Как найти электроемкость сферического конденсатора

Электроемкость сферического конденсатора

Конденсатор – это совокупность двух любых проводников, заряды которых одинаковы по значению и противоположны по знаку.

Его конфигурация говорит о том, что поле, созданное зарядами, локализовано между обкладками. Тогда можно записать формулу электроемкости конденсатора:

C=qφ1-φ2=qU.

Значением φ1-φ2=U обозначают разность потенциалов, называемую напряжением, то есть U. По определению емкость положительна. Она зависит только от размерностей обкладок конденсатора их взаиморасположения и диэлектрика. Ее форма и место должны минимизировать воздействие внешнего поля на внутреннее. Силовые линии конденсатора начинаются на проводнике с положительным зарядом, а заканчиваются с отрицательным. Конденсатор может являться проводником, помещенным в полость, окруженным замкнутой оболочкой.

Выделяют три большие группы: плоские, сферические, цилиндрические. Чтобы найти емкость, необходимо обратиться к определению напряжения конденсатора с известными значениями зарядов на обкладках.

Плоский конденсатор

Плоский конденсатор – это две противоположно заряженные пластины, которые разделены тонким слоем диэлектрика, как показано на рисунке 1.

Формула для расчета электроемкости записывается как

C=εε0Sd, где S является площадью обкладки, d – расстоянием между ними, ε – диэлектрической проницаемостью вещества. Меньшее значение d способствует большему совпадению расчетной емкости конденсатора с реальной.

Рисунок 1

При известной электроемкости конденсатора, заполненного N слоями диэлектрика, толщина слоя с номером i равняется di, вычисление диэлектрической проницаемости этого слоя εi выполняется, исходя из формулы:

C=ε0Sd1ε1+d2ε2+…+dNεN.

Сферический конденсатор

Когда проводник имеет форму шара или сферы, тогда внешняя замкнутая оболочка является концентрической сферой, это означает, что конденсатор сферический.

Он состоит из двух концентрических проводящих сферических поверхностей с пространством между обкладками, заполненным диэлектриком, как показано на рисунке 2. Емкость рассчитывается по формуле:

C=4πεε0R1R2R2-R1, где R1 и R2 являются радиусами обкладок.

Рисунок 2

Цилиндрический конденсатор

Емкость цилиндрического конденсатора равняется:

C=2πεε0llnR2R1, где l – высота цилиндров, R1 и R2 – радиусы обкладок. Данный вид конденсатора имеет две соосные поверхности проводящих цилиндрических поверхности, как показано на рисунке 3.

Рисунок 3

Важной характеристикой конденсаторов считается пробивное напряжение – напряжение, при котором происходит электрический разряд через слой диэлектрика.

Umax находится от зависимости от толщины слоя и свойств диэлектрика, конфигурации конденсатора.

Электроемкость плоского конденсатора. Формулы

Кроме отдельных конденсаторов используются их соединения. Наличие параллельного соединения конденсаторов применяют для увеличения его емкости. Тогда поиск результирующей емкости соединения сводится к записи суммы Ci, где Ci- это емкость конденсатора с номером i:

C=∑i=1NCi.

При последовательном соединении конденсаторов суммарная емкость соединения всегда будет по значению меньше, чем минимальная любого конденсатора, входящего в систему. Для расчета результирующей емкости следует сложить величины, обратные к емкостям отдельных конденсаторов:

Конденсатор
состоит из двух проводников (обкладок),
которые разделены диэлектриком. На
емкость конденсатора не должны влиять
окружающие тела, поэтому проводникам
придают такую форму, чтобы поле, которое
создавается накапливаемыми зарядами,
было сосредоточено в узком зазоре между
обкладками конденсатора. Этому условию
удовлетворяют: 1) две плоские пластины;
2) две концентрические сферы; 3) два
коаксиальных цилиндра. Поэтому в
зависимости от формы обкладок конденсаторы
делятся на плоские,
сферические и цилиндрические. 

