Как найти электроемкость конденсатора колебательного контура

Если двум, находящимся на некотором расстоянии друг от друга, проводникам сообщить электрические заряды (q1 и q2), между ними появится электрическое поле. Разность потенциалов (Δφ) в нём будет определяться величинами сообщённых зарядов и формой, которую имеют проводники. Разность потенциалов между 2 точками постоянного во времени и однородного электрического поля называют напряжением (U).

Заряды, сообщённые проводникам, могут быть оба положительными, оба отрицательными или иметь разные знаки. Последний случай при равных абсолютных значениях зарядов нашёл в физике и электротехнике наибольшее применение и поэтому нам особенно интересен.

Электроемкость

В подавляющем большинстве случаев его толщина много меньше размеров обкладок.

В системе СИ электроёмкость измеряют в Фарадах. Один Фарад равен электроемкости конденсатора, при которой заряд, равный 1 Кулону, создаёт между его пластинами напряжение в 1 Вольт.

[1 Phi=frac{1 mathrm{~Kл}}{1 mathrm{~B}}]

Ёмкость в 1 Фарад – величина очень большая. На практике чаще всего используют мили фарады (одна тысячная фарада), микрофарады (одна миллионная), нанофарады (одна миллиардная), пикофарады (10 в минус 12-й степени).

Обычно такое поле не велико и при решении многих (но далеко не всех) задач его наличием можно пренебречь.

Абсолютную величину напряжённости каждой из обкладок можно выразить формулой:

[E_{1}=frac{sigma}{2 varepsilon_{0}}].

Где σ это плотность электрического заряда на плоскости. По принципу суперпозиции полная величина напряжённости поля конденсатора равна сумме напряжённостей полей от каждой из его обкладок.

[vec{E}=overrightarrow{E^{+}}+overrightarrow{E^{-}}]

Т. к. между пластинами векторы [overrightarrow{E^{+}} text {и } overrightarrow{E^{-}}] параллельны, полную напряжённость можно вычислить по формуле [E=2 E_{1}=frac{sigma}{varepsilon_{0}}].

Вне пластин поля каждой из них компенсируют друг друга, и потому общая их напряжённость равна нулю.

Как вычислить электроемкость плоского конденсатора

Вспомним, как ёмкость зависит от заряда пластин и разности потенциалов между ними. Это формула [mathrm{C}=(mathrm{q} / Delta varphi) . text { Заряд } mathrm{q}=sigma * mathrm{~S}, mathrm{~S}] – площадь одной обкладки.

Разность потенциалов в однородном электростатическом поле равна напряжению и вычисляется по формуле [Delta varphi=mathrm{E}^{*} mathrm{~d}]

Подставляем эти значения в формулу для ёмкости. В результате получаем:

[C=left(sigma^{*} Sright) /left(E^{*} dright)]

Т. к. электрическая постоянная ε0 равна σ/E в итоге получаем [C=frac{q}{Delta varphi}=frac{sigma cdot S}{E cdot d}=frac{varepsilon_{0} S}{d}].

Теперь давайте определим электроемкость конденсатора в форме сферы и цилиндра.

Сферический конденсатор

[varphi_{1}-varphi_{2}=int E d x=int frac{k Q d r}{r^{2}}=k Qleft(frac{1}{R_{1}}-frac{1}{R_{2}}right)] т. к. [C_{c Phi}=frac{Q}{k Qleft(frac{1}{R_{1}}-frac{1}{R_{2}}right)}=frac{4 pi varepsilon varepsilon_{0} R_{1} R_{2}}{R_{2}-R_{1}}]

У нас R2 -R1 << R1. Это значит, что R1 и R2 можно принять равными R, тогда произведение радиусов в формуле можно будет считать квадратом R.

R2 – R1=d

Исходя из того что [C_{c Phi}=frac{4 pi varepsilon varepsilon_{0} R^{2}}{d}] и [S_{c Phi}=4 pi R^{2}].

