Конус – это геометрическая фигура, полученная вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. У каждого конуса есть основание и боковая поверхность.
Любой конус характеризуется высотой h (осевой линией), радиусом r и образующей l (см. рисунок). Именно эти характеристики используются в формулах конуса при вычислении объема, площади поверхности и площади боковой поверхности.
Высота конуса (осевая линия) – это перпендикуляр, проведенный из вершины конуса к основанию.
Радиус конуса – это радиус его основания.
Образующая конуса – это отрезок, который соединяет вершину конуса с любой точкой, лежащей на линии окружности основания.
Формула образующей конуса
Образующую конуса можно найти, зная ее высоту H и радиус R:
L = √H2 + R2
Формула площади боковой поверхности конуса
Площадь боковой поверхности конуса можно получить, зная его радиус R и образующую L:
Sбок.пов = πRL
Формула площади основания конуса
Площадь основания конуса можно вычислить по его радиусу R:
Sосн = πR2
Формула площади конуса
Площадь поверхности конуса можно получить, сложив площадь боковой поверхности и площадь основания конуса:
S = Sбок.пов + Sосн = πRL + πR2
Формула объема конуса
Объем конуса можно вычислить, зная его высоту H и площадь основания:
V = 1/3 ⋅ Sосн ⋅ H = 1/3πR2H
ДЗ
Знаток
(319),
закрыт
9 лет назад
Дополнен 11 лет назад
Например
r=20см/2
h=21см/2
Лучший ответ
Ру Медведкин
Профи
(646)
11 лет назад
Высота, радиус и образующая образуют прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора.
Образующая в квадрате минус высота в квадрате равняется радиус в квадрате. Извлекаешь корень. Задача решена.
Источник: голова
Остальные ответы
Любовь Юдаева
Мастер
(1781)
11 лет назад
По теореме Пифагора, из квадрата образующей вычесть квадрат высоты, получим квадрат радиуса.
Похожие вопросы
Элементы конуса
Определение. Вершина конуса – это точка (K), из которой исходят лучи.
Определение. Основание конуса – это плоскость, образованная в результате пересечения плоской поверхности и всех лучей, исходящих из вершины конуса. У конуса могут быть такие основы, как круг, эллипс, гипербола и парабола.
Определение. Образующей конуса (L) называется любой отрезок, который соединяет вершину конуса с границей основания конуса. Образующая есть отрезок луча, выходящего из вершины конуса.
Формула. Длина образующей (L) прямого кругового конуса через радиус R и высоту H (через теорему Пифагора):
L2 = R2 + H2
Определение. Направляющая конуса – это кривая, которая описывает контур основания конуса.
Определение. Боковая поверхность конуса – это совокупность всех образующих конуса. То есть, поверхность, которая образуется движением образующей по направляющей конуса.
Определение. Поверхность конуса состоит из боковой поверхности и основания конуса.
Определение. Высота конуса (H) – это отрезок, который выходит из вершины конуса и перпендикулярный к его основанию.
Определение. Ось конуса (a) – это прямая, проходящая через вершину конуса и центр основания конуса.
Определение. Конусность (С) конуса – это отношение диаметра основания конуса к его высоте. В случае усеченного конуса – это отношение разности диаметров поперечных сечений D и d усеченного конуса к расстоянию между ними:
где C – конусность, D – диаметр основания, d – диаметр меньшего основания и h – расстояние между основаниями.
Конусность характеризует остроту конуса, то есть, угол наклона образующей к основанию конуса. Чем больше конусность, тем острее угол наклона. угол конуса α будет:
где R – радиус основы, а H – высота конуса.
Определение. Осевое сечение конуса – это сечение конуса плоскостью, проходящей через ось конуса. Такое сечение образует равнобедренный треугольник, у которого стороны образованы образующими, а основание треугольника – это диаметр основания конуса.
Определение. Касательная плоскость к конусу – это плоскость, проходящая через образующую конуса и перпендикулярна к осевому сечению конуса.
Определение. Конус, что опирается на круг, эллипс, гиперболу или параболу называется соответственно круговым, эллиптическим, гиперболическим или параболическим конусом (последние два имеют бесконечный объем).
Определение. Прямой конус – это конус у которого ось перпендикулярна основе. У такого конуса ось совпадает с высотой, а все образующие равны между собой.
Формула. Объём кругового конуса:
где R – радиус основы, а H – высота конуса.
Формула. Площадь боковой поверхности (Sb) прямого конуса через радиус R и длину образующей L:
Sb = πRL
Формула. Общая площадь поверхности (Sp) прямого кругового конуса через радиус R и длину образующей L:
Sp = πRL + πR2
Определение. Косой (наклонный) конус – это конус у которого ось не перпендикулярна основе. У такого конуса ось не совпадает с высотой.
Формула. Объём любого конуса:
где S – площадь основы, а H – высота конуса.
