 7.

Рис. 7. Преобразование звезды в треугольник

Сопротивления треугольника определяются по формулам

$$ {{underline{Z}}_{12}}={{underline{Z}}_{1}}+{{underline{Z}}_{2}}+frac{{{underline{Z}}_{1}}cdot {{underline{Z}}_{2}}}{{{underline{Z}}_{3}}}, $$

$$ {{underline{Z}}_{23}}={{underline{Z}}_{2}}+{{underline{Z}}_{3}}+frac{{{underline{Z}}_{2}}cdot {{underline{Z}}_{3}}}{{{underline{Z}}_{1}}}, $$

$$ {{underline{Z}}_{31}}={{underline{Z}}_{1}}+{{underline{Z}}_{3}}+frac{{{underline{Z}}_{1}}cdot {{underline{Z}}_{3}}}{{{underline{Z}}_{2}}}. $$

Калькулятор преобразования звезды сопротивлений в треугольник

$ underline{Z}_1 = $ $ textrm{Ом} $
$ underline{Z}_2 = $ $ textrm{Ом} $
$ underline{Z}_3 = $ $ textrm{Ом} $

Преобразование треугольника сопротивлений в звезду

Пример схемы приведён на рис. 8.

Рис. 8. Преобразование треугольника в звезду

Сопротивления звезды определяются по формулам

$$ {{underline{Z}}_{1}}=frac{{{underline{Z}}_{31}}cdot {{underline{Z}}_{12}}}{{{underline{Z}}_{12}}+{{underline{Z}}_{31}}+{{underline{Z}}_{23}}}, $$

$$ {{underline{Z}}_{2}}=frac{{{underline{Z}}_{23}}cdot {{underline{Z}}_{12}}}{{{underline{Z}}_{12}}+{{underline{Z}}_{31}}+{{underline{Z}}_{23}}}, $$

$$ {{underline{Z}}_{3}}=frac{{{underline{Z}}_{31}}cdot {{underline{Z}}_{23}}}{{{underline{Z}}_{12}}+{{underline{Z}}_{31}}+{{underline{Z}}_{23}}}. $$

Калькулятор преобразования треугольника сопротивлений в звезду

$ underline{Z}_{12} = $ $ textrm{Ом} $
$ underline{Z}_{23} = $ $ textrm{Ом} $
$ underline{Z}_{31} = $ $ textrm{Ом} $

Список использованной литературы

1. Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей. Учебник для вузов. Изд. 4-е, переработанное. М., «Энергия», 1975.