В итоге получаем [C=frac{varepsilon varepsilon_{0} S}{d}=frac{4 pi varepsilon varepsilon_{0} R^{2}}{R_{2}-R_{1}}].

Цилиндрический конденсатор

Для упрощения расчётов расположим их на одной оси.

Если пренебречь краевыми эффектами, то [varphi_{1}-varphi_{2}=frac{lambda}{2 pi varepsilon varepsilon_{0}} ln left(frac{r_{2}}{r_{1}}right)=frac{q}{2 pi varepsilon varepsilon_{0} l} ln left(frac{r_{2}}{r_{1}}right)]

[C=frac{q}{varphi_{1}-varphi_{2}}=frac{2 pi varepsilon_{0}}{ln left(frac{r_{2}}{r_{1}}right)}].

Теперь вы знаете, чему равна электроемкость конденсатора, давайте рассмотрим их соединения в электрической цепи.

Расчёт электроемкости батареи конденсаторов

У параллельно соединённых конденсаторов одинакова разность потенциалов между обкладками Q1= С1 (φА- φВ), Q2= С2 (φА- φВ), Q3 = С3 (φА- φВ). Заряд батареи складывается из зарядов каждого из отдельных конденсаторов, в неё входящих. Поэтому легко понять почему

[Q=sum_{i-1}^{N} Q_{i}=sum_{i=1}^{N} C_{i}left(varphi_{mathrm{A}^{-}} varphi_{mathrm{B}}right)]

Суммарная ёмкость батареи при таком раскладе равна

[C_{text {парал }}=frac{Q}{varphi_{A}-varphi_{B}}=sum_{i=1}^{N} C_{i}]

Выходит, что при параллельном соединении ёмкости просто складываются.

При последовательном соединении конденсаторов ситуация будет совершенно другой.

В этом случае заряды обкладок всех входящих в батарею конденсаторов равны по абсолютной величине. Разность потенциалов на её концах равняется сумме разностей потенциалов на каждом из них. В виде формулы можно записать таким образом Dj=Dj1 + Dj2 + ….+ Dj.

Для каждого из конденсаторов батареи справедливы соотношения:

[Delta varphi_{mathrm{i}}=mathrm{q} / mathrm{C}_{mathrm{i}}, text { но } Delta varphi=mathrm{Q} / mathrm{C}=mathrm{Q} sum_{i=1}^{N} frac{1}{C_{i}} mathrm{p}]

[frac{1}{C_{text {посл }}}=Q sum_{i=1}^{N} C_{i}].

Из этого следует однозначный вывод, что при последовательном соединении ёмкость батареи всегда меньше ёмкости любого из её конденсаторов.

Электроемкость конденсатора колебательного контура

Мы для вычисления ёмкости будем рассматривать упрощённую его схему, состоящую только из конденсатора и катушки. Сопротивление соединяющих их проводников положим равным нулю. Сопротивлением катушки и излучением электромагнитных волн тоже пренебрегаем. Такой контур называют идеальным.

Придадим обкладкам конденсатора заряды –Q и +Q. В начальный момент времени электроемкость конденсатора контура будет [W_{C}=frac{Q^{2}}{2 C}].

Это максимальное значение ёмкости конденсатора в контуре. Выше него никак не будет.

Если замкнуть конденсатор на катушку, он начнёт разряжаться, возникнет электрический ток. В катушке появится и станет возрастать магнитное поле. В максимуме, когда конденсатор полностью разрядится, энергия порождённого током поля будет [W_{L}=frac{1}{2} L I^{2}].

Полная энергия системы останется постоянной и равна [W_{text {полн}}=frac{1}{2}left(frac{Q^{2}}{C}+L I^{2}right)=mathrm{const}].

Электроемкость конденсатора, энергия которого известна, из приведённых формул вычисляется достаточно легко:

C=Q²/(2W-LI²)

В контуре станут происходить гармонические колебания, общее их уравнение [ddot{Q}+frac{1}{L C} Q=0].