Так
как поле сосредоточено внутри конденсатора,
то линии напряженности начинаются на
одной обкладке и кончаются на другой,
поэтому свободные заряды, которые
возникают на разных обкладках, равны
по модулю и противоположны по знаку.
Под емкостьюконденсатора
понимается физическая величина, равная
отношению заряда Q, накопленного в
конденсаторе, к разности потенциалов
(φ₁ —
φ₂)
между его обкладками: 
(1) 

Найдем
емкость плоского конденсатора, который
состоит из двух параллельных металлических
пластин площадью S каждая, расположенных
на расстоянии d друг от друга и имеющих
заряды +Q и –Q. Если считать, что расстояние
между пластинами мало по сравнению с
их линейными размерами, то краевыми
эффектами на пластинах можно пренебречь
и поле между обкладками считать
однородным. Его можно найти используя
формулу потенциала поля двух бесконечных
параллельных разноименно заряженных
плоскостей φ₁-φ₂=σd/ε₀.
Учитывая наличие диэлектрика между
обкладками: 
(2) 

где
ε — диэлектрическая проницаемость.
Тогда из формулы (1), заменяя Q=σS, с учетом
(2) найдем выражение для емкости плоского
конденсатора: 
 (3) 

Для
определения емкости цилиндрического
конденсатора, который состоит из двух
полых коаксиальных цилиндров с радиусами
r₁ и
r₂(r₂ >
r₁),
один вставлен в другой, опять пренебрегая
краевыми эффектами, считаем поле
радиально-симметричным и действующим
только между цилиндрическими обкладками.
Разность потенциалов между обкладками
считаем по формуле для разности
потенциалов поля равномерно заряженного
бесконечного цилиндра с линейной
плотностью τ =Q/l (l—длина
обкладок). При наличии диэлектрика между
обкладками разность потенциалов 
 (4) 

Подставив
(4) в (1), найдем выражение для емкости
цилиндрического конденсатора: 
 (5) 

Чтобы
найти емкость сферического конденсатора,
который состоит из двух концентрических
обкладок, разделенных сферическим слоем
диэлектрика, используем формулу для
разности потенциалов между двумя
точками, лежащими на расстояниях r₁ и
r₂ (r₂ >
r₁)
от центра заряженной сферической
поверхности. При наличии диэлектрика
между обкладками разность потенциалов 
 (6) 

Подставив
(6) в (1), получим 
 

Электрическая
ёмкость —
характеристика проводника, мера его
способности накапливать электрический
заряд.
В теории электрических цепей ёмкостью
называют взаимную ёмкость между двумя
проводниками; параметр ёмкостного
элемента электрической схемы,
представленного в виде двухполюсника.
Такая ёмкость определяется как отношение
величины электрического заряда к разности
потенциалов между
этими проводниками.

В
системе СИ ёмкость
измеряется в фарадах.
В системе СГС в сантиметрах.

Для
одиночного проводника ёмкость равна
отношению заряда проводника к его
потенциалу в предположении, что все
другие проводники бесконечно удалены
и что потенциал бесконечно удалённой
точки принят равным нулю. В математической
форме данное определение имеет вид

 где — заряд, —
потенциал проводника.

Ёмкость
определяется геометрическими размерами
и формой проводника и электрическими
свойствами окружающей среды (её
диэлектрической проницаемостью) и не
зависит от материала проводника. К
примеру, ёмкость проводящего шара
радиуса Rравна
(в системе СИ):

где ε₀ — электрическая
постоянная, ε — относительная
диэлектрическая проницаемость.

Понятие
ёмкости также относится к системе
проводников, в частности, к системе двух
проводников, разделённых диэлектриком иливакуумом, —
к конденсатору.
В этом случае взаимная
ёмкость этих
проводников (обкладок конденсатора)
будет равна отношению заряда, накопленного
конденсатором, к разности потенциалов
между обкладками. Для плоского конденсатора
ёмкость равна:

где S —
площадь одной обкладки (подразумевается,
что они равны), d —
расстояние между обкладками, ε — относительная
диэлектрическая проницаемость среды
между обкладками, ε₀ =
8.854·10⁻¹² Ф/м — электрическая
постоянная.