Определение. Усеченный конус – это часть конуса, которая находится между основанием конуса и плоскостью сечения, параллельная основе.
Формула. Объём усеченного конуса:
где S1 и S2 – площади меньшей и большей основы соответственно, а H и h – расстояние от вершины конуса до центра нижней и верхней основы соответственно.
Уравнение конуса
1. Уравнение прямого кругового конуса в декартовой системе координат с координатами (x, y, z):
| x2 | + | y2 | – | z2 | = 0 |
| a2 | a2 | c2 |
2. Уравнение прямого эллиптического конуса в декартовой системе координат с координатами (x, y, z):
| x2 | + | y2 | = | z2 |
| a2 | b2 | c2 |
Основные свойства кругового конуса
1. Все образующие прямого кругового конуса равны между собой.
2. При вращении прямоугольного треугольника вокруг своего катета на 360 ° образуется прямой круговой конус.
3. При вращении равнобедренного треугольника вокруг своей оси на 180 ° образуется прямой круговой конус.
4. В месте пересечения конуса плоскостью, параллельной основанию конуса, образуется круг. (см. Срезанный конус)
5. Если при пересечении плоскость не параллельна основе конуса и не пересекается с основанием, то в месте пересечения образуется эллипс (рис. 3).
6. Если плоскость сечения проходит через основание, то в месте пересечения образуется парабола (рис. 4).
7. Если плоскость сечения проходит через вершину, то в месте пересечения образуется равнобедренный треугольник (см. Осевое сечение).
8. Центр тяжести любого конуса находится на одной четвертой высоты от центра основы.
Теорема: Площадь боковой поверхности конуса равна произведению полуокружности его основания и образующей.
Доказательство.
Пусть имеется конус, радиус основания которого равен r, а образующая I (рисунок).
Развернем боковую поверхность конуса на плоскость, в результате получится сектор, радиус которого равен образующей I (рисунок ниже).
Найдем центральный угол ϕ этого сектора, приняв во внимание, что ему соответствует дуга окружности, равная длине окружности основания конуса, т. е. равна 2πr. Поскольку длина всей окружности, связанной с сектором, равна 2πl и этой длине соответствует полный угол, равный 360°, то
Теперь найдем площадь S сектора с радиусом I и углом ср:
Поскольку выражение πr представляет длину полуокружности основания конуса, можем утверждать, что площадь боковой поверхности конуса равна произведению полуокружности его основания и образующей.
Как найти радиус основания конуса
Прямой конус – это тело, которое получается при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. Этот катет есть высота конуса H, другой катет является радиусом его основания R, гипотенуза равна множеству образующих конуса L. Способ нахождения радиуса конуса зависит от исходных данных задачи.
Инструкция
Если вам известны объем V и высота конуса H, выразите его радиус основания R из формулы V=1/3∙πR²H. Получите: R²=3V/πH, откуда R=√(3V/πH).
Если вам известны площадь боковой поверхности конуса S и длина его образующей L, выразите радиус R из формулы: S=πRL. Вы получите R=S/πL.
Следующие способы нахождения радиуса основания конуса базируются на утверждении, что конус образован при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов к оси. Так, если вам известны высота конуса H и длина его образующей L, то для нахождения радиуса R вы можете воспользоваться теоремой Пифагора: L²=R²+H². Выразите из данной формулы R, получите: R²=L²–H² и R=√(L²–H²).
Используйте правила соотношений между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике. Если известны образующая конуса L и угол α между высотой конуса и его образующей, найдите радиус основания R, равный одному из катетов прямоугольного треугольника, по формуле: R=L∙sinα.
Если известны образующая конуса L и угол β между радиусом основания конуса и его образующей, найдите радиус основания R по формуле: R=L∙cosβ. Если известны высота конуса H и угол α между его образующей и радиусом основания, найдите радиус основания R по формуле: R=H∙tgα.
Пример: образующая конуса L равна 20 см и угол α между образующей и высотой конуса равен 15º. Найдите радиус основания конуса. Решение: В прямоугольном треугольнике с гипотенузой L и острым углом α противолежащий этому углу катет R вычисляется по формуле R=L∙sinα. Подставьте соответствующие значения, получите: R=L∙sinα=20∙sin15º. Sin15º находится из формул тригонометрических функций половинного аргумента и равен 0,5√(2–√3). Отсюда катет R=20∙0,5√(2–√3)=10√(2–√3)см. Соответственно, радиус основания конуса R равен 10√(2–√3)см.
Частный случай: в прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу в 30º, равен половине гипотенузы. Таким образом, если известны длина образующей конуса и угол между его образующей и высотой равен 30º, то найдите радиус по формуле: R=1/2L.
Связанная статья
Можно ли линейку принять за материальную точку
Источники:
- Решение треугольников
- радиусы образуют прямой угол
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