Его решение: [Q(t)=Q_{m} cos omega_{0} t]

Для силы тока и напряжения получим

[I=frac{d Q}{d t}=-omega_{0} Q_{m} sin omega_{0} t=I_{m} cos left(omega_{0} t+frac{pi}{2}right)], [U_{C}=frac{Q}{C}=frac{Q_{m}}{C} cos omega_{0} t=U_{m} cos omega_{0} t].

Чтобы получить формулу электроемкости конденсатора колебательного контура в любой момент времени, следует обе части

[U_{C}=frac{Q}{C}=frac{Q_{m}}{C} cos omega_{0} t]

Умножить на C и поделить на Uc.

В результате получим: [C=frac{Q_{m}}{U_{C}} cos omega_{0} t].

Расчёт ёмкости колебательного контура

Расчёт ёмкости колебательного контура  (L,C)

Колебательный контур —  простейшая система, в которой могут происходить свободные электромагнитные колебания.

Колебательный контур состоит из конденсатора и катушки индуктивности, соединенных параллельно или последовательно.

Формула расчета ёмкости колебательного контура

•    C = 1/(4π²F²L)

Где:

•     F – Резонансная частота, Гц)
•     L – Индуктивность, (Гн)
•     C – Ёмкость, (Ф)

Онлайн-калькулятор для расчёта ёмкости колебательного контура

Индуктивность:

Частота:

Ёмкость:

Поделиться в соц сетях:

Популярные сообщения из этого блога

Условие задачи:

Найти емкость конденсатора колебательного контура, если при индуктивности 50 мкГн контур настроен на длину волны электромагнитных колебаний 300 м.

Задача №9.13.2 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

(L=50) мкГн, (lambda=300) м, (C-?)

Решение задачи:

Частоту колебаний колебательного контура (она равна частоте излучаемых электромагнитных волн) можно определить по формуле:

[nu = frac{1}{{2pi sqrt {LC} }};;;;(1)]

В этой формуле (L) – индуктивность катушки, (C) – электроемкость конденсатора.

Возведем обе части (1) в квадрат, тогда имеем:

[{nu ^2} = frac{1}{{4{pi ^2}LC}}]

Откуда искомая емкость конденсатора (C) равна:

[C = frac{1}{{4{pi ^2}{nu ^2}L}};;;;(2)]

Известно, что электромагнитные волны распространяются со скоростью света (c) (в вакууме она равна 3·10⁸ м/с). Между скоростью распространения электромагнитных волн (скоростью света (c)), частотой их колебаний (nu) и длиной волны (lambda) существует следующее соотношение:

[c = lambda nu ]

Откуда частота колебаний (nu) равна:

[nu = frac{c}{lambda }]

Это выражение подставим в ранее полученную формулу (2):

[C = frac{{{lambda ^2}}}{{4{pi ^2}{c^2}L}}]

Посчитаем численный ответ задачи:

[C = frac{{{{300}^2}}}{{4 cdot {{3,14}^2} cdot {{left( {3 cdot {{10}^8}} right)}^2} cdot 50 cdot {{10}^{ – 6}}}} = 5,1 cdot {10^{ – 10}};Ф = 0,51;нФ]

Ответ: 0,51 нФ.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

9.13.1 Колебательный контур имеет емкость 2,6 пФ и индуктивность 0,012 мГн. Какой длины
9.13.3 При изменении тока в катушке индуктивности на 1 А за 0,6 с в ней индуцируется ЭДС
9.13.4 Определите максимальный ток в контуре, если длина электромагнитной волны

Колебательный контур

• Электромагнитные колебания – это периодические изменения со временем электрических и магнитных величин в электрической цепи.

• Свободными называются такие колебания, которые возникают в замкнутой системе вследствие отклонения этой системы от состояния устойчивого равновесия.