Конденса́тор (от лат. condensare —
«уплотнять», «сгущать») — двухполюсник с
определённым значением ёмкости и
малой омической проводимостью;
устройство для накопления заряда и
энергии электрического поля. Конденсатор
является пассивным электронным
компонентом. Обычно состоит из двух
электродов в форме пластин
(называемых обкладками),
разделённых диэлектриком,
толщина которого мала по сравнению с
размерами обкладок.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

2016-12-11   

Найти электроемкость сферического конденсатора, образованного двумя проводящими концентрическими сферами радиусами $R_{1}$ и $R_{2}$. Рассмотреть также случай, когда пространство между сферами заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью $epsilon$.

Решение:

Поместим на внутреннюю сферу заряд $+ q$, на внешнюю — $- q$. Согласно определению электроемкости:

$C = frac{q}{ phi_{A}^{ 0} – phi_{B}^{0}} = frac{q}{U}$, (1)

где $U = phi_{A}^{0} – phi_{B}^{0}$ – разность потенциалов (напряжение) между сферами. Потенциал сферы $R_{1} phi_{A}^{0}$, согласно принципу суперпозиции, складывается из потенциала, создаваемого зарядами $+ q left ( frac{kq}{R_{1}} right )$ и зарядами $- q left ( frac{ – kq}{R_{2}} right )$ в области нахождения сферы $R_{1}$:

$phi_{A}^{0} = frac{kq}{R_{1}} – frac{kq}{R_{2}}$. (2)

Аналогично, потенциал сферы $R_{2} phi_{B}^{0}$ равен:

$phi_{B}^{0} = frac{kq}{R_{2}} – frac{kq}{R_{2}} = 0$. (3)

Из (1—3) находим:

$C = frac{q}{ frac{kq}{R_{1}} – frac{kq}{R_{2}}} = frac{1}{ frac{k}{R_{1}} – frac{k}{R_{2}}}$.

В случае заполнения конденсатора диэлектриком, напряженность электрического поля в каждой точке между сферами уменьшается в в раз. Докажем, что и разность потенциалов так же уменьшается в е раз. Для этого разобьем отрезок радиуса АВ на малые отрезки, такие, что поле на протяжении каждого из них можно считать практически однородным и воспользуемся связью между напряженностью и разностью потенциалов:

$phi_{i} – phi_{i+1} = frac{E_{i}}{ epsilon} Delta d_{i}$, (4)

где $frac{E_{i}}{ epsilon}$ — напряженность электрического поля на участке $Delta d_{i}, E_{i}$ — напряженность в отсутствие диэлектрика. Суммируя (4) по всем $Delta d_{i}$, находим:

$phi_{A} – phi_{B} = frac{1}{ epsilon} sum E_{i} Delta d_{i} = frac{1}{ epsilon} ( phi_{A}^{0} – phi_{B}^{0})$. (5)

Подставляя (5) в определение электроемкости (1), Получаем:

$C = frac{ epsilon}{ frac{k}{R_{1}} – frac{k}{R_{2}}} = frac{4 pi epsilon_{0} epsilon}{ frac{1}{R_{1}} – frac{1}{R_{2}}}$

$C = frac{ epsilon}{ frac{k}{R_{1}} – frac{k}{R_{2}}} = frac{ epsilon}{k} frac{R_{1} R_{2}}{ (R_{1} – R_{2}) }$.

Другой способ вычисления разности потенциалов между сферами при наличии диэлектрика основан на применении результата задачи 1535 с учетом того, что наличие на внешней сфере заряда – $q^{ prime}$ дает одинаковую добавку как к потенциалу внешней сферы, так и внутренней. Таким образом, разность потенциалов, вычисленную с учетом 1535, следует подставить в определение (1).