При колебаниях происходит непрерывный процесс превращения энергии системы из одной формы в другую. В случае колебаний электромагнитного поля обмен может идти только между электрической и магнитной составляющей этого поля. Простейшей системой, где может происходить этот процесс, является колебательный контур.

• Идеальный колебательный контур (LC-контур) — электрическая цепь, состоящая из катушки индуктивностью L и конденсатора емкостью C.

В отличие от реального колебательного контура, который обладает электрическим сопротивлением R, электрическое сопротивление идеального контура всегда равна нулю. Следовательно, идеальный колебательный контур является упрощенной моделью реального контура.

На рисунке 1 изображена схема идеального колебательного контура.

Энергии контура

Полная энергия колебательного контура

(W=W_{e} + W_{m}, ; ; ; W_{e} =dfrac{Ccdot u^{2} }{2} = dfrac{q^{2} }{2C}, ; ; ; W_{m} =dfrac{Lcdot i^{2}}{2},)

где W_e — энергия электрического поля колебательного контура в данный момент времени, С — электроемкость конденсатора, u — значение напряжения на конденсаторе в данный момент времени, q — значение заряда конденсатора в данный момент времени, W_m — энергия магнитного поля колебательного контура в данный момент времени, L — индуктивность катушки, i —значение силы тока в катушке в данный момент времени.

Процессы в колебательном контуре

Рассмотрим процессы, которые возникают в колебательном контуре.

Для выведения контура из положения равновесия зарядим конденсатор так, что на его обкладках будет заряд Q_m (рис. 2, положение 1). С учетом уравнения (U_{m}=dfrac{Q_{m}}{C}) находим значение напряжения на конденсаторе. Тока в цепи в этом момент времени нет, т.е. i = 0.

После замыкания ключа под действием электрического поля конденсатора в цепи появится электрический ток, сила тока i которого будет увеличиваться с течением времени. Конденсатор в это время начнет разряжаться, т.к. электроны, создающие ток, (Напоминаю, что за направление тока принято направление движения положительных зарядов) уходят с отрицательной обкладки конденсатора и приходят на положительную (см. рис. 2, положение 2). Вместе с зарядом q будет уменьшаться и напряжение u (left(u = dfrac{q}{C} right).) При увеличении силы тока через катушку возникнет ЭДС самоиндукции, препятствующая изменению силы тока. Вследствие этого, сила тока в колебательном контуре будет возрастать от нуля до некоторого максимального значения не мгновенно, а в течение некоторого промежутка времени, определяемого индуктивностью катушки.

Заряд конденсатора q уменьшается и в некоторый момент времени становится равным нулю (q = 0, u = 0), сила тока в катушке достигнет некоторого значения I_m (см. рис. 2, положение 3).

Без электрического поля конденсатора (и сопротивления) электроны, создающие ток, продолжают свое движение по инерции. При этом электроны, приходящие на нейтральную обкладку конденсатора, сообщают ей отрицательный заряд, электроны, уходящие с нейтральной обкладки, сообщают ей положительный заряд. На конденсаторе начинает появляться заряд q (и напряжение u), но противоположного знака, т.е. конденсатор перезаряжается. Теперь новое электрическое поле конденсатора препятствует движению электронов, поэтому сила тока i начинает убывать (см. рис. 2, положение 4). Опять же это происходит не мгновенно, поскольку теперь ЭДС самоиндукции стремится скомпенсировать уменьшение тока и «поддерживает» его. А значение силы тока I_m (в положении 3) оказывается максимальным значением силы тока в контуре.

Далее сила тока становится равной нулю, а заряд конденсатора достигнет максимального значения Q_m (U_m) (см. рис. 2, положение 5).

И снова под действием электрического поля конденсатора в цепи появится электрический ток, но направленный в противоположную сторону, сила тока i которого будет увеличиваться с течением времени. А конденсатор в это время будет разряжаться (см. рис. 2, положение 6)до нуля (см. рис. 2, положение 7). И так далее.

Так как заряд на конденсаторе q (и напряжение u) определяет его энергию электрического поля W_e (left(W_{e}=dfrac{q^{2}}{2C}=dfrac{C cdot u^{2}}{2} right),) а сила тока в катушке i — энергию магнитного поля Wm (left(W_{m}=dfrac{L cdot i^{2}}{2} right),) то вместе с изменениями заряда, напряжения и силы тока, будут изменяться и энергии.

Обозначения в таблице:

Полная энергия идеального колебательного контура сохраняется с течением времени, поскольку в нем потерь энергии (нет сопротивления). Тогда

(W=W_{e, max } = W_{m, max } = W_{e2} + W_{m2} = W_{e4} +W_{m4} = …)

Свободные электромагнитные колебания

Таким образом, в идеальном LC-контуре будут происходить периодические изменения значений силы тока i, заряда q и напряжения u, причем полная энергия контура при этом будет оставаться постоянной. В этом случае говорят, что в контуре возникли свободные электромагнитные колебания.

• Свободные электромагнитные колебания в контуре — это периодические изменения заряда на обкладках конденсатора, силы тока и напряжения в контуре, происходящие без потребления энергии от внешних источников.

Таким образом, возникновение свободных электромагнитных колебаний в контуре обусловлено перезарядкой конденсатора и возникновением ЭДС самоиндукции в катушке, которая «обеспечивает» эту перезарядку. Заметим, что заряд конденсатора q и сила тока в катушке i достигают своих максимальных значений Q_m и I_m в различные моменты времени.

Свободные электромагнитные колебания в контуре происходят по гармоническому закону:

(q=Q_{m} cdot cos left(omega cdot t+varphi _{1} right), ; ; ; u=U_{m} cdot cos left(omega cdot t+varphi _{1} right), ; ; ; i=I_{m} cdot cos left(omega cdot t+varphi _{2} right).)

Наименьший промежуток времени, в течение которого LC-контур возвращается в исходное состояние (к начальному значению заряда данной обкладки), называется периодом свободных (собственных) электромагнитных колебаний в контуре.

Период свободных электромагнитных колебаний в LC-контуре определяется по формуле Томсона:

(T=2pi cdot sqrt{Lcdot C}, ;;; omega =dfrac{1}{sqrt{Lcdot C}}.)

Сточки зрения механической аналогии, идеальному колебательному контурусоответствует пружинный маятник без трения, а реальному — с трением. Вследствиедействия сил трения колебания пружинного маятника затухают с течением времени.

*Вывод формулы Томсона

Поскольку полная энергия идеального LC-контура, равная сумме энергий электростатического поля конденсатора и магнитного поля катушки, сохраняется, то в любой момент времени справедливо равенство

(W=dfrac{Q_{m}^{2} }{2C} =dfrac{Lcdot I_{m}^{2} }{2} =dfrac{q^{2} }{2C} +dfrac{Lcdot i^{2} }{2} ={rm const}.)

Получим уравнение колебаний в LC-контуре, используя закон сохранения энергии. Продифференцировав выражение для его полной энергии по времени, с учетом того, что

(W’=0, ;;; q’=i, ;;; i’=q”,)

получаем уравнение, описывающее свободные колебания в идеальном контуре:

Переписав его в виде:

(q”+omega ^{2} cdot q=0,)

замечаем, что это — уравнение гармонических колебаний с циклической частотой

(omega =dfrac{1}{sqrt{Lcdot C} }.)

Соответственно период рассматриваемых колебаний

(T=dfrac{2pi }{omega } =2pi cdot sqrt{Lcdot C}.)

Литература

1. Жилко, В.В. Физика: учеб. пособие для 11 класса общеобразоват. шк. с рус. яз. обучения / В.В. Жилко, Л.Г. Маркович. — Минск: Нар. Асвета, 2009. — С. 39-43.